高三数学理一轮作业：空间点、直线、平面间的位置关系

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系[考纲传真 ] (教师用书独具 )1.理解空间直线、平面位置关系的定义 .2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．(对应学生用书第97 页 )[基础知识填充 ]1．平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．(2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理 2的三个推论推论 1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论 2经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论 3经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行图形语言关系相交关系符号语言a∥ b a∥αα∥β图形语言符号语言a∩b＝A a∩α＝Aα∩β＝l图形语言独有关系符号语言a，b 是异面直线a? α3.平行公理 (公理 4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 a′∥ a，b′∥ b，把 a′与 b′所成的锐角 (或直角 )叫做异面直线 a 与 b 所成的角．π(2)范围： 0，2 .[知识拓展 ]异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．[基本能力自测 ]1．(思考辨析 )判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过 A 点的任意一条直线． ()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()(4)若直线 a 不平行于平面α，且 a?α，则α内的所有直线与 a 异面． ()[答案 ] (1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改编 )如图 7-3-1所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线B1 C 与 EF 所成的角的大小为 ()图7-3-1A．30°B．45°C．60°D．90°C[ 连接 B1D1，D1C，则 B1D1∥EF，故∠D1B1C 为所求的角，又 B1 D1＝ B1C＝D1 C，∴∠D1B1C＝ 60°.]3．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线A[A 不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B， C，D 是平面的基本性质公理． ]4．(2016 ·山东高考 )已知直线 a，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的 ()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[ 由题意知 a? α， b? β，若 a，b 相交，则 a， b 有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则 a，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线 a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．]5．若直线 a⊥b，且直线 a∥平面α，则直线 b 与平面α的位置关系是 ________．b 与α相交或 b? α或 b∥α(对应学生用书第98 页 )平面的基本性质(1)以下命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C， E 共面，则 A，B，C， D，E 共面；③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0B．1C．2D．3(2)如图 7-3-2，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是 AB 和 AA1的中点．求证：①E，C，D1，F 四点共面；②CE，D1F，DA 三线共点．图7-3-2(1)B[ ①中若有三点共线，则四点共面，不合题意，故①正确；②中若点A，B，C 在同一条直线上，则A，B，C，D，E 不一定共面，故②错误；③中，直线b，c 可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误． ](2)①如图，连接 EF，CD1， A1B．∵E，F 分别是 AB， AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C， D1，F 四点共面．②∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE 与 D1F 必相交，设交点为P，则由 P∈直线CE，CE? 平面 ABCD，得P∈平面ABCD.同理 P∈平面ADD 1A1.又平面 ABCD∩平面 ADD1 A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE， D1F，DA 三线共点．[规律方法 ] 1.证明线共面或点共面的常用方法：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明点共线问题的常用方法：(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质 3 证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．[变式训练 1](1)(2018 上·饶模拟 )如图 7-3-3 所示，在四面体 ABCD 中作截面 PQR，若 PQ 与 CB 的延长线交于点 M， RQ 与 DB 的延长线交于点 N，RP 与 DC 的延长线交于点 K.给出以下命题：图 7-3-3①直线 MN? 平面 PQR；②点 K 在直线 MN 上；③M，N， K， A 四点共面．其中正确结论的序号为 ________．【导学号： 79170240】1 1(2)如图 7-3-4 所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形， BC 綊2AD，BE 綊2FA，G，H 分别为 FA，FD 的中点．①证明：四边形 BCHG 是平行四边形；②C，D，F， E 四点是否共面？为什么？图7-3-4(1)①②③[ 由题意知， M∈PQ，N∈RQ，K ∈RP，从而点 M，N，K∈平面PQR.所以直线 MN? 平面 PQR，故①正确．同理可得点 M ，N，K∈平面BCD.从而点 M，N，K 在平面 PQR 与平面 BCD 的交线上，即点 K 在直线 MN 上，故②正确．因为 A?直线 MN，从而点 M ，N，K，A 四点共面，故③正确．]1(2)①证明：由已知 FG＝ GA， FH＝ HD ，得 GH 綊2AD.1又BC 綊2AD，∴GH 綊 BC，∴四边形 BCHG 是平行四边形．②C，D，F， E 四点共面，理由如下：1由BE 綊2AF，G 为 FA 的中点知 BE 綊 GF，∴四边形 BEFG 为平行四边形，∴ EF∥BG.由①知 BG∥CH，∴ EF∥CH，∴EF 与 CH 共面．又 D∈FH ，∴ C，D，F，E 四点共面．空间直线的位置关系(1)(2018 金·华模拟 )已知 a，b，c 为三条不同的直线，且a? 平面α， b? 平面β，α∩β＝c，给出下列命题：①若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a， b 中的一条相交；②若 a 不垂直于 c，则 a 与 b 一定不垂直；③若 a∥ b，则必有 a∥ C．其中真命题有 ________．(填序号 ) 【导学号： 79170241】(2)(2017 郑·州模拟 )在图 7-3-5 中，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有 ________(填上所有正确答案的序号 )．①②③④图7-3-5(1)①③(2)②④[(1) 对于①，若 c 与 a，b 都不相交，则 c∥a，c∥b，从而 a∥b，这与 a 与 b 是异面直线矛盾，故①正确．对于②， a 与 b 可能异面垂直，故②错误．对于③，由 a∥b 可知 a∥β，又α∩β＝c，从而 a∥c，故③正确．(2)图①中，直线 GH∥MN；图②中， G，H，N 三点共面，但 M?平面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图③中，连接MG，GM ∥HN，因此 GH 与 MN 共面；图④中， G，M，N 共面，但 H?平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面，所以在图②④中， GH 与 MN 异面． ][规律方法 ] 1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．(2)定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线．2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．[变式训练 2](2018 烟·台模拟 )a，b，c 表示不同的直线， M 表示平面，给出四个命题：①若 a∥ M，b∥M，则 a∥b 或 a， b 相交或 a，b 异面；②若 b? M， a∥b，则 a∥M；③若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b；④若 a⊥M，b⊥M ，则 a∥B．其中正确的为 ()A．①④B．②③C．③④D．①②A[对于①，当 a∥M，b∥M 时，则 a 与 b 平行、相交或异面，①为真命题．②中， b? M， a∥b，则 a∥M 或 a? M，②为假命题．命题③中， a 与 b 相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题． ]异面直线所成的角(1)如图 7-3-6，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， AA1＝ 2AB＝2，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为 ()图 7-3-61 2A．5 B．53 4C．5 D.5(2)(2018 泸·州模拟 )如图 7-3-7 所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， O 是底面 ABCD 的中心， E、F 分别是 CC1，AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1所成角的余弦值等于 ________．图7-3-715 [(1) 连接 BC1，易证 1 1(1)D (2) 5 BC ∥AD，则∠A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成的角．连接 A1C1，由 AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝ 2，A1B＝BC1＝ 5，在△A1BC1中，由余弦定理得5＋ 5－ 2 4cos∠A1BC1＝＝.2×5×5 5(2)取 BC 的中点 G.连接 GC1，则 GC1∥FD 1，再取 GC 的中点 H，连接 HE、OH，∵E 是 CC1的中点，∴GC1∥EH.∴∠OEH 为异面直线所成的角．5 5在△OEH 中， OE＝ 3，HE＝2 ，OH＝2 .OE2＋EH2－OH2 3 15由余弦定理，可得 cos∠OEH＝2OE·EH ＝＝5 .]52· 3·2[规律方法 ] 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点 )作平行线平移；补形平移．2．求异面直线所成角的三个步骤：(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角．(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．[变式训练 3]如图7-3-8，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形， C 是圆柱下底面弧 AB 的中点， C1是圆柱上底面弧 A1 B1的中点，那么异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 ________．【导学号：79170242】图7-3-82[ 取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D，连接 C1D，AD，则因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点，所以 AD∥BC，所以直线 AC1与 AD 所成角等于异面直线 AC1与 BC 所成角，因为 C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点，所以 C1D⊥圆柱下底面，所以 C1 D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以 C1D＝2AD，所以直线 AC1与 AD 所成角的正切值为2，所以异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 2.]。

