2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第九章 平面解析几何第11课时 直线与圆锥曲线的综合应用

第九章 平面解析几何第1课时 直线的倾斜角与斜率⎝ ⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）111～112页 （理）116～117页1. (原创)设m 为常数，则过点A(2，－1)，B(2，m)的直线的倾斜角是________． 答案：90°解析：因为过点A(2，－1)，B(2，m)的直线x ＝2垂直于x 轴，故其倾斜角为π2.2. (必修2P 80第1题改编)过点M(－2，m)，N(m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________．答案：1解析：由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，m ＝1.3. (原创)若过点P(1－a ，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围是________．答案：－2＜a ＜1解析：tan α＝2a －（1＋a ）3－（1－a ）＝a －12＋a .由a －12＋a ＜0，得－2＜a ＜1.4. (必修2P 70练习4改编)已知A(－1，23)，B(0，3a)，C(a ，0)三点共线，则此三点所在直线的倾斜角α＝________．答案：2π3解析：若a ＝0，则B ，C 重合，不合题意，从而由A ，B ，C 三点共线得k AB ＝k BC ，即3a －230＋1＝0－3a a －0，解得a ＝1.从而B(0，3)，此三点所在直线的斜率为k AB ＝3－230＋1＝－3，即tan α＝－3，而α∈[0，π)，所以α＝2π3.5. 设直线l 的倾斜角为α，且π4≤α≤5π6，则直线l 的斜率k 的取值范围是______________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪[1，＋∞)解析：由k ＝tan α关系图(如下)知k∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪[1，＋∞)．1. 直线倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时，所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0；直线的倾斜角α的取值范围为[0，π)．2. 直线斜率的定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k 表示，即k ＝tan α.由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线其斜率也不同．3. 过两点的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线，当x 1≠x 2时，斜率公式k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点的顺序无关；当x 1＝x 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.题型1 直线的倾斜角和斜率之间的关系, 1) 如果三条直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，其中l 1：x－y ＝0，l 2：x ＋2y ＝0，l 3：x ＋3y ＝0，则α1，α2，α3从小到大的排列顺序为____________．答案：α1＜α2＜α3解析：由tan α1＝k 1＝1>0，所以α1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.tan α2＝k 2＝－12<0，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α2>α1.tan α3＝k 3＝－13<0，所以α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α3>α1，而－12<－13，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，所以α3>α2.综上，α1<α2<α3.变式训练如果下图中的三条直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1、k 2、k 3从小到大的排列顺序为____________．答案：k 1<k 3<k 2解析：设三条直线的倾斜角分别为α1，α2，α3.由题图知，k 1<0，k 2>0，k 3>0，另外，tan α2＝k 2>0，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α3＝k 3>0，α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，而α3<α2，正切函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以， k 3<k 2.综上，k 1<k 3<k 2.题型2 求直线的倾斜角和斜率, 2) 已知点M(－4，3)，N(2，15)，若直线l 的倾斜角是直线MN 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率．解：设直线l 的倾斜角是θ，则直线MN 的倾斜角为2θ，由已知得tan2θ＝k MN ＝15－32＋4＝2，即2tan θ1－tan 2θ＝2， 所以tan 2θ＋tan θ－1＝0，解得tan θ＝－1＋52或tan θ＝－1－52，由tan2θ＝2>0知，2θ必为锐角，从而θ为锐角，故tan θ＝－1＋52.备选变式（教师专享）已知点A(－3，1)，点B 在y 轴上，直线AB 的倾斜角为2π3，求点B 的坐标．解：B 点的坐标设为(0，y)，再利用k ＝tan θ以及两点求斜率公式tan120°＝y －10＋3，得y ＝－2，所以B 的坐标为(0，－2)．题型3 求直线的倾斜角和斜率的取值范围, 3) (2014·苏州调研)经过P(0，－1)作直线l ，若直线l 与连结A(1，－2)、B(2，1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________．答案：[－1，1] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析：如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k PA <0，故k<0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k>0时，α为锐角．又k PA ＝－2－（－1）1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴ －1≤k≤1.又当0≤k≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k<0时，3π4≤α<π. 故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.备选变式（教师专享）直线l 经过A(2，1)、B(1，m 2)(m∈R )两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是________．答案：α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析：k ＝tan α＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.1. (2014·山西联考)直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1，1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.2. 已知点A(1，3)，B(－2，－1)，若直线l ：y ＝k(x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12 解析：由题意知直线l 恒过定点P(2，1)，如图．若l 与线段AB 相交，则k PA ≤k ≤k PB .∵ k PA ＝－2，k PB ＝12，∴ －2≤k≤12.3. 已知实数x 、y 满足(x －2)2＋(y －1)2＝1，求z ＝y ＋1x的最大值与最小值．解：y ＋1x表示过点A(0，－1)和圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上的动点(x ，y)的直线的斜率．如图，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y ＝kx－1，即kx －y －1＝0，则|2k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝4±73.因此，z max ＝4＋73，z min ＝4－73.4. 如图所示，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的斜率．解： 由题意可得k OA ＝tan45°＝1，k OB ＝tan (180°－30°)＝－33，所以射线OA 的方程为y ＝x(x≥0)，射线OB 的方程为y ＝－33x (x≥0)． 设A(m ，m)，B(－3n ，n)，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A(3，3)．又P(1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32.1. 已知x 轴上的点P 与点Q(－3，1)连线所成直线的倾斜角为30°，则点P 的坐标为________．答案：(－23，0)解析：设P(x ，0)，由题意k PQ ＝tan30°＝33，即1－3－x ＝33，解得x ＝－23，故点P 的坐标为(－23，0)．2. 有以下几个命题：① 直线的倾斜角越大，则斜率越大； ② 垂直于x 轴的直线没有方程；③ 若直线的斜率为a ，则其倾斜角正切值一定为tana ；④ 只要直线不过坐标原点，则它一定可以用截距式方程式表示； ⑤ 斜率存在的直线，其倾斜角一定不等于90°. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案：⑤解析：根据直线的倾斜角与斜率的关系，可知①不正确，⑤正确；x ＝a(a∈R )是垂直于x 轴的直线，所以②错误；直线倾斜角的正切值是斜率，所以③错误；不过原点但垂直于坐标轴的直线不可以用截距式方程式表示，所以④错误； 故答案为⑤.3. 已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________．答案： 3解析：由k PQ ＝－3得直线PQ 的倾斜角为120°，将直线PQ 绕点P 顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，∴ 所得直线的斜率k ＝tan60°＝ 3.4. 直线ax ＋y ＋1＝0与连结A(2，3)、B(－3，2)的线段相交，则a 的取值范围是________．答案：(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：直线ax ＋y ＋1＝0过定点C(0，－1)，当直线处在AC 与BC 之间时，必与线段AB相交，即应满足－a≥3＋12或－a≤2＋1－3，得a≤－2或a≥1.1. 求斜率要熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x 1≠x 2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2. 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，倾斜角与斜率的关系是k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，因此求倾斜角的取值范围通常需从斜率的范围入手，而求斜率的范围则常需考虑倾斜角的取值范围，但都需要利用正切函数的性质，借助图象或单位圆数形结合，注意直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．请使用课时训练(B )第1课时(见活页)．第2课时 直线的方程⎝⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）113～115页 （理）118～120页1. 把直线方程Ax ＋By ＋C ＝0(ABC≠0)化成斜截式为________________，化成截距式为________________．答案：y ＝－A B x －C B x －C A ＋y－CB＝1解析：因为ABC≠0，即A≠0，B ≠0，C ≠0，按斜截式、截距式的形式要求变形即可．斜截式为y ＝－A B x －C B ，截距式为x －C A ＋y－CB＝1.2. (必修2P 77习题3改编)直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．答案：6解析：直线3x －4y ＋12＝0在x 轴上的截距为－4，在x 轴上的截距为3，因此它与两坐标轴所围成的三角形的面积为12×|－4|×3＝6.3. 下列四个命题：① 过点P(1，－2)的直线可设为y ＋2＝k(x －1)；② 若直线在两轴上的截距相等，则其方程可设为x a ＋ya ＝1(a≠0)；③ 经过两点P(a ，2)，Q(b ，1)的直线的斜率k ＝1a －b；④ 如果AC<0，BC>0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第二象限． 其中正确的是_____________．(填序号) 答案：④4. (必修2P 74练习3改编)过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．答案：y ＝－43x 或x －y －7＝0解析：① 当直线过原点时，直线方程为y ＝－43x ；② 当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a＝1，即x －y ＝a.代入点(3，－4)，∴ a ＝7，即直线方程为x －y －7＝0. 5. (必修2P 73练习3改编)若一直线经过点P(1，2)，且在y 轴上的截距与直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距相等，则该直线的方程是________．答案：3x －y －1＝0解析：直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距为－1，由题意，所求直线过点(0，－1)，又所求直线过点P(1，2)，故由两点式得直线方程为y ＋1x －0＝2＋11－0，即3x －y －1＝0.1. 直线方程的五种形式111222(1) 若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1． (2) 若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1． (3) 若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0． (4) 若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0． (5) 直线的斜率k 与倾斜角α之间的关系如下表：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． [备课札记]题型1 求直线方程, 1) (必修2P 115复习题5、6改编)已知直线l 过点P(5，2)，分别求满足下列条件的直线方程．(1) 直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍；(2) 直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为52.解：(1) 当直线l 过原点时，l 的斜率为25，∴ 直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当直线l 不过原点时，设方程为x 2a ＋y a ＝1，将x ＝5，y ＝2代入得a ＝92，∴ 直线方程为x ＋2y －9＝0.综上：l 的方程为2x －5y ＝0或x ＋2y －9＝0. (2) 显然两直线与x 轴不垂直．∵ 直线l 经过点P(5，2)，∴ 可设直线l 的方程为y －2＝k(x －5)(k≠0)，则直线在x 轴上的截距为5－2k ，在y 轴上的截距为2－5k ，由题意，得12⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－2k ·|2－5k|＝52，即(5k －2)2＝5|k|.当k>0时，原方程可化为(5k －2)2＝5k ，解得k ＝15或k ＝45；当k<0时，原方程可化为(5k －2)2＝－5k ，此方程无实数解；故直线l 的方程为y －2＝15(x －5)或y －2＝45(x －5)，即x －5y ＋5＝0或4x －5y －10＝0.变式训练(2014·常州模拟)过点P(－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________．答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0解析：分两种情况：(1)直线l 过原点时，l 的斜率为－32，∴ 直线方程为y ＝－32x ；(2) l 不过原点时，设方程为x a ＋ya＝1，将x ＝－2，y ＝3代入得a ＝1，∴ 直线方程为x ＋y ＝1.综上：l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0.题型2 含参直线方程问题, 2) (2014·银川改编)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a∈R )．(1) 若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2) 若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围； (3) 求证：无论a 为何实数值，直线l 恒过一定点M.(1) 解：当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴ a＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， ∴ a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴ a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2) 解：将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＝0，a －2≤0，∴ a≤－1. 综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]． (3) 证明：∵ (x－1)a ＋(x ＋y ＋2)＝0，∴ 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.故直线l 恒过定点M(1，－3)．备选变式（教师专享）直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B.点O 是坐标原点． (1) 当△ABO 的面积最小时，求直线l 的方程； (2) 当||MA ||MB 最小时，求直线l 的方程．解：(1) 如图，设||OA ＝a ，||OB ＝b ，△ABO 的面积为S ，则S ＝12ab ，并且直线l 的截距式方程是x a ＋yb＝1，由直线通过点(2，1)，得2a ＋1b＝1，所以a 2＝11－1b＝b b －1.因为A 点和B 点在x 轴、y 轴的正半轴上，所以上式右端的分母b －1>0.由此得S ＝a 2×b ＝b b －1×b ＝b 2－1＋1b －1＝b ＋1＋1b －1＝b －1＋1b －1＋2≥2＋2＝4.当且仅当b －1＝1b －1，即b ＝2时，面积S 取最小值4，这时a ＝4，直线的方程为x 4＋y2＝1.即直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.(2) 如上图，设∠BAO＝θ，则||MA ＝1sin θ，||MB ＝2cos θ， 所以||MA ||MB ＝1sin θ·2cos θ＝4sin2θ， 当θ＝45°时，||MA ||MB 有最小值4，此时直线斜率为－1，∴直线l 的方程为x ＋y －3＝0.题型3 直线方程的综合应用, 3) 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a∈R )．(1) 当a ＝1时，直线l 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点．若动点P(m ，n)在线段AB 上，求mn 的最大值；(2) 若a>－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，求△OMN 面积取最大值时，直线l 的方程．解：(1) 当a ＝1时，直线l 的方程为2x ＋y －3＝0，可化为2x 3＋y3＝1.由动点P(m ，n)在线段AB 上可知0≤m≤32，0≤n ≤3，且2m 3＋n 3＝1，∴ 1≥22m 3·n 3，∴ mn ≤98.当且仅当2m 3＝n 3时等号成立，可解得m ＝34，n ＝32，故mn 的最大值为98. (2) 由直线方程可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0、N(0，2＋a)，又a>－1，故S △OMN＝12×2＋a a ＋1×(2＋a)＝12×（a ＋1）2＋2（a ＋1）＋1a ＋1＝12×[(a ＋1)＋1a ＋1＋2]≥12×⎝⎛⎭⎪⎫2（a ＋1）×1a ＋1＋2＝2，当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0或a ＝－2(舍去)时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 备选变式（教师专享）直线l 经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程． 解：(解法1：借助点斜式求解)由于直线l 在两轴上有截距，因此直线不与x 、y 轴垂直，斜率存在，且k≠0.设直线方程为y －2＝k(x －3)，令x ＝0，则y ＝－3k ＋2；令y ＝0，则x ＝3－2k.由题设可得－3k ＋2＝3－2k ，解得k ＝－1或k ＝23.故l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)．即直线l 的方程为x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (解法2：利用截距式求解)由题设，设直线l 在x 、y 轴的截距均为a. 若a ＝0，则l 过点(0，0)．又过点(3，2)，∴ l 的方程为y ＝23x ，即l ：2x －3y ＝0.若a≠0，则设l 为x a ＋ya ＝1.由l 过点(3，2)，知3a ＋2a＝1，故a ＝5.∴ l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.1. (2014·海淀模拟改编)直线l 经过点A(1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．答案：k>12或k<－1解析：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k(x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k，令－3<1－2k <3，解不等式可得k>12或k<－1.(也可以利用数形结合)2. (2014·长春调研改编)一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是________．(填序号)① m>1，且n<1；② mn<0；③ m>0，且n<0；④ m<0，且n<0. 答案：②解析：因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，且1n<0，即m>0，且n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0，故选填②.3. 直线l 经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l 的方程为________．答案：8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0解析：设所求直线l 的方程为x a ＋yb＝1，∵ 直线l 过点P(－5，－4)，∴ －5a ＋－4b ＝1，即4a ＋5b ＝－ab.又由已知有12|a|·|b|＝5，即|ab|＝10，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5b ＝－ab ，|ab|＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.故所求直线l 的方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y－2＝1.即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.4. (2014·银川联考)已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，若动点P(a ，b)在线段AB 上，则ab 的最大值为________．答案：12解析：由题意知A(2，0)，B(0，1)，所以线段AB 的方程可表示为x2＋y ＝1，x ∈[0，2]，又动点P(a ，b)在线段AB 上，所以a 2＋b ＝1，a ∈[0，2]，又a 2＋b≥2ab 2，所以1≥2ab2，解得0≤ab≤12，当且仅当a 2＝b ＝12，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，ab 取得最大值12. 5. 已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1) △ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2) BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．解：(1) 平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得一般式方程为6x －8y－13＝0，截距式方程为x 136－y138＝1.(2) 因为BC 边上的中点为(2，3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即一般式方程为7x －y －11＝0，截距式方程为x 117－y11＝1.6. (原创)若直线l 的方程为(2m 2－m －1)x ＋(m 2－m)y ＋4m －1＝0，求： (1) 参数m 的取值集合；(2) 若直线l 的斜率不存在，试确定直线l 在x 轴上的截距；(3) 若直线l 在y 轴上的截距等于直线4x －y －2＝0的斜率，求直线l 的方程．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－m －1＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故参数m 的取值集合为{m|m≠1}．(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－m －1≠0，m 2－m ＝0，解得m ＝0，故直线方程为－x －1＝0，即x ＝－1，故直线l 在x轴上的截距为－1.(3) 直线l 在y 轴上的截距存在时，截距为1－4mm 2－m，又直线4x －y －2＝0的斜率为4，所以1－4m m 2－m ＝4，解得m ＝±12，所以直线l 的方程为4x ＋y －4＝0或y ＝4.1. 直线x ＋a 2y －a ＝0(a>0，a 是常数)，当此直线在x 、y 轴上的截距和最小时，a ＝________．答案：1解析：方程可化为x a ＋y 1a＝1，因为a>0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时取等号．2. (原创)如果AC<0且BC>0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第________象限．答案：二解析：由已知条件知A ，B ，C 均不为0，直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－CA>0，直线一定过一、四象限，又直线在y 轴上的截距－CB<0，故直线一定过三、四象限，故直线不通过第二象限．3. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y)为整点．下列命题中正确的是________．(填序号)．① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点； ③ 直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④ 直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充要条件是：k 与b 都是有理数； ⑤ 存在恰经过一个整点的直线． 答案：①③⑤解析： ①正确．比如直线y ＝2x ＋3，不与坐标轴平行，且当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即不经过任何整点．②错误．直线y ＝3x －3中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1，0)．③正确．当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点．④错误．当k＝0，b ＝13时，直线y ＝13不通过任何整点．⑤正确．比如直线y ＝3x －3只经过一个整点(1，0)．4. 不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________． 答案：(－2，3)解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0，整理得 (x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3. 5. 对直线l 上任一点(x ，y)，点(4x ＋2y ，x ＋3y)仍在此直线上，求直线方程． 解：设直线方程Ax ＋By ＋C ＝0， ∴ A(4x ＋2y)＋B(x ＋3y)＋C ＝0， 整理得(4A ＋B)x ＋(2A ＋3B)y ＋C ＝0，∴ 上式也是l 的方程，当C≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧A ＝4A ＋B ，B ＝2A ＋3B ，∴ A ＝B ＝0，此时直线不存在；当C ＝0时，两方程表示的直线均过原点，应有斜率相等，故－A B ＝－4A ＋B2A ＋3B，∴ A ＝B或B ＝－2A ，∴ 所求直线方程为x ＋y ＝0或x －2y ＝0.1. 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；而选用两点式时不要忽视与坐标轴垂直的情况．2. 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．请使用课时训练(A )第2课时(见活页)．[备课札记]第3课时 直线与直线的位置关系⎝⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）116～118页 （理）121～123页1. (必修2P 93练习1改编)已知点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于________．