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黑龙江省哈三中2014届下学期高三年级第一次模拟考试数学试卷（理科）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 集合{}2,1=M ，{}3,2,1=N ，{}N b M a ab x x P ∈∈==,,,则集合P 的元素个数为 A.3 B.4 C.5 D.62. 若i 是虚数单位，则复数ii+-12的实部与虚部之积为 A.43 B.43- C.i 43D.i 43-3. 若βα,表示两个不同的平面，b a ,表示两条不同的直线，则α//a 的一个充分条件是A.ββα⊥⊥a ,B.b a b //,=βαC.α//,//b b aD.ββα⊂a ,// 4. 若312cos =θ，则θθ44cos sin +的值为 A.1813 B.1811C.95D.15. 若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是76,则输入的N 的值为A. 5B. 6C.7D. 86. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥043041y x y x x ，则目标函数y x z -=3的最小值为A.4-B.0C.34D.4 7. 直线02=++y x 截圆422=+y x 所得劣弧所对圆心角为 A.6π B.3π C.32πD.65π8. 如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是A.π949 B.π37C.π328D.π9289. 等比数列{}n a 中，若384-=+a a ，则()106262a a a a ++ 的值是A.9-B.9C.6-D.3 10. 在二项式n xx )2(4+的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为 A.61 B. 41 C.31 D.125 11. 设A 、B 、P 是双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 上不同的三个点，且A 、B 连线经过坐标原点，若直线PA 、PB 的斜率之积为41，则该双曲线的离心率为 A.25 B. 26 C.2 D.315 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln f x x x x =-的图象上的动点，该曲线在点P 处的切线l 交y 轴于点(0,)M M y ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点(0,)N N y .则NMy y 的范围是A ．),3[]1,(+∞--∞ B. ),1[]3,(+∞--∞ C. [3,)+∞ D. ]3,(--∞第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13.已知(0,)2πθ∈，由不等式1tan 2tan θθ+≥，22222tan tan 2tan 3tan 22tan θθθθθ+=++≥,33333tan tan tan 3tan 4tan 333tan θθθθθθ+=+++≥，归纳得到推广结论：tan 1()tan nmn n N θθ*+≥+∈，则实数=m _____________ 14. 五名三中学生中午打篮球,将校服放在篮球架旁边,打完球回教室时由于时间太紧,只有两名同学拿对自己衣服的不同情况有_____________种.(具体数字作答)15. 已知(0,1),(0,1),(1,0)A B C -,动点P 满足22||AP BP PC ⋅=,则||AP BP +的最大值为_____________16. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，已知角A 为锐角, 且22sin sin sin 4sin sin ()B C A B C m+==，则实数m 范围为_____________三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）数列{}n a 满足112,2n n a a a +-==，等比数列{}n b 满足8411,a b a b ==. （I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（II ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分）某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.（I ）请在图中补全频率分布直方图；（II ）若Q 大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试.若Q 大学本次面试中有B 、C 、D 三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为12、13，15，求甲同学面试成功的概率； ②若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B 的面试，第3组中有ξ名学生被考官B 面试，求ξ的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，︒=∠60BAD ，Q 为AD 的中点。
合用文档2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）（内考）一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1 ．（5 分）＝（）A ．B．C． D ．2 ．（5 分）设会集A＝{﹣1，0，1}， B＝{x|2x＞2}，则 A ∩B＝（）A ． ? B． {﹣ 1} C． {﹣ 1， 0} D ． {0 ， 1}3 ．（5 分）若x，y满足不等式组，则z＝2x﹣3y的最小值为（）A ．﹣ 2B．﹣ 3C．﹣ 4 D ．﹣ 54 ．（5 分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，抛物线 y2＝2 px（ p＞0）的焦点坐标为（ 1 ，0 ），若e＝p，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．y＝x B．y＝x C．y＝x D ．y＝x5 ．（ 5 分）随着计算机的出现，图标被赏赐了新的含义，又有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了拥有明确指代含义的计算机图形．以以以下图的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为 3 部分．第一部分为外面的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为 1 ；第二部分为圆环部分，大圆半径为 3 ，小圆半径为 2 ；第三部分为圆环内部的白色地域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（）A ．B ．C ．D ．6 ．（ 5 分）设等差数列 {a n }的前 n 项和为 S n ，且 S 4＝ 3S 2，a7 ＝ 15 ，则 {a n }的公差为 （ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ．47 ．（5 分）运行如图程序，则输出的 S 的值为（）A ． 0B ． 1C ． 2018D ．20178 ．（5 分）已知函数f （x ）＝ ln （ x +1 ）﹣ ax ，若曲线 y ＝f （x ）在点（ 0 ，f （ 0 ））处的切线方程为 y ＝ 2 x ，则实数 a 的值为（ ）A ．﹣ 2B ．﹣ 1C ． 1D ．29 ．（5 分）在长方体ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1D 1 中， BC ＝ CC 1 ＝1 ，∠AB 1 D ＝ ，则直线 AB 1 与BC 1 所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．10 ．（ 5 分）已知函数f （x ）＝ cos x ﹣ sin x 在（ 0，α）上是单调函数，且f （α）≥﹣1 ，则α的取值范围为（ ） A ．（ 0 ，]B ．（0 ，]C ．（ 0，]D ．（0 ， ]11 ．（ 5 分）已知半圆 C ：x 2+ y 2＝ 1（ y ≥0），A 、B 分别为半圆 C 与 x 轴的左、右交点，直线 m 过点 B 且与 x 轴垂直，点P 在直线 m 上，纵坐标为 t ，若在半圆 C 上存在点 Q 使∠BPQ＝，则 t 的取值范围是（）A ． [﹣， 0 ）] B． [ ﹣， 0）∪（ 0 ，]C． [﹣， 0 ）∪（ 0 ，] D ．[ ﹣， 0）∪（ 0 ，]12 ．（ 5 分）在边长为 2 的菱形ABCD中，BD＝ 2 ，将菱形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使二面角 B﹣ AC﹣ D 的余弦值为，则所得三棱锥A﹣ BCD 的内切球的表面积为（）A ．B．πC． D ．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．13 ．（ 5 分）已知 cos α＝﹣，则 cos2 α＝．14 ．（ 5 分）在（ 1+ x）（2+ x）5的张开式中，x3的系数为（用数字作答）．15 ．（ 5 分）已知函数 f （x）是奇函数，且0≤x1＜ x2时，有＜ 1 ，f（﹣ 2 ）＝ 1 ，则不等式x﹣3≤f（ x）≤x 的解集为．16 ．（ 5 分）已知数列 {a n }的前n项和S n满足，S n＝3 a n﹣ 2，数列 {na n }的前n项和为T n，则满足 T n＞100 的最小的 n 值为．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 ～21 题为必考题，每个试题考生都必定作答．第22 ，23 题为选考题，考生依照要求作答．（一）必考题：共 60 分．17 ．（ 12 分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且 S＝ bc cos A， C＝．（Ⅰ）求 cos B的值；（Ⅱ）若 c＝，求 S 的值．18 ．（ 12 分）如图，四棱锥P﹣ ABCD 中， AB ∥CD ，∠BCD＝， PA⊥ BD ， AB＝2，PA＝PD＝ CD＝ BC＝1．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面 ABCD；（Ⅱ）求直线PA 与平面 PBC 所成角的正弦值．19 ．（ 12 分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200 名高三学生平均每天体育锻炼时间进行检查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的[0 ，10 ） [10 ，20 ） [20 ， 30 ）[30 ，40 ）[40 ， 50 ） [50 ， 60 ）时间 / 分钟总人数20 36 44 50 40 10 将学寿辰均体育锻炼时间在[40 ， 60 ）的学生议论为“锻炼达标”．（Ⅰ）请依照上述表格中的统计数据填写下面 2 ×2 列联表；锻炼不达标锻炼达标合计男女20 110合计并经过计算判断，可否能在犯错误的概率不高出的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10 人，进行体育锻炼领悟交流，（ i）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ ii ）从参加领悟交流的 10 人中，随机选出 2 人作重点发言，记这2 人中女生的人数为X ，求 X 的分布列和数学希望．参照公式： K 2＝，其中 n ＝ a + b + c + d临界值表P （ K 2≥k 0 ）k 020 ．（ 12 分）已知O 为坐标原点，椭圆 ： ＝1 （ ＞ b ＞ 0）的左、右焦点分别为C aF 1 （﹣ c ， 0 ）， F 2（ c ，0 ），过焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 订交所得的弦长为 3 ，直线 y ＝﹣与椭圆 C 相切．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）可否存在直线 l ：y ＝k （ x + c ）与椭圆 C 订交于 E ，D 两点，使得（）＜ 1 ？若存在，求 k 的取值范围；若不存在，请说明原由！21 ．（ 12 分）已知函数f （ x ）＝ e x﹣ ax ．（Ⅰ）若函数 （ ）在x ∈（ ，2 ）上有 2 个零点，求实数a 的取值范围．（注e 3＞19 ）f x（Ⅱ）设 g （ x ）＝ f （ x ）﹣ ax 2，若函数 g （ x ）恰有两个不同样样的极值点x 1， x 2 证明：．（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22 、 23 题中任选一题作答．若是多做，则按所做的 第一题计分． [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ]22 ．（ 10 分）已知曲线 C 1 的参数方程为 （α为参数），P 是曲线C 1上的任一点，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为Q ，线段 PQ 的中点的轨迹为C 2．（Ⅰ）求曲线 C 2 的直角坐标方程；（Ⅱ）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l：sinθ﹣cosθ＝交曲线 C2于 M ， N 两点，求|MN |．[ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] （ 10 分）23 ．已知函数f（ x）＝|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式 f （ x）+ f（2x+1）≥6；（Ⅱ）对 a+ b ＝1（ a， b＞0）及? x∈R，不等式 f（ x﹣ m ）﹣（﹣ x）≤恒建立，求实数 m 的取值范围．2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）（内考）参照答案与试题剖析一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1 ．（5 分）＝（）A ．B．C． D ．【考点】 A5 ：复数的运算．【专题】 38 ：对应思想； 4A ：数学模型法；5N ：数系的扩大和复数．【剖析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：＝．应选： B．【议论】本题观察复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2 ．（5 分）设会集A＝{﹣1，0，1}， B＝{x|2x＞2}，则 A ∩B＝（）A ． ?B． {﹣ 1}C． {﹣ 1， 0} D ． {0 ， 1} 【考点】 1E ：交集及其运算．【专题】 11 ：计算题； 37 ：会集思想； 49 ：综合法； 5J：会集．【剖析】可解出会集B，今后进行交集的运算即可．【解答】解： B＝{x|x＞1}；∴A∩B＝?．应选： A ．【议论】观察描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义．3 ．（5 分）若x，y满足不等式组，则z＝2x﹣3y的最小值为（）A ．