导数的八个求导公式和四则运算求导

导数的求法【知识要点】一、求导的方法1、利用常见八种函数的导数公式① （C 为常数） ② ③0='C 1()()n n x nx n Q -'=∈x x cos )(sin ='④ ⑤ ⑥ x x sin )(cos -='1(log )log x a a e x '=x x 1)(ln ='⑦ ⑧a a a x x ln )(='x x e e =')(2、利用导数的运算法则① ② ③ '''()u v u v ±=±'''()uv u v uv =+'''2()(0)u u v uv v v v -=≠3、利用复合函数的求导法则设函数在点处有导数，函数在点处的对应点处有导数，()u x ϕ=x ()x u x ϕ''=)(u f y =x u ()u y f u ''=则复合函数在点处有导数，且，或写作(())y f x ϕ=x x u x y y u '''=⋅(())()()x f x f u x ϕϕ'''=二、导数的求法一般有四种：（1）利用导数的概念解答；（2）利用八种初等函数的导数公式解答；（3）利用导数的四则运算法则解答；（4）利用复合函数的求导法则求导.【方法讲评】方法一 利用导数的概念解答解题方法 求函数的导数的一般步骤是：①求函数的改变量)(x f y =)(/x f ；②求平均变化率；③取极限，得导)()(x f x x f y -∆+=∆xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(数＝. /y xy x ∆∆→∆0lim【例1】 求函数在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 2()f x x x =-+1x =-【点评】求函数的导数的一般步骤是：①求函数的改变量；②)(x f y =)(/x f )()(x f x x f y -∆+=∆求平均变化率；③取极限，得导数＝. x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(/y xy x ∆∆→∆0lim 【反馈检测1】将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬C 2()715(08)f x x x x =-+≤≤2h 6h 时变化率，并说明它们的意义．方法二利用八种初等函数的导数公式解答 解题方法直接利用八种初等函数的导数公式解答. 【例2】求函数的导数. ()f x=【解析】 113122211()()22f x x x x ----'''===-=-由题得【点评】在使用时，要注意函数的形式，如果是就不能利用该公式了，因为1()()n n x nx n Q -'=∈(3)n x 它的底数是，不是，是复合函数，不是初等函数. 学科#网3x x 【反馈检测2】求函数的导数. 44()cos sin 22x x f x =-方法三利用导数的四种运算法则解答 解题方法直接套导数的四种运算法则. 【例3】已知函数，则＝________．))(ln 2()(2x x f x x f -'+=)4(f ' A ． B ．6 C ．8 D ．6-2【点评】本题中的处理是一个难点，有许多同学不知道把它怎么办.其实是一个常数，求导(2)f '(2)f '时，把它看作常数，利用就可以了.再给x 赋值得到的方程，即可求出的值.[()]()Cf x Cf x ''=(2)f '(2)f '【反馈检测3】设，求.x xe x f x ln )(=)(x f '方法四 利用复合函数的求导公式解答解题方法 函数在点处有导数，函数在点处的对应点处()u x ϕ=x ()x u x ϕ''=)(u f y =x u 有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作()u y f u ''=(())y f x ϕ=x x u x y y u '''=⋅(())()()x f x f u x ϕϕ'''=【例4】已知，求. 21x y -=y '【解析】1211211,22u x v u x v u -=-=∴=-===设1112y u v x ∴==-= 【点评】函数在点处有导数，函数在点处的对应点处有导数()u x ϕ=x ()x u x ϕ''=)(u f y =x u ，则复合函数在点处有导数，且，或写作()u y f u ''=(())y f x ϕ=x x u x y y u '''=⋅(())()()x f x f u x ϕϕ'''=【反馈检测4】已知，求. sin 2()x f x x=()f x '高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第17讲：导数的求法参考答案【反馈检测1答案】在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和，说明在附近，原油温2h 6h 3-52h 度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升． 3/C h 6h 5/C h【反馈检测2答案】sin x -【反馈检测2详细解析】 442222()cos sin (cos sin )(cos sin )222222x x x x x x f x =-=+- 22(cos sin )cos 22x x x =-=()(cos )sin f x x x ''∴==-【反馈检测3答案】(1ln ln )x e x x x ++【反馈检测3详细解析】 )(ln ln )(ln )()ln ()('+'+'='='x xe x e x x e x x xe x f xx x x . xxe x xe x e x x x 1ln ln ⋅++=)ln ln 1(x x x e x ++=【反馈检测4】 2sin 22cos 2x x x x-【反馈检测4详细解析】 22(sin 2)(sin 2)(sin 2)(sin 2)()x x x x x x x f x x x '''--'==2sin 2cos cos 2u x v u u v u x ''==∴===设(sin 2)2cos 2x x '∴= 22(sin 2)2cos 2(sin 2)2cos 2()x x x x x x f x x x --'∴== 2sin 22cos 2x x x x-=。

