一道高考压轴题探究过程的真实记录
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所围成的三角形面积为定值, 并求这个定值. 证明 易知曲线 f ( x ) 在点 P (x 0, y 0 ) 处的切 线方程 1 b ) = ( a2 ) (x - x0 ), bx0 - c ( bx 0 - c ) 得 得 y= x= abc x 0 + 2b - a c b bx 0 - c
2
为 y = 3. 有两层涵义:
列方程组, 解出 a, b. 再 由 a, b 1 . 这里限定 a, b x- 1 确定.
Z 即可 确定 f ( x ) = x + 使函数解析 式唯一 便于后 续的分
在任一点 P ( x 0, y 0 )处 的切线与直线 x =
c 和直线 y = ax b
Z 的作用有:
参考文献
而坐标原点到切线的距离 d = 1 2 2 a y0 + b x0 ab
4 2 4 2 4
a y0 + b x 0 S= 注 P (x 0, y0 ) 4 其它尝试 例 4 探究函数 f ( x ) = x + a b
2 2 2 4 2
a y0 + b x0
= ab .
由 本 题 证 明 容 易 得 出 弦 EF 的 中 点 恰 好 为
2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 x=
2 = ab, ab x= 或 y= 2a , 2 2b . 2
= 又
4a b ( a y 0 + b x 0 ) ( b x0 - a y0 )
2 2 2 2 2
当 . 注 y=
时, Sm in = ab.
b x0 - a y0 = a b , EF = 2 a y0 + b x 0 . ab a b
科学技术出版社 , 第一版 ( 收稿日期 : 20- a c ac b ( bx 0 - c) b 2b b ( bx 0 - c)
2bx0 - c c b b
2bx 0 - c c 2 = b b b
以 上 曲 线 可 进 一 步 推 广 为 f ( x ) = ax - d + 0 ), 其结论保持不变.
为了节约篇幅, 本文略去第 ( 3) 问的解析 (详细
解答可参考例 2). 该题最引人注目 的地方应 该在第 ( 3) 问, 定 值 从 何而来? 为何选择直线 x = 1 和直线 y = x? 他们 有何特
1 , ( a, b, c, d 为常数, 且 b bx - c 3 发散思维
至此, 我们对例 1 第 ( 3) 问已经有了一 个较为全面、
解题研究
( 2010 年第 2 期
高 中版 )
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深刻 的认 识, 马上 又有 一个问 题跳 入我们 的脑海: 其它 类型的函数或曲线还有没有 类似的性质 呢? 抓住 渐近 线 这个关键, 我们首先想到 双曲线 . x y 例 3 证明: 曲线 C: 2 - 2 = 1上任一 点 P ( x0, y 0 ) a b 处的切线与两条渐近线所围 成的三角 形面积 为定值, 并 求这个定值. 证明 利用 性 质: 曲 线 C: x y - 2 = 1 上任 一 点 P a2 b
2
2
2
处的切线方程为
+
2
y0 y b
= 1,
2
由
令 x = 0, 得 y = S= 1 2 b y0 x0 a
2 2 2
b a , 令 y = 0, 得 x = , y0 x0 a 1 a b = . x0 2 x 0 y0 + y0 b
2 2 2 2 2
同理可得切线与另外一条渐进线的交点坐标为 x= y= a b , bx0 + ay 0 - ab . bx0 + ay 0
4 2 2 2 4 2 4 2 4 2
2
( 1 )椭圆 并没有 渐近 线, 但研 究椭圆 在任 意一
点处的切线与 其对 称轴 所围 成的 三角形 面积 也很 有探 究价值. ( 2 ) 通过 本 例探 究, 我们 发 现椭 圆 在任 一 点 P , (x 0, y0 ) 处的切线与坐标 轴所围成 的三角 形面积 并非定 值, 但它有最小值. 在波利亚解题思想的指导下, 我们进行了以上思考与 探索, 本文的记录也是忠实于思考轨迹的 原生态的东西. 在实施新课程的当下, 我们认为这样的探究, 无论对学生, 还是对教师, 都更能体现数学的教育与文化价值.
2
x y + 2 = 1 与 坐标 2 a b
x0 x y0 y (x 0, y0 ) 处的切线为 2 - 2 = 1, a b x0 x y0 y , 2 = 1 2 b a y= b x, a x= 得 y= a b , bx 0 - ay0 ab . bx 0 - ay0
2 2
x y 2 + 2 = 1上 任一 点 P ( x 0, y 0 ) a b
马文杰
罗增儒
定值 能否推广到其它的 函数或曲线?
