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第六章离散信号与系统的时域分析

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信号与系统分析第六章 离散时间信号与系统的时域分析

信号与系统分析第六章 离散时间信号与系统的时域分析

应用上述性质, 可以将任意离散信号f(k)表示为单位序
列的延时加权和,
f ( k ) f ( 1 ) ( k 1 ) f ( 0 ) ( k ) f ( 1 ) ( k 1 )
f (n)(k n) n
同样, 根据单位序列δ(k)的特点,
(6.5)
f(k)(k) f(0)
第六章 离散时间信号与系统的时域分析
2. 单位阶跃序列ε(k) 单位阶跃序列ε(k)
(k) 10
k 0 k 0
(6.8)
ε(k)的波形如图6.3所示。 单位阶跃序列ε(k)类似于
连续时间系统的单位阶跃信号ε(t), 但应注意, ε(t)在t=0点
处发生跳变, 在此处不定义或定义为 定义为1。
, 而1 ε(k)在k=0处 2
实际处理时, 常把信号存放在处理器的存储单元 中, 随时取用, 也可以先记录数据后分析或短时间内存 入, 数据在较长时间内完成处理过程。 考虑到上述因 素, 离散时间信号f(kTs)可以不必以kTs为变量, 而可以 直接用f(k)表示离散信号, k为信号出现的序号。 用f(k) 表示离散信号不仅简便而且具有更为普遍的意义, 即 离散变量k可以不限于代表时间。 通常, 离散时间信 号也称为序列, 可以把它看成是一组序列值的集合。
可以看出, 任意信号与单位序列δ(k)相乘得到的仍然是 一个δ(k)序列, 只不过序列的幅度不再为1而是被f(0)加 权,δ(k)的这个性质称之为“加权性”, 或“取样性”。 推广后可以得到, 对于任意延时的单位序列δ(k-n),
f(k)δ(k-n)=f(n)δ(k-n) (6.4)
第六章 离散时间信号与系统的时域分析
k 0 k 0
(6.1)
第六章 离散时间信号与系统的时域分析

信号与系统-离散信号与系统

信号与系统-离散信号与系统

(1)
y (k + 3) − 2 2 y (k + 2) + y (k + 1) + 0 y (k ) = f (k ) 1 y (k + 2) − y (k + 1) + y (k ) = f (k ) 4
(2)
解：用转移算子法求。
1 (1) H ( E ) = 3 2 E − 2 2E + E 1 = E ( E − 2 − 1)( E − 2 + 1) 1 1 1 2( 2 + 1) 2( 2 − 1) = + − E E − 2 −1 E − 2 + 1
f ( n )= ∑ i=-∞ f(i) ∗ δ (k-i)=f(n) ∗ δ (n)
∞
四 离散信号的卷积和
l 定义
f1 (n) ∗ f2 (n)=∑i=-∞ f1 (i) ∗ f2 (k-i)=∑i=-∞ f2 (i) ∗ f1 (k-i)
∞ ∞
l 上下限范围
– 当f1(n), f2(n)均为因果序列
yh (n) =
l
l
∑
K
N i =1
A iα
n i
i −1 n yh (n) = ∑i =+1 An α1 + ∑i=k +1 Aiαin i N
l l l
将所求得的强迫解和自由解相加，即可得到全响应 将给定的全响应的初始值代入到方程中，已确定待定系数 将所求得的待定系数带入到全响应方程中
例：求下列差分方程所 描述的系统的单位响应 h(k)
1 故h(k) =δ (k −1) +[ ( 2 +1)k−1 − 2( 2 +1) 1 k−1 ( 2 −1) ]U(k −1) 2( 2 −1) 1 k−2 1 k−2 =δ (k −1) +[ ( 2 +1) − ( 2 −1) ]U(k −2) −δ (k −1) 2 2 1 k−2 k−2 = [( 2 +1) −( 2 −1) ]U(k −2) 2

第六章信号与系统的时域和频域特性

第六章信号与系统的时域和频域特性

H ( j) t0
上式表明： 当系统的相位特性仅仅是附加一个线性相移 t 0 ， 则系统对信号的作用，只是信号在时间上平移了 t 0 ,在频域 里发生了相移。 上述改变并没有丢失信号所携带的任何信息，只是 发生时间上的延迟，因而在工程应用中是允许的，通常 认为信号没有失真。
8
2.系统相位为非线性相位
s(t ) h(t ) * u(t ) h d
t
24
见P318,Fig6.14

