2020年高考理科数学 《二项式定理》题型归纳与训练及参考答案

二项式定理常考点：1、二项式定理：2、几个基本概念（1）二项展开式：右边的多项式叫做的二项展开式（2）项数：二项展开式中共有项（3）二项式系数：叫做二项展开式中第项的二项式系数（4）通项：展开式的第项，即(5)二项式系数的和：(6)各项式系数之和:3.二项式系数的性质:(1）对称性:在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等（2）增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值当是偶数时，中间一项取得最大值当是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值=(3)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和基本题型(一)通项公式的应用的展开式中第三项的二项式系数为________；第三项的系数为_______；常数项为_______；含的项为______。

(二)二项式系数的最值的展开式中二项式系数最大的是第____项；的展开式中二项式系数最大的是第____项（三）展开式中各项系数和问题已知，求一.选择题1.在（x-）的展开公式中，x的系数为( )A.-120B.120C.-15D.152.8x y项的系数是（）x的展开式中62()A．56 B．56-- C．28 D．283.二项式的展开式中系数为有理数的项共有（）A.6项B.7项C.8项D.9项4.已知(x－)8展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是( )A.28B.38C.1或38D.1或285.（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是（）A.8B.9C.10D.126.（2x3－）7的展开式中常数项是（）A.14B.－14C.42D.－427.若的展开式中的系数是( )A. B. C. D.8.在()n的二项展开式中，若常数项为60，则n等于( )A.3B.6C.9D.129.的值为（）A．61 B．62 C．63 D．64 10．若(ax-1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是( )A．-2 B．2 C． D．211.的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为( )A.－540B.－162C.162D.54012.若对于任意的实数x ，有x 3=a 0+a 1（x -2）+a 2（x -2）2+a 3（x -2）3，则a 2的值为( )A.3B.6C.9D.1 13.在的二项展开式中，若只有的系数最大，则( )A.8B. 9C. 10D.11 14.已知(＋)n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( )A.4B.5C.6D.715.设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A.－2B.－1C.1D.2 16.设则中奇数的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 二.填空题17．已知a 为如图所示的程序框图中输出的结果，求二项式6(的展开式中含x 2项的系数18. 72x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是19.展开式中的常数项是20.若（1－2x ）2004=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2004x 2004（x ∈R ），则（a 0+a 1）+（a 0+a 2）+（a 0+a 3）+…+（a 0+a 2004）=21.已知(1+kx 2)6(k 是正整数)的展开式中,x 8的系数小于120,k=____________参考答案CADCC ABBBD ABCCAA17.-19218.8419.21020.200421.1。

二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。

高三数学二项式定理与性质试题答案及解析1.在二项式的展开式中，含的项的系数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为，则令得，所以含项的系数为，故选【考点】二项式定理.2.已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于()A．180B．90C．－5D．5【答案】A【解析】(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，其通项公式为Tr＋1＝210－r·(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数．∴a8＝22(－1)8＝180.故选A.3.二项式(2－)6的展开式中所有有理项的系数和等于________．(用数字作答)【答案】365【解析】Tr＋1＝·(2)6－r·(－1)r·x－r＝(－1)r·26－r，r＝0,1,2,3,4,5,6，当r＝0,2,4,6时，Tr＋1＝(－1)r26－r为有理项，则所有有理项的系数和为26＋24＋22＋20＝365.4.已知(1＋kx2)6(k是正整数)的展开式中，x8的系数小于120，则k＝________.【答案】1【解析】由Tr＋1＝ (kx2)6－r＝k6－r x2(6－r)，得x8的系数为k4＝15k4，由15k4<120得k4<8，因为k为正整数，所以k＝1.5.的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)【答案】【解析】因为，所以令，解得，所以=15，解得.【考点】本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档. 6.的二项展开式中，的系数等于．【答案】15【解析】,时，,此时的系数等于.【考点】二项式系数7.二项式的展开式中系数最大的项是第项．【答案】9【解析】因为，而组合数中最大，所以展开式中系数最大的是，即第9项.【考点】组合数性质8.若（的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，则直线y=nx与曲线y=x2围成的封闭区域面积为（）A．B．12C．D．36【答案】C【解析】展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，所以,那么,与围成的封闭图形区域为,故选C.【考点】1.二项式系数；2.定积分.9.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A．-40B．-20C．20D．40【答案】D【解析】令x=1得a=1.故原式=。

