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信号与系统ch3-12系统时域分析

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第二章 信号与系统的时域分析

第二章 信号与系统的时域分析
17
二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t

x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，

《信号与系统》第三章 离散系统的时域分析

《信号与系统》第三章 离散系统的时域分析
解 ： h(k)满足h(k) – h(k –1) – 2h(k –2)=δ(k) –δ(k –2) 令只有δ(k)作用时，系统的单位序列响应h1(k) , 它满足 h1(k) – h1(k –1) – 2h1(k –2)=δ(k) 根据线性时不变性，
h(k) = h1(k) – h1(k – 2) =[(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k]ε(k) – [(1/3)(– 1)k –2 + (2/3)(2)k–2]ε(k – 2)
f (i)h(k i) ai (i)bki (k i)
i
i
当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0
1
a
k
1
yzs
(k
)
k i0
aibk
i
(k
)
bk
k i0
a b
i
(k
)
bk
bk
b 1 a
b (k 1)
注：ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k)
当ik时ki0???????????????iikiiikbiaikhif?????????????????????????????????????????????????bakbbabababkbabkbakykkkkiikkiikizs111100??注
《信号与系统》 第三章 离散系统的时域分析
λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。
参看教材第87页 表3-1。
2. 特解yp(k): 特解的函数形式与激励的函数形式有关

信号与系统第三章

信号与系统第三章
例3.1-2 描述一阶LTI系统的常系数微分方程如 式（3.1-3）所示
设 f (t) 2 a 2, b 1 则有
dy(t) 2 y(t) 2 dt
已知初始值 y(0) 4 求 t 0时系统的响应 y(t)
解：第一步，由方程可知系统的特征方程为 2 0
2 由此可得系统的齐次解为
2
处理教研室
第三章 连续信号与系统的时域分析
教学重点：
1、常微分方程的建立及其解的基本特点； 2、阶跃响应和冲激响应的概念； 3、卷积及其在系统分析中的应用。
2020/6/7
信号
3
处理教研室
应用实例：汽车点火系统
汽车点火系统主要由电源（蓄电池和发电机）、电阻、 点火开关、点火线圈、分压器等组成。
系数 a,b都是常量。系统的阶数就是其数学模型——
微分方程的阶数。
而 n 阶常系数线性微分方程的一般形式为
an
dn y(t) dt n
an1
dn1 y(t) dt n1
L
a1
dy(t) dt
a0
y (t )
bm
dm f (t) dt m
bm1
dm1 f (t) dt m1
L
b1
df (t) dt
b0
即yf’(0+) = yf’(0-) = 0，yf(0+) = yf(0-) = 0
对t>0时，有 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6
不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数3，
于是有
yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3
代入初始值求得

信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析

信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析

第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。

信号与系统课后习题答案第5章

信号与系统课后习题答案第5章
全响应:
y(k)=［2(－1)k+(k－2)(－2)k］ε(k)
76
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.23 求下列差分方程所描述的离散系统的零输入响应、 零状态响应和全响应。
77
第5章 离散信号与系统的时域分析 78
第5章 离散信号与系统的时域分析
确定系统单位响应: 由H(E)极点r=－2, 写出零输入响应表示式: 将初始条件yzi(0)=0代入上式，确定c1=0, 故有yzi(k)=0。
题解图 5.6-1
16
第5章 离散信号与系统的时域分析
题解图 5.6-2
17
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此
18
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.7 各序列的图形如题图 5.2 所示，求下列卷积和。
题图 5.2
19
第5章 离散信号与系统的时域分析 20
第5章 离散信号与系统的时域分析 21
第5章 离散信号与系统的时域分析 46
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.16 已知离散系统的差分方程(或传输算子)如下，试求各 系统的单位响应。
47
第5章 离散信号与系统的时域分析 48
由于
第5章 离散信号与系统的时域分析
49
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此系统单位响应为
50
第5章 离散信号与系统的时域分析 51
5.21 已知LTI离散系统的单位响应为
试求： (1) 输入为
时的零状态响应yzs(k)； (2) 描述该系统的传输算子H(E)。
69
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 (1) 由题意知: 先计算:
70
第5章 离散信号与系统的时域分析