﹣ 2B．﹣ 3C．﹣ 4 D ．﹣ 5【考点】 7C ：简单线性规划．【专题】 11 ：计算题； 31 ：数形结合；35 ：转变思想；49 ：综合法； 5F：空间地址关系与距离．【剖析】画出不等式组表示的平面地域，平移目标函数，找出最优解，求出z 的最小值．【解答】解：画出 x， y 满足不等式组表示的平面地域，以以以下图；平移目标函数z＝2x﹣3 y 知， A（2，3）， B（1，0）， C（0，1）当目标函数过点 A 时， z 获取最小值，∴z 的最小值为2×2 ﹣3 ×3 ＝﹣ 5 ．应选： D．【议论】本题观察了简单的线性规划问题，是基本知识的观察．4 ．（5 分）已知双曲线＝ 1（a ＞ 0 ，b ＞0 ）的离心率为e ，抛物线 y 2＝2 px （ p ＞ 0 ）的焦点坐标为（ 1 ，0 ），若 e ＝ p ，则双曲线 C 的渐近线方程为（） A ． y ＝ x B ． y ＝ x C ． y ＝ x D ．y ＝x【考点】 KI ：圆锥曲线的综合．【专题】 11 ：计算题； 35 ：转变思想； 49 ：综合法； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【剖析】 求出抛物线的焦点坐标，获取双曲线的离心率，今后求解a ，b 关系，即可获取双曲线的渐近线方程．【解答】 解：抛物线 y 2＝ 2px （ p ＞ 0）的焦点坐标为（ 1， 0 ），则 p ＝ 2 ，又 e ＝ p ，因此 e ＝ ＝ 2，可得c 2＝4 a 2＝ a 2+ b 2，可得： b ＝a ，因此双曲线的渐近线方程为： y ＝±．应选： A ．【议论】 本题观察双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，抛物线的简单性质的应用．5 ．（ 5 分）随着计算机的出现，图标被赏赐了新的含义，又有了新的用武之地．在计算机应 用领域，图标成了拥有明确指代含义的计算机图形． 以以以下图的图标是一种被称之为 “黑白太阳”的图标，该图标共分为3 部分．第一部分为外面的八个全等的矩形，每一个矩形的长为 3、宽为 1 ；第二部分为圆环部分，大圆半径为3 ，小圆半径为 2 ；第三部分为圆环内部的白色地域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（）A ．B．C． D ．【考点】 CF：几何概型．【专题】 11 ：计算题； 38 ：对应思想； 4R ：转变法； 5I ：概率与统计．【剖析】以面积为测度，依照几何概型的概率公式即可获取结论．【解答】解：图标第一部分的面积为8 ×3×1 ＝ 24 ，图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32＝ 9 π，图标第三部分的面积为π× 2 2＝ 4 π，故此点取自图标第三部分的概率为，应选： B．【议论】本题观察几何概型的计算，重点是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．6 ．（ 5 分）设等差数列 {a n }的前n项和为S n，且S4＝ 3 S2，a7＝15，则{a n}的公差为（）A ． 1 B． 2 C． 3 D ．4【考点】 83 ：等差数列的性质．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 35 ：转变思想； 54 ：等差数列与等比数列．【剖析】依照题意，设等差数列 {a n }的公差为 d ，剖析可得4a1+6 d ＝3（2 a1+ d ），a1+6 d ＝ 15 ，解可得d 的值，即可得答案．【解答】解：依照题意，设等差数列{a n }的公差为 d ，若S4＝3S2， a7＝15，则4a1+6 d ＝3（2a1+ d ），a1+6 d＝15，解可得 a1＝3， d＝2；应选： B．【点】本考等差数列的前n 和，关是掌握等差数列的前n 和公式的形式，属于基．7 ．（5 分）运行如程序，出的S 的（）A ． 0B． 1C． 2018 D ．2017【考点】 EF：程序框．【】 11 ：算； 27 ：表型； 4B ：法； 5K ：算法和程序框．【剖析】由已知中的程序句可知：程序的功能是利用循构算并出量S 的，模程序的运行程，剖析循中各量的化情况，可得答案．【解答】解：模程序的运行，可得程序的功能是利用循构算并出量S＝2017+ （sin+sin）+（sin+sin）+⋯+（sin+sin）的，可得： S＝2017+（sin+sin）+（sin+sin）+⋯+（sin+sin）＝2017 ．故： D．【点】本考了程序框的用，解模程序框的运行程，以便得出正确的，是基．8 ．（5 分）已知函数f（x）＝ ln （ x+1） ax，若曲 y ＝f（x）在点（0，f （0））的切线方程为 y ＝ 2 x ，则实数 a 的值为（ ）A ．﹣ 2B ．﹣ 1C ． 1D ．2【考点】 6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】 11 ：计算题； 35 ：转变思想； 49 ：综合法； 53 ：导数的综合应用．【剖析】 求出函数的导数，利用切线方程经过f ′（0 ），求解即可；【解答】 解： f （ x ）的定义域为（﹣ 1， + ∞），由于 ′（）＝﹣ ，曲线 y ＝ （ ）在点（ 0 ， （ 0））处的切线方程为 y ＝ 2 x ，f x a f x f可得 1 ﹣ a ＝ 2 ，解得 a ＝﹣ 1 ，应选： B ．【议论】 本题观察函数的导数的应用，切线方程的求法，观察计算能力．9 ．（5 分）在长方体 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1D 1 中， BC ＝ CC 1 ＝1 ，∠AB 1 D ＝ ，则直线 AB 1 与BC 1 所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】 LM ：异面直线及其所成的角．【专题】 11 ：计算题； 31 ：数形结合； 41 ：向量法； 5G ：空间角．【剖析】 以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出直线AB 1 与 BC 1 所成角的余弦值．【解答】 解：以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标 系，设 AB ＝ a ，则 A （1 ， 0 ，0 ），D （ 0 ， 0 ， 0）， B 1（1 ，a ， 1 ），＝（﹣ 1，﹣ a ，﹣ 1），＝（ 0，﹣ a ，﹣ 1 ），∵∠AB 1D＝，∴cos＝＝，解得 a＝， B1（1，， 1 ），B（ 1 ，0 ），C1（ 0，， 1 ），＝（ 0 ，），＝（﹣ 1 ，0 ，1 ），设直线 AB 1与 BC1所成角为θ，则 cos θ＝＝＝．∴直线 AB 1与 BC1所成角的余弦值为．应选： D．【议论】本题观察异面直线所成角的余弦值的求法，观察空间中线线、线面、面面间的地址关系等基础知识，观察运算求解能力，是中档题．10 ．（ 5 分）已知函数 f （x）＝cos x﹣ sin x在（ 0，α）上是单调函数，且f（α）≥﹣1，则α的取值范围为（）A ．（ 0 ，]B．（0 ，]C．（ 0，] D ．（0 ，]【考点】 H5 ：正弦函数的单调性．【专题】 35 ：转变思想； 49 ：综合法； 56 ：三角函数的求值．【剖析】利用两角和的余弦公式化简函数的剖析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，可得cos （α+ ）≥﹣ ，则 α+ ∈（ ， ] ，由此可得α的取值范围．【解答】 解：函数 f （ x ）＝cos x ﹣ sin x ＝ 2cos （x +） 在（ 0，α）上是单调函数，∴+ α≤π，∴0＜α≤ ．又 f （α）≥﹣1 ，即 cos （α+）≥﹣ ，则 α+∈（，]，∴α∈（0 ，]，应选： C ．【议论】 本题主要观察两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题．11 ．（ 5 分）已知半圆 C ：x 2+ y 2＝ 1（ y ≥0），A 、B 分别为半圆 C 与 x 轴的左、右交点，直线 m 过点 B 且与 x 轴垂直，点P 在直线 m 上，纵坐标为t ，若在半圆 C 上存在点 Q 使∠BPQ ＝，则 t 的取值范围是（ ）A ． [﹣ ， 0 ）]B ． [ ﹣ ， 0）∪（ 0 ，] C ． [﹣， 0 ）∪（ 0 ， ]D ．[ ﹣， 0）∪（ 0 ，]【考点】 JE ：直线和圆的方程的应用．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 35 ：转变思想； 5B ：直线与圆．【剖析】依照题意，设 PQ 与 x 轴交于点 T ，剖析可得在 Rt △PBT 中，|BT |＝ |PB |＝|t |，分 p 在 x 轴上方、 下方和 x 轴上三种情况议论， 剖析 |BT |的最值， 即可得 t 的范围， 综合可得答案．【解答】 解：依照题意，设 PQ 与 x 轴交于点 T ，则 |PB |＝|t |，由于 BP 与 x 轴垂直，且∠ BPQ ＝，则在 Rt △PBT 中，|BT |＝ |PB |＝ |t |，当 P 在 x 轴上方时， PT 与半圆有公共点 Q ， PT 与半圆相切时， |BT |有最大值 3，此时 t有最大值，当 P 在 x 轴下方时，当Q 与 A 重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值﹣，则t获取最小值﹣，t＝0时， P 与 B 重合，不切合题意，则 t 的取值范围为[﹣，0）]；应选： A ．【议论】本题观察直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的地址关系，属于基础题．12 ．（ 5 分）在边长为 2 的菱形ABCD中，BD＝ 2 ，将菱形ABCD 沿对角线 AC 对折，使二面角﹣﹣D 的余弦值为，则所得三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为（）B ACA ．B．πC． D ．【考点】 LR ：球内接多面体．【专题】 11 ：计算题； 21 ：阅读型； 35 ：转变思想；4A ：数学模型法；5U ：球．【剖析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN ⊥ AC， BN ⊥AC ，可得出二面角 B﹣ AC﹣ D 的平面角为∠ BND ，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥B﹣ACD 为正周围体，依照内切球的半径为其棱长的倍得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形，取AC 的中点 N ，则 DN ⊥ AC，BN ⊥ AC．因此，∠ BND 是二面角 B﹣ AC﹣ D 的平面角，过点 B 作 BO ⊥ DN 交 DN 于点 O，可得BO⊥平面 ACD ．由于在△BDN 中，，因此，BD2 ＝BN2 +DN2﹣ 2BN?DN?cos ∠＝BND ，则 BD ＝2．故三棱锥 A﹣ BCD 为正周围体，则其内切球半径．因此，三棱锥A﹣ BCD 的内切球的表面积为．应选： C．【议论】本题观察几何体的内切球问题，解决本题的重点在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，观察了二面角的定义与余弦定理，观察计算能力，属于中等题．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．13 ．（ 5 分）已知 cos α＝﹣，则cos2α＝．【考点】 GS：二倍角的三角函数．【专题】 11 ：计算题； 35 ：转变思想； 56 ：三角函数的求值．【剖析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵ cos α＝﹣，∴cos2 α＝2cos 2α﹣1 ＝ 2×（﹣ ） 2﹣1 ＝．故答案为：．【议论】 本题主要观察了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14 ．（ 5 分）在（ 1+ x ）（2+ x ） 5 的张开式中， x 3的系数为120 （用数字作答） ．【考点】 DA ：二项式定理．【专题】 11 ：计算题； 5P ：二项式定理．【剖析】 依照（ 2+ x ） 5的张开式的通项公式，计算在（1+ x ）（ 2+ x ）5 的张开式中含 x3的项是什么，从而求出x 3的系数．【解答】 解：（2+ x ） 5的张开式的通项是，因此在（ 1+ x ）（ 2+ x ）5 ＝（ 2+ x ） 5+ x （ 2+ x ） 5的张开式中，含 x 3的项为，因此 x 3的系数为 120 ．故答案为： 120 ．【议论】 本题观察了二项式张开式的通项公式的应用问题，也观察了逻辑推理与计算能力，是基础题目．15 ．（ 5 分）已知函数 f （x ）是奇函数，且 0 ≤x 1＜ x 2 时，有＜ 1 ， f （﹣ 2 ）＝ 1 ，则不等式 x ﹣3 ≤f （ x ）≤x 的解集为 [0 ， 2] ．【考点】 3N ：奇偶性与单调性的综合．【专题】 35 ：转变思想； 4M ：构造法； 51 ：函数的性质及应用．【剖析】 依照条件构造函数g （ x ）＝ f （ x ）﹣ x ，判断函数 g （x ）的奇偶性和单调性，【解答】解：由 x﹣3≤f（ x）≤x 等价为﹣3≤f （ x）﹣ x≤1设 g （ x）＝ f（ x）﹣ x，又由函数 f（x）是定义在R 上的奇函数，则有 f （﹣ x）＝﹣ f （x），则有 g （﹣ x）＝ f（﹣ x）﹣（﹣ x）＝﹣ f（ x）+ x＝﹣[ f（x）﹣ x]＝﹣ g （x ），即函数 g （ x）为 R 上的奇函数，则有 g （0）＝0；又由对任意0≤x1＜x2时，有＜1，则＝＝﹣1，∵＜1 ，∴＝﹣1＜0，即g （ x）在[0，+∞）上为减函数，∵g（ x）是奇函数，∴g（ x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，∵f（﹣2）＝1，∴g （﹣2）＝ f（﹣2）﹣（﹣2）＝1+2＝3；g （2）＝﹣3， g（0）＝ f（0）﹣0＝0，则﹣ 3 ≤f（x）﹣x≤0 等价为g（ 2 ）≤g（x）≤g（ 0 ），∵g（ x）是减函数，∴0 ≤x≤2，即不等式 x﹣3≤f（ x）≤x 的解集为[0，2]；故答案为： [0 ， 2] ．【点】本考函数的奇偶性与性的合用，关是构造函数g （ x），利用特殊化剖析不等式，利用函数奇偶性和性行化是解决本的关．16 ．（ 5 分）已知数列{a n }的前n和S n足，S n＝3 a n2，数列 {na n }的前n和T n，足 T n＞100的最小的 n7．【考点】 8H ：数列推式．【】 11 ：算； 34 ：方程思想； 35 ：化思想； 54 ：等差数列与等比数列．【剖析】依照意，将S n＝3a n 2 形可得S n﹣1＝ 3 a n﹣12，两式相减形可得 2 a n ＝ 3 a n﹣1，令n＝ 1 求出a1的，即可得数列 {a n }是以a1＝ 1 首，公比的等比数列，即可得数列 {a n}的通公式，而可得T n＝1+2×+3 ×（）2+ ⋯⋯+ n×（）n﹣1，由位相减法剖析求出T n的，若T n＞100，即4+ （ 2 n 4 ）×（）n＞100 ，剖析可得n 的最小，即可得答案．【解答】解：依照意，数列{a n }足S n＝ 3 a n 2 ，①当 n ≥2，有 S n﹣1＝3 a n﹣12，②，① ②可得： a n＝3 a n 3 a n﹣1，形可得 2 a n＝ 3 a n﹣1，当 n ＝1 ，有 S1＝ a1＝3 a12，解可得a1＝1，数列 {a n }是以a1＝ 1 首，公比的等比数列，a n＝（） n ﹣1，数列 { n }的前n 和Tn ， n ＝1+2 × +3 ×（）2+ ⋯⋯+n×（） n﹣1 ，③na T有T n＝+2 ×（）2+3×（）3+⋯⋯+n×（）n，④③ ④可得：T n＝1+（）+（）2+⋯⋯×（）n﹣1n×（）n＝2（1）n ×（）n，形可得： T n＝4+（2n 4 ）×（）n ，若 T n ＞ 100 ，即 4+ （ 2 n ﹣ 4 ）×（ ）n＞100 ，剖析可得： n ≥7 ，故满足 T n ＞ 100 的最小的 n 值为 7 ；故答案为： 7．