浙教版2020九年级数学下册第1章解直角三角形单元综合培优提升训练题1(附答案详解)

1.1～1.2一、选择题(每小题4分，共32分) 1．cos60°的值等于( ) A. 3 B ．1 C.22 D.122．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝47，BC ＝8，则AB 的长为( )A ．10B ．12C ．14D ．16图G －5－13．如图G －5－1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )A ．1B ．1.5C ．2D ．34．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(cos30°，tan45°)，则点P 关于x 轴的对称点P 1的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫32，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32C.⎝⎛⎭⎪⎫32，－1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1 5．如图G －5－2所示，AC 是电线杆AB 的一根拉线，测得BC ＝6米，∠ACB ＝52°，则拉线AC 的长为( )A.6sin52°米 B.6tan52°米C ．6cos52°米 D.6cos52°米G －5－2G －5－36．如图G －5－3，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，已知∠ACD 的正弦值是23，则AC AB的值是( )A.25B.35C.52D.237．一座楼梯的示意图如图G －5－4所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽1米，则地毯的面积至少需要( )A.4sin θ平方米 B.4cos θ平方米 C ．(4＋4tan θ)平方米 D ．(4＋4tan θ)平方米G －5－4G －5－58．如图G －5－5，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为32，AC ＝2，则sin B 的值是( )A.23B.32C.34D.43二、填空题(每小题4分，共32分)9．若α＝30°，则α的余角等于________度，sin α的值为________． 10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝2 5，则sin A ＝________．11．用计算器计算cos10°，cos20°，cos30°，…，cos90°的值，总结规律，利用此规律比较当0°<α<β<90°时，cos α与cos β的大小，即cos α________cos β.图G －5－612．如图G －5－6，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于________．13．已知α是锐角，tan α＝2cos30°，那么α＝________度．14．将一副三角尺如图G －5－7所示叠放在一起，则BE EC的值是________．G －5－7G －5－815．如图G －5－8，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，sin ∠CAM ＝35，则tan B 的值为________．图G －5－916．如图G －5－9，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝2.将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A ′B ′C ，则点B 转过的路径长为________．三、解答题(共36分)17．(6分)计算：2sin30°＋4cos30°•tan60°－cos 245°.18．(8分)王华是一名爱动脑筋的好学生，一天，他到公园锻炼，看到一个三角形的大花坛(如图G －5－10所示)，便产生了用新学的数学知识计算一下花坛面积的想法，他测得∠A ＝30°，AB 边的长度为40 m ，AC 边的长度为30 m ．王华同学很快计算出了花坛的面积，请你根据王华测量的结果，也计算一下这个三角形花坛的面积．图G －5－1019．(10分)如图G －5－11所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠BCD .(1)求证：CB ∥PD ；(2)若BC ＝3，sin P ＝35，求⊙O 的直径．图G －5－1120．(12分)如图G －5－12，E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠后得到△BFE ，点F 落在AD 边上．(1)求证：△ABF ∽△DFE ；(2)若sin ∠DFE ＝13，求tan ∠EBC 的值．图G －5－12详解详析1．D [解析] 根据余弦的定义及特殊角度的三角函数值，可得cos60°＝12.故选D.2．C 3.C4．C [解析] 由已知得P (32，1)，则P 1( 32，－1)． 5．D [解析] 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，则cos ∠ACB ＝BC AC ，∴AC ＝BCcos ∠ACB .又BC＝6米，∠ACB ＝52°，∴AC ＝6cos52°米．6．D [解析] ∵∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∠B ＋∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ， ∴sin B ＝sin ∠ACD ＝23，∴AC AB ＝23. 7．D8．A [解析] 连结DC .根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD ＝90°. 根据同弧所对的圆周角相等，得∠B ＝∠D .∴sin B ＝sin D ＝AC AD ＝23.故选A.9．60 12 10.2311.>12.12 [解析] 连结AB ，∵OA ＝OB ＝AB ， ∴△ABC 是等边三角形．∴∠AOB ＝60°. ∴cos ∠AOB ＝cos60°＝12.∴α＝60°. 14.33 [解析] ∵Rt △BAC 中，tan B ＝ACAB＝tan45°＝1，∴AB ＝AC . 在Rt △ACD 中，tan D ＝ACCD ＝tan30°＝33， ∴CD ＝3AC ，CD ＝3AB . ∵∠BAC ＝∠ACD ＝90°， ∴∠BAC ＋∠ACD ＝180°， ∴AB ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ， ∴BE EC ＝AB CD ＝33. 15.23 [解析] Rt △AMC 中，sin ∠CAM ＝MC AM ＝35，设MC ＝3x ，AM ＝5x ，则AC ＝AM 2－MC 2＝4x .∵M 是BC 的中点，∴BC ＝2MC ＝6x .在Rt △ABC 中，tan B ＝AC BC ＝4x 6x ＝23.16.33π [解析] ∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝2，∴cos30°＝BC AB， ∴BC ＝AB cos30°＝2×32＝ 3. ∵将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A ′B ′C ， ∴∠BCB ′＝60°，∴点B 转过的路径长为60π×3180＝33π.＝1＋6－12＝132. 18．解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，如图所示．在Rt △ACD 中，sin A ＝CDAC，∴CD ＝AC ·sin30°＝30×12＝15(m)，∴S △ABC ＝12AB ·CD ＝12×40×15＝300(m 2)．答：此三角形花坛的面积为300 m 2.19．解：(1)证明：∵∠D ＝∠1，∠1＝∠BCD ，∴∠D ＝∠BCD ， ∴CB ∥PD .(2)连结AC ，如图，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴BC ︵＝BD ︵， ∴∠P ＝∠A ，∴sin A ＝sin P ＝35.又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴sin A ＝BC AB ＝35，而BC ＝3，∴AB ＝5，即⊙O 的直径为5.20．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°. ∵△BCE 沿BE 折叠后得到△BFE ， ∴∠BFE ＝∠C ＝90°，∴∠AFB ＋∠DFE ＝180°－∠BFE ＝90°. 又∵∠AFB ＋∠ABF ＝90°， ∴∠ABF ＝∠DFE ，∴△ABF ∽△DFE .(2)在Rt △DEF 中，sin ∠DFE ＝DE EF ＝13，∴设DE ＝a ，EF ＝3a ，DF ＝EF 2－DE 2＝2 2a . ∵将△BCE 沿BE 折叠后得到△BFE ，∴CE ＝EF ＝3a ，CD ＝DE ＋CE ＝4a ，AB ＝4a ，∠EBC ＝∠EBF . 又由(1)知△ABF ∽△DFE ，∴FE BF ＝DF AB ＝2 2a 4a ＝22， ∴tan ∠EBF ＝FEBF ＝22， ∴tan ∠EBC ＝tan ∠EBF ＝22.第1章 解直角三角形1．1 锐角三角函数第1课时 锐角三角函数的概念知识点1 锐角三角函数的定义1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，AB ＝13，则sin A ＝________，cos A ＝________， tan A ＝________．2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( )A ．sin A ＝a cB ．cos B ＝b cC ．tan A ＝b aD ．tan B ＝b c图1－1－13．如图1－1－1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( )A ．sinB ＝AD AB B ．sin B ＝AC BCC ．sin B ＝AD ACD ．tan B ＝AD BD知识点2 已知三角形的边长或边长之间的数量关 系，求三角函数值图1－1－24．2017·湖州如图1－1－2，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos B 的值是( )A.35B.45C.34D.435．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sin A的值是( )A.12B．2 C.55D.526．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cos B的值是( )A.512B.125C.513D.12137．如图1－1－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC＝1∶2，则sin A＝________，cos A ＝________，tan B＝________．1－1－31－1－48．如图1－1－4，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝________．9．分别求出图1－1－5①②所示的直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值、正切值．