答案：2－1解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，∴ |a ＋1|＝2，又a ＞0，∴ a ＝2－1.2. (必修2P 85习题7改编)已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________．答案：－1解析：由l 1∥l 2得a(a －2)－3＝0且2a －6(a －2)≠0，解得a ＝－1.3. 经过点(－2，3)，且与直线2x ＋y －5＝0平行的直线方程为________． 答案：2x ＋y ＋1＝0解析：由题意，所求直线的斜率与直线2x ＋y －5＝0的斜率相同为－2，又过点(－2，3)，所以直线方程为y －3＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋1＝0.4. (必修2P 85习题3改编)已知直线l 过两条直线3x ＋2y －1＝0和2x －3y ＋8＝0的交点，且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是________．答案：3x ＋2y －1＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，2x －3y ＋8＝0，得两直线的交点坐标为(－1，2)，又由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.5. (必修2P 106习题18改编)已知直线l ：y ＝3x ＋3，那么直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程为____________．答案：7x ＋y ＋22＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，3x －y ＋3＝0，得交点坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－92.又直线x －y －2＝0上的点Q(2，0)关于直线l 的对称点为Q ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－175，95，故所求直线(即PQ′)的方程为y ＋92－95－92＝x ＋52175－52，即7x ＋y ＋22＝0.1. 两条直线的位置关系设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．若方程组有无数个解，则两直线方程表示的直线重合．3. 几种距离(1) 两点间的距离平面上的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)间的距离公式：d(A ，B)＝AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. (2) 点到直线的距离点P(x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C|A 2＋B2. (3) 两条平行线间的距离两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.[备课札记]题型1 两直线的平行与垂直, 1) 两条直线l 1：(m ＋3)x ＋2y ＝5－3m ，l 2：4x ＋(5＋m)y ＝16，分别求满足下列条件的m 的值．(1) l 1与l 2相交； (2) l 1与l 2平行； (3) l 1与l 2重合； (4) l 1与l 2垂直．解：可先从平行的条件a 1a 2＝b 1b 2(化为a 1b 2＝a 2b 1)着手．由m ＋34＝25＋m，得m 2＋8m ＋7＝0，解得m 1＝－1，m 2＝－7.由m ＋34＝5－3m 16，得m ＝－1.(1) 当m≠－1且m≠－7时，a 1a 2≠b 1b 2，l 1与l 2相交．(2) 当m ＝－7时，a 1a 2＝b 1b 2≠c 1c 2.l 1∥l 2.(3) 当m ＝－1时，a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，l 1与l 2重合．(4) 当a 1a 2＋b 1b 2＝0，即(m ＋3)·4＋2·(5＋m)＝0，即m ＝－113时，l 1⊥l 2.变式训练已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1) 试判断l 1与l 2是否平行； (2) l 1⊥l 2时，求a 的值．解：(1) (解法1)当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a≠1且a≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－（a ＋1），解得a ＝－1，综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．(解法2)由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a(a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a(a 2－1)－1×6≠0，∴ l 1∥l 2⎩⎪⎨⎪⎧a （a －1）－1×2＝0，a （a 2－1）－1×6≠0⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a （a 2－1）≠6a ＝－1， 故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行． (2) (解法1)当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2； 当a≠1且a≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1a ＝23.(解法2)由A 1A 2＋B 1B 2＝0得a ＋2(a －1)＝0a ＝23.题型2 两直线的交点, 2) (2014·江苏联考)已知点A(3，3)，B(5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P(1，2)．① 若点A 、B 在直线l 的同侧，则l∥AB.而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.② 若点A 、B 在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0. 备选变式（教师专享）已知直线l 经过点P(3，1)，且被两平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l 的方程．解：(解法1)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1、l 2的交点分别为A′(3，－4)和B ′(3，－9)，截得的线段AB 的长||AB ＝||－4＋9＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k(x －3)＋1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3）＋1x ＋y ＋1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3）＋1x ＋y ＋6＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1. 由||AB ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋(－4k －1k ＋1＋9k －1k ＋1)2＝52.解之，得k ＝0，即所求的直线方程为y ＝1. 综上可知，所求l 的方程为x ＝3或y ＝1. (解法2)由题意，直线l 1、l 2之间的距离为d ＝||1－62＝522，且直线l 被平行直线l 1、l2所截得的线段AB 的长为5(如图)．设直线l 与直线l 1的夹角为θ，则sin θ＝52 25＝22，故θ＝45°.由直线l 1：x ＋y ＋1＝0的倾斜角为135°，知直线l 的倾斜角为0°或90°.又直线l 过点P(3，1)，故直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.(解法3)设直线l 与l 1、l 2分别相交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0.两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5. ①又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25， ②联立①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝5，y 1－y 2＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0，y 1－y 2＝5，由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°或90°. 故所求直线方程为x ＝3或y＝1.题型3 点到直线及两平行直线之间的距离, 3) 已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1) 求a 的值；(2) 能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ① 点P 在第一象限；② 点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③ 点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解：(1) 直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋（－1）2＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72. 又a ＞0，解得a ＝3.(2) 假设存在点P ，设点P(x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝2|x 0＋y 0－1|5×2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12；(舍去) 联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件． 备选变式（教师专享）已知点P 1(2，3)、P 2(－4，5)和A(－1，2)，求过点A 且与点P 1、P 2距离相等的直线方程．解：(解法1)设所求直线方程为y －2＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由点P 1、P 2到直线的距离相等得||2k －3＋k ＋2k 2＋1＝||－4k －5＋k ＋2k 2＋1. 化简得||3k －1＝||－3k －3，则有3k －1＝－3k －3或3k －1＝3k ＋3，解得k ＝－13或方程无解．方程无解表明这样的k 不存在，但过点A ，所以直线方程为x ＝－1，它与P 1、P 2的距离都是3.∴所求直线方程为y －2＝－13(x ＋1)或x ＝－1.(解法2)设所求直线为l ，由于l 过点A 且与P 1、P 2距离相等，所以l 有两种情况，如下图：①当P 1、P 2在l 的同侧时，有l∥P 1P 2，此时可求得l 的方程为y －2＝5－3－4－2(x ＋1)，即y －2＝－13(x ＋1)；②当P 1、P 2在l 的异侧时，l 必过P 1、P 2的中点(－1，4)，此时l 的方程为x ＝－1.∴所求直线的方程为y －2＝－13(x ＋1)或x ＝－1.题型4 对称问题, 4) 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1) 点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；(2) 直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； (3) 直线l 关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． 解：(1) 设A′(x，y)，再由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴ A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2) 在直线m 上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l 的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4，3)．∵ m ′经过点N(4，3)，∴ 由两点式得直线方程为9x －46y ＋102＝0.(3) 设P(x ，y)为l′上任意一点，则P(x ，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x ，－4－y)．∵ P ′在直线l 上，∴ 2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 备选变式（教师专享）在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P(如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于________．答案：43解析：以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，得△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，设AP ＝x ，从而P(x ，0)，x ∈(0，4)，由光的几何性质可知点P 关于直线BC 、AC 的对称点P 1(4，4－x)，P 2(－x ，0)与△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43共线，所以4343＋x ＝43－（4－x ）43－4，求得x ＝43.题型5 三角形中的直线问题, 5) 直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，且A 、B 的坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求顶点C 的坐标并判断△ABC 的形状．解：由题意画出草图(如图所示)．设点A(－4，2)关于直线l ：y ＝2x 的对称点为A′(a，b)，则A′必在直线BC 上．以下先求A′(a，b)．由对称性可得⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4＝－12，b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，∴ A ′(4，－2)．∴ 直线BC 的方程为y －1－2－1＝x －34－3，即3x ＋y －10＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，3x ＋y －10＝0，得C(2，4)． ∴ k AC ＝13，k BC ＝－3，∴ AC⊥BC.∴ △ABC 是直角三角形． 备选变式（教师专享）已知△ABC 的顶点为A(3，－1)，AB 边上的中线所在的直线方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在的直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在的直线方程．解：设B(4y 1－10，y 1)，由AB 的中点在6x ＋10y －59＝0上，可得6·4y 1－72＋10·y 1－12－59＝0，解得y 1 ＝ 5，所以B 为(10，5)．设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A′(x′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x′＋32－4·y′－12＋10＝0，y ′＋1x′－3·14＝－1 A ′(1，7)．故BC 边所在的直线方程为2x ＋9y －65＝0.1. (2014·长沙模拟)已知过点A(－2，m)和点B(m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n ＝________．答案：－10解析：∵ l 1∥l 2，∴ k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.∵ l 2⊥l 3，∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1， 解得n ＝－2，∴ m ＋n ＝－10.2. 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案：(2，4)解析：由题可知A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)，四边形ABCD 对角线的交点到四点距离之和最小，直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝2（x －1），y －5＝－（x －1），得交点坐标为(2，4)． 3. 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为________． 答案：3x ＋4y ＋5＝0 解析：与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y)＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.4. m 为何值时，直线l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my －4＝0不能围成三角形？解：先考虑三条直线中有两条直线平行或重合的情况．① 若m≠0，则k 1＝－4，k 2＝－m ，k 3＝23m ，当m ＝4时，k 1＝k 2；当m ＝－16时，k 1＝k 3；而k 2与k 3不可能相等．② 若m ＝0，则l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：y ＝0，l 3：x －2＝0，此时三条直线能围成三角形．∴ 当m ＝4或m ＝－16时，三条直线不能围成三角形．再考虑三条直线共点的情况，此时m≠0且m≠4且m≠－16.将y ＝－mx 代入4x ＋y －4＝0，得x ＝44－m，即l 1与l 2交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫44－m，－4m 4－m ，将P 点坐标代入l 3的方程得84－m ＋12m 24－m －4＝0，解得m ＝－1或m ＝23.∴ 当m ＝－1或m ＝23时，l 1，l 2，l 3交于一点，不能围成三角形．综上所述，当m 为－1或－16或23或4时，三条直线不能围成三角形．1. 若动点A 、B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为______．答案：3 2解析：依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2|m ＋7|＝|m ＋5|m ＝－6，所以l 的方程为x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|6|2＝3 2.2. (2014·济南模拟)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝________．答案：－1或2解析：若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；当a≠0时，两直线若平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2.3. (2014·金华调研)当0<k<12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第________象限．答案：二解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k<12，所以k k －1<0，2k －1k －1>0，故交点在第二象限． 4. 已知△ABC 的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，又知∠C 的平分线所在的直线方程为2x －3y ＋6＝0，求三角形各边所在直线的方程．解：设A 点关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为A′(x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧2·x 1－12－3·y 1＋52＋6＝0，y 1－5x 1＋1＝－32，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－3y 1－5＝0，3x 1＋2y 1－7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3113，y 1＝－113，即A′⎝ ⎛⎭⎪⎫3113，－113，同理，点B 关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3613，4113. ∵ 角平分线是角的两边的对称轴，∴ A ′点在直线BC 上．∴ 直线BC 的方程为y ＝－113－（－1） 3113－0x －1，整理得12x －31y －31＝0.同理，直线AC 的方程为y －5＝5－4113－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3613(x ＋1)，整理得24x －23y ＋139＝0.直线AB 的方程为y ＝5－（－1）－1－0x －1，整理得6x ＋y ＋1＝0.1. 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．2. 在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式，否则会出错．3. 对称问题主要包括中心对称和轴对称 (1) 中心对称① 点P(x ，y)关于O(a ，b)的对称点P′(x′，y ′)满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y ′＝2b －y. ② 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2) 轴对称① 点A(a ，b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A ′(m ，n)，则有n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B·b ＋n2＋C ＝0.② 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．。

复习内容：高中数学第九章-立体几何 复习范围：第九章 编写时间：2004-7修订时间：总计第三次 2005-4I. 基础知识要点 一、 平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个. 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向） 二、 空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[) 180,0∈θ）（直线与直线所成角(]90,0∈θ） （斜线与平面成角()90,0∈θ）（直线与平面所成角[]90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. 5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）12方向相同12方向不相同三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线）③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内） ⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交） ⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面） ⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. ● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理），得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA .●三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. [注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行） ②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面） ③垂直于同一平面的两条直线平行.（√） 5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、 平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.POAa5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. 证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,. 6. 两异面直线任意两点间的距离公式：θcos 2222mn d n m l +++=（θ为锐角取加，θ为钝取减，综上，都取加则必有⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ）7. ⑴最小角定理：21cos cos cos θθθ=（1θ为最小角，如图）⑵最小角定理的应用（∠PBN 为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条. 成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条. 成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条. 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有. 五、 棱锥、棱柱. 1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的. ②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.四棱柱直平行六面体长方体正四棱柱底面是平行四边形侧棱垂直底面底面是矩形底面是正方形侧面与底面边长相等⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×） （直棱柱不能保证底面是钜形可如图） ②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα. 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2cos cos cos 222=++γβα. [注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直.（两条边可能相交，可图1θθ1θ2图2P αβθM AB O能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V S h V ==. ⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心. [注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S =（侧面与底面成的二面角为α）附： 以知c ⊥l ，b a =⋅αcos ，α为二面角b l a --.则l a S ⋅=211①，b l S ⋅=212②，b a =⋅αcos③ ⇒①②③得αcos 底侧S S =.注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）. ⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径； ⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径. [注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. 简证：A B ⊥CD ，AC ⊥BD ⇒ BC ⊥AD. 令b AC c AD a AB ===,,得-=⋅⇒=-=-=,，已知()(,0-⋅=-⋅0=-⇒c b c a 则0=⋅AD BC .iii. 空间四边形OABC iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.简证：取AC 中点'O ，则⊥⇒⊥'⊥'AC AC O B AC o o ,平面=∠⇒⊥⇒'FGH BO AC B O O 90°易知EFGH 为平行四边形⇒EFGH 为长方形.若对角线等，则EFGH FG EF ⇒=为正方形.lab c C3. 球：⑴球的截面是一个圆面. ①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=. ⑵纬度、经度：①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上B A ,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B 点的经度. 附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高） ③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高） 4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，a h 36=，243a S =底，243a S =侧 得a a a R R a R a a a 46342334/424331433643222=⋅==⇒⋅⋅+⋅=⋅. 注：球内切于四面体：h S R S 313R S 31V 底底侧ACD B ⋅=⋅+⋅⋅⋅=- ②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式. 六. 空间向量.1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. 注：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.（×） [当0=b 时，不成立] ②向量c b a ,,共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]③若a ∥b ，则存在小任一实数λ，使b a λ=.（×）[与0=b 不成立] ④若a 为非零向量，则00=⋅a .（√）[这里用到)0(≠b b λ之积仍为向量]（2）共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使b a λ=.（3）共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α的关系是平行，记作a ∥α. （4）①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，则向量与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使b y a x P +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是P ABC 四点共面的充要条件.（简证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面）OrOR注：①②是证明四点共面的常用方法.2. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使c z b y a x p ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使OC z OB y OA x OP ++=(这里隐含x+y+z≠1).注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31c b a AQ ++=用+=即证.3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令=(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =，则),,(332211b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅∥)(,,332211R b a b a b a ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a222321a a a ++==(=⇒⋅=)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量. （3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）. ③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.DBAB。

