2017导数的四则运算法则教案2.doc

2导数的四则运算法则教学设计在高中数学中，导数是一个非常重要的概念和工具。

它是微积分的一个重要分支，是求解函数性质和变化率的基础。

导数的四则运算法则是导数的基本操作之一，在高中数学学习中是一个必须要掌握的技能。

本文将结合我的教学实践，分享一些导数的四则运算法则教学设计的经验。

一、教学目标学生能够掌握导数的加法、减法、乘法、除法四则运算法则，并能够运用所学知识解决实际问题。

二、教学内容1.导数的基本概念回顾在导数的四则运算法则教学前，我们需要先复习导数的基本概念，包括导数的定义、求导公式和一些常见函数的导数。

这样可以帮助学生更好地理解和掌握导数的四则运算法则。

2、导数的加法法则导数的加法法则是指两个函数的导数之和等于这两个函数的和的导数。

在这一部分的教学中，我采用了课堂讨论和精讲相结合的方式，引导学生通过讨论和实例推导出导数的加法法则。

最后，我让学生完成一些练习题。

这些练习题既可以巩固所学知识，同时也可以帮助学生发现加法法则在实际问题中的应用。

3、导数的减法法则导数的减法法则是指两个函数的导数之差等于这两个函数的差的导数。

在教学中，我也采用了讨论和实例推导的方式，以便学生更好地理解导数的减法法则。

最后，我让学生完成一些练习题，以巩固所学知识。

4、导数的乘法法则导数的乘法法则是指两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数加上第二个函数的导数乘上第一个函数。

在教学中，我采取了揭示法则特点和实例分析相结合的方式，引导学生掌握乘法法则的基本思想，并让他们完成一些相应的练习，并在实际问题中应用所学知识。

5、导数的除法法则导数的除法法则是指两个函数的商的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数减去第二个函数的导数乘上第一个函数，再除以第二个函数平方。

在教学中，我采取了分析讨论和实例演示相结合的方式，引导学生掌握除法法则的基本思想，并让他们完成一些相应的练习，并在实际问题中应用所学知识。

6、导数的四则运算综合练习为了让学生巩固所学知识，并运用所学知识解决实际问题，我给学生布置了一些导数的四则运算综合练习作业。

《导数的四则运算法则》教案导数的概念及其几何意义一、选择题1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +∆ B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆ 3. 函数y =f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0+⊿x 时，函数值的改变量⊿y 为（） A.f (x 0+⊿x ) B.f (x 0)+⊿x C. f (x 0)•⊿x D. f (x 0+⊿x )- f (x 0)4.已知函数y =f (x )=2x 2-1的图像上一点（1,1）及邻近一点（1+⊿x ，1+⊿y ），则等于（ ）A.4 x C.4+2⊿x D.4+2(⊿x )25. 一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在时间[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A. 3Δt ＋6B. －3Δt ＋6C. 3Δt －6D. －3Δt －6 6.若函数y =f (x )在x 0处可导，则000()()limh f x h f x h的值（ ）x 0，h 有关 x 0有关，而与h 无关 C. 仅与h 有关，而与x 0无关 D. 与x 0，h都无关7. 函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是（ ）A.2B.1C.08.设函数f (x )=，则()()limx af x f a xa 等于( ) A.1aB.2aC.21aD.21a9. 下列各式中正确的是( )A. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x －Δx )－f (x 0)ΔxB. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )＋f (x 0)ΔxC. f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)ΔxD. f ′(x )＝li m Δx →0f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx 10. 设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A. f ′(1) B. 不存在 C. 13f ′(1) D. 以上都不对11. 设函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( ) A. 2 B. －2 C. 3 D. 不确定12. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A. 194B. 174C. 154D. 13413.曲线y=2x 2+1在点P （-1,3）处的切线方程是（ ） A.y =-4x -1 B.y =-4x -7 C.y =4x -1 D.y =4x -7 14.过点（-1,2）且与曲线y =3x 2-4x +2在点M （1,1）处的切线平行的直线方程是（ ） A.y =2x -1 B.y =2x +1 C.y =2x +4 D .y =2x -4 15. 下面四个命题：①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线； ②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在；③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在； ④曲线的切线和曲线有且只有一个公共点． 其中，真命题个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 316. 函数y ＝f (x )的导函数f ′(x 0)图像如图所示，则在y ＝f (x )的图像上A 、B 的对应点附近，有( )A. A 处下降，B 处上升B. A 处上升，B 处下降C. A 处下降，B 处下降D. A 处上升，B 处上升17. 曲线y ＝2x 2上有一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A.4 B. 16 C. 8 D. 218. 曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A. y ＝3x －4 B. y ＝－3x ＋2 C. y ＝－4x ＋3 D. y ＝4x －519.一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δx →0 ΔsΔt 为( )A ．在t 时刻该物体的瞬时速度B ．当时间为Δt 时物体的瞬时速度C ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度D ．以上说法均错误 20. (2012·宝鸡检测)已知函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2处的导数为f ′(2)＝11，则( ) A ．f ′(2)是函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2时对应的函数值 B ．f ′(2)是曲线f (x )＝x 3－x 在点x ＝2处的割线斜率C．f′(2)是函数f(x)＝x3－x在x＝2时的平均变化率D．f′(2)是曲线f(x)＝x3－x在点x＝2处的切线的斜率21.已知函数y＝f(x)的图像如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是( )A．f′(x A)＞f′(x B) B．f′(x A)＜f′(x B) C．f′(x A)＝f′(x B) D．不能确定22.(2012·上饶检测)函数y＝3x2在x＝1处的导数为()A．2 B．3 C．6 D．1223.设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于()A．2 B．－2 C．3 D．－324.设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )A．1 B.12C．－12D．－125．已知曲线y＝x24的一条切线斜率为12，则切点的横坐标为()A．1 B．2 C．3 D．426．一物体的运动方程是s＝12at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( )A．at0 B．－at0 C.12at0 D．2at0二、填空题27. 在曲线y＝x2＋1的图像上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔyΔx为____．28. 若质点M按规律s＝2t2－2运动，则在一小段时间[2,2＋Δt]内，相应的平均速度_．29.已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__．30．曲线y＝f(x)＝2x－x3在点(1，1)处的切线方程为________．31.函数y＝x2在x＝________处的导数值等于其函数值．32. (2012·南昌调研)若一物体的运动方程为s＝3t2＋2，求此物体在t＝1时的瞬时速度是33．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是___．34.函数f(x)=3x2-4x在x=-1处的导数是 .三、解答题35. 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率Δy Δx；(2)求当x1＝4，且Δx＝时，函数增量Δy和平均变化率Δy Δx；(3)求当x1＝4，且Δx＝时，函数增量Δy和平均变化率Δy Δx；36. 已知自由落体的运动方程为s＝12gt2，求：(1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度；(2)落体在t0时的瞬时速度；(3)落体在t0＝2 s到t1＝2.1 s这段时间内的平均速度；(4)落体在t＝2 s时的瞬时速度．37. 求等边双曲线y＝1x在点⎝⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率，并写出切线方程．38. 在曲线y＝x2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)与x轴成135°的倾斜角．39．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．40.(2012·榆林调研)已知曲线y＝13x3上一点P⎝⎛⎭⎪⎫2，83。

