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第14章习题课 线性动态电路的复频域分析

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(播放版)第14章线性动态电路的复频域分析

(播放版)第14章线性动态电路的复频域分析
奈奎斯特图
奈奎斯特图是一种通过绘制频率响应曲线来判断电路稳定性的方法。如 果曲线没有穿越虚轴，那么电路就是稳定的。
04
线性动态电路的复频域 分析实例
一阶电路的复频域分析
总结词
一阶电路在复频域中的分析主要涉及传递函数和极点分析，通过这些分析可以确定系统的稳定性、频率响应和动 态行为。
详细描述
一阶电路的复频域分析主要通过拉普拉斯变换将时域函数转换为复频域函数，然后通过求解传递函数和极点，分 析系统的稳定性、频率响应和动态行为。极点位置对系统动态行为的影响非常重要，极点在复平面的不同位置会 导致系统具有不同的动态特性。
二阶电路的复频域分析
总结词
二阶电路在复频域中的分析涉及阻尼比、自然频率和增益等参数，通过这些参数可以全面了解系统的 动态性能。
详细描述
二阶电路的复频域分析通过求解传递函数和极点，以及计算阻尼比、自然频率和增益等参数，全面了 解系统的动态性能。阻尼比决定了系统的阻尼特性，自然频率决定了系统的固有振动频率，增益则决 定了系统在不同频率下的放大倍数。这些参数共同决定了系统的动态响应和稳定性。
电路的稳定性分析
01
稳定性定义
如果线性动态电路对于所有可能的输入信号都有唯一的解，并且这个解
不随时间的推移而发生变化，那么这个电路就是稳定的。
02 03
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
劳斯-赫尔维茨稳定性判据是一种通过计算电路传递函数的极点和零点 来判断电路稳定性的方法。如果所有极点都位于复平面的左半部分，那 么电路就是稳定的。
历史回顾
自19世纪末电子学诞生以来，线性动态电路的研究就开始受到 关注。随着科技的发展，线性动态电路的理论和应用不断完善
。
当前研究热点

第14章线性动态电路的复频域分析

第14章线性动态电路的复频域分析

1F - uC
10
10
时域电路
返回 上页 下页
•
20 + 50V -
+ iL 0.5H
1F - uC
10
10
5 UC(s)
20
1/s +
25/s -
IL(s) 0.5s -
2.5V
+ 5
注意附加电源
t >0 运算电路
返回 上页 下页
•
例11
电路原处于稳态，t 法求电流 i(t)。
S 2
3
4s 5 K2 s 2 7 s3
返回 上页 下页
•
解法2
K1

N ( p1) D' ( p1)

4s 5 2s 5
s 2
3
K2

N ( p2 ) D' ( p2 )

4s 5 2s 5
s 3
7
f (t) 3e2t (t) 7e3t (t)

L

1 2j
(e
j
t

e
j
t
)

1 1
2
j

s

j

s
1

j


s2
2
返回 上页 下页
• 例3 利用导数性质求下列函数的象函数
(1) f (t) cos( t)的象函数
解 dsin( t) cos(t)
dt
cos(t) 1 d(sint) dt
K21

d ds
[(s
1) 2
F

14第十四章线性动态电路的复频域分析

14第十四章线性动态电路的复频域分析

1
1
RC
IC(s)
1/s
+
R
UC(s)
图(b) 1/sC
SC
RC
t
uC (t) R(1 e RC ) 1(t)V
t
iC (t) e RC 1(t) A
例：RC 并联电路，换路前为零状态，t=0 时接通单位冲激电流源，
求 uC(t)和 iC(t)。
解：图(b)： Y (S) 1 SC SRC 1
2. 若D(s)=0有共轭复根p1=a+jω，p2=a- jω
F (s) K1 K2
式中：
s p1 s p2
K1

