2014高考数学总复习：提素能高效题组训练2-8

[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．（2013年滨州模拟）当0〈k<错误!时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在( ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：解方程组错误!得两直线的交点坐标为错误!，因为0<k〈错误!,所以错误!<0，错误!〉0,故交点在第二象限．答案:B2．(2013年茂名模拟）若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，－1），则直线l的斜率为（）A.错误!B．－错误!C．－错误! D.错误!解析:设P(x P，y P）,由题意及中点坐标公式,得x P＋7＝2，解得x P ＝－5，∴P(－5，1),∴直线l的斜率k＝错误!＝－错误!.答案：B3．(2013年武汉模拟)已知点A（－3,－4），B(6，3）到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( )A.错误!B．－错误!C．－错误!或－错误!D。

错误!或错误!解析:由题意及点到直线的距离公式得错误!＝错误!，解得a＝－错误!或－错误!。

答案：C4．（2013年广州模拟）直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0解析：由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为（1，1)．又直线x－2y＋1＝0上的点（－1,0）关于直线x＝1的对称点为(3,0），所以由直线方程的两点式，得错误!＝错误!，即x＋2y－3＝0.答案：D5．(2013年成都模拟)在直角坐标系中，A(4，0),B（0,4）,从点P （2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( )A．2错误!B．6C．3错误!D．2错误!解析：如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，易求得D（4,2），C(－2,0)，则△PMN的周长＝|PM｜＋｜MN｜＋|PN｜＝｜DM|＋｜MN｜＋｜NC｜。

［命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难最值问题1、65、7、1012实际应用问题38不等式恒成立问题24、911一、选择题1．f（x)＝2x4－3x2＋1在错误!上的最大值、最小值分别是( ）A．21，－18B．1，－错误! C．21，0 D．0,－错误!解析：∵函数f（x)在错误!上有最大值和最小值．∴f′（x)＝8x3－6x＝0,解得x＝0或x＝错误!或x＝－错误!(舍去)，∴f（x)max＝f（2）＝21，f（x)min＝f错误!＝－错误!.答案:A2．（2013年淄博模拟)已知a≤错误!＋ln x对任意x∈错误!恒成立，则a的最大值为（）A．0 B．1C．2 D．3解析：设f（x）＝错误!＋ln x，则f′（x)＝错误!＋错误!＝错误!.当x ∈[错误!，1)时，f′（x)〈0，故函数f（x)在错误!上单调递减；当x∈(1，2］时,f′（x）>0，故函数f(x)在(1，2］上单调递增，∴f(x）min＝f （1)＝0，∴a≤0，即a的最大值为0。

答案：A3．做一个圆柱形锅炉,容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )A.错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!解析：如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h。

设造价为y＝2πR2a＋2πRhb＝2πaR2＋2πRb·错误!＝2πaR2＋错误!，∴y′＝4πaR－错误!。

令y′＝0，得错误!＝错误!.答案：C4．函数f(x）＝(x－3)e x的单调递增区间是（）A．（－∞，－2) B．(0,3)C．（1，4) D．(2，＋∞）解析：∵f(x)＝(x－3)e x，∴f′(x）＝e x（x－2)>0,∴x〉2。

∴f(x）的单调递增区间为(2,＋∞）．答案：D5．(2013年珠海摸底）若函数f（x)＝错误!在［－2，2］上的最大值为2，则a的取值范围是（)A。

［命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难指数幂的化简求值1、6指数函数的图象与性质2、3、54、8、9、10、1112指数函数的应用7一、选择题1．化简错误!的结果是（）A．－错误!B。

错误!C．－错误!D。

错误!解析：依题意知x〈0，∴错误!＝－错误!＝－错误!。

答案:A2．(2013年杭州模拟)函数y＝a｜x｜(a＞1)的图象是( ）解析：y＝a｜x｜＝错误!当x≥0时，与指数函数y＝a x(a＞1)的图象相同；当x＜0时,y＝a－x与y＝a x的图象关于y轴对称，由此判断B 正确．答案：B3．(2013年西安模拟）已知a＝错误!，函数f(x)＝a x,若实数m，n 满足f(m）＞f(n),则m、n的关系为( )A．m＋n＜0 B．m＋n＞0C．m＞n D．m＜n解析：∵0＜错误!＜1，∴f(x）＝a x＝错误!x,且f(x)在R上单调递减，又∵f(m）＞f（n）,∴m＜n，故选D。

答案:D4．（2013年宁化质检)当x＞0时,函数f（x)＝(a2－1）x的值总大于1，则实数a的取值范围是( )A．1＜|a|＜2 B．|a｜＜1C．｜a|＞错误!D．|a|＜错误!解析：∵x＞0时，f(x）＝(a2－1)x的值总大于1，∴a2－1＞1，即a2>2.∴｜a｜＞错误!。

