黄冈中学高考数学典型例题34---导数的运算法则及基本公式应用

教学过程【例3】(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.求a，b的值．规律方法已知曲线在某点处的切线方程求参数，是利用导数的几何意义求曲线的切线方程的逆用，解题的关键是这个点不仅在曲线上也在切线上.【训练3】(2013·福建卷改编)设函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值．1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．第2讲导数的应用(一)教学效果分析【例3】(2012·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．规律方法在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.【训练3】设函数f(x)＝x＋ax2＋b ln x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．1．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得．。

高三数学导数专题例题及知识点总结一、导数的基本应用（一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值基本思路：定义域 →→ 疑似极值点 →→ 单调区间 →→ 极值 →→ 最值 基本方法： 一般通法：利用导函数研究法 特殊方法：（1）二次函数分析法；（2）单调性定义法【例题1】已知函数22()(1)x b f x x -=-，求导函数22()(1)x b f x x -=-，并确定22()(1)x bf x x -=-的单调区间．解：22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=-22()(1)x bf x x -=-． 令22()(1)x b f x x -=-，得22()(1)x bf x x -=-．当22()(1)x b f x x -=-，即22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-，所以函数22()(1)x bf x x -=-在22()(1)x b f x x -=-和22()(1)x bf x x -=-上单调递减． 当22()(1)x b f x x -=-，即22()(1)x b f x x -=-22()(1)x bf x x -=-当22()(1)x b f x x -=-，即2()(1)f x x =-2()(1)f x x =-所以，22()(1)x b f x x -=-时，函数2()(1)f x x =-在2()(1)f x x =-和2()(1)bf x x =-上单调递减，在22()(1)x bf x x -=-上单调递增，22()(1)x b f x x -=-时，函数22()(1)x bf x x -=-在22()(1)x bf x x -=-和22()(1)x bf x x -=-上单调递减． 22()(1)x b f x x -=-时，函数22()(1)x bf x x -=-在22()(1)x bf x x -=-和22()(1)x bf x x -=-上单调递减，在22()(1)x bf x x -=-上单调递增．【例题2】已知函数22()(1)x b f x x -=-的图象过点22()(1)x b f x x -=-，且函数22()(1)x bf x x -=-的图象关于y 轴对称.（Ⅰ）求22()(1)x b f x x -=-的值及函数22()(1)x b f x x -=-的单调区间；（Ⅱ）若22()(1)x bf x x -=-，求函数22()(1)x b f x x -=-在区间22()(1)x b f x x -=-内的极值.解：（Ⅰ）由函数22()(1)x b f x x -=-图象过点22()(1)x b f x x -=-，得22()(1)x bf x x -=-，……… ① 由22()(1)x b f x x -=-，得22()(1)x b f x x -=-，则22()(1)x bf x x -=-； 而22()(1)x b f x x -=-图象关于22()(1)x bf x x -=-轴对称，所以－22()(1)x b f x x -=-，所以22()(1)x bf x x -=-，代入①得 22()(1)x b f x x -=-.于是22()(1)x bf x x -=-. 由22()(1)x b f x x -=-得22()(1)x b f x x -=-或22()(1)x bf x x -=-，故22()(1)x bf x x -=-的单调递增区间是22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x bf x x -=-； 由22()(1)x b f x x -=-得22()(1)x b f x x -=-，故22()(1)x bf x x -=-的单调递减区间是22()(1)x bf x x -=-. （Ⅱ）由（Ⅰ）得22()(1)x b f x x -=-，令22()(1)x b f x x -=-得22()(1)x bf x x -=-或22()(1)x b f x x -=-.当22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=-22()(1)x bf x x -=-由此可得：当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-内有极大值22()(1)x bf x x -=-，无极小值；当22()(1)x bf x x -=-时，22()(1)x bf x x -=-在22()(1)x bf x x -=-内无极值； 当22()(1)x bf x x -=-时，22()(1)x bf x x -=-在22()(1)x b f x x -=-内有极小值22()(1)x bf x x -=-，无极大值；当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x bf x x -=-内无极值.综上所述，当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-有极大值22()(1)x bf x x -=-，无极小值；当22()(1)x bf x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-有极小值22()(1)x b f x x -=-，无极大值；当22()(1)x bf x x -=-或22()(1)x bf x x -=-时，22()(1)x bf x x -=-无极值.点评：本题是前面两个例题的变式，同样考查了对导函数零点的分类讨论，但讨论的直接对象变为了函数自变量的研究范围，故此题思路不难，旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识，并提升其详尽分类，正确计算的水平.【例题3】已知函数22()(1)x bf x x -=-，a ＞0，(I)讨论22()(1)x bf x x -=-的单调性;(II)设a=3，求22()(1)x b f x x -=-在区间[1，22()(1)x bf x x -=-]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数.解：（Ⅰ）由于22()(1)x b f x x -=-,令22()(1)x b f x x -=-得22()(1)x bf x x -=-① 当22()(1)x b f x x -=-，即22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-恒成立，∴22()(1)x bf x x -=-在22()(1)x bf x x -=-上都是增函数.② 当22()(1)x b f x x -=-，即22()(1)x bf x x -=-时， 由22()(1)x b f x x -=-得22()(1)x b f x x -=-或22()(1)x bf x x -=- ∴22()(1)x b f x x -=-或22()(1)x b f x x -=-或22()(1)x bf x x -=-又由22()(1)x b f x x -=-得t <，∴x <综上,当22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x bf x x -=-上都是增函数； 当22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-及22()(1)x bf x x -=-上都是增函数，在22()(1)x bf x x -=-是减函数. （2）当22()(1)x b f x x -=-时，由（1）知，22()(1)x b f x x -=-在[1，2]上是减函数，在[22()(1)x bf x x -=-上是增函数.又22()(1)x b f x x -=- ∴函数22()(1)x b f x x -=-在区间[1，22()(1)x b f x x -=-]上的值域为22()(1)x bf x x -=-. 点评：（1）第一问在前面例题的理论基础上，进一步加大了运算的难度，涉及到了换元法，分母有理化等代数技巧；（2）第二问将问题延伸到了函数值域上，过程比较简单，是一个承上启下的过渡性问题. （二）利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值范围基本思路：定义域 →→ 单调区间、极值、最值 →→ 不等关系式 →→ 参数取值范围 基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等【例题4】已知函数22()(1)x b f x x -=-的图象在与22()(1)x b f x x -=-轴交点处的切线方程是22()(1)x b f x x -=-.（I ）求函数22()(1)x bf x x -=-的解析式；（II ）设函数22()(1)x b f x x -=-，若22()(1)x b f x x -=-的极值存在，求实数22()(1)x b f x x -=-的取值范围以及函数22()(1)x b f x x -=-取得极值时对应的自变量22()(1)x b f x x -=-的值. 解：（I ）由已知,切点为(2,0),故有22()(1)x b f x x -=-,即22()(1)x b f x x -=- ……①又22()(1)x b f x x -=-，由已知22()(1)x b f x x -=-得22()(1)x b f x x -=-……② 联立①②，解得22()(1)x b f x x -=-.