二项式定理经典考点例析考点1：二项式系数与项的系数1、在28(2x -的展开式中，求： （1）第5项的二项式系数及第5项的系数.（2）2x 的系数.2.若1()nx x+展开式中第2项与第6项的系数相同，则展开式的中间一项的系数为___________.3.已知二项式102)3x求 （1）第四项（2）展开式第四项的二项式系数（3）展开式第四项的系数考点2：二项式定理逆用1、5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)x x x x x -+-+-+-+-=_____________2、5432)12()12(5)12(10)12(10)12(51+-+++-+++-x x x x x =_____________考点3：求二项式展开式中的特定项、某一项【例题】 1、二项式3522()x x-的展开式中5x 的系数___________；2. 二项式43(1)(1x -的展开式中2x 的系数是___________.3.若4(1a +=+（,a b 为有理数），则a b +=___________.4.二项式8(2-展开式中不含4x 项的系数的和为___________.5、二项式53)31()21(x x -+的展开式中4x 的系数___________.【练习】1.二项式4(1)x +的展开式中2x 的系数为___________..2.二项式210(1)x -的展开式中，4x 的系数为___________.3.二项式6展开式中含2x 项的系数为___________. 4.二项式533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数___________.、常数项和有理项【例题】 1. 二项式61(2)2x x-的展开式的常数项是___________.2、二项式100的展开式中x 的系数为有理数的项的个数___________.3. 二项式261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为___________.4.二项式5)12(++xx 的展开式中常数项是___________. 【练习】1.8(2x -的展开式中的常数项___________. 2.在261()x x+的展开式中，常数项是___________.3.二项式5)44(++xx 的展开式中常数项是___________. 4.二项式54)31()21(xx -+的展开式中常数项是___________. 考点4：求展开式中的各项系数之和的问题1、已知7270127(12)...x a a x a x a x -=++++.求：（1）0a ； （2）763210a a a a a a ++++++ ；（3）763210a a a a a a -++-+-（4）6420a a a a +++；（5）7531a a a a +++；（6）2753126420)()(a a a a a a a a +++-+++. （7）||||||||||||763210a a a a a a ++++++ .（8）7766321022842a a a a a a ++++++ ；（9）7766321022842a a a a a a ++++++； 2.在二项式9(23)x y -的展开式中，求：（1）二项式系数之和；（2）各项系数之和；（3）所有奇数项系数之和；（4）所有项的系数的绝对值之和.3.利用二项式nn n n n n n n x C x C x C x C C x +++++=+ 432210)1(展开式nn n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn n n n n C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 32842)4(2)3(0)1()2(2)1(3210153142032103210=+++++=+++=+++=-++-+-=+++++-考点5：多项式的展开式最大项问题【例题】1、二项式9)21(x +展开式中，(1)二项式系数的最大项 (2)系数的最大项 2、二项式12)21(x -展开式中（1）求展开式中系数的绝对值最大的项.（2）求展开式中系数最大的项.（3）求展开式中系数最小的项.3、已知()(1)(12)(,)m n f x x x m n N +=+++∈的展开式中含x 项系数为11，求()f x 展开式中2x 项系数的最小值．4、n xx )1(4+展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为__________．【练习】1、2102()x x+的展开式中系数最大的项； 2、求7(12)x -展开式中系数最大的项．3、设x =50(1)x +展开式中第几项最大？