北师大2012量子力学试题

《量子力学》大一题集一、选择题（每题5分，共50分）1.量子力学的研究对象主要是？A. 宏观物体的运动规律B. 微观粒子的运动规律C. 宇宙天体的运动规律D. 生命现象的运动规律2.下列哪位科学家是量子力学的奠基人之一？A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 薛定谔D. 伽利略3.波粒二象性是指？A. 粒子只具有波动性B. 粒子只具有粒子性C. 粒子同时具有波动性和粒子性D. 波动和粒子是两种不同的物质4.在量子力学中，描述微观粒子状态的数学工具是？A. 牛顿运动定律B. 麦克斯韦方程组C. 波函数D. 爱因斯坦场方程5.下列哪个实验是量子力学发展史上的重要里程碑？A. 迈克尔逊-莫雷实验B. 双缝干涉实验C. 托马斯·杨的光干涉实验D. 薛定谔的猫实验6.量子力学中的“不确定性原理”是由谁提出的？A. 玻尔B. 海森堡C. 狄拉克D. 费曼7.在量子力学中，观测者对系统的影响称为？A. 观测者效应B. 量子纠缠C. 超位置D. 量子跃迁8.下列哪个现象是量子力学特有的，而经典力学无法解释？A. 光的折射B. 物体的自由落体C. 电子的双缝干涉D. 行星的运动9.量子纠缠是指？A. 两个粒子之间的引力作用B. 两个粒子之间的电磁作用C. 两个粒子之间的量子态的关联D. 两个粒子之间的强相互作用10.量子计算机相比经典计算机的最大优势是？A. 计算速度更快B. 存储容量更大C. 能耗更低D. 体积更小二、填空题（每题5分，共20分）1.在量子力学中，描述微观粒子运动状态的波函数需要满足_______方程。

2.量子力学中的“不确定性原理”表明，微观粒子的位置和动量是不确定的，其不确定度的乘积有一个_______的下限。

3.量子纠缠是_______之间的一种特殊关联，当其中一个粒子的状态发生改变时，另一个粒子的状态也会瞬间发生改变。

4.在量子力学中，观测者对系统的影响是不可忽视的，这种影响被称为_______。

【关键字】试题量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。

（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。

（4分）4、证明是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。

（6分）2、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。

三、（15分）设氢原子在时处于状态，求1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。

四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出这里，，是一个常数，，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。

五、（10分）令，，分别求和作用于的本征态和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什么？量子力学自测题（１）参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：2、定态：定态是能量取确定值的状态。

性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。

3、全同费米子的波函数是反对称波函数。

两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：。

4、=，因为是厄密算符，所以是厄密算符。

5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。

以、和依次表示、和在态中的平均值，令，，则有，这个关系式称为测不准关系。

坐标和动量之间的测不准关系为：2、解1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A 表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，， 令，其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为： 2、类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：，即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 对有：，对有：所以，在B 表象中算符的本征值是，本征函数为和 3、类似地，在A 表象中算符的本征值是，本征函数为和从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即 三、解： 已知氢原子的本征解为： ，将向氢原子的本征态展开， 1、=，不为零的展开系数只有三个，即，，，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：，于是归一化的展开系数为： ，，（1）能量的取值几率，， 平均值为：（2）取值几率只有：，平均值 （3）的取值几率为： ，，平均值 2、时体系的波函数为：=由于、和皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与时的结果是一样的。

北京师范大学2010年硕士研究生入学考试科目名称：量子力学考试时间: 三小时 满分:150分 科目代码： 715适用专业: 物理学院等相关专业注意：①所有答案必须写在答题纸或答题卡上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；②本科目不允许使用计算器；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！参考公式：、 21.微扰论能量二级修正公式：Eg' = 2 課2.泡利矩阵件=(；；)，％ = (?淑土可-1)3.一维谐振子波函数的递推公式：二如3) = & [栃厶―1 +yjn +lipn +1 ]，其中a =一、单选或多重选择题(共55分)多选、少选、选错均不得分。