答案：C5．(2013年河源模拟）函数y＝｜2x－1|在区间（k－1，k＋1）上不单调，则k的取值范围是( )A．(－1,＋∞) B．(－∞,1）C．(－1，1) D．(0，2)解析：由于函数y＝|2x－1｜在（－∞,0)上递减，在(0，＋∞）上递增,而函数在区间（k－1，k＋1）上不单调，所以有k－1<0<k＋1，解得－1<k〈1.故选C。

答案：C二、填空题6。

错误!－错误!×错误!0＋8错误!×错误!－错误!＝________。

解析：原式＝错误!错误!×1＋2错误!×2错误!－错误!错误!＝2.答案:27．若函数f(x）＝a x－1(a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．解析：当a＞1时，x∈［0,2］，y∈［0，a2－1]．因定义域和值域一致，故a2－1＝2，即a＝错误!.当0＜a＜1时，x∈［0，2］，y∈［a2－1,0]．此时，定义域和值域不一致，故此时无解．答案：错误!8．已知f(x）＝错误!x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g（x），则g(x)的表达式为________．解析:设y＝g(x)上任意一点P(x，y），P(x,y）关于x＝1的对称点P′(2－x，y）在f(x)＝错误!x上,∴y＝错误!2－x＝3x－2。

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：2-11[命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度 题号及难度基础 中档稍难 导数的运算 1导数的几何意义 2、36、7、10 综合应用4、5、8、911、12一、选择题1．y ＝cos x 1－x 的导数是( )A.cos x ＋sin x ＋x sin x1－x 2B.cos x －sin x ＋x sin x1－x 2C.cos x －sin x ＋x sin x1－xD.cos x ＋sin x －x sin x1－x2解析：y ′＝－sin x1－x －－1cos x 1－x 2＝cos x －sin x ＋x sin x1－x2. 答案：B2．已知P (x ，y )为函数y ＝x sin x ＋cos x 上的任意一点，f (x )为该函数在点P 处切线的斜率，则f (x )的部分图象是( )解析：f (x )＝y ′＝x cos x ，显然f (x )为奇函数，其图象关于原点成中心对称，排除A 、C ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )>0，排除D.故选B.答案：B3．(2013年石家庄质检)已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值是( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e解析：依题意，设直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切于点(x 0，kx 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧kx 0＝ln x 0，k ＝1x 0，由此得ln x 0＝1，x 0＝e ，k ＝1e，选C.答案：C4．(2013年南昌二校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：根据函数f (x )的图象可得函数f (x )的导函数f ′(x )在[0，＋∞)上是单调递减，函数f (x )在[2,3]上的平均变化率小于函数f (x )在点(2，f (2))处的瞬时变化率，大于函数f (x )在点(3，f (3))处的瞬时变化率．所以0<f ′(3)<f 3－f 23－2<f ′(2)，即0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．答案：B5．在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′<1得3≤x 2<103，显然满足该不等式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.答案：A 二、填空题6．(2013年焦作模拟)点P 为曲线f (x )＝23x 3－2x 2上的一个动点，则曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k 的最小值为________．解析：k ＝f ′(x )＝2x 2－4x ＝2(x －1)2－2，故k 的最小值为－2. 答案：－27．(2012年高考新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为______． 解析：利用导数的几何意义先求得切线斜率．∵y ＝x (3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3 ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. 答案：y ＝4x －38．(2013年太原四校联考)已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上的一点，若曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意得y ′＝1x＋x ＋(1－a )，其中x >0.由曲线在M 处的切线的倾斜角是均不小于π4的锐角得，对于任意正数x ，均有1x ＋x ＋(1－a )≥1，即a ≤1x ＋x .当x >0时，1x ＋x ≥2 1x·x ＝2，当且仅当1x＝x ，即x ＝1时取等号，因此实数a 的取值范围是(－∞，2]．答案：(－∞，2]9．(2013年长沙十二校联考)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·x 3·…·x 2 012的值为________．解析：∵y ′＝(n ＋1)x n，∴曲线在点(1,1)处的切线斜率k ＝n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，即y ＝(n ＋1)x －n ，令y ＝0得x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·x 3·…·x 2 012＝12·23·34·…·2 0122 013＝12 013. 答案：12 013三、解答题10．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3(x ＋a3)2－9－a 23，即当x ＝－a3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，∴a ＝±3.11．已知函数f (x )＝x 3－x .(1)求曲线y ＝f (x )过点(1,0)的切线方程；(2)若过x 轴上的点(a,0)可以作曲线y ＝f (x )的三条切线，求a 的取值范围．解析：(1)由题意得f ′(x )＝3x 2－1.