4、已知()nx x 2323+展开式中各项系数的和比各项的二项式系数的和大992，（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项.考点6：含参二次函数求解【例题】1.【特征项】在二项式25()a x x-的展开式中x 的系数是-10，则实数a 的值是___________.2.【常数项】若n的展开式中存在常数项，则n 的值可以是___________.3.【有理项】已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列，展开式中的所有有理项________. 4.【特征项】在210(1)x px ++的展开式中，试求使4x 项的系数最小时p 的值.5.【系数最大】已知1(2)2nx +的展开式中，第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项． 【练习】1.若9()a x x-的展开式中3x 的系数是-84，则a =___________.2.已知2)n x的展开式中第5项系数与第3项的系数比56:3，则该项展开式中2x 的系数_____. 3.若二项式22()nx x-的展开式中二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为___________ 4.已知(13)nx +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．考点7：求解某些整除性问题或余数问题1. 求证22*389()n n n N +--∈能被64整除.2. 9291被100整除所得的余数为_________ 3. 设21(*)n k k N =-∈，则11221777...7nn n n n n n C C C ---+⋅+⋅++⋅被9除所得的余数为_________4. 求证：（1）51511-能被7整除；（2）2332437n n +-+能被64整除.5. 如果今天是星期一，那么对于任意的自然数n ，经过33(275)n n +++天是星期几？考点8：计算近似值1、求60.998的近似值，使误差小于0.001. 2、求51.997精确到的近似值.考点9：有关等式与不等式的证明化简问题1、求121010101010124...2C C C ++++的值. 2、化简：1231248...(2)nnn n n n C C C C -+-++-. 3、求证：01121*(2)!...()(1)!(1)!n nn n n n n n n C C C C C C n N n n -+++=∈-+.4、证明下列等式与不等式（1）123123 (2)nn n n n n C C C nC n -++++=⋅.（2）设,,a b c 是互不相等的正数，且,,a b c 成等差数列，*n N ∈，求证2nnna cb +>. 【练习】1、=++++nn n n n n C C C C 2222210 ；2、=-++-+-nn n n n n n n C C C C C 2)1(22232210 ； 3、求证：12122-⋅=+++n n n n n n nC C C4、求证：nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++5、已知7292222210=++++nn n n n n C C C C ，求n n n n C C C +++ 21考点10：创新型题目1、对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：①展开式中T 1000= －C 19991000x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上） 2、规定!)1()1(m m x x x C m x +--=，其中x ∈R，m 是正整数，且10=x C ，这是组合数m n C （n 、m 是正整数，且m ≤n ）的一种推广．(1) 求315-C的值；(2) 设x >０，当x 为何值时，213)(xxC C 取得最小值(3) 组合数的两个性质；①m n n m n C C -=. ②mn m n m n C C C 11+-=+.是否都能推广到mx C （x ∈R，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.3、对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2005!!)·(2006!!)=2006!；②2006!!=21003·1003!；③2006!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5．正确的命题是________．。

