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余弦定理的证明方法大全(共十法)一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-. 证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-222AB AC AB AC =+-⋅222cos b c bc A =+-即,2222cos a b c bc A =+-.证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立. (2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.从而,cos BD AB AD c b A =-=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.说明:图2-1中只对B ∠是锐角时符合,而B ∠还可以是直角或钝角.若B ∠是直角,图中的图1CAB图2-1DCAB点D 就与点B 重合；若B ∠是钝角,图中的点D 就在AB 的延长线上.(3)当A ∠是钝角时,如图2-2,过点C 作CD AB ⊥,交BA 延长线于点D ,则 在Rt ACD ∆中,cos()cos AD b A b A π=-=-,sin()sin CD b A b A π=-=.从而,cos BD AB AD c b A =+=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得:222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.综上(1),(2),(3)可知,均有2222cos a b c bc A =+-成立. 证法三:过点A 作AD BC ⊥,交BC 于点D ,则在Rt ABD ∆中,sin BD c α=,cos ADc α=.在Rt ACD ∆中,sin CD b β=,cos ADbβ=.由cos cos()cos cos sin sin A αβαβαβ=+=-可得:2cos AD AD BD CD AD BD CDA c b c b bc-⋅=⋅-⋅=2222AD BD CD bc -⋅=222222c BD b CD BD CD bc -+--⋅=222()2b c BD CD bc +-+=2222b c a bc+-=整理可得2222cos a b c bc A =+-. 证法四:在ABC ∆中,由正弦定理可得sin sin sin sin()a b c cA B C A B ===+. 从而有sin sin b A a B =,………………………………………………………………①sin sin()sin cos cos sin c A a A B a A B a A B =+=+. …………………………②将①带入②,整理可得cos cos a B c b A =-.…………………………………………③ 将①,③平方相加可得22222(cos )(sin )2cos a c b A b A b c bc A =-+=+-.图2-2DBACβα图3DBAC即,2222cos a b c bc A =+-.证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点(0,0)A ,(,0)B c ,(cos ,sin )C b A b A ,再由两点间距离公式可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+222cos c cb A b =-+.即,2222cos a b c bc A =+-.证法六:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,222224sin 4sin ()a R A R B C ==+222224(sin cos cos sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =++ 222224(sin sin 2sin sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =+-+ 2224(sin sin 2sin sin cos())R B C B C B C =+++ 2224(sin sin 2sin sin cos )R B C B C A =+-22(2sin )(2sin )2(2sin )(2sin )cos R B R C R B R B A =+-222cos b c bc A =+-即,结论成立.证法七:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,2222cos a b c bc A =+-22222224sin 4sin 4sin 8sin sin cos R A R B R C R B C A ⇔=+-2222sin 2sin 2sin 4sin sin cos A B C B C A ⇔=+- 22sin 2cos 2cos 24sin sin cos A B C B C A ⇔=-+-222cos 22cos()cos()4sin sin cos A B C B C B C A ⇔-=-+--由于cos()cos()cos B C A A π+=-=-,因此2cos cos()cos()2sin sin cos A B C B C B C A ⇔=+-+cos cos()2sin sin A B C B C ⇔=--+cos cos cos sin sin cos()A B C B C B C ⇔=-+=-+. 这,显然成立.xy图4BA(O)C即,结论成立.证法八:如图5,以点C 为圆心,以CA b =为半径作C ,直线BC 与C 交于点,D E ,延长AB 交C 于F ,延长AC 交C 于G .则由作图过程知2cos AF b A =, 故2cos BF b A c =-.由相交弦定理可得:BA BF BD BE ⋅=⋅, 即,(2cos )()()c b A c b a b a ⋅-=+⋅-, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法九:如图6,过C 作CD ∥AB ,交ABC ∆的外接圆于D ,则AD BC a ==,BD AC b ==.分别过,C D 作AB 的垂线,垂足分别为,E F ,则cos AE BF b A ==,故2cos CD c b A =-.由托勒密定理可得AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅, 即,(2cos )a a c c b A b b ⋅=⋅-+⋅.整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法十:由图7-1和图7-2可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.bcosA absinAc-bcosAac-bcosAbsinA图7-2图7-1DE DABCC B余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.bac2bcosA-cb-a bb图5GDE FCAB c b aa 图6F EDCBA。
余弦定理及其变形公式
嘿，朋友们！今天咱来聊聊超厉害的余弦定理及其变形公式哟！
余弦定理就是：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，就好比你要去一个地方，$a$是你走的路程，$b$和$c$是两条不同的路，而$\cos A$就是它们之间的关系呀！比如说，在一个三角形里，已知两边长度是 3 和 4，夹角是60 度，那就能用这个公式算出第三边的长度啦！
还有变形公式呢，比如$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$，这就像你找到了一个神奇的密码，能通过已知条件算出角度哟！好比你知道了三边的长度，就能通过这个公式算出角的大小啦！嘿，你说神奇不神奇！
咱再举个例子，想象一下，在一个神秘的三角形世界里，你要找到一个特定角的大小，这时候这些公式不就像你的秘密武器一样么！哇塞，学会了这些，就像是掌握了打开三角形宝藏大门的钥匙呀！是不是超级有趣呀！赶紧去试试吧！。
解三角形 余弦定理1、余弦定理：在中，有，，C ∆AB 2222cos a b c bc =+-A 2222cos b a c ac =+-B ．2222cos c a b ab C =+-余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.2、余弦定理的推论：，，．222cos 2b c a bc +-A =222cos 2a c b ac +-B =222cos 2a b c C ab+-=3、设、、是的角、、的对边，则：①若，则a b c C ∆AB A B C 222a b c +=；90C = ②若，则；③若，则．222a b c +>90C < 222a b c +<90C > 余弦定理的应用范围：②知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A AB Ca b c A A B C ab c A∆是锐角三角形A B C 例题：1、在ABC 中，已知，，求b 及A .∆=a c 060=B 2、在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C .3、在ΔABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝60°，解这个三角形.4、在ABC 中，若，求角A .∆222a b c bc =++1、在△ABC 中，，，，那么等于（）3a =b =2c =B ∠A 、30°B 、45°C 、60°D 、120°2、已知△ABC 的三边长，则△ABC 的面积为（ ）6,5,3===c b a A 、B 、C 、D 、14142151523、在△ABC 中，，则△ABC 是（ ）31,4a b c =-== A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、任意三角形4．在△ABC 中， ，则A 等于（ ）222a b c bc =++ A ．60° B ．45° C ．120° D ．30°5．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则三角形的形状为（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形6．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（ ） A ． B ．－ C ． D ．－232314147．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝，则最大角的余弦值是1413________．8．在△ABC 中，若AB ＝，AC ＝5，且cos C ＝，则BC ＝________．51099、在△ABC 中，，求及。