图1－1－5知识点3 已知三角函数值，求三角形的边长图1－1－610．如图1－1－6，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15，sin B ＝35，则AC 的长为( )A ．3B ．9C ．4D ．1211．如图1－1－7，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则AB 的长是( )A ．2B ．8C ．2 5D ．4 51－1－71－1－812．如图1－1－8，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AB ＝15，则△ABC 的周长为________．13．如图1－1－9，A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值错误的是( )A.BD BC B.BC AB C.AD AC D.CD AC1－1－91－1－1014．如图1－1－10，以点O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与点A ，B 重合)，连结PO ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(cos α，sin α)D ．(sin α，cos α)15．△ABC 在网格中的位置如图1－1－11所示(每个小正方形的边长均为1)，AD ⊥BC 于点D ，则下列选项中错误．．的是( )图1－1－11A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝116．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长为( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm17．课本例3变式如图1－1－12所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝20，S △ABC ＝1003 3，求cos B 及tan B 的值．图1－1－1218．如图1－1－13，直线y ＝12x ＋32与x 轴交于点A ，与直线y ＝2x 交于点B.(1)求点B 的坐标；(2)求sin ∠BAO 的值．图1－1－1319．如图1－1－14，定义：在Rt △ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切，记作cot α，即cot α＝∠α的邻边∠α的对边＝AC BC.根据上述角的余切定义，解答下列问题：(1)cot 30°＝________；(2)已知tan A ＝34，其中∠A 为锐角，试求cot A 的值．图1－1－14第1章解直角三角形1．1 锐角三角函数第2课时特殊锐角的三角函数值知识点1 特殊角的三角函数值的计算1．sin30°的值为( )A.12B.32C.22D.332．sin30°，cos45°，cos30°的大小关系是( )A．cos30°>cos45°>sin30°B．cos45°>cos30°>sin30°C．sin30°>cos30°>cos45°D．sin30°>cos45°>cos30°3．如图1－1－15①是一张直角三角形的纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个等边三角形，如图1－1－15②，那么在Rt△ABC中，sin B的值是( )图1－1－15A.1 2B.3 2C ．1 D.32 4．计算：(1)sin60°＋cos60°＝________；(2)sin45°cos45°＝________，sin60°cos60°＝________． 5．计算：(1)3cos30°＝________； (2)12＋2sin60°＝________． 6．求下列各式的值：(1)sin 260°＋cos60°－tan45°；(2)3sin60°－2cos45°＋38；(3)cos 245°＋tan60°cos30°＋cos 260°＋sin 260°.知识点2 由特殊角的三角函数值求角度 7．已知∠A 为锐角，sin A ＝22，则∠A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°8．在直角三角形中，2cos α＝3，则锐角α的度数是( ) A ．60° B ．45° C ．30° D ．以上都不对9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝15，则∠A 的度数为( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°. (1)若sin A ＝32，则∠A ＝________°，tan A ＝________； (2)若tan A ＝33，则∠A ＝________°，cos A ＝________． 11．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，若sin A ＝32，cos B ＝12，则∠C ＝________°. 12．已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋(tan β－1)2＝0，则α＋β＝________°.知识点3 特殊角的三角函数值在实际生活中的应用图1－1－1613．图1－1－16是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB ，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC ＝150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是( )A.833 m B ．4 m C ．4 3 m D ．8 m图1－1－1714．如图1－1－17，一艘船向正北方向航行，在A 处看到灯塔S 在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B 点，在B 处看到灯塔S 在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行的过程中，距灯塔S 的最短距离是________海里(不作近似计算)．15．2017·滨州如图1－1－18，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( )图1－1－18A ．2＋ 3B ．2 3C ．3＋ 3D ．3 316．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则sin A2＝________．17．一般地，当α，β为任意角时，sin (α＋β)与sin (α－β)的值可以用下面的公式求得：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.例如：sin 90°＝sin (60°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1. 类似地，可以求得sin 15°的值是________．18．如图1－1－19，丁丁想在矩形AECF 中剪出梯形ABCD(如图中的阴影部分)，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮丁丁计算出BE ，CD 的长(精确到个位，3≈1.7)．图1－1－1919．课本作业题第6题变式阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题：sin 30°＝12，cos 30°＝32，则sin 230°＋cos 230°＝________；①sin 60°＝32，cos 60°＝12，则sin 260°＋cos 260°＝________；③ …观察上述等式，猜想：对任意锐角∠A ，都有sin 2A ＋cos 2A ＝________．④(1)如图1－1－20，在Rt △ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想； (2)已知∠A 为锐角(cos A>0)且sin A ＝35，求cos A 的值．图1－1－2020．创新学习数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等．于是，小陆同学提出一个问题：如图1－1－21，将一副三角板的直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一条直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．图1－1－21第1章解直角三角形1.2 锐角三角函数的计算知识点1 利用计算器求锐角的三角函数值1．用计算器求值(精确到0.0001)：sin63°52′41″≈________；cos15°22′30″≈________；tan19°15′≈________.2．比较大小：8cos31°________35.(填“＞”“＝”或“＜”)3．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AB＝8 cm，∠B＝37°，则BC≈________(精确到0.01 cm)．知识点2 由三角函数值求锐角的度数4．用计算器求tan A＝0.5234中的锐角A(精确到1°)时，按键顺序正确的是( )A.tan0·5234＝B.0·5234＝SHIFT tan－1C.SHIFT tan－10·5234＝D.tan－1SHIFT0·5234＝5．用计算器求锐角α(精确到1″)：(1)sinα＝0.2476，α≈________；(2)cosα＝0.4174，α≈________；(3)tanα＝0.1890，α≈________．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)若AC＝5，BC＝12，则AB＝________，tan A＝________，∠A≈________(精确到1″)；(2)若AC＝3，AB＝5，则sin A＝________，tan B＝________，∠A≈________(精确到1″)，∠B≈________(精确到1″)．图1－2－17．如图1－2－1，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为________(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)．知识点3 锐角三角函数在实际生活中的应用图1－2－28．如图1－2－2，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠A＝90°，∠C＝40°，则AB等于( )A．a sin40°米 B．a cos40°米C．a tan40°米 D.atan40°米图1－2－39．2017·宁波如图1－2－3，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)10．如图1－2－4，在一次数学课外实践活动中，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC＝20 m，求树高AB.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图1－2－411．如图1－2－5，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80 cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米．