二次函数与图形专题 姓名：
图象型
经典例题
例1.如图，已知ABC中，BC=8，BC上的高h4，D为BC上一点，EFBC//，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x，则DEF的面积y关于x的函数的图象大致为（ ）
DO424O424O424O424AyxBCCAEFBD
例2.(2013年南京建邺区一模)矩形ABCD中，AD=8 cm，AB=6 cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位：cm2)，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的 （ ）
变式训练*举一反三
1.如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点， 且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是（ ）
2.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A． 2425yx B．225yx C．2225yx D．245yx
3．（赵州二中九年七班模拟）点E为正方形ABCD的BC边的中点，动点F在对角线AC上运动，连接BF、EF．设AF＝x，△BEF的周长为y，那么能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ） 第3题
A
B C D
4、（2012年浙江省杭州市一模） 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（ ）
1 一次函数的数形结合问题1
1. 如图1，已知函数yaxb和ykx的图象交于点P, 则根据图象可得，关于yaxbykx的二元一次
方程组的解是
。
2. 如图2，函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x＋b＞ax－3
的解集是_______________。
3. 如图3，直线ykxb经过(21)A，，(12)B，两点，则不等式122xkxb的解集为 ．
4. 如图4，直线ykxb经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组102xkxb的解集为 ．
图3
5． 如图5所示，利用函数图象回答下列问题：
（1）方程组3,2xyyx 的解为__________； （2）不等式2x>－x＋3的解集为___________；
6．一次函数bkxy（k为常数且0k）的图象如图6所示，则使0y成立的x的取值范围为 ．
图6 图8
7. 如图7, 一次函数ykxb的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点P，与y轴交于（0，3）
（1）关于x的方程kx+b=2x的解为 ． （2）不等式kx+b＞2x≥0的解集为 ．
8. 如图8，直线y=kx+b与x轴交于点（-4，0）则当y＞0时， x的取值范围是 ．
9. 一次函数1ymx与2ynx的图像相交于x轴上一点，那么:mn=___________________。
10．已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5，-8），则方程组30220xyxy的解是________．
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数形结合巧解函数问题
作者：姚圣海
来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2010年第09期
借助图象研究函数的性质是中学数学学习中的一种常用方法.著名数学家华罗庚说过:“数形结合无限好,割裂分家万事休.数无形时难生动,形无数时难入微.”数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”,即通过抽象思维与形象思维的结合,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征.本文就数形结合巧解函数问题展开讨论.
作为一种数学思想方法,数形结合的应用大致又可分为两种情形:一是借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系,二是借助于数的精确性来阐明形的某些属性.数形结合思想在函数问题中的应用主要侧重于第一种应用情形,即通过“以形助数”优化解题途径.
1. 研究函数的值域或最值
例1 (1)求函数f(x)=(x-1)2+1,x∈\2x-1的定义域是(-∞,1)∪\解:(1)作出函数图像,如图1-1所示,当x∈\2x的图像,向右平移1个单位后得到y=2x-1,如图1-2所示,当x∈(-∞,1)∪\12,2\〗.
图1-1图1-2
说明:本题中两类函数,也可从自变量x出发,由内而外,步步推出函数值域,但比较繁琐.尤其是(2)中的函数,分母x-1的范围有正有负,在研究1x-1的范围时需要分情况探究.而用数形结合思想,画出函数图像,可直接观察出函数值域,大大简便了解题过程,增加了解题的准确性.
例2 设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|.
(1)解不等式f(x)>2;
(2)求函数y=f(x)的最小值.
