浙教版2020学年《解直角三角形》培优提升特训(Word版无答案)

第一章《解直角三角形》单元提优测试题一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1﹒在△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tan B的值是（）A﹒13B﹒3 C﹒24D﹒222﹒如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，若AC＝a，BD＝b，则平行四边形ABCD的面积是（）A﹒12ab sinαB﹒12ab cosαC﹒ab cosαD﹒ab sinα第2题图第4题图第5题图第6题图3﹒若锐角α满足cosα＜22，且tanα＜3，则α的范围是（）A﹒30°＜α＜45°B﹒45°＜α＜60°C﹒60°＜α＜90°D﹒30°＜α＜60°4﹒如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin C＞sin D；②cos C＞cos D；③tan C＞tan D中，正确的结论为（）A﹒①②B﹒②③C﹒①②③D﹒①③5﹒如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于（）A﹒34B﹒43C﹒35D﹒456﹒如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P的坐标为（1，1），直线y＝kx+b（k≠0）与x轴和y轴的正半轴分别相交于点A、B，若tan∠ABO＝3，则点A的坐标为（）A.（3，0）B.（4，0）C.（42，0）D.（5，0）7﹒如图，某小型水库栏水坝的横断面是四边形ABCD，DC∥AB，测得迎水坡的坡角α＝30°，已知背水坡的坡比为1.2：1，坝顶部宽为2m，坝高为6m，则坝底AB的长为（）A﹒(7+63)m B﹒(5+63)m C﹒(7+23)m D﹒(5+23)m第7题图第8题图第9题图第10题图8﹒如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点E是AB上一点，且满足AE：EB＝5：7，EF∥BC交AC于点F，AD是边BC上的中线，若EF＝10，tan C＝52，则AD的长为（）A﹒182B﹒20 C﹒30 D﹒3029﹒如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，作直径DE交⊙O于E，连结BE，若tan∠ACB＝45，BC＝6，则BE的长为（）A﹒6 B﹒325C﹒245D﹒810.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB＝AN：ND＝1：2，则tan∠MCN的值为（）A﹒3313B﹒2511C﹒239D﹒5－2二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11.若α为锐角，且sinα＝45，则tanα＝_________.12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝35，则斜边上的高为__________.13.在锐角△ABC中，已知AB＝5，AC＝5，S△ABC＝103，则BC的长为_________.14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan B＝43，点D、E分别在边AB、AC上，且DE⊥AC于点E，若DE＝6，DB＝20，则tan∠BCD＝__________.第14题图第15题图第16题图15.如图，某小船由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛P在北偏东45°方向上，船继续航行到点C时，测得小岛P 恰好在船的正北方，则此时船到小岛的距离为_________海里.16.已知，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于_____________.三、解答题（本题有7小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17.(6分)如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点E反射后照射到B点.若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，求tanα的值.18.(8分)如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝25，sin B＝255，D为边BC的中点，E为边BC的延长线上一点，且CE＝BC，连结AE，F为线段AE的中点. 求：（1）线段DE的长；（2）tan∠CAE的值.19.(8分)如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图2所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，D为垂足，∠A＝30°，∠CBD ＝75°，AB＝60m.求：（1）点B到AC的距离；（2）线段CD的长度.图1 图220.(10分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足CF：FD＝1：3，连结AF并延长交⊙O于点E，连结AD、DE.（1）求证：△ADF∽△AED；（2）若CF＝2，AF＝3，求tan∠E的值.21.(10分)某海域有A、B、C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向A、B两船发出紧急求救信号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距离A船24海里的海域，C船位于A船的北偏东33°方向，同时又位于B船的北偏东78°方向.（1）求∠ABC的度数；（2）若A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点.（结果精确到0.01小时，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）22.(12分)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠F AE＝30°，求大树的高度.（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，3≈1.73）23.(12分)如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，连结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD与点M，且使得∠ABE＝∠CBP，如果AB＝2，BC ＝5，AP＝x（2＜x≤5），PM＝y（1）求y关于x的函数关系式；（2）当AP＝4时，求tan∠EBP的值．参考答案Ⅰ﹒答案部分： 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DABDABACBA二、填空题11﹒43. 12﹒4825. 13﹒7. 14﹒83． 15﹒5(3+1). 16﹒43－4．三、解答题17.解答：由光的反射定律可知：∠AEC ＝∠BED ， ∵∠ACE ＝∠BDE ＝90°， ∴△ACE ∽△BDE ， ∴AC BD ＝CE DE，即36＝12CE CE -，解得：CE ＝4，在Rt △ACE 中，tan ∠A ＝CE AC ＝43，又∵∠A ＝α，∴tan α＝43.18.解答：（1）连结AD ， ∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∵AB ＝AC ＝25，sin ∠B ＝255， ∴AD AB＝255，∴AD ＝4，由勾股定理得：BD ＝2， ∴DC ＝BD ＝2，BC ＝4， ∵CE ＝BC ，∴CE ＝4， ∴DE ＝2+4＝6；（2）过C 作CM ⊥AE 于M ， 则∠CMA ＝∠CME ＝90°，在Rt △ADE 中，由勾股定理得；AE ＝22AD DE +＝2246+＝213， ∵由勾股定理得；CM 2＝AC 2－AM 2＝CE 2－EM 2，∴(25)2－AM 2＝42－(213﹣AM )2，解得：AM ＝141313， CM ＝22AC AM -＝221413(25)()13-＝81313， ∴tan ∠CAE ＝CM AM ＝81313141313＝47．19.解答：（1）过点B 作BE ⊥AC 于点E ，在Rt △AEB 中，AB ＝60m ，sin A ＝12，BE ＝AB sin A ＝60×12＝30，cos A ＝AE AB，∴AE ＝60×32＝303m ，在Rt △CEB 中，∠ACB ＝∠CBD －∠A ＝75°－30°＝45°， ∴BE ＝CE ＝30m ，即点B 到AC 的距离为(30+303)m ； （2）由（1）知：AE ＝303m ，CE ＝30m ， ∴AC ＝AE +CE ＝(30+303)m ， 在Rt △ADC 中，sin A ＝CDAC， ∴CD ＝(30+303)×12＝(15+153)m ， 即线段CD 的长度为(15+153)m .20.解答：（1）∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ， ∴DG ＝CG ，∴AD ＝AC ，∠ADF ＝∠AED ， 又∵∠F AD ＝∠AED ， ∴△ADF ∽△AED ；（2）∵CF ：FD ＝1：3，CF ＝2， ∴FD ＝6，∴CD ＝DF +CF ＝8， ∴CG ＝DG ＝4， ∴FG ＝CG －CF ＝2，由勾股定理得：AG ＝22AF FG -＝5， ∴tan ∠E ＝tan ∠ADG ＝AG DG＝54.。

浙教版2020九年级数学下册第1章解直角三角形自主学习培优测试卷B卷（附答案详解）1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（）A．6 B．3 C．3D．6﹣62．在△ABC中，若1sin2A=，tanB=1，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形3．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，坡高BC=5m，则坡面AB的长度（）A．10m B．103m C．53m D．55m4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=1213，则cosA的值为（）A．512B．125C．1213D．13125．已知∠A+∠B=90°,且cosA=15，则cosB的值为( )A．15B．45C．26D．256．如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过点G作GE⊥AD于点E.若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论：①DF⊥AB；②CG=2GA；③CG=DF+GE；④S四边形BFOC =31-.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m，眼睛与地面的距离为1.6m，那么这棵树的高度大约是（）A．5.2m B．6.8m C．9.4m D．17.2m8．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度是1：3，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100m B．120m C．503m D．1003m 9．下列说法中正确的是( )A．在Rt△ABC中，若tanA＝34，则a＝4，b＝3B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则tanA＋tanB＝1C．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则tanA＝3 4D．tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°＝1＋310．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A．8tan20°B．C．8sin20°D．8cos20°11．如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物项端A的仰角为45，则建筑物AB的高度等于________．12．在直角坐标平面内有一点A(3，4)，点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是_____．13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝10，若△ABC的面积为5033，则∠A＝______度．14．如图，在△ABC中，BC=7，32AC=，tanC=1，点P为AB边上一动点（点P 不与点B重合），以点P为圆心，PB 为半径画圆，如果点C在圆外，那么PB的取值范围______.15．计算：2sin45°+tan60°•tan30°﹣cos60°=_____．16．已知菱形ABCD中，点O是边CD的中点，点P是边BC的中点，点E是直线CD上一点，若菱形的边长为12.5，sinB=35，DE=2.5，tan∠EPC=_____．17．如图，已知正方形边长为4，以A为圆心，AB为半径作弧BD，M是BC的中点，过点M作EM⊥BC交弧BD于点E，则弧BE的长为_____．18．已知在△ABC中，∠C＝90°，3cos B＝2，AC＝25，则AB＝________．19．如图，在△ABC 中，AB=AC，BC=8. O是△ABC的外接圆，其半径为5. 若点A 在优弧BC上，则tan ABC∠的值为_____________.20．在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，OA＝433，OB＝4，分别以OA、OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D为x轴正半轴上一点，以OD为一边在第一象限内作等边△ODE．(1)如图1，当E点恰好落在线段AB上时，求E点坐标；(2)在(1)问的条件下，将△ODE沿x轴的正半轴向右平移得到△O′D′E′，O′E′、D′E′分别交AB于点G、F(如图2)求证OO′＝E′F；(3)若点D沿x轴正半轴向右移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB重叠部分的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式．21．如图，为了测量建筑物AB的高度，在D处树立标杆CD，标杆的高是2m，在DB上选取观测点E、F，从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58°、45°．从F 测得C、A的仰角分别为22°、70°．求建筑物AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75．）22．如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．（1）判断四边形ACC′A′的形状，并说明理由；（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=8，cos∠BAC=45，求CB′的长．23．合肥市打造世界级国家旅游中心，精心设计12个千年古镇。

1・3解直角三角形一、选择题（共13小题）1•将一个有…角的三角板的直角顶点放在一张宽为.的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成…角，如图，则三角板的最大边的长为A. 3.B. ImC.D.2. 如图，在坡角为 -的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离为■:，则这两棵树之间的坡面二的长为A. |z■•：>B. —、.：C. v >D. 2.....3. 在二―中，•，，如果八-二,- ■-，那么「的值是A. B. C. D.4. 如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在*处仰望树顶，测得仰角为：，再往大树的方向前进•，测得仰角为…，已知小敏同学身高（爲）为」■,则这棵树的高度为（结果精确到「「，「一）A. 3.5..mB. 3.6. uiC. 4.3..inD. 5.1. jn5. 在丄33中，〃…，幕2.],则• ！的度数是A.6. 如图，为了对一颗倾斜的古杉树「进行保护，需测量其长度：在地面上选取一点厂，测得「，一「：..，_[•—」，（参考数据:，一I 2 ，■、，：•-「，:「、；•：：. '）.则这颗古杉树三」的长约为B. 16 .70 zn7. 如图，•宀是•的内接三角形，「「，「的半径为若点『是上的一点，在中则」的长为■:..：■A.、8. 如图，客轮在海上以：八一的速度由"向匚航行，在占处测得灯塔|的方位角为北偏东卜-，测得处的方位角为南偏东丁，航行」小时后到达*处，在匚处测得匚的方位角为北偏东：：，则"到-的距离是B. 15V2U1D. 5 （则十鼻迈）km9. 如图，在nF中，_-',点门为一：「的中点，.：-：，.：.-；，将匸皿沿着一：折叠后，点落在点厂处，则1的长为A.卞B. ；_C. _D."10. 某市进行城区规划，工程师需测某楼幕的高度，工程师在n点用高-的测角仪“；，测得楼顶端|的仰角为…，然后向楼前进' 至U达匚又测得楼顶端：的仰角为「，楼-的高为 :A. 10/1+2B. 1571+2C. 20^ + 2D.11. 如图，等腰;绕点匚顺时针旋转，点用的对应点”落在边上, 已知，心=F , :• - , ，贝y 一」的长为A.八。