所以函数的解析式为22()(1)x b f x x -=-（II ）因为22()(1)x b f x x -=- 令22()(1)x bf x x -=-当函数有极值时，方程22()(1)x b f x x -=-有实数解.则22()(1)x b f x x -=-，得22()(1)x b f x x -=-. ①当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-有实数22()(1)x b f x x -=-，在22()(1)x b f x x -=-左右两侧均有22()(1)x b f x x -=-，故22()(1)x bf x x -=-无极值②当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-有两个实数根22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=-情况如下表： 所以在22()(1)x b f x x -=-时，函数2()(1)f x x =-有极值；当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-有极大值；当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x bf x x -=-有极小值； 点评：（1） 本题第一问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求.（2） 本题第二问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值，难度不大.【例题5】 设22()(1)x b f x x -=-，函数22()(1)x bf x x -=-． （Ⅰ）若22()(1)x b f x x -=-是函数22()(1)x b f x x -=-的极值点，求22()(1)x bf x x -=-的值； （Ⅱ）若函数22()(1)x b f x x -=-，在22()(1)x b f x x -=-处取得最大值，求22()(1)x bf x x -=-的取值范围．解：（Ⅰ）2()363(2)f xa xx x a x '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =．经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点． （Ⅱ） 由题设，3222()336(3)3(2)g x a x x a x x a x x x x =-+-=+-+．当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时， (0)(2)g g ≥，即02024a -≥．故得65a ≤反之，当65a ≤时，对任意[02]x ∈，， 26()(3)3(2)5gx x x xx +-+≤23(210)5x x x =+-3(25)(2)5x x x =+-0≤， 而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ． 综上，a 的取值范围为65⎛⎤-∞⎥⎝⎦，． 点评：（1） 本题是求函数最值的逆向问题，答案所用的解法是一种比较特殊的方法，具有一定的思维难度.（2） 本题若用一般方法，则可求出g(0)=0，将问题转化为g(x)≤0的恒成立问题，此种解法的计算量将有所加大.（三）导数的几何意义【例题6】设函数22()(1)x b f x x -=-，曲线22()(1)x b f x x -=-在点22()(1)x bf x x -=-处的切线方程为22()(1)x bf x x -=-.（Ⅰ）求22()(1)x bf x x -=-的解析式；（Ⅱ）证明：曲线22()(1)x b f x x -=-上任一点处的切线与直线22()(1)x b f x x -=-和直线22()(1)x bf x x -=-所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解：（Ⅰ）方程22()(1)x b f x x -=-可化为22()(1)x b f x x -=-，当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x bf x x -=-；又22()(1)x b f x x -=-，于是22()(1)x b f x x -=-，解得22()(1)x b f x x -=-， 故22()(1)x bf x x -=-（Ⅱ）设22()(1)x b f x x -=-为曲线上任一点，由22()(1)x b f x x -=-知曲线在点22()(1)x bf x x -=-处的切线方程为22()(1)x b f x x -=-，即22()(1)x bf x x -=-令22()(1)x bf x x -=-，得22()(1)x bf x x -=-，从而得切线与直线22()(1)x bf x x -=-的交点坐标为22()(1)x b f x x -=-； 令22()(1)x bf x x -=-，得22()(1)x bf x x -=-，从而得切线与直线22()(1)x bf x x -=-的交点坐标为22()(1)x b f x x -=-；所以点22()(1)x b f x x -=-处的切线与直线22()(1)x b f x x -=-所围成的三角形面积为22()(1)x bf x x -=-； 故曲线22()(1)x b f x x -=-上任一点处的切线与直线22()(1)x bf x x -=-所围成的三角形面积为定值6. 二、导数应用的变式与转化（一）函数的零点存在与分布问题问题设置：根据函数零点或方程实数根的个数求参数取值范围 基本方法： 通性通法：函数最值控制法特殊方法：（1）二次函数判别式法；（2）零点存在性定理二次函数 （2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平； （3） 研究二次函数零点分布问题时，除了判别式法以外，应补充极值（最值）控制法，为三次函数零点分布研究做方法上的铺垫. 【例题7】设函数22()(1)x bf x x -=-．（1）略；（2）若方程22()(1)x b f x x -=-有且仅有一个实根，求22()(1)x b f x x -=-的取值范围.解：因为 当22()(1)x b f x x -=-时, 22()(1)x b f x x -=-;当22()(1)x b f x x -=-时, 22()(1)x b f x x -=-;当22()(1)x b f x x -=-时, 22()(1)x b f x x -=-;所以 当22()(1)x b f x x -=-时,22()(1)x b f x x -=-取极大值 22()(1)x b f x x -=-; 当22()(1)x b f x x -=-时,22()(1)x b f x x -=-取极小值 22()(1)x b f x x -=-; 故当22()(1)x b f x x -=- 或22()(1)x b f x x -=-时, 方程22()(1)x b f x x -=-仅有一个实根. 解得22()(1)x b f x x -=-或22()(1)x bf x x -=-.点评：本题是零点问题的方程形式，用函数最值控制法解答，属于本类问题的原型题.【例题8】已知二次函数22()(1)x b f x x -=-的导函数的图像与直线22()(1)x b f x x -=-平行，且22()(1)x bf x x -=-在22()(1)x b f x x -=-=－1处取得最小值m －1(m 22()(1)x bf x x -=-).设函数22()(1)x bf x x -=-（1）若曲线22()(1)x b f x x -=-上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为22()(1)x b f x x -=-,求m 的值； （2）22()(1)x b f x x -=-如何取值时,函数22()(1)x bf x x -=-存在零点,并求出零点.解：（1）设22()(1)x b f x x -=-，则22()(1)x bf x x -=-；又22()(1)x b f x x -=-的图像与直线22()(1)x b f x x -=-平行 22()(1)x b f x x -=-，解得22()(1)x b f x x -=- 又22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-取极小值，∴22()(1)x b f x x -=-，解得22()(1)x b f x x -=- 22()(1)x b f x x -=-，解得22()(1)x b f x x -=-；所以22()(1)x b f x x -=-， 设22()(1)x bf x x -=-，则22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=- 22()(1)x bf x x -=-,解得22()(1)x bf x x -=-；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）由22()(1)x b f x x -=-，得22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=- 当22()(1)x b f x x -=-时，方程22()(1)x b f x x -=-有一解22()(1)x b f x x -=-，函数22()(1)x b f x x -=-有一零点22()(1)x bf x x -=-；当22()(1)x b f x x -=-时，方程22()(1)x b f x x -=-有二解22()(1)x b f x x -=-，若22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b f x x -=-有两个零点22()(1)x b f x x -=-； 若22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b f x x -=-有两个零点22()(1)x b f x x -=-； 当22()(1)x b f x x -=-时，方程22()(1)x b f x x -=-有一解22()(1)x b f x x -=-，即22()(1)x b f x x -=-,22()(1)x b f x x -=-有一零点22()(1)x bf x x -=-点评：（1） 本题第一问是涉及均值定理的最值问题，题目计算量中等，思维难度不大；（2） 第二问涉及到的函数为二次函数，故而用含参二次方程的根系关系研究根的分布问题，是本部分的原型问题和重点问题.