解:函数f(x)=-x-5 x
Ｎｏ．０５．２０１３ 语数外学习 Ｙｕ Ｓｈｕ Ｗａｉ Ｘｕｅ Ｘｉ 浅谈数形结合思想解决函数问题 ２０１３年第５期 黧 一 舅鬻 关键词：数形结合；数学应用；思考方式 ’ 申圉分类号：Ｇ６。 文献标识码：Ａ 文章编号．１ ３５１（２０ｌ３】一。５一ｏｏ９６一。２ 至鍪 ！雩用数形结合思想的关键是将数字与图形之 譬关系，从而将抽象化的问题转高 篓 以丰富数学的学习内容， 笙 学习竺 罂，使得学生更加直观简洁的了解数 问 。 要 在数学学习与研究中最常见的．二 问题，因此 曼三 必须克服的难关。函数 登 曼 以懂得如何利用数形结合的 曼 妻 备的能力。往往一些 主 磊 薹 用数形结合的思想去解决就变得易如反掌了 … …… 一 霎 苎 是函数问题中最为常见，也是比较难的。难就 譬 璺 范围该如何取定，如果单凭一味的 綦 苎 窭尊 ，这时利用数形结合的方式将参釜 桌 清晰的确定参量的取值范围。方便了计算，也明确子磁 ： 例１：已知函数，（１）＝ｌｌｇｚｌ，Ｏ＜ｔ￣＜ｌＯ。，若 ， ， 互不相等， ｕ 厂（ ）＝ ｖ）＝ 素ｍ 确信蒲田 解析 们很容易 们可以知
图Ｉ ，从题中我 ）＝ Ｙ）我
二、利用函数模型求极值问题 、 鳘 问题，不少的同学找不到合适的办法，只能 苎 兰最 堂结果，但是计算量可想孟 ：。 结合的方法便可以很直观的标示出函数的最值。 一…一一 例２：求解函数），＝ 麓 的最大值和最小值。 由于切线过定点 （一６，一４），则一４＝一６ｌ±ｖ／ 所 ６ 因此－ｌ～ ６ ＋Ｖ６，ｚ ＝ １６ ３ ｌｙ ２ ／ 、 Ｉｏ一５—４— ／２一 ０ 。ｉ 【（一６，一４） 一４ 图２
图３ ． 曼 易发现函数 ）＝ｌｇｘ与，（ ）： ｉ 在 ： 銮妻 为３个，所以函数 ）＝ｌｇｘ‘－＿ｓｌｎｘ在［ １Ｏ］上的零点的个数为３个。 ’ 翌 三 要 粤题，伴随着学生的整个中学过程，这是学生 中极为重要的部分。无论是中考 主 三 警 常雪 的考点。所以对于三角函数 苎 ．可 三角函数又是比较抽象的，所以 磊 毒蹙 苎曼 问题的关键就在于可以把三 妄 磊 苎 墨 容易分析其本身的性质。通常 用辜 蔷 蕃 三角函数图象来解决三角函数的问题。 一～… 作者简介：黄广言（１９７８一），男，浙江温州人，温州市第七中学，中学一级，本科，研究方向：高中数学教学研究。 ９６ 。。 涪毂外 数学教育，Ｎｏ．０５．２０１３ 语数外学习 Ｙｕ Ｓｈｕ Ｗａｉ Ｘｕｅ Ｘｉ ２０１３年第５期 例４：求方程ｓｉｎ２ｘ＝ｓｉｎｘ在区间（Ｏ，２ｑｒ）内解的个数情况。 解析：对于这样一道例题来说，直接判断方程在指定区间内 的解的个数是很难判断的。所以将Ｙ ＝ｓｉｎｘ和 ＝ｓｉｎ２ｘ图象画 出来，观察在区间（０，２－ｔｒ）内交点的个数，即为本题所要求的交点 个数，所以本题解的个数为３。 Ｊ Ｙｊ＝ｓｉｎｘ ｙ２＝ｓｉｎ２ｘ １・ ＼＼＼ ０ ． ＼入 ．１‘ 图４ 对于上一道例题，或许并没有完全的展示出数形结合思想的优 势，那么接下来这道例题，就很好的诠释了数形结合思想的好处。 数形结合就是将数与形结合在一起，使得抽象的思维和形象 的思维并存。充分的将二者之间优劣势相互互补，至此达成一种 最佳的思考方式。应用数形结合的思想可以将繁琐问题简单化， 抽象问题直观化，从而以最最明了的方式解决数学问题。 应用数形结合的方式并不是最终的目的，重在培养学生的思 维方式。在解决实际的问题时，应该时刻运用数形结合的思想。 懂得将数与形相互转换，建立一种对应关系，并且合理的应用。 学生在平时的学习中应主观锻炼自身的思维方式，灵活的运用数 形结合的思想。教师在传授数学知识的同时也应时时渗透数形 结合的思想，培养学生严谨的思维方式，同时帮助他们养成高尚 的数学素养。 参考文献： ［１］徐国央．数形结合思想在数学解题中的应用［Ｊ］．宁波教育学 院学报，２００９，（０１）． ［２］杨琴．高等数学教学中应重视数形结合思想的作用［Ｊ］．才智， ２００９，（１５）． ［３］刘雨智．浅谈数形结合在解题中的应用［Ｊ］．各界（科技与教 育），２０ｏ９，（０２）． ［４］曾剑华．浅淡数形结合在函数教学中的应用［Ｊ］．