著名机构初中数学培优讲义解直角三角形.第04讲.学生版

1 / 17解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容，通过本节的学习，需要掌握直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形，以及解直角三角形的相关应用．重点在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题；难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题．1、 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在t R ABC ∆中，如果=90C ∠︒，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系：222a b c +=（2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系： sin cos a A B c ==，cos sin bA B c ==tan cot a A B b ==，cot tan b A B a== 解直角三角形内容分析知识结构模块一：解直角三角形知识精讲2 / 17A BO xy ABCDE【例1】 ABC ∆中，90C ∠=︒，已知AB = 6.4，40B ∠=︒，则A ∠=______，AC =______，BC =______．（sin400.64︒≈，sin500.77︒≈，边长精确到0.1）【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】 若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3 : 1，则菱形的高是______． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例3】 如图，OAB ∆中，OA = OB ，125AOB ∠=︒．已知点A 的坐标是（4，0），则点B的坐标是____________．（用锐角三角比表示）【难度】★★ 【答案】 【解析】【例4】 如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB = AC ，D 为边AC 的中点，DE BC ⊥于点E ，连接BD ，则tan DBC ∠的值为（ ）A ．13B ．21-C ．23-D ．14【难度】★★ 【答案】 【解析】例题解析3/ 17AAB CDEOAB CDAB CAB C 【例5】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AD的中点，若AC = 10，DC=5BO=______，EBD∠的度数约为____°____＇（参考数据：1tan2634'2︒≈）．【难度】★★【答案】【解析】【例6】在锐角ABC∆中，AB = 14，BC = 14，84ABCS∆=，求cot C的值．【难度】★★【答案】【解析】【例7】如图，ABC∆中，23AB=AC = 2，边BC上的高3AD求ABCS∆和BAC∠的大小．【难度】★★【答案】【解析】【例8】如图，在锐角ABC∆，4sin5B=，tan2C=，且40ABCS∆=，求BC的长．【难度】★★【答案】【解析】【例9】如图，ABC∆中，30B∠=︒，45C∠=︒，22AB AC-=BC的长．【难度】★★【答案】【解析】【例10】如图，先将斜边AB长6 cm，30A∠=︒的直角三角板ABC绕点C顺时针方向旋转90°至''A B C∆位置，再沿CB向左平移，使点B落在原三角板ABC位置的斜4/ 17CDFABC DAB CDAB CDENM边AB上，则平移的距离为______．【难度】★★【答案】【解析】【例11】如图，正方形ABCD中，E为边BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN，若1tan3AEN∠=，DC + CE =10．（1）求ANE∆的面积；（2）求sin ENB∠的值．【难度】★★【答案】【解析】【例12】如图，四边形ABCD中，90A C∠=∠=︒，120B∠=︒，AB = 4，BC = 2，求四边形的面积．【难度】★★★【答案】【解析】【例13】如图，在四边形ABCD中，已知AD = AB = BC，连接AC，且30ACD∠=︒，23tan BAC∠=CD = 3，求AC的长．【难度】★★★【答案】【解析】【例14】小智在学习特殊角的三角比时发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过B点的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，折痕BM．还原后，再沿过点E的直线5 / 17xyO折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，折痕EN ．利用这种方法，可以求出tan67.5︒的21，试证明之．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例15】在平面直角坐标系内，放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示）．点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C 在x 轴上．已知正方形1111A B C D 的边长为1，1160B C O ∠=︒，11B C //22B C //33B C ，则点3A 到x 轴的距离是（ ）A 33+ B 31+ C 33+ D 31+【难度】★★★ 【答案】 【解析】6 / 17仰角 视线水平线视线俯角铅垂线北北偏东30°南偏西45° 北偏西70°南偏东50°30° 70° 45° 50°hl1、 仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．2、 方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．3、 坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=． 坡度通常写成1 : m 的形式，如1:1.5i =． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．坡度i 与坡角α之间的关系：tan hi lα==．模块二：解直角三角形的应用知识精讲7 / 17ABOC ABDABP 北ABC【例16】如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角ABO ∠为α，则树OA 的高度为（ ）A ．30tan αB ．30sin αC ．30tan αD ．30cos α【难度】★ 【答案】 【解析】【例17】如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处．如果海轮沿着正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离AB 的长是（ ）海里A ．2B ．2sin 55°C ．2cos 55°D ．2tan 55°【难度】★ 【答案】 【解析】【例18】如图所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18厘米，深为30厘米，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i = 1 : 5，那么AC 的长度是______厘米．【难度】★ 【答案】 【解析】【例19】如图，斜面AC 的坡度为1 : 2，AC =35米，坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B点与A 点有一条彩带相连，若AB = 10米，则旗杆BC 的高度为（ ）米A ．5B ．6C ．8D ．3+5【难度】★★ 【答案】 【解析】【例20】如图，要在宽为22米的大道AB 两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且例题解析8 / 17ABCDOABCDAC PQ与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直．当灯罩的轴线DO 通过公路路面中心线时照明效果最佳．此时，路灯的灯柱BC 的高度应该设计为（ ）米A ．1122-B ．1123-C ．11322D ．1134【难度】★★ 【答案】 【解析】【例21】如图，为测得一栋大厦CD 的高度，一人先在附近一楼房的底端A 点观测大厦顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 处观测大厦底部D 处的俯角是30°，已知楼房高AB 约是45 m ，根据以上观测数据可求大厦的高CD 是______m ．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例22】如图，小智在大楼30米高（即PH = 30米）的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°．已知山坡的坡度为3，点P 、H 、B 、C 、A 在同一平面上，点H 、B 、C 在同一直线上，且PH HC ⊥．则山坡上A 、B 两点间的距离为______．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例23】某单位拟建造地下停车库，设计师提供了车库入口设计示意图（如图），按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，9 / 17AB CDABA ＇B ＇O ＇O为标明限高，请你计算图中CE 的长．（参考数据：sin180.309︒≈，cos180.951︒≈，tan180.325︒≈，cot18 3.078︒≈，结果精确到0.1 m ）【难度】★★ 【答案】 【解析】【例24】小方在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点O 距离地面高'2OO =米．当吊臂顶端由点A 抬升至点'A （吊臂长度不变）时，地面B 处的重物（高度不计）被吊至'B 处，紧绷着的吊缆''A B AB =．AB 垂直地面'O B 于点B ，直线''A B 垂直地面'O B 于点C ，吊臂长度'10OA OA ==米，且3cos 5A =，1sin '2A =．（1）求重物在水平方向移动的距离BC ；（2）求重物在竖直方向提升的高度'B C ．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例25】如图，是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB DB ⊥，坡面AC的坡角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC 的坡度为3:3i =．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A 点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）【难度】★★ 【答案】 【解析】【例26】数学兴趣小组准备利用所学的知识测量公路旁某广告牌的高度．如图所示，先在水平面上点A 处测得对广告牌上沿点C 的仰角为30°，然后沿AH 方向前进10米至点B 处，测得对广告牌下沿点D 的仰角为60°．已知矩形广告牌垂直于地面的AB C D E9 m0.5 m10 / 17ABC DP NMQH A BCD O 北东一边CD 高2米．求广告牌的高度GH （结果保留根号）．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例27】如图，轮船甲位于码头O 的正西方向A 处，轮船乙位于码头O 的正北方向C处，测得45CAO ∠=︒．轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km /h 和36 km /h ．经过0.1 h ，轮船甲行驶至B 处，轮船乙行驶至D 处，测得58DBO ∠=︒．此时B 处距离码头O 有多远？（参考数据：sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈）【难度】★★ 【答案】 【解析】【例28】如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且30BDN ∠=︒，假设汽车在高架道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A 作MN 的垂线，垂足为H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶， 当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这 一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（结果精确到1米，参考数据：3 1.7≈）【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例29】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象部门观测，某沿海城市A 正南方向相距220 km 的B 处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心20 km ，风力就会减弱一ABCD G H广告牌ABC D EFN MP JHABC级．现台风中心正以15 km /h 的速度沿北偏东30°方向移动，如图所示．若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．（1）设台风中心风力不变，该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由． （2）如该城市受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响时的最大风力为几级？【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例30】某水库大坝的横截面积是如图所示的四边形ABCD ，其中AB // CD ．瞭望台PC 正前方水面上有两艘渔船M 、N ，观察员在瞭望台顶端P 处观测渔船M 的俯角31α=︒，观测渔船N 的俯角45β=︒．已知MN 所在直线与PC 所在直线垂直，垂足为E ，PE 长为30米．（1）求两渔船M 、N 之间的距离（结果精确到1米）（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD 的坡度i = 1 : 0.25．为了提高大坝的防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽3米，背水坡FH 的坡度为i = 1 : 1.5．施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务．施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan310.60︒≈，sin310.52︒≈）【难度】★★★ 【答案】 【解析】A BCDABCDABC DE FG AB CD【习题1】 如图，菱形ABCD 的边长为15，3sin 5BAC ∠=，则对角线AC 的长为______． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 有一个相框的侧面抽象为如图所示的几何图形，已知BC = BD = 15 cm ，40CBD ∠=︒，则点B 到CD 的距离为______cm ．（参考数据：sin200.342︒≈，cos200.940︒≈，sin400.642︒≈，cos400.766︒≈，结果精确到0.1 cm ）【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 如图，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1米的测角仪CD 测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB 为（ ）A ．503米B ．51米C ．()503+1米D ．101米【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题4】 如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，3sin 5B =．D 是BC 上一点，已知45ADC ∠=︒，DC = 6，求tan BAD ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】随堂检测ABCDABCDEFABC30°45° 【习题5】 如图，ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，AB = 2AD ，已知45BAD ∠=︒，AC与DE 相交于点F ，ABC ∆3【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题6】 如图，在四边形ABCD 中，45A C ∠=∠=︒，105ADB ABC ∠=∠=︒．（1）若AD = 2，求AB ；（2）若232AB CD +=，求AB ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题7】 2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度为20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方C 处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A 、B ，点A 、B 相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图），试确定生命所在的点C 2 1.414，3 1.732≈）【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题8】 利用几何图形，求sin 18°的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题9】 如图，港口B 位于港口O 正西方向120 km 处，小岛C 位于港口O 北偏西60°方向上．一艘游船从港口O 出发，沿OA 方向（北偏西30°）以v km /h 的速度驶离ABCO北北东ABCA 1B 1C 1港口O ，同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°的方向以60 km /h 的速度驶向小岛C ，在小岛C 用1 h 加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去． （1）快艇从港口B 到小岛C 需要多长时间？（2）若快艇从小岛C 到与游船相遇恰好用时1 h ，求v 的值及相遇处与港口O 的距离． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题10】 如图所示，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 顺时针滚动．（1）当ABC ∆滚动一周到111A B C ∆的位置时，A 点所运动的路程约为______；（精确到0.1）（2）设ABC ∆滚动240°，C 点的位置为'C ，当ABC ∆滚动480°时，A 点的位置再'A ，请你利用正切的两角和公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-，求出''CAC CAA ∠+∠的度数．【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCD EFABC北东ABCDEFABCD【作业1】 如图，将正方形ABCD 的边BC 延长到点E ，使得CE = AC ，AE 与CD 相交于点F ，求E ∠的余切值．【难度】★ 【答案】 【解析】【作业2】 如图，在矩形ABCD 中，AB = 8，BC = 12，E 是BC 的中点，连接AE ，将ABE∆沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin EFC ∠的值为______．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业3】 如图，AD 是ABC ∆的中线，1tan 3B =，2cosC =，2AC =．求：（1）BC 的长；（2）sin ADC ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业4】 如图，轮船从B 处以每小时60海里的速度沿南偏东20°的方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东50°方向上．轮船航行40分钟到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是（ ）A ．20海里B ．40海里C ．2033海里D ．4033海里【难度】★★ 【答案】 【解析】课后作业ABCDABCDDABC ABNM 【作业5】 如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，56AB =，D 是BC 上一点，AD = 5，CD = 3，求ADC ∠的度数及AC 的长．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】 如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，C BAD DAC ∠+∠=∠，4tan 7BAD ∠=，65AD =，CD = 13，求线段AC 的长．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业7】 如图，一栋楼房AB 背后有一台阶CD ，台阶每层高0.2米，且AC = 17.2米．设太阳光线与水平地面的夹角为α，当60α=︒时，测得楼房在地面上的影长AE = 10米．现有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳．3 1.73） （1）楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当45α=︒时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】 如图，CD 是ABC ∆的中线，已知90ACD ∠=︒，3cos 5A =，求tan BCD ∠的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业9】 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = 4，BC = 6，DAC B AEF ∠=∠=∠，ABCDEF点E 、F 分别在BC 、AC 上（点E 与B 、C 不重合），设BE = x ，AF = y ． （1）求cos B ；（2）求证：ABE ∆∽ECF ∆； （3）求y 关于x 的代数式；（4）当点E 在BC 上移动时，AEF ∆是否有可能是直角三角形？若有可能，请求出BE 的长；若不能，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业10】 如图（a ）所示，已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ． （1）连接GD ，求证：ADG ∆≌ABE ∆；（2）连接FC ，观察并猜测FCN ∠的度数，并说明理由；（3）如图（b ）所示，将图（a ）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB = a ，BC = b （a 、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，FCN ∠的大小是否总保持不变，若FCN ∠的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan FCN ∠的值；若FCN ∠的大小改变，请举例说明．【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCD E FNM GA BCDEFNM G图（a ）图（b ）。