理想的低通滤波器的单位冲击响应的主瓣是从 c 延伸到 ，所以阶跃响应就在这个时间间隔内受到
最显著的变化。也就是说阶跃响应的所谓上升时间是 反比于相关滤波器的带宽；

c
在阶跃响应的跃变部分，会有超过其最后稳态的超量， 并且出现称之为振铃的振荡现象。产生这一结果的重
率成正比，也即系统的相位特性是一条通过原点的直线。 时延的概念可以推广到包括非线性相位特性的系统中。 对于传输系统，其相移特性可以用“群时延”（或称 为“群延时”）来描述。 定义群时延为：
d H j d
12
由于一个非线性相位系统，在 0 窄带范围内 可近似为相位的变化为线性的，即
模特性改变 相位特性改变
系统相移
7
二、 线性与非线性相位
1. 系统相位为线性相位
若连续时间LTI系统： 则 Y ( j )
X j e
y(t ) x(t t0 )
时移系统
输入信号相移 随频率线性变化； 斜率为时移值。
jX j jt0
e

H ( j) e jt0 ,
28
理想滤波器特性
1.通带绝对平坦，衰减为零
非理想滤波器特性

离散时间系统的时域特性分析实验报告

离散时间系统的时域特性分析实验报告

信号、系统与信号处理实验报告实验一、离散时间系统的时域特性分析姓名:学号:班级：专业：一．实验目的线性时不变（LTI）离散时间系统在时域中可以通过常系数线性差分方程来描述，冲激响应列可以刻画时域特性。

本次实验通过使用MATLAB函数研究离散时间系统的时域特性，以加深对离散时间系统的差分方程、冲激响应和系统的线性和时不变性的理解。

二．基本原理一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。

离散时间系统中最重要、最常用的是“线性时不变系统”。

1.线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统，即若某一输入是由N个信号的加权和组成的，则输出就是系统对这几个信号中每一个输入的响应的加权和。

即那么当且仅当系统同时满足和时，系统是线性的。

在证明一个系统是线性系统时，必须证明此系统同时满足可加性和比例性，而且信号以及任何比例系数都可以是复数。

2.时不变系统系统的运算关系在整个运算过程中不随时间（也即序列的先后）而变化，这种系统称为时不变系统（或称移不变系统）。

若输入的输出为，则将输入序列移动任意位后，其输出序列除了跟着位移外，数值应该保持不变，即则满足以上关系的系统称为时不变系统。

3.常系数线性差分方程线性时不变离散系统的输入、输出关系可用以下常系数线性差分方程描述：当输入为单位冲激序列时，输出即为系统的单位冲激响应。

当时，是有限长度的，称系统为有限长单位冲激响应（FIR）系统；反之，则称系统为无限长单位冲激响应（IIR）系统。

三．实验内容及实验结果1.实验内容考虑如下差分方程描述的两个离散时间系统：系统1：系统2：输入：（1）编程求上述两个系统的输出，并画出系统的输入与输出波形。

（2）编程求上述两个系统的冲激响应序列，并画出波形。

（3）若系统的初始状态为零，判断系统2是否为时不变的？是否为线性的？2.实验结果（1）编程求上述两个系统的输出和冲激响应序列，并画出系统的输入、输出与冲激响应波形。