科技创新导 报，２００９，（１４）． （上接第９５页） ◇ 图１ 图２ 师：有些运算法则、公式、定理、问题，在平时看来是无误的， 但是改变了问题的背景之后，其结果却往往令人吃惊！美籍德国 数学家魏尔说：“数学是关于无限的科学。”其中有限的方面叫人 感觉具体、形象，便于我们学；而无限的知识使我们充满想象，甚 至完全不同我们所知的。 生：因此，从有限——无限，我们要改变观念、突破思维。 师：敢于突破自己的思维，是一种提高。现在我们解决无限 集的质疑。康托尔提出用一一对应的原则来比较无穷集元素的 个数，把两个集合若能建立一一对应的关系，则这样的无限集元 素个数是相同的，即称为等势。这与传统观念“全体大于部分”相 矛盾，而这恰恰是无穷集的特征。 生：因此，我们可以回答前面的问题：两个集合元素一样多， 而且集合Ｂ是集合Ａ的真子集，这在无限背景下是可以实现的。 师：探究上述的知识不难，难的培养大家的“无限”的观念，了 解“数学是关于无限的科学”。正如清代学者袁枚说：“学如箭簇， 才如弓弩，识以领之，方能中鹄。”大家有这样的感受吗？日常生 活中，我们常常和有限、无限打交道：天空有边吗？星星有多少？ 两面镜子对照，镜子中有镜子，…，一共有多少面？文学作品中， 如王之涣的“欲穷千里目，更上一层楼”；李白的“孤帆远影碧空 尽，唯见长江天际流”；中国古代的“一尺之棰，日取其半，万世不 竭”等等，都是一种有限与无限的结合。最后送给大家一副对联， 上联——赏集合，赏古赏今数学实为无限；下联——求知识，求表 求里凡事究其所以；横批——培养无限观。 三、思考 （一）关注学生主动建构能力培养和学习能力的获得这是笔 者亲身开设的一堂选修课，属于知识拓展类，兼顾学生的兴趣，将 传统教材中认知的真子集关系拓展到了无限集的背景下，开拓了 眼界也提升了兴趣。选修课程的开设，对学生提高数学学习的兴 趣，远离一味的做题，帮助学生喜欢数学、欣赏数学是大有帮助 的，选修课程的开设让学生不再成为解题的一个机器，而是真正 拥有人文思想、数学魅力的学生。高中数学教育不仅仅是传递知 识，也要关注学生情感、态度、价值观等等。“选修课程”的教学就 是在改变过去过于注重形式化知识传授的倾向，关注学生主动建 构能力培养和学习能力的获得，也让学生体会到从自身学习兴趣 中去找寻数学的美。墓静 （二）开设选修课，对提升自身的专业化发展也是大有益处的 ｔ 在经历了多次课程改革后，笔者现在每每看到新的问题总是 觉得自己的知识是多么的浅薄，正如一位哲人说：“人的知识好比 一个圆内的部分，圆的外部都是我不懂的知识，每当自身知识越 缮 多时，圆就会越大，圆周与外界接触（即不懂的知识）也越大，从而 不知道的东西也更多。”教学多年，笔者在这条路上的不断摸索， 得到的体验是一方面通过开展选修课有利于提高教学质量、优化 数 课堂效率；另一方面也大大加快了教师的专业化成长。．瞥 用如今流行的话来说：就是要做与时俱进的数学教师，不仅 能传道、授业、解惑，更要能指导学生发现问题、学会自主学习的 能力。我们今天的教学最终目的是为了明天的不教，是要让高中 茼 生通过选修课程中学会的探究行为方式，去解决将来自己遇到的 。 未知领域中的问题，学习就是不断的进行这样的重复、螺旋式式 Ｉ 的上升，在这一过程中渐渐培养起来的学习能力将会受益终身。 Ｉ （三）数学美和数学文化的魅力 Ｉ 教育是以育人为中心，更重要的是要培养学生获取知识的能 ｌ 力。从创造的角度讲，知识为创造提供了材料支持。从选修课程 Ｉ 人手，强调学生的创造意识和创新精神，培养学生提出问题和解 Ｉ 决问题的能力。适度引人数学文化、数学美，可以激发学生对数 ｌ 学的兴趣，培养探索精神，也进一步论述了数学的文化价值。著 Ｊ 名数学家陈省身先生说：“我们国家的数学教育渐渐走人一种歧 Ｉ 途，有时过于追求一些枝节（即变着花样的题目），却忽视眼界和 ｆ 创新精神，这样的教育是要不得的。” １ｌ 参考文献： Ｉ ［１］沈恒．一个课后思考题的探究与随想［Ｊ］．中国数学教育， ｌ ２０１Ｉ，（Ｉ）． １ ［２］李云．欣赏高中数学之美［Ｊ］．中学数学研究．２０１０，（１０）． １ ［３］赵栋．数学习题设计与创造性思维培养［Ｊ］．中学数学月刊， Ｉ ２００３，（７）・ Ｊ ９７——＿＿ｊ
