黑龙江省哈尔滨三中届高三数学二模试卷理(含解析)【含答案】

2021年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷〔理工类〕 第一卷〔选择题，共60分〕一、选择题〔共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕 1. 复数21z i=-+，那么D.z 的共轭复数为1+i2. 集合{0,2,4,6},{n N |28}n A B ==∈<，那么集合A B ⋂的子集个数为3. 对于平面α和不重合的两条直线m 、n ，以下选项中正确的选项是 ,m n αα⊂，m 、n 共面，那么m nm α⊂，n 与α相交，那么m 、n 是异面直线 ,m n αα⊂⊄，m 、n 是异面直线，那么n α ,m n m α⊥⊥，那么n α4. 随机变量ξ服从正态分布()()22,,40.84N P δξ≤=，那么()0P ξ≤=5. 在区间⎡⎣中随机取一个实数k ，那么事件“直线y=kx 与圆()2231x y -+=相交发生的概率为 A.12 B.14C.16D.186. 宋元时期数学名著?算学启蒙?中有关于“松竹并生〞的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。

右图是源于其思想的一个程序框图，假设输入的a、b 分别为5、2，那么输出的n=7. 某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为8.1sin33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，那么sin26πα⎛⎫-=⎪⎝⎭A.79- B.79C.79± D.29-9. 德国著名数学家狄克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数()10,x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数为无理数，提前为狄克雷函数，那么关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③对于任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点()()()()()()112233,,,,,A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三数学第二次模拟试题 理（含解析）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（ ） A. 1 B. -1C. 3D. -3【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解. 【详解】()()()()()1221212225ai i a a iai i i i ----+-==++-， 由题意知：21255a a-+=-，解得3a =-. 故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题.2.若{0,1,2}A =，{|2,}aB x x a A ==∈，则A B =U （ ） A. {0,1,2} B. {0,1,2,3} C. {0,1,2,4} D. {1,2,4}【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合B ，再求并集即可.【详解】由{}0,1,2A =，得{}{}|2,1,2,4aB x x a A ==∈=.{}0,1,2,4A B ⋃=.故选C.【点睛】本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题.3.向量(2,)a t =r ，(1,3)b =-r ，若a r ，b r的夹角为钝角，则t 的范围是（ ）A. 23t <B. 32>t C. 23t <且6t ≠- D. 6t <-【答案】C 【解析】 【分析】若a v ，b v 的夹角为钝角，则0a b v n v <且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解.【详解】若a v，b v的夹角为钝角，则0a b v n v<且不反向共线，230a b t =-+<vv n ，得23t <.向量()2,a t =v ，()1,3b =-v 共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b v v =-.所以23t <且6t ≠-. 故选C.【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.4.双曲线1422=-y x 的顶点到渐近线的距离等于（ ）A.5B.45C.25D.5【答案】A 【解析】 【分析】分别写出双曲线的顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】双曲线2214xy-=的顶点为()2,0±.渐近线方程为：12 yx=±.双曲线2214xy-=的顶点到渐近线的距离等于25114=+.故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C【解析】试题分析：因,故应选C．考点：排列数组合数公式及运用．6.已知某个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（）A.5603B. 200C.5803D. 240【答案】B【解析】【分析】还原几何体得四棱柱，利用三视图求底面积和高可得解.【详解】由三视图可知，该几何体是以侧视图的四边形为底面的四棱柱，高为10，底面面积为()284202+⨯=，故体积为：2010200⨯=.故选B.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及柱体的体积的求解，属于基础题.7.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）A. )32sin(2π+=x y B. )62sin(2π-=x y C. 2sin()23x y π=+D. 2sin(2)3y x π=-【答案】B 【解析】试题分析：首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为4，故排除C ；将3x π=分别代入A ，B ，D ，得函数值分别为0,，而函数()sin y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值，故选B ． 考点：三角函数的周期性、对称性．8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）A. 20i <，1S S i=-，i i 2= B. 20i ≤，1S S i=-，i i 2=C. 20i <，2SS =，1i i =+ D. 20i ≤，2SS =，1i i =+ 【答案】D 【解析】 【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 【详解】根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i=-，故排除AB ， 由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤. 故选D.【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.9.已知α是第二象限角，且53)sin(-=+απ，则tan 2α的值为（ ） A.45B. 237-C. 724-D. 249-【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式得sin α，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan α，再利用正切的二倍角公式可得解.【详解】由()3sin 5πα+=-，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-.34sin tan cos ααα==-.232tan 242tan291tan 7116ααα-===---. 故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.10.P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（ ） A.2513 B.35C.1225πD.35π【答案】B 【解析】 【分析】先求得M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，根据几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【详解】设()00,Q x y ,中点M(x, y),则()002,2P x x y y --代入229x y +=，得()()2200229x x y y -+-=，化简得：22009224x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又220025x y +=表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有222(14)x y r r +=剟， 那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为1615325255πππ-==，故选B.【点睛】本题主要考查了几何概型的求解，涉及轨迹问题，是解题的关键，属于中档题.11.已知抛物线24x y =焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B ，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为1A ，1B ，以下四个结论：①124x x =-，②121AB y y =++，③112A FB π∠=，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】设直线AB 为1y kx =+与抛物线联立，由韦达定理可判断①，由抛物线定义可判断②，由0FA FB ⋅=u u u r u u u r可判断③，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断④.【详解】物线24x y =焦点为(0,1)F ，易知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 为1y kx =+.由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=.则4,42121-==+x x k x x ，①正确；1212||||||112AB AF BF y y y y =+=+++=++，②不正确；1212(,2),(,2),40,FA x FB x FA FB x x FA FB =-=-∴⋅=+=∴⊥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，112A FB π∠=，③正确；AB 的中点到抛物线的准线的距离21112121111(||||)(2)(112)(44)22222d AA BB y y kx kx k =+=++=++++=+≥ .当0k =时取得最小值2. ④正确. 故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，转化与化归的能力，属于中档题.12.已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式1221()()f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,]e -∞ B. (,)e -∞C.(,)2e-∞ D.(,]2e -∞ 【答案】D 【解析】 【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数a 的取值范围即可. 【详解】不等式()()12210f x f x x x -<即()()1122120x f x x f x x x -<，结合210x x >>可得()()11220x f x x f x -<恒成立，即()()2211x f x x f x >恒成立， 构造函数()()2xg x xf x e ax ==-，由题意可知函数()g x 在定义域内单调递增，故()'20xg x e ax =-≥恒成立，即2xe a x≤恒成立，令()()02xe h x x x =>，则()()21'2x e x h x x -=，当01x <<时，()()'0,h x h x <单调递减；当1x >时，()()'0,h x h x >单调递增；则()h x 的最小值为()11212e eh ==⨯，据此可得实数a 的取值范围为,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 2sin c A =，c =ABC ∆的面积为2，a b +的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】由正弦定理边化角可得3π=C ，由面积公式和余弦定理列方程可得a b +.【详解】由2sin c A=，结合正弦定理可得2sin sin ,sin 0,sin A C A A C =≠∴=Q . 在锐角三角形ABC 中，可得3π=C .所以ABC ∆的面积1sin 2S ab C ===6ab =. 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=， 解得5a b +=. 故答案为5.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题.14.在三棱锥S ABC -中，90SAB SAC ACB ∠=∠=∠=︒，2=AC ，13=BC ，29SB =，则异面直线SC 与AB 所成角的余弦值为__________．【答案】17 【解析】【详解】如图,取A 为原点、AB 和AS 所在直线分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系.则点()(1317,0,0,0,23,2,1717B S C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,故132,231717SC ⎛=- ⎝u u u v ,()17,0AB =u u uv .于是,所求夹角的余弦值为17SC AB SC AB⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v . 1715.如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为(n)f ，则()f n =__________．【答案】7,2n-1; 【解析】解：设h （n ）是把n 个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，h （1）=1；n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h （2）=3=22-1；n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h （2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h （2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]， h （3）=h （2）×h（2）+1=3×2+1=7=23-1， h （4）=h （3）×h（3）+1=7×2+1=15=24-1， …以此类推，h （n ）=h （n-1）×h（n-1）+1=2n-1， 故答案为：7；2n -1．16.