2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》§9.2两条直线的位置关系最新考纲1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.3.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.(ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2.(2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组1x ＋B 1y ＋C 1＝0，2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.概念方法微思考1．若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示当两条直线l 1与l 2的斜率都存在时，12l l k k ⋅＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l 1与l 2也垂直．2．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示(1)将方程化为最简的一般形式．(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x ，y 的系数分别对应相等．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.(×)(2)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.(√)(3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.(×)(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．(√)题组二教材改编2．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于()A.2B ．2－2 C.2－1D.2＋1答案C 解析由题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3．已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________.答案1解析由题意知m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.4．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．答案－9解析＝2x ，＋y ＝3，＝1，＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9.题组三易错自纠5．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于()A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3答案C解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2m ＝2或－3.故选C.6．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______．答案324解析先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝|2－12|2＝324.7．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一两条直线的平行与垂直例1已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解(1)方法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2－a2＝11－a ，3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a＝－1时，l1∥l2，a≠－1时，l1与l2不平行．方法二由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l1∥l2(a－1)－1×2＝0，(a2－1)－1×6≠0，2－a－2＝0，(a2－1)≠6，可得a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2.a≠－1时，l1与l2不平行．(2)方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，·11－a＝－1，得a＝23.方法二由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，可得a＝23.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．跟踪训练1(1)(2018·潍坊模拟)直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由题意，当直线l1∥l2时，满足3＋m2＝45＋m≠5－3m8，解得m＝－7，所以“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的必要不充分条件，故选B.(2)(2018·青岛模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．①l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；②l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解①∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0，又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.②∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在．∴k 1＝k 2，即ab＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.题型二两直线的交点与距离问题1．(2018·西宁调研)若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是()A ．－23 B.23C ．－32D.32答案A解析由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得1，又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23.2．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为()A.95B.185C.2910D.295答案C解析因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.3．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．答案－16，解析方法一＝kx ＋2k ＋1，＝－12x ＋2，＝2－4k 2k ＋1，＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴又∵交点位于第一象限，，，解得－16<k <12.方法二如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)，∴动直线的斜率k 需满足k P A <k <k PB .∵k P A ＝－16，k PB ＝12.∴－16<k <12.4．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P点坐标为________________．答案(1，－4)解析设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②a ＝1，b ＝－4a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)277，－87思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例2过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．答案x ＋4y －4＝0解析设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.命题点2点关于直线对称例3如图，已知A (4,0)，B(0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是()A ．33B ．6C ．210D ．25答案C解析直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.命题点3直线关于直线的对称问题例4直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是______________．答案x －2y ＋3＝0解析设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，－y ＋y 02＋2＝0，(y －y 0)，0＝y －2，0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)′＝2a －x ，′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有1，B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．跟踪训练2已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程；(3)直线l 关于(1,2)的对称直线．解(1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)，∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②′＝－4x ＋3y －95，③′＝3x ＋4y ＋35.④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7，∴点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 对称的直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)，关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)，∴x ′＋02＝1，x ′＝2，y ′＋32＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1)．l 关于(1,2)的对称直线平行于l ，∴k ＝3，∴对称直线方程为y －1＝3×(x －2)，即3x －y －5＝0.妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系．一、平行直线系例1求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程．解由题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11.因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.二、垂直直线系例2求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋C ＝0，又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋C ＝0，解得C ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.三、过直线交点的直线系例3求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解方法一－2y ＋4＝0，＋y －2＝0，得P (0,2)．∵l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，∴直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.方法二设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是()A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定答案C解析直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.故选C.2．已知直线l 1：x ＋my ＋7＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0互相平行，则实数m 等于()A ．－1或3B ．－1C ．－3D ．1或－3答案A解析当m ＝0时，显然不符合题意；当m ≠0时，由题意得，m －21＝3m ≠2m7，解得m ＝－1或m ＝3，故选A.3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为()A ．－10B ．－2C ．0D ．8答案A解析因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.4．过点M (－3,2)，且与直线x ＋2y －9＝0平行的直线方程是()A ．2x －y ＋8＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y －1＝0答案D 解析方法一因为直线x ＋2y －9＝0的斜率为－12，所以与直线x ＋2y －9＝0平行的直线的斜率为－12，又所求直线过M (－3,2)，所以所求直线的点斜式方程为y －2＝－12(x ＋3)，化为一般式得x ＋2y －1＝0.故选D.方法二由题意，设所求直线方程为x ＋2y ＋c ＝0，将M (－3，2)代入，解得c ＝－1，所以所求直线为x ＋2y －1＝0.故选D.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为()A.423B ．42 C.823D ．22答案C解析∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0，∴1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝|6－23|2＝823.6．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为()A.1 2B．－12C．2D．－2答案A解析直线y＝2x＋3与y＝－x的交点为A(－1,1)，而直线y＝2x＋3上的点(0,3)关于y＝－x的对称点为B(－3，0)，而A，B两点都在l2上，所以kl2＝1－0－1－(－3)＝12.7．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________．答案1(3,3)解析∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，∴a×1＋1×(a－2)＝0，即a＝1＋y－6＝0，－y＝0，易得x＝3，y＝3，∴P(3,3)．8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.答案34 5解析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，2×7＋m2－3，＝－12，＝35，＝315，故m＋n＝34 5 .9．直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程为______________．答案x－2y＝0解析＝2x＋3，＝x＋1，解得直线l1与l的交点坐标为(－2，－1)，所以可设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，所以直线l 2的方程为x －2y ＝0.10．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．答案6x －y －6＝0解析设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，＝－1，－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.11．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于42.(1)解显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，x －y －6＝0，－y －4＝0，＝2，＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立．12．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解(1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝7510，所以|a ＋12|5＝7510，即|a ＋12|＝72，又a >0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12|c ＋12|5，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，0＝－3，0＝12，(舍去)联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，＝19，0＝3718.所以存在点P 13．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C的坐标为()A．(－2,4)B．(－2，－4) C．(2,4)D．(2，－4)答案C解析设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则2＝－1，2×－4＋x2，解得＝4，＝－2，∴BC所在直线方程为y－1＝－2－14－3(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)，∴AC所在直线方程为y－2＝3－2－1－(－4)(x＋4)，即x－3y＋10＝0.x＋y－10＝0，－3y＋10＝0，＝2，＝4，则C(2,4)．故选C.14．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为()A.5B.6C．23D．25答案A解析＝2x，＋y＝3，解得x＝1，y＝2.把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.∴m＝－5－2n.∴点(m，n)到原点的距离d＝m2＋n2＝(5＋2n)2＋n2＝5(n＋2)2＋5≥5，当n＝－2，m＝－1时取等号．∴点(m，n)到原点的距离的最小值为 5.15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A (1,0)，B (0,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为()A ．4x ＋2y ＋3＝0B ．2x －4y ＋3＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0答案B解析因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (1，0)，B (0,2)，故AB k AB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1即2x －4y ＋3＝0.16．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,4)对称，求直线l 的方程．解由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点，b P 关于点(2,4)－m ，8－b ∴8－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝98.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋98，即6x －8y ＋9＝0.。

【创优导学案】2014届高考数学总复习 第九章 直线、平面、简单几何体 9-1课后巩固提升（含解析）新人教A 版(对应学生用书P 263 解析为教师用书独有)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．一个班级有5个小组，每一个小组有10名学生，随机编号为1～10号，为了了解他们的学习情况，要求抽取每组的2号学生留下来进行问卷调查，这里运用的方法是A ．分层抽样法B ．抽签法C ．随机数法D ．系统抽样法解析 D 因为按照一定规则进行抽样，故选D.2．(2013·郑州测试)一个学校高三年级共有学生200人，其中男生有120人，女生有80人，为了调查高三复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为25的样本，应抽取女生的人数为( ) A ．20B ．15C ．12D ．10解析 D 应抽取女生人数n ＝80×25200＝10. 3．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )A ．9B ．18C ．27D ．36解析 B 设该单位有老年职工x 人，则160＋x ＋2x ＝430，∴x ＝90.设抽取的样本中的老年职工有y 人，则有32160＝y 90，∴y ＝18. 4．高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本．已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为A ．30B ．25C ．20D ．15解析 C 由题意可知，可将学号依次为1,2,3，…，56的56名同学分成4组，每组14人，抽取的样本中，若将他们的学号按从小到大的顺序排列，彼此之间会相差14，故还有一个同学的学号应为14＋6＝20.5．某企业对全厂的男女职工共2 400人进行健康调查，采取分层抽样法抽取一个容量为120的样本，已知女职工比男职工多抽了20人，则该厂的男职工人数应是A．1 000 B．1 200C．1 400 D．1 600解析 A 依题意，应该抽取女职工70人、男职工50人，所以该厂一共有男职工2 400 120×50＝1 000人．6．为了检查某超市货架上的奶粉中维生素的含量，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样的方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是A．5,10,15,20,25 B．2,4,8,16,32C．1,2,3,4,5 D．7,17,27,37,47解析 D 选取的奶粉的编号构成公差为10的等差数列，且首项在1到10之间，末项在41～50之间．故选D.二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型产品有16件，那么此样本容量n＝________.解析依题意A、B、C三种不同型号样本个数之比为2∶3∶5，∴样本中B型产品有24件，C型产品有40件，∴n＝16＋24＋40＝80.【答案】808．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表格：A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是_____________________________________________________________件．解析设C产品的数量为x，则A产品的数量为1 700－x，C产品的样本容量为a，则A产品的样本容量为10＋a，由分层抽样的定义可知：1 700－xa＋10＝xa＝1 300130，∴x＝800.【答案】8009．(2013·咸阳模拟)某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取80名学生进行家庭情况调查，经过一段时间后，再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名学生上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为________．解析 根据抽样的等可能性，设高一年级共有x 人，则80x ＝20100，∴x ＝400. 【答案】 400三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)某工厂有1 000名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样方法进行具体实施．解析 ①将所有工人随机编号，由0001至1 000；②分段，取间隔k ＝1 00010＝100，将总体均分为10组，每组含100个工人； ③从第一段即0001号到0100号中随机抽取一个号l ；④将l,100＋l,200＋l ，…，900＋l 共10个号选出．这10个号所对应的工人组成要抽取的样本．11．(12分)某批零件共160个，其中，一级品48个，二级品64个，三级品32个，等外品16个．从中抽取一个容量为20的样本．请说明分别用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样法抽取时总体中的每个个体被取到的概率均相同．解析 (1)简单随机抽样法：可采取抽签法，将160个零件按1～160编号，相应地制作1～160号的160个号签，把它们放在一起，并搅拌均匀，从中随机抽取20个．显然每个个体被抽到的概率为20160＝18. (2)系统抽样法：将160个零件从1至160编上号，按编号顺序分成20组，每组8个．然后在第1组用抽签法随机抽取一个号码，例如它是第k 号(1≤k ≤8)，则在其余组中分别抽取第k ＋8n (n ＝1,2,3，…，19)号，此时每个个体被抽到的概率为18. (3)分层抽样法：按比例20160＝18，分别在一级品、二级品、三级品、等外品中抽取48×18＝6个，64×18＝8个，32×18＝4个，16×18＝2个，每个个体被抽到的概率分别为648，864，432，216，即都是18.综上可知，无论采取哪种抽样，总体的每个个体被抽到的概率都是18. 12．(16分)一个城市有210家百货商店，其中大型商店有20家，中型商店有40家，小型商店有150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本，按分层抽样方法抽取样本时，各类百货商店要分别抽取多少家？写出抽样过程．解析 ∵21∶210＝1∶10，∴2010＝2，4010＝4，15010＝15.∴应从大型商店中抽取2家，从中型商店中抽取4家，从小型商店中抽取15家． 抽样过程：(1)计算抽样比21210＝110；(2)计算各类百货商店抽取的个数：2010＝2，4010＝4，15010＝15；(3)用简单随机抽样方法依次从大、中、小型商店中抽取2家、4家、15家；(4)将抽取的个体合在一起，就构成所要抽取的一个样本．。