第六章信号与系统的时域和频域特性

第六章信号与系统的时域和频域特性

H ( j) t0
上式表明： 当系统的相位特性仅仅是附加一个线性相移 t 0 ， 则系统对信号的作用，只是信号在时间上平移了 t 0 ,在频域 里发生了相移。 上述改变并没有丢失信号所携带的任何信息，只是 发生时间上的延迟，因而在工程应用中是允许的，通常 认为信号没有失真。
8
2.系统相位为非线性相位
s(t ) h(t ) * u(t ) h d
t
24
见P318,Fig6.14

理想的低通滤波器的单位冲击响应的主瓣是从 c 延伸到 ，所以阶跃响应就在这个时间间隔内受到
最显著的变化。也就是说阶跃响应的所谓上升时间是 反比于相关滤波器的带宽；

c
在阶跃响应的跃变部分，会有超过其最后稳态的超量， 并且出现称之为振铃的振荡现象。产生这一结果的重
率成正比，也即系统的相位特性是一条通过原点的直线。 时延的概念可以推广到包括非线性相位特性的系统中。 对于传输系统，其相移特性可以用“群时延”（或称 为“群延时”）来描述。 定义群时延为：
d H j d
12
由于一个非线性相位系统，在 0 窄带范围内 可近似为相位的变化为线性的，即
模特性改变 相位特性改变
系统相移
7
二、 线性与非线性相位
1. 系统相位为线性相位
若连续时间LTI系统： 则 Y ( j )
X j e
y(t ) x(t t0 )
时移系统
输入信号相移 随频率线性变化； 斜率为时移值。
jX j jt0
e

H ( j) e jt0 ,
28
理想滤波器特性
1.通带绝对平坦，衰减为零
非理想滤波器特性

信号与系统实验报告

信号与系统实验报告一、信号的时域基本运算1．连续时间信号的时域基本运算两实验之一实验分析：输出信号值就等于两输入信号相加（乘）。

由于b=2，故平移量为2时，实际是右移1，符合平移性质。

两实验之二心得体会：时域中的基本运算具有连续性，当输入信号为连续时，输出信号也为连续。

平移，伸缩变化都会导致输出结果相对应的平移伸缩。

2.离散时间信号的时域基本运算两实验之一实验分析：输出信号的值是对应输入信号在每个n值所对应的运算值，当进行拉伸变化后，n值数量不会变，但范围会拉伸所输入的拉伸系数。

两实验之二心得体会：离散时间信号可以看做对连续时间信号的采样，而得到的输出信号值，也可以看成是连续信号所得之后的采样值。

二、连续信号卷积与系统的时域分析1.连续信号卷积积分两实验之一实验分析：当两相互卷积函数为冲激函数时，所卷积得到的也是一个冲激函数，且该函数的冲激t值为函数x，函数y冲激t值之和。

两实验之二心得体会：连续卷积函数每个t值所对应的卷积和可以看成其中一个在k值取得的函数与另外一个函数相乘得到的一个分量函数，并一直移动k值直至最后，最后累和出来的最终函数便是所得到的卷积函数。

3.RC电路时域积分两实验之一实验分析：全响应结果正好等于零状态响应与零输入响应之和。

两实验之二心得体会：具体学习了零状态，零输入，全响应过程的状态及变化，与之前所学的电路知识联系在一起了。

三、离散信号卷积与系统的时域分析1.离散信号卷积求和两实验之一实验分析：输出结果的n值是输入结果的k号与另一个n-k的累和两实验之二心得体会：直观地观察到卷积和的产生，可以看成连续卷积的采样形式，从这个方面去想，更能深入地理解卷积以及采样的知识。

2.离散差分方程求解两实验之一实验分析：其零状态响应序列为0 0 4 5 7.5，零输入响应序列为2 4 5 5.5 5.75，全状态响应序列为2 4 9 10.5 13.25，即全状态=零输入+零状态。