【议论】 本题观察数列的递推公式，重点是剖析数列{a n }的通项公式，属于基础题．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 ～21 题为必考题，每个试题考生都必定作答．第22 ，23 题为选考题，考生依照要求作答．（一）必考题：共 60 分．17 ．（ 12 分）已知△ ABC 中，角 A ，B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，△ABC 的面积为S ，且 S ＝ bc cos A ， C ＝．（Ⅰ）求 cos B 的值；（Ⅱ）若 c ＝，求 S 的值．【考点】 HP ：正弦定理．【专题】 11 ：计算题； 35 ：转变思想； 49 ：综合法； 58 ：解三角形．【剖析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可得tan A ＝ 2 ，利用同角三角函数基本关系式可求 sin A ， cos A ，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cos B 的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，利用正弦定理可得 b 的值，即可得解 S的值．【解答】 解：（Ⅰ）∵ S ＝ bc sin A ＝ bc cos A ，∴sin A ＝ 2cos A ，可得： tan A ＝ 2，∵△ABC 中， A 为锐角，又∵sin 2 A +cos 2A ＝ 1，∴可得： sin A ＝， cos A ＝ ，又∵C＝，∴cos B＝﹣ cos （A+ C）＝﹣ cos A cos C+sin A sin C＝．（Ⅱ）在△ ABC 中，sin B＝＝，由正弦定理，可得： b ＝＝3，∴S＝ bc cos A＝3．【议论】本题主要观察了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，观察了计算能力和转化思想，属于中档题．18 ．（ 12 分）如图，四棱锥P﹣ ABCD 中， AB ∥CD ，∠BCD＝，PA⊥ BD，AB＝2，PA＝PD＝ CD＝ BC＝1．（Ⅰ）求证：平面 PAD ⊥平面 ABCD；（Ⅱ）求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值．【考点】 LY：平面与平面垂直；MI ：直线与平面所成的角．【专题】 14 ：证明题； 31 ：数形结合； 49 ：综合法； 5G ：空间角．【剖析】（Ⅰ）推导出AD ⊥ BD，PA⊥ BD，从而 BD ⊥平面 PAD，由此能证明平面PAD ⊥平面 ABCD ．（Ⅱ）取AD 中点 O，连结 PO，则 PO⊥ AD ，以 O 为坐标原点，以过点O 且平行于BC 的直线为 x 轴，过点 O 且平行于 AB 的直线为 y 轴，直线 PO 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用职权向量法能求出直线PA 与平面 PBC 所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵ AB∥CD ，∠BCD＝，PA＝PD＝CD＝BC＝1，∴BD＝，∠ABC＝，，∴，∵AB＝2，∴AD ＝，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥ BD，∵PA⊥BD ， PA∩AD ＝ A，∴BD⊥平面 PAD，∵BD?平面 ABCD ，∴平面 PAD⊥平面 ABCD ．解：（Ⅱ）取 AD 中点 O，连结 PO，则 PO⊥ AD ，且 PO ＝，由平面 PAD ⊥平面 ABCD，知 PO⊥平面 ABCD，以 O 为坐标原点，以过点 O 且平行于 BC 的直线为 x 轴，过点 O 且平行于 AB 的直线为y轴，直线 PO 为 z 轴，建立以以以下图的空间直角坐标系，则 A（， 0 ），B（， 0 ），C（﹣， 0），P（ 0 ， 0 ，），＝（﹣ 1， 0， 0 ），＝（﹣，），设平面 PBC 的法向量＝（x，y，z），则，取 z＝，得＝（0，，），∵＝（，﹣），∴cos ＜＞＝＝﹣，∴直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为．【议论】本题观察面面垂直的证明，观察满足线面角的正弦值的求法，观察空间中线线、线面、面面间的地址关系等基础知识，观察运算求解能力，观察数形结合思想，是中档题．19 ．（ 12 分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200 名高三学生平均每天体育锻炼时间进行检查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的[0 ，10 ）[10 ，20 ） [20 ， 30 ）[30 ，40 ） [40 ， 50 ） [50 ， 60 ）时间 / 分钟总人数20 36 44 50 40 10 将学寿辰均体育锻炼时间在[40 ， 60 ）的学生议论为“锻炼达标”．（Ⅰ）请依照上述表格中的统计数据填写下面 2 ×2 列联表；锻炼不达标锻炼达标合计男女20 110合计并经过计算判断，可否能在犯错误的概率不高出的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10 人，进行体育锻炼领悟交流，（i）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ii ）从参加领悟交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求 X 的分布列和数学希望．参照公式： K 2＝，其中n＝a+b+c+d临界值表P（ K2≥k0）k 0【考点】 BL ：独立性检验； CG：失散型随机变量及其分布列；CH ：失散型随机变量的希望与方差．【专题】 49 ：综合法； 5I ：概率与统计；5O ：排列组合．【剖析】（ I）列出列联表，利用独立性检验计算公式及其判判断理即可得出结论．（Ⅱ）（ i）在“锻炼达标”的学生50 中，男女生人数比为3： 2，用分层抽样方法抽出10 人，男生有 6 人，女生有 4 人．【解答】解：（ I）列出列联表，课外体育不达标课外体育达标合计男60 30 90女90 20 110合计150 50 200K2＝＝≈6.061 ＞ 5.021 ．因此在犯错误的概率不高出的前提下不能够判断“课外体育达标”与性别有关．（6 分）（Ⅱ）（ i）在“锻炼达标”的学生50 中，男女生人数比为 3 ： 2 ，用分层抽样方法抽出10 人，男生有 6 人，女生有 4 人．（ ii ）从参加领悟交流的10 人中，随机选出 2 人作重点发言， 2 人中女生的人数为X，则 X 的可能值为0 ， 1 ， 2 ．则 P（（ X＝0）＝＝，P（（X＝1）＝＝，P（（X＝2）＝＝，可得 X 的分布列为：X 0 1 2P可得数学希望E（ X）＝0×+1 ×+2 ×＝．【议论】本题观察了独立性检验计算公式及其原理、超几何分布列的应用，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．20 ．（ 12 分）已知O 为坐标原点，椭圆：＝1 （＞b＞ 0）的左、右焦点分别为C aF1（﹣ c，0）， F2（ c，0），过焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆 C 订交所得的弦长为 3 ，直线 y＝﹣与椭圆 C 相切．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）可否存在直线l：y ＝k（ x+ c）与椭圆 C 订交于 E，D 两点，使得（）＜ 1 ？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明原由！【考点】 KL ：直线与椭圆的综合．【专题】 15 ：综合题； 38 ：对应思想； 4R：转变法； 5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【剖析】（Ⅰ）由题意可得＝ 3，以及直线y ＝﹣与椭圆C相切，可得b ＝，解之即得 a， b ，从而写出椭圆 C 的方程；（Ⅱ）联立方程组，依照韦达定理和向量的运算，即可求出k 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵在＝1（a＞b＞0）中，令x＝c，可得 y ＝±，∵过焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆 C 订交所得的弦长为3，∴＝ 3 ，∵直线 y＝﹣与椭圆C相切，∴b＝，∴a＝2∴a 2＝4， b2＝3．故椭圆 C 的方程为+＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c＝1，则直线 l 的方程为 y＝ k（ x+1），联立，可得（ 4 k 2+3 ）x2+8 k2x+4 k2﹣ 12 ＝ 0 ，则△＝64 k 4﹣ 4 （ 4 k2+3 ）（ 4 k2﹣ 12 ）＝ 144 （k2+1 ）＞ 0 ，∴x1+ x2＝﹣，x1x2＝，∴y1 y2＝ k 2（ x1+1）（ x2+1）＝﹣，∵（）＜1，∴?＜1，∴（x2﹣1， y2）（ x1﹣1，y1）＝ x1x2﹣（ x1+ x2）+1+ y 1y 2＜1，即++1 ﹣＜1，整理可得 k 2＜4，解得﹣ 2 ＜k＜ 2 ，∴直线 l 存在，且 k 的取值范围为（﹣2， 2）．【议论】本题观察了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技术方法，观察了运算求解能力，转变与化归能力，属于中档题．21 ．（ 12 分）已知函数 f （ x ）＝ e x﹣ ax ．（Ⅰ）若函数 f （ x ）在 x ∈（，2 ）上有 2 个零点，求实数 a 的取值范围．（注 e 3＞19 ）（Ⅱ）设 g （ x ）＝ f （ x ）﹣ ax 2，若函数 g （ x ）恰有两个不同样样的极值点 x 1， x 2 证明：．【考点】 6D ：利用导数研究函数的极值．【专题】 33 ：函数思想； 4R ：转变法； 53 ：导数的综合应用．【剖析】（Ⅰ）问题转变成 a ＝，令 h （ x ）＝ ，x ∈（， 2 ），依照函数的单调性求出 a 的范围即可；（Ⅱ）求出 2 a ＝，问题转变成证（ x 1 ﹣x 2）﹣+1 ＞ 0 ，令 x 1﹣ x 2＝ t （ t ＜0 ），即证不等式t﹣ e t+1 ＞0 ，当t ＜ 0 时恒建立， 设 h （ t ）＝t﹣ e t+1 ，则 h ′（t ）＝﹣[ ﹣（ +1 ）] ，依照函数的单调性证明即可．【解答】 解：（Ⅰ）由 f （ x ）＝ 0 ，得 a ＝，令 h （x ）＝， x ∈（， 2 ），h ′（x ）＝ ，故 h （x ）在（ ， 1 ）递减，在（ 1 ， 2）递加，又 h （ ）＝ 2， h （ 2）＝ ， h （ 1）＝ e ，故 h （2 ）＞ h （），故 a ∈（ e ， 2）；（Ⅱ） g （ x ）＝ f （ x ）﹣ ax 2＝ e x﹣ ax ﹣ ax 2，故 g ′（x ）＝ e x﹣ 2ax ﹣ a ，大全易知 a ＞ 0 （若 a ≤0 ，则函数 f （ x ）没有或只有 1 个极值点，与已知矛盾） ，且 g ′（x 1 ）＝ 0， g ′（x 2 ）＝ 0 ，故 ﹣2 ax 1 ﹣ a ＝ 0，﹣ 2 ax 2﹣ a ＝ 0 ，两式相减得 2a ＝，于是要证明＜ ln （2a ），即证明 ＜ ，两边同除以，即证（ x 1﹣ x 2 ） ＞﹣ 1 ，即证（ x 1﹣ x 2 ）﹣ +1 ＞ 0，令 x 1﹣ x 2 ＝t （ t ＜ 0 ），即证不等式 t﹣ e t+1 ＞ 0，当 t ＜0 时恒建立，设 h （t ）＝ t﹣ e t+1 ，则 h ′（t ）＝﹣[ ﹣（ +1 ） ] ，设 k （ ）＝﹣（ +1 ），则 k ′（）＝ （﹣ 1 ），tt当 t ＜0 时， k ′（t ）＜ 0 ， k （ t ）递减，故 k （ t ）＞ k （ 0）＝ 0 ，即﹣（ +1 ）＞ 0 ，故 h ′（t ）＜ 0 ，故 h （t ）在 t ＜ 0 时递减， h （ t ）在 t ＝ 0 处取最小值 h （ 0 ）＝ 0 ，故 h （t ）＞ 0 得证，故．【议论】 本题观察了函数的单调性，最值问题，观察导数的应用以及转变思想，换元思想，是一道综合题．（二）选考题：共 10 分．请考生在第22 、 23 题中任选一题作答．若是多做，则按所做的第一题计分． [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程]22 ．（ 10 分）已知曲线C1的参数方程为（α为参数），P是曲线C1上的任一点，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为Q，线段 PQ 的中点的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l：sinθ﹣cosθ＝交曲线 C2于 M ， N 两点，求|MN |．【考点】 Q4 ：简单曲线的极坐标方程．【专题】 11 ：计算题； 5S ：坐标系和参数方程．【剖析】（Ⅰ）利用 cos 2α+sin2α＝1 消去α可得圆C1的一般方程，设PQ的中点坐标为（ x， y），则 P 点坐标为（2 x， y），将 P 的坐标代入C1的方程即可得；（Ⅱ）先把 l 的极坐标方程化为直角坐标方程，再代入C2的直角坐标方程可得M ，N 的横坐标，再依照弦长公式可得弦长|MN |．【解答】解：（Ⅰ）利用cos 2α+sin 2α＝1 消去α可得（x﹣ 3 ）2 + （y﹣ 1 ）2＝ 4，设 PQ 的中点坐标为（x， y），则 P 点坐标为（2x， y），则 PQ 中点的轨迹方程为（ 2 x﹣ 3 ）2+ （y﹣1 ）2＝ 4 ．（Ⅱ）∵直线的直角坐标方程为y﹣ x＝1，2 2得 x＝，∴|MN |＝∴联立 y﹣ x＝1与（2 x﹣3）+（y﹣ 1 ）＝4＝．【议论】本题观察了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] （ 10 分）23 ．已知函数f（ x）＝|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式 f （ x）+ f（2x+1）≥6；（Ⅱ）对 a+ b ＝1（ a， b＞0）及? x∈R，不等式 f（ x﹣ m ）﹣（﹣ x）≤恒建立，求实数 m 的取值范围．【考点】 3R ：函数恒建立问题；R6 ：不等式的证明．【专题】 15 ：综合题； 35 ：转变思想； 4R ：转变法； 5T：不等式．【剖析】（Ⅰ）依照绝对值不等式的解法，利用分类议论进行求解即可．（Ⅱ）利用 1 的代换，结合基本不等式先求出+的最小值是9 ，今后利用绝对值不等式的性质进行转变求解即可．【解答】解：（Ⅰ） f（x）+ f（2 x+1）＝|x﹣2|+|2 x﹣1|＝当x＜时，由3﹣3 x≥6，解得 x≤﹣1；当≤x≤2时， x+1≥6不能够立；当x＞2时，由3x﹣3≥6，解得 x≥3．因此不等式f（ x）≥6的解集为（﹣∞，﹣1] ∪ [3 ， + ∞）．（Ⅱ）∵ a+ b＝1（ a， b ＞0），∴（a+ b ）（+ ）＝ 5++ ≥5+2 ＝ 9 ，∴对于? x∈ R，恒建立等价于：对? x∈ R，|x﹣2 ﹣m |﹣ |﹣x﹣ 2| ≤9 ，即[| x﹣ 2 ﹣m |﹣ |﹣x﹣ 2|] max≤9∵|x﹣ 2﹣m |﹣ |﹣x﹣ 2| ≤|（x﹣ 2 ﹣m）﹣（x+2 ）|＝ | ﹣4﹣m |∴﹣9≤m +4 ≤9，∴﹣13 ≤m≤5 ．【议论】本题主要观察绝对值不等式的解法，以及不等式恒建立问题，利用 1 的代换结合基本不等式，将不等式恒建立进行转变求解是解决本题的重点．。
