第6章 第5节 课时作业
一、选择题
1．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b”；
②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d”；
③“若a ，b ∈R ，则a －b>0⇒a>b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b>0⇒a>b”．其中类比结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【解析】 ①②正确，③错误，因为复数不能比较大小，如a ＝5＋6i ，b ＝4＋6i ，虽然满足a －b ＝1>0，但复数a 与b 不能比较大小． 【答案】 C
2．观察下列各式： 1＝12，
2＋3＋4＝32，
3＋4＋5＋6＋7＝52，
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72， …，
可以得出的一般结论是( )
A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝n2
B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1) 2
C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝n2
D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2
【解析】 可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，…，故第n 个式子的第一个数是n ；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，…，故第n 个式子中有2n －1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，…，第n 个式子应该是2n －1的平方，故可以得到n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.
【答案】 B
3．“三角函数是周期函数，y ＝tan x ，x ∈－π2，π2是三角函数，所以y ＝tan x ，x ∈－π2，π
2是周期函数．”在以上演绎推理中，下列说法正确的是( ) A ．推理完全正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．推理形式不正确
【解析】 y ＝tan x ，x ∈－π2，π
2只是三角函数的一部分，并不能代表一般的三角函数，所以小
前提错误，导致整个推理结论错误． 【答案】 C
4．观察下列数表规律
则从数2 012到2 013的箭头方向是( ) A ．2 012↑ B ．2 012→ C ．2 012↓ D ．2 012→
【解析】 因上行偶数是首项为2，公差为4的等差数列．若2 012在下行，又因为在下行偶数的箭头为an→↓，故选C. 【答案】 C 5．(2011·江西高考)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为( )
A ．01
B ．43
C ．07
D ．49
【解析】 因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T ＝4.又因为2011＝4×502＋3，所以72011的末两位数字与73的末两位数字相同，故选B. 【答案】 B
6．设⊕是R 的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( ) A ．自然数集 B ．整数集 C ．有理数集 D ．无理数集
【解析】 A 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除都不封闭． 【答案】 C 二、填空题
7．设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n 项积为Tn ，则T4， ________，________，T16
T12成等比数列．
【解析】 根据类比原理知该两空顺次应填T8T4，T12
T8. 【答案】 T8T4 T12
T8
8．(2013·商昌模拟)观察下列等式： 12＝1，
12－22＝－3， 12－22＋32＝6，
12－22＋32－42＝－10， …
由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N*,12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n2＝
________.
【解析】 注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝
＋2
＝
n2＋n
2，注意到右边
的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n2＋n
2. 【答案】 (－1)n ＋1n2＋n
2
9．(2013·杭州模拟)设n 为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>5
2，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．
【解析】 由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为n ＋2
2，即可得一般的结论为f(2n)≥n ＋2
2. 【答案】 f(2n)≥n ＋2
2 三、解答题
10．已知O 是△ABC 内任意一点，连结AO 、BO 、CO 并延长交对边于A′，B′，C′，则OA′AA′＋OB′
BB′＋OC′
CC′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA′AA′＋OB′BB′＋OC′CC′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABC
S △ABC ＝1，
请运用类比思想，对于空间中的四面体V －BCD ，存在什么类似的结论？并用体积法证明． 【解】 在四面体V －BCD 中，任取一点O ，连结VO 、DO 、BO 、CO 并延长分别交四个面于E 、F 、G 、H 点，
则OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH ＝1.
证明：在四面体O －BCD 与V －BCD 中： OE VE ＝h1h ＝1
3
S △BCD·h1
13S △BCD·h ＝VO －BCD VV －BCD
同理有：
OF DF ＝VO －VBC VD －VBC ；OG BG ＝VO －VCD VB －VCD ；OH CH ＝VO －VBD
VC －VBD ， ∴OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH ＝
VO －BCD ＋VO －VBC ＋VO －VCD ＋VO －VBD VV －BCD ＝VV －BCD
VV －BCD
＝1.
11．(2013·滨州模拟)设f(x)＝
1
3x ＋3
，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归