(s (a
j )) F (s)
sa j

N (s) D(s)
sa j

K1 e j1
K2

(s (a
j )) F (s)
概述——求解动态电路的两种方法比较
经典法 在第7章，主要介绍了用时域分析法分析一阶电路和二阶电路的 动态过程，其要点是运用数学方法，列写换路后电路的微分方程、解微分方 程、由电路的初始条件确定积分常数。这种方法也称为经典法。
时域分析法有其优点：数学推导严密，物理概念清晰。但是运用时域分 析法分析高阶电路时就比较麻烦：首先，将描述储能元件电压、电流关系的 一阶微分方程组化为单一变量的高阶微分方程的运算复杂；其次，求解高阶 微分方程的特征方程的特征根运算量大；最后，确定电路的初始条件、定积 分常数相当麻烦。另外，当电路中有冲激电源或者冲激响应时，时域分析法 在确定初始条件时也比较困难。
R
R
iC
δ (t)
+
R C uC

电路第14章 线性动态电路的复频域分析

电路第14章 线性动态电路的复频域分析


L[ d (t)]
dt
s 1 (t)
s
0
1
07:14
14
三. 积分性质
设：L[ f (t)] F (s)
证
L[ t f ( )d ] 1 F(s)
0
s
应用微分性质
0
例
L[t] L[ t ( )d ] 0
L[ (t)] 1
s s2
07:14
象函数的一般形式：
F(s)

F1 ( s ) F2 ( s)

a0sm a1sm1 am b0sn b1sn1 bn
(n m)
07:14
20
F(s)

F1 ( s ) F2 ( s)

a0sm a1sm1 am b0sn b1sn1 bn
15
四.延迟性质 (时域平移) f(t)(t)
f(t-t0)(t-t0)
t
设：L[ f (t)] F (s)
t t0
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F(s)
07:14
16
证
例：
f(t) 1
Tt
07:14
est0 延迟因子
f (t) (t) (t T)
一.积分变换法 采用经典法列解微分方程去分析动态电路时，必须知道变量
及其各阶导数(直至n-1阶)在t=0+时刻的值，即变量的初始条件 。而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压在t=0+时 刻的值，从这些值求得所需变量的初始条件工作量很大，也很 困难，高阶动态电路中尤为突出。
积分变换法是通过积分变化，把已知的时域函数变换为频域函 数，从而把时域的微分方程化为频域函数的代数方程。求出函数 的频域解后，再做反变换，返回时域，求出满足电路初始条件的 原微分方程的时域解，而不需要确定变量的初始条件，即积分常 数。拉普拉斯变换和傅立叶变换都是积分变换，但拉普拉斯变换 比傅立叶变换有更广泛的适用性，所以拉普拉斯变换法是求解任 意激励下高阶线性动态电路的有效而重要的方法之一。

线性动态电路的复频域分析

线性动态电路的复频域分析

第十四章 线性动态电路的复频域分析本章讨论的问题1、什么是象函数？什么是原函数？什么是拉普拉斯原变换？什么是拉普拉斯反变换？2、在电路分析中，常采用什么方法进行拉普拉斯反变换？3、什么是运算电路？什么是运算法？4、如何用拉普拉斯变换法分析线性电路？5、什么是网络函数？什么是网络函数的零点和极点？教学重点一、拉普拉斯变换1、目的：拉普拉斯变换法是一种数学的积分变换，其核心是把时间函数 f (t) 与复变函数 F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。

由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程简单且有规律，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。

2、 定义：对定义在)[∞,0上的函数)(t f ，其拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换分别为()()⎰∞--=0dt e t f s F st ； ()()ds e s F j t f st j c j c ⎰∞+∞-=π21 上式中：s=σ+jω为复数，被称为复频率，()s F 称为)(t f 的象函数，)(t f 称为()s F 原函数。