浙教版2022-2023学年九下数学第1章 解直角三角形 培优测试卷（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．在Rt△ABC 中，△C ＝90°，各边都扩大5倍，则tanA 的值（ ） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小5倍 D ．不能确定 【答案】A【解析】∵三角函数值与对应边的比值有关， ∴各边都扩大5倍后，tanA 的值不变. 故答案为：A.2．如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC 为100米，则BC 的长为（ ）米．A ．100cos20° B ．100cos20° C ．100sin20° D ．100sin20° 【答案】B【解析】∵△B=90°，△C=20°，∴cos∠C =BCAC，∴BC=AC·cos∠C =100cos20°. 故答案为：B. 3．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB 的长为（ ）米A ．4√3B ．6√5C ．12√5D ．24【答案】B【解析】如图,过B 作BE△AD 于点E ，∵斜面坡度为1：2，AE=12， ∴BE=6，在Rt△ABC 中， AB =√AE 2+BE 2=√122+62=6√5 ． 故答案为：B ．4．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为（ ）A ．12B ．√22C ．√32D ．1【答案】B【解析】如图，设AB 与CD 交于点E ，过点C 作CF△AB ，连接DF ，∵CF△AB ，∴∠C =∠AEC =α ， 设小正方形的边长为1，根据勾股定理得： CD 2=12+32=10 ， DF 2=12+22=5 ， CF 2=12+22=5 ，∴CF 2+DF 2=CD 2 ，DF=CF ， ∴△CDF 为等腰直角三角形， ∴△C=45°，∴sinC =√22，∴夹角α的正弦值为 √22.故答案为：B.5．鹅岭公园是重庆最早的私家园林，前身为礼园，是国家级AAA 旅游景区，园内有一瞰胜楼，登上高楼能欣赏到重庆的优美景色.周末，李明同学游览鹅岭公园，如图，在点A 观察到瞰胜楼楼底点C 的仰角为12°，楼顶点D 的仰角为13°，测得斜坡BC 的坡面距离BC = 510米，斜坡BC 的坡度 i =8：15 .则瞰胜楼的高度CD 是（ ）米.（参考数据：tan12°≈0.2，tan13°≈0.23）A ．30B ．32C ．34D ．36 【答案】D【解析】由斜坡BC 的坡度i =8：15 ，设 CE =8x 、 BE =15x ， 在 Rt △BCE 中，BC =√BE 2+CE 2=√(8x)2+(15x)2=17x ， 由 BC =17x =510 求得 x =30 ， ∴CE =240 米、 BE =450 米，在 Rt △ACE 中，AE =CE tan∠CAE =240tan12°=1200 （米）， 在 Rt △ADE 中，DE =AEtan∠DAE =1200×tan13°=276 （米）， 则 DC =DE −CE =276−240=36 （米）. 故答案为：D.6．若规定 sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ ，则sin15°=（ ） A ．√2−12 B ．√2−√64 C ．√3−12 D ．√6−√24【答案】D【解析】由题意得，sin15°=sin （45°-30°） =sin45°cos30°-cos45°sin30°=√22×√32−√22×12=√6−√24故答案为：D7．如图，在菱形ABCD 中，DE△AB ，cosA ＝35，AE ＝3，则tan△DBE 的值是（ ）A ．12B ．2C ．√52D ．√55【答案】B【解析】∵DE△AB ，cosA ＝35，AE ＝3，∴AE AD =3AD =35，解得：AD ＝5. ∴DE ＝ √AD 2−AE 2=√52−32＝4， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB=5， ∴BE ＝5﹣3＝2，∴tan△DBE ＝ DE BE =42＝2.故答案为：B.8．如图，在△ABC 中，△C=90°，△A=30°，D 为AB 上一点，且AD ：DB=1：3，DE△AC 于点E ，连接BE ，则tan△CBE 的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设AB=4a ，∵在△ABC 中，△C=90°，△A=30°，D 为AB 上一点，且AD ：DB=1：3， ∴BC=2a ，AC=2 √3 a ，AD ：AB=1：4， ∵△C=90°，DE△AC ， ∴△AED=90°， ∴△AED=△C ， ∴DE△BC ，∴△AED△△ACB ，∴AE AC =AD AB ，∴AE AC =14 ，∴AE= 14×2√3a =√32a ，∴EC=AC ﹣AE= 2√3a −√32a =3√32a ，∴tan△CBE= CE CB =3√32a 2a =3√34，故答案为：C ．9．如图，已知扇形OAB 的半径为r ，C 是弧AB 上的任一点（不与A ，B 重合），CM△OA ，垂足为M ，CN△OB ，垂足为N ，连接MN ，若△AOB ＝ α ，则MN 可用 α 表示为（ ）A ．rsinαB ．2rsin α2 C ．rcosα D ．2rcos α2【答案】A【解析】如图，连接OC 交MN ，延长OM 、ON 交于一点D ，∵∵△CMD=△DNO=90°， ∴△D=△D ，∴△CMD△△OND ，∴DM DN =DC DO ，即DM DC =DN DO , ∵△D=△D ，∴△DMN△△DCO ， ∴MN CO =DN OD， ∵sin△AON=DN OD ,∴sin△AON=MN CO, 即sin α=MN r,∴MN= rsinα ， 故答案为：A.10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D.设BD ＝x ，tan△ACB ＝y ，则x 与y 满足关系式（ ）A ．x ﹣y 2＝3B ．2x ﹣y 2＝6C ．3x ﹣y 2＝9D ．4x ﹣y 2＝12【答案】C【解析】过A 作AQ△BC 于Q ，过E 作EM△BC 于M ，连接DE ，∵BE 的垂直平分线交BC 于D ，BD=x ， ∴BD=DE=x ，∵AB=AC ，BC=8，tan△ACB=y ， ∴EM MC =AQCQ =y ，BQ=CQ=4， ∴AQ=4y ，∵AQ△BC ，EM△BC ， ∴AQ ∥EM ，∵E 为AC 中点，∴CM=QM=12CQ=2，∴EM=2y ，∴DM=8-2-x=6-x ，在Rt△EDM 中，由勾股定理得：x 2=（2y ）2+（6-x ）2， 即3x -y 2=9. 故答案为：C.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．如图，正方形网格中，点A ，O ，B ，E 均在格点上．△O 过点A ，E 且与AB 交于点C ，点D 是△O 上一点，则tan∠CDE = ．【答案】12【解析】由题意可得：△CDE ＝△EAC ， 则tan△CDE ＝tan△EAC ＝BE AE =24=12．故答案为：12．12．如图，已知BD 是△ABC 的外接圆直径，且BD =13，tanA =512，则BC = ．【答案】5【解析】如图所示，连接C ，D ，由图可知 ∠A =∠D （同弧所对的圆周角相等）， 且 ∠BCD =90°（直径所对的圆周角等于90°），∵tanA =512，∴sinA =513，∴sinA =sinD =513，∴BC =BD ⋅sinD =13×513=5，故答案为：5．13．如图所示，在四边形 ABCD 中， ∠B =90° ， AB =2 ， CD =8 ， AC ⊥CD ，若 sin∠ACB =13，则 cos∠ADC = ．【答案】45【解析】∵∠B =90° ， sin∠ACB =13，∴AB AC =13 ，∵AB =2 ，∴AC =6 ，∵AC ⊥CD ，∴∠ACD =90° ，∴AD =√AC 2+CD 2=√62+82=10 ，∴cos∠ADC =DC AD =810=45． 14．如图，在Rt△ABC 中，△C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，sin△CAM ＝ 35，则tan△B ＝ ．【答案】23【解析】Rt△AMC 中，sin△CAM=MC AM =35， 设MC=3x ，AM=5x ，则AC= √AM 2−MC 2 =4x ． ∵M 是BC 的中点，∴BC=2MC=6x ． 在Rt△ABC 中，tan△B= AC BC =4x 6x =23．故答案为 23.15．如图，在5×5的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 为格点，AB 交CD 于点O ，则tan△AOC ＝ .【答案】12【解析】如图：将线段AB 向右平移至FD 处，使得点B 与点D 重合，连接CF ，∴△AOC ＝△FDC ，设正方形网格的边长为单位1，根据勾股定理可得：CF =√22+12=√5，CD =√42+22=2√5， DF =√32+42=5，∵(√5)2+(2√5)2=52， ∴CF 2+CD 2＝DF 2， ∴△FCD ＝90°，∴tan∠AOC =tan∠FDC =CF CD =√52√5=12.故答案为：12.16．自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选.如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图.经测量，车轮的直径为 66cm ，中轴轴心 C 到地面的距离 CF 为 33cm ，后轮中心 A 与中轴轴心 C 连线与车架中立管 BC 所成夹角 ∠ACB =72° ，后轮切地面 l 于点 D .为了使得车座 B 到地面的距离 BE 为 90cm ，应当将车架中立管 BC 的长设置为 cm .（参考数据: sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.1)【答案】60【解析】∵车轮的直径为 66cm ∴AD=33cm ∵CF=33cm ∴AC△DF∴EH=AD=33cm ∵BE△ED ∴BE△AC∵BH=BE -EH=90-33=57cm∴△sinACB=sin72°= BH BC =57BC=0.95∴BC=57÷0.95=60cm 故答案为60.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．求下列各式的值（1）sin45°cos45°+4tan30°sin60° ；（2）cos60°−2sin 245°+23tan60°−sin30° .【答案】（1）解： sin45°cos45°+4tan30°sin60°=√22×√22+4×√33×√32=12+2 =52. （2）解：cos60°−2sin 245°+23tan 260°−sin30° .=12 -2×(√22)2+23×(√3)2-12 =12-1+2-12 =1. 18．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD 的高度.如图所示，测得斜坡BE 的坡度i ＝1：4（即AB ：AE ＝1：4），坡底AE 的长为8米，在B 处测得树CD 顶部D 的仰角为30°，在E 处测得树CD 顶部D 的仰角为60°.（1）求AB的高；（2）求树高CD.（结果保留根号）【答案】（1）解：作BF△CD于点F，根据题意可得ABCF是矩形，∴CF=AB，∵斜坡BE的坡度i=1：4，坡底AE的长为8米，∴AB=2（米），（2）解：∵AB=2，∴CF=2，设DF=x米，在Rt△DBF中，tan∠DBF=DF BF，则BF=DFtan30∘=√3x（米），在直角△DCE中，DC=x+CF=（2+x）米，在直角△DCE中，tan∠DEC=DC EC∴EC=√33(x+2)米.∵BF-CE=AE，即√3x−√33(x+2)=8.解得：x=4√3+1，则CD=4√3+1+2=(4√3+3)米.答：CD的高度是（(4√3+3)）米.19．如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动.如果楔子底面的斜角为10°，其高度AC为1.8厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC为3厘米.（1）求BH的长；（2）木桩上升了多少厘米？（sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，结果精确到0.1厘米）【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ABC=10°，tan∠ABC=AC BC，则BC=ACtan∠ABC≈1.80.18=10(cm)，∴BH=BC−HC=7(cm)，（2）解：在 Rt △BPH 中， ∠ABC =10° ， tan∠ABC =PHBH， 则 PH =BH ⋅tan∠ABC ≈7×0.18≈1.3(cm) ， 答：木桩上升了大约 1.3 厘米.20．图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由ON 位置运动到与地面垂直的OM 位置时的示意图．已知AC=0.66米，BD=0.26米，α=20°．（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（1）求AB 的长（精确到0.01米）；（2）若测得ON=0.8米，试计算小明头顶由N 点运动到M 点的路径MN ⌢的长度．（结果保留π）【答案】（1）解：过B 作BE△AC 于E ，则AE=AC ﹣BD=0.66米﹣0.26米=0.4米，△AEB=90°，∴AB =AE sin∠ABE =0.4sin20°≈1.17（米）.（2）解：△MON=90°+20°=110°，∴弧MN 的长度是110π×0.8180=2245π米. 21．图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆 DE 、箱长 BC 、拉杆 AB 的长度都相等，即 DE =BC =AB ，点 B ， F 在线段 AC 上，点 C 在 DE 上，支撑点 F 到箱底 C 的距离 FC =32cm ，CE ： CD =1 ： 5 ， DF ⊥AC 于点 F ， ∠DCF =50° ，请根据以上信息，解决下列问题：（1）求水平滑杆 DE 的长度；（2）求拉杆端点 A 到水平滑杆 DE 的距离 ℎ 的值 ( 结果保留到 1cm).( 参考数据：sin50°≈0.77 ， cos50°≈0.64 ， tan50°≈1.19) . 【答案】（1）解： ∵DF ⊥AC 于点 F ， ∠DCF =50° ，在 Rt △CDF 中， cos50°=CFCD，∴CD =CF cos50∘=320.64≈50(cm) ，∵CE ： CD =1 ： 5 ， ∴DE =60cm ；（2）解：如图，过A 作 AG ⊥ED ，交 ED 的延长线于G ，∵DE =BC =AB ， DE =60cm ， ∴AC =120cm ，在 Rt △ACG 中， sin∠DCF =AGAC，∴ℎ=AG =AC ⋅sin50°=120×0.77=92.4≈92(cm) .22．如图，在等腰三角形ABC 中，△ABC ＝90°，点D 为AC 边上的中点，过点D 作DE△DF ，交AB 于点E ，交BC 于点F.（1）求证：DE ＝DF（2）若AE ＝4，FC ＝3，求cos△BEF 的值. 【答案】（1）证明：连接BD ，∵ △ABC=90°，D 为AC 边上的中点，∴AD=BD=CD ，△C=△A=△EBD=△FBD=45°，BD△AC ，∵DE△DF ，∴△EDF=△BDC=90°，∴△EDB=△CDF=90°-△BDF ， ∴△EDB△△FDC （ASA ）， ∴ DE=DF（2）解：∵ △EDB△△FDC ，CF =3， ∴ CF=BE=3，同理AE=BF=4，在Rt△EBF 中，由勾股定理得：EF=√32+42=5，∴ cos△BEF ＝BF EF =35.23．如图，AB 是△O 的直径，弦CD△AB 于点E ，点P 在△O 上，△1=△BCD ．（1）求证：CB△PD ；（2）若BC=3，sin△BPD= 35，求△O 的直径．【答案】（1）证明：∵△D=△1，△1=△BCD，∴△D=△BCD，∴CB△PD；（2）解：连接AC，∵AB是△O的直径，∴△ACB=90°，∵CD△AB，∴BD⌢= BC⌢，∴△BPD=△CAB，∴sin△CAB=sin△BPD= 3 5，即BCAB=35，∵BC=3，∴AB=5，即△O的直径是5．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC△AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作△Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF.（1）求线段AE的长；（2）若△ABE＝△FDE，求EF的值.（3）若AB﹣BO＝4，求tan△AFC的值.【答案】（1）解：∵点A（0，8），∴AO=8，∵点D是点C关于点A的对称点，∴AC=AD，∵AC△AB，∴BC=BD，∴∠C=∠ADB，∵以AD为直径作△Q交BD于点E，∴∠AED=90°，∴在△CAO和△DAE中，{∠COA=∠AED=90°∠C=∠ADBAC=AD∴△CAO≌△DAE(AAS)，∴AE=AO=8；（2）解：∵△ABE＝△FDE，∴AB ∥DF ，∴∠CAB =∠CDF ，又∵∠C =∠C ，∴△CAB ∽△CDF ，∴AB DF =AC CD =12， ∵△ABE ＝△FDE ，∠AEB =∠FED ， ∴△ABE ∽△FDE ，∴AE FE =AB DF =12，即8FE =12， 解得△FE =16；（3）解：∵AB ﹣BO ＝4，即AB =BO +4， ∵∠AOB =90°，∴在RtΔABO 中，AO 2+OB 2=AB 2，即82+OB 2=(OB +4)2， 解得△OB =6，AB =10，∵∠BEF =90°，∴BE =√AB 2−AE 2=√102−82=6， ∵∠AOB =∠BEF =90°，∠AFO =∠BFE ， ∴△AFO ∽△BFE ，∴AO BE =FO EF =86=43， ∴设EF =3x ，OF =4x ，∴BF =4x −6，∴在RtΔBEF 中，BE 2+EF 2=BF 2，即62+(3x)2=(4x −6)2，解得△x =487， ∴EF =3x =1447， ∴tan∠AFC =tan∠EFB =BE EF =61447=724.。