(结果取整数)(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)图1－2－512．如图1－2－6，在Rt△ABO中，斜边AB＝1.若OC∥BA，∠AOC＝36°，则( )图1－2－6A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°13．若∠A是锐角，且cos A＝tan30°，则( )A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45°C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90°14．如图1－2－7，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．(1)在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离；(结果取整数)(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．(参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，2≈1.41)图1－2－715．为倡导“低碳生活”，我们常选择以自行车作为代步工具，如图1－2－8①所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45 cm，60 cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20 cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB＝75°，其示意图如图1－2－8②.(1)求车架档AD的长；(2)求车座点E到车架档AB的距离．(结果精确到1 cm.参考数据：sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732)图1－2－816．(1)通过计算(可用计算器)比较大小，并提出你的猜想：①sin30°________2sin15°cos15°；②sin36°________2sin18°cos18°；③sin45°________2sin22.5°cos22.5°；④sin60°________2sin30°cos30°；⑤sin80°________2sin40°cos40°.猜想：若0°<α<45°，则sin2α________2sin αcos α.(2)已知：如图1－2－9，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝2α.请根据图中的提示，利用面积法检验你的结论．图1－2－9第1章 解直角三角形1.3 解直角三角形 第1课时 解直角三角形知识点 已知一边一角或两边解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB 的长为( )A ．4B ．6C ．8D ．102．如图1－3－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，则BC 的长是( ) A.4 33B ．4C ．8 3D ．4 31－3－11－3－23．图1－3－2是教学用的直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为( )A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm4．2017·慈溪模拟在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝34，AB ＝5，则边AC 的长是( )A ．3B ．4 C.154 D.5 745．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，c ＝10，∠A ＝45°，则a ＝________，b ＝________，∠B ＝________°.6. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ＝6，b ＝2 3，则∠B 的度数为________．图1－3－37．如图1－3－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝37°，BC ＝32，则AC ＝________．(结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图1－3－48．如图1－3－4，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，BC ＝4 cm ，tan B ＝32，则△ABC 的面积是________cm 2.9．如图1－3－5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，由下列条件解直角三角形．图1－3－5(1)∠A ＝60°，b ＝4； (2)a ＝13，c ＝23；(3)c ＝2 2，∠B ＝30°； (4)a ＝8，sin B ＝22.10．如图1－3－6，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC ＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)图1－3－611．等腰三角形的腰长为2 3，底边长为6，则底角等于( )A．30°B．45° C．60°D．120°12．如图1－3－7，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC边从点B向点C运动(点D与点B，C不重合)，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，则BE＋CF的值( )A．不变 B．逐渐增大C．逐渐减小 D．先增大后减小1－3－71－3－813．如图1－3－8，在矩形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且FC＝2BF，连结AE，EF.若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是________．图1－3－914．如图1－3－9，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知折痕AE＝5 5 cm，且tan∠EFC＝34，那么矩形ABCD的周长为________cm.15．如图1－3－10，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin∠BAC的值和点B到直线MC的距离．图1－3－1016．已知：等腰三角形ABC 中，AB ＝AC .(1)若cos B ＝13，且△ABC 的周长为24，求AB 的长；(2)若tan A ＝52，且BC ＝2 3，求AB 的长．17．为了解决停车难问题，交通部门准备沿宽12米、长60米的道路边规划停车位，按每辆车长5米、宽2.4米设计停车后，道路仍有不少于7米的路宽，以保证两车可以双向通过，如图1－3－11设计方案一：车位长边与路边夹角为45°；方案二：车位长边与路边夹角为30°.(1)请计算说明，两种方案是否都能保证通行要求？ (2)计算符合通行要求的方案中最多可以停多少辆车．图1－3－11第1章 解直角三角形1.3 解直角三角形 第2课时 坡度与圆弧问题知识点1 坡度问题图1－3－121．2017·温州如图1－3－12，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是( )A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米2．如图1－3－13是某水库大坝横断面示意图．其中CD ，AB 分别表示水库上、下底面的水平线，∠ABC ＝120°，BC 的长是50 m ，则水库大坝的高度h 是( )A ．25 3 mB ．25 mC ．25 2 m D.50 33m1－3－131－3－143．如图1－3－14是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为( )A ．4 3米B ．6 5米C ．12 5米D ．24米4．如图1－3－15，一山坡的坡度为i ＝1∶3，小辰从山脚A 出发，沿山坡向上走了200米到达点B ，则小辰上升了________米．1－3－151－3－165．如图1－3－16，小明爬一土坡，他从A 处到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他距离地面的高度h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A ＝________°.6．2017·萧山区期中如图1－3－17，水库大坝截面的迎水坡坡比(DE 与AE 的长度之比)为1∶0.6，背水坡坡比为1∶2，大坝高DE ＝30米，坝顶宽CD ＝10米，求大坝截面的周长和面积．图1－3－17知识点2 解直角三角形在圆(弧)中的应用图1－3－187．如图1－3－18，秋千链子的长度OA ＝3 m ，静止时秋千踏板处于A 位置，此时踏板距离地面0.3 m ，秋千向两边摆动．当踏板处于A ′位置时，摆角最大，即∠AOA ′＝50°，则在A ′位置，踏板与地面的距离约为________．(sin50°≈0.766，cos50°≈0.6428，结果精确到0.01 m)8．如图1－3－19是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD ＝24 m ，OE ⊥CD 于点E ，已测得sin ∠DOE ＝1213.(1)求半径OD ；(2)根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？图1－3－19图1－3－209．如图1－3－20，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )A．2 3 m B．2 6 mC．(2 3－2)m D．(2 6－2)m10．2017·淮安A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图1－3－21所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地．现计划开凿隧道A，B两地直线贯通，经测量得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝20 km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少．(结果精确到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图1－3－2111．如图1－3－22，一楼房AB后有一假山，其坡度i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房的水平距离BC＝25米，与亭子的距离CE＝20米．小丽从楼房顶(点A)测得点E的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)图1－3－2212．如图1－3－23是一副创意卡通圆规的平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可以绕点A旋转作出圆．已知OA＝OB＝10 cm.