3、常用拉普拉斯变换对L ()[]S A t A =ε ； L ()[]A t A =δ ； L ()[]as t e at +=-1ε ； L ()[]1!+=n n s n t t ε ； L ()()[]22sin ωωεω+=s t t ；L ()()[]22cos ωεω+=s s t t 二、拉普拉斯反变换由象函数求原函数的方法有：1、 利用公式；2、 对简单形式的 F(S) ，可以查拉氏变换表得原函数 ；3、 把 F(S) 分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。

则线性电路分析时，所得结果的象函数一般是S 的有理分式。

有理分式在化为真分式后，可用部分分式展开的方法求拉普拉斯反变换。

S 的有理真分式可写为()()()s D s N s F = 1）、当()0=s D 的根为单根（包括单重共轭复根）时，()s F 可写为 ()()()()()nn n p s K p s K p s K p s p s p s s N s F -⋅⋅⋅-+-=-⋅⋅⋅--=221121 则()t p n t p t p n e K e K e K t f +⋅⋅⋅++=2121其中 ()()[]i p s i i s F p s K =-=或 ()()ip s i s D s N K ==' ，()s D '为()s D 对S 的一阶导数。

第14章 线性动态电路的复频域分析

第14章 线性动态电路的复频域分析

0
s
证
令
t
L[ f (t)dt] (s)
0
应用微分性质
L[ f (t)] L
d dt
t 0 t
f
(t)dt
0
F (s) s(s) 0 f (t)dt t0
(s) F (s)
s
返回 上页 下页
例 求: f (t) t ( t)和f (t) t2 (t)的象函数
解
L t (t)
解 dsin( t) cos(t)
dt
cos(t) 1 d(sint) dt
L[cos
t]
L1
d dt
(sin(
t
)
1
s
s2
2
0
s2
s
2
返回 上页 下页
(2) f (t) δ( t)的象函数
解 (t) d (t)
dt
L[ (t)] 1
s
L (t) L[d (t)] s 1 0 1
pi )
lim N '(s)(s pi ) N (s)
spi
D' (s)
Ki
N ( pi ) D' ( pi )
例 求 F(s) 4s 5 的原函数
s2 5s 6
解法1
F (s) 4s 5 K1 K2 s2 5s 6 s 2 s 3
4s 5 K1 s 3 S2 3
返回 上页 下页
待定常数的确定： 方法1
Ki F (s)(s pi ) s pi i 1、2、3、 n
(s
令s
p1 ) F (s)
= p1
K1
(s
p1)
s
K2 p2sKn pn源自方法2求极限的方法

第14章线性动态电路的复频率剖析

(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F(s)分解为简单项的组合
F (s) F1 (s) F2 (s) Fn (s)
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
部分分式 展开法
N ( s) a0 s a1s am F ( s) (n m) n n 1 D( s) b0 s b1s bn
t
e s
st 0


0
e st f (t ) dt s
1 f (t ) e st dt s 0 0 1 只要s的实部σ取足够大 F (s) s
t e f ( )d 0 s
0 st

例 求
解
f (t ) t 的象函数
2. 拉氏变换的定义 定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式： F ( s ) f (t )e st dt 正变换 0 1 c j st f ( t ) F ( s ) e ds 反变换 c j 2 πj

F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。 拉氏变换把一个时间域的函数f(t)变换到s域的复 变函数F(s) 。
st