一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是5)A ，3,0,0)B ，(0,1,0)C ，3,1,5)D ，则该四面体的外接球的体积为__________．【答案】29π【解析】 【分析】3,1,5. 【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体3,1,53153++=，所以球半径为23，体积为34932r ππ=.【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（共60分） 17.设数列{}n a 满足1123n n a a +=+，14a =. （1）求证{3}n a -是等比数列，并求n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T .【答案】（1）113()3n n a -=+（2）313123nn T n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据条件可得()11333n n a a +-=-，从而证得等比关系，再利用等比数列的通项公式求解即可；（2）利用分组求和即可. 【详解】（1）∵1123n n a a +=+，14a =， ∴()11333n n a a +-=-，故{}3n a -是首项为1，公比为13的等比数列， ∴1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故0111113...333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1131333112313nnn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-. 【点睛】本题主要考查了构造新等比数列，考查了数列的递推关系及分组求和，属于基础题.18.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位） （2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布2(,)N μσ（0u u =，σ约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%； （i ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位） （ii ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y .（说明11()1()x uP X x φσ->=-表示1X x >的概率.参考数据：(0.7257)0.6ϕ=，(0.6554)0.4ϕ=） 【答案】（1）103；（2）（i ）117;(ii) 58. 【解析】 【分析】（1）直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市此次检测理科数学的平均成绩；（2）（ⅰ）令11030.725719.3x -=计算1x 的值；（ⅱ）根据二项分布的概率公式得出Y 的分布列，利用二项分布的期望公式可得数学期望. 【详解】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为1x ， 根据题意，111103()110.419.3x u x P x x φφσ--⎛⎫⎛⎫>=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11030.619.3x φ-⎛⎫= ⎪⎝⎭. 由()0.72570.6φ=得，111030.7257117.011719.3x x -=⇒=≈，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分.（ⅱ）因为24,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，()442355i ii P Y i C -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4i =. 所以Y 的分布列为 Y 01234P 816252166252166259662516625所以()28455E Y =⨯=. 【点睛】本题主要考查直方图的应用、正态分别的应用以及二项分布的数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．19.如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，PA AD =，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：平面ANB ⊥平面PCD ；（2）若直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，求二面角N MD C --的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）36【解析】 【分析】（1）通过证明MN ⊥面PCD ，可证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设2AB t =，由向量的夹角公式先求解线面角得t ，再利用面的法向量求解二面角即可.【详解】如图，取PD 中点E ，连接EN ，AE . （1）证明：∵M ，N ，E 为中点， ∴//EN AM ，12EN AM AB ==， ∴AMNE 是平行四边形，//MN AE ， 又∵CD AD ⊥，CD PA ⊥，∴CD ⊥面PAD ，∴面⊥PCD 面PAD .∵PA AD =，E 为中点，,AE PD ⊥AE ⊥面PCD ， ∴MN ⊥面PCD ，∵MN ⊂面ANB ， ∴平面ANB ⊥平面PCD . （2）建立如图所示坐标系，()0,0,0A ，()2,0,0B t ，()2,2,0C t ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，(),0,0M t ，(),1,1N t .由（1）知MN ⊥面PCD ，∴()2,0,2PB t u u u v =-，()0,1,1MN =u u u u v.∵直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，∴由PB MN PB MN⋅=u u u v u u u u v u u u v u u u u v 得2t =.设(),,m x y z =v为面NMD 的法向量，则()2,2,0DM =-u u u u v ，()0,1,1MN =u u u u v . 由00DM m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v vu u u u v v 得()1,1,1m v =-，m =v， ∵AP ⊥面CMD ，()0,0,2AP =u u u v，设二面角N MD C --为θ，θ为锐角，则cos AP m AP mθ⋅==u u u v v u u u v v ，∴sin 3θ=. 【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.20.动点(,)M x y6=. （1）求M 点的轨迹并给出标准方程；（2）已知D ，直线l：y kx =-交M 点的轨迹于A ，B 两点，设AD DBλ=u u u r u u u r且12λ<<，求k 的取值范围.【答案】（1）2219x y +=（2）k >k <【解析】 【分析】（1）由方程知轨迹为椭圆，进而得,a c 从而可得解；（2）由AD DB λ=u u u v u u u v得12y y λ=-，由直线与椭圆联立，可结合韦达定理整理得2321912k λλ+=+-，设()12f λλλ=+-，求其范围即可得解.【详解】（1）解：M点的轨迹是以()，()-为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为2219x y +=.（2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由AD DB λ=u u u v u u u v得12y y λ=-……① 由12λ<<得0k ≠，由y kx =-得x =2219x y +=整理()222190k yk ++-=……②显然②的判别式∆>0恒成立，由根与系数的关系得12y y +=……③ 212219k y y k=-+……④由①③得()()12119k y k λ=-+，()()22119y k λ=--+代入④整理得()22323219112k λλλλ+==-+-. 设()12f λλλ=+-，则由对勾函数性质知()f λ在()1,2上为增函数，故得()102f λ<<. 所以21964k +>，即k的取值范围是k >k <【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的思想，着重考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数()ln()xf x e x m =-+，其中1m ≥.（1）设0x =是函数()f x 的极值点，讨论函数()f x 的单调性； （2）若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<， （i ）求参数m 的取值范围； （ii ）求证：2121ln(1)1x x ex x e ---+>-【答案】（1）见解析；（2）（i ）e m >，（ii ）见解析. 【解析】 【分析】（1）求函数导数，由()'0011f m=-=可得解，进而得单调区间； （2）（i ）分析函数导数可得函数单调性，结合,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，可得解；（ii ）先证当m e =时，若()ln()0xf x ex e =-+=，得存在3()(0)0f x f ==，进而证31x <-，再证e m >时，11x <-，可得211t x x =->，构造函数()ln(1)th t e t =-+，利用函数单调性即可证得.【详解】（1）()1'xf x e x m=-+， 若0x =是函数()f x 的极值点，则()'0011f m=-=，得1m =，经检验满足题意， 此时()1'1xf x e x =-+，()'f x 为增函数， 所以当(1,0),'()0x f x ∈-<，()f x 单调递减； 当(0,),'()0x f x ∈+∞>，()f x 单调递增 （2）（i ）1m ≥， ()1'xf x e x m=-+， 记()()'h x f x =，则()()21'0xh x e x m =+>+，知()'f x 在区间(),m -+∞内单调递增. 又∵()1'010f m=->， ()1'101m f e m -=+-<-， ∴()'f x 在区间()1,0m -内存在唯一的零点0x ，即()0001'0xf x e x m =-=+，于是001x e x m=+， ()00ln x x m =-+.当0m x x -<<时， ()()'0,f x f x <单调递减； 当0x x >时， ()()'0,f x f x >单调递增.若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<，易知,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，解得e m >. （ii ）当me =时有()ln()xf x ex e =-+，令()ln()0x f x e x e =-+=.由（i ）中的单调性知，存在3()(0)0f x f ==，当3(,0),()0x x f x ∈<. 111(1)ln(1)ln(1)ln1.7022f e e e -=--<--<-=<，所以31x <-.下证当e m >时，11x <-.由()ln()ln()x xf x e x m e x e =-+<-+，所以33333()ln()ln()0x xf x e x m e x e =-+<-+=，由（i ）知，当12(,),()0x x x f x ∈<，得131x x <<-.. 所以211x x ->，令211t x x =-> 要证2121ln(1)1x x ex x e ---+>-，即证ln(1)1t e t e -+>-.令1()ln(1),'()1tth t e t h t e t =-+=-+单调递增，且1'(1)02h e =->， 所以'()0,()h t h t >单调递增，所以()(1)ln 21h t h e e >=->-.得证.【点睛】本题主要研究了函数的极值和函数的单调性，考查了构造函数的思想及放缩法证明不等式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线1C 的方程为()2211x y -+=，2C 的方程为3x y +=，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若1C 与3C 的一个公共点A （异于点O ），2C 与3C 的一个公共点为B ，求3OA OB-的取值范围.【答案】（1）1C 的极坐标方程为θρcos 2=，2C 的极坐标力程为3cos sin ρθθ=+（2）3(1,1)OA OB-∈- 【解析】 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可； （2）设3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，分别与1C 和2C 的极坐标方程联立，可得2cos OA α=和3cos sin OB αα=+，进而看化简求值.【详解】解：（1）曲线1C 的方程为()2211x y -+=，1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 2C 的方程为3x y +=，其极坐标力程为3cos sin ρθθ=+.（2）3C 是一条过原点且斜率为正值的直线，3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，联立1C 与3C 的极坐标方程2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得2cos ρα=，即2cos OA α=，联立1C 与2C 的极坐标方程3cos sin ρθθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得3cos sin ραα=+，即3cos sin OB αα=+，所以32cos cos sin OA OB ααα-=-- 4πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()31,1OA OB -∈-. 【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标互化及极坐标应用解长度问题，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲（1）已知+∈R c b a ,,，且1a b c ++=，证明9111≥++cb a ；（2）已知+∈R c b a ,,，且1abc =111a b c ≤++. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++展开利用基本不等式证明即可；（2）由11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭ 12⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，结合条件即可得解.【详解】证明：（1）因为111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++ 111b c a c a b a a b b c c=++++++++ 39b a b c a c a b c b c a=++++++≥， 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立.（2）因为11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭ 12⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，又因为1abc =，所以1c ab =，1b ac =，1a bc =，∴()111a b c ++≥. 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立，即原不等式成立.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，需要进行配凑，具有一定的技巧性，属于中档题.。

