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初等数论课件《初等数论》课件⼗堰⼴播电视⼤学-------任鹏第⼀部分⼤纲说明⼀、课程的作⽤与任务“初等数论”课程是中央⼴播电视⼤学数学与应⽤数学专业的⼀门限选课。
数学与应⽤数学专业的学⽣学习⼀些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的⼀些课程。
通过这门课的学习，使学⽣获得关于整数的整除性、不定⽅程、同余式、原根与指标及简单连分数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常⽤的⽅法，加强他们的理解和解决数学问题的能⼒，为今后的学习奠定必要的基础。
⼆、课程的⽬的与要求初等数论是研究整数性质的⼀门学科，历史上遗留下来没有解决的⼤多数数论难题其问题本⾝容易搞懂，容易引起⼈的兴趣，但是解决它们却⾮常困难。
本课程的⽬的是简单介绍在初等数论研究中经常⽤到的若⼲基础知识、基本概念、⽅法和技巧。
通过本课程的学习，使学⽣加深对整数的性质的了解，更深⼊地理解初等数论与其它邻近学科的关系。
三、教学要求有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等⽅法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。
第⼆部分学时按排⼀、学时和学分1、本课程共54学时，学时分配为：2、学分本课程共3学分。
⼆、教材1、⽂字教材是学⽣学习的主要⽤书，它是教和学的主要依据。
根据远程开放教育要求和电⼤学⽣⼊学时⽔平参差不齐的实际情况，⽂字教材除主教材外，并配辅助教材。
⽂字教材是学⽣获得知识和能⼒的重要媒体，教材中对概念的叙述要直观⽆误，论证要清楚，要适合成⼈开放教育、以业余学习为主的特点，要便于学⽣⾃学。
2、本课程要积极探索基于⽹络环境的远程开放教育的教学模式、学习模式，充分利⽤IP课程的卫星、⽹络传播的优势，充分发挥IP 课程的教学内容可选和交互性，为学⽣⾃主学习本课程提供更⽅便的教学资源。
三、教学环节1、⾃学⾃学是电⼤学⽣获得知识的重要⽅式，⾃学能⼒的培养也是远程开放⾼等教育的⽬的之⼀，本课程的教学要注意对学⽣⾃学能⼒的培养。
第二章不定方程不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制（比如要求解为正整数等）的方程。
是数论中最古老的分支之一。
古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘幻灯片2建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。
百鸡问题说：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。
这是一个三元不定方程组问题。
1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。
近年来，这个领域更有重要进展。
但从整体上来说，幻灯片3对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。
另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。
幻灯片4第一节二元一次不定方程研究不定方程一般需要要解决以下三个问题：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
本节讨论能直接利用整除理论来判定是否有解，以及有解时求出其全部解的最简单的不定方程———二元一次不定方程。
11(1)(,,,)(,)ax by ca b Z a b a b c +=∈、定理设二元一次不定方程不全为零有整数解的充要条件是：0000,1x y ax by c+=证：（必要条件）设为（）的一组整数解，则 00(,),(,),(,).a b a a b b a b ax by c ∴+=幻灯片6 11(,),(,),,,,00,,(,)(2)a b c c c a b c Z a b Z a b s t Z as bt a b =∈∈≠≠∈+=（充分条件）若设而对且，，则存在使得1111010100002(,)=,=1c asc btc a b c cx sc y tc ax by c x y +==+=在（）式两端同乘以得令，即得，故（）式有一组整数解，. 幻灯片7注：定理的证明过程实际给出求解方程（1）的方法：11()(1)(1)(,)(1),(1)n n n n n n n n n i Q a P b r a b s Q t P ---+-===-=-由辗转相除法等可求得，取；1010(),(,)(,)c c ii sc s x tc t y a b a b ====再取； 00(),(,)(,)1c c iii x s y t a b a b ==则就为方程组（）的一组整数解。