st
1 st 1 e 0 s s

(2)单位冲激函数的象函数
f (t ) (t )
F ( s) L[ (t )] (t ) e dt (t )e dt 0
st
0
st
e
s0

1
0
(3)指数函数的象函数
s 6

第14章 线性动态电路的复频域分析02


K 1n−1 K 11 K 12 K 1n F ( s) = + + ⋅⋅⋅ + + 2 n −1 s − p1 ( s − p1 ) ( s − p1 ) ( s − p1 )n
K 1n = [( s − p1 )n F ( s )] S = p
d K 1n−1 = [ ( s − p1 )n F ( s )] s = p ds
f ( t ) = k1e + k2e
p1 t
p2 t
+ ⋅ ⋅ ⋅k n e
pn t
待定常数的确定： 方法 1 方法1
ki = F ( s )( s − pi ) s = p
2 方法 方法2
求极限的方法
i
i = 1, 2, 3⋯, n
N ( s )( s − pi ) ki = lim s→ p D( s ) N ' ( s )( s − pi ) + N ( s ) N ( pi ) = lim = ' ' s→ p D ( pi ) D ( s)
∑ I(s ) = 0 ∑ U ( s ) = 0
U ( s) = Z ( s) I ( s)
元件 → 运算阻抗、运算导纳 运算形式电路模型
2. 电路元件的运算形式 2.电路元件的运算形式
① 电阻R的运算形式
i
R + u -
Ri u= u=Ri
取拉氏变换
I(s) R
U ( s ) = RI ( s ) I ( s ) = GU ( s )
L的 运算 电路
+
U(s)
sL
i (0− ) s
I(s )
+
U(s)

线性动态电路的复频域分析


3. 重根
K 13 N ( s) K 12 K 11 K2 F ( s) 3 2 3 ( s p1 ) ( s p2 ) s p1 ( s p1 ) ( s p1 ) s p2
( s p1 )3 F ( s ) K 13 ( s p1 )2 K 12 ( s p1 ) K 11
+ u1 L1
M
i2
+ L2 u2 -
di1 di 2 u1 L1 dt M dt u L di2 M di1 2 2 dt dt
U 1 ( s ) sL1 I 1 ( s ) L1 i1 (0 ) sMI2 ( s ) Mi2 (0 ) U 2 ( s ) sL2 I 2 ( s ) L2 i2 (0 ) sMI1 ( s ) Mi1 (0 )
L[ε( t )] 1 2 L[t ] L[0 ε( )d ] s s
t

4. 时域延迟性质
f(t-t0)(t-t0) f(t)(t-t0)
f(t)(t)
t t0
t t0
st0
t
L[ f (t )] F ( s )
L[ f (t t0 )ε(t t0 )] e
I1(s) + U1(s) L1i1(0-) + sM I2(s) +
sL1 Mi2(0-) + -
sL2 Mi1(0-) +
L2i2(0-) +
U2(s)
-
1 uC uC (0 ) C

t
0
iC dt
iC
+ uC IC(s)
+ 1/sC uC(0-)/s + -

第十四章线性动态电路的复频域分析(一)


am bn
b 0 s b1 s
求其反变换 f(t) 的基本思路是∶
作部分分式展开 查表得之
要求∶ n > m
, 否则, 先化为真分数(用分式除法)
二、部分分式法求反拉氏变换
F (s) N (s) D (s) a0s
m n
a1 s
m 1 n 1
am bn

n
ki s pi
i 1
有
f (t )

n
kie
pi t
i 1
例题 已知
F (s) s
2
F (s) s
4s 5 5s 6
4s 5
2
5s 6
4s 5 ( s 2 )( s 3 ) k1 s 2 k2 s3

