导数的四则运算
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四则运算求导法则
四则运算求导法则四则运算求导法则是微积分中十分重要的一个概念，它是求导数的基础，也是后续复杂函数求导的基础之一。
在这篇文章中，我们将深入探讨四则运算的求导法则，帮助大家掌握这一重要概念。
首先，我们需要了解什么是导数。
导数是用来描述一个函数在某一点处的变化率的数值，它是函数在该点的切线斜率。
我们可以通过求导数的方法来求得某一点的导数。
四则运算包含了加、减、乘、除四个基本运算。
那么，如何求导呢？加法求导法则：两个函数的和的导数等于这两个函数的导数的和。
例如：f(x) = u(x) + v(x) ，则f'(x) = u'(x) + v'(x)。
减法求导法则：两个函数的差的导数等于这两个函数的导数的差。
例如：g(x) = u(x) - v(x)，则g'(x) = u'(x) - v'(x)。
乘法求导法则：两个函数的积的导数等于这两个函数分别求导后再相乘再加上另一个函数分别求导后再相乘的和。
例如：h(x) = u(x)v(x)，则h'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
除法求导法则：两个函数的商的导数等于被除函数的导数乘以除数减去除函数乘以被除数的导数后，再除以除数的平方。
例如：q(x) = u(x) / v(x)，则q'(x) = [u'(x)v(x) -u(x)v'(x)] / v(x)^2。
以上就是四则运算的求导法则，可以应用于各种函数的求导。
但需要注意的是：在进行四则运算时，要按照先乘除后加减的顺序进行，使得计算更加准确。
在实际应用中，我们可根据四则运算法则对函数进行逐层求导，以求出函数在某一点的导数和导函数。
导函数不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还是后续求极值、凸凹性等问题的基础工具。
最后，再次强调：四则运算是微积分求导的基础，掌握好四则运算的求导法则，才能更好地掌握后续的高等数学知识，更好地理解微积分的精髓。
导数的四则运算法则
导数的 四则运算法则
一、复习回顾
1、基本求导公式 : ' 1
(1)C 0(C为常数)
(2)( x ) x
x ' x
(为常数）
(3)(a ) a lna(a 0, 且a 1)
1 (4)(log a x ) (a 0, 且a 1) xlna 1 ' x ' x (6)(lnx) (5)(e ) e x
2
(2)求函数g ( x) x x x 2的导数.
3 2
法则 2: 两个函数的积的导数，等于第一
个函数的导数乘以第二个函数加上第一个 函数乘以第二个函数的导数．即：
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
例2： (1)求函数h( x) x sin x的导数. (2)求函数f ( x) x ln x的导数.
法则3:
[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)
3 2 (3)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
(4)求函数f ( x) 2 x ln x的导数.
法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子 的积，再除以分母的平方,即：
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
x (2)求函数f(x) x 的导数. e
练 习
2. 求 y (2x 3)(3x 2)的导数
1.求 y 2x 3x 5x 4 的导数
2
3
一、复习回顾
1、基本求导公式 : ' 1
(1)C 0(C为常数)
(2)( x ) x
x ' x
(为常数）
(3)(a ) a lna(a 0, 且a 1)
1 (4)(log a x ) (a 0, 且a 1) xlna 1 ' x ' x (6)(lnx) (5)(e ) e x
2
(2)求函数g ( x) x x x 2的导数.
3 2
法则 2: 两个函数的积的导数，等于第一
个函数的导数乘以第二个函数加上第一个 函数乘以第二个函数的导数．即：
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
例2： (1)求函数h( x) x sin x的导数. (2)求函数f ( x) x ln x的导数.
法则3:
[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)
3 2 (3)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
(4)求函数f ( x) 2 x ln x的导数.
法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子 的积，再除以分母的平方,即：
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
x (2)求函数f(x) x 的导数. e
练 习
2. 求 y (2x 3)(3x 2)的导数
1.求 y 2x 3x 5x 4 的导数
2
3
导数的四则运算法则
x
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx
导数的四则运算法则
[f(x ) g (x )] f(x ) g (x ).
这个法则可以推广到任意有限个函数， 即
( f 1 f 2 f n ) ' f 1 ' f 2 ' f n '
例 1.(1)求函 f(x) 数 x2sixn 的导 .
解： f(x)(x2sinx)
(x2)(sixn)2xcoxs
(2)求函 g(x)数 x33x26x2的导 . 2
4 x (3 x 2 ) (2 x 2 3 )3 1x828x9
法二： y(6x34x29x6)
1x828x9
3. y x2 的导数 sinx
解y： ' (x2)'sisxn i2n xx2(sx i)n '
2xsinxx2coxs sin2 x
例5:求曲线y=x3+3x－8在x=2处的切 线的方程.（备选）
yax(a0,a1),yloagx(a0,a1), ysinx,ycoxs,ytanx,ycoxt.
3.导数应用的注意事项：
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数 的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在 求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构 特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导 数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的 要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形 式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时 速度等问题.
