大学数学精彩案例67页PPT

记作U
0
(a).
教 案
U 0 (a) {x | 0 x a }
注意：邻域总是开集。
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高
等 二、映射
数 学
1、概念
电 子
设X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则 f，使得对
教 案
X中每个元素x，按法则 f，在Y中有唯一确定的元素y与
之对应，则称f 为从X到Y的映射. 记作 f ：X→Y .
高
等
数
学
电
子 教
(函 数与 极 限)
案
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高
等
数
第一章 函数与极限
学
电 子
第一节 映射与函数
教 案
一、集合
1、概念 具有某种特定性质的事物的总体;
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
武
汉 科
元素a属于集合M, 记作 aM
技
学 院
元素a不属于集合M, 记作 aM
数
理
科
技
学 院
g[ f (x)] 1 (x2 1) 2 x2 1 x 2
数
理
系
高 等 三、函数 数 学 1、函数概念 电 子 定义1 设数集D R,则称映射 f : D→R为定义在D上的 教 案 函数，记作 y f (x), x D
其中 f 是对应规则，D称为函数的定义域，x 叫做自
数
理
系
高
等
数
2、区间
学
电
是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个
子
教 案
实数叫做区间的端点.
a,b R, 且a b.

02. 一元函数积分学 UNIVARIATE FUNCTION INTEGRATION
03. 多元函4. 高等数学级数 ADVANCED MATHEMATICS SERIES
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01.
一元函数 微分学
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大学高等数学专业 课程讲解通用PPT模板
高等数学
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EXPLANATION TEMPLATE OF ADVANCED MATHEMATICS COURSE
授课老师：XXX 时间：20XX.XX
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01. 一元函数微分学 UNIVARIATE FUNCTIONAL DIFFERENTIAL
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世界上最好的课堂在老人的脚下.
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
§1 微分中值定理 §2 L’Hospital法则 §3 Taylor公式和插值多项式 §4 函数的Taylor公式及其应用 §5 应用举例 §6 方程的近似求解
第六章 不定积分
§1 不定积分的概念和运算法则 §2 换元积分法和分部积分法 §3 有理函数的不定积分及其应用
目 录 （上册）
第七章 定积分
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
➢通过严格的训练，具备熟练的运算能力与技巧；
➢注重微积分的应用，掌握数学模型的思想与方法， 提高应用微积分这一有力的数学工具分析问题、解 决问题的能力。
目 录 （上册）
第一章 集合与映射
§1 集合 §2 映射与函数
第二章 数列极限
§1 实数系的连续性 §2 数列极限 §3 无穷大量 §4 收敛准则
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切h,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.

数集间的关系: N Z, Z Q, Q R. 若A B,且B A,就称集合A与B相等. ( A B) 例如 A {1,2},
C {x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, {x x R, x2 1 0}
规定 空集为任何集合的子集.
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5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a
a ;
bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
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二、函数概念
定义 设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集， 如果对于每个数x D, 变量 y按照一定法则总有 确定的数值和它对应，则称 y是 x的函数，记作
2 t2
,5(t
2
1)
(t 2
2 1)2
；
3、(4,6)；
七、 y ln 1 x ,(1,1). 1 x
2、1,1； 4. (0, 2] .
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一、基本初等函数
1.幂函数
y x (是常数)
y
y x
y x2
1
y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
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2
2
2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限
次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可
用一个式子表示的函数,称为初等函数.
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例1
设
e x , f (x)

计算阻抗和导纳
计算阻抗
阻抗是电路中阻碍电流流动的因素，由电阻 、电感、电容等组成。通过积分，我们可以 计算出阻抗的大小，从而分析电路的性能。
计算导纳
导纳是电路中与阻抗相对应的另一个重要参 数，表示电路对电流的响应能力。通过积分 ，我们可以计算出导纳的大小，进一步分析
电路的响应特性。
计算功率和能量
计算曲线的弧长
对于一般的平面曲线，其弧长可以通 过格林公式计算，即∫Pdx+Qdy，其 中P、Q为曲线上的参数函数。
03
积分在物理学中的应用
计算质量
总结词
积分在物理学中常用于计算质量，通过计算体积对质量的密度分布进行积分， 可以得到物体的总质量。
详细描述
在物理学中，质量是物体所含物质的量，通常用 m 表示。物体的质量可以通过 对质量的密度分布进行积分来计算。假设物体的体积为 V，质量的密度分布为 ρ(x, y, z)，则物体的总质量 M 可以表示为 M = ∫ρ(x, y, z)dV。
计算长度
不定积分可以用来计算平面曲 线的长度，例如圆弧、椭圆弧 等。
积分在经济学中的应用
计算总收益
在经济学中，总收益是指企业在 一定时期内通过销售产品或提供 服务所获得的总收入，可以通过 积分来计算。
计算总成本
总成本是指企业在生产过程中所 花费的所有成本，包括固定成本 和变动成本，也可以通过积分来 计算。
计算速度和加速度
总结词
通过积分计算速度和加速度是物理学中常见的应用，速度是位移对时间的积分，加速度是速度对时间的积分。
详细描述
在物理学中，速度是描述物体位置变化快慢的物理量，通常用 v 表示。速度可以通过对位移函数 s(t) 进行时间 t 的积分得到，即 v = ∫ds/dt。加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，通常用 a 表示。加速度可以通过对速 度函数 v(t) 进行时间 t 的积分得到，即 a = ∫dv/dt。