clf;n=0:300;x=cos((20*pi*n)/256)+cos((200*pi*n)/256);num1=[0.5 0.27 0.77];den1=[1];num2=[0.45 0.5 0.45];den2=[1 -0.53 0.46];y1=filter(num1,den1,x);y2=filter(num2,den2,x);subplot(3,1,1);stem(n,x);xlabel('时间信号');ylabel('信号幅度');title('输入信号');subplot(3,1,2);stem(y1);xlabel('时间信号n');ylabel('信号幅度');title('输出信号');subplot(3,1,3);stem(y2);xlabel('时间序号n ');ylabel('信号幅度');title('冲激响应序列');（2）N=40;num1=[0.5 0.27 0.77];den1=[1];num2=[0.45 0.5 0.45];den2=[1 -0.53 0.46];y1=impz(num1,den1,N);y2=impz(num2,den2,N);subplot(2,1,1);stem(y1);xlabel('时间信号n ');ylabel('信号幅度');title('³冲激响应');subplot(2,1,2);stem(y2);xlabel('时间信号n ');ylabel('信号幅度');title('³冲激响应');1.应用叠加原理验证系统2是否为线性系统：clear allclcn = 0 : 1 : 299;x1 = cos(20 * pi * n / 256);x2 = cos(200 * pi * n / 256);x = x1 + x2;num = [0.45 0.5 0.45];den = [1 -0.53 0.46];y1 = filter(num, den, x1);y2 = filter(num, den, x2);y= filter(num, den, x);yt = y1 + y2;figuresubplot(2, 1, 1);stem(n, y, 'g');xlabel('时间信号n');ylabel('信号幅度');axis([0 100 -2 2]);grid;subplot(2, 1, 2);stem(n, yt, 'r');xlabel('时间信号n');ylabel('信号幅度');axis([0 100 -2 2]);grid;2.应用时延差值来判断系统2是否为时不变系统。

离散时间信号和系统的时域分析

离散时间信号和系统的时域分析

离散时间信号和系统的时域分析河南工业大学实验报告课程名称：数字信号处理开课实验室：6316实验报告撰写要求：认真总结实验，规范撰写实验报告。

实验报告内容应包括实验目的、实验要求、实验过程、实验总结，其中实验过程应附必要的截图，给出详细说明，对本实验中自行完成的较复杂网络拓扑的配置实现，应用表格给出各设备的主要参数配置（见下表），最后，对实验中遇到的问题和解决进行描述和剖析，总结收获。

并完成思考题。

实验一：离散时间信号和系统的时域分析一、实验目的：掌握用Matlab分析离散时间信号和系统的时域特性的方法。

二、实验环境：1. 运行Windows 2000 / 2007 / XP操作系统的PC一台；2. Matlab仿真环境；三、实验内容与要求：用Matlab在时域中产生一些基本的离散时间信号，并对这些信号进行一些基本运算,用Matlab仿真一些简单的离散时间系统，研究它们的时域特性。

四、实验步骤：Q1.23 产生长度为50、频率为0.08、振幅为2.5、相移为90度的正弦序列并显示它n = 0:50;f = 0.08;phase =90;A = 2.5;arg = 2*pi*f*n - phase;x = A*cos(arg);clf; % Clear old graphstem(n,x); % Plot the generated sequenceaxis([0 40 -3 3]);grid;title('Sinusoidal Sequence');xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');axis;Q 2.20 修改程序2.1，clf;N = 45;num = [0.9 -0.45 0.35 0.002];den = [1 0.71 -0.46 -0.62];y = impz(num,den,N);% Plot the impulse responsestem(y);xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude');title('Impulse Response'); grid;五、实验结果Q1.23运行结果Q2.1运行结果六、实验心得。

信号分析第六章第一节z变换及收敛域

信号分析第六章第一节z变换及收敛域

X
15
4 斜变序列 x(k)k(k)
第
页
Z[k(k)]
kzk
z
k zk1
z [d (zk)]
k0
k0
k0 dz
z d[ d zk0
zk]z
z
z1
z (z1)2
k(k) z
(z 1)2
RO:C z1
kak1(k)
z (za)2
ROC: z a
X
第
16
页
k2(k) k2zk
z(z1)
离散系统的Z变换分析
连续系统的拉氏变换分析
X
4
第
第一节 Z 变 换
页
一.Z变换的提出—由拉氏变换引出
连续信号 等间隔采样 抽样信号
x s(t) x (t)T (t) x (t) (t k)T x (k)T ( t k)T
k 0
k 0
单边拉氏变换
X s (s)
0
x(kT) (t kT)est dt
★反因果序列的ROC为 z R的2 圆内区域；
即X(z) 最小的模值极点为半径的圆内区域 注意:收敛域是否包含z=0需判断. ★双边序列的因果和反因果序列的收敛域存在公共域,
ROC为R1 z R2圆环状,不存在公共区域z变换不存在.
★ ROC内不包含任何极点（以极点为边界）；
★有限长序列的ROC为整个 z 平面 0 z
k 0
x(kT) (t kT)est dt 0 k 0
x(kT)eskT 引入连续复变z 量 esT
k 0
取 T1 X S(s) x(k)Z kX (Z ) k 0
X
5
说明:
第 页