知识精要1.解直角三角形一般解直角三角形，都会知道一些特殊角、特殊边然后在利用锐角三角比或勾股定理进一步就可以解出这个直角三角形中的六个元素。

注意：解直角三角形必须知道这个直角三角形是确定的，即：ASA，SAS，AAS，SSS，HL。

2.解斜三角形当一个斜三角形的形状大小能确定，即知道了(S,S,S)或(S,A,S)或(S,A,A)或(A,S,A)，则这个三角形的未知元素都是可求得，但要构造合适的直角三角形。

在斜三角形中，根据某个角的正切、余切、余弦的值，可以确定这个角的度数，而知道正弦值，则这个角是不唯一的，除非知道它是锐角。

因此在斜三角形中，如果要用三角比的值去确定角度，一般应算正切、余切或余弦的值。

3.仰角与俯角≤︒)（1）仰角、俯角都是水平线与视线所夹的角(90（2）仰角的特征：视线在水平线上方俯角的特征：视线在水平线下方（3）要定出仰角或俯角，首先要在观察处画出水平线。

际问题抽象为数学问题，画出合适的示意图。

4.测距问题（1）如右图(1)，若∠C=90°，设BD=m, ∠B=α, ∠ADC=β, 则cot cot mAC αβ=-。

请思考此结论的推导过程。

（2）如右图(2)，若AC ⊥BD,设BD=m, ∠B=α, ∠ADC=β,则AC 如何用m 、α、β的代数式来表示？5. 坡度(坡比)与坡角（1）坡度：H i L =H为铅垂高度；L 为水平宽度；坡角α为坡面与水平面的夹角.坡度与坡角的关系是：tan i α=.(坡度常表示为1:x 的形式)精解命题例1、如果三条线段的长a,b,c 满足b a =c b =512-，那么（a,b,c ）称为“黄金线段组”，则黄金线组中的三条线段（ ）（A ）可构成锐角三角形 （B ）可构成直角三角形 （C ）可构成钝角三角形 （D ）不能构成三角形例2、如图，天空中有一个静止的广告气球C ，从地面A 点测得C•点的仰角为45°，从地面B 测得仰角为60°，已知AB=20米，点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，•求气球离地面的高度．例3、如图，在一座山顶B 处，用高为1米的测倾器AB 量地面C 、D 两点测得的俯角分别为60°和45°，若已知CD 长是20米，求山高BE ．例4、如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时152•千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是多少？例5、如图，正方形ABCD和EFCG，点E、F、G分别在线段AC、BC、CD上，正方形ABCD的边长为6.(1)如果正方形EFCG的边长为4，求证：△ABE∽△CAG；(2)正方形EFCG的边长为多少时，tan∠ABE=3tan∠CAG.例6、如图，在△ABC中，AB=6，BC=4，点D在边BC的延长线上，∠ADC=∠BAC，点E在边BA的延长线上，∠E=∠DAC．(1)找出图中的相似三角形，并证明；(2)设AC=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；(3)△AED能否与△ABC相似？如能，求出cosB的值；如不能，请说明理由．例7、正方形ABCD边长为2，E是射线CD上的动点(不与点D重合)，直线AE交直线BC于点G，∠BAE的平分线交射线BC于点O.(1)如图，当CE=23时，求线段BG的长；(2)当点O在线段BC上时，设EDCE=x，BO=y，求AB CEDAGFAEBDCy关于x的函数解析式；(3)当CE=2ED时，求线段BO的长.典籍欣賞注：①1里=300步=1800尺；1丈=10尺；1尺=10寸；太半寸=寸。

第4讲工程与行程专题一、工程问题中的基本量与基本公式1．工程问题的三个基本量（1）工作时间（2）工作总量（3）工作效率2．基本公式：工作时间×工作效率=工作总量二、工程问题的常见类型1．基本效率计算关键在于计算效率2．中途离开或加入型算清楚每个人工作的时间或合作时间3．来回帮忙型先明确每件工作的工作量和每个人的工作效率，再利用所有人都在同时干活，总工作量除以总工作效率等于总时间，然后可以根据总时间算出每个人具体的工作安排4．具有周期性的工程问题（1）轮流工作型：先处理合作部分，再处理剩余工作量（2）间隔休息型：先考虑一个周期各自的工作量，再分段处理5．水管问题和牛吃草问题（1）水管问题：注意是否有“帮倒忙”的水管（2）牛吃草问题：设效率，比较总量三、行程问题的基本公式速度×时间=路程1．相遇问题：速度和×相遇时间=路程和2．追及问题：速度差×追及时间=路程差四、钟表问题1．钟表问题求解钟面上分针和时针的相遇与追及2．钟表问题中的路程通常用“度”或“格”表示3．不论采用哪种单位来度量，分针的速度都是时针速度的12倍4．常见题型（1）追及型：分针、时针同向走到某特殊位置，如“成直角”“重合”等（2）相遇型：“时针和分针恰好调换位置”等，例如上某节课，课前看了一下表，下课时又看表，发现恰好和上课前比时针、分针对调了位置，而这节课大约2小时，那么时针和分针路程和就是2圈，视为钟面上的相遇问题（3）快慢钟：先算出钟的速度比，然后注意条件中给的时间过程是哪个钟的五、火车问题1．火车过桥路程=车长+桥长2．火车过人（1）人站立不动，过人的速度为火车本身的速度，路程为火车的车长（2）人迎向火车，过人的速度为火车与人的速度之和，路程为火车的车长（3）人背向火车，过人的速度为火车与人的速度之差，路程为火车的车长3．火车错车问题（1）快车追上并超过慢车，路程差等于两车的车长之和（2）两车相遇并错车，路程和等于两车的车长之和六、流水行船问题1．基本公式（1）顺水速度＝船速＋水速；（2）逆水速度＝船速—水速；（3）船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2；（4）水速＝（顺水速度—逆水速度）÷2．※注意：在流水行船的问题中，一般船会有三种速度——静水速度、顺水速度、逆水速度，在解题时，要特别注意船的航行方向，不要算错速度．2．重要结论：（1）在一个相遇过程中，甲、乙两船的速度和就是两船的静水速度和；（2）在一个追及过程中，甲、乙两船的速度差就是两船的静水速度差；（3）如果在行船过程中掉落一个无动力的漂浮物，且船静水速度不变，那么从丢失到发现的时间等于从发现到追回的时间，即“离开多久，追回多久”七、环形路线问题1．环形路线中的相遇与追及环形路线中的相遇与追及和直线上的相遇与追及类似．相向而行2．环形路线中的周期性从同一点出发，第N次相遇时，两人所走的路程和是N个周长；从同一点出发，第N次追上时，两人所走的路程差是N个周长．3．较复杂的环形路线问题由于在环形路线上可以回到起点，与直线上的行程问题相比，环形路线上的行程问题会更加复杂．做题的时候要注意．八、行程综合问题多次往返、变速问题、扶梯问题、间隔发车等一、工程问题例1.（2012年，西城区）一件工程，甲5小时完成了工作的15，乙6小时完成了剩下的12，余下的工作由甲、乙合作完成，还需要_____小时．例2.（2011年，海淀区）甲、乙两位老师一起批改试卷，甲单独批改需要20小时，乙单独批改需要15小时．现在两个人一起批改，由于批改时会相互影响，每小时共少批改30张试卷，结果用9小时批改完．那么这批试卷共_______张．例3.（2012年，西城区）一件工作，小明单独做要20天，小强单独做需要30天，小强工作几天后，小明才加入来一起做．这件工作最后一共用了15天完成，那么小明与小强合作了______天例4.（2011年，海淀区）有A、B两项工程，A工程的工作量是B工程的2倍，甲单独完成A工程需要20天，乙单独完成B工程需要24天，丙单独完成B工程需要40天．现在甲、乙、丙三个人同时开始工作，甲一直做A工程，乙一直做B工程，丙先帮甲做了一段时间，后来又帮乙做，最后两个工程同时完成，则丙帮乙做_______天．例5.（2012年，海淀区）一项工程，甲单独做需6小时，乙单独做需10小时，若甲先做1小时，然后乙解题甲做1小时，再由甲解题乙做1小时……两个人如此交替工作，那么完成任务共用时______小时．例6.（2011年，西城区）有甲、乙两个工程队，甲工程队每工作6天休息1天，乙工程队每工作5天休息2天．一项工程，甲队单独做需经104天完成，乙队单独做需经82天，如果两队合作，需要____天可以完成整个工程．例7.（2012年，海淀区）一个水池装有两个相同的进水管和一个排水管．如果只开一个排水管，则6小时可以将一个池子排空；如果开一个进水管和一个排水管，3小时可以将空池灌满．现在将两个进水管和一个排水管同时打开，那么_______小时能将空池灌满．例8.（2009年，海淀）牧场上的草每天都匀速生长．这片草可供27头牛吃6周，或23头牛吃9周．那么，这片草可供21头牛吃_______周．例9.李大爷在草地上放养一群牛，草地每天均匀生长，若他再买3头牛，则会提前两天将草吃完；若他卖出3头牛，则会推迟4天才吃完草，那么这片草放养原先那群牛，会用多少天将草吃完？二、行程问题例10.（2011年，海淀）在双轨的铁道上，速度为54千米/小时的货车，10时到达铁桥，10时1分24秒完全通过铁桥．后来一列速度为72千米/小时的列车，10时12分到达铁桥，10时12分53秒完全通过铁桥，10时48分56秒完全超过在前面行驶的货车．那么货车长_______米，列车长______米，铁桥长_______米．例11.（2012年，西城）A、B两地相距100千米，A在上游，水流速度为5千米/小时，甲、乙两船同时从A、B两地出发相向而行，在A、B两地之间不断往返．甲船的静水速度是15千米/小时，乙船的静水速度也是15千米/小时，那么________小时后两船第二次相遇，相遇地点距离B地________千米．例12.（2010年，海淀）如图，两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每秒行驶4米．甲、乙两车同时从相距90米的A、B两地背向而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B地，甲车过B地后恰好又回到A地．此时甲车立即返回（乙车过B地继续行驶），再过_________分钟与乙车相遇．例13.如右图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形．甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发．如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？例14.如下图所示，大圈是400米跑道，由A到B沿大圈走跑道长是200米，直线距离是50米．父子俩同时从A点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到B点便沿直线回到A．父亲每100米用时20秒，儿子每100米用时19秒．如果按这样的速度一直跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲相遇？B例15.（2012年，海淀区）甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进，到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地之间的距离是_______千米．例16.（2005年，海淀区）A、B两个港口，A在上游，B在下游，水速4千米/小时．甲、乙两船同时分别从由A、B出发，各自不停地在A、B间往返，甲的静水速度是28千米/小时，乙的静水速度是12千米/小时．已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船（不算开始时在A的那次）的地点相距40千米，那么A、B两个港口间距离是_______千米．例17.（2012年，海淀区）自动扶梯以均匀的速度向上行驶，一个男孩和一个女孩同时从自动扶梯向上走，男孩的速度是女孩的速度的2倍，已知男孩走了27级到达扶梯顶端，而女孩走了18级达到顶端，问：扶梯露在外面的部分有_______级．例18.（2012年，海淀区）小明放学回家，他沿11路公交的路线不行，他发现每隔6分钟，有一辆11路公交迎面开来，每隔12分钟，有一辆11路公交从背后开来．已知每辆公交都按相同的速度行驶，从终点站与起点站的发车间隔时间也相同，那么11路公交每______分钟发车一辆．例19.（2012年，海淀区）4辆越野车组成的车队被困在沙漠中的一个绿洲，他们打算穿越沙漠，到达救援点．每辆越野车现在都装满了油，最多能行100千米，且他们没有多余的油了．由于沙漠太大，他们无法到达救援点，所以他们希望能让其中的一辆车到达救援点去求援，然后其他3辆车都返回绿洲等待救援，那么求援点距离绿洲最远是_______千米．作业1. （2010年，海淀）一件工作，甲单独做需要18天，乙单独做需要30天．现在甲做若干天后由乙接着做，共用24天，那么甲工作了_______天．作业2. （2010年，西城）甲、乙、丙三个人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每个人一天轮流去做，恰好整数天做完，并且结束工作的是乙；若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用12天；若按丙、甲、乙的顺序去做，则比原计划多用13天．已知甲单独完成这件工作需要13天，那么甲、乙、丙三个人一起做这件工作，需要______天才能完成．作业3. （2010年，西城）如图，有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高的三等分点处有两个排水孔A和B ，它们排水时的速度相同且保持不变．现在以一定的速度从上面往水箱注水．如果打开A 孔、关闭B 孔，则经过20分钟可将水箱注满；如果关闭A 孔，打开B 孔，则经过22分钟可将水箱注满．如果两个孔都打开，那么注满水箱的时间是_______分钟．作业4. 一片草地，草每天生长量相同，17头牛30天可以将草吃完，19头牛24天可将草吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖掉4头牛，余下的牛再吃2天将草吃完．原来有________头牛．作业5.A城在一条河的上游，B城在这条河的下游．A、B两城的水路距离为396千米．一艘在静水中速度为每小时12千米的渔船从B城开往A城，一艘在静水中速度为每小时30千米的治安巡逻艇从A 城往B城开．已知河水的速度为每小时6千米．两船在距离A城180千米的地方相遇．巡逻艇一到达B城就得到消息说他们刚才遇到的那艘渔船上有一名逃犯，于是立刻返回去追渔船．请问巡逻艇能不能在渔船到达A城之前追上渔船？如果能的话，请问巡逻艇在距A城多远的地方追上渔船；如果不能的话，请算出巡逻艇比渔船慢多少小时到A城？作业6.（2013年，海淀区）甲、乙、丙三个人在400米跑道上跑步锻炼，三个人同时从同一出发点出发同向而行，甲的速度是5米/秒，乙的速度是7米/秒，丙的速度是1米/秒．请问：（1）三人什么时候第一次同时回到出发点？（2）三人什么时候第一次相遇？作业7.（2012年，海淀区）甲从A地骑车前往B地，乙从B地骑车前往A地，如果甲、乙两人同时出发，那么两个人第一次在距离A地20千米处相遇，相遇后，甲继续往B地走，到B地后立刻返回，乙继续往A地走，到A地后立刻返回，然后两人第二次在距离B地10千米处相遇．作业8.A、B两地分别在一条河的上下游，甲乙两条船同时从A地出发，行到B地立即返回．如果甲乙两船在静水中的速度分别是每小时21千米和每小时15千米，水速为每小时3千米，两船从出发到第二次相遇，所用的时间是甲船从A到B所用时间的________倍．作业9.（2011年，海淀）两个孩子逆着自动扶梯的方向行走．20秒内男孩可以走28级，女孩可以走24级，按此速度，男孩共用2分钟到达另一端，而女孩用3分钟才能到达，则扶梯静止时共_______级．作业10.（2012年，海淀）如图跑道，沿ACBEA走一大圈是400米，沿ACBDA走一小圈是275米，其中从A到B的直线距离是75米．甲、乙两人同时从A点出发练长跑，甲沿ACBDA跑小圈，每100米用时24秒，乙沿ACBEA跑大圈，每100米用时21秒．问（1）乙跑第几圈时第一次与甲相遇？（2）出发后多长时间甲、乙再次在A点相遇？作业11.圆形跑道的40%是平地，60%则设置了跨栏（图中粗线部分）．甲、乙两人的平均速度分别为5米/秒和6米/秒，跨栏速度分别4米/秒和3米/秒．第一次两人从A点出发逆时针跑，甲先跑了5秒，之后乙再出发．结果两人在第一圈相遇了两次，且两次相遇的间隔为18秒．问：（1）跑道总长为多少米？（2）如果两人从A点出发顺时针跑，而且在跑第一圈时也相遇了两次，且两次相遇时间间隔为45秒，那么甲和乙应该谁先跑，先跑多少秒？11。