3.2.3 导数的四则运算法则教学目标（一）三维目标（1）知识与技能1）了解函数的和、差、积、商的导数公式的推导；2）掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则；3）能正确运用两个函数的和差积商的求导法则和已有的导数公式求某些简单函数的导数.（2）过程与方法利用学生已经掌握的导数的定义，得出一个简单的两个函数的和的导数，从而提出问题，引入新课，通过学生的猜想、尝试、探究出函数的和、差、积、商的求导法则，使学生加深对求导法则的理解.（3）情感、态度与价值观通过学生的主动参入，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神.（二）教学重点掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则（三）教学难点学生对积和商的求导法则的理解和运用（四）教学建议本节课在教学时可运用尝试探索、类比联想、变式练习等方法进行.教学过程一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（二导数的运算法则 （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =.复合函数的导数 复合函数的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1：求下列各函数的导数：(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (2)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1； (3)y ＝x －sin x 2cos x 2； (4)y ＝x 2sin x. 解：(1)∵y ＝x 3＋1＋1x2， ∴y ′＝3x 2－2x 3. (2)化简得y ＝x ·1x －x ＋1x －1＝－12x ＋12x -，∴y ′＝－1212x -－1232x -＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . (3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′ ＝x ′－12(sin x )′ ＝1－12cos x . (4)y ′＝（x 2）′sin x －x 2·（sin x ）′sin 2x＝2x sin x －x 2cos x sin 2x. 例2：求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．解法一：y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ． y ′＝－sin 4 x ．解法二：y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x点评：解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例3：曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．解：y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离， 故所求距离为2|1271431|++-＝22716．。

《导数的四则运算法则》教学设计一、复习导入1. 复习导数的定义及求导方法：/y =xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0/2. 基本求导公式：【设计意图】：通过让学生回顾导数的相关知识以及基本函数的求导公式，不仅巩固导数的概念及求法，同时也为下面探究导数的运算法则打下基础，有利于本节课的顺利进行。

二、探究新知（一）探究函数和（差）的求导法则1)(,2)()()()(1)()(.122='='='='''==x x g x x x f x g x f x x g x x f 生：和）求（。

，已知y )()(2''+=义求师引导学生用导数的定，求）令（y x g x f y12)12lim )()()(lim )()(lim lim 022000+=++∆=∆+-∆++∆+=∆-∆+=∆∆='→∆→∆→∆→∆x x x xx x x x x x x x f x x f x y y x x x x （ ，12)(])()([2+='+'='+='x x x x g x f y 得到？并证明的导数之间有什么关系、与猜想)()(])()([.2x g x f x g x f '+ )()(])()([x g x f x g x f '+'='+生： )()(x g x f y +=证明：设[]xx g x f x x g x x f x y y x x ∆+-∆++∆+=∆∆='→∆→∆）（)()()()(lim lim00 []xx g x x g x x f x x f x ∆-∆++∆-∆+=→∆)()()()(lim 0=0lim x →()()f x x f x x+-+0lim x →()()g x x g x x +-=()()f x g x ''+)()(])()([x g x f x g x f '+'='+∴【设计意图】：提出问题引导学生去猜想证明，培养学生思考探索的精神，并且通过证明使学生明白法则的由来，有助于学生在理解的基础上掌握法则。

教学能力大赛导数的四则运算教案下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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1. 导数的定义及意义。