5 s 其中： k ksi 2 [(4ss)( 3p i )(4sF35)( s )]s3 p i ( ) (s 2 s )
di 1 dt di 2 dt
M M
di 2 dt di 1 dt
u 2 L2
L1i1(0_)
+ +
L2i2(0_)
Mi1(0_) + (b) +
Mi2(0_)
§14—5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路 一、运算法的基本思想:
运算法与相量法的基本思想类似。 相量法把正弦量变换为相量(复数)，从而把求解线性电路的正 弦稳态问题归结为以相量为变量的线性代数方程。 运算法把时间函数变换为对应的象函数，从而把问题归结为求 解以象函数为变量的线性代数方程。当电路的所有独立初始条件为 零时，电路元件VAR的相量形式与运算形式是类似的，加之KCL和 KVL的相量形式与运算形式也是类似的，所以对于同一电路列出的 相量方程和零状态下的运算形式的方程在形式上 相似，但这两种方 程具有不同的意义。在非零状态条件下，电路方程的运算形式中还 应考虑附加电源的作用。当电路中的非零 独立初始条件考虑成附加 电源之后，电路方程的运算形式与相量方程类似。 可见相量法中各种计算方法和定理在形式上完全可以移用于运 算法。在运算法中求得象函数之后，利用拉氏反变换就可以求得对 应的时间函数。
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-3 7 = 1+ + s+2 s+3
f (t ) = (t ) + (7e
-3t
- 3e )
-2t
结束
☆ 用“运算法”求解动态电 路的时域响应。
2015年12月9日星期三
7
L P359 例14-9 电路处于稳态。 i1(t) R1 S t=0时S闭合，用运算法求i1(t)。 + 1W 1H (t=0) R2 1V C Us 解：① 求初值： 1W 1F iL(0-) = 0，uC(0-) = US = 1V 求激励的象函数： s I 1 ( s) 1 ℒ [US] = ℒ [1] =1/s 1 + s ② 画运算电路： 1 I b ( s) 1 + s ③ 用回路电流法求象函数： I (s) 1 - a s 1 1 1+s+ s Ia(s) - s Ib(s) = 0 1 1 1 1 I ( s ) = I ( s ) = 1 a - s Ia(s) + 1+ s Ib(s) = s s (s2+2s +2) -1 1 ④ 求原函数： ℒ [I1(s)] = (1- e-t cost - e-t sint) A 2 2015年12月9日星期三
+
结束
R1
R2
ε(t )V
1W 5W + 1 F C uO (t ) L 3 - 1H
代入已知条件解方程得 I 2 ( s ) =
U O ( s ) = sI 2 ( s ) = = 3 2
-1

3 s 2 + 8s + 18
3 s 3 + 8s 2 + 18s
R1
1
(a)