1 B 初中数学解直角三角形综合讲义一、理解概念1.产生的背景：直角三角形中三边和三角的数量关系2 明确概念：解直角三角形阐述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和2个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形定对象：特殊的求解过程定角度：已知元素新事物：求出未知元素举例：在△举例：在△ABC ABC 中，∠中，∠C C 为直角，∠为直角，∠A A ，∠，∠B B ，∠，∠C C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=287.4c=287.4，，∠B=42B=42°°6′，解这个直角三角形。

解：（1）∠）∠A=90A=90A=90°°- 42- 42°°6′=47=47°°5454′′（2）∵）∵ cosB= cosB=c a, , ∴∴a=c cosB=287.4a=c cosB=287.4××0.74200.7420≈≈213.3 （3）∵）∵ sinB= sinB=cb, , ∴∴b=c sinB=287.4b=c sinB=287.4××0.67040.6704≈≈192.7二、研究概念1.1.条件：条件：直角三角形2.2.构成和本质构成和本质 [ [边边] ] 两条直角边两条直角边 [ [角角] ] 有一个直角有一个直角 [ [角角]] 两锐角互余两锐角互余3.3.特征：特征： [[角角] ] 两锐角互余，∠两锐角互余，∠两锐角互余，∠A+A+A+∠∠B=90B=90°°[边] ] 勾股定理，勾股定理，勾股定理，a a 2+b 2=c2[等式的性质等式的性质] a ] a 2 =c 2—b2b 2=c 2—a2勾股定理逆定理[ [边、角边、角边、角] ] ] 锐角三角函数锐角三角函数 [ [重要线段重要线段重要线段] ] ] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半[圆] ] 直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点 [ [特殊角特殊角特殊角] 30] 30] 30°角所对的直角边是斜边的一半°角所对的直角边是斜边的一半 45 45°角所对的直角边是斜边的°角所对的直角边是斜边的22倍4.4.下位下位无5.5.应用：应用：三、例题讲解1、在R t R t△△ABC 中，中，AD AD 是斜边BC 上的高，如果BC= a BC= a，∠，∠，∠B=B=α，那么AD 等于等于 （（ ）） （（A 级）级） A A、、 asin 2α B B、、acos 2α C C、、asin αcos α D D、、asin αtan α 对象：对象：对象：R t R t R t△△ABC 中，中，AD AD AD 角度：角度：角度： 三角函数三角函数三角函数分析：分析：R t R t R t△△ABC cosB=BC AB cos α= aAB AB= a AB= a··cos αR t R t△△ABD sin α=ABADAD= sin α·AB AD= asin αcos α2、 正方形ABCD 中，对角线BD 上一点P ，BP∶PD=1∶2，且P 到边的距离为2，则正方形的边长是，则正方形的边长是 ，BD=对象：正方形ABCD 对角线BD 上的点P P 角度：角度：角度： 直角三角形直角三角形 分析：设P 到边的距离为PE PE。

一、寻找隐藏周期（三上）1. 解决周期问题的关键是找到周期的长度，只要能找到周期的长度，再用总数除以周期长度，得到的商就是完整的周期个数，余数就是除去完整周期的部分后剩下的个数．2. 有些问题，只给出了变化的规律，并没有给出明确的周期．这就需要我们按照规律，把隐藏的周期找出来，再利用周期进行计算．周期现象无处不在，日常生活中无处不在，比如：分针每60分钟就绕钟面一圈回到原来的位置，星期日再过7天还是星期日，地铁不断在线路上来回运行等．所以学好周期问题对于我们平时生活会有很大帮助．一、 找到周期长度1、如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数“1”的圆圈按顺时针方向跳了100步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数“1”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了200步，落在另一个圆圈里．这两个圆圈里的数的乘积是多少？第4讲 寻找隐藏周期 二升三 暑期 知识点课堂例题知识精讲2、如图，电子跳蚤每跳一步，可跳过一个圆圈．现在，一只跳蚤按顺时针方向从1号圆圈开始跳，第1步跳到3号圈，第2步跳到5号圈，第3步跳到7号圈，依此类推．跳了100步之后，跳蚤到了哪个圈里？二、寻找隐藏周期-排队找周期3、100位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：第一位同学报1，然后从第二位同学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘以7，再报出乘积的个位．第100个同学报的是__________．4、53位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报4，第二位同学报3，然后从第三位同学开始，每位同学都把自己前面两位同学所报的数相乘，再报出乘积的个位来．请问：最后一名同学报的是几？5、84位同学从左向右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报1，第二位同学报3，然后从第三位同学开始，每位同学都把自己前面两位同学所报的数相乘，再报出乘积的个位来．请问：最后一位同学报的是几？总共有多少人报的数是3？三、 寻找隐藏周期-手指问题6、如图，伸出左手，然后从大拇指起开始数数．当数到200的时候，正好数到哪根手指？7、伸出左手，然后从大拇指起如图那样开始数数．那么，当数到60时，共数过__________次中指．8、伸出左手，然后从大拇指起如图那样开始数数．那么，当数到50时，共数过__________次大拇指．1011 2 3 7 8 10 11四、 寻找隐藏周期9、一辆公共汽车在一条公路上行驶，公路上依次有6个汽车站A 、B 、C 、D 、E 、F ．汽车从A 出发，每到一站即停车，到达F 后又沿原路返回，仍是每到一站都停车，到达A 后再返回……如此往返行驶．如果汽车从出发后算起，每连续停车8次便需要在最后停车的那站加油，那么汽车在第2013次停车前的上一次加油是在哪站？10、甲、乙、丙、丁兄弟四人各收藏了一些宝石，每天早上他们都要聚在一起，重新分配宝石．分配的规则就是：拥有宝石最多的人分给其他三人每人1颗．如果第1天早上分配完之后，甲、乙、丙、丁四人各有10，7，5，4颗宝石，那么第100天早上分完宝石后，四个人手中分别有几颗宝石？2 3 7 8 10 111、50位同学排成一行，从左向右报数：先让第一位同学报3，第二位同学报8，然后从第三位同学开始，每位同学都把前两位同学所报的数相乘，再报出乘积的个位来．那么最后一位同学报的是__________．2、钟表上现在时针正对着数字2，那么121小时后时针正对着数字几？3、如图，在A 、B 两地之间有11个站，一辆车不停的往返于两地之间．从A 出发，每天走到下一站，到达B 地后的第二天又回到11号站，第1天的时候它在A 站，那么第100天时它在哪个站？4、同学们从左向右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报6，然后从第二位同学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘以2，再报出乘积的个位来．请问：第50位同学报的是几？5、我们对四位数1234的各位数字进行如下方式的交换：第1次交换千位和百位，第2次交换个位和十位，第3次交换千位和个位，第4次交换百位和十位，第5，6，7，8次的交换方式与第1，2，3，4次的相同，并如此继续下去，那么经过100次这样的交换后，所得的四位数是什么？…… 随堂练习1、“我是大好人大好人……”依次重复排列，第44个字是________．（填汉字）2、现在时针指着钟面上的数字“3”，那么过30小时后，时针指着数字________．（填数字）3、110位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报1，然后从第二位同学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘以3，再报出乘积的个位来，那么第110个同学报的是________．（填数字）4、数列9，8，6，2 ……从第2个数起，每个数都是它前面一个数的两倍的个位数字，则第99个数是________．（填数字）课后作业5、如图，七个小矮人住在A、B、C、D、E、F、G这7座房子中，白雪公主第一天在A房子中做客，从第二天开始按照BCDEFGFEDCBABC……的顺序每天在一个小矮人的房子中做客．请问，第150天白雪公主在________个房子中做客．（填字母）。

