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北师大最新2019物理(量子力学)

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北京师范大学959量子力学考研真题及解析

北京师范大学959量子力学考研真题及解析
历年真题解析
【内部资料】
北京师范大学考研历年真题解析
——959 量子力学
主编：弘毅考研 编者：海阔天空
弘毅教育出品

1 士不可不弘毅，任重而道远！——弘毅考研
历年真题解析 【资料说明】
【内部资料】
《量子力学历年真题解析（专业课）》系北京师范大学优秀考研辅导团队集体编撰的“历年考 研真题解析系列资料”之一。 历年真题是除了参考教材之外的最重要的一份资料，其实，这也是我们聚团队之力，编撰此资 料的原因所在。历年真题除了能直接告诉我们历年考研试题中考了哪些内容、哪一年考试难、哪一 年考试容易之外，还能告诉我们很多东西。 1.命题风格与试题难易 第一眼看到北师大历年试题的同学，都觉得试题“简单”。其实， 这也是很多学生选择北师 大的原因吧。北师大的试题不偏、不怪，80% 的题目可以在课本上找到部分的答案。这不同于一些 学校的试题，比如北京大学，理论性很强，说不会答，一点也答不上来。北师大的试题，不管你复 习的怎么样，一般都能答上一点，至于能答到什么程度， 则因人而异。 现在，我告诉大家一个数字，“6. 55%”，这是学校公布的 2010 年物理学专业的录取率。看 到这个数字，你还会觉得题目“简单”吗？ 其实，“试题很基础”----“试题很简单”----“能得 高分”根本不是一回事。试题很基础，所以每个学生都能答上一二，但是想得高分，就要比其他学 生强，要答出别人答不出来的东西。要答出别人答不出来的东西，这容易吗？大家不要被试题表象 所迷惑。很多学生考完，感觉超好，可成绩出来却不到 100 分，很大程度上就是这个原因：把考的 基础当成考的简单。其实这很像武侠小说中的全真教，招式看似平淡无奇，没有剑走偏锋的现象， 但是如果没有扎实的基础和深厚的内功是不会成为大师的。我们只能说命题的风格是侧重考察基础 的知识， 但是，我们要答出亮点，让老师给你高分，这并不容易。 2.考试题型与分值 大家要了解有哪些题型，每个题型的分值。从最近五年看，北师大的题目基本都是解答题，个 别年份有选择题和填空题。可很多学生平时喜欢做选择题，不想写，到考试的时候就会傻眼。每个 题型的分值是不一样的，一个选择题一般也就是 5 分，可一个计算题就是２５分。这要求我们平时 一定要注意解答能力的练习。 3.各章节的出题比重 北师大的专业课没有考试大纲， 因此没有重、 难点的告知， 但大家可以通过对历年真题的分析， 掌握各个章节在整个考研中的重要地位。例如，薛定谔方程，微扰，自旋等，怎么复习？通过看历 年真题， 我们就发现知识点较平均， 重点是基础理论的把握。 通过这些分析， 就把握了复习的重点。 4.重要的已考知识点

北京大学量子力学教材第四章

北京大学量子力学教材第四章

北京⼤学量⼦⼒学教材第四章第四章量⼦⼒学中的⼒学量第四章⽬录§4.1表⽰⼒学量算符的性质 (3)(1) ⼀般运算规则 (3)(2) 算符的对易性 (5)(3) 算符的厄密性（Hermiticity） (7)§4.2 厄密算符的本征值和本征函数 (10)(1) 厄密算符的本征值和本征函数 (10)(2) 厄密算符的本征值的本征函数性质 (12)§4.3 连续谱本征函数“归⼀化” (15)（1）连续谱本征函数“归⼀化” (15)（2）δ函数 (18)（3）本征函数的封闭性 (22)§4.4 算符的共同本征函数 (24)(1) 算符“涨落”之间的关系 (24)(2) 算符的共同本征函数组 (27)(3) ⾓动量的共同本征函数组―球谐函数 (28)(4) ⼒学量的完全集 (34)§4.5 ⼒学量平均值随时间的变化，运动常数（守恒量）,恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） .36(1) ⼒学量的平均值，随时间变化；运动常数 (36)(2) Vivial Theorem维⾥定理 (37)(3) 能量—时间测不准关系 (38)(4) 恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） (38)第四章量⼦⼒学中的⼒学量§4.1表⽰⼒学量算符的性质(1) ⼀般运算规则⼀个⼒学量如以算符O表⽰。