6.离散时间信号与系统的时域分析


0, n 1 1 z ( n) x ( n) y ( n) , n 1 2 1 n 1 ( 2 )( n 1)( 2 ) , n 0
6 线性时不变离散系统的时域分析
5. 累加 设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列 y(n)定义为
y ( n)
k
x(k ) x(n) * u(n)
n
根据上述性质可以推得以下结论：
f (n n1 ) * (n n2 ) f (n n1 n2 )
6 线性时不变离散系统的时域分析
例 已知 x1 (n) (n) 3 (n 1) 2 (n 2) x2 (n) u(n) u(n 3) 试求信号 x (n) ，它满足 x(n) x1 (n) x2 (n) 解：可利用上面讲述的性质求解。
1 1/ 2 1/4 -2 -1 0 1 1/8 ... 2
n
x(-n) 1 1/2 1/8 1/4 ... -2 -1 0
1
2
n
6 线性时不变离散系统的时域分析
3.序列的加减 两序列的加、减是指同序号(n)的序列值逐项对 应相加得一新序列。
6 线性时不变离散系统的时域分析
例：
x(n) 1 1/2 1/4 -2 -1 0 y(n) 2 1 1/4 1/2 1 2 n …
6 线性时不变离散系统的时域分析
2.单位阶跃序列
u（n）
1, u ( n) 0,
n0 n0
u(n)
...
-1 0 1 2 3 n
(n) u (n) u (n) u (n 1)
m 0
u (n) (n m) (n) (n 1) (n 2)

离散时间信号与系统的时域分析实验报告

离散时间信号与系统的时域分析实验报告报告⼆：⼀、设计题⽬1．绘制信号)()(1k k f δ=和)2()(2-=k k f δ的波形2.绘制直流信号)()(1k k f ε=和)2(2-=k f ε的波形3绘制信号)()(6k G k f =的波形⼆实验⽬的1．掌握⽤MATLAB 绘制离散时间信号（序列）波形图的基本原理。

2．掌握⽤MATLAB 绘制典型的离散时间信号（序列）。

3．通过对离散信号波形的绘制与观察，加深理解离散信号的基本特性。

三、设计原理离散时间信号(也称为离放序列)是指在时间上的取值是离散的，只在⼀些离放的瞬间才有定义的,⽽在其他时间没有定义，简称离放信号(也称为离散序列) 序列的离散时间间隔是等间隔(均匀)的，取时间间隔为T.以f(kT)表⽰该离散序列,k 为整数(k=0,±1.±2，...)。

为了简便，取T=1.则f(kT)简记为f(k)， k 表⽰各函数值在序列中出现的序号。

序列f(k)的数学表达式可以写成闭合形式,也可逐⼀列出f(k)的值。

通常,把对应某序号K0的序列值称为序列的第K0个样点的“样点值”。

四、设计的过程及仿真1clear all; close all; clc;k1=-4;k2=4;k=k1:k2;n1=0;n2=2;f1=[(k-n1)==0];f2=[(k-n2)==0];subplot(1,2,1)stem(k,f1,'fill','-k','linewidth',2);xlabel('k');ylabel('f_1(k)');title('δ(k)')axis([k1,k2,-0.1,1.1]);subplot(1,2,2)stem(k,f2,'filled','-k','linewidth',2);ylabel('f_2(k)');title('δ(k-2)')axis([k1,k2,-0.1,1.1]);程序运⾏后，仿真绘制的结果如图所⽰:2c lear all; close all; clc;k1=-2;k2=8;k=k1:k2;n1=0;n2=2; %阶跃序列开始出现的位置f1=[(k-n1)>=0]; f2=[(k-n2)>=0];subplot(1,2,1)stem(k,f1,'fill','-k','linewidth',2);xlabel('k');ylabel('f_1(k)');title('ε(k)')axis([k1,k2+0.2,-0.1,1.1])subplot(1,2,2)stem(k,f2,'filled','-k','linewidth',2);xlabel('k');ylabel('f_2(k)');title('ε(k-2)')axis([k1,k2+0.2,-0.1,1.1]);程序运⾏后，仿真绘制的结果如图所⽰:3clear all; close all; clc;k1=-2;k2=7;k=k1:k2; %建⽴时间序列n1=0;n2=6; f1=[(k-n1)>=0];f2=[(k-n2)>=0];f=f1-f2;stem(k,f,'fill','-k','linewidth',2);xlabel('k');ylabel('f(k)');title('G_6(k)')axis([k1,k2,-0.1,1.1]);程序运⾏后，仿真绘制的结果如图所⽰:五、设计的结论及收获实现了⽤matlab绘制离散时间信号, 通过对离散信号波形的绘制与观察，加深理解离散信号的基本特性。