题组层级快练7.2空间点线面的位置关系一、单项选择题1．若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是()A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b ⊂α或b ∥αD ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α2．下列各图是正方体和正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()3．将下面的平面图形(图中每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后，直线MN 与PQ 是异面直线的是()A ．①②B ．②④C ．①④D ．①③4．空间不共面的四点到某平面的距离相等，则这样的平面的个数为()A ．1B ．4C ．7D ．85.如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.456．(2020·江西景德镇模拟)将图①中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图②)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是()A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直7．(2020·广西钦州质检)在四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，AD ＝6，BC ＝4，EF ＝2，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为()A.34B.56C.910D.11128.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是()A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直C ．MN 与BD 平行D ．MN 与A 1B 1平行9．(2021·吉林长春模拟)已知直线a 和平面α，β有如下关系：①α⊥β；②α∥β；③a ⊥β；④a ∥α.则下列命题为真命题的是()A ．①③⇒④B ．①④⇒③C ．③④⇒①D ．②③⇒④10．(2021·福建三明质检)已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，PA ＝2，E 为BC 的中点，则异面直线AE 与PD 所成的角为()A.π6B.π4C.π3D ．π11．(2021·内蒙古包头模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是()A.0，π2B.0，π2C.0，π3D.0，π312．在三棱锥P －ABC 中，PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝BC ＝4，PA ＝23，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值是()A.18B.16C.14D.13二、多项选择题13．(2021·山东烟台二模)已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，则()A ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nC ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥α，α⊥β，则m ∥β14.如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确是()A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 不共面15．(2021·广东茂名联考)一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个结论，其中正确的是()A ．AF ⊥GCB ．BD 与GC 为异面直线且夹角为60°C ．BD ∥MND ．BG 与平面ABCD 所成的角为45°16.(2021·江西莲塘一中、临川二中联考)如图，正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为S ，当CQ ＝1时，S 的面积为________．17.如图所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？7.2空间点线面的位置关系参考答案1．答案D解析b 与α相交或b ⊂α或b ∥α都可以．2．答案D解析在A 中，易证PS ∥QR ，∴P ，Q ，R ，S 四点共面．在B 中，P ，Q ，R ，S 四点共面，如图所示，证明如下：取BC 中点N ，可证PS ，NR 交于直线B 1C 1上一点E ，∴P ，N ，R ，S 四点共面，设为α.可证PS ∥QN ，∴P ，Q ，N ，S 四点共面，设为β.∵α，β都经过P ，N ，S 三点，∴α与β重合，∴P ，Q ，R ，S 四点共面．在C 中，易证PQ ∥SR ，∴P ，Q ，R ，S 四点共面．在D 中，∵QR ⊂平面ABC ，PS ∩平面ABC ＝P 且P ∉QR ，∴直线PS 与QR 为异面直线．∴P ，Q ，R ，S 四点不共面．3．答案C解析图②翻折后点N 与点Q 重合，两直线相交；图③翻折后两直线平行．故选C.4．答案C解析当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图．当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即截面与四个面之一平行时，满足条件的平面有4个；当平面一侧有两点，另一侧有两点时，满足条件的平面有3个，所以满足条件的平面共有7个．5.答案D解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角(或其补角)．连接A 1C 1，设AB ＝1，则AA 1＝2，A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.6．答案C解析在题图①中，AD ⊥BC ，故在题图②中，AD ⊥BD ，AD ⊥DC ，又因为BD ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，D 不在BC 上，所以AD ⊥BC ，且AD 与BC 异面，故选C.7．答案D解析本题考查异面直线所成角的余弦值．取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则FG ∥BC ，EG ∥AD ，则∠EGF 为异面直线AD 与BC 所成的角(或补角)．因为FG ＝12BC ＝2，EG ＝12AD ＝3，所以cos ∠EGF ＝4＋9－22×2×3＝1112，故异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为1112.8.答案D解析如图，连接C 1D ，在△C 1DB 中，MN ∥BD ，故C 正确；因为CC 1⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，所以MN 与CC 1垂直，故A 正确；因为AC ⊥BD ，MN ∥BD ，所以MN 与AC 垂直，故B 正确；因为A 1B 1与BD 异面，MN ∥BD ，所以MN 与A 1B 1不可能平行，故D 错误．9．答案C解析本题考查空间中有关线面位置关系的命题真假的判断．由①③可知，a ∥α或a ⊂α，A 错误；由①④可知，a 与β的位置关系不确定，B 错误；过直线a 作平面γ，使得γ∩α＝b ，∵a ∥α，∴a ∥b.∵a ⊥β，∴b ⊥β.∵b ⊂α，∴α⊥β，C 正确；由②③可知，a ⊥α，D 错误．10．答案C解析本题考查异面直线所成角的大小．分别取AD ，PA 的中点F ，G ，连接CF ，AC ，FG ，CG.∵四边形ABCD 为矩形，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，∴AF 綊EC ，∴四边形AFCE 为平行四边形，∴CF ∥AE.∵F ，G 分别为AD ，PA 的中点，∴FG ∥PD.∴异面直线PD 与AE 所成角即为∠CFG(或其补角)．∵PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AC.∴CG ＝AG 2＋AC 2＝1＋1＋4＝ 6.又CF ＝1＋1＝2，FG ＝1＋1＝2，∴cos ∠CFG ＝CF 2＋FG 2－CG 22CF ·FG ＝2＋2－62×2×2＝－12，∴∠CFG ＝2π3，即异面直线AE 与PD 所成的角为π3，故选C.11．答案D解析当点P 与点D 1重合时，CP ∥BA 1，所成角为0；当点P 与A 点重合时，CA ∥A 1C 1，连接BC 1，△A 1BC 1为正三角形，所成角为π3，又由于异面直线所成角为，π2，所以选D.12．答案A解析分别取PA ，PB ，BC 的中点E ，F ，G ，连接EF ，EG ，FG ，GA ，PG ，如图所示，由PB ＝PC ＝AB＝AC ＝BC ＝4可得PG ＝AG ＝32BC ＝23，所以EG ⊥PA ，在△GPA 中，PG ＝AG ＝PA ＝23，可得EG ＝3，由中位线的性质可得EF ∥AB 且EF ＝12AB ＝2，FG ∥PC 且FG ＝12PC ＝2，所以∠GFE 或其补角即为异面直线PC 与AB 所成角，在△GFE 中，cos ∠GFE ＝GF 2＋EF 2－GE 22GF ·EF ＝4＋4－92×2×2＝－18，所以异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为18.故选A.13．答案BC解析本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m 和n 平行、相交或异面，故A 错误；若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，由线面、面面垂直的性质可知m ⊥n ，故B 正确；若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α，又n ⊥β，所以α∥β，故C 正确；若m ∥n ，n ⊥α，α⊥β，则m ∥β或m ⊂β，故D 错误．故选BC.14.答案AD解析连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．又BB1与平面AB1D1仅有B1一个交点，所以B与B1，O，M不共面．15．答案AB解析将平面展开图还原成正方体，如图所示．对于A，由图形知AF与GC异面垂直，故A正确；对于B，BD与GC显然成异面直线．如图，连接EB，ED，则BM∥GC，所以∠MBD即为异面直线BD 与GC所成的角(或其补角)．在等边△BDM中，∠MBD＝60°，所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故B正确；对于C，BD与MN为异面垂直，故C错误；对于D，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故D错误．综上可得A、B正确．16.答案62解析当CQ＝1时，Q与C1重合．如图，取A1D1，AD的中点分别为F，G.连接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F为A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝52，PG綊CD，AF綊D1G.由题意易知CD綊C1D1，∴PG綊C1D1，∴四边形C1D1GP为平行四边形，∴PC1綊D1G，∴PC1綊AF，∴A，P，C1，F四点共面，∴四边形APC1F为菱形．∵AC1＝3，PF＝2，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面S为菱形APC1F，∴其面积为12AC1·PF＝12×3×2＝62.17.答案(1)略(2)共面，证明略解析(1)证明：∵G，H分别为FA，FD的中点，∴GH綊12AD.又∵BC綊12AD，∴GH綊BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE綊12AF，G是FA的中点，得BE綊GF.所以EF綊BG.由(1)知，BG綊CH，所以EF綊CH.所以EC∥FH.所以C，D，F，E四点共面．。

空间点、直线、平面之间的位置关系1．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c2．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是()A．①B．①④C．②③D．③④3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()A B C D4.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC5.(2020·兰州模拟)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的余弦值为()A.23B．53C.52D．2556．(多选)(2020·北京通州区期末改编)设点B为⊙O上任意一点，AO垂直于⊙O所在的平面，且AO＝OB，对于⊙O所在平面内任意两条相互垂直的直线a，b，有下列结论，其中正确的有()A．当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角B．当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角C．直线AB与a所成角的最小值为45°D．直线AB与a所成角的最小值为60°7．已知AE是长方体ABCD-EFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有________条．8．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为________．9．在下列四个图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)①②③④10.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊12AD，BE綊12F A，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？11.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．能力提高1.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB ＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为()A．12B．－12C．32D．－322.(多选)(2020·山东泰安一中、宁阳一中联考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法正确的是()A．无论点F在线段BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1DB．当F为BC1的中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且A1E EF＝2C．无论点F在线段BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成的角都不可能是30°D．当F为BC1的中点时，直线A1F与平面BDC1所成的角最大，且为60°3.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD.试证明：EG＝FH.空间点、直线、平面之间的位置关系1．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥cC[若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.]2．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是()A．①B．①④C．②③D．③④B[①显然正确；②错误，三条平行直线可能确定1个或3个平面；③若三个点共线，则两个平面相交，故③错误；④显然正确．故选B.]3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()A B C DD[A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．]4.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BCC[由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D 在平面ABC 与平面β的交线上．