6.3 二项式定理（精讲）考法一 二项式定理展开式【例1】(1)求4+的展开式为 ．（2）（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）已知012233444(1)4729nnnn n n n n C C C C C -+-++-=L ，则n 的值为【答案】（1）1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2【解析】（1）方法一　(14＝4＋C 143·1)＋C 2421)2＋C 341)3＋C41)4＝81x 2＋108x ＋54＋12x＋1x2.方法二　(14＝3x ＋14＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 4(3x )4]＝1x2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.（2）由012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C-+-++-=L 得()()()()()0120312312301414141414729nn n n n n n n n n n C C C C C ---××-+××-××-+××-×-+++=×L 则()12479n-=，即()()672933n =-=-，解得6n =.【一隅三反】1．（2021·全国课时练习）化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是( )A ．(2x+2)5B ．2x 5C ．(2x-1)5D ．32x 5【答案】D【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作()()55211rrr C x -+-，故为()5211x éù+-ëû的展开式，化简()()555211232x x x éù+-==ëû.故选D.2．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）化简：2012222412333...3n n n n n n n n C C C C ---×+×+×++×=_________.【答案】101n -【解析】()()()()011020201211212(31)3131...3131n n n n n nn n n n n C C C C ----+=´´+´´++´´+´´则2012222412233331(31)10n n n n n nn n n n C C C C ---×+×+×++×+=+=L 所以2012222412333...3101nn n n n n n n n C C C C ---×+×+×++×=-故答案为：101n -.考法二 二项式指定项的系数与二项式系数【例2】（1）（2020·全国高二单元测试）在(x 10的展开式中，x 6的系数是（2）（2020·广东佛山市·高二期末）二项式81x x æö+ç÷èø的展开式中常数项是______（用数字作答）（3）（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考）30的有理项共有 项【答案】（1）9410C （2）70（3）6【解析】（1）由T k +1=10kC x 10-k k ，令10-k =6，解得k =4，∴系数为)4410C =9410C （2）二项式81x x æö+ç÷èø的展开式的通项公式8821881r r r rr r T C x C x x --+==，令820r -=，得4r =,则常数项为4588765==704321T C ´´´=´´´，故答案为：70（3）30的通项公式为：53010613030rrrrr r T C C x--+==，061051730300,,6,r T x r T x C C ====，12180513********,,18,r T x r T x C C -====，243010152531303024,,30,r T x r T x C C --====，所以有理项共有6项，故选：C 【一隅三反】1．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）【答案】60【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T C xC xx ---+æö=-=-ç÷èø令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.2.（2021·上海青浦区）在6212x x æö+ç÷èø二项展开式中，常数项是_______.【答案】60【解析】展开式的通项公式是()626123166122rrrr r r r T C xC x x ---+æö=××=××ç÷èø，当1230r -=时，4r = 24416260T C +=×=.故答案为603.．（2020·青海西宁市）若8x æ+çè的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______.【答案】12【解析】根据二项展开式的通项公式可得：4888331888=rr r r r r r r r r r T C x C a x C a x ----+==，令4843r -=，可得3r =，3388==7r r C a C a ，解得：12a =，故答案为：124．（2020·梁河县）已知31(2)nx x+的展开式的常数项是第7项，则n =________.【答案】8【解析】根据题意，可知第7项为()666366324122n n n nn C xC x x ---æö××=××ç÷èø，而常数项是第7项，则3240n -=，故8n =.故答案为：8.考法三 多项式系数或二项式系数【例3】（1）（2020·福建三明市·高二期末）52212x x æö+-ç÷èø的展开式中常数项是（ ）A ．-252B ．-220C ．220D ．252（2）．（2021·四川成都市）若5(2)a x x x æö+-ç÷èø的展开式中常数项为80-，则a =（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．1-【答案】（1）A （2）C 【解析】(1）由2510211(2)()x x x x+-=-，可得二项式101()x x-的展开式通项为10102110101()(1)rrr r r r r T C xC x x--+=-=-，令1020r -=，解得=5r ，所以展开式的常数项为5510(1)252C -=-.故选：A.（2）Q 5a x x æö-ç÷èø的展开式的通项公式为：55251(1)r r r r r T C a x --+=×××-，显然，25r -为奇数，Q 若求5(2)a x x x æö+-ç÷èø展开式的常数项，251r \-=-，解得2r =故5(2)a x x x æö+-ç÷èø的展开式的常数项等于：23580C a ×=-2a \=-故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高三专题练习）4211x x æö+-ç÷èø展开式中常数项为（ ）.A ．