解： f (x) (x3 3x 8) 3x2 3， k f (2) 3 22 3 15， 又 切 线 过 点(2,6)， 切线方程为: y 6 15(x 2)， 即：15x y 24 0．
1.导数的四则运算法则是什么? 2.几个常用的函数的导数是什么?
yc(c是常),y数 x(为实),数
这个法则可以推广到任意有限个函数， 即
( f 1 f 2 f n ) ' f 1 ' f 2 ' f n '
例 1.(1)求函 f(x) 数 x2sixn 的导 .
解： f(x)(x2sinx)
(x2)(sixn)2xcoxs
(2)求函 g(x)数 x33x26x2的导 . 2
4 x (3 x 2 ) (2 x 2 3 )3 1x828x9
法二： y(6x34x29x6)
1x828x9
3. y x2 的导数 sinx
解y： ' (x2)'sisxn i2n xx2(sx i)n '
2xsinxx2coxs sin2 x
例5:求曲线y=x3+3x－8在x=2处的切 线的方程.（备选）
yax(a0,a1),yloagx(a0,a1), ysinx,ycoxs,ytanx,ycoxt.
3.导数应用的注意事项：
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数 的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在 求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构 特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导 数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的 要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形 式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时 速度等问题.
解： f (x) (x3 3x 8) 3x2 3， k f (2) 3 22 3 15， 又 切 线 过 点(2,6)， 切线方程为: y 6 15(x 2)， 即：15x y 24 0．
1.导数的四则运算法则是什么? 2.几个常用的函数的导数是什么?
yc(c是常),y数 x(为实),数
导数的四则运算法则[1]2.27
![导数的四则运算法则[1]2.27](https://img.taocdn.com/s1/m/a19bbc64011ca300a6c390b3.png)
解
( u ) yu
这样可以直接写出下式
y x
1 2 (1 x 2 )
(1 x ) x
2
x 1 x2
.
练习
5. 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).
课堂小结
导数的四则运算法则
(1) (u v) u v (2) (u v) uv uv u uv uv (3) ( ) (v 0). 2 v v
解 : (1)h( x) ( x sin x) x sin x x(sin x) sin x x cos x (2) f ( x) (2 x ln x) (2 x) ln x (2 x)(ln x)
2 ln x 2
法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子 的积，再除以分母的平方,即：
1.求 y 2x 3x 5x 4 的导数
3
2
解 : y (2 x 3x 5x 4)
3 2
6x 6x 5
2
2. 用两种方法求y (2x 3)(3x 2) 的导数
2 2 解： 法一：y (2x 3)(3x 2) (2x 3)(3x 2)
yu u x =2cos2x yx
练习
设 y = (2x + 1)5，求 y .
解
把 2x + 1 看成中间变量 u， 将 y = (2x + 1)5 看成是由
y = u5，u = 2x + 1 复合而成， 由于
yu (u ) 5u ,
5 4
u x (2 x 1) 2.
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)
2.2.2 导数的四则运算
=
1 x
+ 3e x − 2cos 2 x .
7
导数的四则运算法则计算
x5 + x + 1 + 3 x cos x ； （2） y = x3
解： y = x + x
2
−
−
5 2
+ x + 3 cos x ，
x
−3
y′ = ( x 2 )′ + ( x )′ + ( x −3 )′ + (3 x )′ cos x + 3 x (cos x )′
f ′( 0) = ( −1)( −2)( −3) ⋯ ( −100 ) = 100!.
解法 2： 利用导数的定义） （利用导数的定义）
f ′(0) = lim
x →0
x →0
f ( x ) − f ( 0) x( x − 1)( x − 2)⋯ ( x − 100) − 0 = lim x →0 x−0 x
= f ′( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′( x )
4
∴函数 g ( x ) 在 x 点连续，
导数的四则运算法则计算
公式(1)、 可以推广到有限多个函数的情形 可以推广到有限多个函数的情形， 公式 、(2)可以推广到有限多个函数的情形，即
① [ f 1 ( x ) ± f 2 ( x ) ± ⋯ ± f n ( x )]′ ′( x ) ± f 2′( x ) ± ⋯ ± f n′ ( x ) ； = f1
g( x ), α = 1 . = α >1 0,
可导。 ∴ f ( x ) 在点 x 处 可导。
15
导数的四则运算法则计算
(完整版)导数的四则运算法则
§ 4 导数的四则运算法则、教学目标: 1知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
2.过程与方法通过用定义法求函数 f ( x) =x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。
3.情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验一一观察一一归纳一一抽象的数学思维方法。
_教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用、教学难点:导数四则运算法则的证明三教学方法：探析归纳，讲练结合、四教学过程、(-」)、复习：导函数的概念和导数公式表。
1•导数的定义：设函数y f (x)在x x o处附近有定义，如果x 0时，y与x的比」(也叫函数的平均变化率)有极限即」无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做x x函数y f (x)在x X。
处的导数，记作y/x,，即f/(x o) lim ——x)―f x 0 v2•导数的几何意义：是曲线y f (x)上点(x o, f (x o))处的切线的斜率.因此，如果y f (x)在点X。