曲线y ＝f (x )在点M (t ，f (t ))处的切线方程为y －f (t )＝f ′(t )(x －t )，即y ＝(3t 2－1)·x －2t 3，将点(1,0)代入切线方程得2t 3－3t 2＋1＝0，解得t ＝1或－12，代入y ＝(3t 2－1)x －2t 3得曲线y ＝f (x )的过点(1,0)的切线方程为y ＝2x －2或y＝－14x ＋14.(2)由(1)知若过点(a,0)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则方程2t 3－3at 2＋a ＝0有三个相异的实数根．记g (t )＝2t 3－3at 2＋a ，则g ′(t )＝6t 2－6at ＝6t (t －a )．当a >0时，函数g (t )的极大值是g (0)＝a ，极小值是g (a )＝－a 3＋a ，要使方程g (t )＝0有三个相异的实数根，需使a >0且－a 3＋a <0，即a >0且a 2－1>0，即a >1；当a ＝0时，函数g (t )单调递增，方程g (t )＝0不可能有三个相异的实数根；当a <0时，函数g (t )的极大值是g (a )＝－a 3＋a ，极小值是g (0)＝a ，要使方程g (t )＝0有三个相异的实数根，需使a <0且－a 3＋a >0，即a <0且a 2－1>0，即a <－1.综上所述，a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 12．(能力提升)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝e x. (1)若函数φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1，求函数φ(x )的单调区间； (2)设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线．证明：在区间(1，＋∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y ＝g (x )相切．解析：(1)∵φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1＝ln x －x ＋1x －1， ∴φ′(x )＝1x＋2x －12＝x 2＋1x ·x －12.∵x >0且x ≠1， ∴φ′(x )>0，∴函数φ(x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)． (2)∵f ′(x )＝1x ，∴f ′(x 0)＝1x 0，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1，①设直线l 与曲线y ＝g (x )相切于点(x 1，e x 1)， ∵g ′(x )＝e x，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0.∴直线l 的方程为y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0，②①－②，得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝x 0＋1x 0－1. 证明：在区间(1，＋∞)上x 0存在且唯一． 由(1)可知，φ(x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上递增． 又φ(e)＝ln e －e ＋1e －1＝－2e －1<0，φ(e 2)＝ln e 2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1>0，结合零点存在性定理，说明方程φ(x )＝0必在区间(e ，e 2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一的x 0.故结论成立．[因材施教·学生备选练习]1．(2011年高考重庆卷)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x，求函数g (x )的极值．解析：(1)因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ， 因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ， 因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x， 从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x.令g ′(x )＝0，得－3x 2＋9x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，故g (x )在(－∞，0)上为减函数； 当x ∈(0,3)时，g ′(x )>0，故g (x )在(0,3)上为增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )在(3，＋∞)上为减函数．从而函数g (x )在x 1＝0处取得极小值g (0)＝－3，在x 2＝3处取得极大值g (3)＝15e －3. 2．(2013年九江模拟)已知a ∈R ，函数f (x )＝ax＋ln x －1，g (x )＝(ln x －1)e x＋x (其中e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )在(0，e]上的单调性；(2)是否存在实数x 0∈(0，＋∞)，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值，若不存在，请说明理由．解析：(1)∵f (x )＝a x＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，∴f ′(x )＝－a x2＋1x＝x －ax2.①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，e]上单调递增；②若0<a <e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减， 当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增； ③若a ≥e，则f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减． (2)∵g (x )＝(ln x －1)e x＋x ，x ∈(0，＋∞)，∴g ′(x )＝(ln x －1)′e x＋(ln x －1)(e x)′＋1＝exx＋(ln x －1)e x＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋ln x －1ex ＋1，由(1)易知，当a ＝1时，f (x )＝1x＋ln x －1在(0，＋∞)上的最小值f (x )min ＝f (1)＝0，即x 0∈(0，＋∞)时，1x 0＋ln x 0－1≥0.又e x 0>0，∴g ′(x 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋ln x 0－1e x 0＋1≥1>0.曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g ′(x 0)＝0有实数解． 而g ′(x 0)>0，即方程g ′(x 0)＝0无实数解．故不存在。