2015-2016学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）第二次检测数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合P={x|x2≤1}，那么∁U P=（）A．（﹣∞，﹣1] B．[1，+∞）C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）2．已知向量=（1，m+2），=（m，﹣1），且∥，则||等于（）A．B．2 C．D．3．等比数列{a n}中，a1+a2+a3=1，a4+a5+a6=8，则该等比数列的公比为（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或1 D．2或﹣14．sin182°cos28°﹣cos2°sin28°的值为（）A．B． C．D．5．使函数是奇函数，且在上是减函数的θ的一个值是（）A．B． C． D．6．在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也必要条件7．△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c， =， =（sinB，cosA），⊥，b=2，，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．8．在等差数列{a n}中，对任意n∈N+，都有a n＞a n+1，且a2，a8是方程x2﹣12x+m=0的两根，且前15项的和S15=m，则数列{a n}的公差是（）A．﹣2或﹣3 B．2或3 C．﹣2 D．﹣39．已知数列{a n}中，a2=102，a n+1﹣a n=4n，则数列的最小项是（）A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项10．函数f（x）=1+log2（﹣x）与g（x）=2x﹣1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B． C．D．11．在正方形ABCD中，AB=AD=2，M，N分别为边BC，CD上的两个动点且MN=，则•的取值范围为（）A．[4，8﹣2] B．[4﹣2，8] C．[4，8+2] D．[4﹣2，8﹣2]12．若两个函数的图象有一个公共点，并在该点处的切线相同，就说明这两个函数有why 点，已知函数f（x）=lnx和g（x）=e x+m有why点，则m所在的区间为（）A．（﹣3，﹣e）B．（﹣e，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣2）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.将答案填在答题卡相应的位置上）13．已知数列{x n}为等差数列，且x1+x2+x3=5，x18+x19+x20=25，则数列{x n}的前20项的和为．14．设2a+1，a，2a﹣1为钝角三角形的三边，则a范围为．15．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是．16．△ABC中，AB=，cosB=，点D在边AC上，BD=，且=λ（+）（λ＞0）则sinA的值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（2015秋•哈尔滨校级月考）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上函数值的集合．18．（12分）（2015秋•黔东南州校级月考）设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3=7且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=lna n，n=1，2，…，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2015秋•哈尔滨校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R），且b2=3ac．（Ⅰ）当时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为钝角，求p的取值范围．20．（12分）（2015秋•哈尔滨校级月考）已知数列{a n}中，．（Ⅰ）记b n=a n﹣2n，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项的和为S n，数列{c n}满足，若对任意的正整数n，当m∈[﹣2，4]时，不等式6t2﹣12mt+1＞6c n恒成立，求实数t的取值范围．21．（12分）（2015秋•哈尔滨校级月考）己知函数h（x）=lnx﹣x﹣有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）写出函数h（x）的单调区间（用x1，x2表示，不需要说明理由）（2）如果函数F（x）=h（x）+x在（1，b）上为增函数．求b的取值范围（3）当h（x1）+ln3+＜﹣+x2时．求h（x2）﹣x1的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）（2015秋•哈尔滨校级月考）如图，D是△ABC外接圆上的一点，弦AD与BC交于点E，且AB=AC=6，AE=4．（Ⅰ）求线段DE的长；（Ⅱ）若∠BAC=120°，求△BCD内切圆的面积．（2015秋•哈尔滨校级月考）在直角坐标系xoy中，直角l的参数方程为，23．（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），当≤α≤时，求|PA|﹣|PB|的取值范围．24．（2015秋•哈尔滨校级月考）己知a，b，c为正实数，且a+b+c=2．（1）求证：ab+bc+ac≤；（2）若a，b，c都小于1，求a2+b2+c2的取值范围．2015-2016学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）第二次检测数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合P={x|x2≤1}，那么∁U P=（）A．（﹣∞，﹣1] B．[1，+∞）C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】补集及其运算．【专题】集合．【分析】先求出集合P中的不等式的解集，然后由全集U=R，根据补集的定义可知，在全集R中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可．【解答】解：由集合P中的不等式x2≤1，解得﹣1≤x≤1，所以集合P=[﹣1，1]，由全集U=R，得到C U P=（﹣∞，1）∪（1，+∞）．故选D【点评】此题属于以不等式的解集为平台，考查了补集的运算，是一道基础题．2．已知向量=（1，m+2），=（m，﹣1），且∥，则||等于（）A．B．2 C．D．【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，由结合向量平行的坐标表示方法，解可得m的值，即可得的坐标，然后求出向量的模．【解答】解：根据题意，若∥，，则有﹣1×1=（m+2）×m，解可得m=﹣1，则=（﹣1，﹣1），则||=故选A．【点评】本题考查向量平行的坐标表示与向量的坐标计算，关键是求出的坐标．3．等比数列{a n}中，a1+a2+a3=1，a4+a5+a6=8，则该等比数列的公比为（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或1 D．2或﹣1【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】设出等比数列的公比，由已知列式求得q3，则公比可求．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1+a2+a3=1 ①，a4+a5+a6=q3（a1+a2+a3）=8 ②，②÷①得：q3=8，∴q=2．故选：B．【点评】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题．4．sin182°cos28°﹣cos2°sin28°的值为（）A．B． C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．【解答】解：sin182°cos28°﹣cos2°sin28°=﹣sin2°cos28°﹣cos2°sin28°=﹣sin30°=﹣．故选：B．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，诱导公式的应用，考查计算能力．5．使函数是奇函数，且在上是减函数的θ的一个值是（）A．B． C． D．【考点】正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性．【专题】计算题．【分析】利用两角和正弦公式化简函数的解析式为2sin（2x+θ+），由于它是奇函数，故θ+=kπ，k∈z，当k为奇数时，f（x）=﹣2sin2x，满足在上是减函数，此时，θ=2nπ﹣，n∈z，当k为偶数时，经检验不满足条件．【解答】解：∵函数=2sin（2x+θ+）是奇函数，故θ+=kπ，k∈Z，θ=kπ﹣．当k为奇数时，令k=2n﹣1，f（x）=﹣2sin2x，满足在上是减函数，此时，θ=2nπ﹣，n∈Z，选项B满足条件．当k为偶数时，令k=2n，f（x）=2sin2x，不满足在上是减函数．综上，只有选项B满足条件．故选 B．【点评】本题考查两角和正弦公式，正弦函数的单调性，奇偶性，体现了分类讨论的数学思想，化简函数的解析式是解题的突破口．6．在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】常规题型．【分析】要注意三角形内角和是180度，不要丢掉这个大前提．【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°∵A＞30°∴30°＜A＜180°∴0＜sin A＜1∴可判读它是sinA＞的必要而不充分条件故选B．【点评】此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分．7．△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c， =， =（sinB，cosA），⊥，b=2，，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用．【分析】由⊥，得sinB=﹣，由正弦定理得得sinA=﹣，再由同角三角函数关系式得到cosA=﹣，sinA=，从而sinB=，cosB=，从而求出sinC，由此利用△ABC的面积S=，能求出结果．【解答】解：∵△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，=， =（sinB，cosA），⊥，b=2，，∴===0，∴sinB=﹣，由正弦定理得，整理，得sinA=﹣，∴sin2A+cos2A=4cos2A=1，∵0＜A＜π，∴cosA=﹣，sinA=，A=，∴sinB=，cosB==，∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==，∴△ABC的面积S===．故选：C．【点评】本题考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量垂直、正弦定理、同角三角函数关系式等知识点的合理运用．8．在等差数列{a n}中，对任意n∈N+，都有a n＞a n+1，且a2，a8是方程x2﹣12x+m=0的两根，且前15项的和S15=m，则数列{a n}的公差是（）A．﹣2或﹣3 B．2或3 C．﹣2 D．﹣3【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【专题】方程思想；消元法；等差数列与等比数列．【分析】由根与系数的关系得出a2+a8=12，a2a8=m；再由{a n}的前15项的和为m，列出方程，求出a2、a8与m的值，即可求出公差．【解答】解：等差数列{a n}中，a n＞a n+1，且a2，a8是方程x2﹣12x+m=0的两根，∴a2+a8=12①，a2a8=m②；又{a n}的前15项和为m，∴=m，即15a8=m③；由①②③组成方程组，解得a2=15，a8=﹣3，m=﹣45；或a2=12，a8=0，m=0；当a2=15，a8=﹣3时，d=﹣3，当a2=12，a8=0时，d=﹣2；∴数列{a n}的公差是﹣3或﹣2．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、一元二次方程的根与系数的关系的应用问题，是综合性题目．9．已知数列{a n}中，a2=102，a n+1﹣a n=4n，则数列的最小项是（）A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项【考点】数列递推式．【专题】综合题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用累加法求出a n=2n2﹣2n+98，得到，然后利用基本不等式求得数列的最小项．【解答】解：∵数列{a n}中，a2=102，a n+1﹣a n=4n，∴a n﹣a n﹣1=4（n﹣1），…a4﹣a3=4×3，a3﹣a2=4×2，以上等式相加，得a n﹣a2=4×2+4×3+…+4×（n﹣1）=4（2+3+…+n﹣1）=2（n+1）（n﹣2）．∴a n=2n2﹣2n+98．∴=2n+﹣2≥2﹣2=26，当且仅当=2n，即n=7时，等式成立．∴数列{}的最小项是第7项．故选：B．【点评】本题考查数列的最小项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法和均值不等式的合理运用．10．函数f（x）=1+log2（﹣x）与g（x）=2x﹣1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由条件利用函数的定义域和单调性，结合函数的图象特征，得出结论．【解答】解：函数f（x）=1+log2（﹣x）的定义域为（﹣∞，0），且单调递减；g（x）=2x﹣1 的定义域为R，且单调递增，故选：A．【点评】本题主要考查函数的定义域和单调性，函数的图象特征，属于基础题．11．在正方形ABCD中，AB=AD=2，M，N分别为边BC，CD上的两个动点且MN=，则•的取值范围为（）A．[4，8﹣2] B．[4﹣2，8] C．[4，8+2] D．[4﹣2，8﹣2]【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；方程思想；平面向量及应用．【分析】如图所示，设M（2，y），N（x，2），．由于MN=，可得（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．则•=2x+2y=t，数形结合即可得出．【解答】解：如图所示，设M（2，y），N（x，2），．∵MN=，∴=，化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．则•=2x+2y=t，由=，解得t=4或12（舍去）．把x=2，y=2代入可得t=8﹣2．综上可得：t∈．故选：A．