它代表⼀运算，它作⽤于⼀个波函数时，将其变为另⼀波函数)z ,y ,x ()z ,y ,x (O=ψ。

它代表⼀个变换，是将空间分布的⼏率振幅从 )z ,y ,x ()z ,y ,x (O→?ψ-=，于是)x (e )x (Odx daψ=ψ-∑∞=ψ-=0n nnn )x (dxd !n )a ( )a x (-ψ= )x (?=即将体系的⼏率分布沿x ⽅向移动距离a .A. ⼒学量算符⾄少是线性算符；量⼦⼒学⽅程是线性齐次⽅程。

由于态叠加原理，所以在量⼦⼒学中的算符应是线性算符。

北大《量子力学》chpt7

北大《量子力学》chpt7

第七章自旋第七章目录§7.1 电子自旋存在的实验事实 (2)（1）Stern-Gerlach 实验（1922年） ........... 2 （2）电子自旋存在的其他证据 .. (3)§7.2 自旋－微观客体的一个动力学变量 (3)（1）电子的自旋算符和它的矩阵表示 ........... 3 （2）考虑自旋后，状态和力学量的描述 ......... 7 （3）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程10§7.3 碱金属的双线结构 (10)（1）总角动量 .............................. 11 （2）碱金属的双线结构 . (15)§7.4 两自旋为1/2的粒子的自旋波函数 (16)(1) )S ,S (z z 21表象中两自旋为21/的粒子的自旋波函数 16(2) )S ˆ,S ˆ(z2表象中两自旋为21/的粒子的自旋波函数16 (3) Bell 基 (17)§7.5 Einstein -Podolsky-Rosen 佯谬和Bell 不等式 18(1) Einstein-Podolsky-Rosen 佯谬 ........... 18 (2) Bell Inqualities (18)§7.6 全同粒子交换不变性－波函数具有确定的置换对称性 21(1)交换不变性 .............................. 22 (2)全同粒子的波函数结构，泡利原理 .......... 23 (3)全同粒子的交换不变性的后果 .. (26)第七章 自旋在较强的磁场下（∽T 10），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它。

但是，当这些原子或离子置入弱磁场（∽T 101-）的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。

大量实验事实证明，认为电子仅用三个自由度z ,y ,x 来描述并不是完全的。

北京大学量子力学课件 第5讲

北京大学量子力学课件 第5讲


而 t t 0 时，它位于
[1 ( t 0 2m 2 ) ]
P0 t 0 x m
，宽度为
t 0 2m 2 ) 2 ]1 2
2 12
[1 (
也可以计算标准偏差，得到发现粒子的主要 区域在 x0 x- x0 x 其中
P0 t 0 x0 m
x ( x x ) x x [1 (
这就是格林函数的含义： t 0 时刻，粒子处于 r 0 ， ，则 t 时刻， r 处发现粒子的几率密度振幅就是 G(r, t; r 0 , t 0 ) 。 由薛定谔方程我们可直接给出
1ˆ ˆ i H( r , P)( t t 0 ) G ( r , t; r 0 , t 0 ) e ( r r 0 )
G(r, t; r' , t' )称为 Green 函数，或称传播子。
如 t' t 0 时刻，粒子处于 r 0 ，即 由上式得
(r' , t 0 ) (r'r 0 )
( r, t ) G( r, t; r ' , t 0 )( r' , t 0 )dr ' G( r, t; r 0 , t 0 )
* ˆ (r, P ˆ , t )(r, t ) i (r, t ) (r, t ) (r, t )H t
*
由 乘 * * ˆ * ˆ i ( r, t ) H ( r, P, t ) ( r, t ) t
* ˆ * (r, P ˆ , t ) * ( r , t ) i (r, t ) (r, t ) (r, t )H t
d i 2 * ( r , t ) d r ( )d r dt 2m i * ( ) ds 2m