［命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难函数的基本概念1、36函数解析式求法48、10分段函数求值2、95、7、1112一、选择题1．现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是（）解析:从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时,增加的速度又越来越快．答案：C2．已知f（x）＝错误!若f（x)＝3,则x的值是( )A．1 B．1或错误!C．1，错误!或±错误! D.错误!解析：当x≤－1时,f(x）的值域为(－∞，1］；当－1〈x〈2时，f（x)的值域为[0，4］；当x≥2时，f(x）的值域为［4，＋∞）．而3∈［0，4），所以f(x）＝x2＝3,所以x＝±错误!，又因为－1<x〈2，所以x＝错误!.答案：D3．已知a，b为实数,集合M＝错误!，N＝{a,0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于( ) A．1 B．0C．1 D．±1解析：a＝1，b＝0,∴a＋b＝1。

答案：C4．(2013年茂名模拟)已知函数f(x）满足：f（m＋n)＝f(m）f(n）,f （1)＝3，则错误!＋错误!＋错误!＋错误!的值等于( )A．36 B．24C．18 D．12解析:∵f（m＋n）＝f(m）f（n)，∴f（2n）＝f（n）f(n)，即f（2n)＝f2（n）．且有f(n＋1）＝f（n）f（1)＝3f(n)，即错误!＝3，则错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝2×3＋2×3＋2×3＋2×3＝24.答案:B5．(2013年太原模拟）定义在R上的函数f（x）满足f（x)＝错误!则f(3)的值为（）A．1 B．2C．－2 D．－3解析：依题意得f(3）＝f（2)－f(1）＝［f（1)－f(0)]－f(1)＝－f(0)＝－log28＝－3,选D.答案：D二、填空题6．下列四个命题正确的有________．①函数是其定义域到值域的映射;②y＝x－3＋错误!是函数；③函数y＝2x(x∈N）的图象是一条直线；④y＝错误!的图象是抛物线．解析：命题①函数是一种特殊的映射，是正确的；命题②x∈∅，故不是函数；y＝2x(x∈N)的图象是一群孤立的点,故③不对；命题④的图象关于原点对称，不是抛物线．故只有①正确．答案:①7．已知函数f(x）＝错误!则f（log45)＝________.解析：f（log45)＝f(log45＋2）＝22＋log45＝4·2log2错误!＝4错误!.答案：4错误!8．已知函数f(x）＝2x＋1与函数y＝g（x)的图象关于直线x＝2成轴对称图形，则函数y＝g（x)的解析式为________．解析：设点M（x，y）在所求函数的图象上，点M′（x′，y′)是M关于直线x＝2的对称点，则错误!又y′＝2x′＋1，∴y＝2(4－x）＋1＝9－2x，即g(x）＝9－2x。