内容基本要求略高要求较高要求勾股定理及逆定理已知直角三角形两边长，求第三条边 会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形会运用勾股定理解决有关的实际问题。

解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 能综合运用直角三角形的性质解决有关问题锐角三角函数了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题模块一、勾股定理1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。

知识点睛中考要求解直角三角形CAB cba如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。

4．勾股数：满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

模块二、解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：cb aCBA（1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、 解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =；（3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=；（4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠．具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin ac A=等．四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题． 六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等． 七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． （3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．模块三、三角函数一、锐角三角函数的定义如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．a A（1）正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin aA c=． （2）余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． （3）正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b=． 注意：① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 的乘积．③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值． 二、特殊角三角函数三、锐角三角函数的取值范围在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan aA b=，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，．四、三角函数关系 1．同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A= 2．互余角三角函数关系：(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-；(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-． 3．锐角三角函数值的变化规律：(1)A 、B 是锐角，若A >B ，则sin A >sin B ；若A <B ，则sin A <sin B(2) A 、B 是锐角，若A >B ，则cos A <cos B ；若A <B ，则cos A >cos B (3) A 、B 是锐角，若A >B ，则tan tan A B >；若A <B ，则tan tan A B <板块一、勾股定理【例1】 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 米（填“大于”、“等于”、“小于”）68【解析】由勾股定理可知：大于【答案】大于【例2】 已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．【解析】由题意得，10cm AF AD ==. 在ABF ∆中，应用勾股定理得， 6cm BF =.所以1064FC BC BF =-=-=.在CEF ∆中，应用勾股定理，设cm EC x =，得 ()22284x x -=+. 解得3x = 即3cm EC =.【答案】3cm【例3】 如图，M 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，P ，Q 分别在AC ，BC 上，PM MQ ⊥，判断PQ ，AP 与BQ 的数量关系并证明你的结论．例题精讲QPMCBA【解析】222PQ AP BQ =+．延长QM 到N ，使MN QM =，连结AN 、PN ． 显然PMQ PMN ∆∆≌，AMN BMQ ∆∆≌ ∴PN PQ =，AN BQ =，MBQ MAN ∠=∠ ∵90CAB ABC ∠+∠=︒∴90PAN PAM MAN ∠=∠+∠=︒ ∴APN ∆为直角三角形． ∴222PQ AP BQ =+．NABCMPQ【答案】见解析【例4】 如图，已知ABC ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，90ACB DCE D ∠=∠=︒，为AD 边上一点，求证： 222AD AE DE +=EDCBA【解析】因为EC DC =，AC BC ACE BCD =∠=∠，，所以可知ACE BCD ∆∆≌,所以90EAD ∠=︒，得证 【答案】见解析【例5】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若54a b c +==，，则ABC S ∆= . 【解析】 在Rt ABC ∆中,由勾股定理得，222a b c +=. 又有()2222a b a b ab +=++, 所以 ()222a b c ab +-=所以1924ABC S ab ∆==.【答案】94ABC S ∆=板块二、解直角三角形【例6】如图是教学用直角三角板，边3090tanAC cm C BAC =∠=︒∠，，则边BC 的长为（ ）连接AC ．（1）若30CPA ∠=︒，那么PC 的长为 ．（2）若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ，CMP ∠的大小是否会发生【例】如图，某航天飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点，若、两点间的地面距离QAPα∠=，地球半径为R，则航天飞机距地球表面的最近距离AP，以及P Q【例9】 在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为，OP 与轴正方向的夹角为，则用表示点P 的极坐标，显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点P 的坐标为（1，1），则其极坐标为45⎤︒．若点Q 的极坐标为[]460︒，，则点Q 的坐标为（ ）【例11】 周末，身高都为1．6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A 处测得她看塔顶的仰角α为45︒，小丽站在B 处（A B 、与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30︒．她们又测出A B 、两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm ，则可计算出塔高约为（结果精确到0．01 1.414 1.732≈）（ ）【答案】A板块三、锐角三角函数【例13】 如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将ACB △绕着点A 逆时针旋转得到''AC B △，则'tan B 的值为（ ）A ．12 B ．13C ．14D【解析】过点C 作CD AB ⊥于D ,由题意得：'B B ∠=∠ 在Rt CDB △中，1tan 3CD B BD == 即1tan '3B =【答案】B【例14】如果ABC △中，sin A =cos B ，则下列最确切的结论是（ ） A ．ABC △是直角三角形 B ．ABC △是等腰三角形C ．ABC △是等腰直角三角形D ．ABC △是锐角三角形【解析】由特殊三角函数值易知：45A B ∠=∠=︒ 【答案】C【例15】 如图，已知：4590A ︒<<︒，则下列各式成立的是（ ）A ．sin cos A A =B ．sin cos A A >C ．sin tan A A >D ．sin cos A A <CBA【解析】解法一：利用锐角三角函数的性质 解法二：代入特殊值法 【答案】B【例16】 如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos AOB ∠的值等于_________．O【解析】根据圆的性质可知：OAB △是等边三角形 ，即60OAB ∠=o ，所以1cos 2AOB ∠=． 【答案】12【例17】 如图，点(0,4),(0,0),(5,0)E O C 在A e 上，BE 是A e 上的一条弦，则tan OBE ∠= ．【解析】根据圆的性质OBE ECB ∠=∠，所以tan tan OEOBE ECB OC∠=∠=又已知4,5OE OC ==，即tan tan OE OBE ECB OC∠=∠=又4,5OE OC ==，所以4tan 5OBE ∠=x【答案】 45【例18】（1）计算：11()12sin 60tan 602--︒⋅︒（204sin 45(3)4π︒+-+-【解析】（1）原式212=+-=（2）原式414=++ 5= 【答案】见解析【例19】计算： 2011315(1)()(cos68)8sin 602π---+︒+︒+︒【解析】原式=181--++8-【答案】8-【例20】已知α是锐角，且sin(15)α+︒=0114cos ( 3.14)tan ()3απα---++的值． 【解析】由sin(15)α+︒45α=︒，原式411332=⨯-++=【答案】3板块四、三角函数与几何综合【例21】 如图，直径为10的A e 经过点(0,5)C 和点(0,0)O ，B 是y 轴右侧A e 优弧上一点，则OBC ∠的余弦值为( )．A ．12 B ．34 CD ．45x【解析】由题意很容易推断出：AC =OC =OA =5，所以60CAO ∠=︒．由圆的性质可知：2OBC CAO ∠=∠，即30OBC ∠=︒【答案】C【例22】 如图，在Rt ABC △中，90,30,ABC ACB ∠=︒∠=︒将ABC △绕点A 按逆时针方向旋转15︒后得到1111,AB C BC △交AC 于点D ，如果AD =ABC △的周长等于（ ）．21DC1B1C BA【解析】在Rt ABC △中，90,30,ABC ACB ∠=∠=o o 所以60BAC ∠=o 因为115∠=o ，所以2145BAC ∠=∠-∠=o又在1Rt AB D △中，AD =所以12AB AB ==，所以4BC AC ==即ABC △的周长：6AB BC AC++=+【答案】6+【例23】 如图，ABC △中，3cos 5B C =，5AC =，则ABC△的面积是（ ） AB CA．21 2B．12C．14D.21【解析】过点A作AD BC⊥于D.由题意得：45B∠=o，所以AD BD=又在ADC△中，3sin5ADCAC==，5AC=，所以4,3CD AD BD===所以ABC△的面积：11121()732222BC AD BD CD AD⋅=+⋅=⨯⨯=CBAD【答案】A【例24】如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF=245，3sin5BAE∠=，求CF的长．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D.又Q AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD.∴∠BAE=∠DAF.（2）在Rt△ABE中，sin∠BAE=53，AE=4,可求AB=5又∵∠BAE=∠DAF，∴sin∠DAF=sin∠BAE=53.在Rt△ADF中，AF=524, sin∠DAF =53,可求DF=518∵CD=AB=5.∴CF=5-518=57．【例25】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，10AB =，4CD =，连结并延长BD 到E ，使DE BD =，作EF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ． （1）求tan ABD ∠的值；（2）求AF 的长．FED CBA【解析】（1）作DM ⊥AB 于点M ，CN ⊥AB 于点N ．∵ AB ∥DC ，DM ⊥AB ，CN ⊥AB ，∴ ∠DMN=∠CNM=∠MDC=90︒． ∴ 四边形MNCD 是矩形. ∵4CD =，∴ MN=CD= 4．∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==， ∴ ∠DAB=∠CBA ，DM=CN ． ∴ △ADM ≌△BCN ． 又∵10AB =，∴ AM=BN=()11(104)322AB MN -=⨯-=． ∴ MB=BN+MN=7．∵ 在Rt △AMD 中，∠AMD=90︒，AD=5，AM=3，∴4DM =．∴ 4tan 7DM ABD BM ∠==（2）∵ EF AB ⊥，∴ ∠F=90︒．∵∠DMN=90︒， ∴ ∠F=∠DMN.∴ DM ∥EF ． ∴ △BDM ∽△BEF ． ∵ DE BD =，∴12BM BD BF BE ==． ∴ BF=2BM=14．∴ AF=BF -AB=14-10=4．NM FED CBA【习题1】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3CBA【解析】直接计算,只有AC=5,为有理数.所以边长为无理数的边数为2.选C. 【答案】C【习题2】如图，在ABC △中，9060C B D ∠=︒∠=︒，，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，A ．2 B ．433C ．23D ．43 EDCBA课后作业【习题3】如图，某游乐场一山顶滑梯的高为，滑梯的坡角为α，那么滑梯长为（）【习题4】如图，ABC△的顶点都在方格纸的格点上，则sin A=______．C 【解析】正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的．过点C作CD AD⊥交AB的延长线于D。