(1)当∠AOB＝18°时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01 cm)(2)保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．(结果精确到0.01 cm)(参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器)图1－3－23第1章解直角三角形第3课时方位角与仰角、俯角问题知识点1 方向角问题图1－3－241．如图1－3－24，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB是( )A．2海里 B．2sin55°海里C．2cos55°海里 D．2tan55°海里2．2017·泸州如图1－3－25，海中一渔船在A处且与小岛C相距70 n mile，若该渔船由西向东航行30 n mile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上．求该渔船此时与小岛C之间的距离．图1－3－253．如图1－3－26，一艘海监船以30海里/时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时岛C与该船距离最短．(1)请在图中作出该船在点B处的位置；(2)求岛C与B处之间的距离(结果保留根号)．图1－3－26知识点2 仰角与俯角问题4．如图1－3－27，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一座隧道(B ，C 在同一水平面上)，为了测量B ，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100 m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°，则B ，C 两地之间的距离为( )A ．100 3 mB ．50 2 mC ．50 3 m D.100 33m1－3－271－3－285．如图1－3－28，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋高楼顶部B 的仰角为30°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球A 与高楼的水平距离为120 m ，这栋高楼BC 的高度为( )A ．40 3 mB ．80 3 mC ．120 3 mD ．160 3 m6．天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图1－3－29，从位于天封塔的观测点C 测得两建筑物底部A ，B 的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度CD 为51米，A ，B 两点在CD 的两侧，且点A ，D ，B 在同一水平线上，求A ，B 之间的距离．(结果保留根号)图1－3－297．2017·广安如图1－3－30，线段AB，CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥AD，垂足分别为A，D.从D点测得B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB＝30米．(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD；(2)求乙建筑物的高CD.图1－3－308．2017·重庆如图1－3－31，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)( )A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米1－3－311－3－329．高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪声．如图1－3－32，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？________(填“需要”或“不需要”)．(3取1.732)10．课本作业题第2题变式2017·绍兴如图1－3－33，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30 m.(1)求∠BCD的度数；(2)求教学楼的高BD(结果精确到0.1 m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)．图1－3－3311．创新学习某市一湖的湖心岛有一颗百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他俩带着测倾器和皮尺来测量这个距离．测量方案如下：如图1－3－34，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用测倾器测得“乡思柳”顶端M的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米；然后，小军在A处蹲下，用测倾器测得“乡思柳”顶端M的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米．请你利用以上所测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长(结果精确到1米)．(参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452)图1－3－34。

2020年浙教新版九年级数学下册《第1章解直角三角形》单元测试卷题及答案解析一．选择题（共12小题）1．Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝2，AC＝3，下列各式中正确的是（）A．B．C．D．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值为（）A．B．C．D．3．如果∠A为锐角，且sin A＝0.6，那么（）A．0°＜A≤30°B．30°＜A＜45°C．45°＜A＜60°D．60°＜A≤90°4．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°5．在△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝，那么tan A的值为（）A．B．C．D．6．已知α是锐角，且sinα+cosα＝，则sinα•cosα值为（）A．B．C．D．17．在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan B＝（）A．B．C．D．8．在△ABC中，∠C＝90°，若，则cos B的值为（）A．B．C．2D．9．sin30°的值等于（）A．B．C．D．10．sin45°的值是（）A．B．C．D．11．下面四个数中，最大的是（）A．B．sin88°C．tan46°D．12．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBC＝，则AD的长为（）A ．2B．4C．D．二．填空题（共8小题）13．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则cos∠AOB的值是．14．比较下列三角函数值的大小：sin40°sin50°．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tan B＝．16．若sin28°＝cosα，则α＝度．17．2cos30°＝．18．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则sin∠BOD的值等于．19．如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）．20．如图，某公园入口原有一段台阶，其倾角∠BAE＝30°，高DE＝2m，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是．三．解答题（共8小题）21．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD＝8cm，∠ADB＝30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．22．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α＝2sinα．23．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．24．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cos B＝，AC＝6．求AB的长．25．为了方便居民低碳出行，聊城市公共自行车租赁系统（一期）试运行．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD＝30cm，DF＝20cm，AF＝25cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15cm，且∠EAB＝75°．（1）求AD的长；（2）求点E到AB的距离．（精确到0.1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）26．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE＝30米，坝顶宽CD＝10米，求大坝的截面的周长和面积．27．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）28．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.73）2020年浙教新版九年级数学下册《第1章解直角三角形》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝2，AC＝3，下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝2，AC＝3，∴AB＝，A．sin A＝＝＝，故此选项错误；B．cos A＝＝，故此选项错误；C．tan A＝＝，故此选项正确；D．cot A＝＝，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理，得AB＝＝5．cos A＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．如果∠A为锐角，且sin A＝0.6，那么（）A．0°＜A≤30°B．30°＜A＜45°C．45°＜A＜60°D．60°＜A≤90°【分析】由sin30°＝＝0.5，sin45°＝≈0.707，sin A ＝0.6，且sinα随α的增大而增大，即可求得答案．【解答】解：∵sin30°＝＝0.5，sin45°＝≈0.707，sin A ＝0.6，且sinα随α的增大而增大，∴30°＜A＜45°．故选：B．【点评】此题考查了正弦函数的增减性与特殊角的三角函数值．此题难度不大，注意掌握sinα随α的增大而增大．4．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°【分析】先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0＜α＜60°；从而得出45°＜α＜60°．