可导，则曲线y f (x)在点(X。
，f (x。
))处的切线方程为y f (x o) f/(x o)(x X。
).3.导函数(导数)：如果函数y f (x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x (a,b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数 f /(x),称这个函数f/(x)为函数y f (x)在开区间内的导函数，简称导数,4.求函数y f(x)的导数的一般方法:(1)求函数的改变量y f(x x) f(x). (2)求平均变化率—yf(x x) f(x) (3)取极限，得导数y/= f (x) 叽~x5.常见函数的导数公式: C' 0 ; (x n)' nx n(二)、探析新课两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差) ，即[f(x) g(x)] f (x) g (x) [f (x) g(x)] f (x) g (x)证明：令y f(x) u(x) v(x)，y [u(x x) v(x x)] [u(x) v(x)][u(x x) u(x)] [v(x x) v(x)] ulim x 0 limxlimx即[u(x) v(x)]' u (x) v例1:求下列函数的导数:2 x(1) y x 2 ；(2) In (3) (x21)(x 1)；(4) 解: (1) y (x2 2x) (x2) (2x) 2x 2x l n2(2) In x) (、x) (Inx)(x21)(x 1) (x3x2x 1)(x2) (x1) (x2)12、x 。
导数的四则运算法则课件
泰勒级数常用于数学和工程计算中，也常用于科学和工业实践中的数像处理中也有广泛应用，如图像去噪和匹配等。
总结和扩展导数的四则运算规则
导数的四则运算法则是微积分的非常基础的知识点，也是应用导数的必备前提。掌握导数的四则运算法 则后，您可以使用它们在各种领域中应用导数来解决现实问题。
导数的四则运算法则课件
本课件将介绍导数的基本概念和基本法则，以及导数在数学和其他领域中的 应用。欢迎大家学习。
导数的基本概念
什么是导数？导数可以看作是函数在某一点上的瞬时变化率，也称为导函数。导数是微积分学中非常重 要的概念。
导数的基本定义和符号 表示
导数是函数在某一点上的变化 率。通常用dy/dx或f'(x)来表示。
实例演算：求导数
掌握导数的运算法则后，我们来看几个实例。
1
例2
2
$y=\sin x+\cos x, y'=\cos x-\sin x$
3
例4
4
$y=\frac{x}{x+1}, y'=\frac{1}{(x+1)^2}$
例1
$y=x^3+2x^2-5x+3, y'=3x^2+4x-5$
例3
$y=x^2\cdot\ln x, y'=\frac{x^2}{x}\cdot\ln(x)+x^2\cd ot\frac{1}{x}$
泰勒展开和应用
泰勒展开是一种将函数表示为无穷级数的方法，可以用于函数逼近和数值运算。以下是一些应用案 例。
1
案例 1
使用泰勒展开法计算$\sin x$在$x= 0$处的近似值，可以表示为$\sin x= x\frac{x^ 3}{3!}+ \frac{x^ 5}{5!}- \cdots$。
导数的四则运算法则
法二：∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
题型二 由导数值求参数 [学透用活]
[典例 2] 设 f(x)＝a·ex＋bln x，且 f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，求 a，b 的值． [解] f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝a·ex＋bx，
法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)，则 k＝xy00－－00＝x30＋xx00－16. 又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋xx00－16＝3x20＋1，解得 x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
应 求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以 用 及涉及切线问题的综合应用
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方 方 程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再 法 根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至
关重要的作用
[对点练清]
1．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值
[对点练清] 求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xln x；(2)y＝lnx2x； (3)y＝exx；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解：(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·1x＝2x＋ln x＋1.
()
3．已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，则 a 的值为
5.2.2导数的四则运算法则
解：令 y＝f(x)，则曲线 y＝a(x－1)ex 在点(1，0)处的切线的斜率为 f′(1)， 又切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂直，所以 f′(1)＝2. 因为 f(x)＝a(x－1)ex，所以 f′(x)＝aex＋a(x－1)ex＝axex，
2 所以 f′(1)＝ae＝2，故 a＝ .
e
导数的运算法则的综合应用
x)(
x2 )
2x2 cos x 4x sin x
x4
2x cos
x x3
4 sin
x
.
导数的运算法则的综合应用
例 3：设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等的实根，且 f′(x)＝2x ＋1.
求 y＝f(x)的函数表达式．
解：因为 f′(x)＝2x＋1，所以 f(x)＝x2＋x＋c(c 为常数)，
解：( 1) y ′＝( 2x 3) ′ ＋( x 2) ′ －( x ) ′＋( 1) ′＝6x 2＋2x －1.
(2)y′＝(x4)′＋(cos x)′＝4x3－sin x.
(3)y′＝(ex)′＋(ln
x
)
′
＝ex
1 ＋
.
x
(4)y′＝(5x)′－(ln
x ) ′＝5x
ln
1 5－
.
x
1
(5)y′＝(lg x)′＋(sin x)′＝
导数的运算法则的综合应用
又点( 1，0) 在切线上，所以
3x02－2x03＝0，解得
x0＝0
或
3 x0＝
.