《导数的四则运算法则》教学设计
一、教学目标
1.知识与技能
(1)掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则.
(2)能正确利用法则求函数的导数，解决相关的问题.
2.过程与方法
利用学生已掌握的导数定义，得出一个简单的两个函数的和的导数，从而提出问题引入新课，通过学生的猜想，探究和、差、积、商的求导法则，并加以应用，加深学生对法则的理解.
3.情感、态度与价值观
通过学生的主动参与，自我探索，互相交流，提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索和创新精神.
二、教材分析
1.地位、作用
导数运算法则的给出是前几节课的继续，它将求导数问题、求曲线切线问题、求瞬时速度问题由理论化转为公式化，使较复杂的过程简单化，也为下节课研究函数的单调性与极值问题提供了方便，在连接教材内容方面起到了一个纽带的作用.
2.教学重点：函数的和、差、积、商的求导法则及应用.
3.教学难点：积、商的求导法则的理解和综合运用.
三、教学方法
通过设疑、引导、启发等形式，采用启发式与发现法相结合的教学方法，引导学生学会自主观察、类比、分析、归纳等学习方法.
四、教学过程。

§3 计算导数教学目标：1. 知识与技能：能够根据导数的定义求简单函数的导数，掌握计算一般函数y =f (x )在x 0处的导数的（算法）步骤；理解导函数的概念，记忆导数公式表中所给的8个函数的导数公式，并能用它们求简单函数的导数。

2. 过程与方法：经历计算函数f (t)=2t 2,f (x )=x +2x在给定点的导数的过程，明确算理和确定算法；梳理计算具体函数在给定点的导数的过程，抽象、概括出一般函数在所给定区间上导函数的概念；体验函数在给定点的导数与所给区间上导函数这种特殊与一般的关系，领会他们间的联系与不同，设计导函数的求解程序，即算法。

3. 情感态度价值观：获得计算一般函数的导数的步骤；感受特殊与一般的思想；在导数计算的过程中形成严谨细致、独立思考的习惯。

教学重点：计算一般函数在某点的导数，利用导数表求简单函数的导函数。

教学难点：导函数公式表的记忆与运用，建议在具体函数的求导过程中逐步掌握导数公式表的理解和使用。

教学过程： 一、 导学探究 【知识回顾】1.平均变化率:设函数)(x f y =，当自变量x 从0x 变到1x 时，函数值从0()f x 变到1()f x ，函数值y 关于x 的平均变化率为y x ∆=∆1010()()f x f x x x --=00()()f x x f x x+∆-∆ 2.导数的定义：当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数)(x f y =在点x 0的瞬时变化率。

在数学上，称瞬时变化率为函数)(x f y =在点x 0的导数，通常用符号)(0x f '表示，记作0()f x '=101010()()limx x f x f x x x →--=000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆【探究新知】阅读教材P64-67回答下列问题1导(函)数定义：一般地，如果一个函数)(x f y =在区间（a ，b ）上的每一点x 处都有导数，导数值记为)(x f '，()f x '=()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，则)(x f '是关于x 的函数，称)(x f '为)(x f 的导函数，通常也简称为导数。