解
原式
lim a cos ax sinbx x0 bcos bx sinax
cos bx lim x0 cos ax
1.
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例5 求 lim tan x . x tan 3 x
2
解
原式
lim
x
sec2 3sec2
x 3x
1 3
lim
x
cos2 3x cos2 x
2
2
1 lim 6cos 3x sin3x lim sin6x
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例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明:
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
证 分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g( x) x2 ,
F(b) F(a) f (b) f (a) f () .
F (b) F (a) F ()
当 F ( x) x, F (b) F (a) b a, F ( x) 1,
f (b) f (a) f () F (b) F (a) F ()
f (b) f (a) f (). ba
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例3 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x) f (0) f ()( x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x

注
1）0 x x0 表示 x x0 , x x0 时 f ( x) 有无极限 与
f ( x0 ) 有无定义没有关系.
2） 任意给定后，才能找到 ， 依赖于 ，且 ( ) 越小， 越小.
3） 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.
函数极限的几何解释
y
O x
如果函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一正数ε,作两条 平 行 于 x 轴 的 直 线 y=A+ε 和 y=A-ε, 存 在 点 x0 的 δ 邻 域 (x0-δ, x0+δ),当x在邻域(x0-δ, x0+δ)内,但x≠x0时,曲线y=f(x)上的点 (x,f(x))都落在两条平行线之间。
观察函数 y=1/x 的图像
y y=1/x
o
x
再考察函数 y = ln x
y y=lnx
o
x
无穷小和无穷大的关系
在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。 即在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则
1 f ( x) 为无穷小；反之，如果f (x)为无穷小，且 f ( x) 0 则 1 为无穷大
x
x
x
若lim f ( x)或lim f ( x)不存在,则 lim f ( x)不存在.
x
x
x
若 lim f ( x) lim f ( x) , 则lim f ( x) 不存在.
x
x
x
几何意义
如果函数f(x)当x→∞时极限为A，以 任意给定一正数ε,作两条平行于x轴 的 直 线 y=A-ε 和 y=A+ε, 则 总 存 在 一 个正数X，使得当x<－X或x>X时， 函 数 y=f(x) 的 图 形 位 于 这 两 条 直 线 之间.

提高计算能力
大学数学强调计算和推导的准确性， 学生应提高自己的计算能力和技巧。
建立数学模型
学生应了解如何建立数学模型，将实 际问题转化为数学问题，进而求解。
02
微积分
导数与微分
导数的定义与性质
微分的概念与应用
导数描述了函数在某一点的斜率，是微积 分中的基本概念。导数具有一些重要的性 质，如可加性、可乘性和链式法则等。
MATLAB在数学建模中的应用
通过实例介绍如何使用MATLAB进行数学建模、数值计算和数据分析，包括符号计算、数 值优化、信号处理和图像处理等。
感谢观看
THANKS
特征值与特征向量的计算方法
介绍如何计算特征值和特征向量，包括方法、步骤等。
04
概率论与数理统计
概率论基础
概率的定义与性质
概率是描述随机事件发生可能性 大小的数值，具有非负性、规范 性、可加性等性质。
古典概型与几何概
型
古典概型适用于样本空间有限的 情况，几何概型适用于样本空间 无限且各元素出现的可能性相等 的情况。
大学数学PPT课件
目 录
• 引言 • 微积分 • 线性代数 • 概率论与数理统计 • 实变函数与复变函数 • 数学建模与科学计算
01
引言
大学数学的重要性
培养逻辑思维
大学数学注重推理和证明，有助 于培养学生的逻辑思维和批判性
思维能力。
基础学科
大学数学是许多学科的基础，如物 理、工程、经济等，掌握好数学基 础对于其他学科的学习至关重要。
微分是导数的几何解释，表示函数在某一 点附近的小变化。微分在近似计算、误差 估计和优化问题中有广泛的应用。
导数的计算方法
导数的几何意义

-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
4．函数的周期性:
设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的
数l, 使得对于任一x D, ( x l ) D. 则称f ( x)为周
期函数, l称为f ( x)的周期. 且f ( x l) f ( x)恒成立.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 , 点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a }.
对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2x 1,
f
(
x)
x
2
1,

生物学中的数学模型
生物学中的许多研究领域，如遗传学和生态学，都使用数学模型来 描述和预测自然现象。
数学在日常生活中的应用
金融决策
在投资、保险和贷款等方面，数学知识能够帮助我们做出明智的 决策。
数据分析
在商业、医疗和科研领域，数学技能对于数据分析和解读至关重 要。
计算机科学
计算机科学中的算法、数据结构和软件工程等方面都涉及到大量 Leabharlann 数学知识。业发展都非常重要。
数学在金融、经济和统计学中的应用
03
大学数学为金融、经济和统计学等学科提供了必要的基础，是
这些学科研究和应用的关键。
数学与其他学科的联系
物理与数学的紧密联系
物理学的理论体系建立在数学基础之上，数学为物理学的研究提 供了强大的工具。
工程学中的数学应用
在工程学中，数学被广泛应用于结构设计、流体动力学和控制系统 等领域。
数学ppt课件大学
目录
• 引言 • 高等数学基础 • 线性代数 • 概率论与数理统计 • 应用数学案例分析
01
引言
数学在大学中的重要性
数学是科学、工程和技术的基础
01
数学为其他学科提供了理论基础和工具，是科学研究和技术创
新的关键。
培养逻辑思维和问题解决能力
02
数学训练能够培养人的逻辑思维和问题解决能力，对个人和职
感谢观看
概率空间
概率空间是概率论中的基本概念，它是一个三元组，包括样本空间、 事件和概率。
随机变量及其分布
离散型随机变量
离散型随机变量是在某些离散范 围内取值的随机变量，其分布可 以用概率质量函数描述。
连续型随机变量
连续型随机变量是在某个连续区 间内取值的随机变量，其分布可 以用概率密度函数描述。