11B ．11-C ．8D ．7-【答案】B【解析】将21x x +看成一个整体，展开得到：41421()(1)r r rr T C x x-+=+- 421(r x x-+的展开式为：4243144m r m m m r mm r r T C x x C x -----+--=×=取430r m --= 当0m =时，4r = 系数为：4440(1)1C C ´´-= 当1m =时，1r = 系数为：11143(1)12C C ´´-=- 常数项为11211-=- 故答案选B2．（2020·全国高三专题练习）52431x x x ææö-+ç÷çèøè的展开式中常数项为( )A ．30-B ．30C ．25-D ．25【答案】C【解析】51æçè 的通项为15(1)r r r r T C +=-， 55224311x x x x æææö-+=-ç÷ççèøèè 554311x x ææ-+ççèè，根据式子可知当4r = 或2r = 时有常数项，令4r = 41455(1)T C Þ=- ; 令232352(1)r T C =Þ=-;故所求常数项为13553C C -´ 53025=-=- ，故选C.3．（2020·河南商丘市）()64111x x æö++ç÷èø的展开式的常数项为（ ）A ．6B ．10C ．15D ．16【答案】D【解析】由题意得611x æö+ç÷èø的展开式的通项为()160,1,2,,6r r r T C x r -+=×=×××，令4r =，则4615C =，所以()64111x x æö++ç÷èø的展开式的常数项为11516+=.故选：D.4．（2020·枣庄市第三中学高二月考）在1020201(1)x x++的展开式中，x 2项的系数为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】B 【解析】在1020201(1)x x++的展开式中，通项公式为T r +110rC=•20201rx x æö+ç÷èø.对于20201rx x æö+ç÷èø，通项公式为T k +1kr C =•x r ﹣2021k ，k ≤r ，r 、k ∈N ，r ≤10.令r ﹣2021k ＝2，可得r ＝2+2021k ，故k ＝0，r ＝2，故x 2项的系数为210C •02C =45，故选：B .5．（2020·全国高二专题练习）若()1021x a x x æö-+ç÷èø的展开式中6x 的系数为30，则a 等于（ ）A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】D【解析】将题中所给式子可化为()10101022111x a x x x a x x x x æöæöæö-+=+-+ç÷ç÷ç÷èøèøèø根据二项式定理展开式通项为1C rn rrr nT a b -+=,101x x æö+ç÷èø的通项为10102110101rr r r r r T C x C x x --+æö=×=ç÷èø令1024r-= 解得3r =所以6x 的项为234610120x C xx ×=令1026r -=解得2r =所以6x 的项为2661045a C x ax -×=-综上可知, 6x 的系数为1204530a -= 解得2a = 故选:D考法四 二项式定理的性质【例2】（1）（多选）（2020·全国高二单元测试）111x x æö-ç÷èø的展开式中二项式系数最大的项是（ ）A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项（2）（2020·山东省桓台第一中学高二期中）（多选）二项式1121x x æö+ç÷èø的展开式中，系数最大的项为（ ）.A ．第五项B ．第六项C ．第七项D ．第八项（3）（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高二开学考试）若1nx x æö-ç÷èø的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ．462-B ．462C ．792D ．792-【答案】（1）BC （2）BC （3）D【解析】(1）因为n ＝11为奇数，所以展开式中第1112+项和第11112++项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.故选：BC（2）二项式1121x x æö+ç÷èø的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项所以系数最大的项为第六项和第七项故选：BC（3）∵1nx x æö-ç÷èø的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =.121x x æö-ç÷èø的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =.∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ．【一隅三反】1．（2020·辽宁沈阳市·高二期中）在()()1nx n N +-Î的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则næçè的二项展开式中的常数项为（ ）A ．960B ．1120C ．-560D ．-960【答案】B【解析】在（x ﹣1）n （n ∈N +）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，则n =8æ-çè的二项展开式的通项公式为T r+1=8r C •28﹣r •（﹣1）r •x 4﹣r ，令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为48C •24•（﹣1）4=1120，故选B ．2．（2021·湖南常德市）(ax +1x )(2x ―1)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（ ）A ．B ．C ．10D ．20【答案】C【解析】由已知，当x =1时，(a +11)(2―1)5=2,即a =1，所以(x +1x )(2x ―1)5展开式中常数项为1x ×C 452x ×(―1)4=10，故选C .3．（多选）（2020·三亚华侨学校高二开学考试）已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】ABC【解析】∵已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数4n C 最大,则7n =或n ＝8或n ＝9故选：ABC .4．（2020·全国高二课时练习）已知6(31)x +展开式中各项系数的和为m ，且2log n m =，求2nx ö-÷ø展开式中二项式系数最大的项的系数 .