0—1分布在解概率论与数理统计题中的应用摘要:10-分布是0-分布研究的是一个随机试验,它只有两个可能结果.1二项分布的特例,二项分布是10-分布的推广且二项分布的极限分布是正态分布.首先本文给出了10-分布在解概率论与数0-分布的定义和性质,然后探讨了1理统计题中的应用,最后得到了在10-分布中不相关和独立是等价的.关键词:10-分布; 数学期望; 相关系数; 参数估计引言随着科学的发展,数学在生活中的应用越来越广,生活的数学无处不在.而概率作为数学的一个重要部分,同样也在发挥着越来越广泛的用处.而基于概率统计在我们的生活中几乎无处不在,学好概率尤其是能够将学习的概率统计应用于实践中对我们来说确实是较困难而又受益非浅的事啊.很多随机试验的样本空间S只有两个结果,记为A与A,因此我们在处理一些实际问题时常常引入服从X使问题变得简单,任何一个只有两种结果的随机现象, 0(-分布的随机变量)1i都可以用)10(-分布来描述.很多文献对)10(-分布在解概率论与数理统计题中的应用进行了不同程度的讨论,文献[2]给出了)10(-0(-分布的定义,文献[4][7]和[10]给出了有关)1分布的性质,文献[2][3][4]和[8]探讨了)10(-分布在解概率论与数理统计题中的应用,得到了它在求解概率、数学期望与方差、相关系数、以及参数估计量中的作用,教会了我们如何巧妙地引入)10(-分布分布来解决问题.本文在上述文献的基础上,给出了)10(-分布在求数学期望和方差的应用,探讨了有关)10(-变量让随机事0(-分布的相关系数与相互独立的关系,利用)1件和随机变量联系起来,以及给出了)10(-分布在中心极限定理和统计推断的应用,其中在探讨了有关)10(-分布的相关系数与相互独立的关系中我们可以得到不相关与独立是等价的,具有一定的理论意义和实践意义.1.0-1分布的定义[2]设随机变量X 只可能取0与1两个值,它的分布律是{}，，)10(1,0)1(1<<=-==-p k p p k X P k k 则称X 服从)10(-分布或两点分布或伯努利分布.)10(-分布的分布律也可写成2.0-1分布的性质性质 2.1 期望和方差[10]设),1(~p b X ,则p X E =)(,)1()(p p X D -=.性质 2.2 可加性[7]设),1(~p b X ,),1(~p b Y ,且X 与Y 相互独立,则),2(~p b Y X Z +=. 性质 2.3 矩估计[4]设总体),1(~p b X ,p 未知.n X X X ,,,21 是来自X 的样本,则X p=ˆ. 3.0—1分布在解概率论与数理统计题中的应用3.1 0—1分布在求数学期望和方差中的应用期望在我们日常生活中常指有根据的希望,而在概率论中，数学期望却源于历史上一个著名的分赌本问题,通过解决此问题我们看到了它在概率统计中的地位,方差则是用来描述随机变量取值的集中与分散程度[2],它在现实生活中的应用也是很广泛的.而对于离散型随机变量的数学期望和方差的求解一般是先求其分布列,然后按照定义计算.但是对于有些随机变量的分布列不容易求出,有些还要判断其数学期望和方差是否存在,计算过程往往比较复杂.这就要求我们借助中间变量来求解数学期望和方差,由于)10(-分布描述的是只有两个结果的随机试验,而在现实生活中很多随机试验我们都可以直接或间接地把它看作服从)10(-分布,进而转化成求多个独立同分布或同分布的数学期望和方差,我们知道)10(-分布的数学期望和方差都是容易求出的.因此,我们可以借助)10(-分布X 0 1 k Pp -1 p来解决复杂的随机变量的数学期望和方差.例1 一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X 表示停车的次数,求)(X E (设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立).解 引入随机变量10,,2,1,,1,0 =⎩⎨⎧=i i i X i 站有人下车在第站没有人下车在第.易知1021X X X X +++= .现在来求)(X E .按题意,任一旅客在第i 站不下车的概率为109,因此20位都不在第i 站下车的概率为20)109(,在第i 站有人下车的概率为20)109(1-,也就是 {}20)109(0==i X P ,{}20)109(11-==i X P ,10,,2,1 =i . 由此20)109(1)(-=i X E ,10,,2,1 =i . 进而 ．次)(784.8)109(110)()()()()(2010211021=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+++=+++=X E X E X E X X X E X E例2 设随机变量),(~p n b Y ,求)(Y E ,)(Y D .解 由二项分布的定义知,随机变量Y 是n 重伯努利试验中事件A 发生的次数,且在每次试验中A 发生的概率为p .引入随机变量:n k k A k A X k ,,2,1,0,1 =⎩⎨⎧=，次试验不发生在第次试验发生在第.易知n X X X Y +++= 21,(1)由于k X 只依赖于第k 次试验,而各次试验相互独立,于是n X X X ,,,21 相互独立,又知k X ,n k ,,2,1 =服从同一)10(-分布:(1)式表明以n ,p 为参数的二项分布变量,可分解成为n 个相互独立且都服从以p 为参数的)10(-分布的随机变量之和.易知p X E k =)(,)1()(p p X D k -=,n k ,,2,1 =.故np X E X E Y E nk k n k k ===∑∑==11)()()(.又由于n X X X ,,,21 相互独立,得)1()()()(11p np X D X D Y D nk k n k k -===∑∑==.