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大学微积分课件(ppt 版)目录•微积分概述•极限与连续•导数与微分•积分学•微分方程•微积分在实际问题中的应用PART01微积分概述微积分的定义与发展微积分的定义微积分是研究函数的微分与积分的数学分支，微分研究函数在某一点的变化率，而积分则是研究函数在一定区间上的累积效应。
微积分的发展微积分起源于17世纪的物理学和几何学问题，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，逐渐发展成为一门独立的数学学科。
微积分的研究对象与意义研究对象微积分的研究对象是函数，包括一元函数和多元函数，主要研究函数的性质、图像、变化率以及函数间的相互关系等。
研究意义微积分在自然科学、工程技术、社会科学等领域有着广泛的应用，如求解物理问题、优化工程设计、分析经济数据等。
微积分的基本思想与方法基本思想微积分的基本思想是通过局部近似来研究函数的整体性质，即“以直代曲”、“以不变应万变”。
基本方法微积分的基本方法包括微分法和积分法。
微分法是通过求导数来研究函数的局部性质，如单调性、极值等；积分法则是通过求原函数来研究函数的整体性质，如面积、体积等。
PART02极限与连续极限的概念与性质01极限的定义：描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。
02极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。
03无穷小量与无穷大量：定义、性质及比较。
极限的运算法则与存在准则极限的四则运算法则加法、减法、乘法、除法。
极限存在准则夹逼准则、单调有界准则。
连续函数的概念与性质连续函数的定义函数在某一点连续的定义及性质。
间断点及其分类第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）、第二类间断点。
连续函数的性质局部性质（局部有界性、局部保号性）、整体性质（有界性、最值定理、介值定理）。
连续函数的四则运算加法、减法、乘法、除法。
初等函数基本初等函数及其性质，初等函数的连续性。
复合函数的连续性复合函数连续性的判断及证明。
连续函数的运算与初等函数PART03导数与微分导数的概念与几何意义导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系描述函数图像在某一点处的局部变化率。
《微积分B-I》课的要求1. 每次的作业都应该认真完成！（作业本上传在mystu上，自己下载、打印出来），每周收发一次（周五收），每次交作业请写上自己的姓名、学号、专业，并在上课前按专业交给到讲台上，过后不收!!!2. 上课不准迟到、旷课（必要时会点名）！3. 期末总成绩：平时占10%，研讨的表现占10%，期中占20%，期末占60%。
辅导书：高等数学学习辅导—问题、解法、常见错误剖析西北工业大学高等数学教研室编，科学出版社第一章函数与极限讲课教师林小苹汕头大学数学系2015年9月第一节映射与函数一.基本概念二.函数概念三.函数的特性四.反函数五.复合函数六.初等函数七.小结思考题一、基本概念1. 集合(1)【定义】具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.本书今后用到的集合主要是数集即元素都是数的集合常用的数集:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集N+----？正整数集汕大数学系林小苹2.区间和邻域⑴【区间】是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.o xa b o xa b 开区间{} ),(x b a =b x a<<闭区间{}],[x b a =b x a ≤≤有限区间{} ),[x b a =b x a<≤{} ],(x b a =b x a ≤<半开区间[]b a ,()b a ,[)b a ,(]b a ,o x ao xb 无限区间无限区间{} ),[x a =∞+x a≤{}],(x b =−∞b x ≤{} ),(x =∞+−∞R ∈x，实数集R⑵【邻域】点a 的δ邻域，记为)(δ+a δ−a a {}),(U x a =δ{}x {} x =δ<−a x 其中, a 称为邻域中心, δ称为邻域半径.去心δ邻域左δ邻域:,),(a a δ−右δ邻域:.),(δ+a a δδ+<<−a x a δ<−<a x 0x 例如：| x -x 0 | < ε是x 0的一个ε邻域.=),(δa ∪)(δ+a δ−a a0 a x a x ≠−<意味着注意，汕大数学系林小苹1.【函数定义】设数集D 包含于R ，则称映射f :D →R 为定义在D 上的函数，记为:, , )(D x x f y ∈=二、函数概念【问题】函数与映射的关系是什么？区别是什么？D (数集或点集) Rf 函数是映射的特例:(对应规则)W o x y ),(y x x y D⋅如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫多值函数．【注意】微积分所研究的函数都是单值函数.⎩⎨⎧≤−>−=0,10,12)(,12x x x x x f 例12−=x y 12−=x y 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.2.【分段函数】⎩⎨⎧<−≥==00,2x x x x x y 例x y =xy o绝对值函数三、函数的特性1.【函数的单调性】2.【函数的奇偶性】3.【函数的周期性】4.【函数的有界性】汕大数学系林小苹1．【函数的单调性】,,)(D I D x f ∈区间的定义域为设函数,, 2121时当及上任意两点如果对于区间x x x x I <),()()1(21x f x f <恒有)(x f y =)(1x f )(2x f xyoI则称函数f (x )在区间I 上是单调增加的.)(x f y =)(1x f )(2x f xyoIf (x )在区间I 上是单调减少.2．【函数的奇偶性】偶函数有对于关于原点对称设,,D x D ∈∀)()(x f x f =−yx)(x f −)(x f y =ox-x)(x f 图象关于y 轴对称称f (x )为偶函数有对于关于原点对称设,, D x D ∈∀)()(x f x f −=−奇函数)(x f −yx)(x f o x -x)(x f y =图象关于原点对称称f (x )为奇函数3．【函数的周期性】（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.2l −2l 23l −23l ,0,>∃∈∀l D x 且,D l x ∈±)()(x f l x f =±则称f (x )为周期函数,若称l 为周期【定义】汕大数学系林小苹周期为=？【注】周期函数不一定存在最小正周期.【例如】常量函数Cx f =)(狄里克雷函数=)(x f x 为有理数x 为无理数,1,0周期函数(无最小正周期)特别注意otuππ−11−2π汕大数学系林小苹M-My x o Xx M-My x o y=f(x)X有界无界f (x ) 在X 上无界Mx f X x M >∈∃>∀⇔)( , ,0 00使得【问题】如何描写函数在某区间上无界？则称成立有若,)(,,0M x f X x M ≤∈∀>∃..)(否则称无界上有界在函数X x f 【有界的定义】汕大数学系林小苹四、反函数1.【定义】若函数)(:D f D f →为单射,则存在逆映射DD f f →−)(:1称此映射1−f 为f 的反函数.)(x f y =直接函数xyo),(a b Q ),(b a P )( 1x f y −=反函数函数与反函数在同一坐标系下的图形关于直线y = x 对称.)(x f y =y =xy =【反三角函数】xy arcsin =xy arcsin =反正弦函数x=反余弦函数y arccos=xy arccosxy arctan =xy arctan =反正切函数2π2π−x反余切函数arc=y cotπ=arcxy coto五、复合函数,u y =设,12x u −=21x−=[问题]任给两个函数都可以复合吗？能否构成复合函数？和例22arcsin :x u u y +==)2arcsin(2x y +≠，（的值域),2+∞=u ∵]1,1[−=的定义域而y 可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）。