【答案】59136【解析】设6260126(31)x a a x a x a x +=++++L ，令1x =，得6612(31)42m =+==，所以2log 12n m ==，则122x ö÷ø展开式中有13项，且中间一项（第7项）的二项式系数最大，该项为6666633712122(2)59136T C C x x x --æö=-=-=ç÷èø.故所求的系数为59136.5．（2020·重庆市第七中学校高二月考）二项式()*122nx n N x æö-Îç÷èø的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_________．【答案】-20【解析】由题意知，展开式中有7项，6n =．因为()661122rrrTr C x x -æö+=-ç÷èø()6262612r r r r C x --=-令620r -=，得3r =，所以常数项为()336120C -=-．考法五 二项式系数或系数和【例5】（2020·安徽省泗县）若2701277()(12)f x x a a x a x a x =+=++++L .求：（1）017a a a ++¼+；（2）1357a a a a +++；（3）0127a a a a ++++L .【答案】（1）27；（2）14；（3）27.【解析】（1）令1x =，可得301235674()3271f a a a a a a a a ==+++++++=，∴4012356727a a a a a a a a ++++++=+．①（2）令1x =-可得301235674(1)(1)f a a a a a a a a -=-=-+-+-+-，∴401235671a a a a a a a a +-+-+-=--．②由①-②得13572()28a a a a +++=，∴135714a a a a +++=．（3）由题意得二项式7(12)x +展开式的通项为177(2)2rrrr rr T C x C x +==，∴每项的系数0(0,1,2,,7)i a i >=L ，∴01235017647227a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=+L ．【一隅三反】1．（2020·北京朝阳区·高二期末）在5(21)x +的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______.【答案】32 243【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为52232n ==，令1x =可得所有项的系数之和为55(211)3243==´+，故答案为：32，2432．（2020·全国高二单元测试）若－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝ 【答案】1【解析】令1x =，得)1001101a a a +++=-L ，令1x =-，得)100123101a a a a a -+-++=+L ，()()220210139a a a a a a +++-+++L L ()()0110012310a a a a a a a a =+++-+-++L L))1010111==.故选：A.3．（2020·福建厦门市·厦门双十中学高二期中）已知()1121011012101112x a a x a x a x a x +=+++++L ，则12101121011a a a a -+-+=L _____.【答案】22【解析】对等式112012(12)x a a x a x +=++10111011a x a x +++L 两边求导，得101222(12)2x a a x +=+91010111011a x a x +++L ，令1x =-，则1210112101122a a a a -+-+=L .4．（2020·宁县第二中学高二期中）设2012(21)n n n x a a x a x a x -=++++L 展开式中只有第1010项的二项式系数最大．（1）求n ；（2）求012n a a a a ++++L ;（3）求.312232222n na a a a ++++L .【答案】（1）2018；（2）20183；（3）-1.【解析】（1）由二项式系数的对称性，1101020182n n +=\= （2）201801220180122018=3a a a a a a a a ++++-+++=L L （3）令0x = ，得20180(10)1a =-=，令12x =，得21232018232018(11)02222a a a a ++++=-=L ，故3201812023201812222a a a a a +++=-=-.考法六 二项式定理运用【例6】（1）（2020·上海市七宝中学高二期中）7271除以100的余数是________（2）（2020·全国高二单元测试）6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________【答案】（1）41（2）1.34【解析】（1）()727217172727270727127270170177070C C C C +==++++L 21072701()m m N =+´+Îg 2105041m =+g 即7271除以100的余数为41．故答案为：41．（2）()()66122661.0510.051+0.05+0.05+1+0.3+0.0375=1.3375 1.34C C =+=××»»L 故答案为：1.34【一隅三反】1．（2020·四川棠湖中学高二月考）已知202074a +能够被15整除，则a =________.【答案】14【解析】由题可知，()0202020275714=-Q ()()()()0120192020020201201920191202002020202020202020751751751751C C C C =-+-++-+-L 0202012019201912020202020207575751C C C =-+-+L 所以0202012019201912020202022020200775754751C C C a a =-++-++L ，而75能被15整除，要使202074a +能够被15整除，只需1a +能被15整除即可，所以115a +=，解得：14a =.故答案为：14.2．（2020·江苏泰州市·泰州中学高二期中）83被5除所得的余数是_____________．【答案】1【解析】因为883(52)=-0817********8888855(2)5(2)5(2)5(2)C C C C C =×+×´-+×´-++×´-+×´-K 071625277808888885(55(2)5(2)(2))5(2)C C C C C =×+×´-+×´-++-+×´-K ，所以转化为求80885(2)256C ×´-=被5除所得的余数，因为2565151=´+，所以83被5除所得的余数是1，故答案为：13．（2021·河北保定市）60.99的计算结果精确到0.001的近似值是【答案】0.941【解析】()()()()6620126666330.9910.0110.010.010.01...C C C C =-=´-´+´-´ 10.060.00150.00002...=-+- 0.941»故选B。