【例题9】已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222，如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围.解：若0a = , ()23fx x =- ,显然函数在[]1,1-上没有零点. 若0a ≠，令()248382440a a a a ∆=++=++=, 解得a =①当a =时,()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; ②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点.③当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩ 或 ()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或a <，综上，所求实数a 的取值范围是1a >或a ≤.点评：本题以二次函数为载体，设定在区间范围上的零点存在性问题，解答时依零点个数进行分类讨论，涉及到含参二次方程根的分布研究、零点存在性定理. 是原型问题和重点题.【例题10】已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)ab ∈R ． （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围．解：（Ⅱ）函数22()(1)x b f x x -=-在区间22()(1)x bf x x -=-不单调，等价于导函数22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x bf x x -=-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x bf x x -=-上存在零点，根据零点存在定理，有22()(1)x b f x x -=-，即：22()(1)x bf x x -=-整理得：22()(1)x b f x x -=-，解得22()(1)x b f x x -=-三次函数（2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平；（3） 本组题旨在加深对二次函数、三次函数零点分布问题的认识，进而深化对导数方法、极值、最值的理解. 【例题11】已知函数22()(1)x b f x x -=-（I ）求22()(1)x bf x x -=-的单调区间；（II ）若22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-处取得极值，直线y=m 与22()(1)x b f x x -=-的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围. 解：（1）22()(1)x b f x x -=-当22()(1)x bf x x -=-时，对22()(1)x b f x x -=-，有22()(1)x b f x x -=-所以22()(1)x bf x x -=-的单调增区间为22()(1)x bf x x -=- 当22()(1)x bf x x -=-时，由22()(1)x b f x x -=-解得22()(1)x b f x x -=-或22()(1)x b f x x -=-，由22()(1)x bf x x -=-解得22()(1)x bf x x -=-，所以22()(1)x b f x x -=-的单调增区间为22()(1)x b f x x -=-，单调减区间为22()(1)x bf x x -=-.（2）因为22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-处取得极大值， 所以22()(1)x bf x x -=-所以22()(1)x bf x x -=-由22()(1)x b f x x -=-解得22()(1)x bf x x -=-.由（1）中22()(1)x bf x x -=-的单调性可知，22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-处取得极大值1，在22()(1)x b f x x -=-处取得极小值-3. 因为直线22()(1)x b f x x -=-与函数22()(1)x bf x x -=-的图象有三个不同的交点，所以22()(1)x b f x x -=-的取值范围是22()(1)x b f x x -=-. 点评：（1） 本题是三次函数零点存在性问题的典型变式题，涉及图象交点向函数零点的转化关系； （2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；（3） 在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质.（二）不等式恒成立与存在解问题问题设置：当不等关系在某个区间范围内恒成立或存在解为条件，求参数的取值范围 基本思路：转化为函数最值与参数之间的不等关系问题 基本方法： 通性通法：变量分离法、变量转换、最值控制法特殊方法：二次函数判别式法、二次函数根的分布研究【例题12】设函数22()(1)x bf x x -=-为实数.（Ⅱ）若22()(1)x b f x x -=-对任意22()(1)x b f x x -=-都成立，求实数22()(1)x bf x x -=-的取值范围.解：法一（变量转换，最值控制法）：223(1)1a x x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立.即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立设22()(2)2()g a a x x x a R =+--∈，则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈所以对任意(0,)a ∈+∞，()0ga >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥. 即 220x x --≥，20x -≤≤∴， 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤法二（变量分离法）：由题设知：223(1)1a x x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立.于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22202x xx +≤+.解得x 的取值范围是}{|20x x -≤≤.点评：变量分离法可以任何一个变量分离出来，例如本题也可以求出二次方程的根，这样就是将变量x 分离出来了，但过程较复杂，不宜在此处选用.【例题13】已知定义在正实数集上的函数22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x bf x x -=-，其中22()(1)x b f x x -=-．设两曲线22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x bf x x -=-有公共点，且在该点处的切线相同．（I ）用22()(1)x b f x x -=-表示22()(1)x b f x x -=-，并求22()(1)x b f x x -=-的最大值；（II ）求证：f(x )≥g(x)，其中x > 0． 解：（Ⅰ）设22()(1)x b f x x -=-与22()(1)x b f x x -=-在公共点22()(1)x b f x x -=-处的切线相同．22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b f x x -=-，由题意22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b f x x -=-． 即22()(1)x b f x x -=-由22()(1)x b f x x -=-得：22()(1)x b f x x -=-，或22()(1)x b f x x -=-（舍去）． 即有22()(1)x bf x x -=-． 令22()(1)x b f x x -=-，则22()(1)x b f x x -=-． 于是当22()(1)x b f x x -=-，即22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-；当22()(1)x b f x x -=-，即22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-． 故22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-为增函数，在22()(1)x b f x x -=-为减函数， 于是22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-的最大值为22()(1)x b f x x -=-． （Ⅱ）设22()(1)x b f x x -=-， 则22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=-． 故22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-为减函数，在22()(1)x b f x x -=-为增函数， 于是函数22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-上的最小值是22()(1)x b f x x -=-． 故当22()(1)x b f x x -=-时，有22()(1)x b f x x -=-，即当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-．点评：（1） 本题以曲线的切线问题的载体，在第一问中考查了函数最值的求法；（2） 第二问是恒成立问题的应用.两函数比较大小通过相减构造新函数运用导数知识（三）“零点存在与分布问题”与“恒成立、存在解问题”之间的关系（1） 研究对象的本质相同，因此解题方向一致：函数的极值或最值控制是解决这两类问题的通性通法，针对特殊类型的函数，如二次函数，又都可以用相应的函数性质进行研究；（2） 研究对象的载体不同，因此解题方法不同：前者是函数与其所对应的方程之间关系的问题，后者是函数与其所对应的不等式之间关系的问题；（3）原型问题是根本，转化命题是关键：二者都可以进一步衍生出其他形式的问题，因此往往需要先将题目所涉及的问题转化为原型问题，然后利用通性通法加以解决，在转化过程中应注意命题的等价性.