初中数学教学中的数形结合法
覃斗中学 徐慧贤
数学课程标准总体目标明确提出：“让学生获得未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识，以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。数学知识本身那固然重要，但是对于学生的后续的学习，生活和工作长期起作用，并使其终身受益的是数学思想方法。初中数学常用的数学思想思想方法有：化归思想方法，分类思想方法，数形结合的思想方法，函数思想方法，方程思想方法，模型思想方法，统计思想方法，用字母代替数学的思想方法，运动变换思想方法等。
初中数学的两个分支——代数和几何，代数是研究“数”的，几何是研究”形“的。但是研究代数要借助于“形”，研究几何要借助于“数”，几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法。数学家华罗庚说的好“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”。
数学史中的数形结合：“中国的儒家传统文化和教育统一贯重“一”或整体的价值”,这种注重“一以贯之”的整体性和直觉性的思维模式，是“数形结合”思想产生的本源。《九章算术》中所给出的各种筹算运演规则，如开方术、方程术、割圆术、阳马术、盈不足术等，从命名上就可以发现这些“程序”性法则（类似于算法）的直观性。现代数学各分支“交叉渗透，学科整合”，无不体现着数形结合长盛不衰的魅力。早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形联系起来了。我国宋元时期，系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系。17世纪上半叶，法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁，在点与数对之间、曲线与方程之间建立起来对应关系，用代数方法研究几何问题，从而创立了解析几何学。后来，几何学中许多长期不能解决的问题，例如立方倍积、三等分任意角、化圆为方等问题，最终也借助于代数方法得到了完满的解决。即使在近代和现代数学的研究中，几何问题的代数化也是一条重要的方法原则，有着广泛的应用。 沟通数与形的内在联系，不仅使几何学获得了代数化的有力工具，也使许多代数学和数学分析的课题具有了明显的直观性，在数学解题中，运用数形结合思想，就是根据问题的具体情形，或者把图形性质问题转化成数量关系来研究，后者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以数助形或以形助数，使问题简单化、抽象问题具体化。
数形结合法在高中数学中的运用
作者：王菊
来源：《高中生学习·高二版》2017年第11期
数形结合法在形式上有助于学生将抽象概括的数学知识与具象的数学图形有机结合在一起，是极为有效的数学学习方式。它在高中数学教学过程中，不仅有利于对学生进行基础数学知识的构建，还可以加强对学生数学能力的培养和数学思想方法的应用。
一、数形结合方法在三角函数定义教学中的应用
在高中数学教学与学习中，有着许许多多的知识点，在这中间“数量关系”、“空间形式”、“数形结合”等是高中数学重点的学习思维方式。在数形结合思想中，高中生第一个接触的就是三角函数。三角函数不仅仅是函数知识，更是描述周期性的数学模型，从定义上就可以看出三角函数是数形结合思想的产物。如果学生仅依靠代数知识对三角函数进行计算，不仅加大了学生的运算量，还违背了数学计算的简要性原则。假使学生仅依靠图形知识对三角函数进行求导，由于缺乏逻辑与数值进行约束，学生也无法得出三角函数的周期性。因此教师应当及时为学生引入数形结合法的解题方案，提高学生的数学学习效率。例如：求三分之五π的正弦、余弦和正切值。多数情况下学生仅能依靠已学的两种定义进行求解，但通过定义法进行学习不利于学生快速求解，当学生计算能力较差时更是容易出错。但当采用数形结合法进行学习时，可以快速求解，其逻辑过程是这样的：在直角坐标系中在角五分之三π上任取点P，画辅助线AP，得到一个三角形Rt△PAO（图3-1所示），通过各点的坐标得出各线段的长度，再根据定义1求解。這就是数形结合法在三角函数中的应用示例。
二、数形结合方法在直线与圆锥曲线教学中的应用
直线与圆锥曲线在高中教学范围内同属于解析几何的知识范畴，同属于近代数学的基础。在这一知识点的学习过程中学生明显会感到不适应，因为在初中阶段的几何问题学习中，几何问题是常量问题并不牵扯变量，但在高中阶段这一情况就发生了巨大变化，几何数学问题中开始充斥着变量，给学生带来了巨大的运算量变化的同时也带来的学习困难。而通常数学教师在这一章节中最常用的教学法就是“坐标法”，而坐标法所代表的内涵即是数形结合思想。例如：判断直线AB和PQ的位置关系（）。A（2，3）B（-1，0）P（1，0）Q（0，-1）在这一问题中学生可以通过方程进行计算，但这样会给学生带来较大的运算量，给学生带来麻烦，而当学生采用数形结合思想的坐标法时，可以进行定点作图（如图3-10所示）
恒成立问题——数形结合法
一、基础知识：
1、函数的不等关系与图像特征：
（1）若xD，均有fxgxfx的图像始终在gx的下方
（2）若xD，均有fxgxfx的图像始终在gx的上方
2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数
3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等
4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）
5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备
6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：
（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图
（2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义
（3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征
二、典型例题：
例1：已知不等式21logaxx在1,2x上恒成立，则实数a的取值范围是_________
思路：本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出21yx的图像，观察图像可得：若要使不等式成立，则logayx的图像应在21yx的上方，所以应为单增的对数函数，即1a，另一方面，观察图像可得：若要保证在1,2x时不等式成立，只需保证在2x时，21logaxx即可，代入2x可得：1log22aa，综上可得：12a
答案：12a
小炼有话说：（1）通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围。 （2）学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的2x）
（3）处理好边界值是否能够取到的问题
例2：若不等式logsin2(0,1)axxaa对于任意的0,4x都成立，则实数a的取值范围是___________
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数形结合法在小学数学解题中的运用
作者：刘国云
来源：《大东方》2016年第03期
摘 要：著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”这句话形象、简明、扼要地指出了形和数的相互依赖、相互制约的辩证关系。小学阶段的学生，思维发展水平还不够成熟，理解抽象的内容难度较大，使用数形结合的方法观察、分析问题，有助于学生理解数学实质，有助于提高学生的数学思维水平。
关键词：数型结合；小学数学；解题
小学生学习数学由于理解能力有限，一些抽象的问题对于他们来说比较困难，本身的抽象思维能尚未显现，再加上小学生的接受能力也较差，学习起来就比较困难，而数形结合的思想可以帮助他们学好数学，通过数量与图形的关系，有利于提高学生的记忆力、思维能力，有利于培养良好的情操，有利于解决实际问题等等，因此，在小学数学教学中，我们要利用数形结合的思想。
一、增强学生感性思维，化繁为简
1.教学中可以借助“简易图”理解抽象数学内容
在教学中渗透数形结合的思想，可以把抽象的数学概念直观化，学生表象清晰、记忆深刻，对算理的理解透彻，既知其然又知其所以然。如，五年级在学习“异分母分数加减法”时，有些学生不理解为什么要先通分才能相加减，这时，我们可以利用“直观模型”帮助学生理解。例如，可以利用分数的直观图，将数与形结合起来，引导学生体会只有平均分得到的份数相同，也就是分数单位相同，分子才能相加减的道理。学生直观地理解“通分”的必要性及异分母分数加减法的算理。
2.借助“线段图”形象地理解数量关系
在路程问题中可以根据题意画出相应的线段图，明显直观的将题意显示在图形之中便于学生们的理解。在其他问题中也可以用到线段图，如多少问题当中，将两者的数量直接显示在图形之中，以相同的起点画出两条不同的线段，在多少问题中一目了然，不仅使学生学习到了知识，更是他们学习到了一种解题的方法和思维的过程。