【点评】本题考查了数量积运算性质、两点之间的距离公式、直线与圆相切相交性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．若两个函数的图象有一个公共点，并在该点处的切线相同，就说明这两个函数有why 点，已知函数f（x）=lnx和g（x）=e x+m有why点，则m所在的区间为（）A．（﹣3，﹣e）B．（﹣e，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣2）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】新定义；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】设f（x）和g（x）的公共点为（a，b），（a＞0），求导数，建立方程组，求得alna=1，确定a的范围，再由m=﹣lna﹣a=﹣（a+）确定单调递增，即可得到m的范围．【解答】解：设f（x）和g（x）的公共点为（a，b），（a＞0），函数f（x）=lnx的导数为f′（x）=，g（x）=e x+m有的导数为g′（x）=e x+m，即有=e a+m，lna=e a+m，即为alna=1，令h（a）=alna﹣1，可得h（）=ln﹣1＜0，h（2）=2ln2﹣1＞0，即有＜a＜2，则m=﹣lna﹣a=﹣（a+）∈（﹣，﹣），而﹣＞﹣，故选C．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，解题的关键是分离参数，确定函数的单调性，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.将答案填在答题卡相应的位置上）13．已知数列{x n}为等差数列，且x1+x2+x3=5，x18+x19+x20=25，则数列{x n}的前20项的和为100 ．【考点】数列的求和．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】通过等差中项可知x2=，x19=，利用数列{x n}的前20项的和为，进而计算可得结论．【解答】解：∵数列{x n}为等差数列，∴2x n+1=x n+x n+2，又∵x1+x2+x3=5，x18+x19+x20=25，∴x2=，x19=，∴x2+x19=+=10，∴数列{x n}的前20项的和为=100，故答案为：100．【点评】本题考查数列的前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．14．设2a+1，a，2a﹣1为钝角三角形的三边，则a范围为（2，8）．【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】由三边长得到最大边为2a+1，所对的角为钝角，设为α，利用余弦定理表示出cosα，将三边长代入，根据cosα的值小于0，列出关于a的不等式，同时根据两边之和大于第三边列出不等式，求出两不等式解集的公共部分即可得到a的范围．【解答】解：由题意得：2a+1为最大边，所对的角为钝角，设为α，∴cosα==＜0，∵2a（2a﹣1）＞0，∴a2﹣8a＜0，解得：0＜a＜8，又a+2a﹣1＞2a+1，∴a＞2，则a的范围为（2，8）．故答案为：（2，8）【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．15．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是 4 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据等比中项的性质求得a+b的值，进而利用基本不等式取得ab的最大值，把+化简整理，根据ab的范围，求得答案．【解答】解：∵是3a与3b的等比中项∴3a•3b=3a+b=3∴a+b=1∴ab≤=（当a=b时等号成立）∴+==≥4．故答案为：4【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．使用基本不等式时要注意等号成立的条件．16．△ABC中，AB=，cosB=，点D在边AC上，BD=，且=λ（+）（λ＞0）则sinA的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】根据=λ（+），容易判断点D为AC的中点，由三角形的中线长定理和余弦定理，可得AC，BC的长，再由正弦定理，可得sinA．【解答】解：如图，过B作BE⊥AC，垂足为E，取AC中点F，连接BF，则=λ（+）（λ＞0）=λ（+）=；∴和共线，∴D点和F点重合，∴D是AC的中点，由中线长定理可得，BD===，又AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB，即为AC2=+BC2﹣•BC•，解方程可得BC=2，AC=，由正弦定理可得=，可得sinA===．故答案为：．【点评】本题考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（2015秋•哈尔滨校级月考）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上函数值的集合．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由调价利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．（Ⅱ）由 x∈区间，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）由于函数=4cosx（sinx+cosx）﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），故函数的最小正周期为=π．（Ⅱ）∵x∈区间，∴2x+∈[﹣，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，函数的值域为[﹣1 2]．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．18．（12分）（2015秋•黔东南州校级月考）设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3=7且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=lna n，n=1，2，…，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（I）设{a n}是公比q大于1的等比数列，由于a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，可得6a2=a3+4+a1+3，即6a1q=+7+a1，又S3=a1（1+q+q2）=7，联立解出即可得出．（II）b n=lna n=（n﹣1）ln2，再利用等差数列的前n项和公式即可得出数列{b n}的前n项和．【解答】解：（I）设{a n}是公比q大于1的等比数列，∵a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，∴6a2=a3+4+a1+3，化为6a1q=+7+a1，又S3=a1（1+q+q2）=7，联立解得a1=1，q=2．∴a n=2n﹣1．（II）b n=lna n=（n﹣1）ln2，∴数列{b n}的前n项和T n=ln2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2015秋•哈尔滨校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R），且b2=3ac．（Ⅰ）当时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为钝角，求p的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由条件利用正弦定理可得b2=3ac=1，a+c=b=，由此解得a和c的值．（Ⅱ）由条件利用余弦定理求得p2=+cosB，再结合﹣1＜cosB＜0，求得p2的范围，从而求得p的范围．【解答】解：△ABC中，∵sinA+sinC=psinB（p∈R），且b2=3ac，故a+c=pb．（Ⅰ）当时，则由sinA+sinC=sinB（p∈R），且b2=3ac=1，故有a+c=b=，解得a=，c=1；或者a=1，c=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，即p2•b2=+•cosB，即p2=+cosB，因为角B为钝角，故﹣1＜cosB＜0，所以p2∈（1，）．由题设知p∈R，又由sinA+sinC=psinB知，p是正数，求p的取值范围为（1，）．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，钝角的余弦值的范围，属于中档题．20．（12分）（2015秋•哈尔滨校级月考）已知数列{a n}中，．（Ⅰ）记b n=a n﹣2n，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项的和为S n，数列{c n}满足，若对任意的正整数n，当m∈[﹣2，4]时，不等式6t2﹣12mt+1＞6c n恒成立，求实数t的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（I）由，变形为a n+1﹣2（n+1）=2[a n﹣2n]，b n=a n﹣2n，即b n+1=2b n，即可得出．（II）由（I）可得：b n=a n﹣2n=0，解得a n=2n，可得数列{a n}的前n项的和为S n=n2+n．可得=．利用“裂项求和”可得c n．可得（c n）max．根据对任意的正整数n，当m∈[﹣2，4]时，不等式6t2﹣12mt+1＞6c n恒成立，即可得出．【解答】解：（I）∵，∴a n+1﹣2（n+1）=2[a n﹣2n]，b n=a n﹣2n，∴b n+1=2b n，而b1=a1﹣2=0，可得b n=0．（II）由（I）可得：b n=a n﹣2n=0，解得a n=2n，∴数列{a n}的前n项的和为S n==n2+n．∴==．∴=++…+=﹣==≤，∴（c n）max=．∵对任意的正整数n，当m∈[﹣2，4]时，不等式6t2﹣12mt+1＞6c n恒成立，∴6t2﹣12mt+1＞1，化为：t（t﹣2m）＞0，当m∈（0，4]时，解得t＜0，或t＞8；当m=0时，解得t≠0；当m∈[﹣2，0）时，解得t＜﹣4，或t＞0．综上可得：t＞8，或t＜﹣4．∴实数t的取值范围是t＞8，或t＜﹣4．【点评】本题考查了“裂项求和”、数列的通项公式、不等式的性质，考查了分类讨论方法、变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）（2015秋•哈尔滨校级月考）己知函数h（x）=lnx﹣x﹣有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）写出函数h（x）的单调区间（用x1，x2表示，不需要说明理由）（2）如果函数F（x）=h（x）+x在（1，b）上为增函数．求b的取值范围（3）当h（x1）+ln3+＜﹣+x2时．求h（x2）﹣x1的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）根据函数h（x）=lnx﹣x﹣有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，写出函数h（x）的单调区间；（2）如果函数F（x）=h（x）+x在（1，b）上为增函数．b＜1+，确定2m＞﹣，即可求b的取值范围；（3）当h（x1）+ln3+＜﹣+x2时．+ln（1﹣x2）+x2+ln3﹣＜0，＜x2＜1，设f（x2）=+ln（1﹣x2）+x2+ln3﹣，证明f（x2）在（，1）上单调递减，＜x2＜1，利用h（x2）﹣x1=lnx2﹣x2，设φ（x2）=lnx2﹣x2，＜x2＜1，证明φ（x2）在（，1）上单调递减，即可求h（x2）﹣x1的取值范围．【解答】解：（1）函数h（x）的单调增区间是（x1，x2），单调减区间是（0，x1），（x2，+∞）；（2）函数F（x）=h（x）+x=lnx﹣x﹣，∴F′（x）=∵在（1，b）上为增函数，∴b＜1+，∵函数h（x）=lnx﹣x﹣有两个极值点x1，x2，h′（x）=，∴△=1+4m＞0，∴2m＞﹣，∴＞，∴b≤1+，∴1＜b≤1+；（3）h′（x）==0的两个根分别为x1，x2，∴x1，x2是x2﹣x﹣m=0的两个正实数根，∴x1+x2=1，x1x2=﹣m当h（x1）+ln3+＜﹣+x2时，lnx1﹣x1﹣+ln3+＜﹣+x2，∴+ln（1﹣x2）+x2+ln3﹣＜0．显然＜x2＜1设f（x2）=+ln（1﹣x2）+x2+ln3﹣，∴f′（x2）=＜0，∴f（x2）在（，1）上单调递减，∵f（）=0，∴f（x2）＜0=f（），∴＜x2＜1∴h（x2）﹣x1=lnx2﹣x2，设φ（x2）=lnx2﹣x2，＜x2＜1∵φ′（x2）=﹣1＞0，∴φ（x2）在（，1）上单调递减∴φ（x2）∈（ln﹣，﹣1）∴h（x2）﹣x1的取值范围是（ln﹣，﹣1）．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，极值，考查学生分析解决问题的能力，难度大．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）（2015秋•哈尔滨校级月考）如图，D是△ABC外接圆上的一点，弦AD与BC交于点E，且AB=AC=6，AE=4．（Ⅰ）求线段DE的长；（Ⅱ）若∠BAC=120°，求△BCD内切圆的面积．【考点】解三角形；圆內接多边形的性质与判定．【专题】计算题；数形结合；转化思想；解三角形．【分析】（Ⅰ）连接BD构造相似三角形△ABE∽△ADB，然后根据相似三角形的对应边成比例求得AB2=AD•AE，从而求得AB的长度．（Ⅱ）利用三角形相似求出三角形的三个边长，通过三角形的面积求出内切圆的半径，然后求解内切圆的面积．【解答】解：（Ⅰ）如图，AB=AC=6，则，∴∠ABE=∠D（等弧所对的圆周角相等），又∠BAE=∠BAD（公共角），∴△ABE∽△ADB（AA），∴（相似三角形的对应边成比例），∴AB2=AD•AE=（AE+ED）•AE，又AE=4，AB=6，得ED=5．（Ⅱ）∠BAC=120°，BC=6，BE=3，EC=3，CD===，△DBE∽△AEC，∴，可得BD==．D到BC的距离为h，则，h=，，（r是△BCD内切圆的半径），×=×（）•r，解得r=，△BCD内切圆的面积： =．【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理．圆心角与它所对的弧、所对的弦之间的关系：这三个量中，若有一个量相等，则其它的量两个量也相等．考查内切圆的面积的求法，考查转化思想的应用．（2015秋•哈尔滨校级月考）在直角坐标系xoy中，直角l的参数方程为，23．（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），当≤α≤时，求|PA|﹣|PB|的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】选作题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标的互化方法求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）利用参数的几何意义，求|PA|﹣|PB|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由圆C的方程为ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y；（Ⅱ）直角l的参数方程为，与圆C的直角坐标方程联立，可得t2+6tsinα+4=0设A，B对应的参数分别为t1，t2，则|PA|﹣|PB|=t1+t2=﹣6sinα，∵≤α≤，∴≤sinα≤，∴﹣3≤﹣6sinα≤﹣3，∴|PA|﹣|PB|的取值范围是[﹣3，﹣3]．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．24．（2015秋•哈尔滨校级月考）己知a，b，c为正实数，且a+b+c=2．（1）求证：ab+bc+ac≤；（2）若a，b，c都小于1，求a2+b2+c2的取值范围．【考点】基本不等式；二维形式的柯西不等式．【专题】证明题；整体思想；综合法；不等式．【分析】（1）由a+b+c=2，得到8=2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca，利用基本不等式得以证明，（2）由（1）和基本不等式得到a2+b2+c2≥，再根据a﹣a2=a（1﹣a），0＜a＜1，得到a＞a2，继而求出范围．【解答】（1）证明：∵a+b+c=2，∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4，∴2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca=8∴8=2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca≥6ab+6abc+6ac，当且仅当a=b=c时取等号，∴ab+bc+ac≤；（2）解：由（1）知，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4，∴4≤a2+b2+c2+a2+b2+b2+c2+a2+c2=3（a2+b2+c2），当且仅当a=b=c时取等号，∴a2+b2+c2≥，∵a﹣a2=a（1﹣a），0＜a＜1，∴a＞a2，同理b＞b2，c＞c2，∴a2+b2+c2＜a+b+c=2，∴≤a2+b2+c2＜2，∴a2+b2+c2的取值范围为[，2）．【点评】本题考查了基本不等式的应用，关键是掌握等号成立的条件，属于基础题．。