1.2.3 导数的四则运算法则教学目标1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导． 教学知识梳理知识点一 导数的四则运算法则 已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.思考1 f (x )，g (x )的导数分别是什么？ 答案 f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.思考2 试求G (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x 的导数．并说出G ′(x )，H ′(x )与f ′(x )，g ′(x )的关系．答案 G ′(x )＝1－1x 2.同理，H ′(x )＝1＋1x 2.∴G ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )，H ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )． 思考3 [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g ′(x )正确吗？那么⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g ′(x )(g (x )≠0且g ′(x )≠0)是否正确？答案 [f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )，⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′≠f ′(x )g ′(x ). 梳理 导数的四则运算法则 (1)设f (x )，g (x )是可导的，则：⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 特别提醒：(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )可推广到任意有限个函数的和(或差)的求导．(2)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．知识点二 复合函数y ＝f (u (x ))的导数．y ＝f (u (x ))是x 的复合函数，则y ′＝f ′(u (x ))＝d y d u ·d ud x ＝f ′(u )·u ′(x )．题型探究类型一 利用导数的四则运算法则求导 例1 求下列函数的导数． (1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.解 (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3.(4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.反思与感悟 求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数． (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 跟踪训练1 (1)已知f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，则a f ′(a )＋b f ′(b )＋cf ′(c )＝________.【答案】0【解析】∵f ′(x )＝(x －a )′(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －b )′·(x －c )＋(x －a )(x －b )(x －c )′ ＝(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －c )＋(x －a )(x －b )， ∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )，f ′(b )＝(b －a )(b －c )＝－(a －b )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )＝(a －c )(b －c )． ∴a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c )＝a (a －b )(a －c )－b (a －b )(b －c )＋c(a －c )(b －c )＝a (b －c )－b (a －c )＋c (a －b )(a －b )(b －c )(a －c )＝0.(2)求下列函数的导数．①y ＝2x 3－3x ＋x ＋1x x ； ②y ＝x 2＋1x 2＋3；③y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)； ④y ＝x sin x －2cos x .解 ①313122223y x x x x --－∵＝－＋＋，1352222333.22y x x x x ---'+--∴＝②方法一 y ′＝(x 2＋1)′(x 2＋3)－(x 2＋1)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝2x (x 2＋3)－2x (x 2＋1)(x 2＋3)2＝4x(x 2＋3)2.方法二 ∵y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2x 2＋3，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x 2＋3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋3′ ＝(－2)′(x 2＋3)－(－2)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝4x(x 2＋3)2. ③方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3) ＝3x 2＋18x ＋23.方法二 ∵y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5) ＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5) ＝x 3＋9x 2＋23x ＋15， ∴y ′＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′ ＝3x 2＋18x ＋23.④y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎫2cos x ′＝x ′sin x ＋x (sin x )′－2′cos x －2(cos x )′cos 2x＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x.类型二 简单复合函数求导 例2 求下列函数的导数． (1)y ＝e cos x ＋1；(2)y ＝log 2(2x ＋1)； (3)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6；(4)y ＝11－2x. 解 (1)设y ＝e u ，u ＝cos x ＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·(－sin x )＝－e cos x ＋1sin x . (2)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2u ln 2＝2(2x ＋1)ln 2.(3)设y ＝2sin u ，u ＝3x －π6，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2cos u ×3＝6cos ⎝⎛⎭⎫3x －π6. (4)设y ＝u12-，u ＝1－2x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(12u-)′·(1－2x )′＝－1232u -×(－2)＝(1－2x )32-.反思与感悟 求复合函数导数的步骤(1)确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系y ＝f (u )，u ＝g (x )．(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求y u ′，再求u x ′.(3)计算y u ′·u x ′，并把中间变量转化为自变量．整个过程可简记为“分解—求导—回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程． 跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝(2x ＋1)5，则f ′(0)的值为________． 【答案】10【解析】f ′(x )＝5(2x ＋1)4·(2x ＋1)′＝10(2x ＋1)4， ∴f ′(0)＝10.(2)求下列函数的导数．①y ＝3－x ；②y ＝12ln(x 2＋1)；③y ＝a 1－2x (a >0，a ≠1)．解 ①设y ＝u ，u ＝3－x ， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝12u·(－1)＝－123－x.②设y ＝12ln u ，u ＝x 2＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝12·1u ·(2x )＝12·1x 2＋1·(2x )＝xx 2＋1.③令y ＝a u ，u ＝1－2x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝a u ·ln a ·(－2) ＝a 1－2xln a ·(－2)＝－2a 1－2xln a .类型三 导数运算法则的综合应用 命题角度1 利用导数求函数解析式例3 (1)已知函数f (x )＝ln xx＋2xf ′(1)，试比较f (e)与f (1)的大小关系；(2)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x . 解 (1)由题意得f ′(x )＝1－ln xx 2＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln 11＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－1.∴f (x )＝ln xx－2x .∴f (e)＝ln e e －2e ＝1e －2e ，f (1)＝－2，由f (e)－f (1)＝1e －2e ＋2<0，得f (e)<f (1)．(2)由已知得f ′(x )＝[(ax ＋b )s in x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x . 又∵f ′(x )＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解得a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.反思与感悟 (1)中确定函数f (x )的解析式，需要求出f ′(1)，注意f ′(1)是常数． (2)中利用待定系数法可确定a ，b ，c ，d 的值． 完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则．跟踪训练3 函数f (x )＝x 2x －1＋f ′(1)，则f ′(1)＝________.【答案】－1【解析】对f (x )求导，得f ′(x )＝2x －1－2x (2x －1)2＝－1(2x －1)2，则f ′(1)＝－1.命题角度2 与切线有关的问题例4 (1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 【答案】(e ，e)【解析】设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ， ∴y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，∴k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2， ∴x 0＝e.∴y 0＝eln e ＝e. ∴点P 的坐标是(e ，e)．(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数为f ′(x )＝2x －8. ①求a ，b 的值；②设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程． 解 ①因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ， 又知f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8. ②由①可得g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3， 所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8， 所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7. 又知g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)， 即7x ＋y －3＝0.反思与感悟 (1)与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决与切线有关的问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练4 (1)设曲线y ＝2－cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，2处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝________. 【答案】1【解析】∵y ′＝sin 2x －(2－cos x )cos x sin 2x ＝1－2cos xsin 2x ，当x ＝π2时，y ′＝1－2cosπ2sin 2π2＝1.又直线x ＋ay ＋1＝0的斜率是－1a ，∴－1a＝－1，即a ＝1.(2)曲线y ＝e sin x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程． 解 设u ＝sin x ，则y ′＝(e sin x )′＝(e u )′(sin x )′＝cos x e sin x ， 即y ′|x ＝0＝1，则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0. 两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2，所以c ＝3或c ＝－1.故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0. 达标检测1．设函数y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin x C ．2e x sin x D ．－2e x (sin x ＋cos x )【答案】D【解析】y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )． 2．对于函数f (x )＝e x x 2＋ln x －2kx ，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3 C ．－e 2 D ．－e3 【答案】A【解析】∵f ′(x )＝e x (x －2)x 3＋1x ＋2k x 2，∴f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 【答案】A【解析】∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．函数y ＝2cos 2x 在x ＝π12处的切线斜率为________．【答案】－1【解析】由函数y ＝2cos 2x ＝1＋cos 2x ， 得y ′＝(1＋cos 2x )′＝－2sin 2x ，所以函数在x ＝π12处的切线斜率为－2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＝－1. 5．在曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线的方程为________________． 【答案】3x －y －11＝0【解析】∵y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋2) ＝3(x ＋1)2＋3≥3，∴当x ＝－1时，斜率最小，此时切点坐标为(－1，－14)， ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.。