信号与系统-第6章信号与系统的时域和频域特性

19
1.可以将模特性的相乘关系变为相加关系； 2.利用对数坐标的非线性，可以展示更宽范围的频 率特性，并使低频端更详细而高频端相对粗略； 3.对连续时间系统，可以方便地建立模特性和相位 特性的直线型渐近线。 工程中广泛应用的有两种对数模：
ln H( j) lg 单位：奈培（Np） 20lg H( j) lg 单位：分贝（dB） （decibel）
1
- c c
低通
2 2 c
1
- c c 2 c
高通
1
- 2 1 0 1 2
带通
1
- 1 1 2
2
带阻
25
各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。
离散时间理想滤波器的特性在 区间上，与相应
的连续时间滤波器特性完全相似。
三.理想滤波器的时域特性 以理想低通滤波器为例
1,
H ( j)
二维傅里叶变换的相位
模保持，相位为0的图10
相位保持，模全1的图 像
相位保持，模换为(g)的模
11
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
（The Magnitude-Phase Representation of the Frequency Response of LTI Systems）
• LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面: 1. 改变输入信号各频率分量的幅度； 2. 改变输入信号各频率分量的相对相位。
无论CTFT还是DTFT，一般情况下都表现为 一个复函数。
X ( j) X ( j) e j X ( j) X (e j ) X (e j ) e j X (e j )
这说明：一个信号所携带的全部信息分别包含在 其频谱的模和相位中。

6信号与系统的时域和频域特性汇总


6.2.1 线性和非线性相位 一、线性与非线性相位 信号在传输过程中，相位特性或幅度特性发生改变都会引起信号 波形的改变，即发生失真。 当相位特性仅仅是附加一个线性相移时，则只是信号在时间 上的平移。
若连续时间LTI系统:
则
这种失真并没有丢失信号所携带的任何信息，只是发生时间上的 延迟，因而在工程应用中是允许的。 如果系统的相位特性是非线性的，不同频率分量受相位特性影响 产生的时移不同叠加起来一定会变成一个与原信号很不相同的信 号波形。 对离散时间LTI系统，也有同样的结论。但对线性相位系统，当 相位特性的斜率是整数时只引起信号的时间平移。
增加时延
| X ( j ) | e
j X ( j )
| X ( j ) | e
时移特性 time
j[ X ( j )t0 ]
X ( j )e x(t ) X ( j ) shifting
F 1
j t0
x(t t0 )
F 1
实函数
X ( j )
d X ( j ) Delay : 时延 d

1 2 x(t ) 1 cos(2 t 1 ) cos(4 t 2 ) cos(6 t 3 ) 2 3

x(t )
k


xk e jk 2 t
1 jφ1 1 jφ2 1 jφ3 a 0 =1; a1 = e ; a 2 = e ; a 3 = e 4 2 3 1 -jφ1 1 -jφ2 1 -jφ3 a -1 = e ; a -2 = e ; a -3 = e 4 2 3
1、改变输入信号各频率分量的幅度；
2、改变输入信号各频率分量的相对相位。 LTI系统频率响应的模和相位表示：
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f1(n) f2 (n) eiu(i)u(n i) i
考虑到f1(n)、f2(n)均为因果序列，可将上式表示为 ：
n
f1(n) f2 (n) eiu(n i) ei
i0
i0
1
en e1 1 e1
1
e(n1) 1 e1
n≥0
f1(n)
f2 (n)