两实验之二心得体会：求差分方程时，可以根据全状态响应是由零输入输入以及零状态相加所得，分开来求，同时也加深了自己对差分方程的求解问题的理解。

第1章--信号与系统概述


相邻离散点的间隔Tk=tk+1-tk可以 相等也可不等。通常取等间隔T，
离散信号可表示为f(kT)，简写为
f(k)，这种等间隔的离散信号也常
称为序列。其中k称为序号。
26
上述离散信号可简画为 用表达式可写为
或写为 f(k)= {…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…}
↑ k=0 通常将对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值”27
在我们选用的教材中采用先连续后离散，先时域后 变换域的结构展开教学
课程特点
应用数学知识较多，用数学工具分析物理概 念，常用数学工具： 微分、积分（定积分、无穷积分、变上限 积分） 线性代数 微分方程 傅里叶级数、傅里叶变换、拉氏变换
学习方法
•注重物理概念与数学分析之间的对照，不要盲目计 算； •注意分析结果的物理解释，各种参量变动时的物理 意义及其产生的后果； •同一问题可有多种解法，应寻找最简单、最合理的 解法，比较各方法之优劣； •在学完本课程相当长的时间内仍需要反复学习本课 程的基本概念。
满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。
不具有周期性的信号称为非周期信号。
28
2π 角频率 ω= （弧度/秒）或（rad/s），
T
2π 频率 f = （赫兹）或（Hz）。
T
f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,±2,…
图1-5 连续周期信号
29
离散的周期信号f[k]=f[k+N]，N为周期。
系统分析：研究在给定系统的条件下，系统对于输 入激励信号所产生的输出响应
系统综合：按某种需要先提出对于给定激励的响应 ，而后根据此要求设计（综合）系统
分析与综合二者关系密切，但又有各自的体系和研 究方法，一般讲，学习分析是学习综合的基础

信号与系统——连续时间线性定常系统时域分析


对于输入 t ，其特解为 B t t 0 0 ，单位冲激响应为 h1 (t ) e t u(t ) ， 则 y1 (t ) h1 (t ) v(t ) e (t )u (t )v( )d e
0 t t
n 1
0 ，求 y (t) =
？
（1）求齐次解：由微分方程列特征方程 n an1 n1 a1 a0 0 ，求出 n 个特
i t 征根 i，i 1,, n ，则齐次解为 yh t i 1 Ae ，有 n 个待定系数 Ai，i 1,, n ；对于 i
v d 。综上有：
零状态 t 1 t v t e t v d e u t v t 0 p
e
0
t

v t d
（3-14）
由（3-14）式可进一步推得下面的（3-19）式。 § 3.2 LTI 系统的响应 LTI 系统的微分方程：
（3-11） （3-12）
若(t)、(0)已知，则(t)、(t)可确定。 注： （3-11）的两项分别是状态向量的零输入响应与零状态响应； （3-12）的两项分别是输出向量的零输入响应与零状态响应。 LTI 系统的微分方程模型： 具有 n 个独立储能元件的单输入单输出（SISO）系统，输出输入关系为：


不同的物理系统，输入-输出方程可能相同，但含义不同
对 H p 因式分解，基本单元为 H1 (p)
1 。 H1 (p) 对输入 v t 作用产 p
生输出 y1 (t )
1 v(t ) ，即 y1 (t ) y1 (t ) v(t ) ，齐次解 y1h (t ) e t u(t ) ； p

离散信号与系统的时域和频域分析

h(0) h(1) ... h(n 1) 0 h(n) 1
h(k n) an1h(k n 1) an2h(k n 2) ... a0h(k ) 0 K>0时， n 齐次差分方程解： k
h(k ) [ ci ( ) ] (k )
离散信号与系统分析
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结束
本章说明

与连续信号与系统相比较，离散系统的数学描述是激励响应的差分方 程，其系统分析求响应实质是求解描述离散系统的差分方程。离散系 统的零状态响应可以用卷积和来求取。 时域分析： 1.掌握离散信号与系统的基本概念。 2.熟悉并掌握常用基本信号的描述、特性、运算与变换。 3.深刻理解采样定理的意义、内容及应用。 4.掌握离散系统的数学描述方法—差分方程及模拟图 5.掌握离散系统的时域分析—经典法求零输入响应、零状态响应。 6.熟悉卷积和法及其主要性质并会应用卷积和法求零状态响应。
4、图解法卷积
①变量代换 f1(n) 变成f1(k) f2(n) 变成f2( ②反折其中之一信号 ③将反折信号移位 m f2(-k) f2(m-k) 以k代n
④e将平移后的f2(m-k)与对应的f1(k)相乘 ⑤将各乘积值相加可画出全部y(m) ⑥重复步骤③到⑤可画出全部y(n) 5、系统零状态响应为
5、序列的运算