二项式定理例题讲解分 类 计 数 原 理分 步 计 数 原理做一件事，完成它有n 类不同的办法.第一类办法中有m1种方法,第二类办法中有m2种方法……，第n 类办法中有mn 种方法，则完成这件事共有：N=m1+m2+…+mn 种方法。

做一件事，完成它需要分成n 个步骤。

第一步中有m1种方法,第二步中有m2种方法……，第n 步中有mn 种方法，则完成这件事共有：N=m1 m2 … mn 种方法。

注意：处理实际问题时,要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。

排列组合从n 个不同的元素中取m （m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n 个不同的元素中取m 个元素的排列。

从n 个不同的元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n 个不同的元素中取m 个元素的组合。

排列数组合数从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记为Pnm从n 个不同的元素中取m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记为Cnm选排列数全排列数二项式定理二项展开式的性质（1）项数：n+1项(2)指数：各项中的a 的指数由n 起依次减少1，直至0为止;b 的指出从0起依次增加1，直至n 为止.而每项中a 与b 的指数之和均等于n 。

（3)二项式系数：各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和例1．试求：（1)（x 3－22x )5的展开式中x 5的系数; （2）（2x 2－x 1)6的展开式中的常数项;（3)(x －1）9的展开式中系数最大的项；（4）在1003)23(+x 的展开式中，系数为有理数的项的个数．解:（1）T r ＋1＝rr r r r rx C xx C 51552535)2()2()(---=-依题意15－5r ＝5,解得r ＝2故(－2)2rC 5＝40为所求x 5的系数（2）T r ＋1＝rC 6(2x 2)6－ rr x)1(-＝（－1)r ·26－ r ·r r x C 3126- 依题意12－3r ＝0，解得r ＝4故4)1(-·2226C ＝60为所求的常数项．（3)T r ＋1＝r )1(-r r x C -99∵1265949==C C ，而（－1）4＝1，（－1）5＝-1∴ T 5＝126x 5是所求系数最大的项（4）T r ＋1＝r r rrr r r x C x C ---⋅⋅=1003250100310010023)2()3(,要使x 的系数为有理数，指数50－2r与3r 都必须是整数， 因此r 应是6的倍数，即r ＝6k （k ∈Z ）， 又0≤6k ≤100,解得0≤k ≤1632（k ∈Z ） ∴x 的系数为有理数的项共有17项．评述 求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念,要加以区分．例2．试求：(1）(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数；（2）（x －1）－（x －1）2＋(x －1)3－(x －1)4＋（x －1)5的展开式中x 2的系数；（3）321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 的展开式中的常数项。

⼆项式定理（题型及答案）1、(1) 已知92-x x a 的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为___________． (2)设k=1，2，3，4，5，则的展开式中的系数不可能是（）A. 10B. 40C. 50D. 80(3)若展开式中含项的系数与含项的系数之⽐为-5，则n 等于（）A. 4B. 6C. 8D. 102、求值: (1) =-++?-?+-nn n n n C C C 3)1(333133221(2) S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1= (3)=3、试求下列⼆项展开式中指定项的系数：(1)(a+b+c)10的展开式中，含a 5b 3c 2的系数为_________(2)求的常数项(3) 的展开式中项的系数(4) 的展开式中项的系数(5) 的展开式中项的系数(6) 的展开式中x 项的系数(7) 的展开式中项的系数(8)5)12)((xx x a x -+的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为。

,其中b 0+b 1+b 2+……+b n =62, 则n=_________（Ⅱ）如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A. 7B. –7C. 21D. –21（Ⅲ）已知(1)求a 0, (2)求a 1+a 2+a 3+a 4+a 5(3)求(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3+a 5)2(4)求a 1+a 3+a 5 (5)|a 0|+|a 1|+……+|a 5|5、已知⼆项式展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。

~6、已知nx x )3(232 的展开式各项系数和⽐它的⼆项式系数和⼤992． (1)展开式中⼆项式系数最⼤的项 (2)求展开式中系数最⼤的项．]*7、已知的展开式中奇数项的⼆项式系数之和等于512，试求：（1）⼆项式系数最⼤的项；（2）系数的绝对值最⼤的项；（3）系数最⼤的项。