哈尔滨市第三中学二模考试数学（理）参考答案1-12 CDBBC,BCCBD,BA 13-16 6- 359 83n 109⨯17题（I ）3)62sin(2)(+-=πx x f ………3分最大值为32+，x 集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,3ππ………6分 （II ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-65,662πππx ，若有两个零点，则[)32,31++∈m ………12分 18题（I ）无论点F 运动到何处时，总有AE BF ⊥，则⊥AE 平面BCE ，………6分 所以平面⊥ADE 平面BCE（II ）如图建立直角坐标系,)0,1,0(-A ,)2,1,0(-D ,)2,1,0(C ,)0,0,1(E ,)0,2,0(=DC ,)2,1,1(--=CE ,)0,1,1(=AE平面EDC 的法向量为)1,0,2(=………..8分 平面EAC 的法向量为)1,1,1(-=………..10分515,cos >=<n m ………..12分 19题（I ）804800(100160)8000(160200)X X Y X -≤≤⎧=⎨≤≤⎩………..4分（II ）120,(120)0.9X P X ≥∴≥= ………..6分所以数学期望为()6880E Y =（元）………..12分 20题（I ）设椭圆上点00(,)P x y 且点(,),(,)M m n N m n --在椭圆上22220022221,1,x y m n a b a b∴+=+=做差得22222220002222200,x m y n y n b a b x m a ---+=∴=-- 22222000222000144PM PNy n y n y n b k k a b x m x m x m a -+-∴⋅=⋅==-=-∴=-+- 又(),0F c在直线20x y -=上，令0y =，得c =所以椭圆方程为2214x y +=…..4分 （II ）21=y ()22222141612014y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒+++=⎨+=⎪⎩ 1222122163140,,12414k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+∆>∴>⎨⎪⋅=⎪+⎩取直线2y x =+与椭圆2214x y +=交于两点()64,,T 2,055S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线1211:1,:162B S y x B T y x =+=--，两条直线的交点为113,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭取直线2y x =-+与椭圆2214x y +=交于两点()64,,T 2,055S ⎛⎫⎪⎝⎭直线1211:1,:162B S y x B T y x =-+=-，两条直线的交点为213,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭若交点在一条直线上则此直线只能为1:2l y =验证对任意的,k ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线1B S 与直线2B T 的交点Q 都在定直线1:2l y =上，设直线直线1B S 与直线1:2l y =交点为()000,Q x y ，直线2B T 与直线1:2l y =交点为()''000',Q x y ，设点()()1122,,T ,S x y x y直线12121211:y 1,:1y y B S x B T y x x x -+=+=- 1111011:y 111,21212y B S x x x Q y y -⎧=+⎪⎛⎫⎪⇒⋅⎨ ⎪-⎝⎭⎪=⎪⎩；2121021:y 131',21212y B S x x Q y y +⎧=-⎪⎛⎫⎪⇒⋅⎨ ⎪+⎝⎭⎪=⎪⎩ ()()()()()22121200212112164343111414'0211211k k kx x x x k k x x y y y y -⋅+⋅++++-=⋅=⋅=+-+- 所以点()000,Q x y 与()''000',Q x y 重合，所以交点在直线1:2l y =上……12分 21题解：（I ）x e a ax x f ⋅+-=)2()(，xe ax xf ⋅+=)2()('，……………………1分 当0≥a 时)('x f 在[]2,0上恒正，最大值为2)2()2(e a f += ……………………2分 当0<a 时，令0)('=x f ，得ax 2-= 所以当01<≤-a 时，仍有)(x f 在[]2,0上为增函数，最大值为2)2()2(e a f +=当1-<a 时，)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a 2,0上为增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2a 上为减函数 最大值为=-)2(a f a ae 2-- 综上有，⎪⎩⎪⎨⎧-<--≥+=-1,1,)2()(22max a aea e a x f a ……………………6分 （II ）3013)(22--=ax x a x g ＝)15)(2(-+ax ax所以只需要152->ax e x 即可，记=)(x h 152+-ax e x ，则=)('x h a e x -2 故)(x h 在)2ln,0(a 减，),2(ln +∞a 增，则152ln )(m in +-=a a a x h 记152ln )(+-=x x x x k ，则2ln )('x x k -= 故)(x k 在)2,0(增，),2(+∞减在),2(+∞上取22e ，有0215)2(22>-=e e k 又0)215ln 2(15)15(<-=k ，故存在0x ()15,22e ∈使0)(0=x k 而22e )15,14(∈,所以当14=a 时可保证0)(m in >x h ，有)()(2'x g x f >恒成立 当15=a 时0)(m in <x h ，不能有)()(2'x g x f >恒成立 所以a 所能取到的最大正整数为1422题（I ）因为PB PE ,分别是⊙2O 割线，所以PB PD PE PA ⋅=⋅① 又PB PA ,分别是⊙1O 的切线和割线，所以PB PC PA ⋅=2② 由①②得PC PE PD PA ∙=∙ ………5分（II ）连接DE AC ,，设DE 与AB 相交于点F ，因为BC 是⊙1O 的直径，所以︒=∠90CAB ，所以AC 是⊙2O 的切线，由（1）得DE AC //，所以DE AB ⊥，所以AE AD = ………10分23解（I ）)4cos(22πθρ-= ………5分（II ）2=a 或23=a ． ………10分24（I ）⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+-=-∴≤≤-+≤≤-∴≤-32,5151,m a m a m a x m a x m a m a x ………5分（II ）].22,2,0,2202,20,20,2222+∞-∴∴-≥+-<+≤≤∴≥+-<≤∴<≤≥+-≥≥+-∴=t x t x x t x x t x x t x t x x xt x a 解集为（成立时当成立时当舍去时，当 ………10分。
哈尔滨市2014年第三中学第二次高考模拟考试数学（文）试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第1I 卷（非选择题）两部分，满分1 50分，考试时间120分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证弓‘码填。
与清楚； （2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，小得折替、小要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题EI 要求的．）1．已知全集U=Z ，集合A={一1，0，1，2}，B={x|x 2=x}，则A C U B 为A ．{一1，2）B ．{一1，0}C ．{0，1）D ．{1，2）2．设i 为虚数单位，则复数31i z i=-在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第_象限C ．第三象限D ．第四象限3．若a=（一1，3），b=（x+1，一4），且（a+b ）//b ，则实数x 为A ．3B ．13C ．一3D ．一134．在等差数列{n a }中，12318192018,78,a a a a a a ++=++=则此数列前20项的和等于A ．160B ．180C ．200D ．2205．如果执行右面的程序框图，那么输出的S 为 A ．96 B ．768C ．1 536D ．7686．已知a ，b ，l ，表示三条不同的直线，,,αβγ表示三个不同的平面，有下列四个命题：A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④7．等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为S n ，且若数列{1}n a +也是等比数列，则S n 等于A ．122n +-B ．3nC ．2nD ．3n —18．一动圆过点A （0，1），圆心在抛物线214y x =上，且恒与定直线，相切，则直线l 的方程为A ．x=1B ．132x =C ．132y =- D ．1y =-9．一只蚂蚁从正方体ABCD —A 1B 2C 1D 1的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C 。
2014年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学答案（理工类）选择题:1B 2A 3A 4D 5C 6D 7B 8B 9D 10B 11A 12D 填空题:13．98- 14.2111 15.10334- 16.45 解答题:17. 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得c b c b c b a )32()32(22-+-=，整理得bc a c b 3222=-+， ………………………… 2分 所以23cos =A ． ………………………… 4分 又),0(π∈A ，故6π=A ． ………………………… 5分（Ⅱ）由正弦定理可知B b A a sin sin =，又2=a ，32=b ，6π=A ， 所以23sin =B ． ………………………… 6分 又)65,0(π∈B ，故3π=B 或32π． ………………………… 8分若3π=B ，则2π=C ，于是3221==∆ab S ABC ； ………………………… 10分若32π=B ，则6π=C ，于是3sin 21==∆C ab S ABC ． ………………………… 12分18. 解：（Ⅰ）当14=n 时，130)5()1416(1014=-⨯-+⨯=X 元， ……………… 1分当15=n 时，145)5()1516(1015=-⨯-+⨯=X 元， ……………… 2分 当16=n 或17时，160=X 元， ……………… 3分 所以X 的分布列为……………… 4分154)(=X E 元． ……………… 5分（Ⅱ）设花店每天购进17枝玫瑰花时，当天的利润为Y 元，则当14=n 时，125)5()1417(1014=-⨯-+⨯=Y 元， 当15=n 时，140)5()1517(1015=-⨯-+⨯=Y 元， 当16=n 时，155)5()1617(1016=-⨯-+⨯=Y 元，当17=n 时，1701017=⨯=Y 元， ……………… 7分所以x x x Y E 15.05.159100701701001552.01401.0125)(-=-⨯+⨯+⨯+⨯=， … 9分 由于)()(Y E X E >，所以x 15.05.159154->，解得3110>x ， ……………… 10分又*∈N y x ,，所以]69,37[∈x ，*∈N x ． ……………… 12分 19. 解：（Ⅰ）取AB 中点为O ，连接OD ，1OB ．因为A B B B 11=，所以AB OB ⊥1． 又D B AB 1⊥，111B D B OB = ， 所以⊥AB 平面OD B 1，因为⊂OD 平面OD B 1，所以OD AB ⊥．…由已知，1BB BC ⊥，又BC OD //， 所以1BB OD ⊥，因为B BB AB =1 ， 所以⊥OD 平面11A ABB ．又⊂OD 平面ABC ，所以平面⊥ABC 平面11A ABB ． ……………… 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1,,OB OD OB 两两垂直．以O 为坐标原点，的方向为x 轴的方向，||OB为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -．由题设知)3,0,0(1B ，)0,1,0(D ，)0,0,1(-A ，)0,2,1(C ，)3,2,0(1C ． 则)3,1,0(1-=B ，)0,2,2(=，)3,0,1(1-=CC ． 设平面11A ACC 的法向量为m ),,(z y x =，则m 0=⋅AC ，m 01=⋅CC ，即0=+y x ，03=+-z x ，可取m )1,3,3(-=．… 6分设直线D B 1与平面11A ACC 所成角为θ， 故721sin =θ． ………………………… 7分 （Ⅲ）由题设知)0,0,1(B ，可取平面D BB 1的法向量n 1)1,3,3(=， ………………………… 8分 平面DC B 1的法向量n 2)1,3,3(-=， ………………………… 9分故<cos n 1，n 2>71=， ………………………… 11分 所以二面角C D B B --1的余弦值为71． ………………………… 12分20. 解：（Ⅰ）由已知)0,3(Q ，QB B F ⊥1，c c QF +==34||1，所以1=c ． ……… 1分在BQ F Rt 1∆中，2F 为线段Q F 1的中点， 故=||2BF 22=c ，所以2=a ．……… 2分于是椭圆C 的标准方程为13422=+y x ．…4分 （Ⅱ）设2:+=kx y l （0>k ），),(),,(2211y x N y x M ，取MN 的中点为,(00y x E 假设存在点)0,(m A 使得以AN AM ,0416)34(13422222=+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=kx x k y x kx y ， 4102>⇒>∆k ，又0>k ，所以21>k ． ………………………… 6分因为3416221+-=+k k x x ，所以34820+-=k kx ，3462200+=+=k kx y ． ……… 8分因为MN AE ⊥，所以k k AE 1-=，即k m k k k 1348034622-=-+--+，整理得kk k km 3423422+-=+-=． ………………………… 10分因为21>k 时，3434≥+k k ，]123,0(341∈+kk ，所以)0,63[-∈m ． ……… 12分 21.