导数公式及运算法则
八个公式：
y=c(c为常数) y'=0；
y=x^n y'=nx^(n-1)；
y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x；
y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x ；
y=sinx y'=cosx ；y=cosx y'=-sinx ；
y=tanx y'=1/cos^2x ；
y=cotx y'=-1/sin^2x。

运算法则：
加（减）法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'
乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)
除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。

寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。

实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。

反
之，已知导函数也可以反过来求原来的函数，即不定积分。

导数及其应用第1课时 变化率与导数、导数的计算1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比xy ∆∆ 的 ，即)(x f '＝ ＝ ．2．导函数：函数y ＝)(x f 在区间(a, b)内 的导数都存在，就说)(x f 在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的 ，记作)(x f '或x y '， 函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 .4．求导数的方法 (1) 八个基本求导公式)('C ＝ ； )('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝)('x e ＝ ， )('x a ＝ )(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝(2) 导数的四则运算[]')()(x v x u ±＝ ])(['x Cf ＝][')()(x v x u ＝ ， )()('x u ＝ )0)((≠x v (3) 复合函数的导数设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导， 且)(x f '＝ ，即x u x u y y '⋅'='.12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率. 解 ∵Δy=11)(11)(11)(20202020220+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x .11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x xx x y x x x x x x变式训练1. 求y=x 在x=x 0处的导数解 )())((lim lim lim00000000000x x x x x x x x x x x x x x x y x x x +∆+∆+∆+-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆.211lim 0000x x x x x =+∆+=→∆例2. 求下列各函数的导数： （1）;sin 25x xx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xxy ++-=解 (1)∵,sin sin 23232521xx x xxx x x y ++=++=-∴y′.cos sin 2323)sin()()(232252323x x x x x x x x x x-----+-+-='+'+'=（2）y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11.（3）∵y=,sin 212cos 2sin x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='（4）xx x xx x x y -=+--++=++-=12)1)(1(111111， ∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 变式训练2：求y=tanx的导数. 解 y′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=例3. 已知曲线y=.34313+x （1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解 （1）∵y′=x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k='y |x=2∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线y=34313+x 与过点P （2，4）的切线相切于点⎪⎭⎫⎝⎛+3431,300x x A ，则切线的斜率k='y |0x x ==20x .∴切线方程为),(343102030x x x x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-即.34323020+-⋅=x x x y ∵点P （2，4）在切线上，∴4=,343223020+-x x 即,044,0432020302030=+-+∴=+-x x x x x ∴,0)1)(1(4)1(00020=-+-+x x x x∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.变式训练3：若直线y=kx 与曲线y=x 3-3x 2+2x 相切，则k= . 答案 2或41-例4. 设函数bx ax x f ++=1)( (a,b∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3.（1）求)(x f 的解析式； （2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解2)(1)(b x a x f +-='， 于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++,0)2(1,3212b a b a 解得⎩⎨⎧-==,1,1b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.38,49b a 因为a,b ∈Z ，故.11)(-+=x x x f （2）证明 在曲线上任取一点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11,00x xx ． 由200)1(11)(--='x x f 知，过此点的切线方程为)()1(11110200020x x x x x x y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+--． 令x=1，得1100-+=x xy ，切线与直线x=1交点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,100x x ． 令y=x ，得120-=x y ，切线与直线y=x 的交点为)12,12(00--x x ．直线x=1与直线y=x 的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为22212211121112100000=--=----+x x x x x ．所以，所围三角形的面积为定值2.变式训练4：偶函数f （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx+e 的图象过点P （0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f （x ）的解析式解 ∵f（x ）的图象过点P （0，1），又∵f（x ）为偶函数，∴f（-x ）=f （x ）故ax 4+bx 3+cx 2+dx+e=ax 4-bx 3+cx 2-dx+e.∴b=0，d=0. ②∴f（x ）=ax 4+cx 2+1.∵函数f （x ）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）∴a+c+1=-1. ③∵)1('f =(4ax 3+2cx)|x=1=4a+2c ，∴4a+2c=1.由③④得a=25，c=29-函数y=f （x ）的解析式为.12925)(24+-=x x x f第2课时 导数的概念及性质1． 函数的单调性⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 . （逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f .注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的 ；② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来， 然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间；④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性.2．可导函数的极值⑴ 极值的概念： 设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点.⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '；② 求方程)(x f '＝0的 ；③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ； 如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 .说明：“极值点”不是“点”，而是方程0)(/=x f 的根。

