专题：数形结合思想

教学信息2572015年第28期 新教师教学【考情分析】在高考题中，数形结合的题目主要出现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性题目上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。1.数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。2.数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。3.“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。4.函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。5.在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。【知识交汇】数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.。应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：数形结合思想解决的问题常有以下几种：（1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；（2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；（3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；（4）构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；（5）构建立体几何模型研究代数问题；（6）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；（7）构建方程模型，求根的个数；（8）研究图形的形状、位置关系、性质等.常见适用数形结合的两个着力点是：以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.具体操作时，应注意以下几点：（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解.这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。1.数形结合的途径（1）通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式。（2）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将a＞0与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b2－2 与余弦定理沟通，将a≥b≥c＞0且b+c＞a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。2.数形结合的原则（1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。（2）双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。（3）简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。【思维总结】（转下页）专题：数形结合思想

邹恒娟（江西省宜丰中学 江西 宜丰 336300）

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）28-0257-02教学信息258新教师教学 2015年第28期 （接上页）从目前高考“注重通法，淡化特技”的命题原则来看，对于数形结合的数学思想方法，我们在复习时，应将重点置于解析几何中图象的几何意义的重视与挖掘以及函数图象的充分利用之上即可。数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。近年来，艺术设计类专业课程在中职院校普遍开设，其中平面设计专业是艺术设计类专业的基础课程，意在培养专业艺术设计类人才，满足社会需求。目前，我国中职院校平面设计课程存在诸多问题，因此怎样提高平面设计的教学效率，让学生充分掌握平面设计专业知识，是一项时代教育课程。针对平面设计课程存在的问题，积极探讨应对策略，传统教学模式的转变，作业形式的丰富，革新教学方法，侧重于学生思维创新能力的培养，提升学生的平面艺术设计的应用能力。1.平面设计教学的意义1.1 丰富学生想象力，培养学生创造力平面设计专业对丰富学生想象力具有十分重要的作用，且有助于学生创造力的培养。敏锐的观察力、丰富的想象力、新颖的创造力是进行创作的前提，是进行平面设计的基础要求。平面设计专业学生应善于观察身边的事物，把握事物的特性，运用自己的设计技能和创造力，将感知到的事物结合自己的想象，开展艺术性的创作设计，完成平面设计。1.2 有助于学生专业特长的培养每个学生都是独立存在的个体，都具有自己的特长，在实际教学中切不可一概而论，更不能过分强调学生的文化基础课成绩，应该注重培养学生的爱好和兴趣。兴趣是开展一切学习的基础，若能够让学生根据兴趣去学习，更容易取得成功。平面设计专业对于培养学生的特长有着积极的促进作用，充分发挥学生的专业特长，为未来的发展奠定结实的基础。2.中职平面设计教学与创新2.1 教学目标的明确，教师专业水平的提升中职院校开设平面设计专业，首先应完善教学体系，健全考核机制，明确教学目标。对于平面设计人才的培养目标和培育方向必须有明确的定位，以中职院校的实际情况为基础，规划平面设计的专业分类。其次，提升中职院校平面设计教师的专业水平，教师专业水平的提升，平面设计教学的投入力度必须加强，对专业教师招聘要求也应相对提高，全面考核教师的专业水平，进行选拨。中职院校还应多为平面设计教师组织专业培训，以此提升教师的综合素养。此外，组织开展学校之间的设计交流活动，促进相互之间教学水平的提升。再次，平面设计教学的开展，必须结合学生特性，以及社会对平面设计人才的具体要求，符合社会的实际需求，满足学生的学习需要，进而开展有方向的教学活动。2.2 培养学生的创新思维能力中职院校平面设计专业的教学，首先应转变传统教学模式，注重培养学生的创新思维能力。平面设计专业思维创新能力的培养至关重要，传统的教学模式注重理论知识的传输，强化作业训练，枯燥乏味的教学模式，禁锢了学生创新性思维的发展。此外，作业训练过程中，教师通常运用传统的作业标准对学生作业进行评判，对作业的整齐度和准确度过分要求，完全忽视学生作业的创新，作业内容的创意，制约了学生创造力的形成。因此，传统教学模式必须革新，教师应指导学生利用现代工具与材料辅助学习，充分发挥创作能力。另外，教师必须充分尊重学生作业中的创意，鼓励学生自由创作，积极发挥创新思维能力。2.3 教学方法的创新，教学内容的合理设计现代信息技术的发展，多媒体技术被广泛应用到教学活动中，平面设计专业教师应充分利用多媒体技术辅助教学，整合教学资源，为学生直观展示优秀平面设计作品，拓展学生视野。此外，教师需不断革新教学方法，善于把握学生特性，改善教学方式，运用现代化的微信、微博等交流平台，展示自己的设计作品，相互品鉴、互相促进，以此调动学生的学习主动性。教师还应鼓励学生参加设计创作比赛，积极向设计网站投稿，激发学生的创作热情，进而提高教学成效。教师应持续加强自身专业水平，掌握最新设计理念和设计方法提高教学质量。另外，平面设计专业教师在实际的教学过程中，应加强对实训机房的运用，强化学生的实践能力，增加实训时间，丰富教学内容，加强设计软件操作知识的传授，将设计理念与案例教学法结合教学，充分运用引导式教学方法，培养学生独立思维能力。此外，教学任务的安排，组织学生分组进行平面设计比赛，通过比赛让学生了解设计作品的完整创作过程，进一步提升学生的团队意识，培养交际能力，通过比赛得到肯定，增强学生自信，提高自我价值认同感。3.结束语总而言之，中职院校平面设计专业性质特殊，在教学方式和教学内容上应该不断改革和创新，必须摒弃传统的教学模式，转变教学观念，结合学生自身特点，灵活变通教学方式，以此调动学生的创作热情，让学生在实际作业训练中，积极主动的学习和创作，大胆创新，调动学生学习兴趣，进而深入掌握平面设计课程基础知识，为之后的专业课程学习奠定基础。着重培养学生的创新设计素养，加强实践操作能力，增强学生市场竞争力。参考文献[1]芦圆圆.中职平面设计教学中存在的问题与对策探讨[J].科学大众（科学教育），2013，12[2]王颖.关于中职平面设计教学的几点思考[J].考试周刊，2015，39[3]贺奕龙.中职平面构成课程教学改革与创新[J].电子制作，2015，08初探中职平面设计教学与创新