第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1x2－x1.3．直线方程的五种形式1．若直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率为________．解析：因为tan 60°＝3，所以该直线的斜率为 3.答案： 32．过点(0,1)，且倾斜角为45°的直线方程是________．解析：因为直线的斜率k＝tan 45°＝1，所以由已知及直线的点斜式方程，得y－1＝x －0，即y＝x＋1.答案：y＝x＋13．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.解析：令x ＝0，则l 在y 轴的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2a ，解得a ＝1或a ＝－2.答案：1或－24．已知a ≠0，直线ax ＋my －5m ＝0过点(－2,1)，则此直线的斜率为________． 解析：因为直线ax ＋my －5m ＝0过点(－2,1)，所以－2a ＋m －5m ＝0，得a ＝－2m ，所以直线方程为－2mx ＋my －5m ＝0.又a ≠0，所以m ≠0，所以直线方程－2mx ＋my －5m ＝0可化为－2x ＋y －5＝0，即y ＝2x ＋5，故此直线的斜率为2.答案：21．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－AB .[小题纠偏]1．下列有关直线l ：x ＋my －1＝0的说法： ①直线l 的斜率为－m ； ②直线l 的斜率为－1m ；③直线l 过定点(0,1)； ④直线l 过定点(1,0)．其中正确的说法是________(填序号)．解析：直线l ：x ＋my －1＝0可变为my ＝－(x －1)．当m ≠0时，直线l 的方程又可变为y ＝－1m (x －1)，其斜率为－1m ，过定点(1,0)；当m ＝0时，直线l 的方程又可变为x ＝1，其斜率不存在，过点(1,0)．所以①②不正确，④正确．又将点(0,1)代入直线方程得m －1＝0，故只有当m ＝1时直线才会过点(0,1)，即③不正确．答案：④2．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点．设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a .则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0考点一 直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．直线x ＝π3的倾斜角等于________．解析：直线x ＝π3，知倾斜角为π2.答案：π22．(2016·南通调研)关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法： ①两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等； ②平行于x 轴的直线的倾斜角为0°或180°；③若直线过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)，则该直线的斜率为y 1－y 2x 1－x 2. 其中正确说法的个数为________．解析：若两直线的倾斜角均为90°，则它们的斜率都不存在，所以①不正确．直线倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°，所以平行于x 轴的直线的倾斜角为0°，不可能是180°，所以②不正确．当x 1＝x 2时，过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的直线的斜率不存在；当x 1≠x 2时，过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的直线的斜率才为y 1－y 2x 1－x 2，所以③不正确．答案：03．已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m .∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.答案：⎣⎡⎦⎤－23，12 [谨记通法]求倾斜角的取值范围的2个步骤及1个注意点(1)2个步骤：①求出斜率k ＝tan α的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． (2)1个注意点：求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点二 直线方程(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 解：(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.[由题悟法]直线方程求法中2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为______________． 解析：①当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2； ②当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，代入方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2， 所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0. 答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0考点三 直线方程的综合应用(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数几何意义相结合的问题； (3)与圆相结合求直线方程问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．(2015·福建高考改编)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于________．解析：将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故a ＋b 的最小值为4.答案：4角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．(2016·苏州模拟)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________． 解析：由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.答案：⎣⎡⎦⎤－1，－12 角度三：与圆相结合求直线方程问题3．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是________________．解析：直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1,1)， ∴H (1,0)，直线HB 的方程为y ＝x －1，代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32.所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1，即3x ＋y －3－1＝0. 答案：3x ＋y －3－1＝0[方法归纳]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是________． 解析：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6. 答案：5π62．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是________． 解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.答案：333．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是________．解析：直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝04．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎦⎤π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是__________．解析：∵k ＝tan α，α∈⎣⎡⎦⎤π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π ∴－3≤k <0或33≤k ≤1. 答案：[－3，0)∪⎣⎡⎦⎤33，1 5．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限． 解析：由题意知A ·B ·C ≠0，直线方程变形为y ＝－A B x －CB .∵A ·C <0，B ·C <0，∴A ·B >0，∴其斜率k ＝－A B <0，又y 轴上的截距b ＝－CB>0.∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案：三二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·常州一中月考)已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，若30°<θ<90°，则实数k 的取值范围是________．解析：因为30°<θ<90°，所以斜率k >0，且斜率k 随着θ的增大而增大，所以k >33. 答案：⎝⎛⎭⎫33，＋∞2．(2016·南京学情调研)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________． 解析：依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[)－1，0，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎣⎡⎭⎫3π4，π 3．若k ∈R ，直线kx －y －2k －1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为________． 解析：y ＋1＝k (x －2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)． 答案：(2，－1)4．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝05．直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则m 等于________．解析：由题意知m ≠±2，直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3(m ＝2不合题意，舍去)，故m ＝3.答案：36．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． 解析：直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2， 所以直线l 恒过定点(2，－2)． 答案：(2，－2)7．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．解析：∵直线y ＝13x 的倾斜角为30°， 所以所求直线的倾斜角为60°， 即斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)， 即3x －y －33＝0. 答案：3x －y －33＝08．(2016·盐城调研)若直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)可知直线在x 轴上的截距为a ，直线在y 轴上的截距为b .求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b ＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )×⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b ≥2b a ·2a b ＝22(当且仅当b a＝2ab 时取等号)，所以a ＋b ≥3＋2 2.答案：3＋2 29．已知A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．解：法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意得M (3,2)．若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1， ∵直线l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，解得a ＝5， 此时直线l 的方程为x 5＋y5＝1，即x ＋y －5＝0.综上所述，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.法二：由题意知M (3,2)，所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k ；令x ＝0，得y ＝2－3k .∴3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.10．过点A (1,4)引一条直线l ，它与x 轴，y 轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0，b )，当a ＋b 最小时，求直线l 的方程．解：法一：由题意，设直线l ：y －4＝k (x －1)，由于k <0， 则a ＝1－4k，b ＝4－k .∴a ＋b ＝5＋⎝⎛⎭⎫－4k －k ≥5＋4＝9. 当且仅当k ＝－2时，取“＝”． 故得l 的方程为y ＝－2x ＋6. 法二：设l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由于l 经过点A (1,4)，∴1a ＋4b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a≥9， 当且仅当4a b ＝ba 时，即b ＝2a 时，取“＝”，即a ＝3，b ＝6. ∴所求直线 l 的方程为x 3＋y6＝1，即y ＝－2x ＋6.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x ＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x ·1e x ＝2当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号，所以e x ＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1e x ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：122．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[)0，＋∞. (3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk <0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y＋4＝0.第二节 两直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．距离1．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m 的值是________．解析：由题意可知k AB ＝4－mm ＋2＝－2，所以m ＝－8.答案：－82．已知直线l ：y ＝3x ＋3，那么直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程为__________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，3x －y ＋3＝0，得交点坐标P ⎝⎛⎭⎫－52，－92.又直线x －y －2＝0上的点Q (2,0)关于直线l 的对称点为Q ′⎝⎛⎭⎫－175，95，故所求直线(即PQ ′)的方程为y ＋9295＋92＝x ＋52－175＋52，即7x ＋y ＋22＝0.答案：7x ＋y ＋22＝03．与直线y ＝－3x ＋1平行，且在x 轴上的截距为－3的直线l 的方程为________． 解析：由题意，知直线l 的斜率为－3，且在x 轴上的截距为－3，所以直线l 的方程为y －0＝－3[x －(－3)]，即3x ＋y ＋9＝0 .答案：3x ＋y ＋9＝01．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.答案：充要2．已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：①若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直．②当l 1，l 2的斜率都存在时，直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t ，直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1，所以t ＝－1.综上可知t ＝－1或t ＝1. 答案：－1或1考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2016·金陵中学模拟)若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于________．解析：由a ·1＋2·1＝0得a ＝－2. 答案：－22．(2016·金华十校模拟)“直线ax －y ＝0与直线x －ay ＝1平行”是“a ＝1”成立的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行得a 2＝1，即a ＝±1，所以“直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行”是“a ＝1”的必要不充分条件．答案：必要不充分3．(2016·启东调研)已知直线l 1：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，l 2：ax ＋by －4＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(1,1)；(2)l 1∥l 2，且l 2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2. 解：(1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)＋b ＝0.① 又l 1过点(1,1)， ∴a ＋b ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.当a ＝0，b ＝0时不合题意，舍去． ∴a ＝2，b ＝－2.(2)∵l 1∥l 2，∴a －b (a －1)＝0，③由题意，知a >0，b >0，直线l 2与两坐标轴的交点坐标分别为⎝⎛⎭⎫4a ，0，⎝⎛⎭⎫0，4b . 则12×4a ×4b ＝2，得ab ＝4，④ 由③④，得a ＝2，b ＝2.[谨记通法]由一般式确定两直线位置关系的方法在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.① 又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. [由题悟法] 处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式． (2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．[即时应用](2016·苏州检测)已知三条直线2x －y －3＝0,4x －3y －5＝0和ax ＋y －3a ＋1＝0相交于同一点P .(1)求点P 的坐标和a 的值；(2)求过点(－2,3)且与点P 的距离为25的直线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －3＝0，4x －3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．将点P 的坐标(2,1)代入直线ax ＋y －3a ＋1＝0，可得a ＝2.(2)设所求直线为l ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－2，此时点P 与直线l 的距离为4，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0.点P 到直线l 的距离d ＝|2k －1＋2k ＋3|k 2＋1＝25，解得k ＝2，所以直线l 的方程为2x －y ＋7＝0.考点三 对称问题(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称； (3)线关于线对称； (4)对称问题的应用．[题点全练]角度一：点关于点的对称问题1．(2016·苏北四市调研)点P (3,2)关于点Q (1,4)的对称点M 的坐标为________． 解析：设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋x2＝1，2＋y 2＝4，∴x ＝－1，y ＝6， ∴M (－1,6)． 答案：(－1,6)角度二：点关于线的对称问题2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. 答案：A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413 角度三：线关于线的对称问题3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________．解析：设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2， 由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0. 答案：x －2y ＋3＝0 角度四：对称问题的应用4．(2016·淮安一调)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝0[方法归纳]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·盐城二模)若直线y ＝kx ＋1与直线2x ＋y －4＝0垂直，则k ＝________. 解析：因为直线2x ＋y －4＝0的斜率为－2， 故由条件得k ＝12.答案：122．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79.答案：－13或－793．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 解析：因为直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，所以3m －24＝0，解得m＝8，故直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，所以两平行直线间的距离是d ＝|－3－7|32＋42＝2.答案：24．(2016·宿迁模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________． 解析：设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝05．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·苏州二模)已知直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a 和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，则a ＝________.解析：由题意可得a ≠－5，所以3＋a 2＝45＋a ≠5－3a 8，解得a ＝－7(a ＝－1舍去)．答案：－72．(2016·南京一中检测)P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的任意一点，则PQ 的最小值为________．解析：因为36＝48≠－125，所以两直线平行，根据平面几何的知识，得PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离．在直线3x ＋4y －12＝0上取一点(4,0)，此点到另一直线6x ＋8y ＋5＝0的距离为|6×4＋8×0＋5|62＋82＝2910，所以PQ 的最小值为2910.答案：29103．(2015·苏北四市调研)已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：2x －y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________．解析：由2×a ＋(3－a )×(－1)＝0，解得a ＝1. 答案：14．(2016·天一中学检测)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是________．解析：因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0. 答案：x －2y －1＝05．已知定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是________．解析：因为定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x －y ＝0垂直，AB 的方程为y ＋x －1＝0，它与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝12，所以B 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，12.答案：⎝⎛⎭⎫12，126．(2016·无锡调研)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)， 解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝07. 设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是________________．解析：由|PA |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，∴直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.答案：x ＋y －7＝08．(2016·江苏五星级学校联考)已知点P (x ，y )到A (0,4)和B (－2,0)的距离相等，则2x ＋4y 的最小值为________．解析：由题意得，点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时等号成立，故2x ＋4y 的最小值为4 2.答案：4 29．已知光线从点A (－4，－2)射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′， 则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C . 故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0. 10．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程． 解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3， ∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·湖北七市三联)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是________．解析：依题意得|a －b |＝(a ＋b )2－4ab ＝1－4c ，当0≤c ≤18时，22≤|a －b |＝1－4c≤1.因为两条直线间的距离等于|a －b |2，所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是22，12. 答案：22，122．(2016·徐州一中检测)已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使PM ＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x ＋1.解析：设点M 到所给直线的距离为d ，①d ＝|5＋1|12＋(－1)2＝32>4，故直线上不存在点P 到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”；②d ＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点P ，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；③d ＝|4×5－0|(－3)2＋42＝4，所以直线上存在一点P ，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；④d ＝|2×5＋1|22＋(－1)2＝1155>4，故直线上不存在点P ，使之到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”．故填②③.答案：②③3．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R)． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0， 即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14， 因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.第三节 圆的方程1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. [小题体验]1．(教材习题改编)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是________． 解析：由(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)． 答案：(2，－3)2．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是________． 解析：设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5. ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 答案：x 2＋y 2－10y ＝03．(教材习题改编)已知圆心为C 的圆过点A (1,1)，B (2，－2)且圆心C 在直线l ：x －y＋1＝0上，则圆的标准方程为________________________．答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝254．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4. 即a 2＜1，故－1＜a ＜1. 答案：(－1,1)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件． [小题纠偏]1．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是________． 解析：由(4m )2＋4－4×5m ＞0，得m ＜14或m ＞1.答案：m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，14∪(1，＋∞) 2．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆圆心位于第________象限．解析：因为方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r 的圆，所以a 2＋(－2a )2－4(2a 2＋3a )＝－3a 2－12a >0，即a (a ＋4)<0，所以－4<a <0.又该圆圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－a2，a ，显然圆心位于第四象限．答案：四考点一 圆的方程(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(易错题)(2015·镇江调研)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为________．解析：由题意知圆C 的半径为2，且圆心坐标可设为(2，b )，因此有(2－1)2＋(b －0)2＝2，解得b ＝±3，从而圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±3)2＝4.答案：(x －2)2＋(y ±3)2＝42．(2016·徐州模拟)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为________．解析：因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.答案：x 2＋y 2＝13．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 12＋⎝⎛⎭⎫2332＝213.答案：213[谨记通法]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上，如“题组练透”第1题． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 考点二 与圆有关的最值问题(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想． 常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题； (3)距离型最值问题； (4)建立目标函数求最值问题．[题点全练]角度一：斜率型最值问题1．(2016·苏州模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值． 解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3. 角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.角度三：距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．。

