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必修五课件： 等比数列的前n项和

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等比数列的前n项和PPT课件

等比数列的前n项和PPT课件
等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。

人教高中数学必修五等比数列的前n项和课件

人教高中数学必修五等比数列的前n项和课件

人教A版必修五·新课标·数学
S 练习1. 根据下列条件，求相应的等比数列 an的
n
(1)a 3, q 2, n 6; 1
3 (1 26 )
S6 1 2 189.
(2)a1 2.4, q 1.5, n 5;
2.4 [1 (1.5)5 ] 33
S5
1 (1.5)
. 4
利用计算器得：
n
0.20 0.041
5
(年)
答：约5年内可以使总销售量达到30000台。
人教高中数学必修五2.5-等比数列的 前n项和 课件(共15张PPT)
人教高中数学必修五2.5-等比数列的 前n项和 课件(共15张PPT)
人教A版必修五·新课标·数学
练习2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
1 27 q8 243
又由q 0,可得：
于是当n 8时
q 1
3
271
1
8
Sn
3 1 ( 1)
1640 81
3
人教高中数学必修五2.5-等比数列的 前n项和 课件(共15张PPT)
人教高中数学必修五2.5-等比数列的 前n项和 课件(共15张PPT)
人教A版必修五·新课标·数学
解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，
所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列 { an}
其中 a1 5000, q 110 00 1.1 Sn 30000
可得：
Sn
5000(11.1n ) 11.1
30000
可得： 1.1n 1.6 两边取对数，得： n lg1.1 lg1.6
解：a1 1, q 2,
1 (1 24 ) S4 1 2 15.

高中数学必修5课件：第2章2-5-1等比数列的前n项和

高中数学必修5课件：第2章2-5-1等比数列的前n项和

数学 必修5
第二章 数列
4．在等比数列{an}中，a3－a1＝8，a6－a4＝216，Sn＝40. 求公比q，a1及n.
解析： 显然公比q≠1，由已知可得：
a1q2－a1＝8， aa11q115－－－qaq1nq＝3＝4201，6，
a1＝1， 解得q＝3，
n＝4.
数学 必修5
第二章 数列
等比数列前n项和的基本运算
第二章 数列
新课引入
一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意，哪知富 人一口应承了下来，但提出了如下条件：在 30 天中，每天借给穷 人 10 万元．借钱第一天，穷人还 1 分钱，第二天，还 2 分钱，以 后每天所还的钱数都是前一天的 2 倍，30 天后，互不相欠．穷人 听后觉得很划算，本想一口气定下来，但又想到富人平时是吝啬 出了名的，怕上当受骗，所以很为难．本节课我们来想个办法帮 助这个穷人.
数学 必修5
第二章 数列
(2)由题意知：SS奇 奇＋ －SS偶 偶＝ ＝－ 802，40， ∴SS奇 偶＝ ＝－ －8106， 0. ∴公比q＝SS偶 奇＝－－18600＝2.
答案： (1)28
数学 必修5
第二章 数列
用错位相减法求数列的和
求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.
[思路点拨]
[规范解答] (1)当x＝0时，Sn＝0.
∴aa111111－ －－ －qqqq36＝ ＝7262， 3.
① ②
②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.
将q＝2代入①中得a1＝12， ∴an＝a1qn－1＝12·2n－1＝2n－2，即an＝2n－2.
数学 必修5
第二章 数列
(3)由Sn＝
a11－qn 1－q

人教版高中数学必修5课件：2.5.1等比数列前N项和(第一课时)(共18张PPT)

人教版高中数学必修5课件：2.5.1等比数列前N项和(第一课时)(共18张PPT)

由① – ②得： -S30 = 1 – 230
反思： 纵观全过程，①式两边为什么要乘以2 ？ 那乘以3？ 22 ？会达到一样的效果吗？
问题：对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢?
【新知探究】
探究：设等比数列错位相减法
Sn = a1 + a2 + a3 + …… + an-2 + an-1 + an
即 Sn = a1 + a1q + a1q2 + …… + a1qn-3 + a1qn-2 + a1qn-1
①
qSn =
a1q + a1q2 + a1q3 + …… + a1qn-2 + a1qn-1 + a1qn ②
结合等比数列通项公式，
由① – ②得： (1 – q)Sn = a此1 –时aS1qnn可变形为什么？
问题1 : 探讨等比数列前n项和的多种推导方法， 并整理成小论文，相互交流 问题2 : 求和, Sn 1 2 2 22 3 23 ...... n 2n
【课堂小结】
1. 掌握等比数列的前n项和公式能进行简单应用. ——知三求二 方程思想
a1(1 qn )
Sn
1q
或
a1 anq 1q
【新课引入】
不学数学害死 猴啊！！！
【新知探究】
探究： S30 = 1 + 21 + 22 + …… + 227 + 228 + 229 = ？
S30 = 1 + 21 + 22 + …… + 227 + 228 + 229