殊的数学涵义? 1 初步猜想
正是这些 好念头 促使我们进行以下思考.
由例 1的解答可知 f ( x ) = x +
1 . 联系 函数 图象 x- 1
易知直线 x = 1 和直 线 y = x 正好 是该 函数 的 两条 渐进 线, 以上现象是一种巧合? 还是有一 定道理? 先 选择一 个特殊函数进行验证. 我们先后举了 2个特殊函数 ( 1) 函数 f ( x ) = 1 + x- 1
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( 2010 年第 2 期
高中版 )
解题研究
一道高考压轴题探究过程的真实记录
710062 陕西师范大学数科院
在波利亚 解题 理论 的 指导 下, 我 们 对 2008 年 宁夏 卷理科第 21 题 ( 尤其第 ( 3 )问 )进行了多角度、 全方位的 思考与探索. 我们的视野并未停 留在题 目的解答 等浅表 的层面上, 而是在更广阔的背景 下挖掘 题目背后 隐藏的 东西. 现将我们探索之路记录如下: 例 1 ( 2008年宁夏理 )设函数 f ( x ) = ax + 1 ( a, x+ b
b Z ), 曲线 y = f (x ) 在点 ( 2 , f ( 2 ) )处的切线 方程为 y = 3. ( 1 )求 y = f ( x )的解析式; ( 2 )证明: 曲线 y = f ( x ) 的图 像是 一个 中 心对 称图 形, 并求其对称中心; ( 3 )证明: 曲线 y = f ( x )上 任一点的 切线与直 线 x = 1 和直线 y = x 所 围 三角 形 的面 积 为定 值, 并求 出 此定 值. 解析 曲线 y = f (x ) 在点 ( 2, f ( 2 ) ) 处的切 线方程 f ( 2) = 3 ; f ( 2) = 0 , 椐此可
使函数解析式形式 简单, 美观.
析、 解答. ( 2 )法 1 易知 g ( x ) = x + 原点对称. 而 f ( x ) = x - 1+ 1 + 1的 图像可 由 g (x ) 的图像 x- 1 1 是奇函数, 其图像关于 x
为 y - ( ax 0 + 令 x=
c , b
令 y = ax, S = = 注 1 2 1 2
2 2 2 2
S= 关.
9 , 并 不是 定 值, 与 点 P ( x0, y 0 ) 的 横 坐 标有 4 x0 - 2
2 2
例 5 探究曲线
x y , b > 0 ) 上任 一点 2 + 2 = 1( a > 0 a b
2 2
P (x 0, y0 ) 处的切线与 两坐 标 轴所 围成 的三 角 形面 积是 否为定值? (注: P (x 0, y 0 ) 不 取曲 线 轴的交点 ) 解 利用性质曲 线 x0 x a
1 2在 任一点 P (x 0, (x - 2)
1 罗增儒 . 数学解 题学引 论 M 陕西师 范大学 出版 社 , 2001, 7, 2( 第二版 ) 2 美 乔治 现 波利亚 . 刘景麟 , 曹 之江 , 邹清 莲译 数学的发
y 0 )处的切线与直线 x = 2 和直 线 y = x 所围 成的 三角形 面积是否为定值? 注 用与前面例题类似 的方法处 理, 可以得 出面积
1, ( 2) 函数 f (x ) = 2x +
1 . 它们都无一例 外地表明我 3x - 2
们的猜想是正确的, 即以上函数 都满足 在任意一 点处的 切线与两条渐近线所围成的 三角形面 积为定 值, 这无疑 极大地鼓舞了我们继续向前迈进. 2 初步推广 例 2 曲线 f (x ) = ax + 1 ( a, b, c 为常 数, b bx - c 0)
2 2
又因为 1= 1 x0 y 0 S
2 2
=
x0 a
2
2
+
y0 b
2
2
2
x 0 y0 , ab
2 , ab a b 2a , 2 2b , 2
2 2
切线与两条渐进线的交点记为 E, F. 则 EF = ( a b a b ab ab ) + ( + ) bx 0 - ay 0 bx 0 + ay 0 bx0 - ay0 bx0 + ay0
2bx 0 - c . b
2
按向量 a = ( 1, 1)平移而得, 故 f ( x )的图像关于点 ( 1, 1 ) 对称. 法 2 第 ( 2 ) 问 还可 利用 性 质 函 f ( x ) 图像 关 于点 ( a, b) 对称 注 f ( 2a - x ) + f (x ) = 2b 进行证明.