④差分：离散信号的差分运算 f (k ) f (k 1) f (k ) 前向差分： f (k ) f (k ) f (k 1) 后向差分： ⑤反折：将离散信号以纵轴为对称轴反折（转） ⑥压扩：将离散信号中f（k）的自变量k置换为ak得到的过程称为信号的尺 度变换 注意：不存在非整数ak的值！ ⑦求和：离散信号的求和运算是对某一离散信号进行历史推演的求和过程。
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y f (t ) f (t ) h(t )




f ( ) h(t )d
= 3u( ) 2e 3( t ) u(t )d
= 2(1 e3t )u(t )
详细求解见后
卷积法求解系统零状态响应yf (t)的思路
1) 将任意信号分解为冲激信号序列的线性组合 2) 求出冲激信号作用在系统上的响应-冲激响应
代入初始条件 y (0 ), y ' (0 ) ， 求得 K1 2, K 2 3
yx (t ) (2 3t )e2t
3.2.3 系统的零状态响应
系统的零状态响应是当系统的初始状态为零时，由系统的 外部激励 f (t ) 而产生的响应，用表示 y f (t ) 。 假设单位冲激信号 (t ) 作用在系统上的冲激响应为h(t )
f ( ) h(t )d
即y f (t )为输入激励 f (t ) 与系统的冲激响应 h(t ) 的卷积积分， 为
y f (t )


f ( ) h(t )d f (t ) h(t )
一个信号 通过初始状态为零的系统， 输出为输入激励和单位冲激响应的卷积。
由上例的求解过程，可看出经典法有如下的不足之处： (1)若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 (2)若激励信号发生变化，则须全部重求解。
(3)若初始条件发生变化，则须全部重求解。
3.2.2 系统的零输入响应
LTI系统的初始状态可以作为一个输入看待，这样系统的 完全响应就看作初始状态和输入单独作用在系统上的输出。
k
f (t ) lim

0 k
f (k ) (t k )

f ( ) (t )d

y f (t ) lim

0 k
f (k ) h(t k )

i
s2 2 j 2 si i j i
以上Ki均由系统初始状态 y(0 ), y ' (0 ),...y ( n1) (0 ) 确定。 例、 已知某线性时不变系统的动态方程式为
d2y dy 5 6 y (t ) 4 f (t ), t 0 dt 2 dt 系统的初始状态为 y (0 ) =1，y ' (0 ) =3,求系统的零输入响应 y x (t )
df d2y dy 4 4 y(t ) 2 3 f (t ) 2 dt dt dt
y 系统的初始状态为 y (0 ) =2， ' (0 ) =-1，求系统的零输入响应 yx ( t ) 。
解：特征方程
s 2 4s 4 0
特征根
所以
s1 s2 2
yx (t ) ( K1 K2t )e2t
其特征方程为：
t0
sn an 1sn 1 an 2 sn 2 a1s a0 0
按照特征根的不同情况，零输入响应 y x (t ) 将具有不同的形式。 (1)当特征根是不等实根 s1，s2 ，，sn 时，
yx (t ) K1es1t K2 es2 t Kn esn t (2)当特征根是相等重根 s1 s2 sn s时，
5 2t 1 4t sin t 2 y (t ) 3 e 2 e cos t , t 0 66 66 11 33
齐次解的形式与系统的特征根有关、与输入无关， 称为系统的固有响应。 特解的形式是由输入确定，称为系统的强迫响应。
tsoc D t nis C ) t( p y
3.1.2 LTI系统的描述与特点
可以证明，n阶连续时间LTI系统的数学模型是：
一般为：
bm f
( m)
n阶常系数微分方程。
y ( n ) (t ) a n 1 y ( n 1) (t ) a1 y ' (t ) a 0 y (t ) (t ) bm1 f
( m1)
(t ) b1 f ' (t ) b0 f (t )
t0
其中
a i 与 bi
为各项系数。
当系统为无源网络，元件也是线性时不变元件时， 则其对应的动态方程为常系数、非齐次、线性常微分方程。
3.2 连续时间LTI系统的响应 3.2.1 经典时域分析方法 (纯数学方法)
由微分方程的理论与系统的初始条件直接求解动态方程式。
系统响应可以采用经典法，也可以将响应分为零输入和零状态响应。
h(t ) 满足微分方程： h ( n ) (t ) an 1h ( n 1) (t ) a1h (t ) a0 h(t )
bm ( m ) (t ) bm1 ( m1) (t ) b1 (t ) b0 (t )
h(t ) 的形式：齐次的形式+（冲激及其微分）
yx ( )es t
(3)当特征根是成对共轭复根
s1 1 j 1
1
(i=n/2) yx (t ) e t ( K1 cost1 K '1 sin 1t ) e t ( Ki cosit K 'i sin it )
f (t )
h(t )
y f (t ) f (t ) * h(t )
例、已知某LTI系统的动态方程式为
y'(t ) 3y(t ) 2 f (t )
t 0
输入 f (t ) 3u(t )，试求系统的零状态响应 y f (t ) 。
) t(u t3 e2 ) t(h
解：经计算
所以
例、已知某LTI系统的动态方程式为
y'(t ) 3y(t ) 2 f (t )
试求系统的零状态响应 h(t ) 。
t 0
解：设 h(t ) Ae3t u(t )
代入方程解得 A 2
h(t ) 2e3t u(t )
例、已知某LTI系统的动态方程式为
y '' (t ) 3 y ' (t ) 2 y(t ) 2 f ' (t ) 3 f (t ) t 0
yh(t) = Ae2t+Be4t
2)求非齐次方程的y'' (t)+6y' (t)+8y(t) = f(t)一个特解yp(t)(强制响应) 因输入为正弦信号 ，设
yp(t)=(1/11)sint+(2/33)cost 3)由初始条件确定y(t)=yh(t)+yp(t)中的未知数,得出系统的完全响应
解：特征方程
s 2 5s 6 0
特征根
所以
s1 2, s2 3
yx (t ) K1e— 2 t K2 e— 3t
yx (t ) 6e—2t 5e—3t
代入初始条件 y (0 ), y ' (0 ) ， 求得 K1 6, K 2 5
例、 已知某线性时不变系统的动态方程式为：
(t )
(t k )
f ( k ) (t k )
k
h(t )
h(t k )