第一章：解直角三角形培优训练试题一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1．如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC ＝5m ，坡面AB 的坡度为1：3，则AB 的长度为（ ） A ．10mB ．103mC ．5mD ．53m2.如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A 处测得树顶C 的仰角为045，在点B 处测得树顶C 的仰角为060，且A ，B ，D 三点在同一直线上，若m AB 16=，则这棵树CD 的高度是（ ） A ．()m 338-B ．()m 338+C ．()m 336-D ．()m 336+3．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos ∠ADC 的值为（ ）A ．13132 B ．13133 C ．32 D ．35 4.如图，已知△ABC 内接于半径为1的⊙O ，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC 的面积的最大值为( ) A ．cos θ(1+cos θ) B ．cos θ(1+sin θ) C ．sin θ(1+sin θ) D ．sin θ(1+cos θ)5.在中，、均为锐角，且，则是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 6.数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB 的高度．如图，他们在地面上C 点测得最高点A 的仰角为22°，再向前70m 至D 点，又测得最高点A 的仰角为58°，点C ，D ，B 在同一直线上，则该建筑物AB 的高度约为（ ）（精确到1m ．参考数据：，，，）A ．28mB ．34mC ．37mD ．46m7．如图，AB 是半圆的直径，ABC ∠的平分线分别交弦AC 和半圆于E 和D ，若2BE DE =，4AB =，则AE 长为（ ） A ．2B ．21+C ．6D ．4338．小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（ ）米A ．5250600-B ．2503600-C ．3350350+D ．35009.如图，等腰△ABC 的面积为2，AB=AC ，BC=2.作AE ∥BC 且AE=BC.点P 是线段AB 上一动点，连接PE ，过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F ，M 是线段EF 的中点.那么，当点P 从A 点运动到B 点时，点M 的运动路径长为（ ） A ．3B ．3C ．32D ．410．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE ⊥EF ．有下列结论：①∠BAE ＝∠EAF ；②射线FE 是∠AFC 的角平分线；③CF ＝14CD ；④AF ＝AB +CF ．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.如图，在矩形ABCD 中，22==BC AB ，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转，使得点B 落在边CD 上的点B '处，线段AB 扫过的面积为12．某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m ，当无人机飞行至A 处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m 到达B 处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 m ．（参考数据：732.13≈，结果按四舍五八保留一位小数）13.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点处前行m 30到达斜坡的底部点C 处，然后沿斜坡前行m 20到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为030，已知斜坡的斜面坡度3:1=i ，且点A ，B ，C ，D ，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是 ．14．如图，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，点D 、E 分别在AC 、BC 上，点F 在△ABC 内．若四边形CDFE 是边长为2的正方形，则cos ∠ABF ＝15．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt △ABC 中，∠C=90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tanA=16.如图．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，2BE=3CE ，过点D 作AE 的垂线交AB 于F ，点G 为垂足，若FG=3，则EG 的长为三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17．（本题6分）计算下列各式：（1）000030cos 45cos 60tan 30cos ⋅- （2）0002030sin 30tan 2345sin 260cos -+-18．（本题8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连结EF ．（1）求证：∠1=∠F ．（2）若55sin =B ，52=EF ，求CD 的长．19（本题8分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D 在边AC 上，且AD=2CD ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，联结CE ，求：（1）线段BE 的长；（2）求ECB ∠tan20.（本题10分）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小明与同学们在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为53°，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i ＝1：3，AB ＝10米，AE ＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin53°≈54，cos53°≈53，tan53°≈34） （1）求点B 距水平地面AE 的高度；（2）求广告牌CD 的高度．（结果精确到0.1米）21．（本题10分）如图，“中国海监50”正在南海海域A 处巡逻，岛礁B 上的中国海军发现点A 在点B 的正西方向上，岛礁C 上的中国海军发现点A 在点C 的南偏东30°方向上，已知点C 在点B 的北偏西60°方向上，且B 、C 两地相距120海里．（1）求出此时点A 到岛礁C 的距离； （2）若“中海监50”从A 处沿AC 方向向岛礁C 驶去，当到达点A ′时，测得点B 在A ′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）22．（本题12分）如图，抛物线y=﹣x 2+6x 与x 轴交于点O ，A ，顶点为B ，动点E 在抛物线对称轴上，点F 在对称轴右侧抛物线上，点C 在x 轴正半轴上，且OC EF //，连接OE ，CF 得四边形OCFE ． （1）求B 点坐标；（2）当tan ∠EOC=34时，显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F 的坐标；（3）当0＜tan ∠EOC ＜3时，对于每一个确定的tan ∠EOC 值，满足条件的四边形OCFE 有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，求tan ∠EOC ．23（本题12分）．在△ABC 中，∠ABC=90°．（1）如图1，分别过A 、C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：△ABM ∽△BCN ；（2）如图2，P 是边BC 上一点，∠BAP=∠C ，tan ∠PAC =552 ，求C tan 的值； （3）如图3，D 是边CA 延长线上一点，AE=AB ，∠DEB=90°，sin ∠BAC =53，52AC AD ，直接写出tan ∠CEB 的值．。

2022-2023学年浙教版九年级数学下册《1.3解直角三角形》解答题专题提升训练（附答案）1．如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）2．如图是某景区登山路线示意图，其中AD是缆车游览路线，折线A﹣B﹣C﹣D是登山步道，步道AB与水平面AE的夹角α为30°，步道CD与水平面的夹角β为45°，BC是半山观景平台，BC∥AE．现测得AB＝300m，CD＝450m，缆车路线AD＝1000m．其中点A，B，C，D，E在同一平面内，DE⊥AE．（1）求点B到水平面AE的距离；（2）求半山观景平台BC的长度．（结果保留整数）（参考数据：≈1.414，≈1.732．）3．去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．4．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、CE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC＝5.4米，引桥水平跨度AB＝9米．（1）求水平平台DE的长度；（2）若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．（参考数据：取sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）5．2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰完成峰顶测量任务，受此消息鼓舞，某数学小组开展了一次测量小山高度的活动．如图，该数学小组从地面A 处出发，沿坡角为53°的山坡AB直线上行350米到达B处，再沿着坡角为22°的山坡BC直线上行600米到达C处，求小山的高度CD及该数学小组行进的水平距离AD（结果精确到1米）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）6．如图，某学习小组在学习了“利用三角函数测高后”，选定测量小河对面一幢建筑物BC 的高度．他们先在斜坡的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°，且D离地面的高度DE为9米，坡底的长度EA＝21米，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角为45°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73）7．八仙阁是八仙山公园里的一个主景区，八仙阁也是晋江的一个标志性建筑．在阁楼上可以看到整个八仙山公园全景，甚至周围景观都能尽收眼底．小明想知道它的高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37°，向前走了15.5米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是45°，已知小明的眼睛离地面高度是1.5米，请聪明的你帮他求出八仙阁AB的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）8．如图，一座山的一段斜坡BD的长度为400米，且这段斜坡的坡度i＝1：3（沿斜坡从B 到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角（即∠ABC）为30°，在斜坡D处测得山顶A的仰角（即∠ADE）为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少来？9．AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．（1）如图1，求证∠B＝∠E；（2）如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE＝3，求AD的长．10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．11．某校数学社团的同学们使用皮尺和自制的测角仪测量“鼎桥”的高度．如图2所示，他们在地面MB上架设测角仪CM，先在点M处测得“鼎桥”最高点A的仰角∠ACD＝22°，然后沿MB方向前进155m到达点N处，测得点A的仰角∠ADE＝45°（点M，N，B在一条直线上），测角仪的高度为1.6m．请利用同学们的测量数据求“鼎桥”最高点A距离地面的高度AB．（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）12．如图所示，在大楼AB的正前方有一斜坡CD（坡角∠DCE＝45°），在它们之间有一片水域，现要测量大楼AB的高度．小明在斜坡上的点D处利用热气球探测器测得楼顶点B 处的仰角为60°；当热气球探测器竖直向上上升到点F处，测得楼顶点B处的仰角为30°；已知CD＝30米，DF＝60米，其中点A、C、E在同一直线上．（1）求斜坡CD的高度DE（精确到十分位）；（2）求大楼AB的高度（精确到十分位）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）13．如图，一座山的一段斜坡BD的长度为100米，且这段斜坡的坡度i＝1：3．已知在地面B处测得山顶A的仰角为30°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A 到地面BC的高度AC是多少米？14．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）15．某住宅小区，计划在1号楼顶部D和小区大门的上方A之间挂一些彩灯．经测量，得到大门的高度AB＝4.8m，大门与1号楼的距离BC＝30m．在大门处测得1号楼顶部的仰角为30°，而当时测倾器离地面的距离EB＝1.48m．求：（1）小区1号楼CD的高度（参考数据：≈1.414，≈1.732）；（2）估算大门顶部A与1号楼顶部D的距离．（结果保留一位小数）16．一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽，如图所示，小明在河北岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行20m到达B 处，又测得C在B的南偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（结果保留根号）17．如图，一艘位于码头C正东方向的货船D，沿正南方向行驶120千米到达码头A处，此时测得码头B位于码头A北偏西60°方向，货船以30千米/小时的速度匀速从码头A 去码头B取货，再以相同的速度将货物送往码头C，此时测得码头B位于码头C南偏西15°方向，码头A位于码头C南偏东30°方向，（忽略货船取货时间，≈1.4，≈1.7，≈2.4）（1）求码头A与码头C之间的距离（结果保留根号）（2）货船能否在6小时内完成取货送货任务？请说明理由．18．公园大门A的正东方向原本有一条通往湖心小岛B的景观步道AB，但为了让市民朋友多角度欣赏公园景色，市政府决定新修一条景观步道通往湖心小岛B，新步道从A出发通向C地，C位于A的北偏西45°方向，AC＝800米，再从C地到达湖心小岛B，其中C位于B的北偏西60°方向，甲工程队以每天60米的速度进行单独施工，2天后，为了加快工程进度，乙工程队以每天90米的速度加入项目建设，直到两队起完成景观步道的修建．（参考数据：≈1.4）（1）求A、B两地的距离（结果保留根号）；（2）新的景观步道能否在15天内完成？请说明理由．19．某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B须经过C处才能到达．测得景点B在景点A的北偏东30°方向，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．当地政府为了方便游客浏览，打算修建一条从景区A到景区B的笔直的跨湖栈道AB．（1）求点C到直线AB的距离；（2）栈道修通后，从景点A到景点B走栈道比原路线少走多少米？（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）20．4月重庆市巴南区某景区红枫烂漫，迎来大量游客观赏．为了落实防疫要求，景区计划在西门A和东门B之间修建一条笔直的专用通道AB（其中B在A的正东方向上）．已知通道AB的一侧有一个半径为800米的圆形湖泊，湖泊正中央是多彩喷泉C，在通道AB 上的有个观景台M，经测得喷泉C在观景台M的北偏东53°方向上，从观景台M向东走300米到达凉亭N处，此时测得喷泉C正好在凉亭N的东北方向上．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）求观景台M与多彩喷泉C之间的距离是多少米？（2）为了不破坏湖泊，修建的通道AB是否需要改变线路？请说明理由．参考答案1．解：在Rt△BCD中，∵BC的坡度为i1＝1：1，∴＝1，∴CD＝BD＝20米，在Rt△ACD中，∵AC的坡度为i2＝1：，∴＝，∴AD＝CD＝20（米），∴AB＝AD﹣BD＝20﹣20≈14.6（米），∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．2．解：（1）过点B作BF⊥AE，垂足为F，在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，AB＝300m，∴BF＝AB＝150（m），∴点B到水平面AE的距离为150m；（2）过点C作CG⊥AE，垂足为G，过点C作CH⊥DE，垂足为H，则BC＝FG，CH＝GE，BF＝HE＝150m，在Rt△DCH中，∠DCH＝45°，CD＝450m，∴DH＝CD•sin45°＝450×＝450（m），CH＝CD•cos45°＝450×＝450（m），∴GE＝CH＝450m，DE＝DH+HE＝600（m），在Rt△ADE中，AD＝1000m，∴AE＝＝＝800（m），在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，AB＝300m，∴AF＝AB•cos30°＝300×＝150（m），∴BC＝FG＝AE﹣AF﹣GE＝800﹣150﹣450≈90（m），∴半山观景平台BC的长度约为90m．3．解：由已知可得，BD∥EF，AB＝16米，∠E＝30°，∠BDA＝∠BDC＝90°，∴∠E＝∠DBA＝30°，∴AD＝8米，∴BD＝＝＝8（米），∵∠CBD＝45°，∠CDB＝90°，∴∠C＝∠CBD＝45°，∴CD＝BD＝8米，∴BC＝＝＝8（米），∴AC+CB＝AD+CD+CB＝（8+8+8）米，答：压折前该输电铁塔的高度是（8+8+8）米．4．解：（1）延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，由题意得：AD∥EF，∴∠A＝∠EFG＝37°，∵DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AD＝EF，DE＝AF，在Rt△BCF中，BC＝5.4米，∴BF＝≈＝7.2（米），∵AB＝9米，∴DE＝AF＝AB﹣BF＝9﹣7.2＝1.8（米），∴水平平台DE的长度约为1.8米；（2）由题意得：MN＝EG＝3米，在Rt△EFG中，EF＝≈＝5（米），∴AD＝EF＝5米，在Rt△BCF中，BC＝5.4米，∴CF＝＝＝9（米），∴CE＝CF﹣EF＝9﹣5＝4（米），∴两段楼梯AD、CE的长度之比为：5：4．