黑龙江省哈尔滨三中2021届高考数学二模试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知全集U ={1,2，3，4，5}，集合A ={1,2，3}，B ={2,4}，则(∁U A)∪B 为( )A. {4}B. {2,4，5}C. {1,2，3，4}D. {1,2，4，5}2.复数z =−1+i 2+i的虚部为( )A. −35iB. −35C. 35iD. 353.用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )．A. 243B. 252C. 261D. 2794.计算tanπ81−tan 2π8的结果是( )A. 1B. 2C. 12D. 145.已知|a ⃗ |=|b ⃗ |=4且a ⃗ ⊥b ⃗ ，若向量c ⃗ 满足|c ⃗ −a ⃗ |=2，则当向量b ⃗ 、c ⃗ 的夹角取最小值时，b ⃗ ⋅c ⃗ =( )A. 4√2B. 8C. 4√3D. 8√36.函数y =−3x 4是( )A. 偶函数B. 奇函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数7.已知函数g(x)=x −1，函数f(x)满足f(x +1)=−2f(x)−1，当x ∈(0,1]时，f(x)=x 2−x ，对于∀x 1∈(1,2]，∀x 2∈R ，则(x 1−x 2)2+(f(x 1)−g(x 2))2的最小值为( )A. 12B. 49128C. 81128D. 1251288.已知实数a ，b ，c 满足b +c =3a 2−4a +6，c −b =a 2−4a +4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. c ≥b >aB. c >b >aC. a >c ≥bD. a >c >b9.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为，则球的表面积为( )A.B.C. D.10. 函数f(x)=sin(x2−π6)的最小正周期为( )A. π2B. πC. 2πD. 4π11. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P(3,4)在双曲线的渐近线上，若|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则此双曲线的方程为( )A. x 23−y 24=1B. x 216−y29=1C. x 24−y 23=1D. x 29−y 216=112. 已知f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数，满足f(1)=1，xf′(x)−f(x)<x 2，则不等式①f(2)<2，②f(2)<4，③f(12)>12，④f(12)<14中一定成立的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 设变量x ，y 满足约束条件{x −y −1≥0x +y −2≤0y +1≥0，则目标函数z =2x +y 的最大值是______．14. 已知(x +1x )9展开式中x 5的系数是______；15. 若球O 内切于棱长为2的正方体，则球O 的表面积为______． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 如图，在△ABC 中，∠C =45°，D 是BC 边上的一点，且AB =7，AD =5，BD =3，则∠ADC 的度数为 ，AC 的长为 ．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知{a n }是单调递增的等差数列，首项a 1=3，前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，首项b 1=1，且a 2b 2=12，S 3+b 2=20． (Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式．(Ⅱ)令C n =S n cos(a n π)(n ∈N +)，求{c n }的前n 项和T n ．18. 如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，BDEF 为矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠DAB =∠ABC =90°，AD =AB =ED =1，BC =2． (1)若点M 为EF 中点，求证：BM ⊥平面CDF ；(2)若点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角的取值范围．19. 为了了解篮球爱好者小李投篮命中率与打篮球时间之间的关系，记录了小李第i 天打篮球的时间x i (单位：小时)与当天投篮命中率y i 的数据，其中i =1，2，3，4，5.算得：∑x i 5i=1=15，∑y i 5i=1=2.5，∑x i 5i=1y i =7.6，∑x 5i=1 i 2=5.5，．(Ⅰ)求投篮命中率y 对打篮球时间x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂； (Ⅱ)若小李明天准备打球2.5小时，预测他的投篮命中率． 附：线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中b ̂=∑x i n i=1y i −nxy∑x i 2n i=1−n x−2，a ̂=y −b̂x ，其中x ，y 为样本平均数．20. 已知A(2,0)，O 为坐标原点，动点P 满足|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√2 (Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)过点A 且不垂直于坐标轴的直线l 交轨迹C 于不同的两点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点D ，线段MN 的中点为H ，求|DH||MN|的取值范围．21. 已知函数f(x)=e x−a −ln(x +a)． (1)当a =12时，求f(x)的单调区间与极值； (2)当a ≤1时，证明：f(x)>0．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为(t 为参数，0≤α<π)。

2021年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，A＝{x|y＝ln（1﹣x2）}，B＝{y|y＝4x﹣2}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣1，0）B．[0，1）C．（0，1）D．（﹣1，0]2．复数z满足（z+i）i＝﹣3+i，i为虚数单位，则z等于（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 3．2020年11月，兰州地铁2号线二期开通试运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去兰州老街、西固公园、西站十字，每人只能去一个地方，西站十字一定要有人去，则不同游览方案的种数为（）A．60B．65C．70D．754．已知α为第二象限角，sinα+cosα＝，则cos2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．5．已知平面向量，满足||＝||＝1，且|2+|＝|+|，则与的夹角为（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝x2﹣ln（﹣x），则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为（）A．x﹣y＝0B．x﹣y﹣2＝0C．x+y﹣2＝0D．3x﹣y﹣2＝0 7．已知直线l过抛物线E：y2＝4x的焦点F，且依次交抛物线E及其准线于点A，B，C（点B在点A，C之间）若|BC|＝2|BF|，则|AF|＝（）A．B．4C．6D．128．设a＞1＞b＞0，则下列不等式恒成立的是（）A．B．（）2020＜（）2021C．log a＞log b D．a b＞b a9．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．πB．2πC．6πD．24π10．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若f（x）在（﹣π，π）上有且只有3个零点，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．11．设O为坐标原点，直线x＝2a与双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．32B．16C．8D．412．设函数f（x）＝e x+2x﹣a（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y＝sin x上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））＝y0，则a的取值范围是（）A．[﹣1+e﹣1，1+e]B．[1，1+e]C．[e，1+e]D．[1，e]二、填空题（共4小题）.13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x﹣2y的最小值为．14．（2﹣x2）（1﹣）5的展开式中的常数项为．15．已知三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB⊥AC，BC＝CD＝BD＝2，则球O的表面积为．16．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知，则C＝，的取值范围为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是递增的等比数列，a1＝1，且2a2，a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在三棱锥D﹣ABC中，AB⊥BD，BC⊥CD，M，N分别是线段AD，BD的中点，MC＝1，，二面角D﹣BA﹣C的大小为60°．（1）证明：平面MNC⊥平面BCD；（2）求直线BM和平面MNC所成角的余弦值．19．某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该公司2014年至2020年的年利润y关于年份代号x的统计数据如表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：年份2014201520162017201820192020年份代号x1234567年利润y（单位：亿元）29333644485259（1）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2021年（年份代号记为8）的年利润；（2）当统计表中某年年利润的实际值大于由（1）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A级利润年，否则称为B级利润年，将（1）中预测的该公司2021年的年利润视作该年利润的实际值，现从2014年至2021年这8年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率．参考公式：＝，＝﹣．20．已知F 1，F2分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点，点P在椭圆C 上，且|PF1|+|PF2|＝2．（1）求椭圆C的方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，过点F2的直线l椭圆C于M，N两点，记直线AM，AN 的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝3，求直线l方程．21．已知函数f（x）＝x2﹣4x+alnx（a∈R，a≠0），f′（x）为函数f（x）的导函数．（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若存在实数x1，x2，且x1＜x2，使得f′（x1）＝f′（x2）＝0，求证：f（x2）＞﹣4．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l0的极坐标方程为θ＝（ρ≥0）．已知直线l1过点A（2，0），且l1与l0垂直．（1）求直线l1的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）设直线l1与曲线C交于M，N两点，求|AM|与|AN|的等比中项．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x﹣m|﹣|x+2m|（m＞0）的最小值为．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，且a2+b2＝m，求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，A＝{x|y＝ln（1﹣x2）}，B＝{y|y＝4x﹣2}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣1，0）B．[0，1）C．（0，1）D．（﹣1，0]解：∵A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{y|y＞0}；∴∁R B＝{y|y≤0}；∴A∩（∁R B）＝（﹣1，0]．故选：D．2．复数z满足（z+i）i＝﹣3+i，i为虚数单位，则z等于（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i解：∵（z+i）i＝﹣3+i，∴﹣i•i（z+i）＝﹣i（﹣3+i），化为z+i＝3i+1，∴z＝2i+1，故选：A．3．2020年11月，兰州地铁2号线二期开通试运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去兰州老街、西固公园、西站十字，每人只能去一个地方，西站十字一定要有人去，则不同游览方案的种数为（）A．