2018年北京师范大学959量子力学考研试题

2018年北京师范大学959量子力学考研试题
2.（30分）已知一维粒子的哈密顿量为 ( 为常数)，求粒子的能级。（提示：此题可在动量表象下计算）
3.（30分）氢原子基态波函数为
(1)求动量空间波函数 ;
(2)计算基态动能的目名称：量子力学
4.（30分）考虑一个在方向为正子方向，强度为B的均匀磁场中的中性自旋1/2粒子，其初态是 的本征态，这是 为任意方向 的单位矢量， 为泡利算符在该方向的投影。
(1)求解初态；
(2)解出态随时间的演化；
(3)计算 ， 的可能测量值，相应几率和期望值的时间演化。
（提示：磁矩 ）
5.（30分）一个粒子在二维x-y平面运动，其哈密顿量为H ,Px、Py动量的x、y分量， 为常数，物理上正比于外磁场，请求解能量本征方程，给出能级和能量本征函数的形式。（提示：可以选力学量完全集为（H，Px），谐振子的能量本征函数可写为 其中 ）
第2页 共2页
北京师范大学
2018年硕士研究生入学考试试题
部（院、系）：物理学系
科目代码：959科目名称：量子力学
参考公式：
1.泡利矩阵： ， ，
2.积分公式：
1.（30分）
(1)算符 ， 的对易满足 ,k为常数，如果 是 的本征函数，证明 是 的本征函数；
(2)若 为厄米算符，证明 的平均值必为非负实数；
(3)一个质量为m的粒子满足动量空间的薛定谔方程： ,其中 ,a为常数，求势函数 。

北京大学602量子力学考研参考书、历年真题、复试分数线

北京大学602量子力学考研参考书、历年真题、复试分数线

二、录取和调剂：
1、考生能否录取，以考生的总成绩名次为准。复试成绩不及格的考生不能录取。各学
院（系、所、中心）拟录取名单经批准后公布。 2、我校未录取考生，达到国家分数线并符合调剂规定的，按教育部要求进行调剂。
专注中国名校保（考）研考博辅导权威
三、2015 北京大学 602 量子力学考研参考书 数学分析（一、二、三册）方企勤等北京大学出版社 配套习题集
有人引用量子力学中的随机性支持自由意志说，但是第一，这种微观尺度上的随机性和 通常意义下的宏观的自由意志之间仍然有着难以逾越的距离；第二，这种随机性是否不可约 简(irreducible)还难以证明，因为人们在微观尺度上的观察能力仍然有限。自然界是否真
专注中国名校保（考）研考博辅导权威
有随机性还是一个悬而未决的问题。对这个鸿沟起决定作用的就是普朗克常数。统计学中的 许多随机事件的例子，严格说来实为决定性的。
在量子力学中，一个物理体系的状态由波函数表示，波函数的任意线性叠加仍然代表体 系的一种可能状态。对应于代表该量的算符对其波函数的作用；波函数的模平方代表作为其 变量的物理量出现的几率密度。 二、北京大学 602 量子力学考研复试分数线
90
90
管理学 (12)
50 50
90
90
艺术学 (13)
50 50
90
总分 360 370 345 360
345
345 320 320 350 350
备注
北大-新加坡国 立大学汉语言 文字学双硕士 班为 340。
（2）、联考： 考试科目
专业学位 应用统计 025200 金融硕士 025100 税务硕士 025300
90
50 50
90