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：2-4[命题报告·教师用书独具]1．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④解析：由奇函数的定义验证可知②④正确． 答案：D2．(2013年郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x－1，x <0，则该函数是( )A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：当x >0时，－x <0，f (－x )＋f (x )＝(2－x－1)＋(1－2－x)＝0；当x <0时，－x >0，f (－x )＋f (x )＝(1－2x )＋(2x －1)＝0；易知f (0)＝0.因此，对任意x ∈R ，均有f (－x )＋f (x )＝0，即函数f (x )是奇函数．当x >0时，函数f (x )是增函数，因此函数f (x )单调递增，选C.答案：C3．(2013年长沙模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 011)＋f (2 012)＝( )A ．1＋log 23B ．－1＋log 23C ．－1D ．1解析：∵f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f (－2 011)＝f (2 011)．当x ≥0时，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的函数．又2 011＝4×502＋3，2 012＝4×503，∴f (2 011)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－log 2(1＋1)＝－1，f (2 012)＝f (0)＝log 21＝0，∴f (－2 011)＋f (2 012)＝－1，选C.答案：C4．(2013年杭州模拟)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：函数f (x )为定义在R 上的奇函数， 则f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.则f (x )＝2x＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案：A5．(2013年潍坊质检)若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件： ①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(注：点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x >0，－x 2－4x x ≤0，则此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对解析：不妨设函数y ＝log 2x 的图象上的点P (x ，log 2x )，x >0，则其关于坐标原点对称的点的坐标为(－x ，－log 2x )，如果该点在函数y ＝－x 2－4x 的图象上，则－log 2x ＝－x 2＋4x ，问题等价于求这个方程的实数解的个数，不难知道这个方程有两个实数解，故选C.答案：C 二、填空题6．如果函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x >0，f x ，x <0是奇函数，则f (x )＝________.解析：令x <0，∴－x >0，g (－x )＝－2x －3. ∴g (x )＝－g (－x )＝2x ＋3，∴f (x )＝2x ＋3. 答案：2x ＋37．(2013年济南模拟)设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 011)＋f (2 012)＝________.解析：由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2 011)＋f (2 012)＝f (670×3＋1)＋f (671×3－1)＝f (1)＋f (－1)，而由图象可知f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (2 011)＋f (2 012)＝1＋2＝3.答案：38．(2013年宁波模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x＋a ，若f (x )在R 上是单调函数，则实数a 的最小值是________．解析：依题意得f (0)＝0.当x >0时，f (x )>e 0＋a ＝a ＋1.若函数f (x )在R 上是单调函数，则f (x )是R 上的单调增函数，则有a ＋1≥0，a ≥－1，因此实数a 的最小值是－1.答案：－19．(2013年潍坊模拟)已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________．解析：令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，即f (－2)＝0，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8.故正确命题的序号为①②④.答案：①②④ 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，a ∈R )．讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由． 解析：当a ＝0时，f (x )＝x 2， 对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )．∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)， 取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． ∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0， x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解析：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．(能力提升)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)的值． 解析：(1)∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2， ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)． 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 从而求得x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.(3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 008)＋f (2 009)＋f (2 010)＋f (2 011)＋f (2 012)＝0. ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝0.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年大同模拟)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，f x 1－f x 2x 1－x 2>0，给出如下命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数；④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为( ) A ．①② B ．②④ C ．①②③D ．①②④解析：依题意可得f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)，即f (－3)＝0，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (3)＝f (－3)＝0，①正确；由①知f (x ＋6)＝f (x )，即函数f (x )是以6为周期的周期函数，则f (x －6)＝f (x ＋6)．又f (x )＝f (－x )，因此有f (x －6)＝f (－6－x )，即函数f (x )的图象关于直线x ＝－6对称，②正确；依题意知，函数f (x )在[0,3]上是增函数，则函数f (x )在[－3,0]上是减函数，又函数f (x )是以6为周期的周期函数，因此函数y ＝f (x )在[－9，－6]上是减函数，③不正确；结合函数y ＝f (x )的图象可知f (－9)＝f (9)＝f (3)＝f (－3)＝0，故函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点，④正确．综上所述，其中所有正确命题的序号为①②④，选D.答案：D2．(2013年哈师大附中月考)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 B ．(1,4) C ．(1,8) D ．(8，＋∞)解析：依题意得f (x ＋2)＝f [－(2－x )]＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是以4为周期的函数，结合题意画出函数f (x )在x ∈(－2,6)上的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象，结合图象分析可知，要使f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象有4个不同的交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 6＋2<1，由此解得a >8，即a 的取值范围是(8，＋∞)，选D.答案：D3．(2012年高考课标全国卷)设函数f (x )＝x ＋12＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：将函数化简，利用函数的奇偶性求解．f (x )＝x ＋12＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1， 设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0， ∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 答案：2。