⼆项式定理训练题（含答案）⼆项式定理训练题⼀、单选题（共4题；共8分）1.若⼆项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）A. 1B. 5C. 10D. 202.已知⼆项式的展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，则的系数为（）A. 14B.C. 240D.3.若，则的值为（）A. B. C. D.4.在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为（）A. ﹣40B. 160C. 120D. 200⼆、填空题（共13题；共15分）5.⼆项式的展开式中常数项为________.6.展开式中常数项为________.7.的展开式中，x3的系数为________．8.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是________.9.的⼆项展开式中，含项的系数为________．10.若，则的展开式的第4项的系数为________.（⽤数字作答）11.⼆项式的展开式的各项系数之和为________，的系数为________．12.已知的展开式中的系数为108，则实数________.13.的展开式中，的系数是20，则________.14.展开式中的系数是15，则展开式的常数项为________，展开式中有理项的⼆项式系数和为________.15.在的展开式中，的系数是________.16.的展开式中的系数为________.17.在的展开式中，的系数为15，则实数________．三、解答题（共3题；共25分）18.已知展开式中各项系数和⽐它的⼆项式系数和⼤992，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．19.设.（1）求；（2）求及关于的表达式.20.已知⼆项式的⼆项展开式中所有奇数项的⼆项式系数之和为128.（1）求的展开式中的常数项；（2）在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果⽤数字作答)答案解析部分⼀、单选题1.【答案】C【解析】【解答】由令得，解得，⼆项式展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中含x项的系数为.故答案为：C.【分析】令，结合展开式中各项的系数和为234列⽅程，求得n的值，再利⽤⼆项式展开式的通项公式，即可求得含x项的系数.2.【答案】C【解析】【解答】⼆项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故答案为：C【分析】由⼆项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5可得：，令展开式通项中x的指数为3，即可求得，问题得解．3.【答案】C【解析】【解答】展开式的通项为：，故，，根据对称性知：.故答案为：C.【分析】计算，根据⼆项式系数的对称性即可得到答案.4.【答案】C【解析】【解答】∵（x2﹣x﹣2）5＝（x+1）5（x﹣2）5，∴x3的系数为.故答案为：C.【分析】先把（x2﹣x﹣2）5变形为（x+1）5（x﹣2）5，再利⽤⼆项式定理中的通项公式求出结果.⼆、填空题5.【答案】60【解析】【解答】⼆项式的展开式的通项公式为,令，解得，所以该⼆项式展开式中常数项为，故答案为：60。

二项式定理1．二项式定理：(a b)n C n0a n C1n a n 1b L C n r a n r b r L C n n b n (n N )，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数C n r (r 0,1,2, ,n) .③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1项C n r a n r b r叫做二项式展开式的通项。

用T r 1 C n r a n r b r表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(n 1) 项。

②顺序：注意正确选择a, b ,其顺序不能更改。

(a b)n与(b a)n是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是数是a与b 的系数(包括二项式系数) 。

4．常用的结论：令a 1,b x, (1 x)n C n0C n1x C n2x2L C n r x r L C n n x n(n N )5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离” 的两个二项式系数相等，即C n0 C n n，···C n k C n k 1②二项式系数和：令a b 1, 则二项式系数的和为C n0C n1C n2L C n r L C n n2n，变形式C1n C n2 L C n r L C n n2n 1 。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a1,b 1 ，则C n0 C n1 C n2C n3 L ( 1)n C n n (1 1)n 0 ，从而得到：C n0 C n2C n4C n2r C n1 C n3 L 2r 1Cn12n2n 1 2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：C n,C n,C n , ,C n, ,C n .项的系令a 1,b x, (1 x)n C n0 C1n x C n2x2 L C n r x r L ( 1)n C n n x n (n N )n 2 2解：由条件知 C n n 2 45 ，即 C n 2 45 ， 2n 2 n 90 0 ，解得 n9(舍去 )或n 10 ，由(a x)nC n 0a n0xC n 1a n 1xC n 2a n 22 x L n 0 n 1 C n a x a 0 a 1x 2na 2x La n x(x a)nC n 0a0nx 1C n axn1C n 2a 2 n2xLn n 0 nC n a x a n x L21 a 2x a 1x a令x 1, 则 a 0 a 1 a 2a 3Lan(a 1)n①令x 1,则a 0a1a2a3L a n (a 1)n②① ②得,a 0 a2a 4L an(a1)n (a 2 1)(奇数项的系数和 )①②得,a 1a3a 5La n(a 1)n (a21)(偶数项的系数和)n⑤二项式系数的最大项： 如果二项式的幂指数 n 是偶数时，则中间一项的二项式系数 C n 2 取得最大值。