5．解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点B作BH⊥AD于点H，则四边形BEDH是矩形，∴DE＝BH，BE＝DH，在Rt△BCE中，BC＝600米，∠CBE＝22°，∴CE＝BC•sin22°≈600×0.37＝222（米），BE＝BC•cos22°≈600×0.93＝558（米），∴DH＝BE＝558（米），∵AB＝350米，在Rt△ABH中，∠BAH＝53°，∴BH＝AB•sin53°≈350×0.8＝280（米），AH＝AB•cos53°≈350×0.6＝210（米），∴CD＝CE+DE＝CE+BH＝222+280＝502（米），AD＝AH+DH＝210+558＝768（米）．答：小山的高度CD为502米，该数学小组行进的水平距离AD为768米．6．解：过点D作DH⊥BC于H，如图所示，则∠BDH＝30°，四边形DECH是矩形，∴DH＝EC，CH＝DE＝9，∵∠BAC＝45°，∠BCA＝90°，∴AC＝BC，∴DH＝EA+AC＝21+BC，∵∠BDH＝30°，∴BH＝DH＝（21+BC）＝7+BC，∵BH+CH＝BC，∴7+BC+9＝BC，解得：BC＝≈50（m）；答：建筑物BC的高为50m．7．解：由题意得∠DCB＝∠FEB＝∠GBE＝∠BGD＝90°，CD∥EF∥AB，则四边形DCEF、FEBG、DCBG均为矩形．所以BG＝EF＝CD＝1.5米，CF＝DE＝15.5米，在Rt△AGF中，∠AEG＝∠EAG＝45°，则AG＝EG．设AG＝EG＝x米，在Rt△AGD中，tan∠ADG＝，则tan37°＝，∴≈，解得：x＝46.5，所以AG＝46.5米，则AB＝46.5+1.5＝48（米）．答：八仙阁AB的高度为48米．8．解：过点D作DH⊥BC于H，设AE＝xm．∵这段斜坡的坡度i＝1：3，∴DH：BH＝1：3．在Rt△BDH中，DH2+（3DH）2＝4002，∴DH＝40（m），则BH＝120（m）．在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，∴DE＝AE＝xm．又∵HC＝ED，EC＝DH，∴HC＝xm，EC＝40m，在Rt△ABC中，tan30°＝＝＝，解得x＝40，∴AC＝AE+EC＝（40+40）m．故山顶A到地面BC的高度AC是（40+40）m．9.（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A∴AB⊥AE，∴∠A＝90°，∵OD⊥BC，∴∠BDO＝∠A＝90°，∵∠BOD＝∠AOE，∴∠B＝∠E．（2）如图2，连接AC，∵OA＝2，OE＝3，∴根据勾股定理得AE＝，∵∠B＝∠E，∠BOD＝∠EOA，∴△BOD∽△EOA，∴＝，∴＝，∴BD＝，∴CD＝BD＝，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC＝，在Rt△ACD中，根据勾股定理得AD＝＝＝．10．解：（1）分别以A、C为圆心，大于AC为半径画弧，在AC的两侧分别相交于P、Q 两点，画直线PQ交劣弧于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线，由垂径定理可知，直线PQ一定过点O；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6．∴AB＝＝10，∵OD⊥AC，∴AE＝CE＝AC＝4，又∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝BC＝3，由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，即点O到AC的距离为3，连接OC，在Rt△CDE中，∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4，∴CD＝＝＝2∴sin∠ACD＝＝＝．11．解：延长CD，交AB于点F，由题意得，CD＝MN＝155m，DF＝BN，∠AFD＝90°，CM＝DN＝BF＝1.6m，设DF＝xm，则CF＝（x+155）m，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AF＝xm，在Rt△ACF中，tan22°＝≈0.40，解得x≈103.3，经检验，x≈103.3是原方程的解且符合题意，∴AB＝AF+BF＝103.3+1.6＝104.9（m）．∴“鼎桥”最高点A距离地面的高度AB约为104.9m．12．解：（1）在Rt△CDE中，CD＝30米，∠DCE＝45°，sin45°＝，解得DE＝≈21.2．∴斜坡CD的高度DE约为21.2米．（2）过点D作DG⊥AB于点G，过点F作FH⊥AB于点F，由题意得，DF＝HG＝60米，DG＝FH，DE＝AG＝21.2米，设BH＝x米，则BG＝BH+GH＝（x+60）米，在Rt△BFH中，tan30°＝，解得FH＝，∴DG＝米，在Rt△BDG中，tan60°＝＝，解得x＝30，∴AB＝AG+GH+BH＝21.2+60+30＝111.2（米）．∴大楼AB的高度约为111.2米．13．解：过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF＝CE，DE＝CF，∵斜坡BD的坡度i＝1：3，∴＝，∴设DF＝x米，则BF＝3x米，在Rt△BDF中，BD＝＝＝x，∵BD＝100米，∴x＝100，∴x＝20，∴DF＝CE＝20米，BF＝3x＝60（米），设AE＝y米，∴AC＝AE+CE＝（y+20）米，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，∴tan45°＝＝1，∴AE＝DE＝y米，∴BC＝BF+CF＝BF+DE＝（60+y）米，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴tan30°＝＝＝，解得：y＝20经检验：y＝20是原方程的根，∴AC＝AE+CE＝（20+20）米，∴山顶A到地面BC的高度AC是（20+20）米．14．解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，tanθ＝＝，设DE＝3x米，则CE＝4x米，∵DE2+CE2＝DC2，∴（3x）2+（4x）2＝400，∴x＝4或x＝﹣4（舍去），∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，设BF＝y米，∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF＝＝＝y（米），∴AE＝DF＝y米，∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：y＝6+8，经检验：y＝6+8是原方程的根，∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），∴建筑物的高度AB约为31.9米．15．解：（1）过点E作EF⊥DC，垂足为F，则FC＝BE＝1.48米，EF＝BC＝30米，在Rt△DFE中，∠DEF＝30°，∴DF＝EF•tan30°＝30×＝10（米），∴DC＝DF+CF＝10+1.48≈18.8（米），∴小区1号楼CD的高度约为18.8米；（2）过点A作AH⊥DC，垂足为H，则AH＝BC＝30米，CH＝AB＝4.8米，∵DC＝18.8米，∴DH＝DC﹣CH＝18.8﹣4.8＝14（米），在Rt△DHA中，DA＝＝≈33.1（米），∴大门顶部A与1号楼顶部D的距离约为33.1米．16．解：如图，过点C作CD⊥AB于D．设CD＝xm，在Rt△BCD中，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝xm．在Rt△ACD中，∠DAC＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB+BD＝（20+x）m，CD＝xm，∴CD＝tan30°•AD，∴x＝（20+x），解得x＝10（+1），∴CD＝10（+1）m．答：这条河的宽度约为10（+1）m．17．解：（1）由题意可知，∠CAD＝∠ACS＝30°，∠BCS＝15°，AD＝120千米，∠BAD ＝60°，在Rt△ACD中，AD＝120千米，∠CAD＝30°，∴AC＝＝80（千米），答：码头A与码头C之间的距离为80千米；（2）如图，过点B作BM⊥AC，垂足为M，∵∠BAD＝60°，∠CAD＝30°，∴∠BAM＝30°，∵∠ACS＝30°，∠BCS＝15°，∴∠ACB＝30°+15°＝45°，设CM＝x千米，则BM＝CM＝x千米，BC＝x千米，AM＝x千米，AB＝2x千米，∵AC＝80千米，即x+x＝80，∴x＝120﹣40，∴AB＝2x＝240﹣80≈104（千米），BC＝x＝120﹣40≈72（千米），∴需要时间为：（104+72）÷30≈5.8＜6（小时），∴货船能在6小时内完成取货送货任务，答：货船能在6小时内完成取货送货任务．18．解：（1）过点C作CH⊥AB交BA的延长线于H，则∠CAH＝45°，∵∠AHC＝90°，∴sin∠CAH＝，∵AC＝800米，∴AH＝CH＝400米，∵∠CHB＝90°，∠B＝30°，∴tan B＝，∴BH＝400米，∴AB＝BH﹣AH＝（400﹣400）米，答：A、B两地的距离为（400﹣400）米；（2）新的景观步道能在15天内完成，理由：∵∠CBH＝30°，∴BC＝2CH＝800米，设甲、乙合作x天完成，则60×2+（60+90）x＝800+800，解得x＝12，∵12+2＝14＜15，∴新的景观步道能在15天内完成．19．解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，由题意得，∠CAD＝30°，AC＝600米，在Rt△ACD中，sin30°＝，解得CD＝300，∴点C到直线AB的距离为300米．（2）在Rt△ACD中，cos30°＝，解得AD＝，在Rt△BCD中，∠CBD＝75°﹣30°＝45°，CD＝300米，∴BD＝300米，BC＝米，∴AB＝AD+BD＝（300+）米，AC+BC＝（600+）米，∵600+﹣（300+）≈205（米），∴从景点A到景点B走栈道比原路线少走205米．20．解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，由题意得，∠CND＝45°，∠CMD＝90°﹣53°＝37°，MN＝300米，设CD＝x米，在Rt△CND中，tan45°＝＝＝1，解得DN＝x，∴MD＝（x+300）米，在Rt△CDM中，tan37°＝＝≈0.75，解得x＝900，sin37°＝＝≈0.60，解得MC≈1500，∴观景台M与多彩喷泉C之间的距离约为1500米．（2）为了不破坏湖泊，修建的通道AB不需要改变线路，理由如下：由（1）可知，CD＝900米，∵900米＞800米，∴喷泉C到道路AB的距离大于圆形湖泊的半径，道路AB与圆形湖泊所在的圆相离，∴修建的通道AB不需要改变线路．。

浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形自主学习优生提升训练题 2 （附答案详 解）1 •以下列各数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A • 6, 8, 10B • 4, 5, 6C . 5, 6, 7D . 7, 8, 92 •如图，小明拿一张正方形纸片（如图①） ，沿虚线向下对折一次得到图②，再沿图②中的虚线向下对折一次得到图③， 然后用剪刀沿图③中的虚线剪去一个角， 将剩下的纸 C . 9cm, 12cm, 15cm 4 .下列定理中，没有逆定理的是（（乙）以B 为圆心，AB 长为半径画弧，交 BC 于P 点，则P 即为所求.A •两人皆正确B .两人皆错误C .甲正确，乙错误D •甲错误，乙正确7 .如图，BE=CF , AE 丄BC , DF 丄BC ,要根据“ HL 证明Rt A ABE 也Rt A DCF ，则还要添加一个条件是（） 2 cm, .6 cm, 3 cm2 cm, 3cm, 4cmA •两直线平行，同旁内角互补; 两个全等三角形的对应角相等C .直角三角形的两个锐角互余; 两内角相等的三角形是等腰三角形5 •石鼓文，秦刻石文字，因其刻石外形似鼓而得名. F 列石鼓文, 是轴对称的是（） 6.如图，在MBC 中, BC >AB >AC .甲、乙两人想在 BC 上取一点P ,使得/ APC =2 / ABC ，其作法如下:（甲）作AB 的中垂线, 交BC 于P 点，则P 即为所求;A . 1cm, 2cm, 3cmB . A . B .C . D.8.如图，△ABC中,C.Z B= / CD. AE=BF/ ACB = 90 , CD是高,/ A = 30 ,贝U AD与BD的关系是（）A . AD = 3BDB . AD = 2BD C. 2AD = 3BD D . AD = 4BD9 .如图，若A ABC与厶DEF关于直线I对称，BE交I于点0,则下列说法不一定正确的.4……」…cA . AB // EF是（）B AC= DF C. AD丄I D BO = EO10 .已知如图A ABC 中，AB=AC,AD 平分/ BAC , BC=4 贝V BDH11 .在A ABC 中，/ C = 90° AC = 8cm,BC= 6cm.动点P从点C开始按A T B T C的路径绕A ABC的边运动一周，速度为每秒3cm,运动的时间为t秒.则A BCP为等腰三角形时t的值是12 •如图，将纸片A ABC沿DE折叠，点A落在点A'处，已知/ A = 50 ° 则/ 1 + Z 2 =813 •如图，以等边 △ABC 的边AC 为腰作等腰 A CAD,使 AC=AD,连接BD,若/ DBC=41 °14. 如图，已知/ ACB=90 ° CD 丄 AB , D 是垂足，若 BC=8cm , BD=7cm , AB=10cm ,15 .如图，长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，ED 交BC 于点G ,点D 、C 分别落在点D'、C'位置上，若/ EFG=55°，/ BGE=16 .如图，在 Rt A ABC 中，/ ACB=90 ° AC=9, BC=12 ,则点 C 到 AB 的距离 CD =18. 在梯形 ABCD 中，AB // CD , AC 平分/ DAB , DC : AB=1 ： 1.5,贝U AD : AB=cm •4m 高处折断，折断处仍相连，此时在 3.9m 远处耍的身高O/ CAD = 那么点B 到AC 的距离是 危险•（填有或无）19 .如图，在4X 4方格纸中，小正方形的边长为1，点A , B , C 在格点上，若△ ABC 的面积为2,则满足条件的点 C 的个数是 ________________ . r ~ 'T — = T —■ —…r -_ N 匸 ［二二 4 —1 - ----- --fr20 .如图，在4 X4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边 长均为1.在图①，图②中已画出线段AB ,在图③中已画出点 A .按下列要求画图: (1)在图①中，以格点为顶点， AB 为一边画一个等腰三角形 ABC ; (2) 在图②中，以格点为顶点， AB 为一边画一个正方形；(3) 在图③中，以点 A 为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形，这个正方形的面积 = ____________ .21.如图所示，AB 6，BC 8，AD 24，CD 26， B 90，求阴影部分的面积• 22 .如图，直线 AB // CD ，/ ACD 的平分线 CE 交AB 于点F ，/ AFE 的平分线交 CA 延长线于点G.(1) 证明：AC=AF;⑵若/ FCD=30 °，求/ G 的大小.23 .如图，在△ ABC 中，AB= AC, / BAC = 120 ° , D 为 BC 的中点， DE 丄 AC 于点E , BSO團② 图③DAE= 8,求CE的长.24 •如图所示，ABD, ACE分别是以AB、AC为边的等边三角形，连接CD、BE ,它们相交于点0,再连接0A .求证：0A是DOE的角平分线.25 .如图，在△ABC中，/ C = 90 °, AD平分/ CAB, DE丄AB于点E,点F在AC上,BD = FD .那么BE与FC相等吗，并说明理由.26 .我们已经知道，有一个内角是直角的三角形•其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边•数学家已发现在一个直角三角形中，两条直角边边长的平方和等于斜边长的平方•如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b ,斜边长度是c,那么可以用数学语言表达为：a2 b2c2.(1)在图中，若a 3, b 4，则c等于多少；(2)观察图，利用面积与代数恒等式的关系，试说明a2 b2 c2的正确性•其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上；(3)如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB 8 , BC 10,禾U用上面的结论求的长•27 •如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE?都是等边三角形.BE交AC于F, AD交CE于H,(1) 求证：ABCE◎△ ACD ；⑵求证：FC=HC⑶求证：FH // BD .28 .如图，在矩形ABCD中，AB 4 , AD 3，点M是边CD上一点，将ADM沿直线AM对折得到ANM , MN , AB的延长线交于点Q , DM 1，求NQ的长.29 .在△ABC的边AC上取一点，使得AB=AD,若点D恰好在BC的垂直平分线上，写出/ ABC与/ C的数量关系，并证明•参考答案1. A【解析】【分析】根据勾股定理即可解答.【详解】解：能够组成三角形，必然满足勾股定理，只有A中62+82 = 102满足，即答案选A .【点睛】本题考查满足勾股定理的三角形是直角三角形的知识，掌握该知识点是解题关键.2. A【解析】【分析】利用图形的翻折，由翻折前后的图形是全等形，通过动手操作得出答案.【详解】【点睛】本题考查剪纸问题，对于此类问题，只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现出来，本题培养了学生的动手能力和空间想象能力•3. C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可.