2
当 x0＝0 时，由直线 y＝0 与曲线 y＝ax2＋15 x－9 相切可得, 4
方程 ax2＋15 x－9＝0 有两个相等的实数根， 4
2 所以 f′(1)＝ae＝2，故 a＝ .
e
导数的运算法则的综合应用
x)(
x2 )
2x2 cos x 4x sin x
x4
2x cos
x x3
4 sin
x
.
导数的运算法则的综合应用
例 3：设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等的实根，且 f′(x)＝2x ＋1.
求 y＝f(x)的函数表达式．
解：因为 f′(x)＝2x＋1，所以 f(x)＝x2＋x＋c(c 为常数)，
解：( 1) y ′＝( 2x 3) ′ ＋( x 2) ′ －( x ) ′＋( 1) ′＝6x 2＋2x －1.
(2)y′＝(x4)′＋(cos x)′＝4x3－sin x.
(3)y′＝(ex)′＋(ln
x
)
′
＝ex
1 ＋
.
x
(4)y′＝(5x)′－(ln
x ) ′＝5x
ln
1 5－
.
x
1
(5)y′＝(lg x)′＋(sin x)′＝
导数的运算法则的综合应用
又点( 1，0) 在切线上，所以
3x02－2x03＝0，解得
x0＝0
或
3 x0＝
.
2
当 x0＝0 时，由直线 y＝0 与曲线 y＝ax2＋15 x－9 相切可得, 4
方程 ax2＋15 x－9＝0 有两个相等的实数根， 4
(完整版)导数的四则运算法则
§ 4 导数的四则运算法则、教学目标: 1知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
2.过程与方法通过用定义法求函数 f ( x) =x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。
3.情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验一一观察一一归纳一一抽象的数学思维方法。
_教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用、教学难点:导数四则运算法则的证明三教学方法：探析归纳，讲练结合、四教学过程、(-」)、复习：导函数的概念和导数公式表。
1•导数的定义：设函数y f (x)在x x o处附近有定义，如果x 0时，y与x的比」(也叫函数的平均变化率)有极限即」无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做x x函数y f (x)在x X。
处的导数，记作y/x,，即f/(x o) lim ——x)―f x 0 v2•导数的几何意义：是曲线y f (x)上点(x o, f (x o))处的切线的斜率.因此，如果y f (x)在点X。
可导，则曲线y f (x)在点(X。
，f (x。
))处的切线方程为y f (x o) f/(x o)(x X。
).3.导函数(导数)：如果函数y f (x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x (a,b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数 f /(x),称这个函数f/(x)为函数y f (x)在开区间内的导函数，简称导数,4.求函数y f(x)的导数的一般方法:(1)求函数的改变量y f(x x) f(x). (2)求平均变化率—yf(x x) f(x) (3)取极限，得导数y/= f (x) 叽~x5.常见函数的导数公式: C' 0 ; (x n)' nx n(二)、探析新课两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差) ，即[f(x) g(x)] f (x) g (x) [f (x) g(x)] f (x) g (x)证明：令y f(x) u(x) v(x)，y [u(x x) v(x x)] [u(x) v(x)][u(x x) u(x)] [v(x x) v(x)] ulim x 0 limxlimx即[u(x) v(x)]' u (x) v例1:求下列函数的导数:2 x(1) y x 2 ；(2) In (3) (x21)(x 1)；(4) 解: (1) y (x2 2x) (x2) (2x) 2x 2x l n2(2) In x) (、x) (Inx)(x21)(x 1) (x3x2x 1)(x2) (x1) (x2)12、x 。
一导数的四则运算法则
u'( x) lim u( x) , v'( x) lim v( x)
x0 x
x0 x
且y v( x)在点x处必连续，即
lim v( x x) v( x)
x0
所以
lim
x0
y x
=
lim
x0
u( x) x
v(
x
x)
v( x) x
u( x)
=u '( x) v( x) u( x) v '( x)
一、导数的四则运算法则
定理1 设函数u( x)与v( x)在点x处可导，则函数u( x) v( x)， u( x) v( x)，u( x) (v( x) 0)在点x处也可导并且有：
v( x)
1、u(x) v(x) ' u '(x) v '(x)
2、u(x) v(x) ' u '(x) v(x) u(x) v '(x)
=
1
1 x
2
(16)(arc
cot
x)'
=
1 1 x
2
2、 导数的四则运算法则
(1)u(x) v(x) ' u '(x) v '(x)
(2)u(x) v(x) ' u '(x) v(x) u(x) v '(x)
(3)Cu(x) ' Cu '(x)(C为常数)
'
u( x)
u '( x) v( x) u( x) v '( x)
f '(u)u'( x)
值得指出的是，复合函数的求导法，有时也称为链 导法，它可用于多次复合的情形。
导数的四则运算
对复合函数求导法则比较熟练以后，就不必再写出 中间变量。
dy 例12 y lnsin x , 求 . dx
解 dy lnsin x 1 sin x dx sin x
1 1 cos x sin x tan x
有限次四则运算的求导法则:
1 u v u v 2 uv uv uv
解
1
y x tan x x tan x tan x x
y | x 0 0
2
1 f x 5 2 5 x3 x x 2 f x 3 15x 2 1 x
f 1 16, f 1 12
(u v w)' u' v' w' .