【例题14】设函数22()(1)x b f x x -=- （Ⅰ）略；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值； （Ⅲ）已知函数22()(1)x b f x x -=-有三个互不相同的零点0，22()(1)x b f x x -=-，且22()(1)x b f x x -=-.若对任意的22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b f x x -=-恒成立，求m 的取值范围.解：（2）22()(1)x b f x x -=-，令22()(1)x b f x x -=-，得到22()(1)x b f x x -=- 因为22()(1)x b f x x -=-，当x 变化时，22()(1)x b f x x -=-的变化情况如下表：22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=- 22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=-+ 0 - 0 + 22()(1)x b f x x -=- 极小值 极大值 22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-和22()(1)x b f x x -=-内减函数，在22()(1)x b f x x -=-内增函数. 函数22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-处取得极大值22()(1)x b f x x -=-，且22()(1)x b f x x -=-=22()(1)x b f x x -=- 函数22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-处取得极小值22()(1)x b f x x -=-，且22()(1)x b f x x -=-=22()(1)x b f x x -=- （3）解：由题设， 22()(1)x b f x x -=- 所以方程22()(1)x b f x x -=-=0由两个相异的实根22()(1)x b f x x -=-，故22()(1)x b f x x -=-， 且22()(1)x b f x x -=-，解得22()(1)x b f x x -=- 因为22()(1)x b f x x -=- 若22()(1)x b f x x -=-，而22()(1)x b f x x -=-，不合题意 若22()(1)x b f x x -=-则对任意的22()(1)x b f x x -=-有22()(1)x b f x x -=-则22()(1)x b f x x -=-又22()(1)x b f x x -=-，所以函数22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-的最小值为0，于是对任意的22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b f x x -=-恒成立的充要条件是22()(1)x b f x x -=-,解得22()(1)x b f x x -=- w.w.w.k.s.5.u.c.o.m综上，m 的取值范围是22()(1)x b f x x -=- 四、其它形式的问题 【例题15】设函数22()(1)x b f x x -=-其中实数22()(1)x b f x x -=-． （Ⅰ）若22()(1)x b f x x -=-，求函数22()(1)x b f x x -=-的单调区间； （Ⅱ）当函数22()(1)x b f x x -=-与22()(1)x b f x x -=-的图象只有一个公共点且22()(1)x b f x x -=-存在最小值时，记22()(1)x bf x x -=-的最小值为22()(1)x b f x x -=-，求22()(1)x b f x x -=-的值域；（Ⅲ）若22()(1)x b f x x -=-与22()(1)x b f x x -=-在区间22()(1)x b f x x -=-内均为增函数，求22()(1)x b f x x -=-的取值范围． 解：（Ⅰ）22()(1)x b f x x -=- 22()(1)x b f x x -=-，又22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b f x x -=- 当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-；当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-和22()(1)x b f x x -=-内是增函数，在22()(1)x bf x x -=-内是减函数．（Ⅱ）由题意知 22()(1)x b f x x -=-，即22()(1)x b f x x -=-恰有一根（含重根）．22()(1)x b f x x -=- 22()(1)x b f x x -=-≤22()(1)x b f x x -=-，即22()(1)x b f x x -=-≤22()(1)x b f x x -=-≤22()(1)x b f x x -=-，又22()(1)x b f x x -=-，22()(1)x b f x x -=- 22()(1)x b f x x -=-． 当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-才存在最小值，22()(1)x b f x x -=-22()(1)x b f x x -=-． 22()(1)x b f x x -=- 22()(1)x b f x x -=-，∴22()(1)x b f x x -=-.∴22()(1)x b f x x -=-的值域为22()(1)x b f x x -=-． （Ⅲ）当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-和22()(1)x b f x x -=-内是增函数，22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-内是增函数． 由题意得22()(1)x b f x x -=-，解得22()(1)x b f x x -=-≥22()(1)x b f x x -=-； 当22()(1)x b f x x -=-时，22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-和22()(1)x b f x x -=-内是增函数，22()(1)x b f x x -=-在22()(1)x b f x x -=-内是增函数． 由题意得22()(1)x b f x x -=-，解得22()(1)x b f x x -=-≤22()(1)x b f x x -=-； 综上可知，实数22()(1)x b f x x -=-的取值范围为22()(1)x b f x x -=-． 【例题16】已知函数22()(1)x b f x x -=-有三个极值点. （I ）证明：22()(1)x b f x x -=-；（II ）若存在实数c ，使函数22()(1)x b f x x -=-在区间22()(1)x b f x x -=-上单调递减，求22()(1)x b f x x -=-的取值范围.解：（I ）因为函数22()(1)x bf x x -=-有三个极值点， 所以22()(1)x b f x x -=-有三个互异的实根.设2(1)x-则2(1)x-当22()(1)x bf xx-=-时，22()(1)x bf xx-=-22()(1)x bf xx-=-在22()(1)x bf xx-=-上为增函数；当22()(1)x bf xx-=-时，22()(1)x bf xx-=-22()(1)x bf xx-=-在22()(1)x bf xx-=-上为减函数；当22()(1)x bf xx-=-时，22()(1)x bf xx-=-22()(1)x bf xx-=-在22()(1)x bf xx-=-上为增函数；所以函数22()(1)x bf xx-=-在22()(1)x bf xx-=-时取极大值，在22()(1)x bf xx-=-时取极小值.当22()(1)x bf xx-=-或22()(1)x bf xx-=-时，22()(1)x bf xx-=-最多只有两个不同实根.因为22()(1)x bf xx-=-有三个不同实根，所以22()(1)x bf xx-=-且22()(1)x bf xx-=-.即22()(1)x bf xx-=-，且22()(1)x bf xx-=-，解得22()(1)x bf xx-=-且22()(1)x bf xx-=-故22()(1)x bf xx-=-.（II）由（I）的证明可知，当22()(1)x bf xx-=-时, 22()(1)x bf xx-=-有三个极值点.不妨设为22()(1)x bf xx-=-（22()(1)x bf xx-=-），则22()(1)x bf xx-=-所以22()(1)x bf xx-=-的单调递减区间是22()(1)x bf xx-=-,22()(1)x bf xx-=-.若22()(1)x bf xx-=-在区间22()(1)x bf xx-=-上单调递减，则22()(1)x bf xx-=-22()(1)x bf xx-=-, 或22()(1)x bf xx-=-22()(1)x bf xx-=-,若22()(1)x bf xx-=-22()(1)x bf xx-=-，则22()(1)x bf xx-=-.由（I）知，22()(1)x bf xx-=-,于是22()(1)x bf xx-=-若22()(1)x bf xx-=-22()(1)x bf xx-=-,则22()(1)x bf xx-=-且22()(1)x bf xx-=-.由（I）知，22()(1)x bf xx-=-又22()(1)x bf xx-=-当22()(1)x bf xx-=-时，22()(1)x bf xx-=-；当2(1)x-时，2(1)x-.因此，当22()(1)x bf xx-=-时，22()(1)x bf xx-=-所以22()(1)x bf xx-=-且22()(1)x bf xx-=-即22()(1)x bf xx-=-故22()(1)x bf xx-=-或22()(1)x bf xx-=-反之, 当22()(1)x bf xx-=-或22()(1)x bf xx-=-时，总可找到22()(1)x bf xx-=-使函数22()(1)x bf xx-=-在区间22()(1)x bf xx-=-上单调递减.综上所述，22()(1)x bf xx-=-的取值范围是22()(1)x bf xx-=-。