北京大学量子力学教材 第一章

北京大学量子力学教材 第一章

E nh e nh kT
n 0

n 0
e nh kT

h
d nx e dx n 0
n 0
e nh kT e nx

n 0
1 d (1 e x ) 1 (1 e x ) dx h (e h kT 1)
h
于是，用电动力学和统计力学导出的公式
E ( , T )
应改为
2 2 kT c2
2 h 3 c2
（Rayleigh–Jeans）
E ( , T )
(e h kT 1)
这就是 Planck 假设下的辐射本领，它与实验完全符合。
① 当 kT
h
（高频区） （即 Wein 公式
E( , T)
E( , T) f ( , T)
就等于普适函数（与物质无关） 。所以黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对 物质而言）弄清楚了。 我们也可以以 E( , T ) 来描述。
c d d E( , T) c d E( , T)d E( , T) d E( , T) d d 2 d
3
nh n
n 0,1,2,
34
34
焦耳 秒 ， 1.0545 10 （ h 6.626 10 所以，辐射的平均能量可如此计算得： E E dE 经典的能量分布几率
e E kTdE 0 e E kTdE

焦耳 秒 ）
）
（玻尔兹曼几率分布）
5
所以对于连续分布的辐射平均能量为
E 0 E e E kTdE 0 e E kT dE
kT( E e E kT 0 e E kT dE ) 0 e E kT dE 0

北京大学量子力学课件_第7讲

北京大学量子力学课件_第7讲
2 p 2 z mgz E mgz 2 2m 2mz
E 2 1 3 0 z ( 2 ) z m g
me 2 3 z ( ) 1.17 10 3 m m
所以，对于经典物理学，则认为 z=0。而对于 量子粒子则为 z 11 3 i. 尘粒： m 10 克 , z 10 m ; 3 z 1.17 10 m 。 ii. 电子： 就我个人的看法： 测不准关系是对两个物 理量同时测量结果可能值的最佳区域（或不确定 度）关系的约束，它不是测量的影响导致的。
k 0 k i ( kx t ) dk k 0 k C(k )e
这个波包扩展度的区域不是任意小，即 2 x k
于是有
x p x 2 h
（2）一些实验： A．位置测量：一束 电子平行地沿x方向入通过 窄缝a，从而测出y方向的位 置。由于波的衍射，在y方 向有一不确定度
x0 x0
ik ( A B) ik 1D
得
k1 D A (1 ) 2 k
k1 D B (1 ) k ， 2
x0 x0
k 1 ikx D k 1 ikx D (1 )e (1 )e u E (x) 2 k 2 k 结果有 ik1x De
Se ikx u E ( x ) ikx ikx Ae Be xa x0
这形式是普遍的，只要远离作用区。而沿x 方向的几率流密度为
k 2 ji A， m
B R A
k 2 jR B， m
2

B A S A
k 2 jT S m
2
S T A
所以只要求得 , 即可。 对于 0 x a 有方程
Ⅱ.一维定态问题 三维问题可化为一维问题处理，所以一 维问题是解决三维问题的基础。

北师大考博辅导班：2019北京师范大学理论物理考博难度解析及经验分享

北师大考博辅导班：2019北京师范大学理论物理考博难度解析及经验分享

北师大考博辅导班：2019北京师范大学理论物理考博难度解析及经验分享北师大考博辅导班：2019北京师范大学理论物理考博难度解析及经验分享根据教育部学位与研究生教育发展中心最新公布的第四轮学科评估结果可知，在2018-2019年理论物理专业学校排名中，排名第一的是北京大学，排名第二的是清华大学，排名第三的是南京大学。

作为北京师范大学实施国家“211工程”和“985工程”的重点学科，物理学系的理论物理一级学科在历次全国学科评估中均名列第七。

下面是启道考博辅导班整理的关于北京师范大学理论物理考博相关内容。

一、专业介绍理论物理专业是物理学下设的二级学科之一。

理论物理是从理论上探索自然界未知的物质结构、相互作用和物质运动的基本规律的一门学科。

其研究领域涉及粒子物理与原子核物理、统计物理、凝聚态物理、宇宙学等，几乎包括物理学所有分支的基本理论问题，它将推动整个物理学乃至自然科学向前发展。

本学科要求毕业生应具备系统的理论物理基础和系统的专业知识及较强的数学功底，了解本学科的前沿领域和国际上的发展动向，掌握研究物质的微观及宏观现象所用的模型和方法等专业理论以及相关的数学及计算方法，有严谨求实的科学态度和作风，具备从事前沿课题研究的能力。