等比数列及其前n项和_课件

等比数列及其前n项和_课件

【训练2】 (2012·浙江)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前 n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________. 解析 ∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，
∴a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)，∴q＝－1(舍去)或 q＝32.
答案
3 2
考向三 等比数列的性质及应用
【例3】►(1)等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128， 前n项和Sn＝126，则公比q＝________.
(2)等比数列{an}中，q＝2，S99＝77，则a3＋a6＋…＋a99＝ ________. [审题视点] (1)利用等比数列的性质：“若m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq”； (2)把前99项分三组，再转化为a3＋a6＋…＋a99.
为非零常
数且 n≥2)，则{an}是等比数列；
(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0 且 an2＋1＝an·an＋2(n∈ N*)，则数列{an}是等比数列；
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是 不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列； (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为 常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． 注 前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．
在解决有关等比数列的计算问题时，要 注意挖掘隐含条件，充分利用其性质 ，特别是性质 “若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算 量，提高解题速度．
【训练3】 (2012·北京东城区一模)已知x，y，z∈R，若－ 1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为 ( )．
A．－3 B．±3 C．－3 3 D．±3 3 解析 由等比中项知 y2＝3，∴y＝± 3， 又∵y 与－1，－3 符号相同，∴y＝－ 3，y2＝xz，

人教a版必修五课件：等比数列的前n项和(47页)

人教a版必修五课件：等比数列的前n项和(47页)
－
(2)由bn＝nan＝n· 22n 1知
－
Sn＝1· 2＋2· 23＋3· 25＋…＋n· 22n－1. 从而22· Sn＝1· 23＋2· 25＋3· 27＋…＋n· 22n＋1. ①－②得 (1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n 1－n· 22n 1.
－ ＋
① ②
1 即Sn＝9[(3n－1)22n＋1＋2]．
2．当q≠1时，等比数列的前n项和公式有两种形式Sn a11－qn a1－anq ＝ 及Sn＝ ，应用时应如何选择？ 1－q 1－q
a11－qn 提示：已知a1，q，n且q≠1时用Sn＝ ，已知 1－q a1－anq a1，q，an且q≠1时，用公式Sn＝ . 1－q
3．等比数列前n项和的公式是如何推导的？
课 前 自 主 预 习
课 前 预 习 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·明 确 目 标
新知初探
等比数列前n项和公式 知识点 基本 公式 等比数列 前n项和公 式 推导等比 数列前n项 和的方法 基本内容
[点评]
所谓错位相减法是指在求和式子的左右两边
同乘等比数列的公比，然后错位相减，使其转化为等比数 列求和问题．此种方法一般应用于形如数列{anbn}的求和， 其中数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列．
1 2 3 n 变式训练2 求和Sn＝a＋a2＋a3＋…＋an. 解：分a＝1和a≠1两种情况．
(2)设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn，已知a3 ＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．
15 a1[1－－2 ] 解析：(1)S5＝ 1 ＝11⇒a1＝16， 1－－2 1 a5＝a1· q4＝16×(－2)4＝1.

2019版数学人教A版必修5课件：2.5 等比数列的前n项和

系列措施,进一步发展旅游业,预计今后旅游业的收入每年会比上一年
1
增加
.
4
(1)求n年内旅游业的总收入;
(2)试估计几年后,旅游业的总收入超过8 000万元.
分析(1)先说明这n年内每年的旅游业收入组成等比数列,再转化为求等
比数列前n项和;(2)利用(1)的结论,转化为解不等式.
-13-
第十三页，编辑于星期日：点 四十五分。
题型四
【变式训练2】 一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为
85,偶数项的和为170,求出该数列的公比和项数.
解设该等比数列为{an},
∵项数是偶数,∴S偶=qS奇,
∴85q=170,∴q=2.
又Sn=85+170=255,
1 (1- )
1-2
∴
= 255, ∴
= 255.
1-
2.5 等比数列的前n项和
题型一
题型二
题型三
Z 知识梳理 Z重难聚焦
目标导航
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
题型四
【变式训练3】 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度,在以后
的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.试问这个
热气球上升的高度能超过125 m吗?
数型函数,而指数式的系数与常数项互为相反数;当公比q=1时,因为
a1≠0,所以Sn=na1是关于n的正比例函数.
(2)当q≠1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图象是函数y=-Aqx+A图象上的一
群孤立的点;当q=1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图象是正比例函数y=a1x图

