第六章离散信号与系统的时域分析

信号、系统与信号处理实验报告实验一、离散时间系统的时域特性分析姓名:学号:班级：专业：一．实验目的线性时不变（LTI）离散时间系统在时域中可以通过常系数线性差分方程来描述，冲激响应列可以刻画时域特性。

本次实验通过使用MATLAB函数研究离散时间系统的时域特性，以加深对离散时间系统的差分方程、冲激响应和系统的线性和时不变性的理解。

二．基本原理一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。

离散时间系统中最重要、最常用的是“线性时不变系统”。

1.线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统，即若某一输入是由N个信号的加权和组成的，则输出就是系统对这几个信号中每一个输入的响应的加权和。

即那么当且仅当系统同时满足和时，系统是线性的。

在证明一个系统是线性系统时，必须证明此系统同时满足可加性和比例性，而且信号以及任何比例系数都可以是复数。

2.时不变系统系统的运算关系在整个运算过程中不随时间（也即序列的先后）而变化，这种系统称为时不变系统（或称移不变系统）。

若输入的输出为，则将输入序列移动任意位后，其输出序列除了跟着位移外，数值应该保持不变，即则满足以上关系的系统称为时不变系统。

3.常系数线性差分方程线性时不变离散系统的输入、输出关系可用以下常系数线性差分方程描述：当输入为单位冲激序列时，输出即为系统的单位冲激响应。

当时，是有限长度的，称系统为有限长单位冲激响应（FIR）系统；反之，则称系统为无限长单位冲激响应（IIR）系统。

三．实验内容及实验结果1.实验内容考虑如下差分方程描述的两个离散时间系统：系统1：系统2：输入：（1）编程求上述两个系统的输出，并画出系统的输入与输出波形。

（2）编程求上述两个系统的冲激响应序列，并画出波形。

（3）若系统的初始状态为零，判断系统2是否为时不变的？是否为线性的？2.实验结果（1）编程求上述两个系统的输出和冲激响应序列，并画出系统的输入、输出与冲激响应波形。

clf;n=0:300;x=cos((20*pi*n)/256)+cos((200*pi*n)/256);num1=[0.5 0.27 0.77];den1=[1];num2=[0.45 0.5 0.45];den2=[1 -0.53 0.46];y1=filter(num1,den1,x);y2=filter(num2,den2,x);subplot(3,1,1);stem(n,x);xlabel('时间信号');ylabel('信号幅度');title('输入信号');subplot(3,1,2);stem(y1);xlabel('时间信号n');ylabel('信号幅度');title('输出信号');subplot(3,1,3);stem(y2);xlabel('时间序号n ');ylabel('信号幅度');title('冲激响应序列');（2）N=40;num1=[0.5 0.27 0.77];den1=[1];num2=[0.45 0.5 0.45];den2=[1 -0.53 0.46];y1=impz(num1,den1,N);y2=impz(num2,den2,N);subplot(2,1,1);stem(y1);xlabel('时间信号n ');ylabel('信号幅度');title('³冲激响应');subplot(2,1,2);stem(y2);xlabel('时间信号n ');ylabel('信号幅度');title('³冲激响应');1.应用叠加原理验证系统2是否为线性系统：clear allclcn = 0 : 1 : 299;x1 = cos(20 * pi * n / 256);x2 = cos(200 * pi * n / 256);x = x1 + x2;num = [0.45 0.5 0.45];den = [1 -0.53 0.46];y1 = filter(num, den, x1);y2 = filter(num, den, x2);y= filter(num, den, x);yt = y1 + y2;figuresubplot(2, 1, 1);stem(n, y, 'g');xlabel('时间信号n');ylabel('信号幅度');axis([0 100 -2 2]);grid;subplot(2, 1, 2);stem(n, yt, 'r');xlabel('时间信号n');ylabel('信号幅度');axis([0 100 -2 2]);grid;2.应用时延差值来判断系统2是否为时不变系统。

离散时间信号和系统的时域分析河南工业大学实验报告课程名称：数字信号处理开课实验室：6316实验报告撰写要求：认真总结实验，规范撰写实验报告。

实验报告内容应包括实验目的、实验要求、实验过程、实验总结，其中实验过程应附必要的截图，给出详细说明，对本实验中自行完成的较复杂网络拓扑的配置实现，应用表格给出各设备的主要参数配置（见下表），最后，对实验中遇到的问题和解决进行描述和剖析，总结收获。

并完成思考题。

实验一：离散时间信号和系统的时域分析一、实验目的：掌握用Matlab分析离散时间信号和系统的时域特性的方法。

二、实验环境：1. 运行Windows 2000 / 2007 / XP操作系统的PC一台；2. Matlab仿真环境；三、实验内容与要求：用Matlab在时域中产生一些基本的离散时间信号，并对这些信号进行一些基本运算,用Matlab仿真一些简单的离散时间系统，研究它们的时域特性。