即)1()(,)(p np Y D np Y E -==.例3 将n 个球)~1(号n 随机地放进n 只盒子)~1(号n 中去,一只盒子装一只球.若一只球装入与球同号的盒子中,称为一个配对,记X 为总的配对数,求)(X E .解 设n i i i X i ,,2,101 =⎩⎨⎧=，个不配对第，个球配对第，. 则n X X X X +++= 21. k X 0 1 k P p -1 p因为将n 只球随机地放进n 只盒子,可作为n 只球进行全排列为!n ,第i 只球放进第i 号盒子,剩余的)1(-n 只球进行全排列,有)!1(-n ,故i X 的分布律为:n n n X P i 1!)!1()1(=-==,nX P i 11)0(-==. 则 {}n X P X E i i 11)(===,n i ,,2,1 =. 所以11)()()()(21=⨯=+++=nn X E X E X E X E n . 例4 若有n 把看上去样子相同的钥匙,其中只有一把能打开门上的锁,用它们去试门上的锁,设取到每只钥匙是等可能的.若每把钥匙试开一次后除去,试求试开次数X 的数学期望.解 设随机变量⎩⎨⎧--=把钥匙中有一把能打开前开把钥匙中没有一把能打前)1(,0)1(,1i i X i ,n i ,,3,2 =. 则∑=+=ni i X X X 21,因为1)(1=X E ,{}ni n i n i n n n n n X P i 1)2()1(1211+-=----⋅⋅⋅--⋅-==,n i ,,3,2 =. {}n i n X P X E i i 111)(+-==⨯=,n i ,,3,2 =. 所以2111)()()(221+=+-+=+=∑∑==n n i n X E X E X E n i n i i . 例5 一台设备由三大部件构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立,以X 表示同时需要调整的部件数,试求X 的数学期望)(X E 与方差)(X D .解 设随机变量⎩⎨⎧=否则个部件需要调整第,0,1i X i ,3,2,1=i . 由题意321,,X X X 相互独立,均服从)10(-分布,且321X X X X ++=.则{}10.01)(11===X P X E ,{}{}09.001)(111==⨯==X P X P X D .{}20.01)(22===X P X E ,{}{}16.001)(222==⨯==X P X P X D .{}30.01)(33===X P X E ,{}{}21.001)(333==⨯==X P X P X D .所以．60.030.020.010.0)()()()(321=++=++=X E X E X E X E．46.021.016.009.0)()()()(321=++=++=X D X D X D X D 3.2 探讨有关0—1分布的相关系数与相互独立的关系设随机变量X ,Y 的相关系数XY ρ存在.当X 和Y 相互独立时,有数学期望的性质)()()(Y E X E XY E =及)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=知0),(=Y X Cov ,从而0=XY ρ,即X ,Y 不相关.反之,若X ,Y 不相关,X 和Y 却不一定相互独立[1].我们知道在二维正态分布中,不相关与独立是等价的,那么若X ,Y 都服从)10(-分布,结论如何？下面我们就给出证明.例 6 设A 和B 是试验E 的两个事件,且0)(>A P ,0)(>B P ,并定义随机变量X ,Y 如下:⎩⎨⎧=⎩⎨⎧=不发生若发生若不发生若发生若B B Y A A X ,0,1,,0,1证明若0=XY ρ,则X 和Y 必定相互独立.证明 设X ,Y 的分布律为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-)(1)(10~A P A P X ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-)(1)(10~B P B P Y . 于是XY 也只能取0及1这两个值,从而)()(1))(1(0)(A P A P A P X E =⨯+-⨯=,同理)()(B P Y E =,{}1,1)(===Y X P XY E .由于0=XY ρ,则0),(=Y X Cov ,即)()()(Y E X E XY E =.从而)1()1()1,1(=====Y P X P Y X P．)1()0()0()1())1(1()1()1()1()1()1,1()1()1,0(=======-====-====-====Y P X P X P Y P X P P Y P Y P X P Y P Y X P Y P Y X P同理可证)0()0()0,0(=====Y P X P Y X P .)0()1()0,1(=====Y P X P Y X P . 所以 X 和Y 必定相互独立.分析 通过上述证明,我们可以得到:不仅在二维正态分布中不相关与独立是等价的,在)10(-分布中不相关和独立也是等价的.此结论可以启发我们对二项分布中不相关和独立是否等价进行探究,具有一定的理论意义.3.3 探讨随机事件与随机变量的联系我们知道随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件,用来表示随机现象结果的变量称为随机变量[2].对于一个随机事件A 它有两种潜在的可能:要么发生要么不发生,它代表了两种可能的结果,这让我们很容易想到)10(-分布.一般地,如果A 是某个随机事件,则可通过如下示性函数使它与数值发生联系⎩⎨⎧=发生若发生若A A X ,0,1 [8],这就是通过引入)10(-分布来实现随机事件与随机变量的转化.它启发了我们在解某些概率统计的题中可以利用)10(-变量来解决一些问题.