第九章 平面解析几何考纲链接1.平面解析几何初步 (1)直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．(2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． ④初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 2．圆锥曲线与方程 (1)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(2)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(3)了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(4)理解数形结合的思想． (5)了解圆锥曲线的简单应用．§9.1 直线与方程1．平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上A ，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离|AB |＝____________．(2)平面直角坐标系中的基本公式：①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为d (A ，B )＝|AB |＝_______________________． ②线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ . 2．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴____________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即k ＝______(α≠______)．当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．(3)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝．3．直线方程的几种形式(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l 在y 轴上的截距．注：截距____________距离(填“是”或“不是”)．________的特例．(3)过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程 ①若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为____________；②若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为____________；③若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为____________；④若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0，直线即为x 轴，方程为____________．自查自纠： 1．(1)|x 2－x 1|(2)①()x 2－x 12＋()y 2－y 12②x 1＋x 22 y 1＋y 222．(1)正向 平行 重合 0°≤α<180° (2)正切值 tan α 90° ＝ > < 90° (3)y 2－y 1x 2－x 13．(1)横坐标a 纵坐标b 不是 (2)①y －y 0＝k (x －x 0) ②y ＝kx ＋b③y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1④x 1≠x 2且y 1≠y 2 ⑤x a ＋y b＝1 ⑥Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)点斜式 两点式(3)①x ＝x 1 ②y ＝y 1 ③x ＝0 ④y ＝0过点M (－1，m )，N (m ＋1，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1 B.12 C ．2 D.13解：由4－m m ＋2＝1，得m ＝1.故选A.直线3x －3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．135°解：直线方程可变形为y ＝3x ＋33，tan α＝3，∵倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝60°.故选B.过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上截距2倍的直线方程是( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0 C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0解：当直线过原点时所求方程为2x －5y ＝0；当直线不过原点时，可设其截距式为x a ＋y2a ＝1，由该直线过点(5，2)即可解得a ＝6，对应方程为x 6＋y12＝1，即2x ＋y －12＝0.故选B.已知直线l 过点(0，2)，且其倾斜角的余弦值为45，则直线l 的方程为____________．解：∵cos α＝45，α∈[0，π)，∴sin α＝35，k ＝tan α＝34.∴直线l 的方程为y －2＝34x ，即3x－4y ＋8＝0.故填3x －4y ＋8＝0.下列四个命题中真命题有______个． ①经过定点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示；②经过任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示；④经过定点(0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．解：①当k 不存在时，直线方程为x ＝x 0，不正确；②正确；③当直线与坐标轴垂直时不能用该方程表示，不正确；④k 可能不存在，不正确．故填1.类型一 直线的倾斜角和斜率(1)经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2，1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为____________，____________．解：如图所示，为使l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k PA <0，故k <0时，倾斜角α为钝角；k ＝0时，α＝0；k >0时，α为锐角．又k PA ＝－2－（－1）1－0＝－1，k PB ＝1－（－1）2－0＝1，∴－1≤k ≤1.又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 故填[－1，1]；⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.(2)如图所示，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1与l 2垂直，则直线l 1的斜率k 1＝________，直线l 2的斜率k 2＝________．解：由图可知，α2＝α1＋90°＝120°，则直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，直线l 2的斜率k 2＝tan α2＝tan120°＝－3，故填33；－3.点拨：①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k ＝tan α联系．②在使用过两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x ＝x 1.③在已知两点坐标，求倾斜角α的值或取值范围时，用tan α＝k ＝y 2－y 1x 2－x 1转化，其中倾斜角α∈[0，π)，此时依然要注意斜率不存在的情形，同时注意运用数形结合思想解题．(1)直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．(0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π解：直线x sin α－y ＋1＝0的斜率是k ＝sin α， ∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4；当－1≤k <0时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π.故选D.(2)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1，1)和Q (2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是____________．解：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m，∴－1m ≤－2或－1m ≥32，解得0＜m ≤12或－23≤m ＜0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点．∴实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12. 类型二求直线方程 根据所给条件求直线的方程．(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5. 解：(1)由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为α，则sin α＝1010(α∈[0，π))， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线的方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ±3y＋4＝0.(2)若截距不为0，设直线的方程为x a ＋y a＝1， ∵直线过点(－3，4)，∴－3a ＋4a＝1，解得a ＝1.此时直线方程为x ＋y －1＝0. 若截距为0，设直线方程为y ＝kx ，代入点(－3，4)，有4＝－3k ，解得k ＝－43，此时直线方程为4x＋3y ＝0.综上，所求直线方程为x ＋y －1＝0或4x ＋3y ＝0.(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x －5＝0.当直线斜率存在时，设其方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得||10－5k 1＋k2＝5，解得k ＝34.此时直线方程为3x －4y ＋25＝0. 综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.点拨：本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱．(1)给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；(2)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；(3)应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线．求满足下列条件的所有直线方程：(1)经过点P (4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．解：(1)根据题意，设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0，0)和(4，1)，∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(4，1)，∴4a ＋1a＝1，得a ＝5.∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y－5＝0.(2)由已知设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.类型三 直线方程的应用(1)已知点A (4，－1)，B (8，2)和直线 l ：x －y －1＝0，动点P (x ，y )在直线l 上，则||PA ＋||PB 的最小值为__________．解：设点A 1(x 1，y 1)与A (4，－1)关于直线l 对称，P 0为A 1B 与直线l 的交点，∴||P 0A 1＝||P 0A ，||PA 1＝ ||PA .∴||PA ＋||PB ＝||PA 1 ＋||PB ≥||A 1B ＝||A 1P 0＋||P 0B ＝||P 0A ＋||P 0B .当P 点运动到P 0点时，||PA ＋||PB 取到最小值||A 1B .∵点A ，A 1关于直线l 对称，∴由对称的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3， 即A 1(0，3)．∴(||PA ＋||PB )min ＝||A 1B ＝82＋（－1）2＝65.故填65.点拨：平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础．求A 关于l 的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据．(2)直线l 过点P (1，4)，且分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．①当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程； ②若|PA |·|PB |最小，求l 的方程． 解：①依题意，l 的斜率存在，且斜率为负， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －4＝k (x －1)(k <0)．令y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫1－4k，0；令x ＝0，可得B (0，4－k )．|OA |＋|OB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k ＋(4－k )＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k＝5＋⎝⎛⎭⎪⎫－k ＋4－k ≥5＋4＝9. ∴当且仅当－k ＝4－k且k <0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值． 这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.②|PA |·|PB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋16·1＋k 2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k ＋（－k ）≥8(k <0)， 当且仅当1－k＝－k 且k <0，即k ＝－1时，|PA |·|PB |取最小值． 这时l 的方程为x ＋y －5＝0.点拨：直线方程综合问题的两大类型及解法：(1)与函数相结合的问题，解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点； (2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围； (3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解：(1)证明：将直线l 的方程变形得k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1， ∴无论k 取何值，直线l 过定点(－2，1)． (2)当直线l 的倾斜角θ∈[0°，90°]时，直线l 不经过第四象限，∴k ≥0.(3)由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k 且k >0，即k ＝12时等号成立，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.1．直线的倾斜角和斜率的关系，可借助k ＝tan α的图象(如图)来解决．这里，α∈[0，π)，k 的范围是两个不连续的区间．这说明，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率，故在求直线方程时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应对斜率存在或不存在进行分类讨论．2．直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距为0的情况．3．在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单．4．对于直线方程来说，要注意的是，除“一般式”外，每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目．在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形．如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件A 2＋B 2≠0而出现增解．1．若A －B ＋C ＝0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0必经过点( )A ．(0，1)B ．(1，0)C ．(1，－1)D ．(－1，－1)解：将点(1，－1)代入Ax ＋By ＋C ＝0，得A －B ＋C ＝0，∴直线Ax ＋By ＋C ＝0必过点(1，－1)．故选C.2．下列命题中，正确的是( ) A ．直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角是α B ．直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α C ．直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大D ．直线的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增解：因为直线的斜率k ＝tan θ，且θ∈[0，π)时，θ才是直线的倾斜角，所以A 不对；因为任一直线的倾斜角α∈[0，π)，而当α＝π2时，直线的斜率不存在，所以B 不对；当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，斜率大于0；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率小于0，C 不对．故选D.3．已知直线的倾斜角为120°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－3x －2D ．y ＝3x －2解：∵k ＝tan120°＝－3，且直线在y 轴上的截距为－2，∴由斜截式得y ＝－3x －2.故选C.4．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解：显然a ≠0，由题意得a ＋2＝a ＋2a，解得a＝－2或1.故选D.5．将直线l 沿y 轴的负方向平移a (a >0)个单位，再沿x 轴正方向平移a ＋1个单位得直线l ′，此时直线l ′与l 重合，则直线l ′的斜率为( )A.aa ＋1B ．－aa ＋1C.a ＋1aD ．－a ＋1a解：设直线l 的倾斜角为θ，则根据题意，有tan(π－θ)＝－tan θ＝a a ＋1，∴k ＝tan θ＝－aa ＋1.故选B.6．(2013·北京海淀模拟)已知点A (－1，0)，B (cos α，sin α)，且||AB ＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2解：∵||AB ＝（cos α＋1）2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，∴cos α＝12，sin α＝±32.当点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32时，直线AB 的方程为y ＝33x ＋33；当点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32时，直线AB 的方程为y ＝－33x －33.故选B. 7．直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是____________．解：由题意得直线l 的斜率k ＝－sin30°cos150°＝tan30°＝33，∴直线l 的斜率为33.故填33. 8．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是____________．解：∵k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，∴－3≤k <0或33≤k ≤1.故填[－3，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1. 9．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l 的方程．解：设所求直线l 的方程为x a ＋yb＝1. ∵k ＝16，∴－b a ＝16，得a ＝－6b .又S ＝12|a |·|b |＝3，∴|ab |＝6.联立⎩⎨⎧a ＝－6b ，||ab ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－1.∴所求直线方程为：x －6＋y 1＝1或x 6＋y－1＝1， 即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)∵直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点，∴由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)易得BC 边的中点D 的坐标为(0，2)，∵BC 边的中线AD 过点A (－3，0)，D (0，2)两点，∴由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0，2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.11．已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解法一：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，将点P (3，2)代入得3a ＋2b ＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.解法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0，2－3k )，S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋（－9k ）＋4－k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2（－9k ）·4－k ＝12×(12＋12)＝12，当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．∴△ABO 的面积的最小值为12，所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.已知△ABC 中，顶点A (4，5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l于点B ，交x 轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0，7)．易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝（4－0）2＋（－5－7）2＝410.§9.2 两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔____________，特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为____________．(2)垂直：如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔____________，特别地，若直线l 1：x ＝a ，直线l 2：y ＝b ，则l 1与l 2的关系为____________．2．两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 若方程组有惟一解，则两条直线__________，此解就是__________；若方程组无解，则两条直线____________，此时两条直线____________．3．距离公式(1)点到直线的距离：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ ．(2)两条平行直线间的距离：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝____________________． 4．过两直线交点的直线系方程 若已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ∈R ，这条直线可以是l 1，但不能是l 2)表示过l 1和l 2交点的直线系方程．自查自纠：1．(1)k 1＝k 2 l 1∥l 2 (2)k 1k 2＝－1 l 1⊥l 2 2．相交 交点的坐标 无公共点 平行3．(1)||Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2(2)||C 1－C 2A 2＋B 2直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解：由题意知直线l 的斜率是－32，因此直线l的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.故选A.(2015·北京海淀区期末)已知直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，则实数m 的值为( )A ．－12 B.12C ．2D ．－2解：∵直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y＝0平行，∴m1＝－12≠0，解得m ＝－12.故选A.(2015·浙江名校联考)已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若a ＝－1，则l 1：x －3y －2＝0，l 2：－3x －y －1＝0，显然两条直线垂直；若l 1⊥l 2，则(a －2)＋a (a －2)＝0，解得a ＝－1或a ＝2，因此，“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．故选A.(2015·武汉调研)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是____________．解：设直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线为l 2，则l 2的斜率为－12，且过直线x －2y ＋1＝0与x ＝1的交点(1，1)，则l 2的方程为y －1＝－12(x －1)，即x＋2y －3＝0.故填 x ＋2y －3＝0. 已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为____________．解：设l 1的方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋1|2＝2，解得c ＝1或c ＝－3.∴直线l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.故填x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.类型一 两条直线平行、重合或相交 已知两条直线：l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交； (2)平行； (3)重合．解：联立两直线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＋6＝0，（m －2）x ＋3y ＋2m ＝0.当m ＝0或m ＝2时两直线相交；当m ≠0且m ≠2时，此时A 1A 2＝1m －2，B 1B 2＝m 3，C 1C 2＝62m， 当A 1A 2＝B 1B 2时，即1m －2＝m3，解得m ＝－1或m ＝3；当A 1A 2＝C 1C 2时，即1m －2＝62m，解得m ＝3. (1)当m ≠－1且m ≠3时，A 1A 2≠B 1B 2，方程组有唯一一组解．∴l 1与l 2相交．(2)当m ＝－1时，A 1A 2＝B 1B 2且A 1A 2≠C 1C 2，方程组无解．∴l 1与l 2平行．(3)当m ＝3时，A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，方程组有无穷多组解．∴l 1与l 2重合．点拨：由直线的一般式直接判断两条直线是否平行时，可直接应用本题的结论，即：若A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，则直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行，这是一个很实用的结论，但要注意分母不能为零．当实数m 为何值时，三条直线l 1：3x＋my －1＝0，l 2：3x －2y －5＝0，l 3：6x ＋y －5＝0不能围成三角形．解：当m ＝0时，直线l 1，l 2，l 3可以围成三角形，要使直线l 1，l 2，l 3不能围成三角形，则m ≠0.记l 1，l 2，l 3三条直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1＝－3m ，k 2＝32，k 3＝－6.若l 1∥l 2，或l 1∥l 3，则k 1＝k 2＝32，或k 1＝k 3＝－6，解得m ＝－2或m ＝12；若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －5＝0，6x ＋y －5＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， l 2与l 3交于点(1，－1)，将点(1，－1)代入3x ＋my －1＝0，得m ＝2.∴当m ＝±2或12时，l 1，l 2，l 3不能围成三角形．类型二 两条直线垂直(1)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)，求a ，b 的值；(2)已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，若l 1⊥l 2，求α的值．解：(1)法一：由已知可得l 2的斜率k 2存在，且k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，得a ＝43(矛盾)． ∴此种情况不存在，∴k 2≠0， ∴k 1，k 2都存在．∵k 2＝1－a ，k 1＝a b ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即ab(1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 联立①②可得a ＝2，b ＝2.法二：∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即b ＝a 2－a .①又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.经验证，符合题意．故a ＝2，b ＝2.(2)∵A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件， ∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，α＝k π，k ∈Z .