又因为C ∈平面ABC ，C ∈β，所以点C 在平面β与平面ABC 的交线上，所以平面ABC ∩平面β＝CD .]5.(2020·兰州模拟)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若点E 为BC 的中点，点F 为B 1C 1的中点，则异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为( ) A.23 B ．53 C.52 D ．255B [不妨设正方体的棱长为1，取A 1D 1的中点G ，连接AG ，易知GA ∥C 1E ，则∠F AG (或其补角)为异面直线AF 与C 1E 所成的角．连接FG (图略)，在△AFG 中，AG ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52，AF ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝32，FG ＝1， 于是cos ∠F AG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－122×32×52＝53，故选B.] 6．(多选)(2020·北京通州区期末改编)设点B 为⊙O 上任意一点，AO 垂直于⊙O 所在的平面，且AO ＝OB ，对于⊙O 所在平面内任意两条相互垂直的直线a ，b ，有下列结论，其中正确的有( )A ．当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角B ．当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角C ．直线AB 与a 所成角的最小值为45°D ．直线AB 与a 所成角的最小值为60°BC [如图，AO ＝OB ，直线a ⊥b ，点D ，M 分别为BC ，AC 的中点，则∠ABC 为直线AB 与a 所成的角，∠MDO 为直线AB 与b 所成的角．设AO ＝OB ＝1，若∠ABC ＝60°，则OM ＝OD ＝MD ，所以∠MDO ＝60°，故B 正确，A 不正确；因为AB 与⊙O 所在平面所成的角为45°，即直线AB 与平面内所有直线所成角中的最小角为45°，所以直线a与直线AB所成角的最小值为45°，故C正确，D不正确．故选BC.]7．已知AE是长方体ABCD-EFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有________条．4[如图，作出长方体ABCD-EFGH.在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH、GF、BC、CD.共4条．]8．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为________．30°[如图，设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中位线．由此可得GF∥AB，且GF＝12AB＝1，GE∥CD，且GE＝12CD＝2，∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角．又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF.因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，sin∠GEF＝GFGE＝12，可得∠GEF＝30°，∴EF与CD所成角的度数为30°.]9．在下列四个图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)①②③④②④[图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN 共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．]10.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊12AD，BE綊12F A，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？[解](1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊12AD.又BC綊12AD，∴GH綊BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)∵BE綊12AF，G为F A的中点，∴BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．11.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．[解](1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF 与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.能力提高1.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为()A．12B．－12C．32D．－32A[如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，FO，OG，GE，GF，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，∴∠FEG或其补角为异面直线AC与BD所成的角．设AB＝2a，则EG＝EF＝2a，FG＝a2＋a2＝2a，∴△EFG是等边三角形，∴∠FEG＝60°，∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为12，故选A.]2.(多选)(2020·山东泰安一中、宁阳一中联考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法正确的是()A．无论点F在线段BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1DB．当F为BC1的中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且A1E EF＝2C．无论点F在线段BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成的角都不可能是30°D．当F为BC1的中点时，直线A1F与平面BDC1所成的角最大，且为60°ABC[对于A选项，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C1，A1B(图略)，易知B1D⊥平面A1BC1，又A1F⊂平面A1BC1，∴A1F⊥B1D，故A正确；对于B选项，如图，当F为BC 1的中点时，连接B1C，A1D，B1C与BC1交于点F，A1F与B1D共面于平面A1B1CD，且必相交，交点为E，易知△A1DE∽△FB1E，所以A1EEF＝DA1B1F＝2，故B正确；对于C选项，点F从点B移至点C1，异面直线A1F与CD所成的角先变小再变大，当F为BC1的中点时，异面直线A1F与CD所成的角最小，此时该角的正切值为22，最小角大于30°，故C正确；对于D选项，点F从点B移至点C1，直线A1F与平面BDC1所成的角先变大再变小，当F为BC1的中点时，设点O为A1在平面BDC1上的投影，连接OF(图略)，则直线A1F与平面BDC1所成角的最大角的余弦值为OFA1F＝6662＝13，则最大角大于60°，故D错误．故选ABC.]3.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD.试证明：EG＝FH.[解](1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.所以E，F，G，H四点共面．(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．因为EHBD＝AEAE＋EB＝mm＋1，所以EH＝mm＋1BD.同理可得FG＝nn＋1BD，由EH＝FG，得m＝n.故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．(3)证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，所以EF∥AC，又EH∥BD，所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.。

§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．在下列命题中，不是公理的是( ) A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 2．(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( ) A ．l 1⊥l 4 B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定3．已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⊄α，a ⊄β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是( ) A ．相交或平行 B ．相交或异面 C ．平行或异面D ．相交、平行或异面4．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( ) A ．(0，2) B ．(0，3) C ．(1，2)D ．(1，3)5．四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与P A 所成角的余弦值为( ) A.255B.55C.45D.356．(教材改编)如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a与c，b与c的位置关系是________．7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．8．(2015·浙江)如图，三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．10.如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB ＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于点H.(1)求AH∶HD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点．B组专项能力提升(时间：30分钟)11．以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．312．(2015·郑州第二次质量预测)如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE 沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是()A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE13．已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c.给出下列命题：①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β.其中正确命题的个数是________．14.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．15.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA ＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．答案解析1．A 『选项A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．』 2．D 『在如图所示的长方体中，不妨设l 2为直线AA 1，l 3为直线CC 1，则直线l 1，l 4可以是AB ，BC ；也可以是AB ，CD ；也可以是AB ，B 1C 1； 这三组直线相交，平行，垂直，异面，故选D.』3．D 『依题意，直线b 和c 的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D.』4．A 『此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a 的棱长一定大于0且小于 2.故选A.』5．B 『因为四边形ABCD 为正方形，故CD ∥AB ，则CD 与P A 所成的角即为AB 与P A 所成的角，即为∠P AB .在△P AB 内，PB ＝P A ＝5，AB ＝2，利用余弦定理可知cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22×P A ×AB ＝5＋4－52×5×2＝55，故选B.』 6．a ∥b ∥c解析 ∵a ∥b ，a ⊂α，b ⊄α，∴b ∥α. 又∵b ⊂β，α∩β＝c ，∴b ∥c .∴a ∥b ∥c . 7．4解析 EF 与正方体左、右两侧面均平行．所以与EF 相交的侧面有4个． 8.78解析 如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK .∵M 为AD 的中点，∴MK ∥AN ， ∴∠KMC 为异面直线AN ，CM 所成的角．∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N 为BC 的中点， 由勾股定理求得AN ＝DN ＝CM ＝22， ∴MK ＝ 2.在Rt △CKN 中，CK ＝(2)2＋12＝ 3.在△CKM 中，由余弦定理，得 cos ∠KMC ＝(2)2＋(22)2－(3)22×2×22＝78.9．无数解析 方法一 在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这3条异面直线都有交点．如图所示．方法二 在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α，因CD 与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q ，连接PQ ，则PQ 与EF 必然相交，即PQ 为所求直线．由点P 的任意性，知有无数条直线与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交． 10．(1)解 ∵AE EB ＝CFFB ＝2，∴EF ∥AC ，∴EF ∥平面ACD ，而EF ⊂平面EFGH ， 平面EFGH ∩平面ACD ＝GH ， ∴EF ∥GH ，∴AC ∥GH .∴AH HD ＝CGGD＝3.∴AH ∶HD ＝3∶1. (2)证明 ∵EF ∥GH ，且EF AC ＝13，GH AC ＝14，∴EF ≠GH ，∴四边形EFGH 为梯形．令EH ∩FG ＝P ，则P ∈EH ，而EH ⊂平面ABD ， 又P ∈FG ，FG ⊂平面BCD ， 平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴P ∈BD .∴EH 、FG 、BD 三线共点．11．B 『①中显然是正确的；②中若A 、B 、C 三点共线，则A 、B 、C 、D 、E 五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b 、c 异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．』12．C 『取DC 中点F ，连接MF ，BF ，MF ∥A 1D 且MF ＝12A 1D ，FB ∥ED 且FB ＝ED ，所以∠MFB ＝∠A 1DE .由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos ∠MFB 是定值，所以M 是在以B 为圆心，MB 为半径的球上，可得A 、B 正确．由MF ∥A 1D 与FB ∥ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得D 正确；A 1C 在平面ABCD 中的射影与AC 重合，AC 与DE 不垂直，可得C 不正确．』13．2解析 命题①③正确，命题②④错误．其中命题②中a 与b 有可能垂直；命题④中当b ∥c 时，平面α，β有可能不垂直． 14.证明 连接BD ，B 1D 1，如图．则BD ∩AC ＝O ， ∵BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 为平行四边形， 又H ∈B 1D ， B 1D ⊂平面BB 1D 1D ， 则H ∈平面BB 1D 1D ，∵平面ACD 1∩平面BB 1D 1D ＝OD 1，∴H ∈OD 1. 即D 1、H 、O 三点共线．15．解 如图所示，取AC 的中点F ，连接EF ，BF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点， ∴EF ∥CD .∴∠BEF 或其补角即为异面直线BE 与CD 所成的角． 在Rt △EAB 中，AB ＝AC ＝1， AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52. 在Rt △EAF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22. 在Rt △BAF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010.∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010.。

高考数学第一轮复习：《空间点、直线、平面的位置关系》最新考纲1.理解空间直线、平面位置关系的定义．2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.【教材导读】1．分别在两个平面内的直线就是异面直线吗？提示：不是．异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线，指的是找不出一个平面同时经过这两条直线，分别在两个平面内的直线可以平行、异面或相交．2．空间直线与平面、平面与平面的位置关系有哪些？提示：直线与平面的位置关系有：相交、平行、在平面内．平面与平面的位置关系有：平行、相交．1．平面的基本性质及相关公(定)理文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内判断直线在平面内公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α确定平面、直线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的寻找两平面的交线；证明线共点公共直线公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行//m n证明线线平行两角相等或互补的定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补A A'∠=∠A Aπ'∠+∠=判断或证明两角相等或互补2．空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥b a∥αα∥β交点个数000相交关系图形语言符号语言a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 交点个数11无数个其他关系图形语言符号语言a，b是异面直线aα交点个数0无数个3.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；(2)范围：0，π2.【重要结论】经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线．1．以下四个命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．(A)0 (B)1(C)2 (D)3B解析：①正确，若有三点共线，则四点必共面；②错误，当A、B、C共线时，A、B、C、D、E不一定共面；③错误，在正方体中，BC与AB共面，BC与CC1共面，但AB与CC1异面；④错误，也可以是空间四边形．2.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C l，直线AB∩l＝M，过A、B、C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()(A)点A(B)点B(C)点C但不过点M(D)点C和点MD解析：通过A、B、C三点的平面γ，即是通过直线AB与点C的平面，M∈AB，∴M ∈γ，而C∈γ.又∵M ∈β，C ∈β，∴γ和β的交线必通过点C 和点M .3．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6答案：C4．正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，直线BB 1与AD 1所成的角为( ) (A)π3 (B)π4 (C)π6(D)π2 B 解析：如图，因为BB 1∥AA 1，所以∠A 1AD 1为直线BB 1与AD 1所成的角， 在Rt △AA 1D 1中，∠A 1AD 1＝π4.5．若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是________________． 答案：b 与α相交或bα或b ∥α考点一 平面的基本性质及应用如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，AA 1的中点．求证： (1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．解析：(1)如图，连接EF，CD1，A1B.因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.又A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，C，D1，F四点共面．(2)因为EF∥CD1，EF＜CD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理p∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直线DA.所以CE，D1F，DA三线共点．【反思归纳】(1)证明点共面或线共面的常用方法①直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．②同一法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．③辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．(2)证明空间点共线问题的方法①公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．(3)证明三线共点的方法先选取两线交于一点，再证明该点在第三条线上即可．【即时训练】如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC，，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解：C，D，F，E四点共面，证明如下：∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH.∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．法二如图所示，延长FE，DC分别与AB的延长线交于点M，M′，∴B为MA的中点．中点．∴M与M′重合．即EF与CD相交于点M(M′)，∴C，D，F，E四点共面．考点二空间两直线的位置关系(1)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠ 2.有以下四个结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线．其中正确结论的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．解析：(1)过N作NP⊥BB1于点P，连接MP，可证AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN，①正确．过M、N分别作MR⊥A1B1、NS⊥B1C1于点R、S，则当M不是AB1的中点、N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M、N分别是AB1、BC1的中点时，A1C1∥RS，∴A1C1与MN可以异面，也可以平行，故②④错误．由①正确知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥平面A1B1C1D1，故③对．综上所述，其中正确的序号是①③.(2)平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：(1)①③(2)3【反思归纳】(1)空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，常常利用线面垂直的性质来解决．(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题．【即时训练】(1)下列四个结论：①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行．②两条直线没有公共点，则这两条直线平行．③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行．④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为()(A)0 (B)1(C)2 (D)3(2)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()(A)AC⊥BD(B)AC∥截面PQMN(C)AC＝BD(D)异面直线PM与BD所成的角为45°答案：(1)A(2)C考点三异面直线所成的角问题已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()(A)32(B)155(C)105(D)33解析：解法一如图所示，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AB 1＝5，AD 1＝ 2.在△B 1D 1C 1中，∠B 1C 1D 1＝60°，B 1C 1＝1，D 1C 1＝2，所以B 1D 1＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以cos ∠B 1AD 1＝5＋2－32×5×2＝105，选择C.解法二 如图，设M ，N ，P 分别为AB ，BB 1，B 1C 1的中点，连接MN ，NP ，MP ，则MN ∥AB 1，NP ∥BC 1，所以∠PNM 或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．易知MN ＝12AB 1＝52，NP ＝12BC 1＝22.取BC 的中点Q ，连接PQ ，MQ ，可知△PQM 为直角三角形，PQ ＝1，MQ ＝12AC .在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋1－2×2×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7，所以AC ＝7，MQ ＝72.在△MQP 中，MP ＝MQ 2＋PQ 2＝112，则在△PMN 中，cos ∠PNM ＝MN 2＋NP 2－PM 22·MN ·NP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫11222×52×22＝－105，所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105.答案：C【反思归纳】 (1)求异面直线所成角的常用方法及类型常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点、空间某特殊点)作平行线平移； 补形平移．(2)求异面直线所成角的三个步骤 ①作：通过作平行线，得到相交直线．②证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．③求：通过解三角形，求出该角．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC 所成的角的余弦值为________．解析：如图取A1B1的中点F，连EF，则EF∥BC，∠AEF是异面直线AE与BC所成的角，设正方体的棱长为a，可得AE＝32a，AF＝52a，在△AEF中，运用余弦定理得cos∠AEF＝23，即异面直线AE与BC所成角的余弦值为23.借助正方体判定线面位置关系下列命题正确的是()(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行(B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行(C)若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行(D)若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行解析：若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线不一定平行，还有可能相交，也可能异面，故A错．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面可能平行，也可能相交，故B错．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可能平行，也可能垂直．故D错．正确的只有C.故选C.易错提醒：(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比，从而误选A.(2)不会利用正方体作出判断，考虑问题不全面，从而误选B或D.