例7 对于任意两事件A 和B ,1)(0<<A P ,1)(0<<B P ,)()()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P -=ρ称为事件A 和B 的相关系数. 利用随机变量相关系数的基本性质,证明1≤ρ.证明 定义随机变量⎩⎨⎧=出现，若不出现，若A A X ,1,0,⎩⎨⎧=出现若不出现若B B Y ,1,0. 则X ,Y 的分布律分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-)(1)(10~A P A P X ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-)(1)(10~B P B P Y . 于是)()(A P X E =,)()(B P Y E =,)()()(A P A P X D =,)()()(B P B P Y D =,)()()(),(B P A P AB P Y X Cov -=,ρρ=-==)()()()()()()()()(),(B P A P B P A P B P A P AB P Y D X D Y X Cov XY .即事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数,由随机变量相关系数的基本性质知1≤ρ.3.4 0—1分布在中心极限定理与统计推断中的应用伯努利大数定理表明事件发生的频率nn A 依概率收敛于事件的概率p .在实际应用中,当试验次数n 很大时,可以用事件发生的频率来代替事件的概率[1].而)10(-分布的数学期望刚好等于事件发生的概率,那么我们可以用)10(-分布的数学期望来代替事件发生的频率.林德贝格-列维中心极限定理表明独立同分布随机变量之和∑=nk k X 1,当n 充分大时近似的服从正态分布[1].当我们在求解某些关于二项分布中心极限定理问题时，若不能直接利用棣莫弗-拉普拉斯定理时，我们可以利用二项分布与)10(-分布的关系,将二项分布分解成n 个独立服从同一)10(-分布之和，再利用林德贝格-列维中心极限定理求解.我们还可以得到若一来自)10(-分布的样本n X X X ,,,21 ,当样本容量n 很大时,)1(1p np npX n i i --∑=近似的服从)1,0(N 分布,而有关正态分布的区间估计问题都是很容易求出的,我们可以利用此结论来求)10(-分布参数的区间估计.例8 一复杂系统由100个相互独立起作用的部件所组成.在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10.为了使整个系统起作用,至少必须有85个部件正常工作,求整个系统起作用的概率.解 引入随机变量⎩⎨⎧=个元件不能正常工作若第个元件正常工作若第i i X i ,0,1,100,,2,1 =i . 随机变量i X 的分布律为易知 09.0)(9.0)(==i i X D X E ，.由题意知,10021,,,X X X 独立同分布,则)9.0,100(~1001B Xi i ∑=.根据林德贝格-列维中心极限定理,952.0)35(1390851.09.0100908510011001≈-Φ-≈⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥⨯⨯-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑∑==i i i i X P X P . 例9 从1批含有次品的产品中随机抽取85件,发现2件次品,试估计次品率.解 引入随机变量⎩⎨⎧=次抽取出正品第次抽取出次品第i i X i ,0,1,85,,2,1 =i . 设总体X 的次品率为p ,则总体X 的分布律为由矩估计知,x p X E ==)(,解得∑====n i i x n x p 18521ˆ. 例10 工厂生产的某产品次品率不超过5%才能出产.今抽检100件产品,发现次品4件,问这批产品能否出厂？要求检验结果具有95%的可信度.解 令⎩⎨⎧=检验不合格检验合格,1,0X . i X 0 1 P .09.0 X 0 1 Pp -1 p则总体),1(~p b X ,因为p X E =)(,所以的置信区间为的α-1p⎪⎪⎭⎫+ ⎝⎛-22ααZ n S X Z n S X ，.由于100=n ,04.0=X ,96.1025.02==Z Z α,又因X X =2,故()0384.01122122=-=-=-=∑=X X X X X X n S n i i . 求得p 的95%置信区间为)0786.0,0014.0(.由于置信上限%50786.0>,故这批产品不能出产.结束语0—1分布是一种重要的离散型随机变量的分布，以上我们通过四个方面的应用看到了它在求解概率、数学期望与方差、相关系数、以及参数估计量中的作用.事实是它在解概率论与数理统计题中的应用不止我们以上涉及的几个方面.在解题中，如何巧妙地引入0—1分布来解决问题是一种重要的方法和技巧,也是很多考试题目的考点，但是往往学生在解题时对0—1分布并没有足够的重视.希望本文能对解概率统计题的朋友们提供一些有益的帮助,开拓解题的思路.由于本人的能力有限未能给出在二项分布中不相关与独立是否是等价的，这也是本文的一大遗憾,希望读者能够给出证明.参考文献[1] 茆诗松,程依明,濮晓龙等.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2004,7.[2] 盛骤,谢式千,潘承毅等.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2001,12.[3] 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