enu(n) u(n)
1 e(n1)
6.3 LTI离散时间系统的响应
离散系统基本运算单元 在离散时间系统中，基本单元为延时（移位）器、数乘 器、加法器等。
3. 正弦序列
一般形式为：
f (n) A cos(n0 )
是周期信号的条件：
不一定是 周期的！
f (n) f (n N ) N 为正整数
Acos(n0 ) Acos[0 (n N ) ]
N0 2k
k为整数
0 k
2 N
2k
即上式为有理数时，正弦序列才是周期序列，周期为 N
否则为非周期序列。
3. 如果f1(n)和f2(n)均为因果序列 卷积和仍为因果序列！
n
f1(n) f2 (n) f1(i) f2 (n i) i
n
f1(n) f2 (n) f1(i) f2 (n i) i0
6.2 卷积和
6.2.2 卷积和的性质 性质1 离散信号的卷积和运算服从交换律、结合律和分配律
n
... i
f2(n i)
...
n 1
f1 (i )
1
...
01 2 3
i
f2 (n)
1
...
01
n
f2 (i) 1
f1(n) * f2 (n)
(0.5)i u(i)u(n i 1) i
01 i
n1
(0.5)i 2 (0.5)n1
f1 (i )
i0
1
f2(n i)
...
...
补充：等比数列求和公式： Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
6.3 LTI离散时间系统的响应
6.3.1 LTI离散系统模型
f (n)
离散时间系统
y(n)
简记为： f (n) y(n) 时不变特性： 若对于任意整数n0， 恒有 f (n n0 ) y(n n0 )
f1(n) * f2 (n) f2 (n) * f1(n) f1(n) *[ f2 (n) * f3(n)] [ f1(n) * f2 (n)]* f3(n)
[ f1(n) * f3(n)]* f2 (n) f1(n) *[ f2 (n) f3(n)] f1(n) * f2 (n) f1(n) * f3(n)
6.1 离散时间信号的描述
6.1.1 离散时间信号的概念 连续时间信号：连续时间变量t的函数。
特点：在时间定义域内，除有限个不连续点外， 对 任一给定时刻都对应有确定的信号值。
离散时间信号：它是离散时间变量tn(n=0,±1, ±2, …)的 函数。
特点：信号仅在规定的离散时间点上有意义，而在其
它时间则没有定义。
f (n)
3 2
1
n
-1 0 1 2 3 4 -1
f (n) 2 (n 1) 3 (n 1) (n 2) (n 3) 2 (n 4)
推广到一般的情形：
f (n) ... f (1) (n 1) f (0) (n) f (1) (n 1) f (2) (n 2) ...
f (m) (n m) m
令n由-∞至∞变化，f2(n-i)图形将从-∞处开始沿i轴自左向右移动 ，并由卷 积和表达式计算求得卷积和序列f(n)。
6.2 卷积和
f (n) f1(n) f2 (n) f1(i) f2 (n i)
n
i
f1(i) f2 (n i)
i0
n 0时, f1(i) f2 (n i) 0， 故f (n) 0
1 e1
u(n)
6.2 卷积和
例：已知离散信号
1
f1 (n)
3 2
0
n0 n 1 n2 其他
4 n f2 (n) 0
求卷积和f1(n)*f2(n)。
n 0,1, 2, 3 其他
法一：图解法：与卷积运算一样，用图解法求两序列的卷积 和运算包括信号的翻转、平移、相乘 、求和四个基本步骤。
6.2 卷积和
0
6.1 离散时间信号的描述
对连续时间正弦信号 cos(0t) （周期为T0 ）抽样（取样
间隔为Ts ），得到的样本为一个正弦序列：
f (n) cos(0t) tnTs
cos
2
T0
nTs
cos(0n)
0
2Ts
T0
Ts 称为周期比 T0
当：
0 Ts k
2 T0 N
为有理数时，抽样得到的正弦序列才是 周期的。
则： f1(n) f2 (n m1) f1(n m1) f2 (n) f (n m1)
f1(n m1) f2 (n m2 ) f1(n m2 ) f2 (n m1) f (n m1 m2 ) （m1 , m2均为整数）