等比数列前N项和的性质ppt课件

AX.Z2YB .Y Y Z Z Z X
C.Y2 XZ D .Y Y X X Z X
等比数列前n项和的性质三：
若等比 an共 数 2n 有 项 列，则：
S偶 q S奇
怎么证 明？
等比数列前n项和的性质四：
如 a n 为 果公 q 的比 等 ， 对 为 m 比 、 p N 数 有 ： 列 Smp SmqmSp
[提示] 本题应用等比数列的性质求S4更简捷．
[解] 法一：∵S2＝7，S6＝91，易知q≠1， a11＋q＝7，
∴a111－－qq6＝91. ∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91. ∴q4＋q2－12＝0.∴q2＝3. ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28. ∴S4＝28.
3
即S1 ： 0 0S偶 S奇 80
变式训练
5、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇 数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？
提示： q S偶 170 2 S奇 85
SnS偶 S奇 17 8 0 5255
由等比数列n前 项和公式得：
255 1 2n 1-2
n8
等差数列前n项和的性质：
变式训练
1 、等{a 比 n}的数 n项 前列 和 Sn， 为 S1若 0 2， 0 S2 08， 0 S3则 0 260 。 2、等比数 {an}列 的前 n项和S为 n，若 SS63 3， 求S9的值。
S6
3、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项
和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（ D）
1 an A.
1 a
1 a n1 B.
1 a
C.1 a n1 D.以上均不正确 1 a

等比数列的前n项和 课件


3－3 (2)n 3
3－2(
2 3
)n－1，a
n
( 2)n－1， 3
2.选C.因为3an+1+an=0，则an1 1又，a2= 所4，以a1=4，所
以数列{an}是首项为a1=4，公an 比q=3 1
3
的等比数列.故S10=
3
4
1
(
1)10 3
3
1 310
.
3.当q1=113时，S3=3a3，符合题意；
探究2：若数列{an}为等比数列，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k(其中Sk， S2k-Sk，S3k-S2k均不为零)成等比数列吗？若成等比数列，公比 为多少？
提示：Sk=a1+a2+…+ak， S2k-Sk=ak+1+ak+2+…+a2k=qk(a1+a2+…+ak)， S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+…+a3k=q2k(a1+a2+…+ak)， 显然Sk，S2k-Sk，S3k-S2k也成等比数列，且新等比数列首项为 Sk，公比为qk.
类型一 等比数列前n项和的基本计算
1.(新课标全国卷Ⅰ)设首项为1，公比为 2 的等比数列 3
{an}的前n项和为Sn，则( )
A.Sn=2an-1
B.Sn=3an-2
C.Sn=4-3an
D.Sn=3-2an
2.(大纲版全国卷)已知数列{an}满足3an+1+an=0，
a2= 4，则{an}的前10项和等于(
T3n=a1·a2·…·a2n·a2n+1·…·a3n =Tn2qn2(a1q2n·…·anq2n)=Tn2qn2(a1·…·an)q2n2=Tn3q3n2.