黄冈中学高考知识点与典型例题集合敬请搜索“黄冈中学高考数学知识点”结合起来看效果更好第一部分高考数学知识点重点难点解集合题首先想到Φ=方程无解一，数学思想应用1、数形结合思想在解集合题中的具体应用:数轴法, 文氏图法, 几何图形法数几文2、函数与方程思想在解集合题中具体应用:函数法方程法判别式法构造法3、分类讨论思想 在解集合题中具体应用:列举法 补集法 空集的运用 数学结合4、化归与转化思想 在解集合题中具体应用:列方程 补集法 文氏图法二,集合的含义与表示方法1、一般地，我们把研究对象统称为元素把一些元素组成的总体叫做集合2、集合元素三特性1.确定性；2.互异性；3.无序性3、 a 是集合A 的元素，a ∈A a 不属于集合A 记作 a ∉A 立体几何中体现为 点与直线/ 点与面 的关系元素与集合之间的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.4、非负整数集（自然数集）记作：N 含0正整数集N*或 N+ 不含0整数集Z 有理数集Q 实数集R3、集合表示方法： 列举法 描述法 韦恩图4、列举法：把集合中的元素一一列举出来，用大括号括上。

描述法：将集合中元素的共同特征描述出来，写在大括号内表用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：不等式x-3>2的解集是{x ∈R| x-3>2} {x| x-3>2}集合的分类： 有限集 无限集 空集三、集合间的基本关系“包含”关系—子集B A ⊆有两种可能立体几何中体现为 直线与面关系（a ）A 是B 的一部分（b ）A 与B 是同一集合。