【详解】A、••• 12+22工3,二不能构成直角三角形;B、：22+ 3 2工、一6 2，二不能构成直角三角形；C、：92+122=152,二能构成直角三角形；D、：22+32=工4,二不能构成直角三角形.故选C.【点睛】本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即只要三角形的三边满足X+bJc2, 则此三角形是直角三角形.4. B【解析】【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答.【详解】A •其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，正确，所以有逆定理；B •其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理；C.其逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，所以有逆定理；D •其逆命题是“等腰三角形的两个内角相等”，正确，所以有逆定理.故选B.【点睛】本题考查了命题与定理的区别，正确的命题叫定理.5. A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念判断即可.【详解】解：A中图形是轴对称图形，B、C、D中图形都不是轴对称图形，故选：A.【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.6. C【解析】【分析】根据甲乙两人作图的作法：甲：利用垂直平分线的性质得到AP=PB，得到/ PAB= / PBA，再利用三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可求出结果乙：根据作图的要求，AB=BP ,得到/ BAP= / APB ,进一步证明即可发现/ APO2 / ABC , 此方法不正确•【详解】贝U PA=PB,•••/ PAB= / PBA ,又/ APC= / PAB+ / PBA ,•••/ APC=2 / ABC ,故甲的作图正确；•/ AB=BP ,•••/ BAP= / APB ,•••/ APC= / BAP+ / ABC ,•••乙错误；故选：C.【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质，正确的理解题意是解题的关键.7. A【解析】【分析】根据垂直定义求出/ CFD= / AEB=90，再根据全等三角形的判定定理推出即可.【详解】解：条件是AB=DC ,理由是：••• AE丄BC, DF丄BC ,•••/ CFD= / AEB=90 ,在RtAABE 和RtZXDCF 中，AB=CDBE=CF ，••• Rt A ABE 也Rt Z\DCF (HL ),故选：A.【点睛】本题考查全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解题的关键.8. A【解析】【分析】由直角三角形性质，以及角与边的关系，借助CD即可得出AD与BD的关系.【详解】根据题意，••• CD 是高，/ A=30 ,•••在Rt△ ACD 中，AD= CD,•/△ ABC 中，/ ACB=90 , / A=30°,•••/ B=60 , •••在Rt△ CDB 中有CD=竽BD ,:.AD=3BD ,故答案选A.【点睛】本题考查的知识点是含30度角的直角三角形，解题的关键是熟练的掌握含30度角的直角三角形•9. A【解析】【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】解：•••△ ABC与厶DEF关于直线I对称，••• AC=DF , AD 丄I, BO=EO，故B、C、D 选项正确，AB // EF不一定成立，故A选项错误，所以，不一定正确的是A .故选：A.【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等.10. 2【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD为BC的中线，继而可得出BD的长度.【详解】解：••• AB=AC ,• △ ABC是等腰三角形，••• AD平分/ BAC交BC于点D ,••• AD是厶ABC的中线,1 1••• BD= — BC — 4 2 ；2 2故答案为：2.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的三线合一定理【解析】【分析】△ BCP 为等腰三角形时，分点 P 在边AC 和边AB 上讨论计算.【详解】解：△ BCP 为等腰三角形时，当点P 在边AC 上时，CP=CB ,•/ CP=6cm ，此时 t=6 七=2 （秒）;当点P 在边AB 上时.① 如图1 ,CP=CB ,作AB 边上的高CD ,X X CD ，在Rt △ CDP 中，根据勾股定理得,「一「「；「： —••• BP=2DP=7.2 ,••• AP=2.8 ,••• t= (AC+AP ) -K3= ( 8+2.8) £=川(秒)fy ② BC=BP ,• BP=6cm , CA+AP=8+10-6=12 (cm ),• t=12 七=4 (秒);③ PB=PC ,•••点P 在BC 的垂直平分线与 AB 的交点处，即在 AB 的中点，此时 CA+AP=8+5=13 (cm ),11.t=13 -3=(秒)；综上可知，当t=2秒或秒或4秒或秒时，△ BCP为等腰三角形.故答案为：2或才或4或第.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键.12. 100【解析】【分析】连接AA',根据折叠的性质得到AD=A'D, AE=A'E，根据等边对等角和三角形外角的性质即可得到结论.【详解】连接AA',易得AD=A'D , AE=A'E，•/ DAA'=Z DA'A，/ EAA'= / EA'A.故/ 1+ / 2=2 (/ DAA'+ / EAA') =2 / DAE=100 ° .故答案为100.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质•通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系.13. 82【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得：AB=AC，/ ABC= / BAC=60 °，从而求出/ ABD的度数，然后根据已知条件可得：AB= AD，根据等边对等角即可得：/ ADB= / ABD，利用三角形的内角和即可求出/ BAD，从而求出/ CAD的度数.【详解】解：••• △ABC是等边三角形••• AB=AC，/ ABC= / BAC=60 °•/ AC=AD，/ DBC=41°•AB= AD，/ ABD= / ABC -Z DBC=19°•••/ ADB= Z ABD=19 °•Z BAD=180 °-Z ADB -Z ABD=142 °•Z CAD= Z BAD -Z BAC=82 °故答案为：82° .【点睛】此题考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握等边三角形的内角都是60°和等边对等角是解决此题的关键•14. 8【解析】【分析】因为Z ACB=90，根据点到直线的距离可知，BC就是点B到AC的距离.【详解】解：•••/ ACB=90•BC就是点B到AC的距离又BC=8cm•••点B到AC的距离为8cm,故答案为8.【点睛】本题主要考查点到直线的距离，正确理解点到直线的距离是解答本题的关键.15. 110【解析】【分析】先根据矩形的性质得AD // BC,再根据平行线的性质得/ DEF= / EFG=55 ° ,接着根据折叠的性质得到/ DEF= / MEF=55。

1.3 解直角三角形（二）一、选择题（共5小题）1、身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（）同学甲乙丙丁放出风筝线长140m 100m 95m 90m线与地面夹角30°45°45°60°A、甲B、乙C、丙D、丁21*cnjy*com2、如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为（）A、B、C、D、h•sinα3、河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（）A、5米B、10米C、15米D、10米4、如图，在一次台风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在距树根C点6米处，测得∠BAC=60°，则树原来的高度（）A、米B、米C、米D、米21世纪教m★5、如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，那么相邻两树间的坡面距离为（）A、5mB、6mC、7mD、8m二、填空题（共5小题）21cnjy6、如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB=80米，则孔明从A到B上升的高度BC是_________ 米．7、某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：，坝外斜坡的坡度i=1：1，则两个坡角的和为_________ ．8、如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角∠ABC 为15°，则引桥的水平距离BC的长是_________ 米（精确到0.1米）．21*cnjy*com9、如图所示，一水库迎水坡AB的坡度i=1：，则该坡的坡角a= _________ 度．★10、如图，某建筑物直立于水平地面，BC=9米，∠B=30°，要建造楼梯，使每阶台阶高度不超过20厘米，那么此楼梯至少要建_________ 阶（最后一阶不足20厘米按一阶计算，≈1.732）．21*cnjy*com三、解答题（共5小题）11、如图，水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为5：3，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30m，坝顶宽CD=10m，求大坝的截面面积和周长．12、某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6m，∠ABC=45°，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使∠ADC=30°（如图所示）．（1）求调整后楼梯AD的长；（2）求BD的长．21cnjy（结果保留根号）13、如图，小明以3米/秒的速度从山脚A点爬到山顶B点．己知点B到山脚的垂直距离BC为24米．且山坡坡角∠A的度数为28°，问小明从山脚爬上山顶需要多少时间？（结果精确到0.1）（参考数据：sin28°=0.46，cos28°=0.87，tan28°=0.53）14、某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的40°减至35°．已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地面CD有多长？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70）21*cnjy*com★15、某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长为26米，坡角∠BAD=68°．为了减缓坡面防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．21cnjy （1）求改造前坡顶到地面的距离BE的长（精确到0.1米）；（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC向左移11米到F点处，问这样改造能确保安全吗？（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，sin58°12′≈0.85，tan49°30′≈1.17）答案：1.D 2.A 3.A 4.A 5.A 6.40 7. 75°．8.11.1 9.30°．10.26 11. 略12. 解：（1）已知AB=6m，∠ABC=45°，∴AC=BC=AB•sin45°=6×=3，已知∠ADC=30°．∴AD=2AC=6．答：调整后楼梯AD的长为6m；（2）CD=AD•cos30°=6×=3，∴BD=CD﹣BC=3﹣3．答：BD的长为3﹣3（m）13. 17.4 14. 4.615. 解：（1）在Rt△ABE中，AB=26，∠BAD=68°∴sin∠BAD=∴BE=AB•sin∠BAD=26×sin 68°≈24.2米．（2）过点F作FM⊥AD于点M，连接AF∵BE⊥AD，BC∥AD，BF=11，∴FM=BE=24.2，EM=BF=11．在Rt△ABE中，∴cos∠BAE=∴AE=AB•cos∠BAE=26×cos 68°≈9.62米．∴AM=AE+EM=9.62+11=20.62,在Rt△AFM中，∴tan∠FAM==≈1.17∴∠FAM≈49°30′＜50°这样改造能确保安全．。

九年级下解直角三角形训练1 浙教版九下数学第一章：解直角三角形培优训练1．选择题：1.如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）A．250米 B．250米 C．米 D．500米2.如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）A．160m B．120m C．300m D．160m3.某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD 的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A．8.1米 B．17.2米 C．19.7米 D．25.5米4.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A．米2 B．米2 C．（4+）米2 D．（4+4）米25.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.46.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A．2m B．2m C．（2-2）m D．（2-2）m10.如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63二．填空题：11.如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为_____________12.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值= ，tan∠APD的值=13.一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为海里/小时．14.如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=15.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为_________16.全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．三．解答题：17.2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km，仰角为42.4°；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为45.5°（1）求发射台与雷达站之间的距离LR；（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？（参考数据：son42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02 ）18.南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处，为了防止某国还巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