(2) ( uv ) uv u v
证 设 f ( x ) u( x )v( x ) , 则有
u( x h)v( x h) u( x )v( x ) f ( x h) f ( x ) lim f ( x ) lim h 0 h 0 h h
v uv uv 3 u2 u
cu cu
u 1 2 u u
(c为常数）
u 0
4
若 y f u, u x , 则对于复合函数 y f x
dy dy du 有 y x yu u x 或 dx du dx
sin x cos x
解 (1)根据求导法则(1),得
(2)根据求导法则(2),得 y x 2 2 ln x sin x x 2 2 ln x sin x
2 2 x sin x x 2 2 ln x cos x x
dy 例12 y lnsin x , 求 . dx
解 dy lnsin x 1 sin x dx sin x
1 1 cos x sin x tan x
有限次四则运算的求导法则:
1 u v u v 2 uv uv uv
解
1
y x tan x x tan x tan x x
y | x 0 0
2
1 f x 5 2 5 x3 x x 2 f x 3 15x 2 1 x
f 1 16, f 1 12
(u v w)' u' v' w' .
(2) ( uv ) uv u v
证 设 f ( x ) u( x )v( x ) , 则有
u( x h)v( x h) u( x )v( x ) f ( x h) f ( x ) lim f ( x ) lim h 0 h 0 h h
v uv uv 3 u2 u
cu cu
u 1 2 u u
(c为常数）
u 0
4
若 y f u, u x , 则对于复合函数 y f x
dy dy du 有 y x yu u x 或 dx du dx
sin x cos x
解 (1)根据求导法则(1),得
(2)根据求导法则(2),得 y x 2 2 ln x sin x x 2 2 ln x sin x
2 2 x sin x x 2 2 ln x cos x x
求导的四则运算法则公式
求导的四则运算法则公式求导是微积分中的一个重要概念，而求导的四则运算法则公式更是我们解决导数问题的有力工具。
先来说说加法法则。
假设我们有两个函数 f(x) 和 g(x) ，它们的导数分别为 f'(x) 和 g'(x) ，那么 (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) 。
这就好比你有两堆苹果，一堆每天增加的数量是按照 f'(x) 的规律，另一堆按照 g'(x) 的规律增加，那么把这两堆合在一起每天增加的总数，就是这两个规律相加。
举个例子吧，比如说 f(x) = x²，它的导数 f'(x) = 2x ； g(x) = 3x ，它的导数 g'(x) = 3 。
那么 (f(x) + g(x)) 就是 x² + 3x ，它的导数就是 (f(x) + g(x))' = 2x + 3 ，正好就是 f'(x) + g'(x) 。
再看减法法则，(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x) 。
这就像你有两群羊，一群每天减少的数量按 f'(x) 的规律，另一群按 g'(x) 的规律减少，那么两群羊合在一起每天减少的总数就是这两个规律相减。
比如说 f(x) = 5x²，导数 f'(x) = 10x ； g(x) = 2x ，导数 g'(x) = 2 。
那么 (f(x) - g(x)) 就是 5x² - 2x ，它的导数就是 (f(x) - g(x))' = 10x - 2 ，正是 f'(x) - g'(x) 。
乘法法则稍微复杂点，(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) 。
这有点像两个人合作完成一项任务，一个人的效率变化规律是 f'(x) ，另一个人的工作总量是 g(x) ；反过来，另一个人的效率变化规律是 g'(x) ，这个人的工作总量是 f(x) ，那么他们合作的成果增加的速度就是这两部分相加。
导数四则运算
导数四则运算
导数四则运算包括加法、减法、乘法、除法。
1、加法。
当要求两个函数的导数叠加时，只需把两个函数的导数分
别相加即可。
例如：已知函数f(x)=x^2+2x和g(x)=3x^2-4x，则
f(x)+g(x)的导数为2x+3。
2、减法。
当要求两个函数的导数相减时，只需把两个函数的导数分
别相减即可。
例如：已知函数f(x)=x^2+2x和g(x)=3x^2-4x，则f(x)-
g(x)的导数为-x-7。
3、乘法。
当要求两个函数的导数相乘时，要使用乘法法则，即把两
个函数的导数分别相乘再加一个两个函数的乘积的导数。
例如：已知函数
f(x)=x^2+2x和g(x)=3x^2-4x，则f(x)g(x)的导数为6x^3+2x^2-4x。
4、除法。
当要求两个函数的导数相除时，要使用除法法则，即把两
个函数的导数分别相除再减一个两个函数的商的导数。
例如：已知函数
f(x)=x^2+2x和g(x)=3x^2-4x，则f(x)/g(x)的导数为(2x-7)/(3x^2-4x)。
4导数的四则运算法则
4导数的四则运算法则四导数的四则运算法则是微积分中基本的运算规则，用于计算函数的导数。
常用的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面将介绍每种运算的具体计算法则。
1.加法法则：对于两个函数f(x)和g(x)的和f(x)+g(x)，它们的导数等于各自函数的导数之和。