反之: A ⊆/B B ⊇/A （c ）A ∩B=A ⇔B A ⊆⇔C U B ⊆C U A（d ）A ∪B=B ⇔B A ⊆⇔ C U B ⊆C U A（e ）A B ⊆⇔C U A ⊆C U B2．“相等”关系(5≥5，且5≤5⇒5=5)① 任何一个集合是它本身的子集。

5.2.2 导数的四则运算法则 学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点 导数的运算法则已知f (x )，g (x )为可导函数，且g (x )≠0.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，特别地，[cf (x )]′＝cf ′(x )．(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2.1.⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .( √ ) 2．函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( √ )3．当g (x )≠0时，⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ).( √ )一、利用运算法则求函数的导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋43x 3； (2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y ＝x 1＋x； (4)y ＝lg x －e x ；(5)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1. 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋43x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫43x 3′＝x 4＋4x 2. (2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝(3x 2)′＋(x cos x )′＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝x ′(1＋x )－x (1＋x )′(1＋x )2＝1＋x －x (1＋x )2＝1(1＋x )2. (4)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x . (5)y ′＝⎣⎡⎦⎤(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1′ ＝⎝⎛⎭⎫1x －x ′1122=x x '-⎛⎫- ⎪⎝⎭1131222211=22x 'x 'x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－－－＝－－－ ＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . 反思感悟 利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋x ln x ；(2)y ＝ln x x 2； (3)y ＝e xx； (4)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)．解 (1)y ′＝(x 2＋x ln x )′＝(x 2)′＋(x ln x )′＝2x ＋(x )′ln x ＋x (ln x )′＝2x ＋ln x ＋x ·1x＝2x ＋ln x ＋1.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x 2′＝(ln x )′·x 2－ln x (x 2)′x 4 ＝1x ·x 2－2x ln x x 4＝1－2ln x x 3. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x ·x －e xx 2. (4)方法一 y ′＝[(2x 2－1)(3x ＋1)]′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′＝4x (3x ＋1)＋(2x 2－1)×3＝12x 2＋4x ＋6x 2－3＝18x 2＋4x －3.方法二 ∵y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1，∴y ′＝(6x 3＋2x 2－3x －1)′＝(6x 3)′＋(2x 2)′－(3x )′－(1)′＝18x 2＋4x －3.二、利用运算法则求曲线的切线例2 (1)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故π=4|x y'＝12， ∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. (2)已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.①求a ，b 的值；②如果曲线y ＝f (x )的切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切线的方程． 解 ①f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6，解得a ＝1，b ＝－16.②∵切线与直线y ＝－x 4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14或y 0＝－1－1－16＝－18，则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18，即y ＝4x －18或y ＝4x －14.反思感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练2 (1)曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为( )A ．y ＝－x ＋2B ．y ＝5x －4C ．y ＝－5x ＋6D ．y ＝x －1答案 C解析 由y ＝x 3－4x 2＋4，得y ′＝3x 2－8x ，y ′|x ＝1＝3－8＝－5，所以曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为y －1＝－5(x －1)，即y ＝－5x ＋6.(2)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，则a ，b 的值分别为________．答案 1,1 解析 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－b x 2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)， 故⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，a 2－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.三、与切线有关的综合问题例3 (1)曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是( ) A. 2 B.22C ．1D ．2 答案 B解析 设曲线y ＝x ln x 在点(x 0，y 0)处的切线与直线x －y －2＝0平行．∵y ′＝ln x ＋1，∴0=|x x y'＝ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1，∴y 0＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|1－0－2|1＋1＝22， 即曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是22. (2)设曲线 y ＝a (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与直线 x ＋2y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.答案 2e解析 令y ＝f (x )，则曲线y ＝a (x －1)e x 在点(1,0)处的切线的斜率为f ′(1)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(1)＝2.因为f (x )＝a (x －1)e x ，所以f ′(x )＝a e x ＋a (x －1)e x ＝ax e x ，所以f ′(1)＝a e ，故a ＝2e. 反思感悟 本题正确的求出函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3 求曲线y ＝2e(x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积． 解 由题意可知，y ′＝2ex ·e x ，y ′|x ＝1＝2， ∴切线方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.令x ＝0得y ＝－2；令y ＝0得x ＝1.∴曲线y ＝2e (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S ＝12×2×1＝1.1．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.103答案 D解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103. 2．设函数y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．3．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 A解析 因为f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3， 所以f ′(x )＝f ′(－1)x －2.所以f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2，所以f ′(－1)＝－1.4．已知f (x )＝ln x x，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 f ′(x )＝(ln x )′·x －ln x ·(x )′x 2＝1x ·x －ln x x 2 ＝1－ln x x 2， 所以f ′(1)＝1.5．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 答案 1解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1.1．知识清单：(1)导数的运算法则．(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．1．(多选)下列运算中正确的是( )A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C.⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′－(x 2)′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′答案 AD解析 A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′，故正确；B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′，故错误；C 项中，⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2，故错误； D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′，故正确．2．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A ．0 B.π4 C ．1 D.π2答案 B解析 对函数求导得f ′(x )＝e x (cos x －sin x )，∴f ′(0)＝1，∴函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为π4. 3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2 答案 B解析 ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2，即ln x 0＝1，解得x 0＝e.4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 B解析 ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(x )为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．(多选)当函数y ＝x 2＋a 2x(a ＞0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0可以是( ) A ．a B ．0 C ．－a D ．a 2答案 AC解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .6．已知f (x )＝sin x 1＋cos x，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________. 答案 23解析 因为f ′(x )＝(sin x )′(1＋cos x )－sin x (1＋cos x )′(1＋cos x )2＝cos x (1＋cos x )－sin x (－sin x )(1＋cos x )2＝cos x ＋cos 2x ＋sin 2x (1＋cos x )2＝cos x ＋1(1＋cos x )2 ＝11＋cos x . 所以f ′⎝⎛⎭⎫π3＝11＋cos π3＝23. 7．已知f (x )＝e x x，则f ′(1) ＝________，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0＝________. 答案 0 12解析 因为f ′(x )＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x (x －1)x 2(x ≠0)． 所以f ′(1)＝0.由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得()00020e 1e 0.x x x x x 0-＋＝ 解得x 0＝12. 8．已知函数f (x )＝e x ·sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是____________． 答案 y ＝x解析 ∵f (x )＝e x ·sin x ，f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y －0＝1×(x －0)，即y ＝x .9．若曲线y ＝x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．解 ∵y ＝x 2－ax ＋ln x ，∴y ′＝2x －a ＋1x， 由题意可知，存在实数x >0使得2x －a ＋1x＝0， 即a ＝2x ＋1x成立，∴a ＝2x ＋1x ≥22(当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时等号成立)．∴a 的取值范围是[22，＋∞)．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8.(1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．解 (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.(2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7，又g (0)＝3，所以曲线g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)，即7x ＋y －3＝0.11．已知曲线f (x )＝x 2＋ax ＋1在点(1，f (1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a 等于( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7答案 C解析 ∵f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，又f ′(1)＝tan 3π4＝－1，∴a ＝7.12．已知曲线f (x )＝(x ＋a )·ln x 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，则a 等于() A.12 B ．1 C ．－32 D ．－1答案 C解析 因为f (x )＝(x ＋a )·ln x ，x >0，所以f ′(x )＝ln x ＋(x ＋a )·1x ，所以f ′(1)＝1＋a .又因为f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，所以f ′(1)＝－12，所以a ＝－32，故选C. 13．已知函数f (x )＝f ′(－1)x 22－2x ＋3，则f (－1)的值为________． 答案 92解析 ∵f ′(x )＝f ′(－1)·x －2，∴f ′(－1)＝－f ′(－1)－2，解得f ′(－1)＝－1.∴f (x )＝－x 22－2x ＋3， ∴f (－1)＝92. 14．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点坐标为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x (x >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点坐标为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.15．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝________. 答案 212解析 因为f ′(x )＝(x )′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.16．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点坐标为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1.∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。

导数的运算公式和运算法则导数可是高中数学中的一个重要概念，它的运算公式和运算法则就像是打开数学世界奇妙之门的钥匙。

咱们先来说说常见的导数运算公式。

比如说，对于函数 $f(x) =x^n$ （$n$ 为常数），它的导数就是 $f'(x) = nx^{n-1}$ 。

这就好比是给一个数穿上了速度的外衣，能让我们更清楚地看到它变化的快慢。

再比如，对于函数 $f(x) = \sin x$ ，它的导数是 $f'(x) = \cos x$ ；对于函数 $f(x) = \cos x$ ，导数则是 $f'(x) = -\sin x$ 。

这是不是有点像变魔术，一下子就变出了新的东西。

还有，常数的导数为 0 ，这就好像是一个静止不动的家伙，压根没有变化的趋势。

接下来说说导数的运算法则。

加减法则，就像是把两个小伙伴的速度合起来或者分开算。

如果有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ ，那么 $(f(x) ±g(x))' = f'(x) ± g'(x)$ 。