解：（Ⅰ）函数的定义域为()+∞,0，)0(12)(2>-+-='x xx ax x f ，依题意0)(≥'x f 在0>x 时恒成立，则1)11(2122--=-≤x x x a 在0>x 时恒成立，即[])0(1)11(min 2>--≤x xa ， 当1=x 时，1)11(2--x 取最小值-1，所以a 的取值范围是(]1,-∞-⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分（Ⅱ）21-=a ，由b x x f +-=21)(得0ln 23412=-+-b x x x 在[]4,1上有两个不同的实根，设[]4,1,ln 2341)(2∈+-=x x x x x gxx x x g 2)1)(2()(--='，[)2,1∈x 时，0)(<'x g ，(]4,2∈x 时，0)(>'x g22ln )2()(min -==g x g ，22ln 2)4(,45)1(-=-=g g ，0)4ln 43(412ln 243)4()1(<-=-=-g g ，得)4()1(g g <则⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈45,22ln b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分 （Ⅲ）易证当0>x 且1≠x 时，1ln -<x x .由已知条件12212ln ,01+=++-≤++=>+n n n n n n n a a a a a a a ，故),1(211+≤++n n a a 所以当2≥n 时，,21101≤++<-n n a a ,211021≤++<--n n a a ⋅⋅⋅，,211012≤++<a a 相乘得,211011-≤++<n n a a 又,11=a 故n n a 21≤+，即12-≤n n a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分 22解：（Ⅰ）由切割线定理知AE AD AB ⋅=2,又AB AC =，得AE AD AC ⋅=2⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分（Ⅱ）由AE AD AC ⋅=2得CDA ∆∽ACE ∆，所以CEA ACD ∠=∠又四边形GEDF 四点共圆，所以CED CFG ∠=∠ 故ACF CFG ∠=∠,所以AC FG //⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 23解：（Ⅰ）点P 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛32,23π⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分 （Ⅱ）MN 的最小值为21⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分24. 解：（Ⅰ）因为03)(≥++-=m x x g ，所以m x ≤+3，所以33-≤≤--m x m ，由题意⎩⎨⎧-=--=--1353m m ,所以2=m ； …………..5分（Ⅱ）若)()(x g x f >恒成立，所以m x x >++-32恒成立，因为5)3()2(32=+--≥++-x x x x 当且仅当0)3)(2(≤+-x x 时取等，所以5<m . ………….10分。
黑龙江省哈三中2014届下学期高三年级第二次模拟考试理综试卷，有答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 O—16 S—32 Fe—56第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 某种生长因子是一种分泌蛋白，能与前脂肪细胞膜特异性结合，启动细胞生化反应，最终导致前脂肪细胞增殖，分化为脂肪细胞。
下列叙述错误的是A. 前脂肪细胞膜上有该生长因子的受体B. 与前脂肪细胞相比，脂肪细胞的遗传物质发生了变化C. 该生长因子对前脂肪细胞的分裂和分化具有调节作用D. 内质网、高尔基体参与生长因子的加工与分泌2. 人的体细胞中，除一条X染色体外，其余的X染色体能浓缩成染色较深的染色质块，通常位于间期细胞的核膜边缘，称为巴氏小体。
分析错误的是A. 取女性的少许口腔上皮细胞染色制片即可用显微镜观察到巴氏小体B. 巴氏小体的形成是一种染色体结构变异C. 对参赛的运动员进行性别鉴定时可采用观察巴氏小体的方法D. 男性的体细胞核中出现巴氏小体，说明发生了染色体数目变异3. 取燕麦幼苗的茎放在一定浓度的植物生长素水溶液中培养，结果如图所示。
幼苗茎段质量增加的主要原因是A. 水分增加B. 糖分增加C. 蛋白质增加D. 无机盐增加4. 关于细胞物质运输的叙述，不正确的是A. 叶绿体合成的ATP需要通过核孔进入细胞核B. 突触前神经元在受到刺激时能释放神经递质C. 溶酶体内的酶由核糖体合成、并经过一系列加工后运入D. 内质网的膜结构成分可以通过高尔基体转移到细胞膜中5. 下图表示1—5月期间甲、乙两女性血浆中人乳头瘤状病毒抗体的相对含量。
对曲线图解释错误的是A. 女性甲可能在1月份接种了疫苗，女性乙没有B. 两人在5月份抗体含量差异源于女性甲体内记忆细胞的活动C. 女性甲的T淋巴细胞可以产生淋巴因子攻击被病毒侵染的靶细胞D. 人乳头瘤状病毒疫苗刺激机体产生了相应的记忆细胞和抗体6. 关于生物实验或调查的叙述，正确的是A. 豆浆煮熟后，不能与双缩腺试剂发生紫色反应B. 在低温诱导植物染色体数目变化的实验中，95%酒精仅用于解离C. 调查常见人类遗传病时常选取发病率高的单基因遗传病作为调查对象D. 观察口腔上皮细胞中的线粒体，需要8%盐酸处理后再用健那绿染色7. 下列化学实验事实及其解释都正确的是A. 自然界中含钾的物质都易溶于水，是因为钾盐溶解度很大SOB. 某溶液用盐酸酸化无明显现象，再滴加氯化钡溶液有白色沉淀，说明溶液中有24C. 铝热反应常被用于野外焊接钢轨，说明铝的氧化性很强D. 用浓硫酸与铜在常温下可制取SO2，因为浓硫酸具有强氧化性8. 下列有关同分异构体数目的叙述中，正确的是A. C5H12有2种同分异构体C H中只有三种属于芳香烃的同分异构体B.8mCH CH CH CH光照下与氯气反应，只生成一种一氯代烃C.3223D. 甲苯苯环上的一个氢原子被含3个碳原子的烷基取代，所得产物有6种9. 化学中常用图象直观地描述化学反应的进程或结果。
2014年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学三模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设复数z=（1-i）2（i为虚数单位），则的虚部（）A.2iB.-2iC.2D.-2【答案】C【解析】解：∵z=（1-i）2=1-2i+i2=1-2i-1=-2i．∴．∴的虚部是2．故选：C．直接利用平方运算展开化简，然后求出，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知cosα=-，α是第三象限角，则tanα=（）A.2B.-2C.D.-【答案】A【解析】解：∵cosα=-，α是第三象限角，∴sinα=-=-，则tanα==2．故选：A．由cosα的值及α是第三象限角，利用同角三角函数间基本关系求出sinα的值，即可确定出tanα的值．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3.已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则￢p是￢q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：∵条件p：a＜0，条件q：a2＞a，⇔a＜0或a＞1故条件p是条件q的充分不必要条件则¬p是¬q的必要不充分条件故选：B根据已知中条件p：a＜0，条件q：a2＞a，我们可以判断出条件p与条件q之间的充要关系，然后再根据四种命题之间充要性的相互关系，即可得到答案．本题考查的知识点是充要条件，其中根据已知条件判断出条件p是条件q的充分不必要条件是解答本题的关键．4.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足=9，则公比q=（）A. B.± C.2 D.±2【答案】C【解析】解：===9，∴q6-9q3+8=0，∴q3=1或q3=8，即q=1或q=2，当q=1时，S6=6a1，S3=3a1，=2，不符合题意，故舍去，故q=2．故选：C．利用等比数列的求和公式分别表示出S6和S3，化简整理即可求得q．本题主要考查了等比数列的求和公式．注重了对等比数列基础的考查．5.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）离心率为3，直线y=2与双曲线C的两个交点间的距离为，则双曲线C的方程是（）A.2x2-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1【答案】B【解析】解：y=2时，-=1，∴x=±，∵直线y=2与双曲线C的两个交点间的距离为，∴2•=，∴2a2（b2+4）=3b2，∵离心率为3，∴=9，∴b2=8a2，∴a2=1，b2=8，∴双曲线C的方程是x2-=1．故选：B．利用直线y=2与双曲线C的两个交点间的距离为，可得2a2（b2+4）=3b2，根据离心率为3，可得b2=8a2，求出a2=1，b2=8，即可得到双曲线C的方程．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．6.王明早晨在6：30～7：00之间离开家去上学，送奶员在早上6：45～7：15之把牛奶送到王明家，则王明离开家之前能取到牛奶的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设送奶员到达的时间为Y，王明离开家去上学的时间为X，记王明离开家之前能取到牛奶为事件A；以横坐标表示牛奶送到时间，以纵坐标表示王明离家时间，建立平面直角坐标系，王明离开家之前不能取到牛奶的事件构成区域如图示：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点不落到阴影部分，就表示王明离开家之前能取到牛奶，即事件A发生，所以P（A）=，故选：A．根据题意，设送报人到达的时间为x，小明爸爸离家去工作的时间为y；则（x，y）可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件A所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案．本题考查几何概型的计算，解题的关键在于设出X、Y，将（X，Y）以及事件A在平面直角坐标系中表示出来．7.如图是“二分法”解方程的流程图．在①～④处应填写的内容分别是（）A.f（a）f（m）＜0；a=m；是；否B.f（b）f（m）＜0；b=m；是；否C.f（b）f（m）＜0；m=b；是；否D.f（b）f（m）＜0；b=m；否；是【答案】B【解析】解：因为框图是“二分法”解方程的流程图．所以判断框的内容是根的存在性定理的应用，所以填f（b）f（m）＜0；是则直接进行验证精度，否则，在赋值框中实现b=m的交换，验证精度，满足精度输出结果结束程序，所以③处填：是，④处为：否；在①～④处应填写的内容分别是：f（b）f（m）＜0；b=m；是；否．故选：B．通过题意，即可判定判断框的内容，然后在赋值框中实现b=m的交换，满足精度输出结果判断③④的结果即可．本题考查框图的应用，明确题目的含义是解题的关键，考查函数的零点与方程的根的应用，考查分析问题解决问题的能力．8.设x，y∈R，a＞0，且|x|+|y|≤a，2x+y+1最大值小于2，则实数a的取值范围为（）A.（0，1）B.（0，）C.[，1）D.（0，1]【答案】B【解析】解：作出不等式组|x|+|y|≤a对应的平面区域如图：设z=2x+y+1，即y=-2x-1+z，则y=-2x-1+z的截距最大，z最大，要使2x+y+1最大值小于2，即2x+y+1＜2，即2x+y＜1，则只需要A（a，0）满足2x+y＜1即可，即2a＜1，解得0＜a＜，故实数a的取值范围为（0，），故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9.已知△ABC中，||=2，A=，则|+|有（）A.最大值B.最大值2C.最小值D.最小值2【答案】B【解析】解：由余弦定理可得，4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，当且仅当b=c=2时取等号．∴|+|===．∴|+|有最大值．故选：B．利用余弦定理和数量积的性质、基本不等式即可得出．本题考查了余弦定理和数量积的性质、基本不等式，属于中档题．10.在△ABC中，AC=，AB=3，BC=2，M，N，P分别为AC，AB，BC中点，将△ABC 沿MN，NP，MP折起得到三棱锥S-MNP，三棱锥S-MNP外接球的表面积为（）A.10πB.8πC.5πD.π【答案】D【解析】解：∵在△ABC中，AC=，AB=3，BC=2，M，N，P分别为AC，AB，BC中点，将△ABC沿MN，NP，MP折起得到三棱锥S-MNP，故SM=NP=，SN=MP=，SP=MN=1，故三棱锥S-MNP的外接球可以转化为分别以六条棱为面对角线的长方体的外接球，设长方体的长宽高分别为a，b，c，则a2+b2=，b2+c2=，a2+c2=1．即a2+b2+c2=，即长方体的外接球半径R满足：（2R）2=4R2=，故三棱锥S-MNP外接球的表面积S=4πR2=，故选：D由已知可得将△ABC沿MN，NP，MP折起得到三棱锥S-MNP，相对的棱长相等，故三棱锥S-MNP的外接球可以转化为分别以六条棱为面对角线的长方体的外接球，求出球的半径后，代入球的表面积公式，可得答案．本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键．11.已知A，B是抛物线y2=4x上异于顶点O的两个点，直线OA与直线OB的斜率之积为定值-4，△AOF，△BOF的面积为S1，S2，则S12+S22的最小值为（）A.8B.6C.4D.2【答案】D【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵直线OA与直线OB的斜率之积为定值-4，∴=-4，∴y1y2=-4，∵△AOF，△BOF的面积为S1，S2，∴S12+S22=（y12+y22）≥•2|y1y2|=2，当且仅当|y1|=|y2|时取等号，故选：D．利用直线OA与直线OB的斜率之积为定值-4，可得y1y2=-4，由S12+S22=（y12+y22），利用基本不等式，可得结论．本题考查抛物线的简单性质，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．12.函数a的范围是（）＞在[-2，2]上的最大值为2，则A.，B.，C.（- ，0]D. ，【答案】D【解析】解：先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈[-2，0]上的最大值为2；欲使得函数＞在[-2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，即e2a≤2，解得：a ，故选D．先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈[-2，0]上的最大值为2；欲使得函数x=2时，e2a的值必须小＞在[-2，2]上的最大值为2，则当于等于2，从而解得a的范围．本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设（1+2x）20=（a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10）•（1+x）10+b0+b1x+b2x2+…+b9x9，则b0-b1+b2-b3+…+b8-b9= ______ ．【答案】1【解析】解：（1+2x）10=（a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10）•（1+x）10+b0+b1x+b2x2+…+b9x9令x=-1，得b0-b1+b2-b3+…-b9=1故答案为：1．