即：(d/dx)[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)2.减法法则：对于两个函数f(x)和g(x)的差f(x)-g(x)，它们的导数等于各自函数的导数之差。
即：(d/dx)[f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)3.乘法法则：对于两个函数f(x)和g(x)的乘积f(x)*g(x)，它们的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数再乘以第二个函数的导数。
即：(d/dx)[f(x) * g(x)] = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)4.除法法则：对于两个函数f(x)和g(x)的商f(x)/g(x)，它们的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数减去第一个函数乘以第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方。
即：(d/dx)[f(x) / g(x)] = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] /[g(x)]^2以上四则运算法则是微积分中的基本法则，可以通过这些法则计算各种复杂函数的导数。
在使用这些法则时，需要注意函数的定义域和需要应用的法则，并进行一定的代数化简，以得到最终的导数表达式。
举例说明：1.对于函数f(x)=x^2+2x和g(x)=3x-1，计算它们的和的导数：利用加法法则，有：(d/dx)[f(x) + g(x)] = (d/dx)[x^2 + 2x + 3x - 1]= (d/dx)[x^2 + 5x - 1]=2x+52.对于函数f(x)=x^3-4x和g(x)=2x^2+3，计算它们的差的导数：利用减法法则，有：(d/dx)[f(x) - g(x)] = (d/dx)[x^3 - 4x - (2x^2 + 3)]= (d/dx)[x^3 - 2x^2 - 4x - 3]=3x^2-4x-43. 对于函数f(x) = x^2 * sin(x)和g(x) = e^x，计算它们的乘积的导数：利用乘法法则，有：(d/dx)[f(x) * g(x)] = (d/dx)[x^2 * sin(x) * e^x]= (d/dx)[x^2 * sin(x)] * e^x + x^2 * sin(x) * (d/dx)[e^x]= (2x * sin(x) + x^2 * cos(x)) * e^x4.对于函数f(x)=3x^2-2x+5和g(x)=x+1，计算它们的商的导数：利用除法法则，有：(d/dx)[f(x) / g(x)] = [(d/dx)(3x^2 - 2x + 5) * (x + 1) - (3x^2 - 2x + 5) * (d/dx)(x + 1)] / (x + 1)^2=[(6x-2)*(x+1)-(3x^2-2x+5)]/(x+1)^2=(3x^2+2x-7)/(x+1)^2综上所述，四导数的四则运算法则是微积分中的基本运算法则，通过这些法则可以计算各种复杂函数的导数。
导数的四则运算法则课件
【错因】忽略 f′(x)与 f′(x0)的区别，f′(x)是导数，而 f′(x0)是函数值， 即常量，题中 f′－31是函数 f(x)的解析式中一次项 x 的系数，应用多项式 的求导法求导时，一次项部分的导数是一个常数．
【正解】因为 f(x)＝x2＋2f′－13x， 所以 f′(x)＝2x＋2f′－31， 所以 f′－13＝2×－31＋2f′－31， 所以 f′－13＝－2×－13＝23， 即 f′－31的值为23.
3．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x) 相切，则直线l的方程为__________．
【答案】x－y－1＝0 【解析】因为点(0，－1)不在曲线 f(x)＝xln x 上，所以设切点为(x0， y0)．又因为 f′(x)＝1＋ln x，所以直线 l 的方程为 y＋1＝(1＋ln x0)x.所以由 yy00＝ ＋x10＝ln(x10＋，ln x0)x0，解得 x0＝1，y0＝0，所以直线 l 的方程为 y＝x－1， 即 x－y－1＝0.
B．(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex
C．lnx2x′＝(ln
x)′x2－(ln (ln x)2
x)(x2)′＝1x·x2－(ln(lxn)2x)·2x＝x－ln2x2xln
x
D．x3－1x′＝(x3)′－(x－1)′＝3x2＋x12
【答案】C
【解析】对于 A，(x2＋2x)′＝(x2)′＋(2x)′＝2x＋2xln 2，正确；对于 B，
在求导时，对于简单的和、差、商、积可以直接求导；但有些函数 表面形式为函数的商或积，直接求导比较烦琐且易出错，可先将函数化 简，然后再求导．
1．求下列函数的导数：
导数的四则运算法则
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x
y (3) 当x 0, 常数 x
3．巩固练习：Βιβλιοθήκη 用导数定义求 的导数.2yx x
2
( x x) 2 x 1
2
f ( x) x
结论： ( x
2
g ( x) x
2
f ( x) g ( x) x x
2
x 6x 3 2 2 ( x 3)
2
3 例4:求曲线y=x +3x－8在x=2处的切
线的方程.