北京师范大学物理学系的理论物理专业在博士招生方面，划分为6个研究方向：070201理论物理研究方向：01统计物理02软物质物理03非微扰量子引力；引力理论与宇宙学04引力理论及黑洞热力学05复杂体系统计物理，原子核理论06粒子物理考试科目：①1101英语②2223量子力学③3219物理综合二二、考试内容（一）初审由各专业专家组成的考核委员会对考生提交的申请材料进行初审，确定参加初试名单。

（二）初试获得初试资格的考生须参加物理系统一命题的《量子力学》考试，时间预计在2019年3月下旬，成绩合格者方可进入复试。

（三）复试复试以面试方式进行，由考核委员会对考生的专业知识进行考核，并给出成绩。

2016年北京师范大学959量子力学考研真题

2016年北京师范大学959量子力学考研真题
提示: ( )的共
（若在t=0时出现中微子状态是|2>）
（1）计算t>0时中微子状态
（2）最短经过多长时间该中微子变成电子中微子？
5.（30分）某电子波函数角度部分为 ，其中 为球谐函数， 表示取自旋处于|+，z>（ 为正的本征态）总角动量 等于轨道角动量和自旋角动量之和，即 ，计算 的可能测值、相应几率以及期望值。
（3）若 ，求各能级简并度
提示：
3.（30分）氢原子处于轨道角动量量子数为l=2的态中，计算 的本征值及简并度，其中，l及s分别为氢原子的轨道角动量和自旋角动量。提示:
第1页共2页
科目代码：959科目名称：量子力学
4.（30分）中微子有两个态|1>和|2>，且正交归一，分别对应电子中微子和 中微子，其哈密顿量可以写为H=h|1><1|+g|1><2|+g|2><1|+h|2><2|，g、h分别为常数
北京师范大学
2016年硕士研究生入学考试试题
部（院、系）：物理学系
科目代码：959科目名称：量子力学
1.（30分）粒子在如下势中做一维运动
（1）写出束缚态能级E所满足的方程
（2）用图示法求出至少存在一个能级的条件
2.（30分）质量为m的粒子在势场 中做二维运动
（1）写出能级表达式
（2）计算 在基态时的平均值

北大《量子力学》chpt6-推荐下载

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第六章 目录
§6.1 量子体系状态的表示..............3 §6.2 Dirac 符号介绍 ..................4
（1）量子态、Ket 矢，Bra 矢（Bracket） ..5 （2）标积 5 （3）算符及其表示 ..........................7 （4）不可约张量算符的矩阵元计算简介 ..........12 （5）投影算符 ............................15

n,m
(a1*a*2
a1 ) a 2
对于连续谱：则 在 Kˆ 表象中的表示a k ，它是 k 的函数
(, ) a*k *k (r)akk (r)dkdkdr
a*kak(k k)dkdk ak 2dk
1



aa
第六章 量子力学的矩阵形式及表示理论
§6.1 量子体系状态的表示
现在来讨论体系状态的“坐标”—状态表示
如果有一组力学量 Mˆ 构成一力学量完全集，其共同本征函数构成一正交，归一和完备
组，并有封闭性。
m ,n mn
m (r)*m (r) (r r)
m 于是，任一波函数
态矢量 在 m 作为基矢所张的“坐标系”中的“坐标”。
事实上， (r) 正是体系所处状态在 r 表象中的表示。因我们知 rˆ 本征函数为
(r r) r (r) ，它是力学量 (x, y, z) 的共同本征函数，它当然形成一组正交，归一
和完备组。对于任何一个态，都能按它展开
(r) *r (r)(r)dr (r , )
显然，当选定一组力学量完全集 Mˆ 后，则集合 am 是与 (r) 完全等价的，它 完全确定了体系的状态。我们将会看到，am 与 (r) 一样，提供给我们同样多的信息。