1.2．1 导数的四则运算法则一、教学目标：熟记公式(C )'＝0 (C 为常数)， (x )'＝1， ( x 2 )'＝2x ，2'11x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛．x x 21)'(=二、教学重点：牢固、准确地记住五种常见函数的导数，为求导数打下坚实的基础.教学难点：灵活运用五种常见函数的导数.三、教学过程：（一）公式1：(C )'＝0 (C 为常数)．证明：y ＝f (x )＝C , Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝C －C ＝0,,0=∆∆x y.0lim ')('0=∆∆==∴→∆x y C x f x也就是说，常数函数的导数等于0．公式2： 函数x x f y ==)(的导数证明：（略）公式3： 函数2)(x x f y ==的导数公式4： 函数x x f y 1)(==的导数公式5： 函数x x f y ==)(的导数（二）举例分析例1. 求下列函数的导数．⑴3x ⑵21x ⑶x解：⑴=')(3x 133-x 23x = ⑵='⎪⎭⎫ ⎝⎛21x )(2'-x 32--=x 32x -= ⑶=')(x )(21'x 12121-=x 2121-=x .21x =练习求下列函数的导数：⑴ y ＝x 5； ⑵ y ＝x 6； （3）;13x y = （4）.3x y = （5）x xy 2=例2．求曲线xy 1=和2x y =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积。

例3．已知曲线2x y=上有两点A （1，1），B （2，2）。

求：（1）割线AB 的斜率； （2）在[1，1+△x ]内的平均变化率；（3）点A 处的切线的斜率； （4）点A 处的切线方程例4．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0 的最短距离．（三）课堂小结几种常见函数的导数公式(C )'＝0 (C 为常数)， (x )'＝1， ( x 2 )'＝2x ， 2'11x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛．x x 21)'(= （四）课后作业《习案》作业四。

导数的四则运算法则说课稿《导数的四则运算法则》说课稿各位老师好，我说课的内容是五年制高等职业教育第二版第十二章第二节《导数的四则运算法则》。

本节内容为一课时，主要从教材分析、教法、学法和程序设计这四个方面进行。

一、教材分析1、本节内容包括在牢记基本初等函数的导数公式基础上运用导数的运算法则求导。

2、地位和作用：导数的运算法则是建立在基本初等函数的导数公式上给出的求导法则。

这些公式与法则简化了复杂函数的求导问题，同时为后面研究导数在函数中的应用提供了工具，因此具有承上启下的作用。

3、课标要求（1）知识要求：熟记常见函数的导数公式，掌握导数的运算法则。

（2）能力要求：熟练应用基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求函数的导数。

（3）情感价值观：培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生运用给出的公式与法则解决问题，使学生在感受数学美的同时激发学习兴趣，培养乐于求索的精神。

4、重点和难点：本小节重点是基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。

难点是熟记导数公式及运算法则求函数导数。

①依据前面所学鉴于导数的概念只能求几个常见函数的导数,，教材中给出基本初等函数的导数公式及运算法则，可以将比较复杂的函数求导问题转化为会求的或易求的函数导数问题，从而使许多函数求导过程得到简化，体现出公式及法则的优越性。

②熟练记住公式并能熟练应用是难点，有些函数导数公式比较难记应抓住公式特点通过发现类比归纳记住公式并灵活运用。

导数的实际应用是本节的另一难点，教学时先建立数学模型将实际问题转化为数学问题，最后再回归实际问题。

③对于难点的突破主要通过对例题的讲解和练习题的训练,让学生从中总结发现规律,通过对比分析提高分析问题和解决问题的能力.二、教法教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生的主动性，充分调动学生的积极性，有效的渗透数学思想方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

根据这一原则和所要完成的教学目标，并激发学生的兴趣，我采用如下教学方法：比较法：将教材中给出的基本初等函数的导数公式对比记忆，如正余弦函数的导数、对数与指数函数的导数加以对比，两函数和与差的导数以及两函数积的导数与商的导数运算法则加以对比，通过对比加深对公式和法则的理解和记忆。

导数的四则运算教案
一、教学目标
1. 理解导数的四则运算，掌握导数的加、减、乘、除运算规则。

2. 能够运用导数的四则运算规则解决一些简单的实际问题。

3. 培养学生的数学逻辑思维和运算能力。

二、教学内容
1. 导数的加法运算规则
2. 导数的减法运算规则
3. 导数的乘法运算规则
4. 导数的除法运算规则
三、教学难点与重点
难点：理解导数的四则运算规则，掌握其应用方法。