解： f ( x) ( x 3x 8) 3 x 3，
3 2
k f (2) 3 2 3 15 ，
2
又切线过点 (2,6)， 切 线 方 程 为 : y 6 15( x 2)， 即： 15x y 24 0．
2
解：f ( x) ( x sin x)
2
( x ) (sin x) 2 x cos x
2
3 2 (2)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
3 2 解：g ( x) ( x x 6 x) 2 3 2 3 2 ( x ) ( x ) (6 x ) 3 x 3 x 6 2
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)
其中g ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
2 t 1 (t 1) t (t 1)t 解 : (1) s(t ) ( ) t t2 2t 2 t 2 1 t 2 1 2 2 t t
y (3) 当x 0, 常数 x
3．巩固练习：Βιβλιοθήκη 用导数定义求 的导数.2yx x
2
( x x) 2 x 1
2
f ( x) x
结论： ( x
2
g ( x) x
2
f ( x) g ( x) x x
2
x 6x 3 2 2 ( x 3)
2
3 例4:求曲线y=x +3x－8在x=2处的切
线的方程.
解： f ( x) ( x 3x 8) 3 x 3，
3 2
k f (2) 3 2 3 15 ，
2
又切线过点 (2,6)， 切 线 方 程 为 : y 6 15( x 2)， 即： 15x y 24 0．
2
解：f ( x) ( x sin x)
2
( x ) (sin x) 2 x cos x
2
3 2 (2)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
3 2 解：g ( x) ( x x 6 x) 2 3 2 3 2 ( x ) ( x ) (6 x ) 3 x 3 x 6 2
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)
其中g ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
2 t 1 (t 1) t (t 1)t 解 : (1) s(t ) ( ) t t2 2t 2 t 2 1 t 2 1 2 2 t t
导数的四则运算法则
A.－2excos x
B.－2exsin x
C.2exsin x
√D.－2ex(sin x＋cos x)
解析 y′＝－2(exsin x＋excos x) ＝－2ex(sin x＋cos x).
1234
2.已知 f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则 a 的值是
A.139
B.136
C.133
√D.130
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋6x， ∴f′(－1)＝3a－6＝4， ∴a＝130.
1234
3.若函数 f(x)＝12 f′(－1)x2－2x＋3，则 f′(－1)的值为
√A.－1
B.0
C.1
D.2
解析 因为 f(x)＝12 f′(－1)x2－2x＋3， 所以f′(x)＝f′(－1)x－2. 所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2， 所以f′(－1)＝－1.
1234
4.某物体作直线运动，其运动规律是 s＝t2＋3t (t 的单位：s，s 的单位：m)， 125
则它在第 4 s 末的瞬时速度应该为__1_6___m/s. 解析 由题意得 s＝t2＋3t ， 可得瞬时速度 v＝s′＝2t－t32， 故它在第 4 s 末的瞬时速度应该为 2×4－432＝11265 m/s.
跟踪训练2 求下列函数的导数： (1)y＝(x2＋1)(x－1)；
解 ∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝3x2－2x＋1.
(2)y＝x2＋tan x；
解 因为 y＝x2＋csoins xx， 所以 y′＝(x2)′＋csoins xx′ ＝2x＋cos2x－scionsx2x－sin x＝2x＋co1s2x.
y′＝f′(x)＝ lim Δx→0
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2
1
)
2
(1
1 x)2
2 ( x 1)2
在进行求导运算中,
尽量先化简再求导,
过程简单,
准 确.
函数的求导法则
二、反函数的求导法则
定理2
如果函数 x
f
(
y )在某区间
I
内单调、
y
可导 且f ( y) 0 , 那末它的反函数 y f 1 ( x)在
对应区间
I
内也可导
x
,
且
[ f 1 ( x)] 1
(csc x) csc x cot x
函数的求导法则
求 y x 1 的导数 . x1
1 v( x)
v( x) v 2 ( x)
解 法一
y
(x
1)( x
1) ( x 1)( x ( x 1)2
1)
(x
2 1)2
法二 y x 1 1 2
x1
x1
注
y
(1)
(
x
解
y
(tan
x )
sin cos
x x
u
v
uv uv v2
(sin
x
)
cos x cos2
sin x
x(cos
x )
cos2 x sin2 cos2 x
x
1 cos 2
x
sec 2
x
即 (tan x) sec2 x. (cot x) csc2 x.
同理可得
(sec x) sec x tan x
(1
1
( x x ))
2 x x x
2 x x
1
(1
1
(1 1 ))
2 x x x
2 x x
2x
4 x2 x x 2 x 1 . 8 x x x x2 x x
1 3( x 2)
求函数
sin 1
ye x
的导数.
y
sin 1
ex
(sin
1 )
sin 1
ex
cos
1
( 1 )
x
xx
1 x2
sin 1
ex
cos
1 x
.
函数的求导法则
x 0 的情形证明幂函数的导数公式
( x ) x 1
因为 x e ln x , 所以
( x ) (e ln x ) e ln x ( ln x)
(e x 1)2 sin2 x
函数的求导法则
求y f sin 3x的导数, 其中函数 f 可导.