60B．65C．70D．75解：根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去兰州老街、西固公园、西站十字．每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有3×3×3×3＝81种情况，若西站十字没人去，即四位同学选择了兰州老街、西固公园．每人有2种选择方法，则4人一共有2×2×2×2＝16种情况，故西站十字一定要有人去有81﹣16＝65种情况，即西站十字一定有人去的游览方案有65种；故选：B．4．已知α为第二象限角，sinα+cosα＝，则cos2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．解：∵sinα+cosα＝，两边平方得：1+sin2α＝，∴sin2α＝﹣，①∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣sin2α＝，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα＝，②∴cos2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）＝（﹣）×＝﹣．故选：A．5．已知平面向量，满足||＝||＝1，且|2+|＝|+|，则与的夹角为（）A．B．C．D．解：∵，∴，，，∴，∴，且，∴与的夹角为．故选：C．6．已知函数f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝x2﹣ln（﹣x），则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为（）A．x﹣y＝0B．x﹣y﹣2＝0C．x+y﹣2＝0D．3x﹣y﹣2＝0解：根据偶函数的图象关于y轴对称，所以在关于y轴对称的两点处，函数值相等，且切线也关于y轴对称，所以切点关于y轴对称，切线斜率互为相反数．∴f（1）＝f（﹣1）＝1，故切点为（1，1），x＜0时，f′（x）＝，所以f′（1）＝﹣f′（﹣1）＝1．故切线方程为y﹣1＝x﹣1，即x﹣y＝0．故选：A．7．已知直线l过抛物线E：y2＝4x的焦点F，且依次交抛物线E及其准线于点A，B，C（点B在点A，C之间）若|BC|＝2|BF|，则|AF|＝（）A．B．4C．6D．12解：y2＝4x的焦点F为（1，0），准线为x＝﹣1，过B向准线作垂线垂足为D，过A点向准线作垂线垂足为E，准线与x轴交点为H，根据抛物线性质可知|BD|＝|BF∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠C＝30°，∠EAC＝60°又∵|AF|＝|AE|，∴∠FEA＝60°∴|AF|＝|AE|＝EF|，∵|EF|＝2|HF|＝4，即有|AF|＝4．故选：B．8．设a＞1＞b＞0，则下列不等式恒成立的是（）A．B．（）2020＜（）2021C．log a＞log b D．a b＞b a解：对于A：∵a＞1＞b＞0，∴＜，故A错误；对于B：2020＜2021，故＞，故B错误；对于C：∵a＞1＞b＞0，不妨令a＝2，b＝，则log a＝1，log b＝1，故C错误；对于D：∵a＞1＞b＞0，∴a b＞a0＝1，b a＜b0＝1，故D正确；故选：D．9．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．πB．2πC．6πD．24π解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD．底面ABCD为矩形，其中PD⊥底面ABCD．AB＝1，AD＝2，PD＝1．则该阳马的外接球的直径为PB＝．∴该阳马的外接球的表面积为：．故选：C．10．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若f（x）在（﹣π，π）上有且只有3个零点，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．解：f（x）＝sinωx+cosωx＝sin（ωx+），由f（x）＝0得ωx+＝kπ，k∈Z，得ωx＝kπ﹣，k∈Z，得x＝﹣，k∈Z，则f（x）对应的零点为﹣，，，，，……，若f（x）在（﹣π，π）上有且只有3个零点，则，得，得＜ω≤，故选：A．11．设O为坐标原点，直线x＝2a与双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．32B．16C．8D．4解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别将x＝2a，代入可得y＝±2b，即D（2a，2b），E（2a，﹣2b），则S△ODE＝×2a×4b＝4ab＝8，∴c2＝a2+b2≥2ab＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴C的焦距的最小值为2×2＝4，故选：D．12．设函数f（x）＝e x+2x﹣a（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y＝sin x上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））＝y0，则a的取值范围是（）A．[﹣1+e﹣1，1+e]B．[1，1+e]C．[e，1+e]D．[1，e]解：曲线y＝sin x上存在点（x0，y0），∴y0＝sin x0∈[﹣1，1]．函数f（x）＝e x+2x﹣a在[﹣1，1]上单调递增．下面证明f（y0）＝y0．假设f（y0）＝c＞y0，则f（f（y0））＝f（c）＞f（y0）＝c＞y0，不满足f（f（y0））＝y0．同理假设f（y0）＝c＜y0，则不满足f（f（y0））＝y0．综上可得：f（y0）＝y0．令函数f（x）＝e x+2x﹣a＝x，化为a＝e x+x．令g（x）＝e x+x（x∈[﹣1，1]）．g′（x）＝e x+1＞0，∴函数g（x）在x∈[﹣1，1]单调递增．∴e﹣1﹣1≤g（x）≤e+1．∴a的取值范围是[﹣1+e﹣1，e+1]．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x﹣2y的最小值为﹣4．解：在坐标系中画出可行域，如图所示由z＝3x﹣2y可得y＝，则﹣表示直线z＝3x﹣2y在y轴上的截距，截距越大，z越小平移直线3x﹣2y＝0经过点A时，z最小，由可得A（0，2），此时最小值为：﹣4，则目标函数z＝3x﹣2y的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．14．（2﹣x2）（1﹣）5的展开式中的常数项为﹣8．解：（2﹣x2）（1﹣）5的展开式中的常数项为2﹣•（﹣1）2＝﹣8，故答案为：﹣8．15．已知三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB⊥AC，BC＝CD＝BD＝2，则球O的表面积为16π．解：取BC中点E，连接AE，DE，因为AB⊥AC，所以△ABC的外心E为BC的中点，因为BC＝CD＝BD＝2，所以△BCD为等边三角形，故DE⊥BC，因为△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，所以DE⊥平面ABC，则球心O在DE上，因为△BCD中，BC＝CD＝BD＝2，所以DE＝3，OE＝＝1，因为AE＝＝，则R2＝OA2＝OE2+AE2＝1+3＝4，故R＝2，S＝4π×4＝16π．故答案为：16π．16．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知，则C＝，的取值范围为（﹣，0）∪（0，2）．解：因为，所以（2a﹣b）cos C＝cos B（cos B cos C≠0），所以（2sin A﹣sin B）cos C＝sin C cos B，即2sin A cos C＝sin（C+B）＝sin A，又sin A＞0，所以cos C＝，则C＝，因为cos B≠0，所以B∪（，），而＝2cos B，故∈（﹣，0）∪（0，2）．故答案为：，（﹣，0）∪（0，2）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是递增的等比数列，a1＝1，且2a2，a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．解：（Ⅰ）{a n}是递增的等比数列，设公比为q，a1＝1，且q＞1，由2a2，a3，a4成等差数列，可得3a3＝2a2+a4，即3q2＝2q+q3，即q2﹣3q+2＝0，解得q＝2（1舍去），则a n＝a1q n﹣1＝2n﹣1；（Ⅱ）＝＝＝﹣，则前n项和S n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．18．如图，在三棱锥D﹣ABC中，AB⊥BD，BC⊥CD，M，N分别是线段AD，BD的中点，MC＝1，，二面角D﹣BA﹣C的大小为60°．（1）证明：平面MNC⊥平面BCD；（2）求直线BM和平面MNC所成角的余弦值．【解答】（1）证明：在Rt△BCD中，N是斜边BD的中点，∴．∵M、N分别是AD、BD的中点，∴MN∥AB，，又MC＝1，∴MN2+NC2＝MC2，即MN⊥NC．∵AB⊥BD，MN∥AB，∴MN⊥BD，∵BD∩NC＝N，BD、NC⊂平面BCD，∴MN⊥平面BCD，∵MN⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面BCD．（2）解：法一：由（1）知，MN⊥平面BCD，故AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC．又AB⊥BD，∴∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角，即∠CBD＝60°，∴，．以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），，，，，，∴，，．设平面MNC的法向量，则，即，令，则y＝0，z＝1，∴，设直线BM和平面MNC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝，∵θ∈[0，]，∴cosθ＝＝＝．故直线BM和平面MNC所成角的余弦值等于．法二：由（1）知，MN⊥平面BCD，故AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，又AB⊥BD，∴∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角，即∠CBD＝60°，∴．取CN的中点E，连接BE，则BE⊥CN，且，又∵平面MNC⊥平面BCD，平面MNC∩平面BCD＝NC，∴BE⊥平面MNC，∴∠BME即为直线BM和平面MNC所成的角．在Rt△ABD中，，∴，∵∠BME∈[0，]，∴，故直线BM和平面MNC所成角的余弦值等于．19．某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该公司2014年至2020年的年利润y关于年份代号x的统计数据如表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：年份20142015201620172018201920201234567年份代号x29333644485259年利润y（单位：亿元）（1）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2021年（年份代号记为8）的年利润；（2）当统计表中某年年利润的实际值大于由（1）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A级利润年，否则称为B级利润年，将（1）中预测的该公司2021年的年利润视作该年利润的实际值，现从2014年至2021年这8年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率．参考公式：＝，＝﹣．解：（1）根据表中的数列，计算可得，所以＝，故＝﹣＝43﹣5×4＝23，所以y关于x的线性回归方程为＝5x+23，当x＝8时，＝5×8+23＝63（亿元），所以该公司2021年的年利润预测值为63亿元；（2）由（1）可知2014年至2021年的年利润的估计值分别为28，33，38，43，48，53，58，63（单位：亿元），其中实际利润大于相应的估计值的有3年，故这8年中被评为A级利润年的有3年，被评为B级利润年的有5年，所以从2014年至2021年这8年中随机抽取2年，恰有1年为A级利润年的概率为＝．20．已知F1，F2分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点，点P在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|＝2．（1）求椭圆C的方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，过点F2的直线l椭圆C于M，N两点，记直线AM，AN 的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝3，求直线l方程．解：（1）由，可得，∴椭圆C的方程为，将代入可得，∴b2＝1，∴椭圆方程为．（2）易求得右焦点F（1，0），若直线l斜率不存在时，k1+k2＝0，不合题意，舍去设直线l的方程为y＝k（x﹣1），联立方程：，化简得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，设直线l与椭圆C的两个交点为M（x1，y1），N（x2，y2）．根据韦达定理得，而，又有k1+k2＝3，所以＝＝＝＝＝＝＝3，解得，∴直线．即．21．已知函数f（x）＝x2﹣4x+alnx（a∈R，a≠0），f′（x）为函数f（x）的导函数．（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若存在实数x1，x2，且x1＜x2，使得f′（x1）＝f′（x2）＝0，求证：f（x2）＞﹣4．解：（1）函数f（x）＝x2﹣4x+lnx的导数为f′（x）＝2x﹣4+，则f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2﹣4+1＝﹣1，切点为（1，﹣3），可得切线的方程为y+3＝﹣（x﹣1），即为x+y+2＝0；（2）函数f（x）＝x2﹣4x+alnx的导数为f′（x）＝2x﹣4+（x＞0）＝，①当△＝16﹣8a＜0，即a＞2，2x2﹣4x+a＞0恒成立，可得f′（x）＞0恒成立．即有f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；当△＝16﹣8a＞0，即a＜2，可得2x2﹣4x+a＝0的两根为x＝1±，②当0＜a＜2时，1+＞1﹣＞0，f′（x）＞0，可得x＞1+，或0＜x＜1﹣；f′（x）＜0，可得1﹣＜x＜1+，即f（x）的增区间为（1+，+∞），（0，1﹣）；减区间为（1﹣，1+）；③当a≤0时，1+＞0，1﹣≤0，f′（x）＞0，可得x＞1+；f′（x）＜0，可得0＜x＜1+，即f（x）的增区间为（1+，+∞）；减区间为（0，1+）；（3）证明：函数f（x）＝x2﹣4x+alnx的导数为f′（x）＝2x﹣4+（x＞0）＝，由题意可得x1，x2是2x2﹣4x+a＝0的两根，且x2＝1+，0＜a＜2，可得x2∈（1，2），设g（x）＝f（x）+4＝x2﹣4x+alnx+4，1＜x＜2，又a＝4x﹣2x2，可得g（x）＝x2﹣4x+（4x﹣2x2）lnx+4，g′（x）＝2x﹣4+（4﹣4x）lnx+（4x﹣2x2）•＝4（1﹣x）lnx，由1＜x＜2可得4（1﹣x）lnx＜0，即g（x）在（1，2）递减，则g（x）∈（0，1），显然g（x）＞0恒成立，则f（x2）＞﹣4．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l0的极坐标方程为θ＝（ρ≥0）．已知直线l1过点A（2，0），且l1与l0垂直．（1）求直线l1的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）设直线l1与曲线C交于M，N两点，求|AM|与|AN|的等比中项．解：（1）曲线C的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x2＝2y；射线l0的极坐标方程为θ＝（ρ≥0）．已知直线l1过点A（2，0），且l1与l0垂直．所以直线l1的斜率为，且经过点A（2，0），整理得直线l1的直角坐标方程为，根据，转换为极坐标方程为．（2）直线l1的直角坐标方程为，转换为参数方程为（m为参数），代入x2＝2y，得到，所以|AM||AN|＝，由于|AM|与|AN|的等比中项k，即，解得．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x﹣m|﹣|x+2m|（m＞0）的最小值为．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，且a2+b2＝m，求证：．解：（Ⅰ）f（x）＝|2x﹣m|﹣|x+2m|＝，∴f（x）∴f（x）在区间（﹣∞，]上单调递减，在区间[，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（）＝﹣3m＝﹣，∴m＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）a＞0，b＞0，且a2+b2＝1，要证，只要证b4+a4≥ab，即证（a2+b2）2﹣2a2b2≥ab，即证2a2b2+ab﹣1≤0，即证（2ab﹣1）（ab+1）≤0，即证2ab≤1，即证2ab≤a2+b2，显然1＝a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b＝时取等号．∴．。