重点：导数的加、减、乘、除运算规则。

四、教具和多媒体资源
1. 黑板
2. 投影仪
3. 教学软件：几何画板
五、教学方法
1. 激活学生的前知：回顾导数的定义和性质，为学习导数的四则运算做准备。

2. 教学策略：通过讲解、示范、小组讨论等方式进行教学。

3. 学生活动：进行导数的四则运算练习，解决实际问题。

六、教学过程
1. 导入：通过实际问题导入，例如：速度的变化与加速度的关系，曲线的切线斜率等。

2. 讲授新课：讲解导数的四则运算规则，并举例说明。

3. 巩固练习：给出几个实际问题，让学生运用导数的四则运算规则求解。

4. 归纳小结：总结导数的四则运算规则，强调在实际问题中的应用。

七、评价与反馈
1. 设计评价策略：通过课堂小测验或小组报告的方式评价学生的学习效果。

2. 为学生提供反馈：根据学生的测验或报告结果，为学生提供学习建议和指导。

八、作业布置
1. 完成教材上的相关练习题。

2. 自行寻找一些实际问题，运用导数的四则运算规则求解。

教案课题：导数四则运算（数学分析上册第四章第三节）教学类型：新知课。

教学目的：1：通过讲解求导的四则运算法则使学生能够运用求导的四则运算。

2：通过本节课的学习为以后的课程打下基础。

教学方法：讲解法。

教具：语言和板书。

教学重点和难点：定理及其推论的运用。

教学过程1：复习导数的定义2：讲新课——求导四则运算法则定理4.3.1：设f(x)和g(x)在某一区间上都是可导的，则对任意常数a和b，它们的线性组合af(x)+bg(x)也在该区间上可导且满足如下线性运算关系[af(x)+bg(x)]`=af`(x)+bg`(x) 例1：求y=5x^2+3x得导函数解：y`=(5x^2+3x)`=10x+3定理4.3.2：设f(x)和g(x)在某一区间上都是可导的，则它们的积函数也在该区间上可导，且满足[f(x)*g(x)]`=f`(x)*g(x)+f(x)*g`(x) 例2：求y=3^x*cosx的导函数解：y` =(3^x*cosx)`=(3^x)`*cosx+3^x*(cosx)`=3^x(ln3*cosx-sinx)定理4.3.3：设g(x)在某一区间上可导,且g(x)不等于0，则它的倒数也在该区间上可导，且满足[1/g(x)]`=g`(x)/[g(x)]^2.推论：设f(x)和g(x)在某一区间上都是可导的，且g(x)不等于0，则它们的商函数也在该区间上可导，且满足[f(x)/g(x)]`=f`(x)*g(x)-f(x)*g`(x)/[g(x)]^2例3：求y=tanx的导函数解：y`=(tanx)`=(sinx/cosx)=[(sinx)`*cosx-sinx*(cosx)`]/(cosx*cosx)=secx*secx小结：会用定理4.41,4.42,4.43和推论求导数作业：141页第二大题和第三大题思考：通过本节课的学习我们能求导数的函数又多了，是不是还有些函数能求导数呢？例如反函数的导数是什么呢？我们下节课再将这个问题.。

5.2.2 导数的四则运算法则课题 5.2.2 导数的四则运算法则单元第六单元学科数学年级高二教材分析导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量的刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本工具，因而在解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题中有着广泛应用。

在本单元，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想。

教学目标与核心素养大单元目标：1.通过学习基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求复杂函数的导数2.能利用复合函数求导法则求简单的复合函数的导数本节目标：1.通过用定义对函数的导数进行推理，让学生理解导数的四则运算法则.2.通过探究函数的求导法则的过程，发展学生数学运算和逻辑推理能力.3.让学生在探究过程中，体验探索的乐趣，培养学生的数学思维。

重点导数的四则运算法则难点导数的四则运算法则教学过程教学环节教学内容设计师生活动设计意图导入新课情境导入高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝f(t)，求它的瞬时速度，就是求f(t)的导数．根据导数的定义，就是求当Δt→0时，ΔyΔt所趋近的那个定值．若y＝sin x＋x，我们应该如何求导数呢？教师引入问题，学生思考，引出本节新课内容。

通过设置问题情境，引导学生推导函数和、差、积、商的求导法则，培养学生的逻辑推理能力，同时增加了教学过程的趣味性、实践性，调动起学生积极性。

讲授新课【预习新知】探究用定义推导[f(x)+g(x)]′与[f(x)-g(x)]′, 它们与f'(x)和g'(x)有什么关系?教师提出问题，检测学生通过课前预习课本，让学生初步[()()]()().f x g x f x g x '''-=-同理有 一般地，对于两个函数f(x)和 g(x)的和(或差)的导数，我们有如下法则：[()()]()().f x g x f x g x '''±=±思考 类比两个函数f (x )和g (x )的和(或差)的求导法则， 那么[f (x )g (x )]′与f ′(x )g ′(x ), 它们是否相等? f (x )与g (x )商的导数是否等于它们导数的商呢?你能否用定义证明呢？事实上，对于两个函数f(x)和 g(x)的积(或商)的导数，我们有如下法则：2[()()]()()()()()()()()()(()0).()[()]f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x g x '''=+'''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦；【预习检测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)已知函数y ＝2ln x －2x，则y ′＝2x －2x ln2.( )(2)已知函数y ＝3sin x ＋cos x ，则y ′＝3cos x ＋sin x ．( )(3)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( )(4)若函数f (x )＝e xx 2，则f ′(x )＝e x (x ＋2)x 3.( ) 2．已知函数f (x )＝cos x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( )A ．1－sin 1B ．1＋sin 1C ．sin 1－1D ．－sin 1 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )A ．y ′＝cos 2 x ＋sin 2 xB ．y ′＝cos 2 x －sin 2 xC ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x 4．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝预习新课的效果。

第四节 导数的四则运算法则（习题课）教学目标1．理解导函数的概念，记忆导数公式表中所给8个函数的导数公式，并能求简单函数的导数。

2．了解两个函数的和、差、积、商的求导公式的推导过程；会运用上述公式求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数。

3．能运用导数的几何意义求过曲线上一点的切线。

教法指导通过例题、习题的求导过程体验导数公式的应用，逐步形成利用导数公式进行求导的算法技能；教学重难点剖析重点：掌握导数公式和导数四则运算法则的运用，并逐步记住这些公式；难点：公式的记忆剖析：1．导数公式和导数四则运算公式的记忆，开始时强记，逐步在运用中熟记；2．几个常见函数的导数： ⑴函数x y 1=的导数是21x y -='；⑵函数x y =的导数是xy 21='； 教学过程（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式1、两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+2、若两个函数)(x f 和)(x g 的导数分别是)(x f '和)(x g '，我们有)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'='特别地，当k x g =)(时，有)(])([x f k x kf '='典例分析例1：求下列函数的导数：（1）)sin (ln 2x x x y +=； （2）2cos xx x y -=。