第04讲有理数的加法与减法（十大题型）学习目标1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题.一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．要点：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．3.运算律：文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变加法交换律符号语言a+b ＝b+a文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变有理数加法运算律加法结合律符号语言(a+b)+c ＝a+(b+c)要点：交换加数的位置时，不要忘记符号．二、有理数的减法1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 要点：（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．要点： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.【即学即练1】计算31-+的结果为（ ）A ．2B ．4C ．2-D ．4-【即学即练2】计算：()23---=（ ）A ．5-B ．5C ．1-D ．1【即学即练3】计算：112342-=【即学即练4】将()()()3652--+--+-写成省略括号的和的形式为 ．【即学即练5】若a<0，且5a =，则1a +=．()a b a b -=+-题型1：有理数加法运算(4)如果a＞0，b＜0，|a|＜|b|，那么a＋b______0．题型3：有理数加法运算律示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（微信红包一来自王某某14.00+-某平台商户8.00-扫二维码付给某店9.00A．收入14元(1)中间第2站上车人数是______人，下车人数是______人，开车时车上人数是______人；(2)中间的7个站中，第______站没有人上车，第______站没有人下车，第______站上车人数与下车人数相同；(3)从表中你还能知道什么信息？请说出一条即可．题型5：有理数减法运算【典例21】．算式35--的结果对应图中的（A ．aB ．b 【典例22】．下列说法中正确的是( )【典例25】．哈尔滨市2023年元旦的最高气温为2℃，最低气温为8-℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ）A ．10-℃B ．6-℃C ．6℃D ．10℃【典例26】．某矿井下A ，B ，C 三处的海拔高度分别为35.6-米，122.7-米，67.8-米．(1)求A 处比C 处高多少米？(2)求B 处比C 处高出多少米？题型7：有理数减法在数轴和绝对值中的应用【典例27】．有理数a b ，在数轴上的位置如图，则正确的结论是（A ．a b>B ．0a b +>C ．0a b -＞【典例28】．已知24m n ==，，0n >，求m n -的值．2=b(1)A、B两点间距离是，B、C两点间距离是，A、C两点间距离是(2)若将点A向右移动5个单位到点D，B、C、D这三点所表示的数哪个最大？最大数比最小数大多少？题型8：有理数加减混合运算一、单选题1．计算：61-+的结果是（ ）A ．5-B ．2C ．7D ．92．贵阳市元月份某一天早晨的气温是-3℃，中午上升了2℃，则中午的气温是（）A ．-5℃B ．5℃C ．-1℃D ．1℃3．式子20357-+-+的正确读法是（ ）A ．负20，加3，减5，加7的和B ．负20加3减负5加正7C ．负20，正3，负5，正7的和D ．负20加正3减负5加正74．下列各式中，计算结果属于负数的是（ ）A ．|7||1|-+-B ．|7|(1)---C ．|1||7|---D ．|1|(7)---5．若x>0，y<0，且x y <，则x+y 一定是（ ）A ．负数B ．整数C ．0D ．无法确定符号6．若a ＜0＜b ＜c ，则（ ）A ．a ＋b ＋c 是负数B ．a ＋b －c 是负数C ．a －b ＋c 是正数D ．a －b －c 是正数7．绝对值不大于3的所有负整数的和为（ ）A ．0B ．－6C ．－3D ．38．设a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，c 是倒数等于自身的有理数，则a －b +c 的值为（ ）A ．0B ．-2C ．0或3D ．0或－29．计算123456782017201820192020+--++--+++--L 值为（ ）A ．0B ．﹣1C ．2020D ．-202010．将1，2，3，...，30，这30个整数，任意分为15组，每组2个数.现将每组数中的一个数记为x ，另一个数记为y ，计算代数式()1||||2x y x y -++的值，15组数代入后可得到15个值，则这15个值之和的最小值为（ ）A ．2252B ．120C ．225D ．240二、填空题11．计算：﹣32＋12＝ ．12．某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为()200.15kg ±的字样，从超市中任意拿出该品牌大米两袋，它们的质量最多相差kg ．13．如果一个数加上314-所得的和是6，那么这个数是．14．若1a +与1a -互为相反数，则=a ．15．已知||9,||3a b ==，则||a b b a -=-，则a b +的值．16．在自然数中，前100个偶数和减去前100个奇数和的差是 ．17．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的是213211+-=-的计算过程，则下图2表示的算式是．18．在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算“Ä”法则：a b c a b c a b c ÄÄ=++-+-，例如：()()()12-312-312-3ÄÄ=++-+-．在57274,,0,,,99393--这6个数中，任意取三个数作为,,a b c 的值，则a b c ÄÄ的最大值为 ．三、解答题19．运用加法运算律计算：(1)(－7)＋7＋(－2)；(2)11162727æö-+++ç÷èø20．计算：（1）（-5.8）+（-4.3）；（2）（+7）+（-12）；（3）（283-）+0；（4）（-6.25）+164．21．用简便方法计算：(1)(－2．39)＋(－1．57)＋(－7．61)＋(＋6．57)；(2)125676æöæö+-+-+ç÷ç÷èøèø57æö+ç÷èø；(3)11143( 2.16)83( 3.84)(0.25)3435æö-+-+++-+-+ç÷èø22．计算(1)()154130.532656æöæö-+++-++ç÷ç÷èøèø；(2)()()()()815912---+---；(3)53141553266767æöæöæöæö-+-++--+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø；(4)()114 3.256422æö⎡⎤-++-+ç÷êúèø⎣⎦23．有一架直升飞机从海拔1000 m 的高原起飞，第一次上升了1500 m ，第二次上升了－1200 m ，第三次上升了2100 m ，第四次上升了－1700 m ，求此时这架飞机高于海平面多少米？24．(1)已知一个数的绝对值为3，另一个数的绝对值是2，求两数之和；(2)已知一个数的绝对值为4，另一个数的绝对值是2，且一个数总大于另一个数，求两数之和．25．若21a =，27b =，且||a b a b +=+，求a b -的值．26．小虫从某点O 出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：cm ）：5+，3-，10+，8-，6-，12+，10-．问：(1)请说明小虫最后的具体位置？(2)小虫离开出发点O 最远是多少厘米？(3)在爬行过程中，如果每爬行1cm 奖励三粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？27．去掉绝对值符号11119889-=-．(1)计算：111111112324354-+-+-+-；(2)计算111111112324320242023-+-+-+×××+-．28．一位病人发高烧进医院治疗，医生给他开了药、挂了水，同时护士每隔1小时为病人测体温，及时了解病人的好转情况，下表记载的是护士对病人测体温的变化数据：时间7:008:009:0010:0011:0012:0013:0014:0015:00体温升0.2降1.0降0.8降1.0降0.6升0.4降0.2降0.2降0（与前—次比较）注：病人早晨进院时医生测得病人体温是40.2℃．问：（1）把上升的体温记为正数，下降的体温记为负数，请填写上表．（2）病人什么时候体温达到最高，最高体温是多少？（3）病人中午12点时体温多高？（4）病人几点后体温稳定正常（正常体温是37℃）．29．阅读下题的计算方法．计算：5231591736342æöæö-+-++-ç÷ç÷èøèø解：原式＝5231(5)(9)17(3)6342⎡⎤⎡⎤⎡⎤æöæöæöæö-+-+-+-+++-+-ç÷ç÷ç÷ç÷êúêúêúèøèøèøèø⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝5231[(5)(9)17(3)]6342⎡⎤æöæöæö-+-++-+-+-++-ç÷ç÷ç÷êúèøèøèø⎣⎦＝0＋54æö-ç÷èø＝－54．上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：522120192018403616332æöæöæö-+-++-ç÷ç÷ç÷èøèøèø30．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A 处出发去看望B 、C 、D 处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A 到B 记为：A→B （+1，+4），从B 到A 记为：B→A （﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中（1）A→C （ ， ），B→D （ ， ）；（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D ，请计算该甲虫走过的路程；（3）若这只甲虫从A 处去甲虫P 处的行走路线依次为（+2，+2），（+1，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出依次行走停点E 、F 、M 、N 的位置．31．距离能够产生美.唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无.”当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道:“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅而是尚未相遇便注定无法相聚”距离，是数学、天文学、物理学中的热门话题.唯有对宇宙距离进行测量,人类才能掌握世界尺度．绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．例如：3是指数轴上表示3的点到原点的距离 ，6-是指数轴上表示6-的点到原点的距离．概念延伸①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，25-= ；②数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是 ，()()25---= ；③数轴上表示1和3-的两点之间的距离是 ，()13--= ．归纳总结点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ， 则AB = ．拓展应用①数轴上表示数x 和 1的两点A 和B 之间的距离为1AB x =-，则1x -的最小值是 ，此时x 的值为 ．②数轴上表示数x 和1-的两点A 和B 之间的距离为AB = ，如果2AB =，那么x 的值为 ；③式子12x x ++-有最小值吗？若有，请求出它的最小值．。