乘法则有点复杂，就像两个小伙伴手拉手一起跑，速度的关系就变得微妙起来。

如果是两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 相乘，那么 $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ 。

除法则更是需要我们多费点心思，就好比是要算出两个小伙伴一起跑，但其中一个跑快了或者跑慢了对整体速度的影响。

如果是$f(x)÷g(x)$ ，那么它的导数就是$\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$ 。

给大家讲讲我之前教学生导数的一个小经历。

有个学生叫小李，这孩子特别聪明，但就是对导数的运算法则总是弄混。

有一次做练习题，遇到一个函数是两个式子相除的形式，小李想都没想就直接把分子分母分别求导，然后就得出了答案。

我一看，哭笑不得，这孩子明显是把法则给记错了。

高考数学难点突破_难点34__导数的运算法则及基本公式应用导数的运算法则及基本公式应用导数是高考数学中的重要内容，对于理解和应用导数的运算法则及基本公式，是提高数学成绩的关键。

本文将介绍导数的运算法则及基本公式，并通过实例分析应用场景，帮助考生突破导数的难点。

1.乘积法则若函数f(x)和g(x)都可导，则它们的乘积函数h(x)=f(x)g(x)也可导，且有h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

示例：计算函数y = x^2sinx的导数。

解：令f(x) = x^2，g(x) = sinx，则y = f(x)g(x)。

根据乘积法则，有y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。

由此得到y' = 2xsinx + x^2cosx。

2.商法则若函数f(x)和g(x)都可导，且g(x)≠0，则函数h(x)=f(x)/g(x)也可导，且有h'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2示例：计算函数y=(2x+1)/(x-1)的导数。

解：令f(x)=2x+1，g(x)=x-1，则y=f(x)/g(x)。

根据商法则，有y'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2由此得到y'=(2(x-1)-(2x+1))/[(x-1)^2]=-3/[(x-1)^2]。

3.基本公式应用常见的基本公式有导数的和差法则、常数倍法则、幂函数的导数法则等。

示例：计算函数y=3x^2-4x+2的导数。

解：根据导数的和差法则和常数倍法则，有y'=(3x^2)'-(4x)'+(2)'=6x-4在实际应用中，导数的运算法则及基本公式具有广泛的应用，如在最优化问题中，可以通过求导得到极值点；在曲线的切线和法线问题中，可以通过求导得到切线斜率和法线斜率；在函数图像的研究中，可以通过导数判断函数的单调性和凹凸性等。

B n z h j p y高考数学难点突破难点34导数的运算法则及基本公式应用七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。

吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。

情也成空，且作“挥手袖底风”罢。

是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲《尘缘》，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。

乃书于纸上。

毕而卧。

凄然入梦。

乙酉年七月初七。

-----啸之记。

难点34 导数的运算法则及基本公式应用导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导.●难点磁场(★★★★★)已知曲线C：y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标.●案例探究［例1］求函数的导数：«Skip Record If...»命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数.错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错.技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导.«Skip Record If...»(2)解：y=μ3,μ=ax－b sin2ωx,μ=av－byv=x,y=sinγγ=ωxy′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′=3μ2(av′－by′)=3μ2(av′－by′γ′)=3(ax－b sin2ωx)2(a－bωsin2ωx)(3)解法一：设y=f(μ),μ=«Skip Record If...»,v=x2+1,则y′x=y′μμ′v·v′x=f′(μ)·«Skip Record If...»v－«Skip Record If...»·2x=f′(«Skip Record If...»)·«Skip Record If...»«Skip Record If...»·2x=«Skip Record If...»解法二：y′=［f(«Skip Record If...»)］′=f′(«Skip Record If...»)·(«Skip Record If...»)′=f′(«Skip Record If...»)·«Skip Record If...»(x2+1)«Skip Record If...»·(x2+1)′=f′(«Skip Record If...»)·«Skip Record If...»(x2+1) «Skip Record If...»·2x=«Skip Record If...»f′(«Skip Record If...»)［例2］利用导数求和(1)S n=1+2x+3x2+…+nx n－1(x≠0,n∈N*)(2)S n=C«Skip Record If...»+2C«Skip Record If...»+3C«Skip Record If...»+…+n C«Skip Record If...»,(n∈N*)命题意图：培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力.属★★★★级题目.知识依托：通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维.由求导公式(x n)′=nx n－1,可联想到它们是另外一个和式的导数.关键要抓住数列通项的形式结构.错解分析：本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想.技巧与方法：第(1)题要分x=1和x≠1讨论，等式两边都求导.解：(1)当x=1时S n=1+2+3+…+n=«Skip Record If...»n(n+1);当x≠1时，∵x+x2+x3+…+x n=«Skip Record If...»,两边都是关于x的函数，求导得(x+x2+x3+…+x n)′=(«Skip Record If...»)′即S n=1+2x+3x2+…+nx n－1=«Skip Record If...»(2)∵(1+x)n=1+C«Skip Record If...»x+C«Skip Record If...»x2+…+C«Skip Record If...»x n,两边都是关于x的可导函数，求导得n(1+x)n－1=C«Skip Record If...»+2C«Skip Record If...»x+3C«Skip Record If...»x2+…+n C«Skip Record If...»x n－1,令x=1得，n·2n－1=C«Skip Record If...»+2C«Skip Record If...»+3C«Skip Record If...»+…+n C«Skip Record If...»,即S n=C«Skip Record If...»+2C«Skip Record If...»+…+n C«Skip Record If...»=n·2n－1●锦囊妙计1.深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数.«Skip Record If...»表示函数的平均改变量，它是Δx的函数，而f′(x0)表示一个数值，即f′(x)=«Skip Record If...»，知道导数的等价形式：«Skip Record If...».2.求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键.3.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.4.复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)y=e sin x cos(sin x)，则y′(0)等于( )A.0B.1C.－1 D.22.(★★★★)经过原点且与曲线y=«Skip Record If...»相切的方程是( )A.x+y=0或«Skip Record If...»+y=0B.x－y=0或«Skip Record If...»+y=0C.x+y=0或«Skip Record If...»－y=0D.x －y=0或«Skip Record If...»－y=0二、填空题3.(★★★★)若f′(x0)=2,«Skip Record If...» =_________.4.(★★★★)设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________.三、解答题5.(★★★★)已知曲线C1:y=x2与C2:y=－(x－2)2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程.6.(★★★★)求函数的导数(1)y=(x2－2x+3)e2x;(2)y=«Skip Record If...».7.(★★★★)有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度.8.(★★★★)求和S n=12+22x+32x2+…+n2x n－1,(x≠0,n∈N*).参考答案难点磁场解：由l过原点，知k=«Skip Record If...»(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0, ∴«Skip Record If...»=x02－3x0+2y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2又k=«Skip Record If...»,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+22x02－3x0=0,∴x0=0或x0=«Skip Record If...»由x≠0,知x0=«Skip Record If...»∴y0=(«Skip Record If...»)3－3(«Skip Record If...»)2+2·«Skip Record If...»=－«Skip Record If...»∴k=«Skip Record If...»=－«Skip Record If...»∴l方程y=－«Skip Record If...»x切点(«Skip Record If...»，－«Skip Record If...») 歼灭难点训练一、1.解析：y′=e sin x［cos x cos(sin x)－cos x sin(sin x)］,y′(0)=e0(1－0)=1答案：B2.解析：设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=«Skip Record If...»,另一方面，y′=(«Skip Record If...»)′=«Skip Record If...»,故y′(x0)=k,即«Skip Record If...»或x02+18x0+45=0得x0(1)=－3,y0(2)=－15,对应有y0(1)=3,y0(2)=«Skip Record If...»,因此得两个切点A(－3，3)或B(－15,«Skip Record If...»),从而得y′(A)=«Skip Record If...»=－1及y′(B)=«Skip Record If...»,由于切线过原点，故得切线：l A:y=－x或l B:y=－«Skip Record If...».答案：A二、3.解析：根据导数的定义：f′(x0)=«Skip Record If...»(这时«Skip Record If...»)«Skip Record If...»答案：－14.解析：设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！答案：n!三、5.解：设l与C1相切于点P(x1,x12),与C2相切于Q(x2,－(x2－2)2)对于C1：y′=2x,则与C1相切于点P的切线方程为y－x12=2x1(x－x1),即y=2x1x－x12①对于C2：y′=－2(x－2),与C2相切于点Q的切线方程为y+(x2－2)2=－2(x2－2)(x－x2),即y=－2(x2－2)x+x22－4②∵两切线重合，∴2x1=－2(x2－2)且－x12=x22－4,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0∴直线l方程为y=0或y=4x－46.解：(1)注意到y＞0,两端取对数，得ln y=ln(x2－2x+3)+ln e2x=ln(x2－2x+3)+2x«Skip Record If...»(2)两端取对数，得ln|y|=«Skip Record If...»(ln|x|－ln|1－x|),两边解x求导，得«Skip Record If...»7.解：设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5－«Skip Record If...»,当下端移开1.4 m 时，t0=«Skip Record If...»,又s′=－«Skip Record If...» (25－9t2)«Skip Record If...»·(－9·2t)=9t«Skip Record If...»,所以s′(t0)=9׫Skip Record If...»=0.875(m/s)8.解：(1)当x=1时，S n=12+22+32+…+n2=«Skip Record If...»n(n+1)(2n+1),当x≠1时，1+2x+3x2+…+nx n-1=«Skip Record If...»,两边同乘以x,得x+2x2+3x2+…+nx n=«Skip Record If...»两边对x求导，得S n=12+22x2+32x2+…+n2x n-1=«Skip Record If...»。