浙教版2020九年级数学下册第1章解直角三角形单元综合培优测试题1（附答案详解） 1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =35°，AB =7，则BC 的长为( )A ．7sin35°B ．7cos35°C ．7tan35°D ．7cos35° 2．菱形的边长为4，有一个内角40，则较短的对角线是（ ）A ．4sin40B ．4sin20C ．8sin20D ．8cos20 3．利用投影仪把Rt △ABC 各边的长度都扩大5倍，则锐角A 的各三角函数值( ) A ．都扩大5倍 B ．都缩小5倍 C ．没有变化 D ．不能确定 4．等腰三角形的一腰长为6cm ， 底边长为63cm ， 则其底角为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°5．在△ABC 中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB 的值是（ ）A ．5714B ．2114C ．35D ．2176．⊙O 的半径为R ，若∠AOB＝α，则弦AB 的长为( )A ．22Rsin αB ．2Rsin αC ．22Rcos αD ．Rsin α7．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果sinA ＝23，那么cosB 的值为( ) A ．23 B ．53 C ．52 D ．不能确定8．如图所示，两建筑物的水平距离为s 米，从A 点测得D 点的俯角为α，测得C 点的俯角为β，则较低的建筑物的高为（ ）A ．tan s α⋅米B ．tan()s βα⋅-米C ．(tan tan )s βα-米D ．tan tan s βα-米 9．如图，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为（12，5），则∠α的正切值为（ ）A ．5B ．12C ．5D ．1210．如图，已知AB AE ⊥于A ，EF AE ⊥于E ，要计算A ，B 两地的距离，甲、乙、丙、丁四组同学分别测量了部分线段的长度和角的度数，得到以下四组数据：甲：AC ，ACB ∠；乙：EF ，DE ，AD ； 丙：AD 和DFE ∠；丁：CD ，DE ，ACB ∠．其中能求得A ，B 两地距离的有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组11．如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l 1的两棵古树A 、B 之间的距离，他们在河这边沿着与AB 平行的直线l 2上取C 、D 两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l 1、l 2之间的距离为50m ，则古树A 、B 之间的距离为_____m ．12．如图，直线313y x =-+交x 轴于点B ，交y 轴于点C .在ABC ∆内依次作等边三角形使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形第一个是11AA B ∆，第二个是122B A B ∆,第三个是233B A B ∆…(1)233B A B ∆的边长等于________；(2)201720182018B A B ∆的边长等于________.13．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ 所在的直线经过点M ，PB=5cm ，小正六边形的面积为493cm 2，则该圆的半径为________cm ．14．在Rt ABC 中，C 90∠=，AC 6=，2sinB 3=，那么AB 的长是________． 15．如果锐角α满足2cos α=2，那么α=_______________.16．在离建筑物120米处，用测角仪测得建筑物顶的仰角为30，已知测角仪的高度为1.5米，求这个建筑的高度________米（精确到0.1米）17．在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AD=6，AC=10，tan ∠BAD=13，则△ABC 的面积为_____．18．A 为锐角，且4sin 2A ﹣3=0，则A=_____．19．如图，已知α是锐角，α的顶点为原点O ，一边与x 轴的正半轴重合，另一边过点()A 3,4，那么α的三角函数值cos α=________，tan α=________.20．如图在△ABC 中，∠B=90°，且CB=6，tan ∠ACB=43，CD 平分∠ACB ，则CD=_____.21．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，c ＝20，解这个直角三角形．22．美丽的赤城湖水库是蓬溪县“天蓝水绿山青”的真实写照.如图，赤城湖水库的大坝横截面是一个梯形，坝顶宽CD=4m ，坝高3m ，斜坡AD 的坡度为1:2.5，斜坡BC 的坡度为1:1.5，若大坝长200m ，求大坝所用的土方是多少？23．某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：如图1，在△ABC 和△ADE 中，∠ACB=∠AED=90°，∠CAB=∠EAD=60°，点E ，A ，C 在同一条直线上，连接BD ，点F 是BD 的中点，连接EF ，CF ，试判断△CEF 的形状并说明理由．问题探究：（1）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF 的两条边是否相等，如EF=CF ，以下是她的证明过程 证明：延长线段EF 交CB 的延长线于点G ． ∵F 是BD 的中点，∴BF=DF ．∵∠ACB=∠AED=90°，∴ED ∥CG ．∴∠BGF=∠DEF ．又∵∠BFG=∠DFE ， ∴△BGF ≌△DEF （ ）． ∴EF=FG ． ∴CF=EF=EG ．请根据以上证明过程，解答下列两个问题：①在图1中作出证明中所描述的辅助线；②在证明的括号中填写理由（请在SAS ，ASA ，AAS ，SSS 中选择）．（2）在（1）探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF 的度数，并判断△CEF 的形状．问题拓展：（3）如图2，当△ADE 绕点A 逆时针旋转某个角度时，连接CE ，延长DE 交BC 的延长线于点P ，其他条件不变，求CF CE的值． 24．计算：3tan30°+|2311()3 ﹣（3﹣π）025．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l 经过A 、B 两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C ．经测量，C 位于A 的北偏东60°的方向上，C 位于B 的北偏东30°的方向上，且AB=10km ．（1）求景点B 与C 的距离；（2）为了方便游客到景点C 游玩，景区管委会准备由景点C 向公路l 修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）26．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，如果CD＝3，BD＝2，那么cos A 的值是_______.27．有一水库大坝的横截面是梯形ABCD，AD∥BC，EF为水库的水面，点E在DC上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡AB的长为12米，迎水坡上DE的长为2米，∠BAD=135°，∠ADC=120°，求水深．（精确到0.1米，2=1.41，3=1.73）28．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE=AB，连接DE，AC （1）求证：四边形ACDE为平行四边形；（2）连接CE交AD于点O，若AC=AB=3，cosB=13，求线段CE的长．参考答案1．B【解析】在Rt △ABC 中，cos B =BC AB，∴BC=AB •cos B =7cos35°，故选B ． 2．C【解析】【分析】由菱形的性质知，菱形的对角线互相垂直平分，且平分一组对角，设较短的对角线的一半为x ，则推出sin20°与x 的关系，从而得较短的对角线．【详解】解：如图，由菱形的性质知，菱形的对角线互相垂直平分，且平分一组对角，设较短的对角线的一半为x ，则sin20°=4x ， ∴ x=4sin20°,∴较短的对角线长是8sin20°．故选：C ．【点睛】本题利用了菱形的性质和锐角三角函数的概念．掌握相关的性质和概念是解题关键． 3．C【解析】【分析】根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．【详解】∵各边的长度都扩大五倍，∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，∴锐角A的各三角函数值都不变．故选C．【点睛】考查了锐角三角形函数的定义，理清锐角的三角函数值与角度有关，与三角形中所对应的边的长度无关是解题的关键．4．A【解析】解：如图，作AD⊥BC于D点，则BD=DC=33．∵AC=6，∴cos∠C=3DCAC=，∴∠C=30°．故选A．5．B【解析】试题解析：延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，∵AB=4，AC=2，∴AD=1，3BD=5，∴287，∴sinB=3211427CDBC==．故选B．6．A【解析】【分析】过O作OC⊥AB于C，由垂径定理得出AB=2AC，根据等腰三角形性质求出∠AOC=∠BOC=12∠AOB=12α，根据sin∠AOC=ACAO，求出AC=Rsinα2，即可求出AB．【详解】过O作OC⊥AB于C，则由垂径定理得：AB=2AC=2BC，∵OA=OB，∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=12α，在△AOC中，sin∠AOC=AC AO，∴AC=Rsin α2，∴AB=2AC=2Rsin α2，故选A．【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形的应用等，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.7．A【解析】【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【详解】在直角三角形中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．∴cosB=sinA=23．故选A．【点睛】掌握正余弦的这一转换关系：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．8．C【解析】解：作AE∥BC，与CD延长线相交于E点．由于两建筑物的水平距离为s米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β．在Rt△ACE中，CE=tanβ•s；在Rt△ADE中，DE=tanα•s，则CD=s（tanβ﹣tanα）．故选C．点睛：本题考查了俯角仰角的定义，要求学生能借助俯角仰角构造直角三角形并解直角三角形．9．C【解析】【分析】过P作PE⊥x轴于E，根据P（12，5）得出PE=5，OE=12，根据锐角三角函数定义得出tanα=PEOE，代入求出即可．【详解】解：过P作PE⊥x轴于E．∵P（12，5），∴PE=5，OE=12，∴tanα=PEOE=512．故选C．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则sin B=ACAB，cos B=BCAB，tan B=ACBC．10．C【解析】【分析】分别根据直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质对四组数据进行逐一分析即可．【详解】甲：∵已知AC、∠ACB，∴AB=AC•tan∠ACB，故甲组符合题意；乙组：∵AB⊥AE于A，EF⊥AE于E，∴AE∥EF，∴∠A=∠E=90°，∵∠ADB=∠EDF，∴△DEF∽△DAB，∴DE EF AD AB，∴AB=·AD EFDE，故乙组符合题意；丙：∵∠E=90°，∴∠EDF=90°-∠DFE，∵∠ADB=∠EDF，△ADB是直角三角形，∴AB=AD•tan∠ADB，故丙组正确；丁组：CD，DE，∠ACB无法求得AB的长，故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用，解答此题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形或直角三角形中，利用相关知识进行解答即可. 11．（50﹣503）． 【解析】 【分析】过点A 作AM ⊥DC 于点M ，过点B 作BN ⊥DC 于点N ．则AM ＝BN ．通过解直角△ACM 和△BCN 分别求得CM 、CN 的长度，则易得MN ＝AB ． 【详解】解：如图，过点A 作AM ⊥DC 于点M ，过点B 作BN ⊥DC 于点N ，则AB ＝MN ，AM ＝BN ．在直角△ACM ，∵∠ACM ＝45°，AM ＝50m ， ∴CM ＝AM ＝50m ．∵在直角△BCN 中，∠BCN ＝∠ACB ＋∠ACD ＝60°，BN ＝50m ， ∴CN ＝60BNtan 3503（m ），∴MN ＝CM−CN ＝503（m ）． 则AB ＝MN ＝（503）m ． 故答案是：（50−33）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 1233【解析】分析：判断∠AA 1C ＝90°，求出AA 1的长，在Rt △A 1B 1A 2中，求B 1A 2，依次类推.详解：由直线13y x -＝＋分别求出B 0)，C (0，1)，所以∠BCO ＝60°. 因为△AA 1B 1是等边三角形，所以∠A 1AB 1＝60°，∠CAA 1＝30°，则∠AA 1C ＝90°.Rt △AA 1C 中，AA 1＝OCcos ∠A 1AC ＝1×cos ；Rt △A 1B 1A 2中，∠B 1A 1A 2＝30°，B 1A 2＝12A 1B 112＝同理，B 2A 3＝12A 2B 212×12 ……依次类推，第n 个等边三角形的边长为2n.则233B A B ∆的边长等于32，201720182018B A B ∆的边长等于20182.故答案为. 点睛：寻找图形中的计算规律，要善于找到切入点，可将问题分成“变”与“不变”两部分来考虑，尤其是抓住不变的部分，以此为基础观察变化部分的规律，关键是观察图形的结构组成，通过列举部分图形，找出其中的变化规律，从而推测出通式.13．8 【解析】 【分析】设两个正六边形的中心为O ，连接OP,OB,过点O 作OG ⊥PM 于点G ，OH ⊥AB 于点H ，如图所示：很容易证出三角形PMN 是一个等边三角形，边长PM 的长，，而且面积等于小正六边形的面积的32， 故三角形PMN 的面积很容易被求出，根据正六边形的性质及等腰三角形的三线和一可以得出PG 的长，进而得出OG 的长，,在Rt △OPG 中，根据勾股定理得 OP 的长，设OB 为x ，，根据正六边形的性质及等腰三角形的三线和一可以得出BH ，OH 的长，进而得出PH 的长，在Rt △PHO 中，根据勾股定理得关于x 的方程，求解得出x 的值，从而得出答案． 【详解】解: 设两个正六边形的中心为O ，连接OP,OB,过点O 作OG ⊥PM 于点G ，OH ⊥AB 于点H ，如图所示：很容易证出三角形PMN 是一个等边三角形，边长PM=3而且面积等于小正六边形的面积的32， 故三角形PMN 的面积为14734cm 2， ∵OG ⊥PM ，且O 是正六边形的中心，∴PG=1273∴OG=72在Rt △OPG 中，根据勾股定理得 ：OP 2=OG 2+PG 2,即2273()()22=OP 2 ∴OP=7cm ， 设OB 为x ，∵OH ⊥AB ，且O 是正六边形的中心， ∴BH=123x ， ∴PH=5-12x ， 在Rt △PHO 中，根据勾股定理得OP 2=PH 2+OH 2,即22231(+5-x =72x （） 解得：x 1=8,x 2=-3（舍）故该圆的半径为8cm．故答案为8．【点睛】本题以相机快门为背景，从中抽象出数学模型，综合考查了多边形、圆、三角形及解三角形等相关知识，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力．试题通过将快门的光圈变化这个动态的实际问题化为静态的数学问题，让每个学生都能参与到实际问题数学化的过程中，鼓励学生用数学的眼光观察世界；在运用数学知识解决问题的过程中，关注思想方法，侧重对问题的分析，将复杂的图形转化为三角形或四边形解决，引导学生用数学的语言表达世界，用数学的思维解决问题．14．9【解析】【分析】在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，求出三角形的边长．【详解】在Rt△ABC中，∵sinB=ACAB=23=6AB，∴AB=9.故答案为9.【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练的掌握正弦值与三角形边的关系. 15．45°【解析】∵2cosα，∴cosα=2，则α=45°．故答案为45°16．76.5【解析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角和邻边，直接根据正切求出对边即可解决．【详解】解：作图：可得：AB＝120米；∠CAB＝30°，故CB＝AB×tan30°＝403；AD＝1.5；故这个建筑的高度AF＝76.5米．【点睛】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．17．18或30【解析】解：如图一所示．∵在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=6，AC=10，tan∠BAD=13，∴BD=2，∠ADC=90°，∴CD=8，∴BC=6，∴△ABC的面积是：6×6÷2=18；如图二所示．∵在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=6，AC=10，tan∠BAD=13，∴BD=2，∠ADC=90°，∴CD=8，∴BC=10，∴△ABC的面积是：10×6÷2=30．故答案为：18或30．点睛：本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．18．60°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分析得出答案．【详解】∵4sin2A﹣3=0，∴sin2A=34，∴，∵A为锐角，∴∴∠A=60°．故答案为60°．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.19．3543【解析】【分析】根据勾股定理得出OA的长，进而解答即可．【详解】由图可得：5=，所以cosα的值=35，tanα=43.故答案为35；43．【点睛】此题考查解直角三角形问题，关键是根据勾股定理得出OA的长．20．【解析】作DE⊥AC于点E.根据tan∠ACB=43，可求出AB的长，由勾股定理求出AC的长，再利用面积法求出BD的长，然后根据勾股定理求CD的长即可. 【详解】作DE⊥AC于点E.∵CB=6，tan∠ACB=ABBC=43，∴AB=8，∴AC=226810+=. ∵CD平分∠ACB，∴BD=DE.∵111222AC DE BC BD AB BC ⋅+⋅=⋅,∴5BD+3BD=24,∴BD=3,∴CD=223635+=.故答案为：35.【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，勾股定理及面积法求线段的长.利用面积法求出BD的长是解答本题的关键.21．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝3【解析】【分析】先利用勾股定理求得b边的长，再利用三角函数求得∠A的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余求得∠B的度数．【详解】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，，a＝10，c＝20，∴b=22103c a-=，∵sinA=101202ac==，∴∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°．【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程就是解直角三角形．正确理解直角三角形中的边角关系是解题的关键．22．6000m3【解析】试题分析：过点D，C分别向AB作垂线，先求梯形的面积，进而求其所用的土方，即我们所说的容积即可．试题解析：如图所示，过点D，C分别向AB作垂线，垂足分别为E，F，∵DE：AE=1：2.5，DE=3，∴AE=7.5∵CF：BF=1：1.5，∴BF=4.5∴AB=7.5+4+4.5=16∴S=12×（16+4）×3=30m2，∵大坝长200m，∴所需土方6000m3．