通过对等式中的x赋值-1得到各项系数和；．本题考查通过赋值求展开式的系数和．14.某几何体的三视图如图所示（x=1），则该几何体的体积为______ ．【答案】16【解析】解：由三视图知：几何体是直三棱柱挖去一个小直三棱柱，两个三棱柱的侧棱长都是4，大三棱柱的底面三角形底边长为2，该边上的高为4+1=5，小三棱柱的底面三角形底边长为2，该边上的高为1，∴几何体的体积V=×2×5×4-×2×1×4=16．故答案为：16．几何体是直三棱柱挖去一个小直三棱柱，判断两个三棱柱的侧棱长和底面三角形的相关几何量的数据，把数据代入棱柱的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．15.利用回归分析的方法研究两个具有线性相关关系的变量时，下列说法正确的是：______①相关系数r满足|r|≤1，而且|r|越接近1，变量间的相关程度越大，|r|越接近0，变量间的相关程度越小；②可以用R2来刻画回归效果，对于已获取的样本数据，R2越小，模型的拟合效果越好；③如果残差点比较均匀地落在含有x轴的水平的带状区域内，那么选用的模型比较合适；这样的带状区域越窄，回归方程的预报精度越高；④不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值．【答案】①③④【解析】解：相关系数r是用来衡量两个变量之间线性相关关系的方法，当r=0时，表示两变量间无线性相关关系，当0＜|r|＜1时，表示两变量存在一定程度的线性相关．且|r|越接近1，两变量间线性关系越大．故①正确；由R2计算公式可知，R2越小，说明残差平方和越大，则模型拟合效果越差．故②错误；由残差图的定义可③正确；在利用样本数据得到回归方程的过程中，不可避免的会产生各种误差，因此用回归方程得到的预报值只能是实际值的近似值．故④正确．故答案：①③④利用由r、R2、残差图的意义以及利用回归方程进行预报的特点进行分析．这部分内容属于了解内容，所以只要记住了r、R2、残差图等的相关概念及性质就可以正确解答．16.数列{a n}的通项为a n=（-1）n（2n-1）•cos+1前n项和为S n，则S60= ______ ．【答案】120【解析】解：由函数f（n）=cos的周期性可得a1=a3=…=a59=1，a2+a4=a6+a8=…=a58+a60=6，∴S60=1×30+6×15=120．故答案为：120．利用余弦函数的周期性找出规律即可求得．本题考查了余弦函数的周期性及数列分组求和知识，属基础题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知向量=（sin，-1），=（cos，cos2），记f（x）=•，（Ⅰ）求f（x）的值域和单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a-c）cos B=bcos C，若f（A）=-，a=2，求△ABC的面积．【答案】解：（Ⅰ）由题意可得f（x）=•=sin cos-cos2=sin-=sin（-）-，故函数的值域为[-，]．令2kπ-≤-≤2kπ+，k∈z，求得4kπ-≤x≤4kπ+，k∈z，故函数的单调递增区间为[4kπ-，4kπ+]，k∈z．（Ⅱ）在△ABC中，∵（2a-c）cos B=bcos C，由正弦定理可得2sin A cos B-sin C cos B=sin B cos C，即2sin A cos B=sin A，∴cos B=，B=．∵f（A）=sin（-）-=-，∴sin（-）=0，∴-=0，∴A=，∴C=π-A-B=，∴A=B=C，∴△ABC为等边三角形，再根据a=2，可得△ABC的面积S=×2×2sin=．【解析】（Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式、两角和差的三角公式可得f（x）=sin（-）-，由此可得函数的值域．令2kπ-≤-≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的单调递增区间．（Ⅱ）在△ABC中，由条件利用正弦定理可得cos B的值可得B的值．由f（A）=-，求得A=，可得C=π-A-B的值，从而得到△ABC为等边三角形，再根据a=2，求得△ABC的面积S．本题主要考查两个向量的数量积公式、两角和差的三角公式、正弦函数的单调性、正弦定理的应用，属于中档题．18.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE与平面ABCD所成角的正切值为．（Ⅰ）求证：直线AC∥平面EFB；（Ⅱ）求二面角F-BE-A的余弦值．【答案】（I）证明：设AC，BD交于O，取EB中点G，连结FG，GO，在△BDE中，，∴，即四边形FAOG是平行四边形，∴FG∥AO，又AO⊄平面EFB，FG⊂平面EFB，∴直线AC∥平面EFB．…（5分）（II）解：分别以AD，DC，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz由题意知：B（2，2，0），E（0，0，2），F（2，0，1），A（2，0，0），∴，，，=（-2，-2，2），，，，，，，设平面AEB的法向量，，，则，∴，取x=1，得=（1，0，1），设平面FBE的法向量，，，则，取y1=1，得，，，设二面角F-BE-A的大小为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=，∴二面角F-BE-A的大小为．【解析】（I）设AC，BD交于O，取EB中点G，连结FG，GO，由已知条件推导出四边形FAOG 是平行四边形，由此能证明直线AC∥平面EFB．（II）分别以AD，DC，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角F-BE-A的大小．本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.某校随机抽取某次高三数学模拟考试甲、乙两班各10名同学的客观题成绩（满分60分），统计后获得成绩数据的茎叶图（以十位数字为茎，个位数字为叶），如图所示：（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，并比较哪个班级的客观题平均成绩更好；（Ⅱ）从这两组数据各取两个数据，求其中至少有2个满分（60分）的概率；（Ⅲ）规定客观题成绩不低于55分为“优秀客观卷”，以这20人的样本数据来估计此次高三数学模拟的总体数据，若从总体中任选4人，记X表示抽到“优秀客观卷”的学生人数，求X的分布列及数学期望．【答案】解：（I）甲、乙两组数据的平均数分别为51.5，49，甲班的客观题平均成绩更好．（II）设从这两组数据各取两个数据，至少有2个满分（60分）为事件A，则P（A）==；（III）～，（人）…（12分）【解析】（I）根据数据计算两组数据的平均数；（Ⅱ）从这两组数据中分别抽取一个数据，求其中至少有2个满分（60分）的概率；（Ⅲ）～，，求出其概率，可得X的分布列及数学期望．本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，考查茎叶图的定义和应用，古典概型以及平均数的概念，考查学生的运算能力．20.f（x）=axe kx-1，g（x）=lnx+kx．（Ⅰ）当a=1时，若f（x）在（1，+ ）上为减函数，g（x）在（0，1）上是增函数，求k值；（Ⅱ）对于任意k＞0，x＞0，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=xe kx-1，∴f′（x）=（kx+1）e kx，g′（x）=+k，f（x）在（1，+ ）上为减函数，则∀x＞1，f′（x）≤0⇔k≤-，∴k≤-1；∵g（x）在（0，1）上为增函数，则∀x∈（0，1），g′（x）≥0⇔k≥-，∴k≥-1；综上所述：k=-1．（Ⅱ）设h（x）=f（x）-g（x）=axe kx-lnx-kx-1（x＞0），∴h′（x）=（kx+1）（ae kx-），设u（x）=ae kx-，∴u′（x）=ake kx+，①a≤0时，u（x）=ae kx-＜0，则h′（x）=（kx+1）（ae kx-）＜0，∴h（x）在（0，+ ）上是减函数，h（x）＞0不恒成立；②当a＞0时，′＞，则在（0，+ ）上，是增函数，u（x）的函数值由负到正，必有x0∈（0，+ ），u（x0）=0，即，两边取自然对数得，lna+kx0=-lnx0，h（x）在（0，x0）上是减函数，（x0，+ ）上是增函数，=1-1-lnx0-kx0=-lnx0-kx0=lna因此，lna＞0，即a的取值范围是（1，+ ）．【解析】（Ⅰ）a=1时，f（x）=xe kx-1，分别求出函数f（x），g（x）的导数，从而得出k的取值范围；（Ⅱ）设h（x）=f（x）-g（x）=axe kx-lnx-kx-1（x＞0），求出h（x）的导数，通过讨论a的取值范围解决问题．本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的取值，本题是一道综合题．21.平面直角坐标系x O y中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆上的点到点Q（1，0）的距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）P、A、B为椭圆上的点，△AOB的面积为，M为AB中点，判断|PQ|2+2|OM|2是否为定值，并求|OP|+|OQ|的最大值．【答案】解：（I）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆上的点到点Q（1，0）的距离的最大值为3，∴==，∴，∴3x2+4y2=3a2，设椭圆上任意一点P（x0，y0），则，记，当a≥4时，|PQ|max=f（-a）=3，解得a=-4（舍）或a=2（舍）；当0＜a＜4时，|PQ|max=f（-a）=3，解得a=-4（舍）或a=2．∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB垂直x轴时，由可得|x1y1|=，与联立可求得|x1|=，|y1|=，当A（，）时，M（，0），2|OM|2=4，而P为动点，Q为定点，则|PQ|2为变量，∴|PQ|2+2|OM|2不为定值．由椭圆的性质知，|OP|+|OQ|的最大值为a+c=2+1=3．【解析】（Ⅰ）由椭圆离心率可化简椭圆方程为3x2+4y2=3a2，设椭圆上任意一点P（x0，y0），由两点间距离公式可表示|PQ|为x0的函数，利用二次函数的性质可求得函数的最大值，令其为3可求a；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB垂直x轴时，求出M点坐标可判断|PQ|2+2|OM|2是否为定值，由椭圆性质可求|OP|+|OQ|的最大值；该题考查椭圆的方程性质、考查直线与椭圆的位置关系、三角形的面积等知识，考查学生分析解决问题的能力．22.如图，假设两圆O1和O2交于A、B，⊙O1的弦BC交⊙O2于E，⊙O2的弦BD交⊙O1于F，证明：（1）若∠DBA=∠CBA，则DF=CE；（2）若DF=CE，则∠DBA=∠CBA．【答案】证明：连接AC，AD，AE，AF，则∵ADEB是圆内接四边形，∴∠AEC=∠D，同理∠C=∠AFD，从而∠DAF=∠CAF（1）∵∠DBA=∠CBA，∴AD=AE，AF=AC，∴△ADF≌△AEC，∴DF=CE；（2）∵DF=CE，∴△ADF≌△AEC，∴AD=AE，∴∠DBA=∠CBA．【解析】连接AC，AD，AE，AF，利用圆内接四边形，证明∠DAF=∠CAF（1）证明△ADF≌△AEC，可得DF=CE；（2）证明△ADF≌△AEC，可得AD=AE，即可证明∠DBA=∠CBA．本题考查圆内接四边形的性质，考查三角形全等的证明，正确运用圆内接四边形的性质是关键．23.已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系x O y中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C的极坐标方程分别为ρ2=4ρsin（θ-）-6（Ⅰ）求直线l与圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设A（-1，2），P，Q为直线l与圆C的两个交点，求|PA|+|AQ|．【答案】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），消去t可得x-y+3=0；圆C的极坐标方程分别为ρ2=4ρsin（θ-）-6=4ρsinθ-4ρcosθ-6，∴x2+y2=4y-4x-6，即（x+2）2+（y-2）2=2；（II）易知A在直线l上，|PA|+|AQ|=|PQ|圆心C到直线l的距离，圆C半径，∴，解得…（10分）【解析】（Ⅰ）消去参数，可得直线l的普通方程；ρ2=4ρsin（θ-）-6=4ρsinθ-4ρcosθ-6，可得圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理，可求|PA|+|AQ|．本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．24.设函数f（x）=|x-a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4-|x-1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．【答案】解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥4-|x-1|即为|x-2|≥4-|x-1|，①当x≤1时，原不等式化为2-x≥4+（x-1），得，故；②当1＜x＜2时，原不等式化为2-x≥4-（x-1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x-2≥4-（x-1），得，故．综合①、②、③知，原不等式的解集为 ，∪，．（Ⅱ）证明：由f（x）≤1得|x-a|≤1，从而-1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴得a=1，∴+=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（），当且仅当即m=2n时，等号成立，此时，联立+=1，得时，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．【解析】对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．1．已知不等式的解集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再把结果与已知解集对比即可获得参数的值．2．本题中，“1”的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性．。
黑龙江省哈三中20xx届高三下学期第二次高考模拟数学（理）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第1I卷（非选择题）两部分，满分1 50分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证弓‘码填。