《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：9-4[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年石家庄调研)下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． A ．①② B ．①②③ C ．①②④D ．①②③④解析：由回归分析的方法及概念判断． 答案：C2．(2013年广州模拟)工人月工资(元)依劳动产值(千元)变化的回归直线方程为y ^＝60＋90x ，下列判断正确的是( )A ．劳动产值为1 000元时，工资为50元B ．劳动产值提高1 000元时，工资提高150元C ．劳动产值提高1 000元时，工资提高90元D ．劳动产值为1 000元时，工资为90元解析：回归系数的意义为：解释变量每增加1个单位，预报变量平均增加b 个单位． 答案：C3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( )A ．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B ．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌C ．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D ．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有解析：统计的结果只是说明事件发生可能性的大小，具体到一个个体不一定发生． 答案：D4．(2011年高考江西卷)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x (cm) 174 176 176 176 178 儿子身高y (cm)175175176177177则y 对x 的线性回归方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12xD ．y ＝176 解析：因为x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x ，y )，所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C.答案：C5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050 110由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：根据独立性检验的定义，由K 2≈7.8＞6.635可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.答案：C 二、填空题6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析的方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m106115124103则这四位同学中，A B 解析：由题中表可知，丁同学的相关系数最大且残差平方和最小，故丁同学的试验结果表明A ，B 两变量有更强的线性相关性．答案：丁7．(2013年嘉兴模拟)为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科 文科 总计 男 13 10 23 女 7 20 27 总计203050已知P (K 22根据表中数据，得到K 2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________．解析：由K 2＝4.844>3.841.故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%. 答案：5%8．(2013年盐城测试)某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(℃) 18 13 10 －1 用电量(度)24343864由表中数据得回归直线方程y ＝b x ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________．解析：x ＝10，y ＝40，回归方程过点(x ，y )， ∴40＝－2×10＋a ^，∴a ^＝60. ∴y ^＝－2x ＋60.令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案：689．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学作出了以下的判断：p ：在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； r ：这种血清预防感冒的有效率为95%； s ：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列结论中，正确结论的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)． ①p ∧綈q ②綈p ∧q③(綈p ∧綈q )∧(r ∨s ) ④(p ∨綈r )∧(綈q ∨s )解析：本题考查了独立性检验的基本思想及常用逻辑用语．由题意，得K 2≈3.918，P (K 2≥3.841)≈0.05，所以，只有第一位同学的判断正确，即在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．由真值表知①④为真命题．答案：①④ 三、解答题10．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想．⎝⎛⎭⎪⎪⎫参考公式：b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i－n x 2＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2，a ＝y ＝b x 解析：(1)设抽到相邻两个月的数据为事件A .因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以P (A )＝515＝13. (2)由数据求得x ＝11，y ＝24，由公式求得b ＝187，再由a ＝y －b x ＝－307，得y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，|1507－22|<2；同样，当x ＝6时，y ^＝787，|787－12|<2，所以，该小组所得线性回归方程是理想的．11．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查．数据如下表：认为作业多认为作业不多总计 喜欢玩游戏 18 9 不喜欢玩游戏8 15 总计(1)(2)试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系？附：P (K 2≥k ) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k3.841 5.0246.6357.879 10.828K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d解析：(1)认为作业多认为作业不多总计 喜欢玩游戏 18 9 27 不喜欢玩游戏8 15 23 总计262450(2)将表中的数据代入公式K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d得到K 2的观测值为k ＝50×18×15－8×9226×24×27×23≈5.059>5.024，查表知P (K 2≥5.024)＝0.025，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系．12．(能力提升)一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：人数x i 10 15 20 25 30 35 40 件数y i471215202327其中i ＝1,2,3,4,5,6,7.(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图；(2)求回归直线方程．(结果保留到小数点后两位)⎝⎛参考数据：∑7i ＝1x i y i ＝3 245，x ＝25，y ＝15.43， ⎭⎫∑7i ＝1x 2i＝5 075，7x2＝4 375，7x y ＝2 695(3)预测进店人数为80人时，商品销售的件数．(结果保留整数) 解析：(1)散点图如图．a ^＝y －b x ＝－4.32，∴回归直线方程是y ^＝0.79x －4.32.(3)进店人数为80人时，商品销售的件数y ＝0.79×80－4.32≈59.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年合肥检测)已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝b^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝，y 0＝”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：x 0，y 0为这10组数据的平均值，又因为线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点(x ，y )，因此(x ，y )一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了(x ，y )外，可能还有其他样本点．答案：B2．(2013年东北四校联考)某超市为了了解热茶的销售量y (单位：杯)与气温x (单位：℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据算得线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，预测当气温为－5 ℃时，热茶销售量为________杯．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫已知回归系数b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ＝y －b x 解析：根据表格中的数据可得，x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40.则a ＝y －b x ＝40－(－2)×10＝60，故y ^＝－2x ＋60. 当x ＝－5时，y ^＝－2×(－5)＋60＝70. 答案：70。

[命题报告·教师用书独具］考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难函数零点的判断12、4、119二分法6函数零点的应用3、5、7、8、1012一、选择题1．根据表格中的数据，可以断定函数f（x）＝e x－x－2的一个零点所在的区间是( )x＋212345x－10123e x 0.3712.727。