答：这个大坝所用的土方是6000m3．23．（1）①图形见解析，②证明见解析，ASA；（2）证明见解析（3）1【解析】试题分析：（1）①按要求画出辅助线即可；②由小婷的解题过程可知，括号里的推理依据是“ASA”；（2）在（1）中图的基础上，延长BA，DE相交于点H（图3），先证EH=DE，再证四边形BGEH是平行四边形，得出∠DEF=∠H=30°，即可求出∠CEF=∠AED-∠DEF=60°，即可得出结论；（3）延长EF 至G ，使FG=EF ，连接BG ，CG （图4），由题意可证△DEF ≌△BGF ，得出∠CAE=∠CBG ，再利用60°角的正切函数证BG BCAE AC=，进而可证得△BCG ∽△ACE ，可得∠BCG=∠ACE ，就可证得∠ECG=90°，即可得到CF=EF=12EG ，再由tan ∠GEC=3CG BCCE AC==，可得∠GEC=60°，就可得出结论来了. 试题解析：（1）①由题意作图如图1所示： ②延长线段EF 交CB 的延长线于点G ． ∵F 是BD 的中点， ∴BF=DF ．∵∠ACB=∠AED=90°，∴ED ∥CG ．∴∠BGF=∠DEF ． 又∵∠BFG=∠DFE ，∴△BGF ≌△DEF （ ASA ）． ∴EF=FG ， ∴CF=EF=12EG ． 故括号中的依据为ASA ；（2）如图3，延长BA ，DE 相交于点H ， ∵∠BAC=60°， ∴∠EAH=60°=∠EAD ， ∵∠AED=90°， ∴∠H=30°，EH=DE ，由（1）② 知，△BGF ≌△DEF ， ∴DE=BG ， ∴EH=BG ，∵DE ∥BG ，∴四边形BGEH 是平行四边形，∠DEF=∠H=30°，∴∠CEF=∠AED ﹣∠DEF=60°，∵CF=EF ，∴△CEF 是等边三角形；（3）如图4，延长EF 至G 使FG=EF ，连接CG ，∵点F 是BD 的中点，∴DF=BF ，∵∠DFE=∠BFG ，∴△DEF ≌△BGF （SAS ），∴∠DEF=∠BGF ，DE=BG ，∴BG ∥DP ，∴∠P+∠CBG=180°，∵在四边形ACPE 中，∠AEP=∠ACP=90°，∴∠CAE+∠P=180°，∴∠CAE=∠CBG ，∵在Rt △ADE 中，∠DAE=60°，∴tan ∠DAE=3DE AE =， ∴3BG AE= 同理：3BC AC =， ∴BG BC AE AC= ， 又∵∠CBG=∠CAE ，∴△BCG ∽△ACE ，∴∠BCG=∠ACE ，3CG BC CE AC== ∴∠ECG=∠ACE+∠ACG=∠BCG+∠ACG=90°， ∵在Rt △CEG 中，tan ∠CEG=3CG CE =， ∴∠CEG=60°.∵在Rt △CEG 中，∠ECG=90°，EF=FG ， ∴CF=12EG=EF ， ∴△CEF 是等边三角形，∴CE=CF ，∴1CF CE=.24．4【解析】分析：直接利用负指数幂的性质和绝对值的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．33﹣33+3﹣1=4． 点睛：本题主要考查了零指数幂、负指数幂、去绝对值符号、及特殊的三角函数值.在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.25．（1）10km ；（2）3【解析】【分析】（1）先根据方向角的定义得出∠CAB=30°，∠ABC=120°，由三角形内角和定理求出∠C=180°﹣∠CAB ﹣∠ABC=30°，则∠CAB=∠C=30°，根据等角对等边求出BC=AB=10km；（2）首先过点C作CE⊥AB于点E，然后在Rt△CBE中，求得答案即可．【详解】（1）如图，由题意得∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°，∴∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°，∴∠CAB=∠C=30°，∴BC=AB=10km，即景点B、C相距的路程为10km；（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E，∵BC=10km，C位于B的北偏东30°的方向上，∴∠CBE=60°，在Rt△CBE中，CE=3BC=53km．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，涉及到三角形内角和定理，等腰三角形的判定等知识．根据条件得出∠CAB=∠C是解题的关键．26．313 13【解析】【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出cosA=cos∠BCD进而求出即可．【详解】如图所示：∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠BCD=∠A，∵CD=3，BD=2，∴BC=13∴cosA=cos∠BCD=31313DCBC==故答案为：313.27．水深约为6.7米【解析】【分析】分别过A、D作AM⊥BC于M，DG⊥BC于G．利用AB的长为12，∠BAD=135°可求得梯形的高的长度．这两条高相等，再利用DE长构造一直角三角形，求得DE的垂直距离，进而求得水深．【详解】分别作AM⊥BC于M，DG⊥BC于G．过E作EH⊥DG于H，则四边形AMGD为矩形．∵AD∥BC，∠BAD=135°，∠ADC=120°．∴∠B=45°，∠DCG=60°，∠GDC=30°．在Rt△ABM中，AM=AB•sin B=12×222，∴DG2．在Rt△DHE中，DH=DE•cos∠EDH=2×323，∴HG=DG-DH23≈6×1.41-1.73≈6.7．答：水深约为6.7米．【点睛】本题考查了三角函数及解直角三角形的有关知识．解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．28．（1）证明见解析；（2）42．【解析】【分析】（1）已知四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，又因AE=AB，可得AE=CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形ACDE 是平行四边形；（2）连接EC，易证△BEC 是直角三角形，解直角三角形即可解决问题.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE=AB，∴AE=CD，∵AE∥CD，∴四边形ACDE 是平行四边形．（2）如图，连接EC．∵AC=AB=AE，∴△EBC 是直角三角形，∵cosB==，BE=6，∴BC=2，∴EC===4．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、直角三角形的判定、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

第1章 解直角三角形【单元提升卷】（浙教版）（满分120分，完卷时间100分钟）注意事项：1．本试卷分选择题、填空题、解答题三部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试范围：九上全部内容一、单选题（每题3分，共30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin∠A＝513，则cos∠A的值为( ) A ．1213 B ．813 C ．23 D ．5122．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是（ ）A ．sin AB ．tan A ＝12C ．cos BD ．tan B 3．一个公共房门前的台阶高出地面1.2 m ，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A ．斜坡AB 的坡度是10°B ．斜坡AB 的坡度是tan10°C ．AC ＝1.2tan10° mD ．AB ＝ 1.2cos10m 4．如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB 、CD 分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC =120°，BC 的长是50m ，则水库大坝的高度h 是（ ）A．B．25m C．D5．下列式子：①sin60°>cos30°；②0<tanα<1(α为锐角)；③2cos30°＝cos60°；④sin30°＝cos60°，其中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6．关于x的一元二次方程x2+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°7．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到'PB的位置，测得(''PB C a B C∠=为水平线），测角仪/B D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A．11sin a+米B．11cos a-米C．11sin a-米D．11cos a+米8．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝AB的长为()A．B．C．4 D．9．在正方形网格中，∠BAC如图放置，点A，B，C都在格点上，则sin∠BAC的值为 ( )A．33B．12C．22D．3210．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC BC=2，则sin∠ACD的值为（）A B C D．23二、填空题（每题3分，共24分）11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为________.12．已知α为锐角，且2cos2α－5cosα＋2＝0，则α＝________．13．如图，小明爬一土坡,他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角∠A=____°．14．如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=____．15．如图，在ABC中，∠B=60°，AB=2，BC=1____．16260）＝_________．17．如图，AC⊥BC，AD＝a，BD＝b，∠A＝α，∠B＝β，则AC等于_______．18．如图，某同学用圆规BOA 画一个半径为4cm 的圆，测得此时∠O ＝90°，为了画一个半径更大的同心圆，固定A 端不动，将B 端向左移至B ′处，此时测得∠O ′＝120°，则BB ′的长为_______厘米三、解答题（共66分） 19．计算：()sin 603tan 30cos 6012cot45cot30+⋅-⋅．20．计算：（﹣3）2+（12016）0﹣121．计算：2cot45cos304sin 45tan60︒-︒︒-︒．22．计算：222sin 60cos 45tan 60cos30tan 30cot 45---23．等腰三角形中，两腰和底的长分别是10和13，求三角形的三个内角的度数(精确到1′)．24．甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距30海里，问乙船的速度是每小时多少海里？25．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．26．高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一高考考点，在位于A 考点南偏西15°方向距离125米的C 点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警 ，告知在位于C 点北偏东75°方向的F 点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由.1.732）27．为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示(图中地面AD 与通道BC 平行)，通道水平宽度BC 为8米，135BCD ∠=︒，通道斜面CD 的长为6米，通道斜面AB 的坡度i =(1)求通道斜面AB 的长为 米;(2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD 的坡度变缓，修改后的通道斜面DE 的坡角为30°，求此时BE 的长.(结果保留根号)28．如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C 测得教学楼顶部D 的仰角为18°，教学楼底部B 的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB =30m ．（1）求∠BCD 的度数．（2）求教学楼的高BD ．（结果精确到0.1m ，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）。

2020-2021学年浙教版九年级数学第一章《解直角三角形》综合提高A 卷班级_______ 姓名________ 得分________一、选择题（每题3分，共30分）1.在△ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 4，那么∠A 的正弦值是（ ）A . 3 4B . 4 3C . 3 5D . 4 52. tan 60°的值等于（ ）A .2B .3C .22D .23 3.已知在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠A = a ，BC = 2，则AB 的长等于（ ）A .a sin 2B .2sinaC .a cos 2D .2cosa4.某人沿坡度i = 1:2的斜坡向上前进了6 m ，则他上升的高度为（ ）A .3 mB .556 mC .23 mD .5512 m 5.在△ABC 中，∠C = 90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列关系中错误的是（ ）A . b = c ·cosB B . b = a ·tanBC . b = c ·sinBD . a = b ·tanA6.在正方形网格中，∠AOB 按如图所示的方式放置，则tan ∠AOB 的值为（ ）A .2B .552C . 1 2D .55127.如图所示为拦水坝的横断面，堤高BC 为6 m ，斜面坡度为1:2，则斜坡AB 的长为（ ）A .43 mB .65 mC .125 mD .24 m8.如图所示，将宽为1 cm 的纸条沿BC 折叠，使∠CAB = 45°，则折叠后重叠部分的面积为（ ）A .23 cm 2B .3 cm 2C .2 cm 2D .22 cm 2 9.某大楼依山而建，如图所示，如果要进人该大楼，可以从G 处沿水平方向行走150 m 到D 大门处，或者从E 处沿坡比 i = 1:2.4 的斜坡行走 130 m 到 F 处，再沿水平方向行走到 M 大门处，在 G 处仰望大楼顶端 B 处的仰角为32°，则大楼的上部分AM 的高度为（参考数据:sin 32° ≈ 0.53，cos 32° ≈ 0.85，tan 32° ≈ 0.62）（ ）A .43 mB .77.5 mC .79.5 mD .93 m10.如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上，且BD = 2CD ，AB ⊥AD ，若tanB = 4 3 ，则tan ∠CAD 等于（ ）A .33 B . 14 C .3 D . 1 3二、填空题（每题4分，共24分）11.已知0° < a < 90°，当a = _________ 时，sina = 1 2 .12.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 6，AC = 3，则sinB 的值是 _________ .13.如图所示，CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，且AB = 10，若BC = 8，则cos ∠ACD = _________.14.如图所示，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为45°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为110 m ，那么该建筑物的高度BC 约为 _________ m （结果保留整数，3 ≈ 1.73）15.如图所示，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m ，坝高BE = CF = 20 m ，斜坡AB 的坡角为30°，斜坡CD 的坡度i = 1:2.5，则坝底宽AD = _________ m .16.如图所示，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，点E 为垂足，若cosB = 4 5 ，EC = 2，P 是AB 边上的一个动点，则线段PE 的长度的最小值是 _________ .三、解答题（共66分）17.（6分）计算:sin 60°·cos 30° - sin 30°.18.（8分）如图所示，某中学有一块三角形状的花圃ABC ，现可直接测量到∠B = 45°，∠C = 30°，AC = 8 m 请你求出这块花圃的面积.19.（8分）如图所示为两幢建筑物AB 和CD ，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB = 15 m ，CD = 20 m .AB 和CD 之间有一景观池，小双在点A 测得池中喷泉处点E 的俯角为42°，在点C 测得点E 的俯角为45°，点B ，E ，D 在同一条直线上.求两幢建筑物之间的距离BD .（结果精确到0.1 m ，参考数据:sin 42° ≈ 0.67，cos 42° ≈ 0.74，tan 42° ≈ 0.90）20.（10分）如图所示为一种折叠椅的侧面简化结构图.若座板DF 平行于地面MN ，前支撑架AB 与后支撑架AC 分别与座板DF 交于点E ，D ，现测得DE = 20 cm ，DC = 40 cm ，∠AED = 58°，∠ADE = 76°.求:（1）椅子的高度.（即椅子的座板DF 与地面MN 之间的距离）（2）椅子两脚B ，C 之间的距离.（结果精确到1 cm ，参考数据:sin 58° ≈ 0.85，cos 58° ≈ 0.53，tan 58° ≈ 1.60，sin 76° ≈ 0.97，cos 76° ≈ 0.24，tan 76° ≈ 4.01）21.（10分）如图所示，在△ABC 中，CD 是边AB 上的中线，∠B 是锐角，sinB =22，tanA = 1 2 ，AC = 5.求:（1）∠B 的度数和AB 的长.（2）tan ∠CDB 的值.22.（12分）如图所示，某剧组拍摄风景片，拍摄基地位于A处，在其正南方向15海里处有一小岛B，在B的正东方向20海里处有一小岛C，小岛D位于AC上，且距小岛A10海里.（1）求∠A的度数（结果精确到1°）和点D到BC的距离.（2）摄制组甲从A处乘甲船出发，沿A→B→C的方向匀速航行，摄制组乙从D处乘乙船出发，沿南偏西方向匀速直线航行，已知甲船的速度是乙船速度的2倍，若两船同时出发并且在B，C间的F处相遇，问相遇时乙船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）23.（12分）我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学“模式”（我国著名数学家徐利治）.如图所示为一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度、测河宽，可解决数学中的一些问题.（1）如图1所示，若B1B= 30，∠B1= 22°，∠ABC= 30°，求AC.（结果精确到1，参考数据:sin22°≈ 0.37，cos22°≈ 0.93，tan22°≈ 0.40，3≈ 1.73）（2）如图2所示，若∠ABC = 30°，B1B = AB，计算tan15°的值.（结果保留准确值）（3）直接写出tan7.5°的值.（若出现双重根式，则无需化简）。