【解答】解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°＝0，cos45°＝，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°＝0，tan60°＝，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选：B．【点评】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．5．在△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝，那么tan A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据sin A＝设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tan A的值．【解答】解：由sin A＝知，设a＝3x，则c＝5x，结合a2+b2＝c2得b＝4x，可得tan A＝＝＝．故选：A．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．6．已知α是锐角，且sinα+cosα＝，则sinα•cosα值为（）A．B．C．D．1【分析】把所求式子化为完全平方的形式，再把sin2α+cos2α＝1代入即可．【解答】解：∵（sinα+cosα）2＝sin2α+cos2α+2sinαcosα＝1+2sinαcosα＝（）2＝，∴sinαcosα＝（﹣1）÷2＝．故选：C．【点评】本题利用了同角的三角函数的关系sin2α+cos2α＝1来变形求值的．7．在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan B＝（）A．B．C．D．【分析】现根据∠A的正切值求出b、c之间的关系，然后根据勾股定理求出a，根据正切函数的定义求解．【解答】解：由cos A＝b＝，设b＝3x，则c＝5x．由勾股定理知，a＝4x．∴tan B＝＝．故选：B．【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，求锐角三角函数值，可用设合适参数，利用锐角三角函数的概念和勾股定理来求解．8．在△ABC中，∠C＝90°，若，则cos B的值为（）A．B．C．2D．【分析】在直角三角形中，互余的两个角的正弦和余弦相等，即可求cos B．【解答】解：如右图所示，∠C＝90°，sin A＝，∵∠A+∠B＝90°，∴sin A＝cos B＝．故选：A．【点评】本题考查了互余三角函数的关系．知道互余的两个角的正弦和余弦相等．9．sin30°的值等于（）A．B．C．D．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：sin30°＝，故选：A．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．10．sin45°的值是（）A ．B．C．D．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：sin45°＝．故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．11．下面四个数中，最大的是（）A ．B．sin88°C．tan46°D．【分析】利用计算器求出数值，再计算即可．【解答】解：A、﹣≈2.236﹣1.732≈0.504；B、sin88°≈0.999；C、tan46°≈1.036；D、≈≈0.568．故tan46°最大，故选：C．【点评】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力．12．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBC＝，则AD的长为（）A．2B．4C．D．【分析】先由等腰直角三角形的性质得出BC＝AC＝6，再解Rt△DBC，求出DC的长，然后根据AD＝AC﹣DC即可求解．【解答】解：在等腰Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，∴BC＝AC＝6．在Rt△DBC中，∵∠C＝90°，∴tan∠DBC＝＝，∴DC＝BC＝4，∴AD＝AC﹣DC＝6﹣4＝2．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．二．填空题（共8小题）13．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则cos∠AOB 的值是．【分析】观察图形，可知在直角△COD中，OD＝1，CD ＝2，首先由勾股定理求出OC的值，再根据锐角三角函数的定义求值．【解答】解：∵在直角△COD中，OD＝1，CD＝2，∴OC＝，∴cos∠AOB＝＝．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边．14．比较下列三角函数值的大小：sin40°＜sin50°．【分析】根据当0＜α＜90°，sinα随α的增大而增大即可得到sin40°＜sin50°．【解答】解：∵40°＜50°，∴sin40°＜sin50°．故答案为＜．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦函数，当0＜α＜90°，sinα随α的增大而增大．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tan B＝．【分析】根据所给的角的正弦值可得两条边的比，进而可得第三边长，tan B的值＝∠B的对边与邻边之比．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sin A＝＝不妨设BC＝3x，则AB＝5x，根据勾股定理可得：AC＝＝4x，∴tan B＝＝．故答案为：．【点评】考查求锐角的三角函数值的方法通常为：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．16．若sin28°＝cosα，则α＝62度．【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【解答】解：∵sin28°＝cosα，∴α＝90°﹣28°＝62°．【点评】掌握互为余角的正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．17．2cos30°＝．【分析】根据cos30°＝，继而代入可得出答案．【解答】解：原式＝．故答案为：．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆，难度一般．18．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则sin∠BOD的值等于．【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得sin∠BOD的值，本题得以解决．【解答】解：连接AE、EF，如图所示，则AE∥CD，∴∠FAE＝∠BOD，设每个小正方形的边长为a，则AE＝，AF＝，EF＝a，∵，∴△FAE是直角三角形，∠FEA＝90°，∴sin∠FAE＝＝，即sin∠BOD＝，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定理和等积法解答．19．如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）（2+1.6）m．【分析】已知小丽与树之间的距离为6m即AD＝7m，可由直角三角形ACD及三角函数的关系可求出CD的长度，再由AB＝1.6m可得出树的高度．【解答】解：由题意得：AD＝6m，在Rt△ACD中，tan A＝＝∴CD＝2，又AB＝1.6m∴CE＝CD+DE＝CD+AB＝2+1.6，所以树的高度为（2+1.6）m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，要注意利用已知线段及三角函数关系求未知线段．20．如图，某公园入口原有一段台阶，其倾角∠BAE＝30°，高DE＝2m，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是（10﹣2）m．【分析】过点B作BF⊥CE于点F，分别根据∠BAE＝30°，斜坡BC的坡度i＝1：5，在Rt△ABF和Rt△BCF中求出AF、CF的长度，然后求出AC的长度．【解答】解：如图，过点B作BF⊥CE于点F，则BF＝DE＝2m，在Rt△ABF中，∵∠BAE＝30°，∴AF＝＝＝2（m），在Rt△BCF中，∵BF：CF＝1：5，∴CF＝5×2＝10，则AC＝CF﹣AF＝（10﹣2）m．故答案为：（10﹣2）m．【点评】本题考查了坡度及坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，注意理解坡度与坡角的定义．三．解答题（共8小题）21．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD＝8cm，∠ADB＝30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．【分析】（1）根据旋转的性质可知△AFM≌△ADB，则AF ＝AD＝BD•cos∠ADB＝8×＝4cm；（2）当△AFK为等腰三角形时，由于AM＜AF，那么A 不能是等腰△AFK的顶点，则分两种情况：①K为顶点，即AK＝FK时；②F为顶点，即AF＝FK．针对每一种情况，利用三角形的面积公式，可分别求出△AFK的面积．【解答】解：（1）AF＝；（2）△AFK为等腰三角形时，分两种情况：①当AK＝FK时，如图．过点K作KN⊥AF于N，则KN ⊥AF，AN＝NF＝AF＝2cm．在直角△NFK中，∠KNF＝90°，∠F＝30°，∴KN＝NF•tan∠F＝2cm．∴△AFK的面积＝×AF×KN＝；②当AF＝FK时，如图．过点K作KP⊥AF于P．在直角△PFK中，∠KPF＝90°，∠F＝30°，∴KP＝KF＝2cm．∴△AFK的面积＝×AF×KP＝12cm2．【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．注意（2）中需分情况讨论△AFK为等腰三角形时的不同分类，不要漏解．22．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α＝2sinα．【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；（2）举出反例进行论证．【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；（2）该等式不成立，理由如下：假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，∵≠1，∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．23．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式＝（）2﹣2×﹣×＝3﹣1﹣1＝1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．24．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cos B＝，AC＝6．求AB的长．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据直角三角形的性质求出CD，根据余弦的定义求出AD，根据余弦的定义求出BD，计算即可．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D．