四、实验步骤：Q1.23 产生长度为50、频率为0.08、振幅为2.5、相移为90度的正弦序列并显示它n = 0:50;f = 0.08;phase =90;A = 2.5;arg = 2*pi*f*n - phase;x = A*cos(arg);clf; % Clear old graphstem(n,x); % Plot the generated sequenceaxis([0 40 -3 3]);grid;title('Sinusoidal Sequence');xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');axis;Q 2.20 修改程序2.1，clf;N = 45;num = [0.9 -0.45 0.35 0.002];den = [1 0.71 -0.46 -0.62];y = impz(num,den,N);% Plot the impulse responsestem(y);xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude');title('Impulse Response'); grid;五、实验结果Q1.23运行结果Q2.1运行结果六、实验心得。

离散时间信号与系统的时域分析实验报告报告⼆：⼀、设计题⽬1．绘制信号)()(1k k f δ=和)2()(2-=k k f δ的波形2.绘制直流信号)()(1k k f ε=和)2(2-=k f ε的波形3绘制信号)()(6k G k f =的波形⼆实验⽬的1．掌握⽤MATLAB 绘制离散时间信号（序列）波形图的基本原理。

2．掌握⽤MATLAB 绘制典型的离散时间信号（序列）。

3．通过对离散信号波形的绘制与观察，加深理解离散信号的基本特性。

三、设计原理离散时间信号(也称为离放序列)是指在时间上的取值是离散的，只在⼀些离放的瞬间才有定义的,⽽在其他时间没有定义，简称离放信号(也称为离散序列) 序列的离散时间间隔是等间隔(均匀)的，取时间间隔为T.以f(kT)表⽰该离散序列,k 为整数(k=0,±1.±2，...)。

为了简便，取T=1.则f(kT)简记为f(k)， k 表⽰各函数值在序列中出现的序号。

序列f(k)的数学表达式可以写成闭合形式,也可逐⼀列出f(k)的值。

通常,把对应某序号K0的序列值称为序列的第K0个样点的“样点值”。

四、设计的过程及仿真1clear all; close all; clc;k1=-4;k2=4;k=k1:k2;n1=0;n2=2;f1=[(k-n1)==0];f2=[(k-n2)==0];subplot(1,2,1)stem(k,f1,'fill','-k','linewidth',2);xlabel('k');ylabel('f_1(k)');title('δ(k)')axis([k1,k2,-0.1,1.1]);subplot(1,2,2)stem(k,f2,'filled','-k','linewidth',2);ylabel('f_2(k)');title('δ(k-2)')axis([k1,k2,-0.1,1.1]);程序运⾏后，仿真绘制的结果如图所⽰:2c lear all; close all; clc;k1=-2;k2=8;k=k1:k2;n1=0;n2=2; %阶跃序列开始出现的位置f1=[(k-n1)>=0]; f2=[(k-n2)>=0];subplot(1,2,1)stem(k,f1,'fill','-k','linewidth',2);xlabel('k');ylabel('f_1(k)');title('ε(k)')axis([k1,k2+0.2,-0.1,1.1])subplot(1,2,2)stem(k,f2,'filled','-k','linewidth',2);xlabel('k');ylabel('f_2(k)');title('ε(k-2)')axis([k1,k2+0.2,-0.1,1.1]);程序运⾏后，仿真绘制的结果如图所⽰:3clear all; close all; clc;k1=-2;k2=7;k=k1:k2; %建⽴时间序列n1=0;n2=6; f1=[(k-n1)>=0];f2=[(k-n2)>=0];f=f1-f2;stem(k,f,'fill','-k','linewidth',2);xlabel('k');ylabel('f(k)');title('G_6(k)')axis([k1,k2,-0.1,1.1]);程序运⾏后，仿真绘制的结果如图所⽰:五、设计的结论及收获实现了⽤matlab绘制离散时间信号, 通过对离散信号波形的绘制与观察，加深理解离散信号的基本特性。

第 6 章离散信号与系统的Z 域分析6.0 引言与拉氏变换是连续时间傅立叶变换的推广相对应，Z 变换是离散时间傅立叶变换的推广。

Z 变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。

当然， Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。

6.1 双边 Z 变换6.1.1双边Z变换的定义前面讨论过，单位脉冲响应为h[n] 的离散时间 LTI 系统对复指数输入z n的响应y[n]为y[ n]H ( z) z n(6.1)其中H ( z)h[ n] z n(6.2)n式 (6. 2) 就称为 h[n] 的双边 Z 变换。

当 z= e j时， Z 变换就转变为傅立叶变换。

因此一个离散时间信号的双边Z 变换定义为：X ( z)x[ n]z n(6.3)n式中 z 是一个复变量。

而x[n]与它的双边z 变换之间的关系可以记做zx[n]X (z)6.1.2双边Z变换的收敛域x[n] 的双边 Z 变换为一无穷级数，因此存在级数是否收敛的问题，即一方面并非所有信号的Z 变换都存在；另一方面即使某信号的Z 变换存在，但并非Z 平面上的所有点都能使X(z)收敛。

