吉林省实验中学高三数学专题复习（7） 命题人：施丽娜
1 数 形 结 合
一．选择题
1．设A、B、I均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中错误的是 （ ）
A．（∁IA）B＝I B．（∁IA）（∁IB）＝I
C．A∁IB＝ D．（∁IA）（∁IB）＝∁IB
2．设函数0,10,00,1)(xxxxf，)1()(2xfxxg，则函数)(xg的递减区间是 （ ）
A．0, B．1,0 C．,1 D．0,1
3．M是y2＝x上的动点，N是圆（x＋1）2＋（y－4）2＝1关于直线x－y＋1＝0的对称曲线C上的一点，则|MN|的最小值是 （ ）
A．211－1 B．210－1 C．2 D．3－1
4．若不等式x2－logax＜0在（0，21）内恒成立，则a的取值范围是 （ ）
A．161≤a＜1 B．0＜a＜161 C．0＜a＜1 D．a＞1
5．使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是 （ ）
A．4,43 B．2,2 C．43,4 D．,0
6．已知点P是抛物线y2＝4x上的点，设点P到抛物线的准线的距离为d1，到圆
（x＋3）2＋（y－3）2＝1上一动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值是 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．32＋1
7．若过定点M（－1，0）且斜率为k的直线和圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是 （ ）
专题27 数形结合
阅读与思考
数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系来研究图形性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想.
数形结合有下列若干途径：
1．借助于平面直角坐标系解代数问题；
2．借助于图形、图表解代数问题；
3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题；
4．借助于函数解几何问题.
现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能.
代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一大进步．
例题与求解
【例l】设1342222xxxxy，则y的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题）
解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．921122xxy＝
2222302101xx，于是问题转化为：在x轴上求一点C(x，0)，使它到两点A（－1，1）和B(2，3)的距离之和（即CA＋CB）最小.
【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x厘米，面积是x平方厘米，这样的直角三角形 ( )
A．不存在 B．至多1个 C．有4个 D．有2个
六年级上册《数学广角——数形结合》评课稿
数形结合是人教版六年级上册第八单元数学广角的内容，是新教材新增加的内容，也是学生一直比较难理解的内容。数形结合思想可以说涉及数学学科的各个领域，本课内容主要是通过发现规律解决问题帮助学生建立数形结合的数学思想，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助教”或“以数解形”，使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而优化教学效果。在这次国培中听了张老师授出的这节课后收获很多，感触很多。
首先，张老师在引导学生自主探索规律、应用规律，培养学生合作交流、抽象概括的能力方面做得很细致。一步一步的引导学生探究，先在利用多媒体课件操作，发现规律，再小组合作讨论规律，让学生用自己的语言一步一步的描述对规律的感悟，学生的收获是很大的。
其次，全程借助多媒体，使抽象的概念直观的展示在学生的眼前。在本节课中多媒体课件的运用可以说是大大提高了教学的效率节约教学时间，扩大了教学容量。在例题1中，让学生计算连续奇数的和，如果不借助图形，不借助多媒体课件学生只能停留在模糊的计算中，而无法体会到数形结合的奇妙。老师通过多媒体课件把图与式对应起来，更具直观性，更能让学生体会到数学之美。图中有的规律显而易见（每个图都是一个大的正方形，第n个正方形图中每行、每列都有n个小正方形，因此，小正方形总数是n2）,有的规律相对比较隐蔽(从左下角到右上角，每个“┓”形的小正方形数分别是1，3，5，7，„)。每个图中都“隐藏”着一个等式，如第n个图中的等式就是1+3+5+„+（2n-1）=n2。
第三，用微课的形式把小学阶段所有用数形结合思想解决问题的知识点都链接起来，让学生深刻体会“形”的问题中包含着“数”的规律，“数”的问题也可以用“形”来帮助解决。教师在教学时教学时，通过多媒体课件的展示，学生的自主探究、合作交流，充分利用图形的直观、形象特点，用图形来表示数的规律性，感受化数为形的简捷性；又要让学生寻找图形中所包含的数的规律，用数（或代数式）来表示图形，建立模式，感受用数或者代数式表示的概括性。这节课，张老师让学生在解决问题的过程体会到数与形的完美结合，并逐步培养学生的抽象概括能力，值得我在今后的教学中借鉴。
问题的提出（理论意义和实践意义）；核心概念界定；国内外相关研究状况；研究目标、研究内容、研究方法、研究的创新点等。（可加页）
一、问题的提出（理论意义和实践意义）
数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。数形结合在数学解题中有重要的指导意义，这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，即数量问题和图象性质是可以相互转化的，这不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。长期以来，在教学中数学知识是一条明线，得到数学教师的重视；数学思想方法是一条暗线，容易被教师所忽视。
在我们的小学数学教学中，如果教师能有意识地运用数形结合思想来设计教学，那将非常有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。“数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略，对学生来说是一种学习方法，如果长期渗透，运用恰当，则会使学生形成良好的数学意识和思想，长期稳固地作用于学生的数学学习生涯中。作为一线教师，如何系统的运用数形结合思想进行数学教学，是我们面临的一个极富实践价值的重要课题。
所以本次想通过数形结合的思想来提高学生解决数学问题的能力，并对此进行针对性的研究。通过组织、实施本课题的研究，提高教师对数形结合思想的理解，加深对教材中数形结合思想的分析能力。在平时的教学中，时刻注意渗透数形结合思想，提升教师自身的专业素养；通过组织、实施本课题的研究，提升学生的思维水平，提高学生应用数形结合思想解决实际问题的能力，以适应未来社会发展的需要。
二、核心概念界定：
数形结合：“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，“数”，属于数学抽象思维范畴，是人的左脑思维的产物；而“形”主要指几何图形，属于形象思维范畴，是人的右脑思维的产物。它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，化难为易，化抽象为直观。使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存、彼此激发，全面、协调、深入发展人的思维能力。