(时不变特性)
f ( k ) h(t k )

（均匀性）
f ( k ) (t k ) f ( k ) h(t k ) （叠加性）
3) 利用线性时不变系统的特性，求出冲激信号序 列作用在系统上的响应，即系统在任意信号f(t) 激励下的零状态响应yf(t) 。
3.3 连续系统的冲激响应
单位冲激信号 (t ) 作用在系统上的输出为冲激响应 h(t )
(t )
Ï Í µ ³ ã ´ ¬ Á ×Ì
h(t )
不同结构和元件参数的系统，具有不同的冲激响应。 因此，系统的冲激响应可以表征系统本身的特性。换句话说， 不同的系统有不同的冲激响应 h ( t ) 。 冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等， 方程式两边所具有的冲激信号函数及其高阶导数必须相等。 根据此规则即可求得系统的冲激响应 h ( t ) 。
前者的输出为 后者的输出为 完全响应为
y x (t ) y f (t )
y(t ) yx (t ) y f (t )
系统零输入响应为系统动态方程对应的齐次方程式的通解 一般齐次方程：
y ( n) (t ) an1 y ( n1) (t )a1 y'(t ) a0 y(t ) 0
微分方程的完全解由齐次解 yh (t ) 和特解 y p (t ) 组成。 即：
y(t ) yh (t ) y p (t )
例： y''(t)+6y' (t)+8y(t) = f(t), t > 0 y(0)=1, y'(0)=2, f(t) = sin t u(t)
解：1)求齐次方程的y'' (t)+6y' (t)+8y(t) = 0的通解yh(t)(固有响应)
(t )
Ï Í µ ³ ã ´ ¬ Á ×Ì
h(t )
而任意信号 f (t ) 都可以分解为单位冲激信号的线性组合，即
f (t ) f ( ) (t )d

lim
0
k
f ( k ) (t k )
对于线性时不变系统，若系统的冲激响应为 h(t ) ，则
试求系统的零状态响应 h(t ) 。
总结： 求解单位冲激响应 h(t ) 的思路：
1、确定 h(t ) 的齐次解形式的部分；
' (t ) 。 2、验证有无 (t ) 或其高阶微分