北京师范大学考研物理2019量子力学

北京师范大学考研物理2019量子力学

5. (30) 两个电子被紧紧束缚在晶体的相邻位置上，可分辨，也不来考虑它们的空间运 动。他们的自旋分别为：s1, s2。两个电子之间的相互作用可以用如下的哈密顿量表示： Hˆ == −J [sˆ1xsˆ2x + sˆ1ysˆ2y + ∆sˆ1zsˆ2z]其中J 为常数。
(1) 求系统的能级和属于各能级的本征态，自旋部分。
(1) t = 0，中微子处于|1 >，求t > 0时波函数。
(2) 从|1 >态到|2 >态最短时间。 (3) 定义算符σˆ，σˆx = |1 >< 1| − |2 >< 2|，σˆy = −i|1 >< 2| + i|2 >< 1|，求σˆ期望值随
时间演化函数。 (4) 最短时间σˆ期望值旋转一周。
北师大2019年量子力学
1.证明题 (30)
(1) 算符Aˆ,Bˆ满足AˆBˆ+BˆAˆ = 0，Aˆ, Bˆ的共同本征态为ψ，Aˆψ = aψ, Bˆψ = bψ，证ab = 0。
(2)
证明 dx dt
=
px 。
m
βδ(x) −a ≤ x ≤ a, 2. (30) 一维无限深势阱，V (x) = ∞ |x| ≥ a
提示：
∂2 ∂2 ∂2 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 + + =+ +
∂x2 ∂y2 ∂z2 ρ2 ρ ρ ρ2 ∂φ2
1 arctan (x) =
1 + x2
4. (30) 中微子两个归一正交态|1 >, |2 >，
Hˆ = h|1 >< 1| + g|2 >< 1| + g|1 >< 2| + h|2 >< 2|

北京师范大学研究生入学考试《量子力学》2020年试题及答案

北京师范大学研究生入学考试《量子力学》2020年试题及答案

＼ ＿ ll －迈 l ） ＿ －迈 3 ）
\
l
－ 立 －
6
综上所述 2.
E1 = liw, I妇〉 二 —l |11〉+ — l |10〉十 —1 |l — l〉
2
迈
2
E2 二—liw,
I心〉＝
—1
2
111〉—
— 1 迈
|10〉十
—1 |l — 2
l〉
E3 = o, I心劝＝言 |11〉— 言 |l — l〉
)
( 0 1 ）( 1
/0
』 ( l ) ＿ 1 ) z 0 \— O —\ 1
』 （ l ） ＿ （ O1 ＿ a ( 1 )
＼\ _ | ／
： 5^
^ 5
/Qx @@ )) ＿ ＿a3 5
＿＿
” ｀ l 1 ） ＿ _h 2 ( x a ( l ） Q ( 2)+ 6 ^ 凶1 ) a 位 乌门 2 -iw- ( 3 （ 1 ) a （ 2 ） + 3 ( 2 ) Q （ 2 门
3求平均值<Sx>随t变化的关系式；
4求平均值<Sz>随t变化的关系式；
5求<Sz>与波函数的周期。
提示：炉和Sz的共同本征态为 Xoo =言［a（1)队2) — f3(1)a(2)] � X11 = a(1)a(2)
X10 =言［a（1)队2) + /3(1)a(2)] � Xi-1 = /3(1)/3(2)
E4 =0, I心4〉= |00〉
t>O 时，
1心 (t)〉＝区
t
Cne-iEn /n
I 釭〉，
1心 (0)〉＝ |11〉
n=l