∵∠A＝30°，∴CD＝AC＝3，AD＝AC•cos A＝9，∵cos B＝，∴设BD＝4x，则BC＝5x，由勾股定理得，CD＝3x，由题意的，3x＝3，解得，x＝，∴BD＝4，∴AB＝AD+BD＝9+4．【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．25．为了方便居民低碳出行，聊城市公共自行车租赁系统（一期）试运行．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD＝30cm，DF＝20cm，AF＝25cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15cm，且∠EAB＝75°．（1）求AD的长；（2）求点E到AB的距离．（精确到0.1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【分析】（1）根据勾股定理求出AD的长；（2）作EH⊥AB于H，求出AE的长，根据正弦的概念求出点E到车架AB的距离．【解答】解：（1）在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD＝＝＝15（cm）；（2）AE＝AD+CD+EC＝15+30+15＝60（cm），如图②，过点E作EH⊥AB于H，在Rt△AEH中，sin∠EAH＝，则EH＝AE•sin∠EAH＝AB•sin75°≈60×0.97＝58.2（cm）．答：点E到AB的距离为58.2 cm．【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确找出辅助线、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．26．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE＝30米，坝顶宽CD＝10米，求大坝的截面的周长和面积．【分析】先根据两个坡比求出AE和BF的长，然后利用勾股定理求出AD和BC，再由大坝的截面的周长＝DC+AD+AE+EF+BF+BC，梯形的面积公式可得出答案．【解答】解：∵迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，DE＝30m，∴AE＝18米，在RT△ADE中，AD＝＝6米∵背水坡坡比为1：2，∴BF＝60米，在RT△BCF中，BC＝＝30米，∴周长＝DC+AD+AE+EF+BF+BC＝6+10+30+88＝（6+30+98）米，面积＝（10+18+10+60）×30÷2＝1470（平方米）．故大坝的截面的周长是（6+30+98）米，面积是1470平方米．【点评】本题考查了坡度和坡比问题，利用三角函数求得梯形的各边，还涉及了勾股定理的应用，解答本题关键是理解坡比所表示的意义．27．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，则DE＝BF＝CH＝10m，根据直角三角形的性质得出DF的长，在Rt△CDE中，利用锐角三角函数的定义得出CE的长，根据BC＝BE﹣CE即可得出结论．【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE＝BF＝CH＝10m，在Rt△ADF中，AF＝AB﹣BF＝70m，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝70m．在Rt△CDE中，DE＝10m，∠DCE＝30°，∴CE＝＝＝10（m），∴BC＝BE﹣CE＝（70﹣10）m．答：障碍物B，C两点间的距离为（70﹣10）m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．28．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.73）【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论．【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB•sin67°＝520×0.92＝478.4km，BD＝AB•cos67°＝520×0.38＝197.6km．∵C地位于B地南偏东30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD•tan30°＝197.6×≈113.9km，∴AC＝AD+CD＝478.4+113.9≈592（km）．答：A地到C地之间高铁线路的长为592km．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义．。

浙教版九年级数学下第一章解直角三角形单元测试第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，3*10=30）1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin ∠A ＝513，则cos ∠A 的值为( )A.1213B.813C.23D.5122. 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是( ) A ．sin A ＝32 B ．tan A ＝12C ．cos B ＝32D ．tan B ＝ 33. 一个公共房门前的台阶高出地面1.2 m ，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A ．斜坡AB 的坡比是10°B ．斜坡AB 的坡比是tan10°C ．AC ＝1.2tan10° mD ．AB ＝ 1.2cos10°m4．如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB 、CD 分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC ＝120°，BC 的长是50m ，则水库大坝的高度h 是( )A ．253mB ．25mC ．252m D.5033m5．下列式子：①sin60°>cos30°；②0<tan α<1(α为锐角)；③2cos30°＝cos60°；④sin30°＝cos60°，其中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6．关于x的一元二次方程x2－2x＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于()A．15°B．30°C．45°D．60°7．如图，小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆P A的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1m，则旗杆P A的高度为()A.11－sinαm B.11＋sinαmC.11－cosαmD.11＋cosαm8．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝23，则AB的长为( )A．26B．3 2 C．4 D．369．在正方形网格中，∠BAC如图放置，点A，B，C都在格点上，则sin∠BAC的值为( ) A. B. C. D.10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AC＝5，BC＝2，那么sin∠ACD ＝()A.53 B.23C.255 D.52第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11．在△ABC 中，如果∠A ，∠B 满足|tan A －1|＋⎝⎛⎭⎫cos B －122＝0，那么∠C ＝_______． 12. 如图，已知锐角α的顶点在原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过(1，2)．如图，则sin α＝_______，cos α＝_______，tan α＝________．13. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A 处观测到灯塔M 在北偏东60°方向上，且AM=100海里，要使渔船到达离灯塔距离最近的位置，那么该船航行（ ）海里。

浙教版九年级下册数学第一章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知锐角A满足关系式2sin2A-7sinA+3=0，则sinA的值为（）A. B.3 C. 或3 D.42、等于（）A. B. C. D.3、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则tanB的值是（）A. B. C. D.4、如图,一船向正北方向匀速行驶,在C处看见正西方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直线上,继续航行半小时后,在D处看见灯塔B在南偏西60°方向上,灯塔A在南偏西75°方向上,则该船的速度应该是( )海里/小时.A.10B.5C.10D.55、如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的同心圆的半径由内向外依次为，，，，…，同心圆与直线和分别交于，，，，…，则的坐标是（）A. B. C. D.6、分别写有0，2﹣1，﹣2，cos30°，3的五张卡片，除数不同外其他均相同，从中任意抽取一张，那么抽到负数的概率是（）A. B. C. D.7、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（）A. B. C. D.8、某人沿着坡度为1：2.4的斜坡向上前进了130m，那么他的高度上升了( )A.50mB.100mC.120mD.130m9、如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE＝2，OE＝3，则tanC·tanB＝（）A.2 &nbsp;B.3C.4D.510、已知∠A=30°，下列判断正确的是（）A.sinA=B.cosA=C.tanA=D.cotA=11、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA= ，BE=1，则tan∠DBE的值是（）A. B.3 C. D.12、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为( )A.30 海里B.30 海里C.60海里D.30 海里13、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，，则菱形的周长是（）A.10B.20C.40D.2814、如图，△ABC是锐角三角形,sinC= ，则sin A的取值范围是( )A.0<sinA<B. <SinA<1C. <sinA<D. <sinA<115、如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（）A.200tan70°米B. 米C.200sin70°米D. 米二、填空题(共10题，共计30分)16、计算：sin30°+cos30°•tan60°=________．17、已知a为锐角，tan（90°﹣a）=，则a的度数为________°.18、如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE，若AD＝10，AB＝6，则tan∠EDF的值是________．19、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E，且tan∠ADE＝，AC＝5，则AB的长________．