R2
2 ( s + 4) 2 +
= -3
d K 22 = [( s + 1) 2 F ( s )] ds
d s+4 [ ] s =-1 = -4 s =-1 = ds s
f (t ) = 4 - 4e - 3te
-t
-t
s 2 + 9s + 11 例 求：F ( s) = 2 的原函数f (t ) s + 5s + 6 2 4s + 5 s + 9 s + 11 解 F ( s) = = 1+ 2 2 s + 5s + 6 s + 5s + 6
4
s+4 例 求：F ( s) = 的原函数 f ( t ) 2 s( s + 1) s+4 K1 K 22 K 21 解 F ( s) = = + + 2 s ( s + 1) ( s + 1) 2 s( s + 1)
s+4 K1 = ( s + 1) 2
s =0
=4
s+4 K 21 = s
s =-1
结束
式中
K1 = [( s + 1)U C (s) K2 = [(s + 2)U C (s)
= 25s + 35 s =-1 (s + 2)
s =-2
= 10
s =-1
= 25s + 35 ( s + 1)
= 15
s =-2
所以 得：
U C s ) = 10 + 15 ( s + 1) ( s + 2)
R1 R1
R2
结束
+
+ 2δ(t )A uC (t ) - 10e-t ε(t )V 10W - 0.1F
(a)
10W
+
-
10 R s +1 2
0.5 + UC (s) 10 - s
2
(b)
L 10e-t ε(t ) = 10 ，L [ 2δ(t ) = 2，CuC 0- ) = 0.5 s +1 10 1 1 s U s = s + 1 + 0.5 + 2 + + 对图b R R 10 C ) R1 1 2
i(t)
R1
L1
R2 3W L2 0.1H 3W
结束
+ 2W 0.3H Us=10V S 0.3s 1.5V + + UL1(s) -
I(s) 2W + 10 -
s
+ 0.1s UL2(s) -
加e(t)后再求导，也会产生错误结果。因为e(t)的起 始性把函数定义成 t<0时为0。所以当电压或电流不 为0时，一般不能在表达式中随意加e(t)。
2015年12月9日星期三 11
P363 例14-13 电路处于 稳态时打开S 。求i(t)和 电感元件电压。
i(t)
R1
L1
R2 3W L2 0.1H
结束
2015年12月9日星期三
解：ℒ [10 ]=(10/s)，iL2(0-)=0 iL1(0-)=5A，L1iL1(0-)=1.5V 0.3s 1.5V I ( s) 2 3 + 10 +1.5 s + + UL1(s) + I(s)= = 2+3+(0.3+0.1)s 10 0.1s s (1.5s+10) 2 1.75 UL2(s) = s + s +12.5 s(0.4s+5) i(t) = (2+1.75e-12.5t )A UL2(s)=0.1sI(s) = - 2.19 - 0.375 s +12.5 UL1(s)=0.3sI(s)-1.5 uL1(t) = [-6.56e-12.5t-0.375(t)] V = - 6.56 - 0.375 uL2(t) = [-2.19e-12.5t+0.375(t)] V s +12.5
2015年12月9日星期三 13
+ 0.1s UL2(s) -
iL1(0-)=5A i(t)=(2+1.75e-12.5t )A uL1(t)=[-6.56e-12.5t-0.375(t)]V uL2(t)=[-2.19e-12.5t+0.375(t)]V 提示： 本例在求出i(t)后，不要 轻易采用对i(t)求导的方 法计算uL1(t)和uL2(t)，这 会丢失冲激函数项。
2015年12月9日星期三 14
【例】图示电路为零初始条件，求uO(t) 。
解 先将电路转到s域，用回路电流法求解。
3 3 1 R + I ( s ) I ( s ) = 2 1 s 1 s s 3 3 - I1 ( s) + R2 + s + I 2 ( s) = 0 s s
2015年12月9日星期三 1
结束
☆ 利用“部分分式展开法” 求解原函数。
2015年12月9日星期三
2
2 s +1 的原函数。 3 2 s +7s +10s 解：s3+7s2 +10s = 0的根分别为：p1=0, p2 = -2, p3 = -5
P352 例14-6 求 F(s) =
结束
用Ki = [(s-pi)F(s)]s = pi 确定系数。 2 s +1 K1= [sF(s)] s = 0 = 2 s = 0 = 0.1 s +7s +10 2 s +1 K2= [(s+2)F(s)]s = -2 = (s+2) s(s+2)(s+5) s = -2 = 0.5
解
代入已知条件
UC s ) =
2015年12月9日星期三
25s + 35 = K1 + K 2 ( s + 1)( s + 2) ( s + 1) ( s + 2)
16
K1 K2 25 s + 35 UC s ) = = + ( s + 1)( s + 2) ( s + 1) ( s + 2)
q1 = 135
代入：f(t) = 2|K1| ea t cos(wt+q1) 得
1 2 -t e cos(t + 135 ) 得原函数： ℒ [I1(s)] = + 2 2
-1
2015年12月9日星期三 9
P361 例14-11 稳态时闭合S。求 t≥0时的 uL(t)。
R1 5W R2 5W S + (t=0) + i L( t ) + us1 uL L us2 - 5V - 2e–2t V - 1H 5 + + 2 s+2 UL (s) ① s 1V +
结束
+ 2W 0.3H Us=10V S 0.3s 1.5V + + UL1(s) -
S打开瞬间： I(s) 2W iL1(0+) = iL2(0+) = 3.75A，
+ 10
电流发生了跃变。uL1(t)、 uL2(t)中将出现冲激电压。 - s 但uL1(t)+uL2(t)无冲激， 所以，当分析iL(t)或uC(t) 回路满足KVL。 可见拉氏变换已自动 有跃变情况的问题时， 把冲激函数计入在内。 运算法不易出错。
K3= [(s+5)F(s)]s = -5
2 s +1 = (s+5) s(s+2)(s+5) s = -5 = -0.6
0.1 0.5 -0.6 ∴F(s) = s + + s+2 s+5 ∴ f(t) = 0.1+ 0.5e-2t - 0.6e-5t