大学物理第四版(马文蔚)量子物理习题

大学物理第四版(马文蔚)量子物理习题

05 习题答案与解析
波函数与概率幅答案与解析
总结词
理解波函数与概率幅的概念是解决量子物理问题的关键。
详细描述
波函数是描述粒子状态的函数，它包含了粒子在空间中位置和动量的信息。概率幅则用于描述粒子在某个位置出 现的概率大小，其绝对值的平方等于粒子在该位置出现的概率。在解题过程中，需要正确理解和运用波函数与概 率幅的性质，如波函数的叠加原理、概率幅的归一化条件等。
波函数
描述微观粒子状态的函数，其模平方表示粒子在某一时刻出现在 某一位置的概率幅。
概率幅
波函数的模平方，表示粒子出现在某一位置的概率大小。
波函数的性质
单值、有限、平方可积，是粒子状态的完整描述。
薛定谔方程
01
02
03
薛定谔方程
描述微观粒子运动状态的 偏微分方程，是量子力学 的基本方程之一。
薛定谔方程的形式
详细描述
这类题目通常涉及薛定谔方程的推导、理解和应用。需要 掌握薛定谔方程的物理意义，理解其在描述粒子运动时的 适用范围和局限性。
解析过程
首先根据题意写出薛定谔方程，然后根据初始条件和边界条 件求解方程，得出波函数Ψ(x,t)的表达式。
算符与力学量习题
理解算符和力学量的概念及其运算规则是解决这类题 目的关键。
量子物理的发展对于现代科技，如半导体技术、激光技术、量子计算等领域有着深 远的影响。
习题的重要性
01
通过习题巩固和加深对量子物理理论知识的理解。
02
培养解决实际问题的能力，提高分析问题和解决问题的能力 。
03
检验学习效果，发现学习中存在的问题和不足，促进学习的 进步。
02 量子物理基础知识
波函数与概率幅

北京师范大学考研物理2018年量子力学

北京师范大学考研物理2018年量子力学

能量本征函数的形式。提示：可以选取力学量完全集为(Hˆ , pˆx),谐振子的能量本征函数
可写为NnHn(αx)exp(−
α2 x2 2
)，其中α
=
mw h¯
。
参考公式 泡利矩阵：
01 σˆx =
10
0 −i σˆy =
i0
10 σˆz =
0 −1
积分公式：
∞
x4
π
0 (1 + x2)4 dx = 32
=
i¯h
∂
ψ(p,t) ∂t
，
其中∇2p
=
∂ ∂px
+
∂ ∂py
+
∂ ∂pz
，a为常数，求势能函数V
(r)。
2.
(30)
已知一维粒子的哈密顿量Hˆ
=
pˆ2 2m
+
1 2
mw2x2
+
αpˆ(α为常数)，求出粒子的能
级。（提示：此题可在动量表象下计算）
3.
(30) 氢原子的基态波函数为ψ(r) = √ 1
北师大2018年量子力学
1. (30)
(1) 算符Aˆ,Bˆ的对易满足[Aˆ, Bˆ] = kBˆ,k为常数，如果ψ是Aˆ的本征函数，证明Bˆψ是Aˆ的 本征函数。
(2) 若Aˆ为厄米算符，证明Aˆ2的平均值为非负实数。
(3)
一个质量为m的粒
子满足动
量空间的
薛定谔方程:(
|p|2 2m
− a∇2p)ψ(p, t)
e−
r a
。
πa3
(1) 求动量空间波函数ψ(p)。
(2) 计算基态动能的期望值。
4.
(30)