解：（1）解一：)sin (ln )sin (ln )(])sin (ln [222'+⋅++⋅'='+='x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x cos sin 2ln 2cos 1)sin (ln 222+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⋅=解二：)sin ()ln ()sin ln (])sin (ln [22222'⋅+'⋅='⋅+⋅='+='x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x xx x x cos sin 2ln 2cos sin 21ln 2222+++=⋅+⋅+⋅+⋅=。

“导数的四则运算法则”教学设计【课前学习活动设计】1.提前下发学案，让学生完成预案部分，让学生能带着问题研究学习，对课本内容有一个较好的初步掌握。

2.收缴预案，教师批阅学生预习案。

3.根据预案当中学生出现的问题，在课堂教学中预案反馈，针对性点评、分析，纠正学生的问题和错误。

4.对预案评优【教学过程设计】【当堂检测设计】本节课的当堂检测选用了两道题目，第1题是选择题，目的是考察学生对导数公式和求导法则的掌握情况，，第2题是应用导数的运算法则，根据导数的几何意义求曲线的切线方程，第1题是5分，第2题10分，共15分。

题目当堂完成，并进行学生提问检查，公布答案。

课下教师再收集学生学案，并进行评阅计分，同时了解各个同学的具体掌握情况及存在问题，为进一步提高打下基础。

【课外学习活动设计】由于课上时间有限，因此，在社团活动时间，组织各位同学多加练习，以求彻底掌握。

附：《导数的四则运算法则》学生导学案导数的四则运算法则【学习目标】1.知识目标：掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；能正确运用基本初等函数的导数公式和两个函数和、差、积、商的求导法则求一些简单函数的导数.2.能力目标：主动参与，小组合作交流，归纳出求导法则应用的规律与方法.3.情感、态度与价值观：激情投入，高效学习，形成缜密的数学思维品质.【重点】掌握函数的和、差、积、商的求导法则. 【难点】对函数的积和商的求导法则的理解和运用.【课前预习】一．复习回顾基本初等函数的导数公式(1)若()f x C = (C 为常数)，则()f x '＝ ； (2)若()()f x x Q αα=∈，则()f x '＝ ； (3)若()(0,1)xf x a a a =>≠，则()f x '＝ ； (4)若()x f x e =，则()f x '＝ ；(5)若()log (0,1,0)a f x x a a x =>≠>，则()f x '＝ ； (6)若()ln f x x =，则()f x '＝ ； (7)若()sin f x x =，则()f x '＝ ； (8)若()cos f x x =，则()f x '＝ 。

5.2.2 导数的四则运算法则【课标要求】课程标准：能利用导数的四则运算法则，求简单函数的导数．教学重点：基本初等函数的导数公式和四则运算法则．教学难点：函数的求导法则及其应用.【新知拓展】1．函数的和(或差)的导数导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u (x )±v (x )±…±w (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )±…±w ′(x )．2．函数的积的导数(1)[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )，其中a ，b 为常数．(2)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u (x )v (x )·…·w (x )]′＝u ′(x )v (x )·…·w (x )＋u (x )v ′(x )·…·w (x )＋…＋u (x )v (x )·…·w ′(x )．3．函数的商的导数(1)注意⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′≠f ′（x ）g ′（x ）. (2)(特殊化)当f (x )＝1，g (x )≠0时，f （x ）g （x ）＝1g （x ），⎣⎡⎦⎤1g （x ）′＝－g ′（x ）[g （x ）]2. 【评价自测】 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( )(2)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( )(3)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x .( )2．做一做求下列函数的导数：(1)y ＝2x ＋sin x 2cos x 2；(2)y ＝x －log 2x ；(3)y ＝cos x x. 【题型探究】题型一 利用导数的运算法则求函数的导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝2x 2＋3x 3；(2)y ＝x 3·10x ；(3)y ＝cos x ·ln x ；(4)y ＝x 2sin x.[规律方法](1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导．(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．[跟踪训练1] 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)．题型二 导数的应用例2 设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[规律方法]利用导数的几何意义求参时，常根据以下关系列方程：(1)函数在切点处的导数等于切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上；(4)题目所给的其他条件．最后通过解方程(组)确定参数的值．[跟踪训练2] 已知曲线C 1：y ＝ax 2上点P 处的切线为l 1，曲线C 2：y ＝bx 3上点P ′(1，b )处的切线为l 2，且l 1⊥l 2，垂足为M (2,2)，求a ，b 的值及P 点坐标．【随堂达标】1．下列运算中正确的是( )A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C ．⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝（sin x ）′－（x 2）′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x2．若函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0，那么x 0等于( ) A ．a B ．±a C ．－a D ．a 2 3．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ．π2B ．0C ．钝角D ．锐角4．已知函数f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋2x ＋5，则f ′(1)＝________，f ′(2)＝________. 5．求下列函数的导数：(1)y ＝sin x ＋x ；(2)y ＝ln x x 2＋1； (3)y ＝3x 2－x x ＋5x －9x；(4)y ＝e 2x .【参考答案】【评价自测】1．【答案】(1)× (2)√ (3)×2．【答案】(1)y ′＝2x ln 2＋12cos x (2)y ′＝1－1x ln 2 (3)y ′＝－x sin x ＋cos x x 2【题型探究】题型一 利用导数的运算法则求函数的导数例1[解] (1)y ＝2x 2＋3x 3＝2x －2＋3x －3， y ′＝－4x －3－9x －4.(2)y ′＝(x 3)′·10x ＋x 3·(10x )′＝3x 2·10x ＋x 3·10x ·ln 10.(3)y ′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos x x. (4)y ′＝（x 2）′·sin x －x 2·（sin x ）′sin 2x ＝2x sin x －x 2cos x sin 2x. [跟踪训练1]解 (1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝x 2e x (3＋x )．(3)∵y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.题型二 导数的应用例2[解] (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝2a －b 2＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝a ＋b 4＝74.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －b ＝1，4a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知， 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． ∴点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.[跟踪训练2]解 设P (t ，at 2)，∴l 1的斜率为k 1＝2at ，l 1的方程为y －at 2＝2at (x －t )．又l 2的斜率为k 2＝3bx 2|x ＝1＝3b ，∴l 2的方程为y －b ＝3b (x －1)．∵l 1⊥l 2且交点为M (2,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2－at 2＝2at 2－t ，2－b ＝3b 2－1，k 1k 2＝2at ·3b ＝－1，∴t ＝10，a ＝－130，b ＝12，∴P ⎝⎛⎭⎫10，－103. 【随堂达标】1．【答案】A【解析】A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′，正确；B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′，错误；C 项中，⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝（sin x ）′x 2－sin x （x 2）′（x 2）2，错误； D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′，错误．2．【答案】B【解析】y ′＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －（x 2＋a 2）x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0，得x 0＝±a . 3．【答案】C【解析】∵f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，∴f ′(4)＝e 4(sin4＋cos4)．∵π<4<3π2，∴sin4<0，cos4<0，∴f ′(4)<0. 由导数的几何意义得，切线的倾斜角为钝角．4．【答案】1 2【解析】由题得f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋2，所以f ′(1)＝1－2f ′(1)＋2，所以f ′(1)＝1， 所以f ′(x )＝x 2－2x ＋2，所以f ′(2)＝4－4＋2＝2.5．解 (1)y ′＝(sin x )′＋x ′＝cos x ＋1.(2)y ′＝1x （x 2＋1）－ln x ·2x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2. (3)由于y ＝3x 2－x x ＋5x －9x＝3x －x ＋5－9x －12， 则y ′＝3·(x )′－x ′＋5′－9(x )′＝3·32x －1＋0－9×⎝⎛⎭⎫－12x －＝92x ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1. (4)由于y ＝e 2x ＝e 2·x －1，则y ′＝(e 2·x －1)′＝－1×e 2×x －1－1＝－e 2x 2.。