课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．设α、β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ()(A)若l⊥β，则α⊥β(B)若α⊥β，则l⊥m(C)若l∥β，则α⊥β(D)若α∥β，则l∥mA解析：依题意，若l⊥β，lα，则α⊥β，故A正确；若α⊥β，则l与m可能平行、垂直或异面，B错误；若l∥β，则α与β平行或相交，C错误；若α∥β，则l与m平行或异面，D错误，选A.2．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是()①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．(A)1(B)2(C)3 (D)4A解析：对于①，m，n的位置关系可能为相交、平行或异面，①错误；对于②，易知是正确的；对于③，直线n可能与平面β平行、相交或直线n在平面β内，③错误；对于④，易知正方体的相邻两个侧面的对角线在底面的射影互相垂直，但这两条直线显然不垂直，所以④错误．综上所述，真命题的个数为1，故选A.3．已知ABC－A1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱，M是B1C1的中点，则下列命题正确的是()(A)在棱AB上存在点N，使MN与平面ABC所成的角为45°(B)在棱AA1上存在点N，使MN与平面BCC1B1所成的角为45°(C)在棱AC上存在点N，使MN与AB1平行(D)在棱BC上存在点N，使MN与AB1垂直B解析：如图，设该直三棱柱的棱长为2，过点M作MP⊥BC交BC于点P，连接AP，则MP＝2，AP＝ 3.因为2＞3，故在棱AA1上存在点N，使得MN与平面BCC1B1所成角的大小为45°.故选B.4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°C解析：延长CA到点D，使得AD＝AC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°，故选C.5．下列命题正确的是()①三点确定一个平面；②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面；④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面．A．①③B．①④C．②④D．②③C解析：注意考查所给的问题：①不在同一条直线上的三点确定一个平面，原说法错误；②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，该说法正确；③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，可能相交或平行于另一个平面，原说法错误；④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面，该说法正确．综上可得：命题正确的是：②④.故选C.6．在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC所成角为60°，且AD＝3，则BC等于________．解析：将该四面体放入长方体中，如图，在直角三角形CBE中，CE＝3，∠BCE＝60°，＝2 3.所以斜边BC＝3cos 60°答案：2 37．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点，给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确的结论的序号都填上)解析：AM与C1C异面，故①错；AM与BN异面，故②错．易知③④正确．答案：③④8.如图所示，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD、BC的中点，则异面直线AN、CM所成的角的余弦值是________．解析：连接ND，取ND中点为E，则ME∥AN，则∠EMC为异面直线AN、CM所成的角，因为AN＝ND＝MC＝32－12＝22，所以ME＝2，CE＝(2)2＋12＝3，则cos∠EMC＝CM2＋ME2－CE22CM·ME＝8＋2－32×22×2＝78.答案：789．A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD 与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾，故直线EF与BD是异面直线．(2)解：取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.能力提升练(时间：15分钟)10．下列说法错误的是()(A)两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内(B)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(C)如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直(D)如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行D解析：选项A，B，C均正确，故排除．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线不一定平行，D错误．故选D.11．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C 与BE所成角的余弦值为()(A)15(B)31010(C)1010(D)35B解析：如图连结A 1B .由题意知A 1D 1∥BC ，所以四边形A 1D 1CB 为平行四边形，故D 1C ∥A 1B .所以∠A 1BE 为异面直线D 1C 与BE 所成的角．不妨设AA 1＝2AB ＝2，则A 1E ＝1，BE ＝2，A1B ＝5，在△A 1BE 中，cos ∠A 1BE ＝A 1B 2＋EB 2－A 1E 22A 1B ·EB ＝5＋2－12×5×2＝31010，故选B. 12．直线AE 与平面A 1BCD 1所成角的正切值为( )(A)22(B)12 (C)32 (D) 2A 解析：连接AB 1交A 1B 于F ，连接EF ，由于AF ⊥A 1B ，AF ⊥BC ，所以AF ⊥平面A 1BCD 1，所以角FEA 为所求线面角，其正切值为AF EF ＝221＝22.故选A.13．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________．(填正确条件的序号)①x，y，z为直线；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x为直线，y，z为平面解析：本题考查线面之间的位置关系，易知③正确．答案：③14．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P 在其表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于________．解析：如图，分别取BB1，CC1的中点E，F，连接AE，EF，FD，则BN⊥平面AEFD，设M在平面ABB1A1中的射影为O，过MO与平面AEFD平行的平面为α，所以总能使MP 与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，又矩形AEFD的周长为2＋5，所以所求轨迹的周长为2＋ 5.答案：2＋ 515．如图，AC是圆O的直径，B、D是圆O上两点，AC＝2BC＝2CD＝2，P A⊥圆O所在的平面，P A＝3，点M在线段BP上，且BM＝13BP.(1)求证：CM∥平面P AD；(2)求异面直线BP与CD所成角的余弦值．解：(1)作ME⊥AB于E，连接CE，如图，则ME∥AP.∵ME面P AD，AP面P AD，∴ME∥面P AD.因为AC是圆O的直径，AC＝2BC＝2CD＝2，所以AD⊥DC，AB⊥BC所以∠BAC＝∠CAD＝30°，∠BCA＝∠DCA＝60°，AB＝AD＝3，因为BM＝13BP，所以BE＝13BA＝33，tan∠BCE＝BEBC＝33，所以∠BCE＝∠ECA＝30°＝∠CAD，所以EC∥AD.∵EC面P AD，AD面P AD∴EC∥面P AD.又ME∩CE＝E，所以平面MEC∥平面P AD，又CM平面MEC，CM/ 平面P AD，所以CM∥平面P AD.(2)过点A作平行于BC的直线交CD的延长线于G，作BF∥CG，交AG于F，连接PF，如图所示，则∠PBF为异面直线BP与CD所成的角，设∠PBF＝θ. 易知AF＝1，PB＝6，BF＝2，PF＝2，故cos θ＝PB2＋BF2－PF22PB·BF＝6＋4－426×2＝64.即异面直线BP与CD所成角的余弦值为64.。

高考数学一轮复习专题：8.3空间点、直线、平面之间的位置关系1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类共面直线平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：0，π2. 3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．【知识拓展】 1．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．2．异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(√)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(×)(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(√)(5)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)1．下列命题正确的个数为()①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．3答案C解析②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．2．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则() A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案C解析由已知，α∩β＝l，∴l?β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确．3．(2017·合肥质检)已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α答案C解析m，n可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；根据线面平行的性质可知C正确；若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.4.(教材改编)如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝23，AD＝23，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________．答案45° 60°解析∵BC 与EG 所成的角等于EG 与FG 所成的角即∠EGF ，tan ∠EGF ＝EF FG ＝2323＝1，∴∠EGF ＝45°，∵AE 与BG 所成的角等于BF 与BG 所成的角即∠GBF ，tan ∠GBF ＝GF BF ＝232＝3，∴∠GBF ＝60°.5．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．答案 4解析EF 与正方体左、右两侧面均平行．所以与EF 相交的侧面有4个.题型一平面基本性质的应用例1 (1)(2016·山东)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A.(2)已知空间四边形ABCD (如图所示)，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝1 3DC .求证：①E 、F 、G 、H 四点共面；②三直线FH 、EG 、AC 共点．证明①连接EF 、GH ，如图所示，∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD .又∵CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH ，∴E 、F 、G 、H 四点共面．②易知FH 与直线AC 不平行，但共面，∴设FH ∩AC ＝M ，∴M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . 又∵平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ，∴M ∈EG ，∴FH 、EG 、AC 共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC .∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解∵BE 綊12AF ，G 是F A 的中点，∴BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．题型二判断空间两直线的位置关系例2 (1)(2015·广东)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A ．l 与l 1，l 2都不相交 B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交(2)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行(3)在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)答案(1)D (2)D (3)②④解析 (1)若l 与l 1，l 2都不相交，则l ∥l 1，l ∥l 2，∴l 1∥l 2，这与l 1和l 2异面矛盾，∴l 至少与l 1，l 2中的一条相交．(2)连接B 1C ，B 1D 1，如图所示，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，又BD∥B1D1，∴MN∥BD.∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.(3)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M?面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H?面GMN，因此GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面．思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3(2)(2016·南昌一模)已知a、b、c是相异直线，α、β、γ是相异平面，则下列命题中正确的是()A．a与b异面，b与c异面?a与c异面B．a与b相交，b与c相交?a与c相交C．α∥β，β∥γ?α∥γD．a?α，b?