解 设 y f (u), u sin 3 x 则 y yu ux f (u) 3 cos 3 x 3 f (sin 3 x) cos 3 x
注
上式中 f (sin 3x) 是函数 f 对括号中的中间
f (x)
sin 2
f (0)
lim
x
x 0
x0
x0
x0
x
lim
x0
sin 2 x2
x
1
所以
f
( x)
sin 2 x x
sin 2 x2
x
1
x0 x0
函数的求导法则
求函数
y
arctan
sin x ex 1
的导数.
解
y
1
1
sin x 2
ex
1
sin x '
ex
1
cos x(e x 1) e x sin x
I
内也可导
x
,
且
[ f 1 ( x)] 1 或 f ( y)
dy dx
1 dx
.
dy
函数的求导法则
4. 复合函数的求导法则 设y f (u), 而u g( x)且f (u)及g( x)都可导,
则复合函数 y f [ g( x)]的导数为
dy dy du 或 dx du dx
初等函数求导问题
du
dv .
dx du dv dx
例6 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
dy dx
dy du
du dx
1 u
cos x
cos x cot x sin x
函数的求导法则
例7 求函数 y ( x 2 1)10 的导数 .
解 y 10( x 2 1)9 ( x 2 1)
并且
(1) [ u( x) v( x)] u( x) v( x); , R.
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
u(x)
v(
x)
u( x)v( x) u( x)v( x) v 2 ( x)
(v( x) 0).
函数的求导法则
((aarrccssiinn xx))
1 (sin y)
1 cos
y
1
1 sin 2 y
1 .
1 x2
同理可得
(arccos x) 1 . 1 x2
(arctan
x )
1
1 x
2
;
(arc cot
x)
1 1 x2
.
函数的求导法则
注 如果利用三角学中的公式:
arccos x arcsin x, 也可得公式
函数的求导法则
若 (x)在x a处连续, f (x) (x a) (x),
求f (a).
解 f (a) lim f ( x) f (a) lim ( x a) ( x) 0
xa
xa
xa
xa
lim ( x) (a) xa
函数的求导法则
五、小结
函数的积、商求导法则
注意
[u( x) v( x)] u( x) v( x);
u( x) v( x)
u( x) . v( x)
反函数的求导法则
(注意成立条件);
复合函数的求导法则
(对于复合函数,
层的复合结构, 不能遗漏);
记住基本初等函数的导数公式
注意一层
函数的求导法则
思考题 求函数 y x x x 的导数.
解 y
1
( x x x )
2 x x x
1
推论 若u、v、w在点x处均可导, 则u v w, uvw 在同一点x处也可导,且
u v w u v w
uvw uvw uvw uvw
函数的求导法则
例1 求 y x3 2 x2 sin x 的导数 . 解 y 3 x 2 4 x cos x.
例2 求 y sin 2 x ln x 的导数 .
解 y 2 sin x cos x ln x y 2 cos x cos x ln x 2 sin x ( sin x) ln x 2 sin x cos x 1 x 2 cos 2 x ln x 1 sin 2 x. x
函数的求导法则
例3 求 y tan x 的导数 .
(csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
(loga
x )
1 x ln a
(arcsin x) 1 1 x2
(arctanx )1Fra bibliotek1 x2
(e x ) e x
(ln x) 1 x
(arccos x) 1 1 x2
(arc cot
x )
1
1 x
2
函数的求导法则
2. 函数的线性组合、积、商的求导法则
设u u( x), v v( x) 都可导, 则
(1) (u v) u v, , R.
(2) (u v) uv uv.
(3)
u v
uv uv v2
(v
0).
3. 反函数的求导法则
如果函数 x f ( y)在某区间 I y内单调、可导 且f ( y) 0 , 则它的反函数 y f 1( x)在对应区间
a2 x2
x2
2 a2 x2
a2
2 a2 x2
1
1
x
2
x a
a
函数的求导法则
例9 解
例10 解
求函数
y ln
3
x 2 1 ( x 2) 的导数. x2
y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2 1 2x
1 3( x 2)
x
x 2
1
2 (arccos x) 1 ,
1 x2
arccot x arctan x, 也可得公式
2
(
arccot
x )
1
1 x2
.
函数的求导法则
例5 解
求函数 y log a x 的导数.
x a y在I y (,)内单调、可导 ,
且 (a y ) a y ln a 0, 在I x (0,)内有
dy f (u) g( x) 或 dy dy du .
dx
dx du dx
因变量对自变量求导, 等于因变量对中间 变量求导, 乘以中间变量对自变量求导.
函数的求导法则
推广 设 y f (u), u (v), v ( x),
则复合函数 y f {[ ( x)]}的导数为
dy
dy
变量求导, 不表示 f 对x的导数.
f (sin 3x) ? [ f (sin 3x)]
函数的求导法则
设 f 是可导函数 ,求y f (e x )e f ( x )的导数.
分析 这是抽象函数与具体函数相结合的导数.
解 y [ f (e x )e f ( x ) ] [ f (e x )] e f ( x ) f (e x ) [e f ( x ) ] f (e x ) e x e f ( x ) f (e x ) e f ( x ) f ( x) e f ( x )[ f (e x ) e x f (e x ) f ( x)]