1.2.3导数的四则运算法则教学目标1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．知识链接前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．教学导引1．导数运算法则要点一利用导数的运算法则求函数的导数例1求下列函数的导数：(1) y＝x3－2x＋3；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y ＝3x －lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2.(2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1，∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3x ln3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得 (3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10. 规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪演练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x (1＋2x ＋2x 2)； (2)y ＝1＋sin x 2cos x 2； (3)y ＝(x ＋1)(1x－1)． 解 (1)y ＝x (1＋2x ＋2x 2)＝x ＋2＋2x， ∴y ′＝1－2x2. (2)y ＝1＋sin x 2cos x 2＝1＋12sin x ， ∴y ′＝12cos x . (3)∵y ＝(x ＋1)(1x －1)＝－x ＋1x， ∴y ′＝(－x )′＋(1x )′＝－12x －12－12x －32 ＝－12x(1＋1x )． 要点二 求复合函数的导数例2 求下列函数的导数：(1)y ＝log a (2x 2＋3x ＋1)；(2)y ＝a 3x cos(2x ＋π3)． 解 (1)y ′＝[log a (2x 2＋3x ＋1)]′＝(2x 2＋3x ＋1)′(2x 2＋3x ＋1)ln a＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln a. (2)y ′＝(a 3x )′cos(2x ＋π3)＋a 3x [cos(2x ＋π3)]′ ＝3a 3x ln a ·cos(2x ＋π3)－a 3x sin(2x ＋π3)·2 ＝a 3x [3ln a ·cos(2x ＋π3)－2sin(2x ＋π3)]． 规律方法 应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝ln x 2＋1；(2)y ＝(2x 3－x ＋1x)4. 解 (1)∵y ＝12ln(x 2＋1)， ∴y ′＝12(x 2＋1)(x 2＋1)′＝x x 2＋1. (2)设u ＝2x 3－x ＋1x，则y ＝u 4， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝4u 3·(6x 2－1－1x 2) ＝4(2x 3－x ＋1x )3(6x 2－1－1x 2)． 要点三 导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0②又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12. 故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要漏解．跟踪演练3 求满足下列条件的f (x )的解析式：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.解 (1)依题意，可设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由f (0)＝3，得d ＝3，由f ′(0)＝0，得c ＝0.由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0，可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＝－3，12a ＋4b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3， ∴f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )为一次函数，知f (x )为二次函数．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .将f (x )，f ′(x )代入方程得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0.要使方程对任意x 都成立，则需要a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1.解得a ＝2，b ＝2，c ＝1.∴f (x )＝2x 2＋2x ＋1.当堂检测1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x【答案】D【解析】利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x .2．函数y ＝cos x 1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x (1－x )2B.x sin x －sin x －cos x (1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x【答案】C【解析】y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2. 3．曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 【答案】A【解析】∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2， ∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝ . 【答案】ln 2－1【解析】设切点为(x 0，y 0)，∵ y ′＝1x ，∴12＝1x 0， ∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b ， ∴b ＝ln 2－1.。