∴当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.点拨：判定两直线垂直的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1·k 2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论．设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.(3)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m－3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0，解得m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．故选A.类型三 对称问题已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标； (2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；(3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．解：(1)设A ′(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4，3)．又∵m ′经过点N (4，3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1，1)，N (4，3)．则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：设Q (x ，y )为l ′上任意一点， 则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为 Q ′(－2－x ，－4－y )，∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.点拨：(1)关于中心对称问题的处理方法：①若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1.②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在．(2)关于轴对称问题的处理方法：①点关于直线的对称．若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在l 上，且连接P 1P 2的直线垂直于l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．②直线关于直线的对称．此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为____________．解：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线．点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上．设A 1(x 1，y 1)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，∴A 1(0，3)．同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1)． ∴BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0. 故填2x －y ＋3＝0.类型四 距离问题(1)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是____________．(2)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是____________．解：(1)由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15， 解之得0≤a ≤10，∴a 的取值范围是[0，10]．故填[0，10]．(2)依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（－2）2＝21313，解得c ＝2或－6. 故填2或－6.点拨：距离的求法：(1)点到直线的距离．可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行直线间的距离．①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.直线l 经过点P (2，－5)且与点A (3，－2)和点B (－1，6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．解：当直线l 与x 轴垂直时，此时直线l 的方程为x ＝2，点A 到直线l 的距离为d 1＝1，点B 到直线l 的距离为d 2＝3，不符合题意，故直线l 的斜率必存在．设直线l 的方程为y ＋5＝k (x －2)，即kx －y －2k －5＝0，则点A (3，－2)到直线l 的距离d 1＝|3k －（－2）－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1，点B (－1，6)到直线l 的距离d 2＝|－k －6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1，∵d 1∶d 2＝1∶2，∴|k －3||3k ＋11|＝12，解得k ＝－1或k ＝－17.∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0和17x ＋y －29＝0.类型五 直线系及其应用求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R )恒过定点，并求出定点坐标．证法一：令m ＝0，则直线方程为3x ＋y ＋1＝0，①再令m ＝1时，直线方程为6x ＋y ＋4＝0，②联立①②，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. 将点A (－1，2)代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中，(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0， 故点A (－1，2)的坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A .证法二：将动直线方程按m 降幂排列整理得， m 2(x －y ＋3)＋m (2x ＋y )＋3x ＋y ＋1＝0，① 不论m 为何实数，①式恒为零，∴有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故动直线恒过点(－1，2)．点拨：此题属于数学中恒成立问题，所以证法一是先赋给m 两个特殊值得两条直线，那么这两条直线的交点就是那个定点，但m 只是取两个特殊值，是否m ∈R 时都成立，则要进行代入检验；证法二是将动直线方程按m 的降幂排列，由于∀m ∈R 恒成立，所以得关于x ，y 的方程组，解此方程组便得定点坐标．直线系也称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合．常见直线系方程有：(1)过定点(x 1，y 1)的直线系：y －y 1＝k (x －x 1)和x ＝x 1.(2)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )．(3)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Bx －Ay ＋λ＝0.(4)过A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．已知直线l ：(a ＋b )x ＋(a －b )y ＋2＝0，其中a ，b 满足3a －b ＋2＝0.求证：直线l 恒过一定点．证明：由已知得b ＝3a ＋2，则直线l 的方程可化为(4a ＋2)x －(2a ＋2)y ＋2＝0，整理得 a (4x －2y )＋2x －2y ＋2＝0. 令⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝0，2x －2y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∵点(1，2)恒满足直线l 的方程，∴直线l 恒过定点(1，2)．1．当直线的方程中含有字母参数时，不仅要考虑斜率存在与不存在的情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．两条直线的位置关系一般用斜率和截距来判定，但当直线方程用一般式给出且系数中有参数时，往往需要繁琐地讨论．但也可以这样避免：设两直线为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则两直线垂直的条件为⎝ ⎛⎭⎪⎫－A 1B 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A 2B 2＝－1，由此得A 1A 2＋B 1B 2＝0，但后者适用性更强，因为当B 1＝0或B 2＝0时前者不适用但后者适用．3．运用直线系方程，有时会使解题更为简单快捷，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.4．运用公式d ＝||C 1－C 2A 2＋B 2求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中x ，y 的系数化成相等的系数，求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离，即在一条直线上任取一点(如直线与坐标轴的交点)，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离．这一方法体现了化归思想的应用．5．对称主要分为中心对称和轴对称两种，中心对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决．1．过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0解：由点斜式得所求直线方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.故选A.2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解：设所求直线方程为x －2y ＋c ＝0，将(1，0)代入得c ＝－1.∴所求直线方程为x －2y －1＝0.故选A.3．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( )A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)解：∵直线l 1与l 2关于点(2，1)对称，且直线l 1过点(4，0)，∴直线l 2必过点(4，0)关于点(2，1)的对称点(0，2)．故选B.4．(2013·长春调研)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A .1710B .175C ．8D ．2 解：由题意得36＝4m ≠－314，解得m ＝8.∴直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0.∴两平行线间的距离为d ＝||－3－732＋42＝2.故选D. 5．已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，l 2：2x ＋y －1＝0，l 3：x ＋ny ＋1＝0.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8解：∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8.又∵l 2⊥l 3.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2.∴m ＋n ＝－10.故选A.6．(2015·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解：∵点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，∴Ax 0＋By 0＋C ≠0，∴直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P .又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行．故选D.7．过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，且与直线2x ＋3y ＝0垂直的直线方程为____________．解：设与直线2x ＋3y ＝0垂直的直线方程为3x －2y ＋m ＝0，由于其过圆心(－1，2)，所以有3×(－1)－2×2＋m ＝0，得m ＝7，所求直线方程为3x －2y ＋7＝0.故填3x －2y ＋7＝0.8．直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为____________．解法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，解得k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y－5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.解法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1，4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.故填x ＋3y －5＝0或x ＝－1.9．已知两直线l 1：x ＋y sin θ－1＝0和l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，试求θ的值，使得：(1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解：(1)由12sin θ＝sin θ≠－11，得sin θ＝±22. 由sin θ＝±22，得θ＝k π±π4(k ∈Z )． ∴当θ＝k π±π4(k ∈Z )时，l 1∥l 2. (2)由2sin θ＋sin θ＝0，得sin θ＝0，θ＝k π(k ∈Z )，∴当θ＝k π(k ∈Z )时，l 1⊥l 2.10求直线l ：x －2y ＋6＝0关于点M (－1，1)对称的直线l ′的方程． 解法一：取l 上的两点A (0，3)，B (－6，0)，求出它们关于点M 的对称点，A ′(－2，－1)， B ′(4，2)，再用两点式求出l ′的方程为x －2y ＝0.解法二：设点P ′(x ′，y ′)为所求直线l ′上的任意一点，则点P ′关于点M 在直线l 上的对称点为P (x ，y )．由⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x ＋x ′2，1＝y ＋y ′2得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－x ′，y ＝2－y ′， 代入直线l 的方程得：(－2－x ′)－2(2－y ′)＋6＝0，得x ′－2y ′＝0，即x －2y ＝0为所求直线l ′的方程．11．设一直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程．解法一：设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点分别为C (x C ，y C )，D (x D ，y D )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x C ＝1，y C＝0， ∴C (1，0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝53，y D ＝23，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，23.∴CD 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. 又l 过点(－1，1)，由两点式得l 的方程为： y －131－13＝x －43－1－43，即2x ＋7y －5＝0. 解法二：∵与l 1，l 2平行且与它们距离相等的直线方程为：x ＋2y ＋－1－32＝0，即x ＋2y －2＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y －1＝0 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.(以下同解法一)解法三：过中点且与两直线平行的直线方程为x ＋2y －2＝0，设所求方程为：(x －y －1)＋λ(x ＋2y －2)＝0，① ∵(－1，1)在此直线上，∴－1－1－1＋λ(－1＋2－2)＝0，解得λ＝－3，代入①得2x ＋7y －5＝0. 解法四：设所求直线与两平行线l 1，l 2的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋2y 1－1＝0，x 2＋2y 2－3＝0得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)－4＝0.①又AB 的中点在直线x －y －1＝0上，。

平面解析几何必修2 第2章 平面解析几何初步§2.1直线与方程考纲要求：①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．④掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．⑥掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．§2.1.1 直线的斜率重难点：对直线的倾斜角、斜率的概念的理解能牢记过两点的斜率公式并掌握斜率公式的推导．经典例题：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角．当堂练习：1．过点(3, 0)和点(4,3)的斜率是（ ）A ．3B ．-3C ．33D ． -332．过点(3, 0)和点(0, 3)的倾斜角是（ ）A ．045B ．-045C ．0135D ．- 01353．过点P(－2, m)和Q(m, 4)的直线斜率等于1，那么m 的值等于 （ ）A ．1或3B ．4C ．1D ．1或44．在直角坐标系中，直线y= -3x+1的倾斜角为（ ）A ．0120B ．-030C ．060D ．- 0605．过点(-3, 0)和点(-4,3)的倾斜角是（ ）A ．030B ．0150C ．060D ．01206．如图，直线l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，则有（ ）A ．k1<k2<k3B ．k3<k1<k2C ．k3<k2<k1D ．k1<k3<k27．若两直线a,b 的倾斜角分别为21αα，，则下列四个命题中正确的是（ ）A ． 若21αα<, 则两直线斜率k1< k2B ． 若21αα=, 则两直线斜率k1= k2C ．若两直线斜率k1< k2, 则21αα<D ．若两直线斜率k1= k2, 则21αα=8．下列命题：（1）若点P （x1,y1）,Q (x2,y2), 则直线PQ 的斜率为1212x x y y k --=； （2）任意一条直线都存在唯一的倾斜角，但不一定都存在斜率；（3）直线的斜率k 与倾斜角α之间满足αtan =k ；（4）与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为00．以上正确的命题个数是（ ）A ．0个B ． 1个C ． 2个D ．3个9．若直线1x =的倾斜角为α，则α（ ）A ．等于0B ．等于4πC ．等于2πD ．不存在10．已知θ∈R ，则直线sin 10x θ-+=的倾斜角的取值范围是（ ）A ．[0°，30°]B ．[)150,180 C ．[0°，30°]∪[)150,180 D ．[30°，150°] 11．设()f x 为奇函数，且在(),0-∞内是减函数。

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.2 两条直线的位置关系考试要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 2．三种距离公式 (1)两点间的距离公式①条件：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． ②结论：|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.③特例：点P (x ，y )到原点O (0,0)的距离|OP |＝x 2＋y 2(2)点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行直线间的距离两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.常用结论 1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )．(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.2．五种常用对称关系(1)点(x ，y )关于原点(0,0)的对称点为(－x ，－y )．(2)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y )．(3)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． (4)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x ,2b －y )． (5)点(x ，y )关于点(a ，b )的对称点为(2a －x ,2b －y )． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( × ) (3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( × )(4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ ) 教材改编题1．点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为( ) A ．2 5B.55C. 5D.255答案 C解析 点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|2－10＋3|1＋4＝ 5.2．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．－2或－3答案 C解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2(m ≠0)，故m＝2或－3.3．直线l 1：2x ＋y －1＝0和l 2：x －2y ＋7＝0的交点的坐标为________． 答案 (－1,3)解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，x －2y ＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，所以两条直线交点的坐标为(－1,3).题型一 两条直线的平行与垂直例1 (1)(2022·汉中模拟)已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0(a ∈R )，则“e a ＝1e ”是“l 1∥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当l 1∥l 2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2＝0，2a －1≠0，解得a ＝－1或a ＝2. 而由e a ＝1e，解得a ＝－1，所以“e a ＝1e”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件．(2)(2022·长春模拟)已知直线l 经过点(1，－1)，且与直线2x －y －5＝0垂直，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．x －2y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．2x －y －3＝0答案 C解析 ∵直线l 与直线2x －y －5＝0垂直， ∴设直线l 的方程为x ＋2y ＋c ＝0， ∵直线l 经过点(1，－1)， ∴1－2＋c ＝0，即c ＝1. 直线l 的方程为x ＋2y ＋1＝0.教师备选1．“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2，∴“m ＝3”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．2．已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23答案 D解析 由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点．当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行时，m ＝23或m ＝－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23.思维升华 判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．跟踪训练1 (1)(2022·洛阳模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点A (2,0)，B (1,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为( )A ．x －2y －4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．4x ＋2y ＋1＝0D ．2x －4y ＋1＝0答案 D解析 由题设，可得k AB ＝2－01－2＝－2， 且AB 的中点为⎝⎛⎭⎫32，1，∴AB 垂直平分线的斜率k ＝－1k AB ＝12，故AB 的垂直平分线方程为 y ＝12⎝⎛⎭⎫x －32＋1＝x 2＋14， ∵AC ＝BC ，则△ABC 的外心、重心、垂心都在AB 的垂直平分线上， ∴△ABC 的欧拉线的方程为2x －4y ＋1＝0.(2)已知两直线l 1：x ＋y sin α＋1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则α＝________. 答案 k π±π4，k ∈Z解析 由A 1B 2－A 2B 1＝0， 得1－2sin 2α＝0， 所以sin α＝±22.又A 1C 2－A 2C 1≠0，所以1－2sin α≠0，即sin α≠12.所以α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.题型二 两直线的交点与距离问题例2 (1)两条平行直线2x －y ＋3＝0和ax ＋3y －4＝0间的距离为d ，则a ，d 的值分别为( ) A ．a ＝6，d ＝63 B ．a ＝－6，d ＝53 C ．a ＝6，d ＝53D ．a ＝－6，d ＝63答案 B解析 由题知2×3＝－a ，解得a ＝－6， 又－6x ＋3y －4＝0可化为2x －y ＋43＝0，∴d ＝⎪⎪⎪⎪3－435＝53. (2)已知直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________________． 答案 4x －y －2＝0或x ＝1解析 若所求直线的斜率存在，则可设其方程为 y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0， 由题设有|2k －3－k ＋2|1＋k 2＝|0＋5－k ＋2|1＋k 2，即|k －1|＝|7－k |，解得k ＝4. 此时直线方程为4x －y －2＝0.若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x ＝1，满足题设条件． 故所求直线的方程为4x －y －2＝0或x ＝1. 教师备选1．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．答案 4x ＋3y －6＝0解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.2．直线l 1经过点(3,0)，直线l 2经过点(0,4)，且l 1∥l 2，d 表示l 1和l 2之间的距离，则d 的取值范围是________． 答案 (0,5]解析 当直线l 1，l 2都与过(3,0)，(0,4)两点的直线垂直时， d max ＝32＋42＝5；当直线l 1和l 2都经过(3,0)，(0,4)两点时，两条直线重合． 所以0<d ≤5.思维升华 利用距离公式应注意的点(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |. (2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x ，y 的系数化为相等．跟踪训练2 (1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910 D.295 答案 C解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(2)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析 由y ＝k (x ＋1)可知直线过定点P (－1,0)，设A (0，－1)，当直线y ＝k (x ＋1)与AP 垂直时，点A 到直线y ＝k (x ＋1)的距离最大， 即为|AP |＝ 2. 题型三 对称问题命题点1 点关于点中心对称例3 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________． 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a ,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 命题点2 点关于直线对称例4 若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________. 答案345解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的垂直平分线， 于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.命题点3 线关于线对称例5 直线2x －4y －1＝0关于x ＋y ＝0对称的直线方程为( ) A ．4x －2y －1＝0 B ．4x －2y ＋1＝0 C ．4x ＋2y ＋1＝0 D ．4x ＋2y －1＝0答案 A解析 设直线2x －4y －1＝0上一点P (x 0，y 0)关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为P ′(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0＝1，x ＋x 02＋y ＋y 02＝0，整理可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－y ，y 0＝－x ，∴－2y ＋4x －1＝0，即直线2x －4y －1＝0关于x ＋y ＝0对称的直线方程为4x －2y －1＝0. 教师备选1.在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图所示)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 的长度为( )A ．