与清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，小得折替、小要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题EI要求的．）1．设集合A={1，2，3}，B={0，1，2，4}，定义集合，则集合S中元素的个数是A．5 B．6 C．8 D．92．设i为虚数单位，则复数31izi=-在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第_象限C．第三象限D．第四象限3．幂函数1()(2,),()278f x f x x--=的图象经过点则满足的的值是A．12B．13C．14D．154．如果执行右面的程序框图，那么输出的S为A．96 B．768C．1 536 D．7685．已知a ，b ，l ，表示三条不同的直线，,,αβγ表示三个不同的平面，有下列四个命题：A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④6．已知二项等差数列{}n a ，若存在常数t ，使得2n n a ta =对一切*n N ∈成立，则t 的集合是A ．{1}B ．{1，2}C ．{2}D ．{1,22}7．已知二项式(2nx-展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为 A ．1 B ．32 C ．64 D ．1288．一只蚂蚁从正方体ABCD —A 1B 2C 1D 1的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C 。
处，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）9．在△ABC中，内角A,B,C的对边长分别为a，b，c，且22tan2,3,tanAa c bC-==则b等于A．3 B．4 C．6 D．710．11．对实数a和b，定义运算“*”：a*b=,1,1a a bb a b-≤⎧⎨->⎩，设函数f（x）=（21x+）*（x+2），若函数y=f（x）一c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数C的取值范围是A．（2，4]（5，+∞）B．（1,2] （4,5]C．（一∞，1）（4,5] D．[1，2]第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．设x ，y 满足约束条件11,(2,)(1,1),//,2210x y x a y x m b a b x y ≥⎧⎪⎪≥=-=-⎨⎪+≤⎪⎩向量且则m 的最小值为 .14．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，则这一行的4张卡片所标数字之和等于10的概率为.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分） 已知（I ）求f （x ）的最大值及取到最大值时相应的x 的集合；-（II ）若函数()[0,]2y f x m π==-在区间上恰好有两个零点，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分） 如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ABE 为等腰三角形，AE=BE ，平面ABCD ⊥平面ABE ，动点F 在校CE 上，无论点F 运动到何处时，总有BF ⊥AE ． （I ）试判断平面ADE 与平面BCE 是否垂直，并证明你的结论； （II ）求二面角D —CE —A 的余弦值的大小。
2014年黑龙江省某校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 若全集为实数集R ，集合A ={x|log 12(2x −1)>0}，则∁R A =( )A (12，+∞) B (1, +∞) C [0,12]∪[1,+∞) D (−∞,12]∪[1,+∞)2. 下面是关于复数z =2−1+i 的四个命题：其中的真命题为（ ）p 1:|z|=2， p 2:z 2=2i ，p 3:z 的共轭复数为1+i ， p 4:z 的虚部为−1．A p 2，p 3B p 1，p 2C p 2，p 4D p 3，p 43. 设l ，m ，n 表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题： ①若l ⊥α，m ⊥α，则l // m ；②若m ⊂β，n 是l 在β内的射影，m ⊥l ，则m ⊥n ； ③若m ⊂α，m // n ，则n // α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α // β．其中真命题为( ) A ①② B ①②③ C ②③④ D ①③④4. 已知数列{a n }是等比数列，且a 2013+a 2015=∫ 20√4−x 2dx ，则a 2014(a 2012+2a 2014+a 2016)的值为（ ）A π2B 2πC πD 4π2 5. 下列命题：①若f(x)是定义在[−1, 1]上的偶函数，且在[−1, 0]上是增函数，θ∈(π4, π2)，则f(sinθ)>f(cosθ)；②若锐角α、β满足cosα>sinβ则α+β<π2；③在△ABC 中，“A >B”是“sinA >sinB”成立的充要条件；④要得到函数y =cos(x2−π4)的图象，只需将y =sin x2的图象向左平移π4个单位． 其中真命题的个数有（ ） A 1 B 2 C 3 D 46. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1内（含正方体表面）任取一点M ，则AA 1→⋅AM →≥1的概率p =( )A 34B 12C 14D 187. 点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2√2，若四面体ABCD 体积的最大值为43，则该球的表面积为（ ） A16π3B 8πC 9πD 12π8. 已知双曲线：x 24−y 23=1，左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2→|+|AF 2→|的最小值为（ ） A 192 B 11 C 12 D 169.已知a 为执行如图所示的程序框图输出的结果，又在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n +a ，则（ ）A a n =13⋅2n+1−13B a n =2n−2+12C a n =3⋅2n−1−2D a n =−2n +3 10. 在矩形ABCD 中，AB =1，AD =√3，P 为矩形内一点，且AP =√32，若AP →=λAB →+μAD →(λ, μ∈R)，則λ+√3μ的最大值为（ ） A 32 B3+√34C √62 D√6+3√2411. 将A ，B ，C ，D ，E 五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A ，B 必须放入相邻的抽屉内，文件C ，D 也必须放在相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有（ ） A 192 B 144 C 288 D 24012. 函数f(x)={−x 2−2x +3，x ≤0|2−lnx|,x >0，直线y =m 与函数f(x)的图象相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为a ，b ，c ，d ，下列说法错误的是（ ）A m ∈[3, 4)B abcd ∈[0, e 4)C a +b +c +d ∈[e 5+1e −2, e 6+1e 2−2) D 若关于x 的方程f(x)+x =m 恰有三个不同实根，则m 取值唯一二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置． 13. 二项式(1+sinx)n 的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为52，则x 在(0, 2π)内的值为________．14. 已知变量x ，y 满足{2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥0，则z =log 2(x 2+y 2−4x +2y +4)的最小值是________．15. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________16. 给出以下几个命题，其中正确的命题有________；（将所有正确命题的序号都填在横线上） ①由曲线y =x 2与直线y =2x 围成的封闭区域的面积为43；②把5本不同的书分给4个人，每人至少1本，则不同的分法种数为A 54⋅A 41=480种；③函数y =f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x +1)=−f(x)，则函数y =f(x)的图象关于直线x =1对称；④已知f(x)是定义在(−∞, +∞)上的偶函数，且在(−∞, 0]上是增函数，设a =f(ln 13)，b =f(log 43)，c =f(0.4−1.2)，则c <a <b ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知函数f(x)=sin(2x −π6)+2cos 2x −1；（1）求f(x)在[−π2, π]上的单调递增区间；（2）在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f(A)=12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →⋅AC →=9，求a 的值．18. 在学习完统计学知识后，两位同学对所在年级的1200名同学一次数学考试成绩作抽样调查，两位同学采用简单随机抽样方法抽取100名学生的成绩，并将所选的数学成绩制成如统计表，设本次考试的最低期望分数为90分，优等生最低分130分，并且考试成绩分数在[85, 90)的学生通过自身努力能达到最低期望分数． （1）求出各分数段的频率并作出频率分布直方图；（2）用所抽学生的成绩在各个分数段的频率表示概率，请估计该校学生数学成绩达到最低期望的学生分数和优等生人数；（3）设考试成绩在[85, 90)的学生成绩如下：80，81，83，84，86，89，从分数在[85, 90)的学生中抽取2人出来检查数学知识的掌握情况，记所抽取学生中通过自身努力达到最低期望分数的人数为ξ，求ξ的分布列和期望． 率19. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA =PB =PC =AC =4，AB =BC =2√2；（1）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；（3）若动点M 在底面△ABC 内（包含边界），二面角M −PA −C 的余弦值为3√1010，求BM 的最小值． 20. 设椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点与抛物线C:x 2=4√3y 的焦点重合，F 1F 2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e =12，直线l:y =kx +m(km <0)与椭圆C 交于M 、N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，AB // l ，且|AB|2|MN|=4．是否存在直线l ，使得OM →⋅ON →=−2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 21. 定义：若ℎ(x)x k在[k, +∞)上为增函数，则称ℎ(x)为“k 次比增函数”，其中k ∈N ∗，已知f(x)=e ax ．（1）若f(x)是“1次比增函数”，求实数a 的取值范围； （2）当a =12时，求函数g(x)=f(x)x在[m, m +1](m >0)上的最小值；（3）求证：∑i⋅(√e)i n <72e．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22. E 为圆内两弦AB 和CD 的交点，过点E 作AD 的平行线交BC 的延长线于点F ．（1）求证：△EFC ∽△BFE ；（2）若AE =12EB ，DE =6，CE =5，延长BA 至点P ，PA =AE 且PD 切圆于点D ，求PD的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√22，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过C 2与x 轴的交点；（1）求C 1的参数方程，并写出直线l 的一个参数方程；（2）若直线l 与C 1交于A ，B 两点，|AB|≤√14，求直线l 的倾斜角的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24. 已知函数f(x)=|x −a|−|x −5|，a >0． (I)若a =2，求f(x)≥0的解集．(II)若不等式f(x)≤2x 的解集为[5, +∞)，求a 的值．2014年黑龙江省某校高考数学二模试卷（理科）答案1. D2. C3. A4. A5. B6. A7. C8. B9. B 10. C11. D 12. D 13. π6或5π614. 2 15. 10316. ①③④17. 解：f(x)=sin(2x −π6)+2cos 2x −1=√32sin2x −12cos2x +cos2x =√32sin2x +12cos2x =sin(2x +π6)，（1）要求原函数的增区间，只需−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ．化简得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，又因为x ∈[−π2, π]，取k =0，1，得原函数单调增区间为[−π3，π6]和[2π3,π]．（2）由f(A)=sin(2A +π6)=12，(0<A <π) 解得2A +π6=π6或5π6，所以A =13π或0（舍去），所以A =π3，cosA =12，又b ，a ，c 成等差数列，所以b +c =2a ，由AB →⋅AC →=9得bccosA =9，即12bc =9，所以bc =18，所以a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c)2−3bc =4a 2−54，所以a 2=18，得a =3√2．18. 解：（1）利用各分数段的人数除以100，可得各分数段的频率． 率频率分布直方图，如图所示；（2）由（1）可知达到最低期望的频率为0.85，优等生的频率为0.18，∴ 最低期望的学生为1200×0.85=1020，优等生人数为1200×0.18=216； （3）ξ的所有可能取值为0，1，2，则P(ξ=0)=C20C42C62=25，P(ξ=1)=C21C41C62=815，P(ξ=2)=C22C4C62=115．∴ ξ的分布列为：E(ξ)=0×25+1×815+2×115=23．…19. （1）证明：作AC的中点D，连结PD，BD，∵ PA=PC，∴ PD⊥AC，∵ PA=PB=AC=4，∴ ∠PAC=60∘，PD=√3AD=2√3，∵ AB=BC=2√2，AC=4，∴ AC2=AB2+B2，∴ ∠ABC=90∘，∠ACB=45∘，∴ BD=CD=2，∴ PB2=PD2+DB2，∴ PD⊥BD，∵ BD⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，BD∩AC=D，∴ PD⊥平面ABC，∵ PD⊂平面APC，∴ 平面ABC⊥平面APC．