3920。

09A 。

（－1,0)B ．（1,2）C ．(0，1）D ．(2,3)解析：f （1)＝2。

72－3<0，f (2)＝7。

39－4>0， 故f (1）f （2)<0。

∴由零点定理知一个零点所在区间是（1，2)． 答案：B2．(2013年保定模拟）函数f (x )＝3cos πx 2－log 错误!x 的零点的个数是（ )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：把求函数f （x )的零点的个数问题转化为求函数y ＝3cos 错误!x 的图象与函数y ＝log 错误!x 的图象的交点的个数的问题，在同一个坐标系中画出这两个函数的图象，如图．函数y ＝3cos 错误!x 的最小正周期是4,当x ＝8时，y ＝log 错误!8＝－3，结合图象可知两个函数的图象只能有5个交点,即函数f (x ）＝3cos 错误!－log 错误!x 有5个零点．答案：D3．(2013年九江模拟)已知函数f（x）＝a x＋x－b的零点x0∈（n，n＋1）(n∈Z），其中常数a,b满足2a＝3,3b＝2,则n的值是( ）A．－2 B．－1C．0 D．1解析：依题意得，a〉1,0<b〈1，f（－1）＝1a－1－b〈0，f（0)＝1－b〉0，f(－1)·f（0)〈0，因此x0∈(－1,0）,n＝－1，选B.答案:B4．（2013年唐山模拟)函数f(x）＝e x＋ln x，g（x)＝e－x＋ln x，h （x)＝e－x－ln x的零点分别是a，b，c，则（）A．a〈b<c B．c〈b<aC．c〈a<b D．b<a〈c解析：由f(x）＝e x＋ln x＝0，得e x＝－ln x，但x〉0,e x>1,故－ln x>1,即ln x<－1,所以0<a〈错误!；由g(x)＝e－x＋ln x＝0，得e－x＝－ln x，但x〉0，0〈e－x<1，故0〈－ln x〈1,即－1〈ln x〈0,所以错误!〈b 〈1；由h（x）＝e－x－ln x＝0，得e－x＝ln x,但x〉0，0〈e－x〈1，故0<ln x<1，所以1<c<e.综上可知a〈b<c，正确选项为A.答案：A5．已知f(x)＝2－x－ln（x3＋1)，实数a，b，c满足f(a）f（b）f（c)〈0，且0<a〈b〈c，若实数x0是函数f（x)的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是（）A．x0<a B．x0>bC．x0〈c D．x0〉c解析：由已知知f(x)＝2－x－ln（x3＋1）在（0，＋∞)上为减函数，且f(x0）＝0,f（a)f（b)f（c）〈0可分为以下两种情形：①f(a），f（b)，f(c)均小于0，如图所示,此时x0<a〈b〈c。

[命题报告·教师用书独具］考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难集合的基本概念4、8集合的基本关系1712集合的基本运算2、35、6、9、10、11一、选择题1．(2012年高考大纲全国卷）已知集合A＝{x|x是平行四边形},B ＝｛x｜x是矩形｝,C＝{x｜x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则（) A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D解析:利用集合的包含关系求解．∵正方形均为矩形，∴C⊆B.答案：B2．(2013年广州模拟)设全集U＝｛－2，－1，0，1，2｝，集合A＝{1,2},B＝{－2,1，2},则A∪(∁U B）等于( ）A．∅B．{1}C．｛1，2} D．｛－1,0,1，2}解析：由题意可知∁U B＝{－1，0}，所以A∪(∁U B）＝｛－1，0,1，2}，选D.答案：D3．（2013年北京东城模拟)设全集U＝R，A＝｛x｜－x2－3x〉0}，B＝{x｜x〈－1｝，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{x｜x>0} B．｛x｜－3〈x<－1｝C．{x｜－3<x〈0｝D．｛x|x<－1}解析：依题意，得集合A＝{x|－3〈x<0}，所求的集合即为A∩B，所以图中阴影部分表示的集合为{x|－3<x<－1}．故选B.答案：B4．(2013年佛山质检）已知非空集合M满足：若x∈M，则错误!∈M，则当4∈M时，集合M的所有元素之积等于（) A．0 B．1C．－1 D．不确定解析:依题意，当4∈M时,有11－4＝－错误!∈M,从而错误!＝错误!∈M，错误!＝4∈M，于是集合M的元素只有4,－错误!，错误!,所有元素之积等于4×（－错误!)×错误!＝－1。

故选C.答案：C5．（2013年石家庄模拟）已知全集U＝R,集合M＝｛x|x＋a≥0｝,N ＝{x|log2（x－1)〈1｝，若M∩（∁U N)＝{x|x＝1，或x≥3｝，那么( ）A．a＝－1 B．a≤1C．a＝1 D．a≥1解析:由题意得M＝{x｜x≥－a}，N＝{x|1<x<3},所以∁U N＝｛x|x≤1，或x≥3}，又M∩（∁U N)＝｛x｜x＝1，或x≥3}，因此－a＝1,a＝－1，选A.答案：A二、填空题6．（2013年宁波模拟）设全集U＝{x|｜x－1｜〈3，x∈Z｝，集合∁U M＝{x｜x2＝1}，N＝{0,1，2,3｝，则集合M∩N＝________.解析：由｜x－1|<3得－3〈x－1〈3,－2〈x〈4，因此集合U＝｛－1，0,1,2,3}．又∁U M＝｛－1,1}，所以M＝｛0，2，3}，故M∩N ＝｛0，2，3}．答案：{0，2，3}7．已知集合M＝错误!,N＝错误!，则集合M与N的关系为________．解析：M＝错误!，N＝错误!，且当n∈Z时，2n＋1表示奇数，n ＋2表示整数，所以M N。