20、在△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=1，则cosB的值是________21、如图，正方形ABCD的边长为6cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE 的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于________cm．22、计算：________.23、将一副直角三角板按如图所示的方式放置，其中，把含角的三角板向右平移，使顶点B落在含角的三角板的斜边上，则的长度为________.24、如图，为等边三角形，点在外，连接、．若，，，则________．25、如图，等边△ABC边长为4，点P，Q分别是AB,BC边上的动点，且AP=BQ= x,作□PQCR，则用含x的代数式表示□PQCR的面积为________；当PC∥AR时， x =________.三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：∣-2∣- +2sin30°.27、近几年，我国国家海洋局高度重视海上巡逻．如图，上午9时，巡逻船位于A处，观测到某港口城市P位于巡逻船的北偏西67.5°，巡逻船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时巡逻船到达B处，这时观测到城市P位于巡逻船的南偏西36.9°方向，求此时巡逻船所在B处与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈ ，tan36.9°≈ ，sin67.5°≈ ，tan67.5°≈ ）28、如图，C地在B地的正东方向，因有大山阻隔，由B地到C地需绕行A 地，已知A地位于B地北偏东53°方向，距离B地516千米，C地位于A地南偏东45°方向．现打算打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求建成高铁后从B 地前往C地的路程．（结果精确到1千米）（参考数据：sin53°＝，cos53°＝，tan53°＝）29、美丽的甬江宛如一条玉带穿城而过，数学课外实践活动中，小林在甬江岸边的A， B两点处，利用测角仪分别对西岸的一观景亭D进行测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°，若AB=114米，求观景亭D到甬江岸边AC的距离约为多少米？（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）30、如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在A、B两处，甲测得点D的仰角为45°，乙测得点C的仰角为60°，已知两人使用的测角仪的高度AF、BG相等，且A、B、E三点在一条直线上，AB=8m，BE=15m．求广告牌CD的高（精确到1m）．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、D3、A4、A6、A7、B8、A9、C10、A11、B12、A13、C14、D15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。

浙教版九年级下册数学第一章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（）A.1+tan∠ADB=B.2BC=5CFC.∠AEB+22°=∠DEFD.4cos∠AGB=2、如图，在中，，则 sinB 的值为（）A. B. C. D.3、如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC 相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A.2B.2C.3D.44、如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数y= 的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO=16，tan∠BAO=2，则k的值为（）A.20B.22C.24D.265、用计算器求sin50°的值，按键顺序是（）A. B. C.D.6、如图，四边形内接于圆，过点作于点，若，，则的长度为( )A. B.6 C. D.不能确定7、在中，，则的值是（）A. B. C. D.8、如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，若∠ACB＝90°，则sinα的值是（）A. B. C. D.9、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB＝13，BC＝5，则sinA的值是( )A. B. C. D.10、某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP=（）A. B.2 C. D.11、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，，则菱形的周长是（）A.10B.20C.40D.2812、sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（）A.cos28°＜cos58°＜sin58°B.sin58°＜cos28°＜cos58° C.cos58°＜sin58°＜cos28° D.sin58°＜cos58°＜cos28°13、如图，▱ABCD中，AB=14，BC=17，其中一边上的高为15，∠B为锐角，则tanB等于（）A. B. C.15 D. 或1514、在△ABC中，∠C=90°，cos A=，那么sin A的值等于（）A. B. C. D.15、如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C 处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A.20海里B.40海里C. 海里D. 海里二、填空题(共10题，共计30分)16、△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则AC的长是________ 。

浙教版九年级下册数学第一章解直角三角形（附答案）一、单选题1.如图，一木杆在离地面3 m 处折断，木杆顶端落在离木杆底端4 m 处，则木杆折断之前的高度为（）m.A. 9B. 8C. 5D. 42.如图，商用手扶梯的坡比为，已知扶梯的长为12米，则小明乘坐扶梯从处到处上升的高度为（）A. 6米B. 米C. 12米D. 米3.如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，即BC：AC＝1：2，若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为（）A. 4 米B. 6 米C. 6 米D. 24米4.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（）5题图A. B. C. D.5.如图，一艘轮船以每小时海里的速度沿正北方航行，在处测得灯塔在北偏西方向上，轮船航行小时后到达处，在处测得灯塔在北偏西方向上，当轮船到达灯塔的正东方向处时，则轮船航程的距离是（）A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里6.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A. 40海里B. 60海里C. 70海里D. 80海里7.在△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，BC＝，则∠B为（）A. 30°B. 90°C. 30°或60°D. 30°或90°8.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（）A. B. C. D.9.下表是小红填写的实践活动报告的部分内容:设铁塔顶端到地面的高度为，根据以上条件，可以列出的方程为（）A. B.C. D.10.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则cosA的值是（）A. B. C. D.11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则sinB的值是（）A. B. C. D.12.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为( )A. 60海里B. 45海里C. 20 海里D. 30 海里二、填空题13.如图，是矗立在高速公路地面上的一块交通警示牌，经测量得知PA＝4米，AB＝5米，∠PAD＝45°，∠PBC ＝30°，则警示牌的高CD为________．(结果保留小数点后一位）14.将一副直角三角板按如图所示的方式放置，其中，把含角的三角板向右平移，使顶点B落在含角的三角板的斜边上，则的长度为________.15.在中，已知，，的对边，另一条直角边AC的长是________．16.图1是小慧在“天猫•双11”活动中购买的一张多档位可调节靠椅.档位调节示意图如图2所示，己知两支脚分米，分米，为上固定连接点，靠背分米.档位为Ⅰ档时，，档位为Ⅱ档时，.当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背顶端向后靠的水平距离（即）为________分米.17.图1是一个地铁站人口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________18.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）三、解答题19.如图，小红想测量离A处30m的大树的高度，她站在A处仰望树顶B，仰角为30°（即∠BDE＝30°），已知小红身高1.52m.求大树的高度.20.如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C 在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．21.超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？22.下图是某大桥的斜拉索部分效果图，为了测得斜拉索顶端距离海平面的高度，先测出斜拉索底端到桥塔的距离（的长）约为米，又在点测得点的仰角为，测得点的俯角为，求斜拉索顶端点到海平面点的距离（的长）．（）23.今年人夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在处测得航标在北偏东方向上，前进米到达处，又测得航标在北偏东方向上，如图在以航标为圆心，米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险? （）答案一、单选题1. B2. A3. C4. A5. C6. D7. D8. A9. A 10. D 11. B 12. D二、填空题13. 1.2米14. 15. 6 16. 2 17. 18. 280三、解答题19. 解：根据题意可知：四边形ADEC为矩形，∴ED＝CA＝30m，EC＝AD＝1.52m，在直角△BDE中，∠BDE＝30°，根据锐角三角函数定义得：tan∠BDE＝tan30°＝＝，∴BE＝DE• ＝10 m，∴BC＝BE+EC＝（10 +1.52）m≈18.84m.答：大树的高度约为18.84m.20. 解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D，由已知，得AB=24× =12，∠CAB=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，∴∠ACB =30°，∴∠ACB=∠CAB，∴CB=AB=12，在Rt△CBD中，sin∠CBD= ，∴CD=CB·sin∠CBD=12× ，∵，∴货船继续向正东方向行驶无触礁危险．21. 解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，则∠PAO＝30°.∴AP＝2OP＝200 m，AO＝＝＝100 （m）．在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，则BO＝OP＝100 m.∴AB＝AO－BO＝100 －100≈73（m）．∴从A到B小车行驶的速度为73÷3≈24.3（m/s）＝87.48 km/h>80 km/h. ∴此车超过每小时80千米的限制速度．22. 解：在中，，．在中，米．23. 解：过点作，设垂足为，在中，在中，米米．米> 米，故没有危险．答:若船继续前进没有被浅滩阻碍的危险．。