6.2 卷积和
例：设f1(n)=e-nu( n)，f2(n)=u(n), 求f1(n)*f2(n)。 解： 由卷积和定义式
为序列f1(n)和f2(n)的卷积和运算，简称卷积和 ( Convolution Sum)
1. 如果f1(n)为因果序列（n＜0时，f1(n)=0） f1(n) f2 (n) f1(i) f2 (n i) i0
2. 如果f2(n)为因果序列（当(n-i) ＜0，即i＞n时，f2(n-i)=0）
n
0时，f
(0)
f1(i) f2 (0 i)
i
14 4
0
f1(i) f2 (i) i0
f1(0) f2 (0)
1
n 1时，f (1) f1(i) f2 (1 i) f1(0) f2 (1) f1(1) f2 (0) i0
312 15
2
n 2时， f (2) f1(i) f2 (2 i) i0
第 六 章 离散信号与系统的时域分析
本章重点
离散信号及其表示方法; 离散系统的零状态响应、卷积和的计算; 离散系统的差分方程和模拟方法 。
问：为什么要学习离散系统的分析方法？
主要是因为在实际的工作和生活中，有着大量离散信 号和系统的应用实例。如手机、电脑、CCD相机等等， 都是离散信号与系统的实例，实际上现在离散信号与 系统已经广泛应用于语音与视频处理、数字图像处理、 现代通信、广播和电视、雷达和声纳、生物医学等各 个领域。
f
(n)
f1(n)
f2
(n)
4
n0
15
19
13
7
2
6.2 卷积和
法四：脉冲序列表示法（两个有限长序列的卷积和计算）
f1(n) δ(n) 3δ(n 1) 2δ(n 2)
f2 (n) 4δ(n) 3δ(n 1) 2δ(n 2) δ(n 3)
y(n) f1(n) * f2 (n) [δ(n) 3δ(n 1) 2δ(n 2)]* f2 (n) f2 (n) 3 f2 (n) |nn1 2 f2 (n) |nn2 4δ(n 1) 15δ(n) 19δ(n 1) 13δ(n 2) 7δ(n 3) 2δ(n 4)
6.2 卷积和
法三：不进位相乘法 （两个有限长序列的卷积和计算）
把两个序列排成两行，按普通乘法运算进行相乘， 但中间结果不进位， 最后将位于同一列的中间结果相加得到卷积和序列。
432 1
×
13 2
864 2 12 9 6 3
+4 3 2 1
4 15 19 13 7 2
n=3 n=2
n=5 n=5
注意：卷积和序列值的序号=相乘两序列值序号之和
6.2 卷积和
例6.2-2：已知两个离散序列分别为：f1(n) (0.5)n u(n) f2 (n) u(n 1) ,试求两个序列的卷积和。
解： 可以用两种方法计算：
方法一：图解法。 方法二：运用卷积和性质求解。
6.2 卷积和
f1 (n) 1
... 01 2 3
f1 (i )
1
... 01 2 3
线性特性： f1(n) y1(n), f2 (n) y2 (n)
则：af1(n)+bf2(n) → ay1(n)+by2(n) （a和b为任意常数）
系统响应的可分解性： y(n) yx (n) y f (n)
仅由n0时刻（设n0为初始观察时 刻）的初始状态引起的响应
仅由当前输入信 号引起的响应
01 2 3
i
n 1
n 1
6.2 卷积和
方法二： 应用卷积和性质
y(n) (0.5)n u(n)* u(n) (0.5)i u(i)u(n i) i n (0.5)i [2 (0.5)n ]u(n) i0
f1(n) * f2 (n) y(n) |nn1 [2 (0.5)n1]u(n 1)
6.2 卷积和
性质 2 任一序列f(n)与单位脉冲序列δ(n)的卷 积和等于序
列f(n)本身 f (n) (n) (n) f (n) f (n)
f (n) (n m) f (n m)
n
f (n) u(n) f (i) i
性质 3 时移性质 若 f1(n)*f2(n)=f(n)
f1(0) f2 (2) f1(1) f2 (1) f1(2) f2 (0) 2 9 8 19
同理： f (3) 13, f (4) 7, f (5) 2,以及n 5时f (n) 0。
6.2 卷积和
法二：定义法