2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.=（）A. B. C. D.2.设集合A={-1，0，1}，B={x|2x＞2}，则A∩B=（）A. B. C. D.3.若x，y满足不等式组，则z=2x-3y的最小值为（）A. B. C. D.4.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），若e=p，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B. C. D.5.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（）A. B. C. D.6.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=3S2，a7=15，则{a n}的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.运行如图程序，则输出的S的值为（）A. 0B. 1C. 2018D. 20178.已知函数f（x）=ln（x+1）-ax，若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x，则实数a的值为（）A. B. C. 1 D. 29.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=CC1=1，∠AB1D=，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=cos x-sin x在（0，α）上是单调函数，且f（α）≥-1，则α的取值范围为（）A. B. C. D.11.已知半圆C：x2+y2=1（y≥0），A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使∠BPQ=，则t的取值范围是（）A. B.C. D.12.在边长为2的菱形ABCD中，BD=2，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角B-AC-D的余弦值为，则所得三棱锥A-BCD的内切球的表面积为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知cosα=-，则cos2α=______．14.在（1+x）（2+x）5的展开式中，x3的系数为______（用数字作答）．15.已知函数f（x）是奇函数，且0≤x1＜x2时，有＜1，f（-2）=1，则不等式x-3≤f（x）≤x的解集为______．16.已知数列{a n}的前n项和S n满足，S n=3a n-2，数列{na n}的前n项和为T n，则满足T n＞100的最小的n值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且S=bc cos A，C=．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若c=，求S的值．18.如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，PA⊥BD，AB=2，PA=PD=CD=BC=1．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．19. 某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间2×2并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，（i ）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ii ）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：K 2=，其中n =a +b +c +d临界值表20. 已知O 为坐标原点，椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（-c ，0），F 2（c ，0），过焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交所得的弦长为3，直线y =- 与椭圆C 相切． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l ：y =k （x +c ）与椭圆C 相交于E ，D 两点，使得（ ）＜1？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由！21. 已知函数f （x ）=e x-ax ．（Ⅰ）若函数f （x ）在x ∈（，2）上有2个零点，求实数a 的取值范围．（注e 3＞19） （Ⅱ）设g （x ）=f （x ）-ax 2，若函数g （x ）恰有两个不同的极值点x 1，x 2证明：＜ ．22. 已知曲线C 1的参数方程为（α为参数），P 是曲线C 1上的任一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，线段PQ 的中点的轨迹为C 2．（Ⅰ）求曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l ：sinθ-cosθ=交曲线C 2于M ，N 两点，求|MN |．23. 已知函数f （x ）=|x -2|．（Ⅰ）解不等式f （x ）+f （2x +1）≥6；（Ⅱ）对a +b =1（a ，b ＞0）及∀x ∈R ，不等式f （x -m ）-（-x ）≤恒成立，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：=．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2.【答案】A【解析】解：B={x|x＞1}；∴A∩B=∅．故选：A．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义．3.【答案】D【解析】解：画出x，y满足不等式组表示的平面区域，如图所示；平移目标函数z=2x-3y知，A（2，3），B（1，0），C（0，1）当目标函数过点A时，z取得最小值，∴z的最小值为2×2-3×3=-5．故选：D．画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．4.【答案】A【解析】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p=2，又e=p，所以e==2，可得c2=4a2=a2+b2，可得：b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y=±．故选：A．求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，抛物线的简单性质的应用．5.【答案】B【解析】解：图标第一部分的面积为8×3×1=24，图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32=9π，图标第三部分的面积为π×22=4π，故此点取自图标第三部分的概率为，故选：B．以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，若S4=3S2，a7=15，则4a1+6d=3（2a1+d），a1+6d=15，解可得a1=3，d=2；故选：B．根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，分析可得4a1+6d=3（2a1+d），a1+6d=15，解可得d的值，即可得答案．本题考查等差数列的前n项和，关键是掌握等差数列的前n项和公式的形式，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=2017+（sin +sin）+（sin +sin）+…+（sin +sin）的值，可得：S=2017+（sin +sin）+（sin +sin）+…+（sin +sin）=2017．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】B【解析】解：f （x）的定义域为（-1，+∞），因为f′（x）=-a，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x，可得1-a=2，解得a=-1，故选：B．求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．9.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=a，则A（1，0，0），D（0，0，0），B1（1，a，1），=（-1，-a，-1），=（0，-a，-1），∵∠AB1D=，∴cos==，解得a=，B1（1，，1），B（1，0），C1（0，，1），=（0，），=（-1，0，1），设直线AB1与BC1所成角为θ，则cosθ===．∴直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB1与BC1所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=cosx-sinx=2cos（x+）在（0，α）上是单调函数，∴+α≤π，∴0＜α≤．又f（α）≥-1，即 cos（α+）≥-，则α+∈（，]，∴α∈（0，]，故选：C．利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，可得 cos（α+）≥-，则α+∈（，]，由此可得α的取值范围．本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|=|t|，由于BP与x轴垂直，且∠BPQ=，则在Rt△PBT中，|BT|=|PB|=|t|，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值-，则t取得最小值-，t=0时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为[-，0）]；故选：A．根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，|BT|=|PB|=|t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案．本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：如下图所示，易知△ABC和△ACD都是等边三角形，取AC的中点N，则DN⊥AC，BN⊥AC．所以，∠BND是二面角B-AC-D的平面角，过点B作BO⊥DN交DN于点O，可得BO⊥平面ACD．因为在△BDN中，，所以，BD2=BN2+DN2-2BN•DN•cos∠BND=，则BD=2．故三棱锥A-BCD为正四面体，则其内切球半径．因此，三棱锥A-BCD的内切球的表面积为．故选：C．作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN⊥AC，BN⊥AC，可得出二面角B-AC-D的平面角为∠BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥B-ACD为正四面体，根据内切球的半径为其棱长的倍得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．13.【答案】【解析】解：∵cosα=-，∴cos2α=2cos2α-1=2×（-）2-1=．故答案为：．由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14.【答案】120【解析】解：（2+x）5的展开式的通项是，所以在（1+x）（2+x）5=（2+x）5+x（2+x）5的展开式中，含x3的项为，所以x3的系数为120．故答案为：120．根据（2+x）5的展开式的通项公式，计算在（1+x）（2+x）5的展开式中含x3的项是什么，从而求出x3的系数．本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．15.【答案】[0，2]【解析】解：由x-3≤f（x）≤x等价为-3≤f（x）-x≤1设g（x）=f（x）-x，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（-x）=-f（x），则有g（-x）=f（-x）-（-x）=-f（x）+x=-[f（x）-x]=-g（x），即函数g（x）为R上的奇函数，则有g（0）=0；又由对任意0≤x1＜x2时，有＜1，则==-1，∵＜1，∴=-1＜0，即g（x）在[0，+∞）上为减函数，∵g（x）是奇函数，∴g（x）在（-∞，+∞）上为减函数，∵f（-2）=1，∴g（-2）=f（-2）-（-2）=1+2=3；g（2）=-3，g（0）=f（0）-0=0，则-3≤f（x）-x≤0等价为g（2）≤g（x）≤g（0），∵g（x）是减函数，∴0≤x≤2，即不等式x-3≤f（x）≤x的解集为[0，2]；故答案为：[0，2]．根据条件构造函数g（x）=f（x）-x，判断函数g（x）的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数g（x），利用特殊值转化分析不等式，利用函数奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键．16.【答案】7【解析】解：根据题意，数列{a n}满足S n=3a n-2，①当n≥2时，有S n-1=3a n-1-2，②，①-②可得：a n=3a n-3a n-1，变形可得2a n=3a n-1，当n=1时，有S1=a1=3a1-2，解可得a1=1，则数列{a n}是以a1=1为首项，公比为的等比数列，则a n=（）n-1，数列{na n}的前n项和为T n，则T n =1+2×+3×（）2+……+n×（）n-1，③则有T n =+2×（）2+3×（）3+……+n×（）n，④③-④可得：-T n=1+（）+（）2+……×（）n-1-n×（）n=-2（1-）-n×（）n，变形可得：T n=4+（2n-4）×（）n，若T n＞100，即4+（2n-4）×（）n＞100，分析可得：n≥7，故满足T n＞100的最小的n值为7；故答案为：7．