第04讲三角函数的伸缩平移变换（5类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分【备考策略】1理解并掌握三角函数的图象与性质2会先平移后伸缩或先伸缩后平移来综合解决三角函数的伸缩平移变换【命题预测】本节内容是新高考卷的载体内容，一般会结合三角函数的图象与性质综合考查三角函数的伸缩平移变换，需加强复习备考1.三角函数的伸缩平移变换（1）伸缩变换（A ，ω是伸缩量）hx A y ++=)sin(ϕωA 振幅，决定函数的值域，值域为[]A A ,-；若A ↗，纵坐标伸长；若A ↘，纵坐标缩短；∴A 与纵坐标的伸缩变换成正比ω决定函数的周期，ωπ2=T 若ω↗，T ↘，横坐标缩短；若ω↘，T ↗，横坐标伸长；∴ω与横坐标的伸缩变换成反比（2）平移变换（ϕ，h 是平移量）平移法则：左+右-，上+下-（3）三角函数图象的变换2.常用结论（1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．（2）与三角函数的奇偶性相关的结论若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )．若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．1．（2024·广东揭阳·二模）把函数()3sin 3f x x =的图象向左平移14个最小正周期后，所得图象对应的函数为（ ）A ．33sin 34y x æö=+ç÷èøB ．33sin 34y x æö=-ç÷èøC ．3cos3y x=D ．3cos3y x=-2．（2024·河北保定·三模）将函数()πsin 23f x x æö=-ç÷èø的图象向左平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ）A ．sin2xB ．sin2x-C ．πsin 23x æö+ç÷èøD ．πcos 26x +æöç÷èø3．（2024·天津·二模）将函数()21cos sin cos 2f x x x x =--的图象向左平移π8个单位长度得到函数()g x 的图象，下列结论正确的是（ ）．A ．()g x 是最小正周期为π的偶函数B ．点π04æöç÷èø，是()g x 的对称中心C ．()g x 在区间ππ123éù-êúëû，上的最大值为12D ．()g x 在区间π04æöç÷èø，上单调递减1．（2024·广西·二模）把函数()cos5f x x =的图象向左平移15个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）A ．()cos 51y x =+B ．1cos 55y x æö=+ç÷èøC ．()cos 51y x =-D ．1cos 55y x æö=-ç÷èø2．（2024·福建厦门·三模）将函数()sin 22f x x x =的图象向右平移π6个单位后得到()y g x =的图象，则（ ）A ．()2sin 2g x x =B ．π()2sin 26g x x æö=+ç÷èøC ．π()2sin 23g x x æö=+ç÷èøD ．2πg()2sin 23x x æö=+ç÷èø3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数π()2sin 23f x x æö=+ç÷èø，把()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()g x 是偶函数B ．()g x 的图象关于直线π4x =-对称C ．()g x 的图象关于直线π2x =对称D ．()g x 的图象关于点π,04æöç÷èø中心对称1．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数2sin 3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x æö=+ç÷èø图象上所有的点（ ）A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度2．（2021·全国·高考真题）把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x πæö=-ç÷èø的图像，则()f x =（ ）A ．7sin 212x πæö-ç÷èøB ．sin 212x πæö+ç÷èøC ．7sin 212x πæö-ç÷èøD ．sin 212x πæö+ç÷èø1．（2024·江苏南京·二模）为了得到函数πsin 23y x æö=+ç÷èø的图象，只要把函数sin 2y x =图象上所有的点（）A．向左平移π6个单位B．向左平移π3个单位C．向右平移π6个单位D．向右平移π3个单位2．（2024·陕西汉中·二模）函数π()2sin()0,02f x xωϕωϕæö=+><<ç÷èø的图象如图所示，,P Q为图象上两点，对于向量π(1,0),4a a PQ=×=uuu rr r，为了得到()2sin4g x x=的图象，需要将()f x图象上所有点的坐标（）A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移π4个单位B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移π16个单位C．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移π4个单位D．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移π16个单位1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）为了得到函数πcos()6=+y x的图象，只需将函数πsin()6y x=+的图象（）A．向左平移π3个单位长度B．向左平移π2个单位长度C．向右平移π3个单位长度D．向右平移π2个单位长度2．（23-24高三下·上海黄浦·阶段练习）要得到函数π2cos12y xæö=-ç÷èø的图象，只需将函数2sin3xy=的图象上所有的点（）A ．横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变），再向右平行移动π12个单位长度B ．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向右平行移动π12个单位长度C ．横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变），再向左平行移动5π12个单位长度D ．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向左平行移动5π12个单位长度3．（2023·全国·模拟预测）若函数()πsin 26f x x æö=+ç÷èø的图象向左平移()0m m >个单位长度后，其图象与函数()cos 2g x x =的图象重合，则m 的值可以为（ ）A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π61．（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）为了得到11π3sin 212æö=+ç÷èøy x 的图象，只要把π3cos 24æö=-ç÷èøy x 的图象向左平移（ ）个单位长度A ．π12B ．π3C ．2π3D ．7π62．（2024·山东青岛·三模）为了得到 sin2cos2y x x =+的图象，只要把 y x =的图象上所有的点（ ）A ．向右平行移动 π8个单位长度B ．向左平行移动 π8个单位长度C ．向右平行移动π4 个单位长度D ．向左平行移动π4个单位长度3．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）设函数()cos()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，将函数()f x 的图象先向右平移π3个单位长度，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与sin y x =图象重合，则（ ）A ．2ω=，π6ϕ=B ．2ω=，π3ϕ=C ．12ω=，π6ϕ=D ．12ω=，5π6ϕ=1．（2024·广东梅州·二模）若把函数()sin cos f x x a x =+的图象向左平移π3个单位后得到的是一个偶函数，则=a （ ）A B ．C D ．2．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数()()sin 2f x x ϕ=+（0πϕ<<）向左正移ϕ个单位后在区间π0,2éùêúëû上单调递增，则ϕ=（ ）A ．π3B ．π2C ．π6D ．2π33．（2024·陕西榆林·三模）将函数()πcos (0)4f x x ωωæö=+>ç÷èø的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数图象关于π4x =对称，则实数ω的最小值为（ ）A ．35B ．45C ．95D ．1254．（2024·全国·模拟预测）将函数()sin 3cos3f x x x =+的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()3g x x =的图象，则ϕ的最小值为（ ）A ．π2B ．π4C ．π6D ．π85．（2024·四川南充·二模）将函数()π2cos 22f x x æö=-ç÷èø的图象向左平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则曲线()y g x =与直线y = ）A ．π6B ．π3C ．π2D ．π6．（2024·山西晋城·二模）将函数π()2sin 34f x x æö=+ç÷èø的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间(0,)ϕ上恰有两个零点，则ϕ的取值范围是（ ）A ．5π3π,124éö÷êëøB ．3π13π,412éö÷êëøC ．5π3π,124æùçúèûD ．3π13π,412æùçúèû1．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数()4sin 3cos f x x x =+的图象向右平移φ个单位长度得到函数()5sin g x x =的图象，则sin ϕ=（ ）A ．35B ．45C ．35-D ．45-2．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）将函数()πcos (0)4f x x ωωæö=+>ç÷èø的图象向左平移π3个单位长度后得到的函数为奇函数，则实数ω的最小值为（ ）A ．94B ．54C ．34D ．143．（2024·四川成都·三模）将函数 ()()()sin 0f x x ωϕω=+> 的图象向左平移π6个单位后，与函数()()cos g x x ωϕ=+ 的图象重合，则 ω 的最小值为（ ）A ．9B ．6C ．3D ．24．（2024·贵州黔东南·二模）将函数()π4sin 326f x x æö=-+-ç÷èø的图象向右平移π3个单位长度得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间π12q éù-êúëû,上的最大值为0，则q =（ ）A ．π3B ．π6C ．π9D ．π125．（2024·浙江丽水·二模）将函数()cos2f x x =的图象向右平移π02ϕϕæö<<ç÷èø个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的12,x x ，有12min π3x x -=，则ϕ=（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π121．（2024·天津河西·三模）已知函数()π2sin 6f x x ωϕæö=++ç÷èø（其中0ω>，π0,2ϕæöÎç÷èø），当()()120f x f x ¢¢==时，12x x -的最小值为π2，()π6f x f x æö=-ç÷èø，将()f x 的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ）A ．2cos 2xB ．2sin 2xC ．π2sin 26x æö-ç÷èøD ．π2sin 43x æö-ç÷èø2．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）将函数()sin 212f x x πæö=+ç÷èø的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x的图象，若函数()g x 在[]2,(0)m m m ->上单调递增，则实数m 的取值范围是（ ）A ．110,48πæùçúèûB ．0,24πæùçúèûC ．11,2448ππéùêúëûD ．11,2448ππæùçúèû3．（22-23高三下·全国·阶段练习）已知8π11π,99x x ==是π()3cos()(0)3f x x ωω=+>图象的两条相邻对称轴，将()f x 的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图象.若()g x 在(,)m m -上有唯一的零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．π2π(,]99B ．2ππ(,]93C ．ππ(,]93D ．π(0,]91．（2023高三·全国·专题练习）将函数()1sin 2f x x =的图象向右平移π3个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()g x 的图象，则（ ）A ．()1π2g =B ．2π3x =是()g x 图象的一条对称轴，C ．2π,03æöç÷èø是()g x 图象的一个对称中心D ．()g x 在[ππ],-上的最大值为122．（23-24高三上·安徽·阶段练习）设1()cos f x x =，将()f x 的图像向右平移3π个单位，得到()g x 的图像，设()()()h x f x g x =+，,124x ππéùÎêúëû，则()h x 的最大值为（ ）A B C ．D ．3．（2021·全国·模拟预测）已知把函数()πsin cos 3f x x x æö=+ç÷èø的图象向右平移π3个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若()()1214g x g x ×=，若1x ，[]2π,πx Î-，则12x x -的最大值为（ ）A ．πB ．3π4C ．3π2D ．2π一、单选题1．（2024·陕西西安·模拟预测）将函数sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则π(3g =（ ）A ．1B C ．12D ．12-2．（2024·山东·二模）已知函数()cos2f x x x =-，则下列结论正确的是（ ）．A ．函数()f xB ．函数()f x 在ππ,63éù-êúëû上单调递增C ．该函数的最小正周期是2πD ．该函数向左平移π6个单位后图象关于原点对称3．（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数()f x 的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移π12个单位长度，得到函数()()πsin 0,0,2g x A x A ωϕωϕæö=+>><ç÷èø的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()π3sin 42f x x æö=+ç÷èøB ．()π3sin 46f x x æö=+ç÷èøC ．()π3sin 6f x x æö=+ç÷èøD ．()π3sin 2f x x æö=+ç÷èø4．（2024·山东泰安·二模）已知函数()πsin 4f x x æö=-ç÷èø，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（ ）A ．()π2sin 24x g x æö=-ç÷èøB ．()g x 在π0,2æöç÷èø上单调递增C ．()g x 的图象关于点π,08æöç÷èø中心对称D ．()g x 在π3π,44éùêúëû上的值域为éë5．（2024·山东泰安·模拟预测）将函数()πcos 26f x x æö=-ç÷èø图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()2πcos 23g x x æö=-ç÷èøB ．()g x 在ππ,33éù-êúëû上单调递增C ．()g x 在π0,3éùêúëûD ．直线π4x =是()g x 图象的一条对称轴6．（2024·湖北·二模）将函数πsin 6y x æö=+ç÷èø的图象上每一点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再向右平移5π12个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间π,02éù-êúëû上单调递减B ．在区间π7π,1012éùêúëû上单调递增C ．在区间ππ,63éù-êúëû上单测递减D ．在区间ππ,63éù-êúëû上单调递增二、多选题7．（2024·安徽合肥·三模）已知12,x x 是函数π()2sin (0)6f x x ωωæö=->ç÷èø的两个零点，且12x x -的最小值是π2，则（ ）A ．()f x 在π0,3éùêëû上单调递增B ．()f x 的图象关于直线π6x =-对称C ．()f x 的图象可由()2sin 2g x x =的图象向右平移π6个单位长度得到D ．()f x 在π,π2éùêúëû上仅有1个零点8．（2024·湖北襄阳·二模）已知函数π5π()sin cos 36f x x x æöæö=-+-ç÷ç÷èøèø，将函数()f x 的图像横坐标缩短为原来的12倍，再向左平移π3单位，得到函数()g x .则下列结论中正确的是（ ）A ．2π3f x æö-ç÷èø为偶函数B ．不等式()1g x ³的解集为ππππ,Z 124x k x k k ìü-+££+ÎíýîþC ．()g x 在3ππ,2éùêúëû上单调递增D ．函数()g x 在π5π,36éù-êúëû的零点为123,,x x x 且123x x x <<，则1234π23x x x ++=三、填空题9．（2024·青海西宁·模拟预测）将函数4sin9y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数()y f x =的图象，则()f x 的最小正周期为 ，7π18f æö=ç÷èø.10．（2024·江苏·模拟预测）将函数()()sin 2f x x ϕ=+图象上的每个点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π6个单位长度，所得的图象关于y 轴对称，写出一个符合条件的ϕ的值 .一、单选题1．（2024·陕西渭南·三模）将函数1π2sin 24y x æö=+ç÷èø的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图象关于原点对称，则ϕ的值可以为（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．3π22．（2024·山东·二模）将函数()πsin 23f x x æö=+ç÷èø的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到函数()g x 的图象，若11π6x =-为()g x 图象的一条对称轴，则ϕ的最小值为（ ）A ．π12B ．5π12C ．7π12D ．2π33．（2024·湖北黄冈·模拟预测）函数()()()cos 0f x x ωϕω=+>的图象向左平移π2个单位后得到()()sin g x x ωϕ=+的图象，若π4-是()f x 的一个零点，则ϕ的可能取值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．（2024·重庆·模拟预测）已知函数π()sin(4)||2f x x ϕϕæö=+<ç÷èø，先将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数()g x 的图象．若函数()g x 的图象关于y 轴对称，则π8f æö=ç÷èø（ ）A ．12B ．12-C D ．5．（2024·江西景德镇·三模）函数()()cos f x x x ω=ÎR 在[]0,π内恰有两个对称中心，()π1f =，将函数()f x 的图象向右平移π3个单位得到函数()g x 的图象.若()()35f g a a +=，则πcos 43a æö+=ç÷èø（ ）A ．725B ．1625C ．925-D ．1925-6．（2024·广东广州·模拟预测）若将函数()2sin f x x =的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()1g x =-在[)0,π内有两个不同的解,a b ，则()sin a b +=（ ）A ．14-B ．14C D ．二、多选题7．（2024·山东菏泽·模拟预测）将函数()2sin cos 1f x x x =+的图象向下平移1个单位长度，再向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()g x 的最小正周期为πB ．()g x 的图象关于π3x =对称C ．()g x 的图象关于π,06æöç÷èø对称D ．()g x 的单调递增区间为πππ,π,36k k k éù-+ÎêëûZ三、填空题8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数()2sin()f x x ωϕ=+，π(0,||)2ωϕ><的部分图象如图所示．若将函数()f x 的图象向右平移(0)t t >个单位长度，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为奇函数，则t 的最小值是．9．（2024·四川南充·模拟预测）将函数()πsin (06)6f x x ωωæö=-<<ç÷èø的图象向右平移π12个单位长度后得到函数()g x 的图象，若π0,ωæöç÷èø是()g x 的一个单调递增区间，则方程()12f x =-在[]0,π上实数根的个数为 .10．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数()3sin cos f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位长度得到()g x x x=+的图象，则cosϕ=．1．（2023·全国·高考真题）函数()y f x=的图象由函数πcos26y xæö=+ç÷èø的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x=的图象与直线1122y x=-的交点个数为（）A．1B．2C．3D．42．（2022·全国·高考真题）将函数π()sin(0)3f x xωωæö=+>ç÷èø的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（）A．16B．14C．13D．123．（2022·天津·高考真题）已知1()sin22f x x=，关于该函数有下列四个说法：①()f x的最小正周期为2π；②()f x在ππ[,44-上单调递增；③当ππ,63xéùÎ-êúëû时，()f x的取值范围为éêë；④()f x的图象可由1πg()sin(2)24x x=+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．44．（2020·天津·高考真题）已知函数()sin3f x xπæö=+ç÷èø．给出下列结论：①()f x的最小正周期为2π；②2fπæöç÷èø是()f x的最大值；③把函数siny x=的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x=的图象．其中所有正确结论的序号是（）A．①B．①③C．②③D．①②③5．（2020·江苏·高考真题）将函数y=π3sin24xæö+ç÷èø的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.6．（2019·天津·高考真题）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g πæöç÷èø38f πæö=ç÷èøA ．2-B ．C D ．27．（2018·天津·高考真题）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间35[,]44ππ上单调递增B ．在区间3[,]4ππ上单调递减C ．在区间53[,]42ππ上单调递增D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减8．（2017·全国·高考真题）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 29．（2016·四川·高考真题）为了得到函数y=sin3x π+（的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点A ．向左平行移动3π个单位长度B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向上平行移动3π个单位长度D ．向下平行移动3π个单位长度10．（2016·全国·高考真题）若将函数cos 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）A ．()26k x k Z ππ=-ÎB ．()26k x k Z x ππ=+ÎC ．()212k x k Z ππ=-ÎD ．()212k x k Z ππ=+Î。