1.若N、6为厄米算符，则以下算符中的厄米算符有(A) AB+BA (B) [A,B] (C) i[A,B] (D)以上都不是2.力为一线性算符，厶+为其厄米共轴算符。

下列哪些算符的平均值必 为非负实数？(A)罗 (B)(C) A4+ (D)以上都不是(")23.一经典粒子从x=0由静止向右做匀加速运动，下面哪副图描述其4.以下叙述正确的是(A)两个定态的叠加是定态(B)若两算符存在共同本征态，则两算符必对易(C)在定态下，儿率流密度丿满足▽・</=()(D)定态必定是能量本征态5.一维无限深方势阱(0分&/)中的粒子，处于能量为2.0eV的某 个本征态，该态对应的概率密度分布如图所示，则基态能量是(A) 0 eV (B) 0.5 eV (C) 1.0 eV (D) 1.5 eV6a,测量一个自由电子的自旋角动量的x分量，发现是九/2。

接着测其 自旋的y分量，可能得到的结果(概率不为零)(A) h/2 (B) -h/2 (C) 0 (D) h6b,期望值(平均值)是 GE (A) h/2(B) -h/2(C) 0 (D) h7a.两个自旋为1/2且无相互作用粒子处于自旋单态。

一向左(粒子 1) 一向右(粒子2)飞离容器。

量子力学试题量子力学试题（一）及答案一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中()⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0,0中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212131210,ϕϕϕψ+-=状态上，其中，()x n ϕ为粒子能量的第n 个本征态。

（1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为()xan a x n n ma E n n πϕπsin 2,3,2,1 ,22222===Λη（1） 首先，将()0,x ψ归一化。

由12131212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 可知，归一化常数为 1312=c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 3211331341360,ϕϕϕψ++-= 能量的取值几率为()()()133 ;134 ;136321===E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。

（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i exp 133i exp 134i exp 136,ηηηϕϕϕψ（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。

二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00,0.0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。

解：对于02<-=V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-===x B x kx A x x αψψψexp sin 0321其中， ηηE m V E m k 2 ;)(20=+=α在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()()()a a a a '3'232ψψψψ==得到()()a B ka Ak a B ka A ααα--=-=ex p cos ex p sin于是有αkka -=tan此即能量满足的超越方程。

量子力学测试题（6） （北师大2002）1、t=0时，描述氢原子中电子的波函数为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=)(32311011211131Y Y R Y R ψ 其中nl R 为径向波函数，lm Y 为球谐函数。

求（a ）该电子的能量E 、角动量平方2L 、角动量z 分量z L 和自旋z 分量z S 的可能值及相应几率；（b ）上述各量的平均值；（c ）该电子处在dr r r +→的几率； （d ）t 时刻的波函数),,,(t r ϕθψ。

解： 氢原子能级和波函数 222aneE n -= )(),()(),,(z lm nl nlm S Y r R r χϕθϕθψ=（a ）由t=0时，氢原子中电子的波函数βψβψαψψ210211311323231++=知电子能量E 的可能值及相应几率为：aeE 1823-=，91；aeE 822-=，98。

角动量平方2L 的可能值及相应几率为：222 =L ，1。

角动量z 分量z L 的可能值及相应几率为： =z L ，95；0=z L ，94。

自旋z 分量z S 的可能值及相应几率为：2=z S ，91；2-=z S ，98。

（b ） aeE E E 162199891223-=+=222 =L95=z L 187 -=z S（c ）电子处在dr r r +→的几率为dr r R R Y Y R Y R Y Y R Y R d dr r d dr r P r 22212311011211131*10*1121*1131229891)(3231)(3231⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ω=Ω=⎰⎰+ψψ （d ）t 时刻的波函数),,,(t r ϕθψ βψψαψϕθψ)(3231),,,(210211/311/23++=--t iE t iE eet r2、一维情况下，宇称算符P 的定义为)()(x x P -=ψψ。

试证明 （a ）P 是厄密算符；（b ）P 的本征值为+1和-1；（c ）P 的分别属于本征值+1和-1的本征函数+ψ和-ψ正交； （d ）P 是幺正算符。

1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。

6、何为束缚态？7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。

8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。

10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？14、在简并定态微扰论中，如 ()H0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H HH'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ12()s z 中， S x 和 S y的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22•是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。