β，α与β相交?a与b相交答案(1)B(2)C解析(1)在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．(2)如图(1)，在正方体中，a、b、c是三条棱所在直线，满足a与b异面，b与c异面，但a∩c＝A，故A错误；在图(2)的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错误；如图(3)，α∩β＝c，a ∥c ，则a 与b 不相交，故D 错误．题型三求两条异面直线所成的角例3 (2016·重庆模拟)如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为________．答案π3解析如图，将原图补成正方体ABCD －QGHP ，连接GP ，则GP ∥BD ，所以∠APG 为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ，所以∠APG ＝π3.引申探究在本例条件下，若E ，F ，M 分别是AB ，BC ，PQ 的中点，异面直线EM 与AF 所成的角为θ，求cos θ的值．解设N 为BF 的中点，连接EN ，MN ，则∠MEN 是异面直线EM 与AF 所成的角或其补角．不妨设正方形ABCD 和ADPQ 的边长为4，则EN ＝5，EM ＝26，MN ＝33. 在△MEN 中，由余弦定理得cos ∠MEN ＝EM 2＋EN 2－MN 22EM ·EN＝24＋5－332×26×5＝－130＝－3030.即cos θ＝3030. 思维升华用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.16B.36C.13D.33 答案 B解析画出正四面体ABCD 的直观图，如图所示．设其棱长为2，取AD 的中点F ，连接EF ，设EF 的中点为O ，连接CO ，则EF ∥BD ，则∠FEC 就是异面直线CE 与BD 所成的角．△ABC 为等边三角形，则CE ⊥AB ，易得CE ＝3，同理可得CF ＝3，故CE ＝CF .因为OE ＝OF ，所以CO ⊥EF . 又EO ＝12EF ＝14BD ＝12，所以cos ∠FEC ＝EO CE ＝123＝36.16．构造模型判断空间线面位置关系典例已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n . 其中所有正确的命题是________．思想方法指导本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误．对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．解析借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α、β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m ⊥α，α∥β可得m ⊥β，因为n ∥β，所以过n 作平面γ，且γ∩β＝g ，如图(4)所示，所以n 与交线g 平行，因为m ⊥g ，所以m ⊥n ，故④正确．答案①④1．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a ?α，b ⊥β，则“α∥β”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若a ?α，b ⊥β，α∥β，则由α∥β，b ⊥β?b ⊥α，又a ?α，所以a ⊥b ；若a ⊥b ，aα，b ⊥β，则b ⊥α或b ∥α或b ?α，此时α∥β或α与β相交，所以“α∥β”是“a ⊥b ”的充分不必要条件，故选A.2．(2016·福州质检)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 、F 分别为棱AA 1、CC 1的中点，则在空间中与直线A 1B 1、EF 、BC 都相交的直线( ) A ．不存在 B ．有且只有两条 C ．有且只有三条 D ．有无数条答案 D解析在EF 上任意取一点M ，直线A 1B 1与M 确定一个平面，这个平面与BC 有且仅有1个交点N ，当M 的位置不同时确定不同的平面，从而与BC 有不同的交点N ，而直线MN 与A 1B 1、EF 、BC 分别有交点P 、M 、N ，如图，故有无数条直线与直线A 1B 1、EF 、BC 都相交．3．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l ( ) A ．平行 B ．相交C ．垂直D ．互为异面直线答案 C解析不论l ∥α，l ?α，还是l 与α相交，α内都有直线m 使得m ⊥l .4．在四面体ABCD 的棱AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如果EF 与HG 交于点M ，则( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在AC 上，也可能在BD 上 D ．M 既不在AC 上，也不在BD 上答案 A解析由于EF ∩HG ＝M ，且EF ?平面ABC ，HG ?平面ACD ，所以点M 为平面ABC 与平面ACD 的一个公共点，而这两个平面的交线为AC ，所以点M 一定在直线AC 上，故选A.5．四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与P A 所成角的余弦值为( ) A.255B.55C.45D.35答案 B解析因为四边形ABCD 为正方形，故CD ∥AB ，则CD 与P A 所成的角即为AB 与P A 所成的角，即为∠P AB . 在△P AB 内，PB ＝P A ＝5，AB ＝2，利用余弦定理可知cos ∠P AB＝P A 2＋AB 2－PB 22×P A ×AB ＝5＋4－52×5×2＝55，故选B.6．下列命题中，正确的是( )A ．若a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a ?α，b ?β，则a ，b 是异面直线B ．若a ，b 是两条直线，且a ∥b ，则直线a 平行于经过直线b 的所有平面C ．若直线a 与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D ．若直线a ∥平面α，点P ∈α，则平面α内经过点P 且与直线a 平行的直线有且只有一条答案 D解析对于A ，当α∥β，a ，b 分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a ∥b ，故A 错误．对于B ，设a ，b 确定的平面为α，显然a ?α，故B 错误．对于C ，当a ?α时，直线a 与平面α内的无数条直线都平行，故C 错误．易知D 正确．故选D.7．(2016·南昌高三期末)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形．∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋P A 1的最小值为________．答案 52解析连接A 1B ，将△A 1BC 1与△CBC 1同时展平形成一个平面四边形A 1BCC 1，则此时对角线CP ＋P A 1＝A 1C 达到最小，在等腰直角三角形△BCC 1中，BC 1＝2，∠CC 1B ＝45°，在△A 1BC 1中，A 1B ＝40＝210，A 1C 1＝6，BC 1＝2，∴A 1C 21＋BC 21＝A 1B 2，即∠A 1C 1B ＝90°.对于展开形成的四边形A 1BCC 1，在△A 1C 1C 中，C 1C＝2，A 1C 1＝6，∠A 1C 1C ＝135°，由余弦定理有，CP ＋P A 1＝A 1C ＝2＋36－122cos 135°＝50＝5 2. 8.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .9．(2015·浙江)如图，三棱锥ABCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．答案 78解析如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK .∵M 为AD 的中点，∴MK ∥AN ，∴∠KMC 为异面直线AN ，CM 所成的角．∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2， N 为BC 的中点，由勾股定理求得AN ＝DN ＝CM ＝22，∴MK ＝ 2.在Rt △CKN 中，CK ＝(2)2＋12＝ 3. 在△CKM 中，由余弦定理，得cos ∠KMC ＝CM 2＋MK 2－CK 22CM ×MK＝(22)2＋(2)2－(3)22×22×2＝78.*10.(2017·郑州质检)如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是________．①BM 是定值；②点M 在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；④存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE . 答案③解析取DC 中点F ，连接MF ，BF ，MF ∥A 1D 且MF ＝12A 1D ，FB ∥ED 且FB ＝ED ，所以∠MFB ＝∠A 1DE .由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos ∠MFB 是定值，所以M 是在以B 为圆心，MB 为半径的球上，可得①②正确；由MF ∥A 1D 与FB ∥ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得④正确；A 1C 在平面ABCD 中的投影与AC 重合，AC 与DE 不垂直，可得③不正确．11.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．证明如图，连接BD ，B 1D 1，则BD ∩AC ＝O ，∵BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 为平行四边形，又H ∈B 1D ， B 1D ?平面BB 1D 1D ，则H ∈平面BB 1D 1D ，∵平面ACD 1∩平面BB 1D 1D ＝OD 1，∴H ∈OD 1. 即D 1、H 、O 三点共线．12.如图所示，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．解如图所示，取AC 的中点F ，连接EF ，BF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点，∴EF ∥CD .∴∠BEF 或其补角即为异面直线BE 与CD 所成的角．在Rt △EAB 中，AB ＝AC ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52. 在Rt △EAF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22. 在Rt △BAF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010.∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. *13.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q .求证： (1)D 、B 、F 、E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线．证明(1)如图所示，因为EF是△D 1B 1C 1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面．即D、B、F、E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，则R∈α且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．下列命题正确的个数为( )．①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．3解析①④错误，②③正确．答案 C2．若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是()．A．平行B．异面C．相交D．平行、异面或相交解析经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D.答案D3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分为( ) A．5部分 B．6部分C．7部分 D．8部分解析垂直于交线的截面如图，把空间分为7部分．答案 C4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是()．A．A1、M、O三点共线B．M、O、A1、A四点共面C．A、O、C、M四点共面D．B、B1、O、M四点共面解析因为O是BD1的中点．由正方体的性质知，点O在直线A1C 上，O也是A1C的中点，又直线A1C交平面AB1D1于点M，则A1、M、O三点共线，A 正确；又直线与直线外一点确定一个平面，所以B、C正确．答案D5．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()．A．AB∥CDB．AB与CD相交C．AB⊥CDD．AB与CD所成的角为60°解析如图，把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(b)所示的直观图，可见选项A、B、C不正确．∴正确选项为D.图(b)中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°.答案D6．如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )．A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD；而BD与SD相交，所以，AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD 所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．答案 D二、填空题7．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．解析只有当a∥b时，a，b在α上的射影才可能是同一条直线，故③错，其余都有可能．答案①②④8. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．答案③④9．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．解析如题图所示，由A′O⊥平面ABCD，可得平面A′BC⊥平面ABCD，又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.答案90°10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．解析法一在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN 与这3条异面直线都有交点．如图所示．法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．答案无数三、解答题11．如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB＝90°，BC綉12AD，BE綉12F A，G、H分别为F A、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綉12AD.又BC綉12AD，∴GH綉BC，∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解由BE綉12AF，G为F A中点知，BE綉FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．12．在长方体ABCD－A1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1)上．(1)过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？并说明理由；(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成α。