（2）作BC的中点E，连结PE，AE，∵ PB=PC，AB=AC，∴ PE⊥BC，AE⊥BC，∵ PE⊂平面PDE，AE⊂平面PDE，PE∩AE=E，∴ BC⊥平面PDE，∵ BC⊂平面PBC，∴ 平面PBC⊥平面PED，作PC的中点F，又D为AC的中点，∴ AP // DF，∴ 直线PA与平面PBC所成角与直线DF与平面PBC所成角相等，有D向PE作垂线，交PE与G，∵ 平面PBC⊥平面PED，平面PBC∩平面PED=PE，∴ DG⊥平面PBC，连结DF，则∠DFG为直线DF与平面PBC所成角，PD=2√3，DE=12AB=√2，DF=12AP=2∴ PE=√PD2+DE2=√14，∴ 在Rt△PDE中，DG=PD⋅DEPE =√3×√2√14=√6√14，在Rt △DGF 中，sin∠DFG =DGDF =√6√1412=√217， 即直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为√217． （3）以O 为坐标原点，OB 、OC 、OP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系． 由已知得O(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，A(0, −2, 0)，C(0, 2, 0)，P(0, 0, 2√3)，有题意平面PAC 的法向量n 2→=OB →=(2, 0, 0)，设平面PAM 的法向量n 3→=(x, y, z)，M =(m, n, 0)，∵ AP →=(0, 2, 2√3)，AM →=(m, n +2, 0)，AP →⋅n 3→=0，AM →⋅n 3→=0，∴ {2y +2√3z =0mx +(n +2)y =0，取y =−1，可得n 3→=(n+2m, −1, √33)，∴ cos <n 2→，n 3→>=2(n−2)m2√(n+2m )2+1+13=2√23， ∴ n +2=√323n ，∴ BM 的最小值为垂直距离d =8√70−2√10535． 20. 解：（1）由抛物线C:x 2=4√3y 的焦点为(0,√3)， ∴ 椭圆的上顶点为(0,√3)， ∴ b =√3， e =c a=12，又a 2=b 2+c 2，解得a =2，c =1． ∴ 椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．（2）设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，由{x 24+y 23=1y =kx +m 得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0， ∴ x 1+x 2=−8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，∴ △=64k 2m 2−16(4k 2+3)(m 2−3)=16(12k 2−3m 2+9)>0， 则|MN|=√1+k 2⋅√△3+4k 2=4√1+k 2√12k 2−3m 2+93+4k 2，令m =0，可得|AB|=4√1+k 2√12k 2+93+4k 2，∴ |AB|2|MN|=12√1+k 2√12k 2−3m 2+9=4，化简得m =−k 或m =k （舍去），∴ OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1] =4k 2−123+4k 2+k 2(4k 2−123+4k 2−8k 23+4k 2+1)=−5k 2−123+4k 2=−2，解得k =±√2，故直线l 的方程为y =√2(x −1)或y =−√2(x −1)． 21. 解：（1）由题意知，f(x)=e ax 是“1次比增函数”， 则y =e ax x在[1, +∞]上为增函数，故(e ax x )′=e ax (ax−1)x 2≥0在[1, +∞]上恒成立，又由e ax >0，x 2>0，则ax −1≥0即a ≥1x 在[1, +∞]上恒成立，又由(1x)max =1，则a ≥1；（2）当a =12时，函数g(x)=f(x)x=ex 2x(x ≠0)，则g′(x)=e x2(x2−1)x 2当x2−1>0，即x >2时，g′(x)>0，当x2−1<0，即x <0或0<x <2时，g′(x)<0，则g(x)的增区间是(2, +∞)，减区间是(−∞, 0)，(0, 2)， 由于m >0，则m +1>1，①当m +1≤2，即0<m ≤1时，g(x)在[m, m +1](m >0)上单调递减， 则g(x)min =g(m +1)=em+12m+1；②当m <2<m +1，即1<m <2时，g(x)在[m, 2)上单调递减, 在(2, m +1]上单调递增， 则g(x)min =g(2)=e2；③当m ≥2时，g(x)在[m, m +1]上单调递增， 则g(x)min =g(m)=em 2m；综上，①当0<m ≤1时，g(x)min =g(m +1)=em+12m+1；②当1<m <2时，g(x)min =g(2)=e2；③当m ≥2时，g(x)min =g(m)=em 2m；（3）由（2）知，当x >0时，g(x)=ex 2x≥e2，∴xe x 2≤2e (x >0)，∴n⋅(√e)n =n 2⋅(√e)n ≤1n2⋅2e∴ ∑i⋅(√e)in =√e2⋅(√e)2+3⋅(√e)3⋯+n(√e)n≤2e (1+122+132+⋯+1n 2)<2e (1+122−1+⋯+1n 2−1) =2e [1+12(1−13)+12(12−14)+12(13−15)+...+12(1n −1−1n +1)] =2e [1+12(1+12−1n −1n +1)]<72e 22. 证明：（1）∵ EF // AD ， ∴ ∠ADC =∠FEC ，又∵ ∠ADC =∠ABC(∠EBF)， ∴ ∠EBF =∠FEC ， 又∵ ∠EFC =∠BFE ， ∴ EFC ∽△BFE ； 解：（2）∵ AE =12EB ，DE =6，CE =5， 由相交弦定理：AE ⋅BE =CE ⋅DE 可得： 2AE 2=30，∴ PA =AE =√15，PB =4AE =4√15， 又∵ PD 切圆于点D ， ∴ PD 2=PA ⋅PB =60，故PD =2√15 23. 解：（1）曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，可化为ρ2=4ρcosθ，即x 2+y 2=4x ， 即(x −2)2+y 2=4，∴ C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数）；C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√22，可化为x +y −1=0，令y =0，可得x =1，∴ 直线l 的一个参数方程为{x =1+tcosθy =tsinθ（θ为参数）；（2）设直线l:y =k(x −1)，即kx −y −k =0，则 ∵ 直线l 与C 1交于A ，B 两点，|AB|≤√14， ∴ 圆心到直线的距离≥√22−(√142)2=√22， ∴√k 2+1≥√22， ∴ k 2≥1，∴ k ≤−1或k ≥1，又k 不存在时也满足题意，∴ 直线l 的倾斜角的取值范围为[π4, 3π4]．24. 解：(I)a=2时，f(x)=|x−2|−|x−5|，f(x)≥0，即|x−2|≥|x−5|，x≥72，所以f(x)≥0的解集[72, +∞)．(II)f(x)≤2x即|x−a|−|x−5|≤2x①(1)a=5时，解①得x≥0，不合题意．(2)a>5时，f(x)={5−a,x≥aa+5−2x,5<x<a a−5,x≤5函数图象如图，∵ f(x)≤2x的解集为[5, +∞)，∴ 直线y=2x过(5, a−5)，∴ a−5=10，a=15．(3)0<a<5时，f(x)={5−a,x≥52x−a−5,a<x<5a−5,x≤a函数图象如下图，不合题意．综上，a=15．。
二模理科数学参考答案一、选择题：13．22333(1)124n n n +++⋅⋅⋅+= 14．315．23 16．①②④17．（Ⅰ）解：当1=n 时，111151,4=+∴=-a S a ………2分 又1151,51++=+=+n n n n a S a S 115,n n n a a a ++∴-= ………4分114n n a a +=-即∴数列{}n a 是首项为114=-a ，公比为14=-q 的等比数列，∴1()4=-n n a ………6分（Ⅱ）n b nn -=-=)41(log 4， ………8分所以211111(2)22n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭………10分 1111111111(1)()()1232422212n T n n n n ⎡⎤⎡⎤=-+-++-=+--⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦………12分 18．（Ⅰ）解：第三组的频率是0.150×2=0.3；第四组的频率是0.100×2=0.2；第五组的频率是0.050×2=0.1 ………3分 （Ⅱ）①由题意可知，在分层抽样的过程中第三组应抽到6×0.5=3个，而第三组共有100×0.3=30个，所以甲乙两产品同时被选中的概率为1283301145C P C == ………7分②第四组共有X 个产品被购买，所以X 的取值为0,1,21233266(0)15C C P X C +===；111322268(1)15C C C P X C +===；22261(2)15C P X C ===； 所以X 的分布列为01228151515XP………10分 yxz812215153EX =+⨯= ………12分 19．（Ⅰ）证明: 连结MO1111////A M MA MO AC AO OC MO BMD AC BMD AC BMD =⎫⎫⇒⎬⎪=⎭⎪⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎪⎪⎭平面平面平面 ………3分（Ⅱ）11BD AA BD AC BD A AC ⊥⊥⊥,得面于是1BD A O ⊥AC BD O ⋂=1111116022cos 60ABCD BAD AO AC AB AA AO AC AO ABCD A AC AO BD ⎫⎫⎫⎪⎪∠=⇒==⎬⎪⎪⎪⎪=⎭⎪⎪⎪⎪=⇒⊥⎬⎪⇒⊥⎬⎪∠=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⊥⎪⎭平面 ………7分(Ⅲ)如图建立直角坐标系，1(0,0,3)((0,1,0)(0,1,0)A A C B D -111((AC AC C ==-⇒-33()()2222M MB =--1(0,2,0)(1,3)DB BC ==--设平面1BC D 的法向量为(,,)n x y z =11200(3,0,2)300y n DB n DB n y z n BC n BC ⎧⎧=⎧⊥⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⇒=⎨⎨⎨-+=⊥⋅=⎪⎪⎪⎩⎩⎩ ………9分 cos ,BM n <>=………11分所以，直线BM 与平面1BC D ………12分（Ⅰ）设(,)P x y2(1)18y x y =++⇒= ………4分（Ⅱ）设直线BC ：y kx b =+，1122(,),(,)B x y C x y将直线BC 代入到28x y =中得2880x kx b --=，所以12128,8x x k x x b +==-………5分 又因为1122(4,2),(4,2)AB x y AC x y =--=-- 所以12121212221212(4)(4)(2)(2)(4)(4)(2)(2)(1)[(2)4]()(2)160AB AC x x y y x x kx b kx b k x x k b x x b ⋅=--+--=--++-+-=++--++-+=2222228(1)8[(2)4](2)160121632200(6)16(1)0b k k k b b b b k k b k ⇔-++--+-+=⇔---+=⇔--+=………8分410b k ⇒=+或42b k ⇒=-+ ………10分所以恒过定点(4,10)- ………12分 21． （Ⅰ）()()()()22'2222122()11a x x ax b ax bx af x xx+-++-==-++令'2()020f x ax bx a =⇒+-=224()0b a ∆=+> ………2分'()0f x ∴=有两实根不妨记为,αβ所以，()f x 有两个极值点 ，一个极大值点一个极小值点 ………4分（Ⅱ）220ax bx a +-=，由韦达定理得2b aαβ+=-()()()()()2222110200110f a b a b f a b ααααβαβαβαββββ=-⎫⎧+++=⎪⇒⇒-+++=⇒+-=⎬⎨=--+=⎪⎩⎭………6分00,1,1b αβαβ∴+=⇒==-=，所以2a = ………7分因为22()01xxe g x e =>+，所以0m ≥ ………8分 又因为当0x =时，不等式恒成立所以，原问题22x x e e m x -+-⇔≤对一切()(),00,x ∈-∞+∞恒成立法一、设22()x x e e u x x -+-=（()(),00,x ∈-∞+∞）()()()()2'432222()xx x x xx x x e e x x e e e e x e e u x xx------+---+-==设()()()22x xx x h x e ex e e --=--+-，()()'()x x x x h x e e x e e --=+--，()''()x x h x e e x -=- 当0x >时，x xe e->，所以''()0h x >，当0x <时，xxe e-<，所以''()0h x >，所以'()h x 在R 上单调递增，又因为'(0)0h = 所以当0x >时， '()0h x <，当0x <时， '()0h x >所以()h x 在(),0-∞上递减，()0,+∞递增，所以()(0)0h x h >= ………10分 所以当0x >时， '()0u x <，当0x <时， '()0u x >所以()u x 在(),0-∞上递减，()0,+∞递增，所以0()lim ()1x h x h x →>=所以01m ≤≤ ………12分法二不妨设0x >()2()2x x h x e e mx -=+--()'()2x x h x e e mx -=--，()''()2x x h x e e m -=+-当1m ≤时，()22x xe em -+≥≥，''()0h x ≥，所以'()h x 在()0,+∞上单调递增，''()(0)0h x h >=所以 ()h x 在()0,+∞上单调递增， ()(0)0h x h >=，所以当1m ≤时成立………10分当1m >时''()0h x =得0ln(ln(x m x m =+=令当()x 0∈0，x 时''()0h x ≤所以'()h x 在()00，x 上单调递减，''()(0)0h x h <=所以()h x 在()00，x 上单调递减，()(0)0h x h <=，与条件矛盾，同理0x <时亦如此综上01m ≤≤ 12分（Ⅰ）2//AB CD PAB AQCAQC ACB ACBCQAPA O PAB ACB AQ O QAC CBA AC ABAC AB CQ CQ AC⇒∠=∠⎫⎫⇒∠=∠⎬⎪⇒⇒∠=∠⎬⎭⎪⇒∠=∠⎭⇒=⇒=⋅为切线为切线………5分（Ⅱ）//113622,AB CD BP AP AB AP PC PQ QC QC PC AQ BP AB ⎫⎫⎪⎪⇒===⎬⎪=⇒==⎬⎪⎭⎪⎪==⎭ AP 为O切线212AP PB PC QA ⇒=⋅=⇒=又因为AQ 为O切线2AQ QC QD QD ⇒=⋅⇒= ………10分 23．（Ⅰ）221:22C x y +=，4l x += ………5分（Ⅱ）设),sin Qθθ，则点Q 到直线l 的距离d ==≥ ………8分当且仅当242k ππθπ+=+，即24k πθπ=+（k Z ∈）时取等 ………10分24．解：（Ⅰ）由柯西不等式得，2222222()(111)()3a b c a b c ++≤++++=∴a b c ≤++所以a b c ++的取值范围是[ ………5分（Ⅱ）同理，2222222()[111]()3a b c a b c -+≤+-+++=（） ………7分 若不等式2|1|1()x x a b c -++≥-+对一切实数,,a b c 恒成立， 则311≥++-x x ，解集为33(,][,)22-∞-⋃+∞………10分。