高中数学《等比数列前n项和公式》课件


反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列 的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计 算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n， 其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一 分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热 气球上升的高度能超过125 m吗？
跟踪训练2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
方法二 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
a111－－qq2＝30，
①
所以a111－－qq3＝155，
②
两式作比，得1＋1＋q＋q q2＝361，
解得aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－65，
达标检测
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
1－xn
√
C.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
解析 当x＝1时，Sn＝n； 1－xn
当 x≠1 时，Sn＝ 1－x .
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
1234
2.设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于
A.2 解析
B.4
√C.125
17 D. 2
方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝aq2＋a2＋a2q＋
a2q2，得Sa42＝1q＋1＋q＋q2＝125. 方法二 ∵S4＝a111－－qq4，a2＝a1q，∴Sa42＝11－－qq4q＝125.
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[分析]：由于每天的钱数都是前一天的２倍，共 给３０天，每天所给的钱数依次为：
1,2,22 ,23 ,,229.
它是以１为首项公比是２的等比数列，
王勇支出的钱为:(单位：分）
S30 1 2 22 23 229.
复习
1.等比数列的定义
an1 q an
an a1qn1
这些你都 记得吗?
Sn a1 a2 an
(2 22 23 229 230 )
S30 1 230
S30 230 1 ＝1073741823 ≈107.374万元
等比数列前n项和公式推导方法小结
上述几种求和的推导方式中 ❖法1依赖的是定义特征及等比性质
进行推导（根据等比定理）
❖法2则是借助的和式的代数特征进
行恒等变形而得,（借助方程思想）
= a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
当q≠1时，
Sn
a1 anq 1q
当q=1时，Sn na1
法3.错位相减法
Sn a1 a1q a1q2 ... a1qn1
(1)
qSn= a1q + a1q2 +…+ a1qn-1 +a1qn (2)
Good bay…
2、P129 习题3.5: 1
3、思考题：
（1）用等比定理推导等比数列前n项和公式 （2）用迭加法推导等比数列前n项和公式 （3）用基本问题方法推导等比数列前n项和公式
巩固练习
2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解： a1 1, q 2,
S4
1 (1 24 ) 1 2
(1)a1 3, q 2, n 6;
3 (1 26 ) S6 1 2 189.
1
1
(2)a1
8, q
2 , an
; 2
11
sn
8 2
1 1
2
31 2
2
【例2 】
（1）在等比数列｛an｝中，已知a1=2，q=3，求S3
2(1 33 )
S3
解：
1 3
26
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(1 q)Sn a1 a1qn
当
q
1
时， Sn
a1 anq 1q
或
Sn
a1(1 qn ) 1q
当q = 1 时 Sn = n a1
等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式
法2.借助和式的代数特征进行恒等变形
Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an
= a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1
（1）-（2）得 (1 q)Sn a1 a1qn
当q≠1时，
Sn
a1 anq 1q
当q=1时，Sn na1
引例求解：
这种求和的方法, 就是错位相减法!
S30 1 2 22 23 229. (1)
2S30 2 22 23 229 230. (2)
S30 2 S30 (1 2 22 23 229 )
15.
S10
1 (1 210 ) 1 2
1023
.
从第5项到第10项的和: S10 S4 1023 15 1008 .
例2. 求和
(x 1) (x2 1 ) (xn 1 )
y
y2
yn
( x 0, x 1, y 1)
分析 : 拆项后构成两个等比数列的和的问 题, 这样问题就变得容易解决了 .
❖法3我们称之为错位相减法.
小结
1、“错位相减法”是数列求和的一种重要方 法 2、等比数列的前n项和公式：
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
(q
1)
na1
(q 1)
Sn
a1 anq
1q
(q
1)
na1
(q 1)
3.运用方程思想在a1,n,q ,an,sn五个量中知三求二
公式应用 例1 求等比数列
Sn1 a1 a2 an1 (n 2)
an
S1 Sn
Sn1
n1 n2
等比数列前n项和公式的推导
法1. 用等比定理推导
因为
a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3
an1
所以 a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3 an1
Sn a1 q Sn an
1 2
,
1 4
,
1 8
,
P53例1，P54例2
的前8项的和.
解:
11
a1
,q 2
,n 2
8
注:由已知条件写出 a1,q,n,an以决定用计
S8
1 2
1
1 2
8
1 1
算sn的哪个公式
255 256
2
练习：P541,2,3，P58习题2
巩固练习
S 1. 根据下列条件，求相应的等比数列 an 的 n
目的要求
1 .掌握等比数列的前n项和公式,
2 .掌握前n项和公式的推导方法.
3. 对前n项和公式能进行简单应用.
重点 难点
重点 : 等比数列前n项和公式的推 导与应用.
难点 : 前n项和公式的推导思路的 寻找.
(2)请利用（1）题中的数据，自己编题，改为求a1或 求q，并求解
(A)已知q＝3，S3＝26，求a1
解：∵q=3
∴ 26 a1(1 33) 13源自2626a1 2a1
2
（B）已知a1=2 ，s3=26, 求q
解：若q=1，而a1＝2，所以s3=6
而s3=26,故q≠1,所以可用公式（1）来解
张明和王勇是中学要好的同学，张明读完博士后 在某科研单位工作，而王勇投身商海成了大款。一天， 张明遇到了王勇，寒暄后，王勇道：“听说你目前研 究的项目遇到了资金困难，你怎么不来找老同学我呢？ 说吧，还需要多少？我赞助。”张明说：“那好，你 只要在一个月30天内，第一天给我1分钱，第二天给 我2分钱，第三天给我4分钱，第四天给我8分钱，依 此类推，每天给我的钱都是前一天的2倍，直到第30 天。”王勇听后，哈哈大笑，立刻答应下来。没想到 不到30天，王勇就有些后悔，同学们不仿想想看，到 30天，按此规定，王勇一共应资助给张明多少钱吗？
26 2(1 q3 ) 1 q
1
q3
( 1 q )( q 2
q
1 )
26 2(q2 q 1)
q2 q 12 0
q 3或q 4
注意：在用公式时要注意对公比q进行讨论
作业
1、自己动手编题：
在等比数列﹛an﹜中
（1）已知……求Sn、 a1 （2）已知……求a1、an （3）已知……求q、n