根据题意，将S n=3a n-2变形可得S n-1=3a n-1-2，两式相减变形可得2a n=3a n-1，令n=1求出a1的值，即可得数列{a n}是以a1=1为首项，公比为的等比数列，即可得数列{a n}的通项公式，进而可得T n =1+2×+3×（）2+……+n×（）n-1，由错位相减法分析求出T n的值，若T n＞100，即4+（2n-4）×（）n＞100，验证分析可得n的最小值，即可得答案．本题考查数列的递推公式，关键是分析数列{a n}的通项公式，属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵S=bc sin A=bc cos A，∴sin A=2cos A，可得：tan A=2，∵△ABC中，A为锐角，又∵sin2A+cos2A=1，∴可得：sin A=，cos A=，又∵C=，∴cos B=-cos（A+C）=-cos A cos C+sin A sin C=．（Ⅱ）在△ABC中，sin B==，由正弦定理，可得：b==3，∴S=bc cos A=3．【解析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可得tanA=2，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，cosA，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosB的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用正弦定理可得b的值，即可得解S的值．本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】证明：（Ⅰ）∵AB∥CD，∠BCD=，PA=PD=CD=BC=1，∴BD=，∠ABC=，，∴，∵AB=2，∴AD=，∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD，∵PA⊥BD，PA∩AD=A，∴BD⊥平面PAD，∵BD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．解：（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO=，由平面PAD⊥平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，，0），B（，，0），C（-，，0），P（0，0，），=（-1，0，0），=（-，，），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=，得=（0，，），∵=（，，-），∴cos＜，＞==-，∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】（Ⅰ）推导出AD⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x 轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立空间直角坐标系，利用职权向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．K2==≈6.061＞5.021．所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．（6分）（Ⅱ）（i）在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3：2，用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，2人中女生的人数为X，则X的可能值为0，1，2．则P（（X=0）==，P（（X=1）==，P（（X=2）==，可得X的分布列为：可得数学期望E（X）=0×+1×+2×=．【解析】（I）列出列联表，利用独立性检验计算公式及其判定定理即可得出结论．（Ⅱ）（i）在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3：2，用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．本题考查了独立性检验计算公式及其原理、超几何分布列的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）∵在=1（a＞b＞0）中，令x=c，可得y=±，∵过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，∴=3，∵直线y=-与椭圆C相切，∴b=，∴a=2∴a2=4，b2=3．故椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c=1，则直线l的方程为y=k（x+1），联立，可得（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0，则△=64k4-4（4k2+3）（4k2-12）=144（k2+1）＞0，∴x1+x2=-，x1x2=，∴y1y2=k2（x1+1）（x2+1）=-，∵（）＜1，∴•＜1，∴（x2-1，y2）（x1-1，y1）=x1x2-（x1+x2）+1+y1y2＜1，即++1-＜1，整理可得k2＜4，解得-2＜k＜2，∴直线l存在，且k的取值范围为（-2，2）．【解析】（Ⅰ）由题意可得=3，以及直线y=-与椭圆C相切，可得b=，解之即得a，b，从而写出椭圆C的方程；（Ⅱ）联立方程组，根据韦达定理和向量的运算，即可求出k的取值范围．本题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=0，得a=，令h（x）=，x∈（，2），h′（x）=，故h（x）在（，1）递减，在（1，2）递增，又h（）=2，h（2）=，h（1）=e，故h（2）＞h（），故a∈（e，2）；（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax2=e x-ax-ax2，故g′（x）=e x-2ax-a，∵x1，x2是函数g（x）的两个不同的极值点（不妨设x1＜x2），易知a＞0（若a≤0，则函数f（x）没有或只有1个极值点，与已知矛盾），且g′（x1）=0，g′（x2）=0，故-2ax1-a=0，-2ax2-a=0，两式相减得2a=，于是要证明＜ln（2a），即证明＜，两边同除以，即证（x1-x2）＞-1，即证（x1-x2）-+1＞0，令x1-x2=t（t＜0），即证不等式t-e t+1＞0，当t＜0时恒成立，设h（t）=t-e t+1，则h′（t）=-[-（+1）]，设k（t）=-（+1），则k′（t）=（-1），当t＜0时，k′（t）＜0，k（t）递减，故k（t）＞k（0）=0，即-（+1）＞0，故h′（t）＜0，故h（t）在t＜0时递减，h（t）在t=0处取最小值h（0）=0，故h（t）＞0得证，故＜．【解析】（Ⅰ）问题转化为a=，令h（x）=，x∈（，2），根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）求出2a=，问题转化为证（x1-x2）-+1＞0，令x1-x2=t（t＜0），即证不等式t -e t+1＞0，当t＜0时恒成立，设h（t）=t-e t+1，则h′（t）=-[-（+1）]，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，换元思想，是一道综合题．22.【答案】解：（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1消去α可得（x-3）2+（y-1）2=4，设PQ的中点坐标为（x，y），则P点坐标为（2x，y），则PQ中点的轨迹方程为（2x-3）2+（y-1）2=4．（Ⅱ）∵直线的直角坐标方程为y-x=1，∴联立y-x=1与（2x-3）2+（y-1）2=4得x=，∴|MN|==．【解析】（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1消去α可得圆C1的普通方程，设PQ的中点坐标为（x，y），则P点坐标为（2x，y），将P的坐标代入C1的方程即可得；（Ⅱ）先把l的极坐标方程化为直角坐标方程，再代入C2的直角坐标方程可得M，N的横坐标，再根据弦长公式可得弦长|MN|．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）+f（2x+1）=|x-2|+|2x-1|=，＜，，＞当x＜时，由3-3x≥6，解得x≤-1；当≤x≤2时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x-3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（-∞，-1][3，+∞）．（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（a+b）（+）=5++≥5+2=9，∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x-2-m|-|-x-2|≤9，即[|x-2-m|-|-x-2|]max≤9∵|x-2-m|-|-x-2|≤|（x-2-m）-（x+2）|=|-4-m|∴-9≤m+4≤9，∴-13≤m≤5．【解析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出+的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。

哈三中2018—2019学年度上学期高三学年第二次调研考试数学（理）试卷考试说明：（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I卷，第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.A. B.2.A B C D3.A B C D4.是A B C D5.A B C D6.A B C D7.原A BC D8.A B．1-C D9. 如下图所示的程序框图输出的结果是A B C D10.A ．B ．C ．D ．11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞是单调递增的，若不等式(4)(5)f ax f x -≤+对任意[]1,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为A B C D12.A BC D第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13. 的单调递增区间为．14.为．15. 已知函的最小正周期上零点的个数为．16. 已对任意成立，最小值为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本题10分）（1（218.（本题12分）（1（2）的值域．19.（本题12分）（1（220.（本题12分），（1（221.（本题12分）AP PB≥（1（222.（本题12分）（1,（2,（3证明:哈三中2018—2019学年度上学期高三学年第二次调研考试数学（理）试卷答案第I卷（选择题，共60分）一．选择题CCBAA,DDDCA,AB第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题14.15. 2 16.3三．解答题17.（1（218. （1（219. （1（220. （1（221. （1（222. （1精 品 文 档试 卷 （28； （3）证明略.。

2025届黑龙江省哈尔滨市南岗区哈尔滨三中高三二诊模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =A ．{}12x x -≤≤B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤2．若复数12biz i-=+（b R,i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为( ) A ．3B ．3±C ．3-D ．3±3．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．4．数列{}n a 满足：3111,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A ．1021B ．2021C ．919D ．18195．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A ．163i B ．6i C ．203i D ．206．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（ ）A ．1233AD AB - B ．2133AD AB + C ．2133AD AB -D ．1233AD AB +7．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( ) A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种8．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()xg x e f x =+的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)9．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]11．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)12．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（ ） A 2B ．2C 10D ．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

黑龙江省哈尔滨市哈三中2025届高考数学二模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．1632．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．45C ．35D ．353．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．564．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）A ．52B ．23C ．8D ．835．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，1|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞6．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ） A ．32B ．18C ．321D ．1962-9．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．110．已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A ．圆，但要去掉两个点 B ．椭圆，但要去掉两个点 C ．双曲线，但要去掉两个点D ．抛物线，但要去掉两个点11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ）A ．3y x =B ．33y x =±C ．2y x =±D ．12y x =±12．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）． A ．()ln f x x x = B ．()x x f x e e -=- C ．()sin 2f x x =D ．3()f x x x =-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。