内容基本要求略高要求较高要求三角形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会正确对三角形进行分类：理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；了解三角形的内心、外心、重心会用尺规法作给定条件的三角形；会运用三角形内角和定理及推论；会按要求解三角形的边、角的计算问题；能根据实际问题合理使用三角形的内心、外心的知识解决问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题模块一、与三角形有关的边１ 三角形的基本概念：⑴三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形．三角形具有稳定性．⑵三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角．在同一个三角形内，大边对大角．⑶三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角． ⑷三角形的分类：()()():⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形:三角形中有一个角是直角三角形按角分锐角三角形:三角形中三个角都是锐角斜三角形钝角三角形:三角形中有一个角是钝角不等边三角形:三边都不相等的三角形三角形按边分底边和腰不相等的等腰三角形:有两条边相等的三角形等腰三角形等边三角形正三角形有三边相等的三角形注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角(直角或钝角)时，该三角形即为锐角三角形(直角三角形或钝角三角形)．２ 与三角形相关的边⑴三角形中的三种重要线段知识点睛中考要求与三角形有关的线段和角①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部．②三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部． ③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心． 锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部， 直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高． ⑵三角形三条边的关系①三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边．②三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边．即a 、b 、c 三条线段可组成三角形⇔b c a b c -<<+⇔两条较小的线段之和大于最大的线段．注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．模块二、与三角形有关的角三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180︒．三角形的外角：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等．每个顶点处的两个外角是相等的．三角形的外角和：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和(并非6个外角之和)． 三角形的外角和等于360︒． 三角形内角和定理的三个推论：推论1： 直角三角形的两个锐角互余．推论2： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论3： 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形内角和180︒的几种证明方法： ①添加平行线法：22112211②帕斯卡(法国数学家)折纸法：332211③更具动手可行性的剪角法：(不严密)把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角．三角形外角和360︒的证明法：CBA三角形按最大角的大小来分类：⎧⎪⎨⎪⎩锐角三角形：最大的内角为锐角的三角形直角三角形：最大的内角为直角的三角形钝角三角形：最大的内角为钝角的三角形三角形的角与不等式：⒈若ABC ∆为锐角三角形，则090A ︒<∠<︒，090B ︒<∠<︒，090C ︒<∠<︒； ⒉若ABC ∆为直角三角形，且90A ∠=︒，则090B ︒<∠<︒，090C ︒<∠<︒，90A B C ∠=∠+∠=︒，B A C ∠=∠-∠，C A B ∠=∠-∠．⒊若ABC ∆为钝角三角形，且90A ∠>︒，则090B ︒<∠<︒，090C ︒<∠<︒，090B C ︒<∠+∠<︒．模块三、多边形及其内角和１ 基本概念⑴ 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． ⑵ 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． ⑶ 多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．⑷ 多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． ⑸ 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．⑹ 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角． ⑺ 正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．⑻ 凸多边形：如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧的多边形．２ 基本性质 ⑴ 稳定性．⑵ 内角和与外角和定理．如下图，n 边形的内角和为(2)180n -⨯︒(3)n ≥，多边形的外角和都是360︒．分割成(n-2)个三角形求内角和n 个平角-内角和⑶ n 边形的对角线：一个顶点有(3)n -条对角线，共有(3)2n n-条对角线． ⑷ 不特别强调多边形都指凸多边形，凸多边形的每个内角都小于180︒．例题精讲板块一、与三角形有关的线段【例1】若三角形的两边长分别为6cm，9cm，则其第三边的长可能为（）A、2cmB、3cmC、7cmD、16cm【解析】已知三角形的两边长分别为6cm和9cm，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，或者任意两边之差＜第三边，即可求出第三边长的范围．【答案】设第三边长为xcm．由三角形三边关系定理得9﹣6＜x＜9+6，解得3＜x＜15．故选C．【例2】如图，已知△ABC．（1）请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连接AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．【解析】（1）由于都是以BC所在边为底，因此边上的高都相等．要两个三角形的面积相等，只需在BC上找出两条相等线段即可；（2）可通过构建全等三角形来求解．分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线相交于F点，DF于AB交于G点．那么我们不难得出△AEC≌△FBD，此时AC=DF，AE=BF，那么只需在三角形BFG和ADG中找出它们的关系即可．【答案】（1）如图1，相应的条件就应该是BD=CE≠DE，这样，三角形ABD和AEC的面积相等，由于BD=CE，因此BE=CD，那么三角形ADC和三角形ABE 的面积就相等．（2）证明：如图2，分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线相交于F点，DF于AB交于G点．∴∠ACE=∠FDB，∠AEC=∠FBD在△AEC和△FBD中，又CE=BD，图2GFEDCBA∴△AEC ≌△FBD ， ∴AC=FD ，AE=FB ， 在△AGD 中，AG+DG ＞AD ， 在△BFG 中，BG+FG ＞FB ，∴AG+DG ﹣AD ＞0，BG+FG ﹣FB ＞0， ∴AG+DG+BG+FG ﹣AD ﹣FB ＞0， 即AB+FD ＞AD+FB ∴AB+AC ＞AD+AE ．图1DCBA【例3】 不等边三角形中，如果一条边长等于另两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围是 ． 【解析】不妨设三角形三边长分别为a ，b ，c 且a b c <<，故2b a c =+，设三角形的面积为S ，则S S a k c a c ==:，则1k <，由a b c +>，2a c a c ++>，则13k >．故113k <<．【答案】113k <<【例10】 在不等边三角形中，如果有一条边长等于另两条边长的平均值，那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( )A ．314k <<B ． 113k <<C ． 12k <<D ． 112k <<【解析】题目可以转化为，已知02a b c a c b a b c>>>⎧⎪+⎪=⎨⎪-<⎪⎩，求c a 的范围．由已知条件易得3c a c <<，即113ca<<，选B ．【答案】B【例11】 已知三角形中两条边的长分别为a 、b ，且a b >，求这个三角形的周长l 的取值范围( )A ．33a l b >>B ．2()2a b l a +>>C ．22a b l b a +>>+D ．32a b l a b ->>+ 【解析】∵a b c a b -<<+，∴22()a a b c a b <++<+，故选择B ．【答案】B【例12】 已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为( )．A ．8B ．7C ．6D ．4 【解析】设5a b -=，由已知可得a b c ++为奇数，所以c 为偶数，且c a b >-，所以c 的最小值为6． 【答案】6【例13】 周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？【解析】设三角形的三边长为a 、b 、c ，且a b c <<，则有30a b c a b c b a ++=⎧⎨+>>-⎩故230c a b c <++=，15c <；又330c a b c >++=，10c >，即1015c << 当14c =时，有5组解：13b =，3a =；12b =，4a =；11b =，5a =；10b =，6a =；9b =，7a =；当13c =时，有4组解：12b =，5a =；11b =，6a =；10b =，7a =；9b =，8a =； 当12c =时，有2组解：11b =，7a =；10b =，8a =； 当11c =时，有1组解：10b =，9a =；故周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个．【答案】12板块二、三角形内角和【例14】 如图，127.5∠=︒，295∠=︒，338.5∠=︒，求4∠的大小．4321ABDEC【解析】Q 23ADC ∠=∠+∠， 14180ADC ∠+∠+∠=︒，∴2314180∠+∠+∠+∠=︒， ∴9538.527.54180︒+︒+︒+∠=︒， ∴419∠=︒．【答案】19︒【例15】 如图，求A B C D E F G H I ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的值．(2)A BC D EFGIH【解析】连接BE 、FI ，AE 、AF ，那么D C BED EBC ∠+∠=∠+∠，G H HIF IFG ∠+∠=∠+∠ A B C D E F G H I ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠()BAI ABC BED EBC =∠+∠+∠+∠+()DEF GFE HIF IFG AIH ∠+∠+∠+∠+∠BAI ABE BEF IFE AIF =∠+∠+∠+∠+∠3180540=⨯︒=︒ 【答案】540︒【例16】 如图，P 是ABC △内一点，试比较BPC ∠与A ∠的大小．PCBA【解析】略【答案】图中没有三角形的外角，可适当引辅助线构造外角，再比较．延长BP 交AC 于D ．则有BPC PDC ∠>∠，且PDC A ∠>∠，所以BPC A ∠>∠．A PCBD【例17】 已知三角形的三个内角分别为α、β、γ，且αβγ≥≥，2αγ=，则β的取值范围是 ．【解析】由题意可得2(180)3αβ=︒-，1803βγ︒-=，解不等式组2180(180)33βββ︒-︒-≥≥，得：4572β︒︒≤≤．【答案】4572β︒︒≤≤【例18】 已知三角形有一个内角是(180)x -度，最大角与最小角之差是24︒．求x 的取值范围． 【解析】①若(180)x -度为最大角，则最小角为(156)x -度，那么，156180(180)(156)180x x x x ------≤≤，解得104112x ≤≤；②设(180)x -度是中间角，则121801222x xx --+≤≤，112128x ≤≤； ③设(180)x -度为最小角，则180180(180)(204)204x x x x ------≤≤，解得128136x ≤≤，综合⑴、⑵、⑶得x 的范围是104136x ≤≤．【答案】104136x ≤≤．【例19】 在锐角三角形ABC ∆中，AB BC AC >>，且最大内角比最小内角大24︒，则A ∠的取值范围是 ． 【解析】∵AB BC AC >>，∴C A B ∠>∠>∠．设B x ∠=︒，则24C x ∠=︒+︒， 180(24)1562A x x x ∠=︒-︒-︒+︒=︒-︒． ∴24156215622490x x x x x +>-⎧⎪->⎨⎪+<⎩，解得4452x <<， 因此52156268x ︒<︒-︒<︒．故5268A ︒<∠<︒．【答案】5268A ︒<∠<︒【例20】 如右图所示，在ABC ∆中，CD 、BE 是外角平分线，BD 、CE 是内角平分线，BE 、CE 交于E ，BD 、CD 交于D ，试探索D ∠与E ∠的关系： ．ABCDEFGO【解析】在BEO ∆和DCO ∆中，∵11118090222EBO ABF ABC ∠=∠+∠=⨯︒=︒同理90DCO ∠=︒∴EBO DCO ∠=∠∵EOB DOC ∠=∠，∴D E ∠=∠【答案】D E ∠=∠【例21】 如图所示，点E 和D 分别在ABC ∆的边BA 和CA 的延长线上，CF 、EF 分别平分ACB ∠和AED ∠，试探索F ∠与B ∠，D ∠的关系： ．ABCDE FGH【解析】EGD ∆与CGF ∆中，EGD CGF ∠=∠∴F D DEG FCG ∠=∠+∠-∠同理BHC ∆与FHE ∆中，BHC FHE ∠=∠ ∴F B HCB HEF ∠=∠+∠-∠ ∵DEG HEF ∠=∠，FCG HCB ∠=∠∴2F D B ∠=∠+∠即1()2F D B ∠=∠+∠，也可连接EC ，而后利用等量代换求证．【答案】1()2F D B ∠=∠+∠【例22】 如图所示，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，试探索DCE ∠与DBE ∠和DAE ∠的关系： ．ABC DE【解析】连接DE ，∵在BDE ∆中，180DBE BDE BED ∠+∠+∠=︒ ∴180BDE BED DBE ∠+∠=︒-∠∵在ADE ∆中，180DAE ADE AED ∠+∠+∠=︒ 又∵ADE ADB BDE ∠=∠+∠，AED AEB BED ∠=∠+∠ ∴180()DAE ADB AEB BDE BED ∠+∠+∠=︒-∠+∠180(180)DBE DBE =︒-︒-∠=∠∴ADB AEB DBE DAE ∠+∠=∠-∠在DCE ∆中，180DCE CDE CED ∠+∠+∠=︒∵1()()2CDE CED ADB AEB BDE BED ∠+∠=∠+∠+∠+∠∴1180()()2DCE DBE DAE BDE BED ∠=︒-∠-∠-∠+∠11()()22DBE DBE DAE DBE DAE =∠-∠-∠=∠+∠，即：1()2DCE DBE DAE ∠=∠+∠ABC DE【答案】1()2DCE DBE DAE ∠=∠+∠【例23】 如图，60A ∠=︒，线段BP 、BE 把ABC ∠三等分，线段CP 、CE 把ACB ∠三等分，则BPE ∠的大小是 ．EPCBA【解析】思路1：分析可知BPC A ABP ACP ∠=∠+∠+∠，因为60A ∠=︒，故可以先考虑求出ABP ACP∠+∠的度数，根据题设条件，线段BP 、BE 把ABC ∠三等分，线段CP 、CE 把ACB ∠三等分，所以13ABP ABC ∠=∠，13ACP ACB ∠=∠，12BPE BPC ∠=∠，这样只要求出ABC ACB ∠+∠的度数，就可以解决问题，只需利用三角形内角和定理，即可求出． 解法1 ：在BPC ∆中，因为BE 平分CBP ∠，CE 平分BCP ∠， 所以PE 是BPC ∠的平分线．即12BPE BPC ∠=∠．因为60A ∠=︒，所以120ABC ACB ∠+∠=︒，又因为BP 、BE 把ABC ∠三等分，CP 、CE 把ACB ∠三等分．所以13ABP ABC ∠=∠，13ACP ACB ∠=∠，又因为BPC A ABP ACP ∠=∠+∠+∠，所以12()3BPE A ABC ACB ∠=∠+∠+∠，所以11601205026BPE ∠=⨯︒+⨯︒=︒．思路2：结合本题特有条件，还可以把着眼点集中于BPC ∆中，直接利用三角形内角和定理解决这一问题．同样由两个三等分得到12BPE BPC ∠=∠，不同在于我们利用三等分的另一个结论，23BCP ACB ∠=∠，23CBP ABC ∠=∠．解法2 ：在BPC ∆中，因为BE 平分CBP ∠，CE 平分BCP ∠，所以PE 是BPC ∠的平分线，即12BPE BPC ∠=∠．因为60A ∠=︒，所以120ABC ACB ∠+∠=︒．2()803BCP CBP ABC ACB ∠+∠=∠+∠=︒，所以100BPC ∠=︒，所以1100502BPE ∠=⨯︒=︒．【点评】图1和图2中，分别是两个内角的2等分线，3等分线相交．P 1C B AP 2P 1CB A易得结论：图1中有0011809022A AP +∠∠∠==+， 图2中有001180226033A AP +∠∠∠==+， 00001218029*********P A A P ∠+∠∠∠=+=+=+． 【答案】50︒【习题1】如图，△ABC 中，已知AB=AC=x ，BC=6，则腰长x 的取值范围是（ ）课后作业A 、0＜x ＜3B 、x ＞3C 、3＜x ＜6D 、x ＞6【解析】根据三角形的三边关系定理来确定腰长x 的取值范围． 【答案】若△ABC 是等腰三角形，需满足的条件是：6﹣x ＜x ＜6+x ，解得x ＞3； 故选B ．【习题2】已知在ABC ∆中，8AB =，14BC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围． 【解析】8787AD -<<+，即115AD <<；【答案】115AD <<【习题3】设ABC ∆的三边a 、b 、c 的长度均为自然数，且a b c ≤≤，13a b c ++=，则以a 、b 、c 为三边的三角形共有 个．【解析】由13a b c ++=，可知13a b c +=-，又a b c +>，所以13c c ->，即132c <，又a b c +>，所以13c c ->，即132c <，从而c 可取5、6又由a b c ≤≤，可知a 、b 、c 可取：3、5、5；4、4、5；1、6、6；2、5、6；3、4、6，共可组成5个三角形． 【答案】5个【习题4】如图所示，已知EGF BEG CFG ∠=∠+∠，试探索A B C D ∠+∠+∠+∠的度数．ABC D EFGMN【解析】略【答案】延长FG 交EB 于点O∵EGF BEG EOG ∠=∠+∠又∵EGF BEG CFG ∠=∠+∠ ∴EOG CFG ∠=∠，∴EB ∥FC∴180EMN FNM ∠+∠=o∵180()EMN A B ∠=-∠+∠o ，180()FNM C D ∠=-∠+∠o ∴180A B C D ∠+∠+∠+∠=o【习题5】如下图，ABC ∆中，80A ∠=︒，剪去A ∠后，得到四边形BCED ，则12∠+∠= ．21ED B CA【解析】略【答案】260︒．【习题6】ABC ∆中，A ∠是最小角，B ∠是最大角，且25B A ∠=∠，若B ∠的最大值是m ︒，最小值是n ︒．则m n += ．【解析】25A B ∠=∠，依题意得2718055B B B ∠︒-∠∠≤≤，解得75100B ︒∠︒≤≤，故175m n +=．【答案】175【习题7】如右图所示，BD 是ABC ∠的角平分线，CD 是ABC ∆的外角平分线，BD 、CD 交于点D ，试探索A ∠与D ∠之间的关系： ．AB C DE【解析】∵ACE A ABC ∠=∠+∠∵12DCE ACE ∠=∠，12DBC ABC ∠=∠∴12DCE A DBC ∠=∠+∠∵DCE D DBC ∠=∠+∠∴12D DBC A DBC ∠+∠=∠+∠，即12D A ∠=∠【答案】12D A ∠=∠【习题8】如图，BF 是ABD ∠的角平分线，CE 是ACD ∠角的平分线，BE 与CF 交于G ，若140BDC ∠=︒，110BGC ∠=︒，求A ∠的度数．A BCDEFG【解析】延长BD 交AC 于H ，则BDC HCD DHC ∠=∠+∠G F EDCBA H∵DHC A ABH ∠=∠+∠∴BDC A ABH HCD ∠=∠+∠+∠①∵BGC GFC FCG ∠=∠+∠，GFC A ABF ∠=∠+∠ ∴BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠ ∴2222BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠ 即22BGC A ABH ACD ∠=∠+∠+∠② ②－①得2BGC BDC A ∠-∠=∠ ∴211014080A ∠=⨯︒-︒=︒【答案】80︒。