2020-2021学年浙教版九年级数学下册第一章《解直角三角形》综合提高B 卷班级________ 姓名________ 得分_________一、选择题（每题3分，共30分）1.如图所示，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 8，则tanB 的值是（ ） A .2B .1 2C .55 D .5522.已知sinA = 12 ，则下列选项中，正确的是（ ）A .cosA =22 B . tanA = 1 C .cosA =23 D . tanA = 33.如图所示，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80 m ，则点B 离水平面的高度BC 的长为（ ） A .3380 mB .403 mC .40 mD .10 m4.如图所示，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，则下列线段的比值中，不等于sinA 的是（ ）A . CD ACB .DBCBC .CBABD .CDCB5.在等腰三角形ABC 中，若腰与底边的比是5:8，则底角的正弦值是（ ）A .85B .83 C .54 D .53 6.过点（5，12）的直线y = kx 与x 轴正方向的夹角为a ，则sin a 等于（ ） A .125B .135 C .1312 D .512 7.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，A 是栏杆转动的支点，E 是栏杆两段的连结点.当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升高到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∠AEF = 143°，AB = AE = 1.2 m ，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（参考数据:sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75）（ ）8.如图所示，小明为了测量水面宽度AB ，从点C 测得A ，B 两点的俯角分别为60°，30°，点C 到水面的距离CD = 8 m ，则AB 等于 A .3 mB .338 mC .3316 mD .83 m9.如图所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠C = 45°，sinB = 13 ，AD = 1，则△ABC 的面积为（A .1 + 22 B.2101+ C.2221+ D .22 - 110.如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，F 是CD 上一点，且满足FD CF = 31，连结AF 并延长交⊙O 于点E ，连结AD ，DE ，若CF = 2，AF = 3，给出下列结论:①△ADF ∽△AED ；②FG = 3；③tan ∠E = 45；④S △DAF ）= 65.其中正确的结论是 A .①③B .②③C .①④D .①③④二、填空题（每题4分，共24分）11.计算:tan 45° - cos 60° = _________ . （第12题）12.如图所示，已知一商场自动扶梯的长l 为10 m ，该自动扶梯到达的高度h 为6 m ，自动扶梯与地面所成的角为θ，则cos θ等于 _________ .13.如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是AB 边上的高，AC = 3，AB = 5，则sin ∠ACD= _________ ，∠BCD 的正切值为 _________ .14.如图所示为某飞机测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在C 处测得A ，B 两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH 为1200 m ，且点H ，A ，B 在同一条水平直线上，则这条江的宽度AB 为 ________m .（结果保留根号）15.如图所示为某器材的基本结构，立柱AB 的长为125 cm ，支架CD ，CE 的长分别为60 cm ，40 cm ，支点C 到立柱顶点B 的距离为25 cm .支架CD ，CE 与立柱AB 的夹角∠BCD = ∠BCE = 45°，转盘的直径FG = MN = 60 cm ，D ，E 分别是FG ，MN 的中点，且CD ⊥FG ，CE ⊥MN ，则两个转盘的最低点F ，N 距离地面的高度差为 ________ cm .（结果保留根号）16.如图所示，已知在锐角△ABC 中，E 为AB 的中点，BD ⊥AC 于点D ，若AC = 20，CD = 15，tanC = 54，则sin ∠ADE 的值为 __________ .三、解答题（共66分）17.（6分）计算:0230sin 60sin 45cos 30tan oo o .18.（8分）某校数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD ，在课外活动时间测得下列数据:如图所示，从地面点E 测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE 的长为16 m ，地面点B （与点E 在同一个水平线）距停车场顶部点C （A ，C ，B 在同一条直线上且与水平线垂直）1.2 m .试求该校地下停车场的高度AC 及限高CD .（结果精确到0.1 m ）19.（8分）已知在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD ⊥AB 于点D ，BE :AB = 3:5，若CE = 2，cos ∠ACD = 54.求:（1）cos ∠ABC 的值. （2）AC 的值.20.（10分）如图所示，某文化广场灯柱AB 被钢缆CD 固定，已知CB = 5 m ，且sin ∠DCB = 54.（1）求钢缆CD 的长度.（2）若AD = 2 m ，灯的顶端E 距离A 处1.6 m ，且∠EAB = 120°，则灯的顶端E 距离地面多少米?21.（10分）[阅读学习]刘老师提出这样一个问题:已知a 为锐角，且tan a = 31，求sin 2a 的值.小娟是这样解决的:如图1所示，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，∠BAC = a ，所以∠ACB = 90°，tana = BCAC = 1 3 .易得∠BOC = 2a .设BC = x ，则AC = 3x ，则AB = 10x .作CD ⊥AB 于点D ，求出CD =_________ （用含x 的式子表示），可求得 sin 2a = CDOC = _________ .[问题解决]如图2所示，M ，N ，P 为⊙O 上的三点，且∠P = β，tan β = 12 ，求sin 2β的值.22.（12分）如图1所示，某种三角形台历放置在水平桌面上，其左视图如图2所示，其中O是台历支架OA，OB的交点，同时又是台历顶端连结日历的螺旋线圈所在圆的圆心，现测得OA= OB= 14 cm，CA = CB = 4 cm，∠ACB = 120°，台历顶端螺旋线圈所在圆的半径为0.6 cm.（1）求点O到直线AB的距离.（2）求张角∠AOB的大小.（3）求此时某月的日历从台历支架正面翻到背面其外延上一点所经历的路径长.（结果精确到0.01，参考数据:sin14.33°≈ 0.25，cos14.33°≈ 0.97，tan14.33°≈ 0.26，46≈ 6.78，π取3.14）23.（12分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC = 2，P为边BC上的一动点（不与点B，C重合）,点P关于直线AC，AB的对称点分别为点M，N，连结MN交边AB于点F，交边AC于点E.（1）当P为边BC的中点时，求∠M的正切值.（2）连结FP，设CP = x，S△MPF = y，求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围.（3）连结AM，当点P在边BC上运动时，△AEF与△ABM是否一定相似?若是，请证明；若不是，请求出当△AEF与△ABM相似时CP的长.。

解直角三角形（06）一、选择题1．湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A 的仰角为°（如图）．已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为（）（参考数据：°≈，°≈，°≈）A．34米B．38米C．45米D．50米2．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）A．50B．51 C．50+1 D．101二、填空题3．如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i=4：3，坡长AB=8米，点A、B、C、D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为米．（结果保留根号）4．某校数学兴趣小组要测量西山植物园蒲宁之珠的高度．如图，他们在点A处测得蒲宁之珠最高点C的仰角为45°，再往蒲宁之珠方向前进至点B处测得最高点C的仰角为56°，AB=62m，根据这个兴趣小组测得的数据，则蒲宁之珠的高度CD约为m．（sin56°≈，tan56°≈，结果保留整数）5．如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆的高度约为m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈，cos50°≈，tan50°≈）6．如图，从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为32°，底部C的俯角为45°，观测点与楼的水平距离AD为31m，则楼BC的高度约为m（结果取整数）．（参考数据：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈）7．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈，，）8．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是m（结果保留根号）三、解答题9．如图，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点．已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米，塔高AB为123米（AB垂直地面BC），在地面C处测得点E的仰角α=45°，从点C沿CB方向前行40米到达D点，在D处测得塔尖A的仰角β=60°，求点E离地面的高度EF．（结果精确到1米，参考数据≈，≈）10．“东方之星”客船失事之后，本着“关爱生命，救人第一”的宗旨．搜救部门紧急派遣直升机到失事地点进行搜救，搜救过程中，假设直升机飞到A处时，发现前方江面上B处有一漂浮物，从A测得B处的俯角为30°，已知该直升机一直保持在距江面100米高度飞行搜索，飞行速度为10米每秒，求该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行多少秒可到达漂浮物的正上方？（结果精确到，≈）11．张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角（即∠MAN=30°），在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°（图中各点均在同一平面内），求这棵大树CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈）12．如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）13．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为65°，热气球与高楼的水平距离AD为120m．求这栋高楼的高度．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）14．小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42m，这栋楼有多高？15．如图，小俊在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°，求楼EF的高度．（结果精确到0.1米）16．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B 的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈，cos48°≈，tan48°≈，≈）17．如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．（1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号）（2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据：≈，≈）18．小敏同学测量一建筑物CD的高度，她站在B处仰望楼顶C，测得仰角为30°，再往建筑物方向走30m，到达点F处测得楼顶C的仰角为45°（BFD在同一直线上）．已知小敏的眼睛与地面距离为1.5m，求这栋建筑物CD的高度（参考数据：≈，≈．结果保留整数）19．如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°．已知ED=35cm，求椅子高AC约为多少？（参考数据：tan53°≈，si n53°≈，tan64°≈2，sin64°≈）20．如图，线段AB，CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD是60米．某人站在A处测得C点的俯角为37°，D点的俯角为48°（人的身高忽略不计），求乙楼的高度CD．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin48°≈，tan48°≈）21．如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D到地面的距离DE为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）．参考数据：tan47°≈，tan42°≈．22．一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A 的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈，≈）23．如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=15m，CD=20m，AB和CD之间有一景观池，小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°（点B、E、D在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin42°≈，co s42°≈，tan42°≈）24．热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处于地面距离为420米，求这栋楼的高度．25．为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．（1）求公益广告牌的高度AB；（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）26．如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）27．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH 的坡度i=1：，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈，sin31°≈）28．如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：（即tan∠DEM=1：），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到1米）（参考数据：≈，≈）29．如图，某景区有一出索道游览山谷的旅游点，已知索道两端距离AB为1300米，在山脚C点测得BC的距离为500米，∠AC B=90°，在C点观测山峰顶点A的仰角∠ACD=°，求山峰顶点A到C点的水平面高度AD．（参考数据：°≈，°=，°=）30．如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60°，CD⊥AB与点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度（结果保留整数，≈，≈）。