18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。

19何谓选择定则。

20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？21、叙述量子力学的态迭加原理。

22、厄米算符是如何定义的？23、据[aˆ，+a ˆ]=1，a a Nˆˆˆ+=，n n n N =ˆ，证明：1ˆ-=n n n a 。

、填空题1 .玻尔的量子化条件为。

2.德布罗意关系为3.用来解释光电效应的爱因斯坦公式为_______________________________________________4 .波函数的统计解释：__________________________________________5.- 为归一化波函数，粒子在「「：方向、立体角&匚内岀现的几率为_________________________________________ ，在半径为”，厚度为-旷的球壳内粒子岀现的几率为_____________________________________________________ 。

6.波函数的标准条件为______________________________________________________________________________7.」一 -」，匚为单位矩阵，则算符一的本征值为8•自由粒子体系，____________ 守恒；中心力场中运动的粒子____________ 守恒。

9.力学量算符应满足的两个性质是___________________________________________________________ 10•厄密算符的本征函数具有_____________________________________________________________________ 。

11•设J I-■■门为归一化的动量表象下的波函数，则' ' I' 的物理意义为* Cc * 28 •如两力学量算符「'有共同本征函数完全系，则-'''-13 •坐标和动量的测不准关系是14 •在定态条件下，守恒的力学量是 ___________________________ 。

15 •隧道效应是指 _______________________________________________16 •量子力学中，原子的轨道半径实际是指 _________________________17. 为氢原子的波函数, 的取值范围分别为 ___________________________________________________________________________________________18 •对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 _____________________ ，考虑自旋但不考虑自 旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 ____________________ ，如再考虑自旋与轨道角动量的 耦合，能级的简并度为 ___________________________________________ 。

北京师范大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题部（院、系）：物理学系科目代码：959科目名称：量子力学（所有答案必须写在答题纸上，做在试题纸或草稿纸上的一律无效）参考公式：泡利矩阵0110x σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，00y i i σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，1001z σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭一.选择题（共25分）。

写清每题的题号及所有正确答案，多选、少选、选错均不得分。

1.一维粒子处于势函数()V x 中，已知()V x 是实值偶函数，且()x ψ是能量本征方程的一个解，则(A )()x ψ必为偶函数(B )()x ψ-一定是能量本征方程的解(C )()x ψ必为实值函数(D )()x ψ的复共轭函数*()x ψ一定是能量本征方程的解2.以下哪个（些）数字可能是氢原子能级的简并度(A )2(B )4(C )7(D )93.若算符ˆA满足2ˆˆA A =，则(A )ˆA 的本征值只可能是0或1(B )ˆA必为厄米算符(C )ˆA在任何态的平均值为非负实数(D )ˆA 必为常数算符4.以下哪个（些）算符一定为厄米算符(A )ψψ(B )ψϕ(C )ψϕϕψ+(D )ψϕϕψ-5.厄米算符ˆA、ˆB 满足ˆˆˆˆ0AB BA +=。

若ψ是ˆA 的本征态，本征值非零，则(A )ψ必为ˆB 的本征态(B )ˆBψ必为ˆA 的本征态(C )ˆAψ必为ˆB 的本征态(D )ˆB 在ψ中的平均值必为零。

（转背面！）第1页共3页第2页共3页二.（25分）已知20()2p H V x m=+的某个能级是E ，若系统变为0H H p α=+（α为常数），求该能级的变化。

（提示：此题需严格求解，可在动量表象下计算）三.（25分）在某自旋态χ中，测2z s = 的概率是12，测2x s = 的概率是34，求χ所有可能的独立解，结果用z s 表象α与β表示。

四.（25分）考虑一个沿x 方向运动的一维电子，其运动存在自旋轨道耦合，哈密顿量可写成微信搜索：34310531欢迎关注：物理轻松学21()2σσ=++Ωz x H p a m 其中,αΩ为常数。