[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年唐山模拟)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )A.x 28－y 224＝1 B.x 212－y 214＝1C.x 224－y 28＝1 D.x 24－y 212＝1解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)，即 x 2λ－y 23λ＝1，则a 2＝λ，b 2＝3λ.∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c ＝4，∴c 2＝a 2＋b 2＝4λ＝16，解得λ＝4，∴双曲线方程为x 24－y212＝1.答案：D2．(2013年淮南模拟)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0D.()－3，0解析：双曲线方程可化为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝62，∴左焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0.答案：C3．(2013年潍坊质检)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为( )A ．4 B ．2 C ．3 D ．6解析：由题易知，双曲线的右焦点坐标为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：A4．(2013年青岛模拟)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( )A.10B ．210 C.5D ．2 5解析：如图，由PF 1→·PF 2→＝0可得PF 1→⊥PF 2→，又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF 1QF 2为矩形，因为矩形的对角线相等，故有|PF 1→＋PF 2→|＝|P Q →|＝2c ＝210，所以选B.答案：B5．(2013年银川联考)已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上不同的三个点，且A ，B 的连线经过坐标原点，若直线P A 、PB 的斜率的乘积k P A ·k PB ＝23，则该双曲线的离心率为( )A.52B.62C.2D.153解析：因为A ，B 的连线经过坐标原点，所以A 、B 关于原点对称，设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，由A ，B ，P 在双曲线上得x 20a 2－y 20b 2＝1，x 21a 2－y 21b 2＝1，两式相减并且变形得y 20－y 21x 20－x 21＝b 2a 2.又k P A ·k PB ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝b 2a 2＝23，即c 2－a 2a 2＝e 2－1＝23，故双曲线的离心率e ＝153.答案：D 二、填空题6．(2013年宁波模拟)双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是________． 解析：依题意得，双曲线的渐近线方程为y ＝±x . 答案：y ＝±x7．(2012年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析：建立关于m 的方程求解．∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m ＝5，∴m 2－4m ＋4＝0， ∴m ＝2. 答案：28．(2013年岳阳模拟)直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点，记OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2，则实数a和b 满足的一个等式是________________．解析：该题综合考查直线与圆锥曲线的位置关系、向量线性表示及坐标运算．可先求出e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝x 0a －b ＝y 0，∴(a ＋b )2－(a －b )2＝1，∴ab ＝14， 答案：ab ＝149．(2013年合肥检测)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率是2，则b 2＋13a 的最小值为________．解析：由双曲线的离心率e ＝2得，ca ＝2，从而b ＝3a >0，所以b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a ≥2a ·13a ＝213＝233，当且仅当a ＝13a ，即a ＝33时，“＝”成立．答案：233三、解答题10．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解析：设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)． 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3文档收集自网络，仅用于个人学习＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|. 又∵S △PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3.∴|PF 1|·|PF 2|＝8. ∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2. 又∵e ＝ca ＝2， ∴a 2＝23.∴双曲线的方程为：3x 22－y 22＝1.11．(2013年宿州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解析：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)由(1)可知，在双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，又∵点M (3，M )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3.∴kmF 1·kmF 2＝m3＋23×m3－23＝－m 23＝－1.∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)由(2)知MF 1⊥MF 2， ∴△MF 1F 2为直角三角形．又F 1(－23，0)，F 2(23，0)，m ＝±3，M (3，3)或(3，－3)， 由两点间距离公式得 |MF 1|＝(－23－3)2＋(0－3)2＝24＋123，|MF 2|＝(23－3)2＋(0－3)2＝24－123，S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2| ＝12×24＋123·24－123＝12×12＝6.即△F 1MF 2的面积为6.12．(能力提升)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解析：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得 1－3k 2≠0.Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)>0， ∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年贵阳模拟)已知O 为平面直角坐标系的原点，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，E 为OF 2的中点，过双曲线左顶点A 作两渐近线的平行线分别与y 轴交于C 、D 两点，B 为双曲线的右顶点，若四边形ACBD 的内切圆经过点E ，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 2 C.3D.233解析：作草图，易知直线BC 的方程为x a ＋yb ＝1，圆心O 到BC 的距离为1⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＝c2，∴2ab ＝c 2，∴4a 2(c 2－a 2)＝c 4，两边同除以a 4得：e 4－4e 2＋4＝0， ∴(e 2－2)2＝0，∴e 2＝2， ∴e ＝ 2或－2(舍)，∴e ＝ 2.答案：B2．(2013年苏州模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1、F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为________．解析：设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则由△PF 1F 2面积为9及PF 1⊥PF 2可得xy ＝18，x 2＋y 2＝4c 2，故(x －y )2＝4c 2－36＝4a 2，又e ＝54，得c ＝5，a ＝4，∴b ＝3，∴a ＋b ＝7.答案：7。