那些能够使X(z)存在的点的集合，就构成了X(z)的收敛域，记为ROC。

只有当式 (6.3) 的级数收敛，X (z) 才存在。

X ( z) 存在或级数收敛的充分条件是x[n]z n(6.4)n在 x[ n] 给定的条件下，式 (6.4)级数是否收敛取决于 z 的取值。

在 z 复平面上，使式 (6.4)级数收敛的 z取值区域就是 X(z)的收敛域。

6.1.3零极点图如果X(z) 是有理函数，将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到：N ( z)(z z i )X ( z)i(6.5)M(zD ( z)z p )p则由其全部的零极点即可表示出X ( z) ，最多相差一个常数因子。

在Z 平面上表示出全部的零极点，即构成X ( z) 的几何表示——零极点图。

北京理工大学信号与系统实验报告6-离散时间系统的z域分析————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：实验6 离散时间系统的z 域分析（综合型实验）一、 实验目的1） 掌握z 变换及其反变换的定义,并掌握ＭAT ＬＡＢ实现方法。

2） 学习和掌握离散时间系统系统函数的定义及z 域分析方法。

3） 掌握系统零极点的定义,加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。

二、 实验原理与方法 1. z 变换序列(n)x 的z 变换定义为(z)(n)znn X x +∞-=-∞=∑ (1）Z 反变换定义为11(n)(z)z 2n rx X dz jπ-=⎰(2）MA ＴＬA Ｂ中可采用符号数学工具箱z ｔrans 函数和ｉz ｔｒans 函数计算z 变换和z 反变换： Z=ztran ｓ（Ｆ）求符号表达式Ｆ的z 变换。

Ｆ=iztra ｎｓ（Z)求符号表达式Z 的ｚ 反变换 2. 离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数H(z)定义为单位抽样响应ｈ(n)的z 变换(z)(n)znn H h +∞-=-∞=∑ (３）此外连续时间系统的系统函数还可由系统输入与输出信号z 变换之比得到(z)(z)/X(z)H Y = (4)由(4）式描述的离散时间系统的系统时间函数可以表示为101101...(z)...MM NN b b z b z H a a z a z----+++=+++ (5） 3. 离散时间系统的零极点分析ＭＡTLAB 中可采用roots 来求系统函数分子多项式和分母多项式的根，从而得到系统的零极点。

此外还可采用MATL ＡB 中zpl ａne 函数来求解和绘制离散系统的零极点分布图,zp ｌane 函数的调用格式为：zplane(b,a) ｂ、a 为系统函数分子分母多项式的系数向量(行向量) zplane （z,p) z 、ｐ为零极点序列(列向量) 系统函数是描述系统的重要物理量，研究系统函数的零极点分布不仅可以了解系统单位抽样响应的变化,还可以了解系统频率特性响应以及判断系统的稳定性; 系统函数的极点位置决定了系统的单位抽样响应的波形，系统函数零点位置只影响冲激响应的幅度和相位，不影响波形。

离散时间系统的时域特性分析离散时间系统是指输入和输出均为离散时间信号的系统，如数字滤波器、数字控制系统等。

时域分析是研究系统在时间上的响应特性，包括系统的稳定性、响应速度、能否达到稳态等。

在时域分析中，我们通常关注系统的单位采样响应、阶跃响应和脉冲响应。

1. 单位采样响应单位采样响应是指当输入信号为单位脉冲序列时，系统的输出响应。

在时间域上，单位脉冲序列可以表示为:$$ u[n] = \begin{cases}1 & n=0\\ 0 & n \neq 0\end{cases} $$系统的单位采样响应可以表示为:$$ h[n] = T\{ \delta[n]\} $$其中，$T\{\}$表示系统的传输函数，$\delta[n]$表示单位脉冲序列。

通常情况下，我们可以通过借助系统的差分方程求得系统的单位采样响应。

对于一种具有一阶差分方程的系统，其单位采样响应可以表示为:2. 阶跃响应其中，$\alpha$为系统的传递常数。

3. 脉冲响应脉冲响应是指当输入信号为任意离散时间信号时，系统的输出响应。

其主要思路是通过将任意输入信号拆解成单位脉冲序列的线性组合，进而求得系统的输出响应。

设输入信号为$x[n]$，系统的脉冲响应为$h[n]$，则系统的输出信号$y[n]$可以表示为:$$ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k] $$在实际计算中，通常采用卷积算法实现脉冲响应的计算，即将输入信号和脉冲响应进行卷积运算。

总之，时域特性分析是对离散时间系统进行分析和设计时的基础。

对于实际工程应用中的系统，需要综合考虑其时域和频域特性，进而选择合适的滤波器结构、控制算法等来实现系统的优化设计。