2B ．1 C.83 D.43答案 D解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B (4,0)，C (0,4)，A (0,0)，则直线BC 的方程为x ＋y －4＝0.设P (t ,0)(0<t <4)，可得点P 关于直线BC 的对称点P 1的坐标为(4,4－t )，点P 关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－t ,0)，根据反射定律可知直线P 1P 2就是光线RQ 所在的直线，由P 1，P 2两点的坐标可得直线P 1P 2的方程为y ＝4－t 4＋t ·(x ＋t )．设△ABC 的重心为G ，易知G ⎝⎛⎭⎫43，43.因为重心G ⎝⎛⎭⎫43，43在光线RQ 上，所以43＝4－t 4＋t ·⎝⎛⎭⎫43＋t ，得t ＝43(t ＝0舍去)，即|AP |＝43.2．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________． 答案 2x －y ＋3＝0解析 易得A 不在l 1和l 2上，因此l 1，l 2为∠B ，∠C 的平分线，所以点A 关于l 1，l 2的对称点在BC 边所在的直线上，设点A 关于l 1的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于l 2的对称点为A 2(x 2，y 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧4＋x 12－y 1－12－1＝0，y 1＋1x 1－4·1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)，又易得点A 关于l 2的对称点A 2的坐标为(－2，－1)， 所以BC 边所在直线的方程为y －3－1－3＝x －0－2－0，即2x －y ＋3＝0.思维升华 对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．跟踪训练3 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程． 解 (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)方法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，Q (4,3)，则P ，Q 关于点A (－1，－2)的对称点P ′，Q ′均在直线l ′上， 易得P ′(－3，－5)，Q ′(－6，－7)， 再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 方法二 ∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)． ∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式， 得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9，∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.课时精练1．过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0答案 A解析 由题意可设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0.2．过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点，且过原点的直线的方程为( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝0 D ．3x ＋19y ＝0答案 D解析 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，可得直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－197，37，又所求直线过原点，所以所求的直线方程为y ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.方法二 根据题意可设所求的直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，因为此直线过原点，所以4＋5λ＝0，解得λ＝－45，所以所求直线的方程为x －3y ＋4－45(2x ＋y ＋5)＝0，即3x ＋19y＝0.3．(2022·漳州质检)已知a 2－3a ＋2＝0，则直线l 1：ax ＋(3－a )y －a ＝0和直线l 2：(6－2a )x ＋(3a －5)y －4＋a ＝0的位置关系为( ) A ．垂直或平行 B ．垂直或相交 C ．平行或相交 D ．垂直或重合答案 D解析 因为a 2－3a ＋2＝0，所以a ＝1或a ＝2. 当a ＝1时，l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：4x －2y －3＝0， k 1＝－12，k 2＝2，所以k 1·k 2＝－1 ，则两直线垂直；当a ＝2时，l 1：2x ＋y －2＝0，l 2：2x ＋y －2＝0，则两直线重合． 4．点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为( ) A ．(6,3) B ．(3，－6) C ．(－6，－3) D ．(－6,3) 答案 C解析 设点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0的对称点为Q (a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －5a －2·－1＝－1，a ＋22＋b ＋52＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－3，即P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为(－6，－3)．5．已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．6D ．1或2 答案 C解析 ∵直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0的斜率都存在，且l 1∥l 2， ∴k 1＝k 2，即－a2＝3－a ，解得a ＝6.6．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)，若直线l 上存在点P 使得|P A |＋|PB |最小，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－3) B ．(－2,3) C ．(2,3) D ．(－2,2)答案 B解析 根据题意画出大致图象，如图．设点A 关于直线x －2y ＋8＝0的对称点为A 1(m ，n )． 则有⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2·12＝－1，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8.故A 1(－2,8)．此时直线A 1B 的方程为x ＝－2.所以当点P 是直线A 1B 与直线x －2y ＋8＝0的交点时，|P A |＋|PB |最小，将x ＝－2代入x －2y ＋8＝0，得y ＝3，故点P 的坐标为(－2,3)．7．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2答案 A 解析 ∵l 1∥l 2，∴AB 的中点M 的轨迹是平行于l 1，l 2的直线，且到l 1，l 2的距离相等，易求得M 所在直线的方程为x ＋y －6＝0.∴中点M 到原点的最小距离为原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即62＝3 2. 8．(2022·苏州模拟)已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论不正确的是( )A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0,1)和B (－1,0)C ．不论a 为何值，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，O 为坐标原点，则|MO |的最大值是 2 答案 C解析 对于A ，a ×1＋(－1)×a ＝0恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确； 对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立， 所以l 1恒过定点A (0,1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1,0)，故B 正确； 对于C ，在l 1上任取点()x ，ax ＋1，其关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为()－ax －1，－x ， 代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不恒等于0，故C 不正确；对于D ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1a 2＋1，y ＝－a ＋1a 2＋1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋1，－a ＋1a 2＋1， 所以|MO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a 2＋12＝2a 2＋1≤2， 所以|MO |的最大值是2，故D 正确．9．(2022·邯郸模拟)直线l 1：x ＋ay －2＝0(a ∈R )与直线l 2：y ＝34x －1平行，则a ＝________，l 1与l 2的距离为________． 答案 －43 25解析 由题可知直线l 1的斜率为－1a (a ≠0)，直线l 2的斜率为34，所以－1a ＝34，解得a ＝－43，则直线l 1：x －43y －2＝0，即3x －4y －6＝0，直线l 2：y ＝34x －1，即3x －4y －4＝0，所以它们之间的距离为d ＝|－6＋4|32＋－42＝25. 10．直线3x －4y ＋5＝0关于直线x ＝1对称的直线的方程为________． 答案 3x ＋4y －11＝0解析 直线3x －4y ＋5＝0与x ＝1的交点坐标为(1,2)，又直线3x －4y ＋5＝0的斜率为34，所以关于直线x ＝1对称的直线的斜率为－34，故所求直线的方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0.11．已知直线l 1：ax ＋y ＋3a －4＝0，则原点O 到l 1的距离的最大值是________． 答案 5解析 直线l 1：ax ＋y ＋3a －4＝0等价于a (x ＋3)＋y －4＝0， 则直线过定点A (－3,4)，当原点到l 1的距离最大时，满足OA ⊥l 1，此时原点到l 1的距离的最大值为 |OA |＝－32＋42＝5.12．已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1与l 2之间的距离最大时，直线l 1的方程是____________． 答案 x ＋2y －3＝0解析 当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2之间的距离最大． 因为A (1,1)，B (0，－1)， 所以k AB ＝－1－10－1＝2， 所以两平行直线的斜率k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.13．(2022·南通调研)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线y ＝x ＋1x (x >0)上，则点P 到直线3x －4y －2＝0的距离的最小值为( ) A.45 B ．1 C.65 D.75 答案 C解析 设点P (x 0，y 0)， y ＝f (x )＝x ＋1x(x >0)，则f ′(x 0)＝1－1x 20，点P 与直线3x －4y －2＝0的最小距离，即为f (x )在点P 处的切线的斜率等于直线3x －4y －2＝0的斜率时的情况，即满足1－1x 20＝34，解得x 0＝2，所以y 0＝2＋12＝52，所以点P ⎝⎛⎭⎫2，52， 所以点P 到直线3x －4y －2＝0的距离的最小值为d ＝⎪⎪⎪⎪2×3－4×52－242＋32＝65.14．若两条平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是25，则直线l 1关于直线l 2对称的直线方程为( ) A ．x －2y －13＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．x －2y －6＝0答案 A解析 因为直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0平行， 所以n ＝－2×2＝－4，又两条平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是25， 所以|2m ＋6|4＋16＝25，解得m ＝7，即直线l 1：x －2y ＋7＝0，l 2：x －2y －3＝0，设直线l 1关于直线l 2对称的直线方程为x －2y ＋c ＝0， 则|－3－7|5＝|－3－c |5，解得c ＝－13， 故所求直线方程为x －2y －13＝0.15．定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax 0＋by 0＋c a 2＋b 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2.以下命题正确的是( ) A ．若d 1＝d 2＝1，则直线P 1P 2与直线l 平行 B ．若d 1＝1，d 2＝－1，则直线P 1P 2与直线l 垂直 C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直 D ．若d 1·d 2≤0，则直线P 1P 2与直线l 相交答案 A解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 对于A ，若d 1＝d 2＝1，则ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝a 2＋b 2，直线P 1P 2与直线l 平行，正确；对于B ，点P 1，P 2在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等，直线P 1P 2不一定与l 垂直，错误； 对于C ，若d 1＝d 2＝0，满足d 1＋d 2＝0， 即ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝0，则点P 1，P 2都在直线l 上，所以此时直线P 1P 2与直线l 重合，错误； 对于D ，若d 1·d 2≤0，即(ax 1＋by 1＋c )(ax 2＋by 2＋c )≤0，所以点P 1，P 2分别位于直线l 的两侧或在直线l 上，所以直线P 1P 2与直线l 相交或重合，错误．16．(2022·武汉调研)台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD ，AB ＝2AD ，现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C 的球袋中，则tan α的值为( )A.16或12B.12或1C.16或32 D ．1或32答案 C解析 如图1，作A 关于DC 的对称点为E ，D 关于AB 的对称点为G ，C 关于AB 的对称点为F ，连接GF ，EF ， 由题可得tan α＝EG GF ＝3AD 2AD ＝32.图1 图2 如图2，作A 关于BC 的对称点为G ，B 关于AD 的对称点为F ，C 关于AD 的对称点为E ， 连接EF ，EG ，由题可得tan α＝EF GF ＝AD6AD ＝16.综上，tan α的值为16或32.。

第九章 平面解析几何第4课时 圆 的 方 程第十章 ⎝ ⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）119～121页 （理）124～126页1. 方程x 2＋y 2－6x ＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________． 答案：(3，0) 3解析：(x －3)2＋y 2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.2. 以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是_________．答案：(x －1)2＋(y －2)2＝25解析：设P(x ，y)是所求圆上任意一点．∵ A、B 是直径的端点，∴ PA →²PB →＝0.又PA →＝(－3－x ，－1－y)，PB →＝(5－x ，5－y)．由PA →²PB →＝0 (－3－x)²(5－x)＋(－1－y)(5－y)＝0 x 2－2x ＋y 2－4y －20＝0 (x －1)2＋(y －2)2＝25.3. (必修2P 111练习8改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14∪(1，＋∞) 解析：由(4m)2＋4－4³5m＞0得m ＜14或m ＞1.4. (必修2P 102习题1(3)改编)圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为______________．答案：x 2＋(y －2)2＝1解析：设圆的方程为x 2＋(y －b)2＝1，此圆过点(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2.故所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.5. (必修2P 112习题8改编)点(1，1)在圆(x －a)2＋(y ＋a)2＝4内，则实数a 的取值范围是________．答案：(－1，1)解析：∵ 点(1，1)在圆的内部，∴ (1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴ －1＜a ＜1.1. 圆的标准方程(1) 以(a ，b)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2．(2) 特殊的，x 2＋y 2＝r 2(r>0)的圆心为(0，0)，半径为r ． 2. 圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. (1) 当D 2＋E 2－4F>0时，方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 22(2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2；(3) 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形． 3. 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1) 设所求圆的标准方程或圆的一般方程；(2) 根据条件列出关于a ，b ，r 的方程组或关于D ，E ，F 的方程组； (3) 求出a ，b ，r 或D ，E ，F 的值，从而确定圆的方程． 4. 点与圆的位置关系点M(x 0，y 0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系：(1) 若M(x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2>r 2．(2) 若M(x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2．(3) 若M(x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2<r 2．[备课札记]题型1 圆的方程例1 已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆． (1) 求实数m 的取值范围； (2) 求该圆半径r 的取值范围； (3) 求圆心的轨迹方程．解：(1) 方程表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F>0，即有4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)>0 －17<m<1.(2) 半径r ＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫m －372＋167≤477 0<r ≤477. (3) 设圆心坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3，y ＝4m 2－1，消去m ，得y ＝4(x －3)2－1.由于－17<m<1， 所以207<x<4.故圆心的轨迹方程为y ＝4(x －3)2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫207<x<4.变式训练已知t∈R ，圆C ：x 2＋y 2－2tx －2t 2y ＋4t －4＝0.(1) 若圆C 的圆心在直线x －y ＋2＝0上，求圆C 的方程；(2) 圆C 是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．解：(1) 配方得(x －t)2＋(y －t 2)2＝t 4＋t 2－4t ＋4，其圆心C(t ，t 2)．依题意t －t 2＋2＝0 t ＝－1或2.即x 2＋y 2＋2x －2y －8＝0或x 2＋y 2－4x －8y ＋4＝0为所求方程．(2) 整理圆C 的方程为(x 2＋y 2－4)＋(－2x ＋4)t ＋(－2y)²t 2＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，－2x ＋4＝0，－2y ＝0⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0. 故圆C 过定点(2，0)．题型2 求圆的方程 例2 求过两点A(1，4)、B(3，2)且圆心在直线y ＝0上的圆的标准方程，并判断点P(2，4)与圆的关系．解：(解法1)(待定系数法)设圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2. ∵ 圆心在y ＝0上，故b ＝0.∴ 圆的方程为(x －a)2＋y 2＝r 2. ∵ 该圆过A(1，4)、B(3，2)两点，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋16＝r 2，（3－a ）2＋4＝r 2，解之得a ＝－1，r 2＝20. ∴ 所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20.(解法2)(直接求出圆心坐标和半径)∵ 圆过A(1，4)、B(3，2)两点，∴ 圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上．∵ k AB ＝4－21－3＝－1，故l 的斜率为1，又AB 的中点为(2，3)，故AB 的垂直平分线l 的方程为y －3＝x －2即x －y ＋1＝0.又知圆心在直线y ＝0上，故圆心坐标为C(－1，0)．∴ 半径r ＝|AC|＝（1＋1）2＋42＝20.故所求圆的方程为(x ＋1)2＋y2＝20.又点P(2，4)到圆心C(－1，0)的距离为d ＝|PC|＝（2＋1）2＋42＝25>r.∴ 点P 在圆外．备选变式（教师专享）已知圆C 的圆心与点P(－2，1)关于直线y ＝x ＋1对称，直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且||AB ＝6，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，则圆心C(a ，b)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋2＝－1，b ＋12＝a －22＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.故C(0，－1)到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝||－4－115＝3.∵AB ＝6，∴r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝18，∴圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝18.例3 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数f(x)＝x 2＋2x ＋b(x∈R )与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.(1) 求实数b 的取值范围； (2) 求圆C 的方程；(3) 圆C 是否经过定点(与b 的取值无关)？证明你的结论．解：(1) 令x ＝0，得抛物线与y 轴的交点是(0，b)，令f(x)＝0，得x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.(2) 设所求圆的一般方程为x 2＋ y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ，令x ＝0，得y 2＋ Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入得E ＝－b －1，所以圆C 的方程为x 2＋ y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3) 圆C 必过定点(0，1)，(－2，1)．证明：将(0，1)代入圆C 的方程，得左边＝ 02＋ 12＋2³0－(b ＋1)³1＋b ＝0，右边＝0，所以圆C 必过定点(0，1)；同理可证圆C 必过定点(－2，1)．备选变式（教师专享）已知直线l 1、l 2分别与抛物线x 2＝4y 相切于点A 、B ，且A 、B 两点的横坐标分别为a 、b(a 、b∈R )．(1) 求直线l 1、l 2的方程；(2) 若l 1、l 2与x 轴分别交于P 、Q ，且l 1、l 2交于点R ，经过P 、Q 、R 三点作圆C. ① 当a ＝4，b ＝－2时，求圆C 的方程；② 当a ，b 变化时，圆C 是否过定点？若是，求出所有定点坐标；若不是，请说明理由．解：(1) A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 24，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，b 24，记f(x)＝x 24，f ′(x)＝x 2，则l 1的方程为y －a 24＝a 2(x －a)，即y ＝a 2x －a 24；同理得l 2的方程为y ＝b 2x －b24.(2) 由题意a≠b 且a 、b 不为零，联立方程组可求得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，ab .∴经过P 、Q 、R 三点的圆C 的方程为 x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋b 2＋(y －1)(y －ab)＝0， 当a ＝4，b ＝－2时，圆C 的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －8＝0， 显然当a≠b 且a 、b 不为零时，圆C 过定点F(0，1)． 题型3 圆与方程(轨迹)例4 如图，已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C ：x 2＋y 2＝1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于 2.求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么．解：设直线 MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是P ＝{M||MN|＝2|MQ|}.因为圆的半径|ON|＝1，所以|MN|2＝|MO|2－1.设点M 的坐标为 (x ，y)，则x 2＋y 2－1＝2（x －2）2＋y 2，整理得(x －4)2＋y 2＝7. 它表示圆，该圆圆心的坐标为(4，0)，半径为7. 备选变式（教师专享）如图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN(M 、N 分别为切点)，使得PM ＝2PN ，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O 1(－2，0)，O 2(2，0)．由已知PM ＝2PN ，得PM 2＝2PN 2.因为两圆的半径均为1，所以PO 21 －1 ＝ 2(PO 22 －1)．设P(x ，y)，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，即(x －6)2＋y 2＝33,所以所求轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33(或x 2＋y 2－12x ＋3＝0)． 题型4 与圆有关的最值问题例5 P(x ，y)在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，试求x 2＋y 2的最小值．解：由C(1，1)得OC ＝2，则OP min ＝2－1，即(x 2＋y 2)min ＝2－1.所以x 2＋y 2的最小值为(2－1)2＝3－2 2.变式训练已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，则2x －y 的最大值为________，最小值为________．答案：5＋ 5 5－ 5解析：令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b与圆相切时，b 取得最值．由|2³2＋1－b|5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5.1. 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1，0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为________．答案：x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y±332＝43解析：由题可知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b)，半径为r ，则rsin π3＝1，rcos π3＝|b|，解得r ＝23，|b|＝33，即b ＝±33.故圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y±332＝43.2. 过点P(1，1)的直线，将圆形区域{(x ，y)|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．答案：x ＋y －2＝0解析：当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴ 直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.3. 已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．答案：5解析：设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为d 1、d 2，垂足分别为E 、F ，则四边形OEMF 为矩形，则有d 21＋d 22＝3.