高三文科数学一轮复习 空间点 直线 平面之间的位置关系 (必修2) - 96 - 【知识要点】1.点、直线、平面的表示法:2.平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．用集合符号表示：P ∈α, P ∈β⇒ α与β必相交a P a P P ∈⇒=⋂∈∈βαβα,,公理3： 经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同, 则这两个角相等.3.两直线的位置关系⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧不同在任何一个平面内:异面直线点在同一平面内没有公共:平行直线:没有公共点相交直线:有一个公共点4.直线 平面之间的位置关系⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫→→→直线线在平面外 线面平行 没有公共点 线面相交 有一个公共点线在面内 有无数公共点5.两平面之间的位置关系⎩⎨⎧2)公理--交于一条直线(有无数公共点相交没有公共点平行：：【巩固练习】一选择题：1．与异面直线a,b 都相交的两直线m,n 的位置关系是 （ ）A. 相交B. 平行C. 异面D. 相交或异面2．设a,b,c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： （ ） ①若a ⊥b,b ⊥c ，则a//c ；② a,b 是异面直线，b,c 是异面直线，则a,c 也是异面直线； ③若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 相交；④若a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和面，那么上述命题中，真命题的个数是A. 3B. 2C. 1D. 03．下面四个说法中，正确的个数为 （ ）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内A ．1B ．2C ．3D ．4 4．ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论中错误的是（ ）A ．A 、M 、O 三点共线B ．M 、O 、A 1、A 四点共面C ．A 、O 、C 、M 四点共面D ．B 、B 1、O 、M 四点共面高三文科数学一轮复习 空间点 直线 平面之间的位置关系 (必修2) - 97 -5．两等角的一组对应边平行，则 （ ）A ．另一组对边平行B ．另一组对边不平行C ．另一组对边不能垂直D ．以上都不对6．平面外一条直线上有两点到这个平面距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系是 A. 平行 B. 相交 C.平行或相交 D. 以上结果都不对 （ ）7．正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点． 那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形8.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 、EF 、CD 都相交的直线（ ）A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条9.若P 是两条异面直线m l ,外的任意一点，则 （ ）A ．过点P 有且仅有一条直线与m l ,都平行B ．过点P 有且仅有一长直线与m l ,都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与m l ,都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与m l ,都异面二、填空题10.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有______条11. 过三条互相平行的直线可以确定______________个平面.12．平面l =βα ，若直线a α⊂，直线b β⊂，且a ∩b=M ，则M________l13．直线m,n 为异面直线，若m//平面α，则n 与α位置关系_______________.14.与不共面的四点距离都相等的平面共有______个。

空间点、直线、平面之间的位置关系考纲要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．知识梳理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥b a∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l6独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α3.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． (2)范围：⎝⎛⎦⎤0，π2.1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．3．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )(4)若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误．(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误．(4)由于a 不平行于平面α，且a ⊄α，则a 与平面α相交，故平面α内有与a 相交的直线，故错误．2．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 连接B 1D 1，D 1C ，则B 1D 1∥EF ，故∠D 1B 1C 或其补角为所求的角．又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ，∴∠D 1B 1C ＝60°.3.如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形； (2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形． 答案 (1)AC ＝BD (2)AC ＝BD 且AC ⊥BD 解析 (1)∵四边形EFGH 为菱形，∴EF ＝EH ，∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形，∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ，∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .4．(2020·东北三省三校质检)已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⊄α，a ⊄β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是( ) A ．相交或平行 B ．相交或异面 C ．平行或异面 D ．相交、平行或异面答案 D解析 依题意，直线b 和c 的位置关系可能是相交、平行或异面．5．(2021·日照调研)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A ．l 与l 1，l 2都不相交 B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交 答案 D解析 由于l 与直线l 1，l 2分别共面，故直线l 与l 1，l 2要么都不相交，要么至少与l 1，l 2中的一条相交．若l ∥l 1，l ∥l 2，则l 1∥l 2，这与l 1，l 2是异面直线矛盾．故l 至少与l 1，l 2中的一条相交．6．(2021·郑州质检)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2，则异面直线AC 和BC 1所成角的余弦值是( ) A.8525 B ．455C ．855D ．4525答案 A解析 如图，连接AD 1，CD 1，则∠D 1AC (或其补角)就是异面直线AC 和BC 1所成的角，易知AC ＝5，AD 1＝25，CD 1＝13，由余弦定理得cos ∠D 1AC ＝AD 21＋AC 2－CD 212AD 1·AC ＝8525.考点一 平面的基本性质及应用1．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )答案 D解析 对于A ，PS ∥QR ，故P ，Q ，R ，S 四点共面；同理，B ，C 图中四点也共面；D 中四点不共面．2.如图所示，平面α∩平面β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是( )A ．直线ACB ．直线ABC ．直线CD D ．直线BC答案 C解析 由题意知，D ∈l ，l ⊂β，所以D ∈β， 又因为D ∈AB ，所以D ∈平面ABC ，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.3．在三棱锥A－BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG ＝P，则点P()A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上答案 B解析如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.感悟升华 1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．2．证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上．3．证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．考点二空间两直线的位置关系【例1】(1)(2021·广州六校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，有下列四个结论：①AP与CM是异面直线；②AP，CM，DD1相交于一点；③MN∥BD1；④MN∥平面BB1D1D.其中所有正确结论的序号是()A．①④B．②④C．①③④D．②③④(2)(2019·全国Ⅲ卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线答案(1)B(2)B解析(1)连接MP，AC(图略)，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，又面A1ADD1∩面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一点，则①不正确，②正确．③令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.因为M，N分别是C1D1，BC的中点，所以ON ∥D 1M ∥CD ，ON ＝D 1M ＝12CD ，则四边形MNOD 1为平行四边形，所以MN ∥OD 1， 因为MN ⊄平面BD 1D ，OD 1⊂平面BD 1D ， 所以MN ∥平面BD 1D ，③不正确，④正确． 综上所述，②④正确．(2)取CD 的中点O ，连接ON ，EO ，因为△ECD 为正三角形，所以EO ⊥CD ，又平面ECD ⊥平面ABCD ，平面ECD ∩平面ABCD ＝CD ，EO ⊂平面ECD ，所以EO ⊥平面ABCD .设正方形ABCD 的边长为2，则EO ＝3，ON ＝1，所以EN 2＝EO 2＋ON 2＝4，得EN ＝2.过M 作CD 的垂线，交CD 于点P ，连接BP ，则MP ＝32，CP ＝32，所以BM 2＝MP 2＋BP 2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＋22＝7，得BM ＝7，所以BM ≠EN .连接BD ，BE ，因为四边形ABCD 为正方形，所以N 为BD 的中点，即EN ，MB 均在平面BDE 内，所以直线BM ，EN 是相交直线，故选B.感悟升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面，平行和垂直的判定．异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．【训练】 (1)(2021·河南名校联考)已知空间三条直线l ，m ，n ，若l 与m 垂直，l 与n 垂直，则( ) A ．m 与n 异面 B ．m 与n 相交 C ．m 与n 平行D ．m 与n 平行、相交、异面均有可能(2)(2021·宜宾质检)四棱锥P －ABCD 的所有棱长都相等，M ，N 分别为P A ，CD 的中点，下列说法错误的是( )A ．MN 与PD 是异面直线B ．MN ∥平面PBC C ．MN ∥ACD ．MN ⊥PB答案 (1)D (2)C解析 (1)因为m ⊥l ，n ⊥l ，结合长方体模型可知m 与n 可以相交，也可以异面，还可以平行．(2)如图所示，取PB 的中点H ，连接MH ，HC ，由题意知，四边形MHCN 为平行四边形， 且MN ∥HC ，所以MN ∥平面PBC ， 设四边形MHCN 确定平面α，又D ∈α， 故M ，N ，D 共面，但P ∉平面α，D ∉MN ， 因此MN 与PD 是异面直线； 故A ，B 说法均正确．若MN ∥AC ，由于CH ∥MN ，则CH ∥AC ， 事实上AC ∩CH ＝C ， C 说法不正确；因为PC ＝BC ，H 为PB 的中点， 所以CH ⊥PB ，又CH ∥MN ， 所以MN ⊥PB ，D 说法正确． 考点三 异面直线所成的角【例2】 (1)(经典母题)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15B ．56C ．55D ．22(2) (2021·衡水检测)如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE ＝14SB ，则异面直线SC 与OE 所成角的正切值为( )A.222B ．53C ．1316D ．