求导方法总结全部如下：
1.公式法。

这个方法需要熟练掌握导数的基本公式。

2.导数四则运算公式：导数的乘法和除法公式要能熟练运用。

3.复合函数的链式法则是非常重要的求导方法。

链式法则在应用时一般分成4步：分解-各自求导-相乘-回代。

4.反函数求导法。

利用这种方法求导时，要注意：先取反函数，然后对反函数siny 求导，特别注意此时y是自变量，所以siny 的导数是cosy。

5.对数求导法。

一般两种情况会使用对数求导法，这两种情况都是对等式两端同时取自然对数，利用对数的运算性质对函数进行变形。

6.隐函数求导法。

隐函数是隐藏在一个方程中的函数，要用到链式法则。

7.参数方程求导法。

注意参数方程求导公式。

8.高阶导数。

导数的基本公式和四则运算法则
导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

在求解导数时，我们可以利用一些基本公式和四则运算法则来简化计算过程。

首先，导数的基本公式包括：
1. 对常数函数求导，常数函数的导数为0。

2. 幂函数求导，对于函数f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。

3. 指数函数求导，指数函数e^x的导数仍为e^x。

4. 三角函数求导，常见的三角函数sin(x)和cos(x)的导数分别为cos(x)和-sin(x)。

其次，利用四则运算法则，我们可以对复合函数进行求导。

四则运算法则包括：
1. 和差法则，对于函数f(x) = g(x) ± h(x)，其导数为f'(x) = g'(x) ± h'(x)。

2. 积法则，对于函数f(x) = g(x) h(x)，其导数为f'(x) =
g'(x) h(x) + g(x) h'(x)。

3. 商法则，对于函数f(x) = g(x) / h(x)，其导数为f'(x) = (g'(x) h(x) g(x) h'(x)) / h(x)^2。

通过这些基本公式和四则运算法则，我们可以更轻松地求解各
种函数的导数，从而更好地理解函数的变化规律和性质。

在实际应
用中，导数的概念和计算方法也被广泛地运用于物理、工程、经济
学等领域，为我们解决实际问题提供了重要的数学工具。

因此，熟
练掌握导数的基本公式和四则运算法则对于学习和应用微积分知识
都是至关重要的。

1．基本求导公式⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n nnxx ；一般地，1)(-='αααxx 。

特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，21)1(x x -='，xx 21)(='。

⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a xx 。

⑷ x x 1)(ln ='；一般地，)1,0( ln 1)(log ≠>='a a ax x a 。

2．求导法则 ⑴ 四则运算法则设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,)()()()()())()((2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21()()()()g x g x g x ''=-。

3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式（1） ⎰⎰⎰⎰⎰+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 43,2,),1( 11433221αααα； （2） C x dx x+=⎰||ln 1； C e dx e xx +=⎰； )1,0( ln ≠>+=⎰a a C a a dx a x x ； （3）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分 ⑴⎰⎰⎰+=+bab abadx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121⑵ 分部积分法设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则 6、线性代数 特殊矩阵的概念（1）、零矩阵 ,000022⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯O （2）、单位矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010001 n I 二阶,100122⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯I (3)、对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (4)、对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==752531212,A a a ji ij (5)、上三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a a a A 000022211211下三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (6)、矩阵转置⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211转置后⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn n T a a a a a a a a a A 2122212121116、矩阵运算 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+h d g c f b e a h g f ed c b a B A 7、MATLAB 软件计算题例6 试写出用MATLAB 软件求函数)e ln(2x x x y ++=的二阶导数y ''的命令语句。

求导公式大全范文一、常数函数y=C，其中C为常数。

则导数为0。

二、幂函数1. y = x^n，其中 n 是常数。

则导数为 dy/dx = n*x^(n-1)。

三、指数函数1. y = e^x。

则导数为 dy/dx = e^x。

2. y = a^x，其中 a 是常数。

则导数为 dy/dx = a^x * ln(a)。

四、对数函数1. y = ln(x)，其中 x > 0。

则导数为 dy/dx = 1/x。

2. y = log_a(x)，其中 a > 0 且a ≠ 1、则导数为 dy/dx = 1 / (x * ln(a))。

五、三角函数1. y = sin(x)。

则导数为 dy/dx = cos(x)。

2. y = cos(x)。

则导数为 dy/dx = -sin(x)。

3. y = tan(x)。

则导数为 dy/dx = sec^2(x)。

4. y = cot(x)。

则导数为 dy/dx = -csc^2(x)。

5. y = sec(x)。

则导数为 dy/dx = sec(x) * tan(x)。

6. y = csc(x)。

则导数为 dy/dx = -csc(x) * cot(x)。

六、反三角函数1. y = arcsin(x)，其中 -1 ≤ x ≤ 1、则导数为 dy/dx = 1 /sqrt(1 - x^2)。

2. y = arccos(x)，其中 -1 ≤ x ≤ 1、则导数为 dy/dx = -1 / sqrt(1 - x^2)。

3. y = arctan(x)。

则导数为 dy/dx = 1 / (1 + x^2)。

4. y = arccot(x)。

则导数为 dy/dx = -1 / (1 + x^2)。

5. y = arcsec(x)，其中，x，≥ 1、则导数为 dy/dx = 1 / (x * sqrt(x^2 - 1))。

6. y = arccsc(x)，其中，x，≥ 1、则导数为 dy/dx = -1 / (x* sqrt(x^2 - 1))。