内容基本要求略高要求较高要求 全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形和全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用三角形全等的性质和判定解决有关问题会利用全等三角形的知识解释或证明经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．中点的知识：三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．模块一 截长补短例题精讲中考要求全等三角形【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOECB A【解析】 BE CD BC +=，理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ，利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆，∴12∠=∠，∵60A ∠=︒，∴1901202BOC A ∠=+∠=o o ，∴120DOE ∠=o ，∴180A DOE ∠+∠=o ，∴180AEO ADO ∠+∠=o ，∴13180∠+∠=o ， ∵24180∠+∠=o ，∴12∠=∠，∴34∠=∠，利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．4321FDOE CB A【答案】同解析【例2】 如图所示．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且2BAE DAM ∠=∠．求证：AE BC CE =+．M EDCBA【解析】 分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BC CE +)，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．(2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE )上截取与线段中的某一段(如BC )相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段(CE )相等．我们用(1)法来证明．证 延长AB 到F ，使BF CE =，则由正方形性质知AF AB BF BC CE =+=+下面我们利用全等三角形来证明AE AF =．为此，连接EF 交边BC 于G ．由于对顶角BGF CGE ∠=∠，所以()Rt ΔBGF CGE AAS ∆≌，从而12BG GC BC FG EG ===，，BG DM =于是()Rt ΔRt ΔABG ADM SAS ≌，所以12BAG DAM BAE EAG ∠=∠=∠=∠，AG 是EAF ∠的平分线过G 引GH AE ⊥于H ．因为AG 是∠EAF 的平分线，所以GB =GH ，从而Rt △GBF ≌Rt △GHE (HL )，所以∠F =∠HEG ，则 AF =AE (底角相等的三角形是等腰三角形)，即 AE =BC +CE ．说明 我们也可以按分析(2)的方法来证明结论，为此可先作∠BAE 的平分线AG 交边BC 于G ，再作GH ⊥AE 于H ，通过证明△ABG ≌△AHG 知AB =AH =BC ．下面设法证明HE =CE 即可，请同学们自证．HGFM E DCB A【答案】同解析【例3】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．OEDCA【解析】 因为ABD ∆、ACE ∆是等边三角形，所以AB AD =，AE AC =，CAE ∠=60BAD ∠=o ，则BAE DAC ∠=∠，所以BAE DAC ∆∆≌，则有ABE ADC ∠=∠，AEB ACD ∠=∠，BE DC =．在DC 上截取DF BO =，连结AF ，容易证得ADF ABO ∆∆≌，ACF AEO ∆∆≌． 进而由AF AO =．得AFO AOF ∠=∠；由AOE AFO ∠=∠可得AOF ∠=AOE ∠，即OA 平分DOE ∠．FOEDCA【答案】同解析【例4】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDECE DB AABDEFC【解析】 延长DE 至F ，使得EF =BC ，连接AC .∵∠ABC +∠AED =180°，∠AEF +∠AED =180° ∴∠ABC =∠AEF ∵AB =AE ，BC =EF ∴△ABC ≌△AEF ∴EF =BC ，AC =AF∵BC +DE =CD ∴CD =DE +EF =DF ∴△ADC ≌△ADF ∴∠ADC =∠ADF 即AD 平分∠CDE .【答案】同解析版块二、倍长中线【例5】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FEDC BA【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连结BG∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD =∴ADC GDB ∆∆≌ ∴AC GB =．G EAF ∠=∠ 又∵AF EF =，∴EAF AEF ∠=∠ ∴G BED ∠=∠∴BE BG =，∴BE AC =．GFEDCBA【答案】略【例6】 如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．F GE DCBA【解析】 延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ．在CEF ∆和BEH ∆中 CE BECEF BEH FE HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG == ∴EHB BGE ∠=∠，而BGE AGF ∠=∠ ∴AFG AGF ∠=∠ 又∵EF AD ∥∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠ ∴CAD BAD ∠=∠∴AD 为ABC ∆的角平分线．HAF GBE DC【答案】略【例7】 如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．MECBA【解析】 如图所示，设AM 交DC 于H ，要证明AM CD ⊥，实际上就是证明90AHD ∠=︒，而条件BM ME=不好运用，我们可以倍长中线AM 到F ，连接BF 交AD 于点N ，交CD 于点O ． 容易证明AM E FM B ∆∆≌则AE FB =，EAF F ∠=∠，从而AE FB ∥，90ANF ∠=︒ 而90CAD DAB ∠+∠=︒，90DAB ABN ∠+∠=︒，故CAD ABN ∠=∠ 从而CAD ABF ∆∆≌，故D F ∠=∠ 而90D DON FOH F ∠+∠=∠+∠=︒ 故90AHD ∠=︒，亦即AM CD ⊥．ON FHMEDC BA【答案】略模块三 中位线的应用中位线的证明已知在ABC △中，点D E 、分别为AB AC 、的中点，求证DE BC ∥且12DE BC =【答案】延长DE 至F 使EF DE =,连接CF 、BF 。