由平面几何知识知|AC|＝24－d 21，|BD|＝24－d 22，∴ S 四边形ABCD ＝12|AC|²|BD|＝24－d 21²4－d 22≤(4－d 21)＋(4－d 22)＝8－(d 21＋d 22)＝5，即四边形ABCD 面积的最大值为5.4. 若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a>0，b>0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为________．答案：1解析：圆C 的圆心坐标为(－4，－1)，则有－4a －b ＋4＝0，即4a ＋b ＝4.所以ab ＝14(4ab)≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b 22＝14³⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝1.当且仅当a ＝12，b ＝2取得等号．5. 如图，已知点A(－1，0)与点B(1，0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连结BC 并延长至D ，使得CD ＝BC ，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．解：设动点P(x ，y)，由题意可知P 是△ABD 的重心．由A(－1，0)，B(1，0)，令动点C(x 0，y 0)，则D(2x 0－1，2y 0)，由重心坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y 2，y 0≠0，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49(y≠0)，故所求轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49(y≠0)．6. 已知圆M 过两点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1) 求圆M 的方程；(2) 设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ′、PB′是圆M 的两条切线，A ′、B′为切点，求四边形PA′MB′面积的最小值．解：(1) 设圆M 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（－1－b ）2＝r 2，（－1－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2.故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2) 由题知，四边形PA′MB′的面积为S ＝S △PA ′M ＋S △PB ′M ＝12|A ′M||PA ′|＋12|B ′M||PB ′|.又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA ′|＝|PB′|，所以S ＝2|PA ′|，而|PA′|＝|PM|2－|A′M|2＝|PM|2－4，即S ＝2|PM|2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM|的值最小，所以|PM|min ＝|3³1＋4³1＋8|32＋42＝3，所以四边形PA′MB′面积的最小值为S ＝2|PM|2－4＝232－4＝2 5.1. 圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P(1，3)处的切线方程为________． 答案：x －3y ＋2＝0解析：圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P 在圆上，设切线方程为y －3＝k(x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，所以|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33. 所以切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 2. 若方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆，求实数a 的取值范围，并求出半径最小的圆的方程．解：∵方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆，∴a ≠0.∴方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0可以写成x 2＋y 2－4（a －1）a x ＋4ay ＝0.∵D 2＋E 2－4F ＝16（a 2－2a ＋2）a 2>0恒成立， ∴a ≠0时，方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆． 设圆的半径为r ，则r 2＝4（a 2－2a ＋2）a 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －122＋1， ∴当1a ＝12即，a ＝2时，圆的半径最小，半径最小的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.3. 如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy ＝60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1、e 2分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量)，则P 点斜坐标为(x ，y)．(1) 若P 点斜坐标为(2，－2)，求P 到O 的距离|PO|；(2) 求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程． 解：(1) ∵P 点斜坐标为(2，－2)， ∴OP →＝2e 1－2e 2. ∴|OP →|2＝(2e 1－2e 2)2＝8－8e 1²e 2＝8－8³cos60°＝4. ∴|OP →|＝2，即|OP|＝2.(2) 设圆上动点M 的斜坐标为(x ，y)，则OM →＝x e 1＋y e 2.∴(x e 1＋y e 2)2＝1. ∴x 2＋y 2＋2xy e 1²e 2＝1.∴x 2＋y 2＋xy ＝1.故所求方程为x 2＋y 2＋xy ＝1.4. 已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，求该圆的方程．解：设圆P 的圆心为P(a ，b)，半径为r ，则点P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b|、|a|. 由题设知圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°，知圆P 截x 轴所得的弦长为2r.故2|b|＝2r ，得r 2＝2b 2，又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r 2＝a 2＋1，得2b 2－a 2＝1.又因为P(a ，b)到直线x －2y ＝0的距离为55，得d ＝|a －2b|5＝55，即有a －2b ＝±1，综上所述得⎩⎪⎨⎪⎧2b 2－a 2＝1a －2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧2b 2－a 2＝1，a －2b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.于是r 2＝2b 2＝2.所求圆的方程是(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2，或(x －1)2＋(y －1)2＝2.5. 已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A(－5，0)，直线l ：x －2y ＝0. (1) 求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2) 在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBPA为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．解：(1) 设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0，∵ 直线与圆相切，∴ |－b|22＋12＝3，得b ＝±35，∴ 所求直线方程为y ＝－2x±3 5. (2) (解法1)假设存在这样的点B(t ，0)，当P 为圆C 与x 轴左交点(－3，0)时，PB PA ＝|t ＋3|2；当P 为圆C 与x 轴右交点(3，0)时，PB PA ＝|t －3|8，依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得，t ＝－5(舍去)，或t ＝－95.下面证明点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为一常数． 设P(x ，y)，则y 2＝9－x 2，∴ PB 2PA 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋952＋y 2（x ＋5）2＋y 2＝x 2＋185x ＋8125＋9－x 2x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝ 1825（5x ＋17）2（5x ＋17）＝925， 从而PB PA ＝35为常数．(解法2)假设存在这样的点B(t ，0)，使得PB PA为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，∴ (x －t)2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入得，x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t)x ＋34λ2－t 2－9＝0对x∈[－3，3]恒成立，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)， 所以存在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0对于圆C上任一点P ，都有PB PA 为常数35.1. 利用待定系数法求圆的方程，关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组．2. 利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．3. 解决与圆有关的最值问题的常用方法(1) 形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为定点(a ，b)与圆上的动点(x ，y)的斜率的最值问题；(2) 形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；(3) 形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．请使用课时训练（A）第4课时（见活页）.[备课札记]。

第九章 平面解析几何第9课时 抛 物 线第十章 ⎝ ⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）134～136页 （理）140～142页1. 已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是________． 答案：x 2＝－12y解析：∵ p2＝3，∴ p ＝6，∴ x 2＝－12y.2. 抛物线y 2＝－8x 的准线方程是________． 答案：x ＝2解析：∵ 2p ＝8，∴ p ＝4，故所求准线方程为x ＝2.3. 抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是________．答案：－18解析：抛物线的标准方程为x 2＝1a y.则a ＜0且2＝－14a ，得a ＝－18.4. (选修11P 44习题2改编)抛物线y 2＝4x 上一点M 到焦点的距离为3，则点M 的横坐标x ＝________．答案：2解析：∵ 2p ＝4，∴ p ＝2，准线方程x ＝－1.由抛物线定义可知，点M 到准线的距离为3，则x ＋1＝3，即x ＝2.5. 已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a ＞0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．答案：y 2＝8x解析：依题意得，OF ＝a 4，又直线l 的斜率为2，可知AO ＝2OF ＝a2，△AOF 的面积等于12·AO ·OF ＝a216＝4，则a 2＝64.又a ＞0，所以a ＝8，该抛物线的方程是y 2＝8x. 1. 抛物线的定义平面内到一个定点F 和一条定直线l(F 不在l 上)距离相等_的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2. 抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示)题型1求抛物线的基本量例1抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是________．答案：4解析：由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为4.备选变式（教师专享）抛物线y 2＝－8x 的准线方程是________． 答案：x ＝2解析：∵2p ＝8，∴p ＝4，准线方程为x ＝2. 题型2 求抛物线的方程例2 (选修11P 44习题5改编)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线2x －y －4＝0上，求抛物线的标准方程．解：直线2x －y －4＝0与x 轴的交点是(2，0)，与y 轴的交点是(0，－4)．由于抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，则①若抛物线焦点在x 轴上，则抛物线的标准方程是y 2＝8x ；②若抛物线焦点在y 轴上，则抛物线的标准方程是x 2＝－16y ；故所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－16y.变式训练已知Rt △AOB 的三个顶点都在抛物线y 2＝2px 上，其中直角顶点O 为原点，OA 所在直线的方程为y ＝3x ，△AOB 的面积为63，求该抛物线的方程．解：∵ OA ⊥OB ，且OA 所在直线的方程为y ＝3x ，OB 所在直线的方程为y ＝－33x ，由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝3x ，得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫2p 3，23p 3，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－33x ，得B 点坐标为(6p ，－23p)，∴ OA ＝43|p|，OB ＝43|p|，又S △OAB ＝833p 2＝63，∴ p ＝±32.∴ 该抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x. 题型3 抛物线的几何性质探究例3 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F 在x 轴上．(1) 求抛物线C 的标准方程；(2) 求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；(3) 设过点M(m ，0)(m>0)的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m 的表达式．解：(1)由题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2＝2px.因为点A(2，2)在抛物线C 上，所以p ＝1.因此抛物线C 的标准方程为y 2＝2x.(2)由(1)可得焦点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，因此所求直线的方程是x ＋y －12＝0.(3)(解法1)设点D 和E 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，直线DE 的方程是y ＝k(x －m)，k ≠0.将x ＝y k ＋m 代入y 2＝2x ，有ky 2－2y －2km ＝0，解得y 1，2＝1±1＋2mk 2k.由ME ＝2DM 知1＋1＋2mk 2＝2(1＋2mk 2－1)，化简得k 2＝4m.因此DE 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 24（1＋2mk 2）k 2＝94(m 2＋4m)，所以f(m)＝32m 2＋4m(m>0)．(解法2)设D ⎝⎛⎭⎫s 22，s ，E ⎝⎛⎭⎫t 22，t .由点M(m ，0)及ME →＝2DM →，得12t 2－m ＝2⎝⎛⎭⎫m －s 22，t －0＝2(0－s)．因此t ＝－2s ，m ＝s 2.所以f(m)＝DE ＝⎝⎛⎭⎫2s 2－s 222＋（－2s －s ）2＝32m 2＋4m(m>0)． 备选变式（教师专享）抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－2，该抛物线上的每个点到准线x ＝－2的距离都与到定点N 的距离相等，圆N 是以N 为圆心，同时与直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 相切的圆，(1) 求定点N 的坐标；(2) 是否存在一条直线l 同时满足下列条件：① l 分别与直线l 1和l 2交于A 、B 两点，且AB 中点为E(4，1)； ② l 被圆N 截得的弦长为2.解：(1) 因为抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－2.所以p ＝4，根据抛物线的定义可知点N 是抛物线的焦点，所以定点N 的坐标为(2，0)．(2) 假设存在直线l 满足两个条件，显然l 斜率存在，设l 的方程为y －1＝k(x －4)，k ≠±1.以N 为圆心，同时与直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 相切的圆N 的半径为 2.因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1, 即d ＝|2k －1|1＋k 2＝1，解得k ＝0或43，当k＝0时，显然不合AB 中点为E(4，1)的条件，矛盾， 当k ＝43时，l 的方程为4x －3y －13＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －13＝0y ＝x ，解得点A 的坐标为(13，13)；由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －13＝0y ＝－x ，解得点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫137，－137.显然AB 中点不是E(4，1)，矛盾，所以不存在满足条件的直线l.1. 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是________．答案：43解析：设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，当m ＝23时，取得最小值43.2. 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________．答案：x 2＝16y解析：∵ 双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴ ca ＝a 2＋b 2a＝2，∴ b＝3a ，∴ 双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴ 抛物线C 2：x 2＝2py(p ＞0)的焦点⎝⎛⎭⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴ p ＝8.∴ 所求的抛物线方程为x 2＝16y.3. 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M(2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM ＝________．答案：23解析：依题意，设抛物线方程是y 2＝2px(p>0)，则有2＋p2＝3，得p ＝2，故抛物线方程是y 2＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，OM ＝22＋8＝2 3.4. 已知抛物线D 的顶点是椭圆C ：x 216＋y 215＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．(1) 求抛物线D 的方程；(2) 过椭圆C 右顶点A 的直线l 交抛物线D 于M 、N 两点． ① 若直线l 的斜率为1，求MN 的长；② 是否存在垂直于x 轴的直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．解：(1) 由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)．由a 2－b 2＝4－3＝1，得c ＝1，∴ 抛物线的焦点为(1，0)，∴ p ＝2.∴ 抛物线D 的方程为y 2＝4x. (2) 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．① 直线l 的方程为y ＝x －4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，整理得x 2－12x ＋16＝0，即M(6－25，2－25)，N(6＋25，2＋25)，∴ MN ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝410.② 设存在直线m ：x ＝a 满足题意，则圆心E ⎝⎛⎭⎫x 1＋42，y 12，过E 作直线x ＝a 的垂线，垂足为E′，设直线m 与圆E 的一个交点为G.可得|E ′G|2＝|EG|2－|EE′|2，即|E′G|2＝|EA|2－|EE ′|2＝（x 1－4）2＋y 214－⎝⎛⎭⎫x 1＋42－a 2＝14y 21＋（x 1－4）2－（x 1＋4）24＋a(x 1＋4)－a 2＝x 1－4x 1＋a(x 1＋4)－a 2＝(a －3)x 1＋4a －a 2.当a ＝3时，|E ′G|2＝3，此时直线m 被以AM 为直径的圆E 所截得的弦长恒为定值23，因此存在直线m ：x ＝3满足题意．5. 如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py(p>0)上．(1) 求抛物线E 的方程；(2) 设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q.证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．解：(1) 依题意，OB ＝83，∠BOy ＝30°.设B(x ，y)，则x ＝OBsin30°＝43，y ＝OBcos30°＝12.因为点B(43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y.(2) 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x.设P(x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1. 设M(0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M(0，1)．1. (文)已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．答案：相切解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF|，|BB 1|＝|BF|，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|＝半径，故相切． (理)下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________ m.答案：26解析：设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y.当y ＝－3时，x 2＝6，即x ＝±6，所以水面宽为2 6.2. (文)已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是________．答案：2±3解析：依题意得F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设P ⎝⎛⎭⎫y 212p ，y 1，Q ⎝⎛⎭⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2)．由抛物线定义及PF ＝QF ，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，所以y 21＝y 22，所以y 1＝－y 2.又PQ ＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝⎛⎭⎫12p ，1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得PF ＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2±3. (理)拋物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知拋物线与双曲线的一个交点为⎝⎛⎭⎫32，6，求拋物线与双曲线方程．解：由题设知，拋物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2c ，设拋物线方程为y 2＝4c·x.∵拋物线过点⎝⎛⎭⎫32，6，∴6＝4c·32.∴c ＝1，故拋物线方程为y 2＝4x.又双曲线x 2a 2－y 2b2＝1过点⎝⎛⎭⎫32，6，∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1，∴94a 2－61－a 2＝1.∴a 2＝14或a 2＝9(舍)．∴b 2＝34，故双曲线方程为4x 2－4y23＝1. 3. (文)如图，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．答案：y 2＝3x解析：由抛物线定义，|BF|等于B 到准线的距离． 由|BC|＝2|BF|，得∠BCM ＝30°.又|AF|＝3，从而A ⎝⎛⎭⎫p 2＋32，332.由A 在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.(理)如图所示，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线段C 上任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM|＝17，|AN|＝3，且|NB|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．解：以直线l 1为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段．其中A 、B 分别为曲线段C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2＝2px(p ＞0)(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A 、x B 为A 、B 的横坐标，p ＝|MN|，∴M ⎝⎛⎭⎫－p2，0、 N ⎝⎛⎭⎫p 2，0.由|AM|＝17，|AN|＝3，得⎝⎛⎭⎫x A ＋p 22＋2px A ＝17，①⎝⎛⎭⎫x A －p 22＋2px A ＝9.②联立①②，解得x A ＝4p ，代入①式，并由p ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，x A ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，x A ＝2.∵△AMN 为锐角三角形，∴p2＞x A .∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，x A ＝1.由点B 在曲线段C 上，得x B ＝|BN|－p 2＝4.综上，曲线C 的方程为y 2＝8x(1≤x ≤4，y>0)．4. (文)求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程． (1) 过点(－3，2)；(2) 焦点在直线x －2y －4＝0上．解：(1) 设所求抛物线的方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py(p ＞0)．∵过点(－3，2)，∴4＝－2p(－3)或9＝2p·2.∴p ＝23或p ＝94.∴所求抛物线的方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y ，前者的准线方程是x ＝13，后者的准线方程是y ＝－98.(2) 令x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4，∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，p 2＝4，∴p ＝8，此时抛物线的方程为y 2＝16x ；焦点为(0，－2)时，p2＝2，∴p＝4，此时抛物线的方程为x 2＝－8y.∴所求抛物线的方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y ，对应的准线方程分别是x ＝－4，y ＝2.(理)已知定点F(0，1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C. (1) 求动点C 的轨迹方程；(2) 过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值． 解：(1) 由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y.(2) 由题意直线l 2的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0.记P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.由直线PQ 的斜率k ≠0，易得点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2k ，－1， RP →·RQ →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ，y 2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝⎛⎭⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4＝4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取到等号．∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.1. 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．2. 求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p ，但要注意判断标准方程的形式．3. 研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．请使用课时训练（B）第9课时（见活页）.[备课札记]。