【大学物理bjtu】量子-4

【大学物理bjtu】量子-4

x
三 隧道效应的应用 核的衰变,隧道二极管，金属场致发射… 1. 核的衰变
238
不稳定的重原子核自发放射一个 U 粒子而转变为另一种核的过程
4
U
234
Th + He
35MeV
E 4.25MeV
通过 隧道效应出来
对不同的核算出的衰变 概率和实验一致。
0 R
2. 在有势场中粒子的含时薛定谔方程
3．在有势场中粒子定态薛定谔方程
2 2 ( r ) U ( r ) ( r ) E ( r ) 2m
U(x) U 0
Ψ ( x, t ) (x) e
i
Et
U0
U
势函数U与时间无关
0
a
x
Ⅰ区
0
Ⅱ区
x
Ⅰ 区
Ⅱ 0 a 区
Ⅲ 区
x
有可能使得E U 0 E
势垒穿透
课堂提问:
U(x) U0 Ⅰ Ⅱ Ⅲ O d
[D]
一矩形势垒如图所示，设U0和d都不很 大．在Ⅰ区中向右运动的微观粒子能 量为E 。
(A)如果E > U0，可全部穿透势垒Ⅱ进入 Ⅲ区; (B)如果E < U0，都将受到x = 0处势垒 壁的反射， 不可能进入Ⅱ区; (C)如果E < U0，都不可能穿透势垒Ⅱ进 入Ⅲ区． (D) 如果E﹤U0，有一定概率穿透势垒 Ⅱ进入Ⅲ区．
物质波的波函数 是描述 * 玻恩的统计解释： 粒子在空间概率分布的“概 率振幅”. 在某一时刻、空间某一地点,粒子出现的概率正比于该 时刻、该地点波函数(概率幅)的平方. * 2 概率密度 Ψ (r ,t ) Ψ (r , t ) Ψ (r , t )
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北京师范大学2017年硕士研究生考试
量子力学试题
一、选择题（不定项选择，多选少选错选均不得分）
1.若A B 是厄米算符，则以下比为厄米算符的有
A.AB
B.A+B
C.[A,B]
D.i[A,B]
2.若A 为厄米算符，则
A.〉〈=〉〈ψϕϕψ||||A A
B.*
||||〉〈=〉〈ψϕϕψA A C.A 的本征值必为实数 D.A 的表示矩阵比为对称矩阵
3.质量为m ，频率为ω的二维谐振子某能级简并度为3，则该能级的能量为
A.ω
B.ω 2
C.ω 3
D.ω
44.三维粒子波函数的量纲是（L 代表长度量纲）
A.无量纲
B.L
C.L -1
D.L
-3/25.对处于中心立场中的粒子进行测量；哪些量的平均值不随时间变化
A.l 2
B.L z
C.R
D.P X
6.考虑自旋后，电子的二分量波函数可表示为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-+)()(r r r S Z ψψψ），（，其归一化条件为A.
1||||2323==⎰⎰-+ψψr d r d B.1||||223=+-+⎰ψψr d C.21||||2323==⎰⎰-+ψψr d r d D.1||23=+-+⎰
ψψr d 证明题微信搜索：34310531欢迎关注：物理轻松学
1.质量为m 的粒子在一维势场中运动，证明：
x p p x m x ˆˆˆˆ1ˆdt d 2+=，
其中表示平均值。

2.已知A、B 为厄米算符，且满足AB+BA=0，如果Ψ为A 的本征值，且求本征值不为0，证明：在Ψ态下测量B 的平均值为0。

三、氚为质量数为3的氢原子，β衰变后成为He +离子。

设衰变前电子处于基态，计算衰变后电子处于1s 态及2s 态的概率各为多少。

提示：可将衰变视为突发微扰；氢原子或类氢离子径向波函数2
/r 2/310e 2/a 2Z R -=）（a 2/r 2/310e 2/a 62r Z Z R -=）
（其中22e a μ =，Z 为核电荷数。

四、定义）
，（ϕθ=n ˆ方向的角动量l n ⋅=ˆln 。

设一个粒子处于角动量平方l 2和z 分量lz 的共同本征态Y lm ，请计算l n 的期望值。

五、一个质量为m 的电子在半径为R 的球面上运动，其能量包括转动动能和自旋与轨道角
动量耦合能s l ⋅γ，设初始时刻电子处于2/111-x Y 态（Y 11是球谐函数，x -1/2表示自旋为-z 方
向）
①求角动量量子数1=l 的能量本征态及能级。

②求出电子运动状态的时间演化。

③计算期望值S z 的时间演化。

提示：2
1
21
,1121212
1,11211,1,+=+=⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛
++--
+=+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎰⎰++m m l j Y Y m l m l l jm m m l j Y Y m l m l
l jm j m l lm j l j m l lm j l。