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4．2。

3 导数的运算法则一、基础达标1．设y＝－2e x sin x，则y′等于（）A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x（sin x＋cos x)答案D解析y′＝－2（e x sin x＋e x cos x）＝－2e x（sin x＋cos x)．2．当函数y＝错误!（a>0）在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝（) A．a B．±a C．－a D．a2答案B解析y′＝错误!′＝错误!＝错误!，由x2，0－a2＝0得x0＝±a.3．设曲线y＝错误!在点(3，2）处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于（) A．2 B。

错误! C．－错误! D．－2答案D解析∵y＝错误!＝1＋错误!，∴y′＝－错误!.∴y′｜x＝3＝－错误!。

∴－a＝2,即a＝－2.4．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( ）A．(－2，－8) B．(－1，－1)或（1,1）C．（2，8） D.错误!答案B解析y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，则P点坐标为(－1，－1）或(1,1）．5．设函数f（x)＝g(x)＋x2,曲线y＝g(x）在点（1，g（1）)处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f（x）在点（1，f(1))处切线的斜率为________．答案4解析依题意得f′（x)＝g′(x）＋2x，f′（1)＝g′（1)＋2＝4.6．已知f（x）＝13x3＋3xf′(0），则f′(1)＝________。

导数的基本公式14个例题一、导数的基本公式。

1. 常数函数的导数：若y = C（C为常数），则y^′=0。

- 例如：y = 5，求y^′。

- 解析：根据常数函数导数公式，y^′ = 0。

2. 幂函数的导数：若y=x^n，则y^′ = nx^n - 1。

- 例如：y=x^3，求y^′。

- 解析：根据幂函数导数公式，n = 3，所以y^′=3x^2。

- 例如：y = x^(1)/(2)，求y^′。

- 解析：n=(1)/(2)，根据公式y^′=(1)/(2)x^(1)/(2)-1=(1)/(2)x^-(1)/(2)=(1)/(2√(x))。

3. 正弦函数的导数：若y = sin x，则y^′=cos x。

- 例如：y=sin x，求y^′。

- 解析：根据正弦函数导数公式，y^′=cos x。

4. 余弦函数的导数：若y=cos x，则y^′ =-sin x。

- 例如：y = cos x，求y^′。

- 解析：根据余弦函数导数公式，y^′=-sin x。

5. 指数函数y = a^x的导数（a>0,a≠1）：y^′=a^xln a。

- 例如：y = 2^x，求y^′。

- 解析：根据指数函数导数公式，a = 2，所以y^′=2^xln2。

6. 对数函数y=log_ax的导数（a>0,a≠1,x>0）：y^′=(1)/(xln a)。

- 例如：y=log_2x，求y^′。

- 解析：根据对数函数导数公式，a = 2，所以y^′=(1)/(xln2)。

- 特别地，当a = e时，y=ln x，y^′=(1)/(x)。

- 例如：y=ln x，求y^′。

- 解析：根据自然对数函数导数公式，y^′=(1)/(x)。

7. 正切函数的导数：若y=tan x=(sin x)/(cos x)，则y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。

- 例如：y = tan x，求y^′。

- 解析：根据正切函数导数公式，y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。