113答案 (1)C (2)D解析 (1)如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM .易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角或其补角．因为在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2， DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝52， DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝ 5.所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理， 得cos ∠MOD ＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×1×52＝55.故异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.(2)如图，过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，连接CF ，则∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角．∵SE ＝14SB ，∴SE ＝13BE .又OB ＝3，∴OF ＝13OB ＝1.∵SO ⊥OC ，SO ＝OC ＝3，∴SC ＝3 2. ∵SO ⊥OF ，∴SF ＝SO 2＋OF 2＝10. ∵OC ⊥OF ，∴CF ＝10. ∴在等腰△SCF 中，tan ∠CSF ＝102－⎝⎛⎭⎫3222322＝113. 【迁移1】 若将例2中(1)条件“AA 1＝3”变为“AA 1＝2”，其它条件不变，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为________． 答案 45解析 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1(或其补角)为异面直线A 1B 与AD 1所成的角． 连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，易得A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，∴cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212A 1B ·BC 1＝45.故异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.【迁移2】 若将例2中(1)题条件“AA 1＝3”变为“异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为910”．试求AA 1的值． 解 设AA 1＝t ，∵AB ＝BC ＝1， ∴A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝t 2＋1.∴cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝t 2＋1＋t 2＋1－22×t 2＋1×t 2＋1＝910. 解之得t ＝3，则AA 1＝3.感悟升华 综合法求异面直线所成角的步骤： (1)作：通过作平行线得到相交直线．(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)．(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．立体几何中的截面问题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题．立体几何中截面问题涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性较强，培养学生直观想象和逻辑推理等数学核心素养．【典例】 (2018·全国Ⅰ卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A.334B ．233C ．324D ．32答案 A解析 如图，依题意，平面α与棱BA ，BC ，BB 1所在直线所成角都相等，容易得到平面AB 1C 符合题意，进而所有平行于平面AB 1C 的平面均符合题意．由对称性，知过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中心的截面面积应取最大值，此时截面为正六边形EFGHIJ .易知正六边形EFGHIJ 的边长为22，将该正六边形分成6个边长为22的正三角形． 故其面积为6×34×⎝⎛⎭⎫222＝334.思维升华 作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：(1)确定平面的条件；(2)三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理．【训练】 (2021·雅礼中学检测)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，M 、N 分别是BB 1和A 1C 1的中点，则平面AMN 截“堑堵”ABC －A 1B 1C 1所得截面图形的面积为( )A.2213B ．4213C.273 D ．473答案 A解析 延长AN ，与CC 1的延长线交于点P ，则P ∈平面BB 1C 1C ，连接PM ，与B 1C 1交于点E ，连接NE ，得到的四边形AMEN 是平面AMN 截“堑堵”ABC －A 1B 1C 1所得截面图形，由题意解三角形可得NE ＝ME ＝173，AM ＝AN ＝5，MN ＝ 6. ∴△AMN 中MN 边上的高h 1＝52－⎝⎛⎭⎫622＝142，△EMN 中MN 边上的高h 2＝⎝⎛⎭⎫1732－⎝⎛⎭⎫622＝146.∴AMN 截“堑堵”ABC －A 1B 1C 1所得截面图形的面积S ＝S △AMN ＋S △EMN ＝12MN ·(h 1＋h 2)＝12×6⎝⎛⎭⎫142＋146＝2213.A 级 基础巩固一、选择题1．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是( ) A ．① B ．①④C ．②③D ．③④答案 B解析 显然命题①正确．由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错． 命题③中，两个平面重合或相交，③错．三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确．2. (2020·重庆一中月考)如图，α∩β＝l ，A ，B ∈α，C ∈β，且C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M答案 D解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．3．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c答案 C解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．4.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面 答案 A解析 连接A 1C 1，AC (图略)，则A 1C 1∥AC ， ∴A 1，C 1，A ，C 四点共面， ∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1， 又M ∈平面AB 1D 1，∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上， 同理A ，O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上． ∴A ，M ，O 三点共线．5．在三棱锥S －ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面答案 B解析 如图所示，连接SG 1并延长交AB 于M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN .由题意知SM 为△SAB 的中线，且SG 1＝23SM ，SN 为△SAC 的中线，且SG 2＝23SN ，∴在△SMN 中，SG 1SM ＝SG 2SN ，∴G 1G 2∥MN ，易知MN 是△ABC 的中位线，∴MN ∥BC ， ∴G 1G 2∥BC .6．在各棱长均相等的四面体ABCD 中，已知M 是棱AD 的中点，则异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为( ) A.23B ．25C ．36D ．26答案 C解析 设四面体ABCD 的棱长为2，取CD 的中点N ，连接MN ，BN ，∵M 是棱AD 的中点， ∴MN ∥AC ，∴∠BMN (或其补角)是异面直线BM 与AC 所成的角． ∵BM ＝BN ＝22－12＝3， MN ＝12AC ＝1，∴在△BMN 中，cos ∠BMN ＝BM 2＋MN 2－BN 22BM ·MN ＝3＋1－32×3×1＝36，∴异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为36. 二、填空题7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．答案 4解析因为AB∥CD，由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与另外四个侧面相交．8.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．答案 2解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角．因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.9.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析还原成正四面体ADEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．易知GH与EF异面，BD与MN异面．又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确的序号是②③④.三、解答题10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求异面直线AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求异面直线A1C1与EF所成角的大小．解(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C 与AC所成的角就是异面直线AC与A1D所成的角．在△AB1C中，AB1＝AC＝B1C，所以∠B1CA＝60°.故异面直线A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)连接BD ，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，所以EF ⊥AC . 所以EF ⊥A 1C 1.故异面直线A 1C 1与EF 所成的角为90°.11．(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1.证明：(1)当AB ＝BC 时，EF ⊥AC ； (2)点C 1在平面AEF 内．证明 (1)如图，连接BD ，B 1D 1.因为AB ＝BC ，所以四边形ABCD 为正方形，故AC ⊥BD .又因为BB 1⊥平面ABCD ，于是AC ⊥BB 1.又BD ∩BB 1＝B ，所以AC ⊥平面BB 1D 1D .由于EF ⊂平面BB 1D 1D ， 所以EF ⊥AC .(2)如图，在棱AA 1上取点G ，使得AG ＝2GA 1，连接GD 1，FC 1，FG .因为ED 1＝23DD 1，AG ＝23AA 1，DD 1綉AA 1，所以ED 1綉AG ，于是四边形ED 1GA 为平行四边形，故AE ∥GD 1.因为B 1F ＝13BB 1，A 1G ＝13AA 1，BB 1綉AA 1，所以B 1FGA 1是平行四边形，所以FG 綉A 1B 1，所以FG 綉C 1D 1，四边形FGD 1C 1为平行四边形，故GD 1∥FC 1.于是AE ∥FC 1.所以A ，E ，F ，C 1四点共面，即点C 1在平面AEF 内．B 级 能力提升12．(2021·昆明诊断)如图，已知二面角A -BD -C 的大小为π3，G ，H 分别是BC ，CD 的中点，E ，F 分别在AD ，AB 上，AE AD ＝AF AB ＝13，且AC ⊥平面BCD ，则以下说法不正确的是( )A ．E ，F ，G ，H 四点共面B ．FG ∥平面ADCC ．若直线FG ，HE 交于点P ，则P ，A ，C 三点共线D ．若△ABD 的面积为6，则△BCD 的面积为3答案 B解析 由AE AD ＝AF AB ＝13知EF 綉13BD . 又GH 綉12BD ，∴EF ∥GH ， 因此E ，F ，G ，H 共面，A 项正确；假设FG ∥平面ADC 成立，因为平面ABC ∩平面DAC ＝AC ，所以FG ∥AC ，又G 是BC 的中点，所以F 是AB 的中点，与AF AB ＝13矛盾，B 项不正确； 因为FG ⊂平面ABC ，P ∈FG ，所以P ∈平面ABC ，同理P ∈平面ADC ，因为平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，所以P ∈AC ，所以P ，A ，C 三点共线，因此C 正确；易知S △BCD ＝cos π3·S △ABD ＝12×6＝3，D 正确． 13．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 是底面ABCD 的中心，过O 点作一条直线l 与A 1D 平行，设直线l 与直线OC 1的夹角为θ，则cos θ＝________.答案 36 解析 如图所示，设正方体的表面ABB 1A 1的中心为P ，容易证明OP ∥A 1D ，所以直线l 即为直线OP ，角θ即∠POC 1.设正方体的棱长为2，则OP ＝12A 1D ＝2，OC 1＝6，PC 1＝6， 则cos ∠POC 1＝2＋6－62×2×6＝123＝36. 14.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值．解 (1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4，所以四棱锥O －ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83. (2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE ，又M 为OA 中点，∴ME ∥OC ， 则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，即DE2＋EM2＝MD2，∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，∴tan∠EMD＝DEEM＝23＝63.∴异面直线OC与MD所成角的正切值为6 3.。