浙教版2020九年级数学下册第1章解直角三角形单元综合基础测试题1（附答案详解）1．如图,BC为⊙O的直径,AB=OB.则∠C的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB的值为（）．A．2 B． C． D．13．若Rt△ABC的各边都扩大4倍，得到Rt△A′B′C′，则锐角∠A、∠A′的正弦值的关系为( )A．sin A′＝sin A B．4sin A′＝sin A C．sin A′＝4sin A D．不能确定4．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=12，那么△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．无法确定5．Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=12，则tanB的值是( )A．3B．22C．12D．36．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是( ).A．B．C．D．7．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC 绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（）A ．（2，6）或（﹣6，﹣2）B ．（6，2）或（﹣6，﹣2）C ．（﹣2，﹣6）或（6，2）D ．（﹣2，﹣6）或（2，6）8．如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC ，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A 处测得信号塔下端D 的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达B 处，又测得信号塔顶端C 的仰角为45°，CE ⊥AB 于点E ，E 、B 、A 在一条直线上．则信号塔CD 的高度为( )A ．203米B ．(203－8)米C ．(203－28)米D ．(203－20)米9．sin45°的值等于（ ） A ． B ．C ．D ．110．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，CD AB ⊥于点D ，3BC =，4AC =，设BCD α∠=，则tan α等于（ ）A ．43B ．34C ．35D ．4511．如图所示，某地下车库的人口处有一斜坡AB ，其坡度1:1.5i =，则斜坡AB 的长为________．12．如图，在正方形ABCD 中，43AD =把边BC 绕点B 逆时针旋转30°得到线段BP ，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接PC ，则三角形PCE 的面积为__________．13．如图已知Rt ABC ∆中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=，则直角边AC 的长是_________．14．如图，已知矩形ABCD ，AD=9，AB=6，若点G 、H 、M 、N 分别在AB 、CD 、AD 、BC 上，线段MN 与GH 交于点K ．若∠GKM=45°，NM=35，则GH=__．15．如图，对折矩形纸片ABCD 使AD 与BC 重合，得到折痕MN ，再把纸片展平．E 是AD 上一点，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 的对应点A ′落在MN 上．若CD ＝5，则BE 的长是_____．16．某人沿斜坡（坡度为i=1：3）前进了10米，则它升高了______米． 17．在Rt △ABC 中，∠C=90°． （1）若sinA=3，则∠A=______，tanA=______； （2）若tanA=3，则∠A=_______，cosA=_________． 18．在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=12∠BAC ，tan ∠BPC=_______________.19．在ABC ∆中90C ∠=︒，A ∠、B 、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ． （1）若3a =，4b =，则tan A =______； （2）若21b =，29c =，则tan A =______； （3）若2a =，6b =，则tan A =______； （4）若9a =，15c =，则tan A =______； 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣23x+4的图象与x 轴和y 轴分别相交于A 、B 两点．动点P 从点A 出发，在线段AO 上以每秒3个单位长度的速度向点O 作匀速运动，到达点O 停止运动，点A 关于点P 的对称点为点Q ，以线段PQ 为边向上作正方形PQMN ．设运动时间为t 秒．若正方形PQMN 对角线的交点为T ，请直接写出在运动过程中OT+PT 的最小值____.21．已知⊙O 的直径为10，点A ，点B ，点C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D ． （I ）如图①，若BC 为⊙O 的直径，求BD 、CD 的长； （II ）如图②，若∠CAB=60°，求BD 、BC 的长．22．如图，港口A 在观测站C 的正东方向20km 处，某船从港口A 出发，沿东偏北75︒方向匀速航行2小时后到达B 处，此时从观测站C 处测得该船位于北偏东60︒的方向，求该船航行的速度．23．（本题满分10分）某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB 的高，他们来到与建筑物AB 在同一平地且相距12米的建筑物CD 上的C 处观察，测得某建筑物顶部A 的仰角为30°、底部B 的俯角为45°．求建筑物AB 的高（精确到1米）．（可供选用的数据：≈1.4，≈1.7）．24．如图，河流的两岸PQ ，MN 互相平行，河岸PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离28CD =米，某人在河岸MN 的A 处测得45DAN ∠=︒，然后沿河岸走了43米到达B 处，测得64CBN ∠=︒，求河流的宽度CE.（参考数据：sin 640.90︒≈，cos640.44︒≈，tan64 2.0︒≈）25．（12sin30°+tan60°−cos45°+tan30°． （2） (13)－1＋|13－2sin60°＋(π－2017)08. 26．为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A 射出的光线AB 、AC 与地面MN 的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T ，大灯照亮地面的宽度BC 的长为56m ． （1）求BT 的长（不考虑其他因素）． （2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s ，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h 的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是149m ，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．（参考数据：sin22°≈38，tan22°≈25，sin31°≈1325，tan31°≈35）27．如图，甲、乙两车在行驶、超车过程均近似地看作直线平移，已知甲、乙两车均以20米/秒的速度在右车道匀速行驶，甲车头D与乙车头A之间的距离AD=50米，车宽EC=1.8米，为保证安全，一般车子在行驶过程中与车行道分界线相距0.6米，甲、乙两车行驶路线与CD所在直线平行于道路分界线，现乙车加速，沿路线AB加速行驶到左车道，且∠BAC=1.5o，若B、C、E刚好在同一水平线上．(1)求CD的距离；(2)已知该高速路段限速110km/h，判断乙车在超车过程是否超速？请通过计算说明．(参考数据：tanl.5o≈0.015，sin1.5o≈0.014)28．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB＝16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB＝43，点E、F分别是线段AD、AC上的动点，（点E不与点A，D重合），且∠CEF＝∠ACB．（1）求AC的长和点D的坐标；（2）求证：FE AE EC DC；（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．参考答案1．A 【解析】 【分析】利用圆周角定理得到∠BAC=90°，然后根据正弦的定义求∠C 的度数． 【详解】解：∵BC 为⊙O 的直径， ∴∠BAC=90°， ∵AB=OB ， ∴BC=2AB ，∴在Rt△ABC 中，sinC=12AB BC ， ∴∠C=30°． 故选：A ． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2．B ． 【解析】试题分析：观察图形得知：∠B=45°，因为45度的正弦值是22，所以sinB 的值为22．故选B ．考点：特殊角的三角函数值． 3．A 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理、正弦的定义判断即可． 【详解】Rt △ABC 的各边都扩大4倍,得到Rt △A′B′C′与Rt △ABC 相似， ∴∠A=A′，∴sinA′=sinA，故选：A.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练的掌握锐角三角函数的定义与应用. 4．B【解析】【分析】根据∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=12，可得出∠A和∠B的度数，继而可得出三角形ABC的形状．【详解】在△ABC中，∵∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=12，∴∠A=30°，∠B=60°，则∠A=180°-30°-60°=90°．故△ABC为直角三角形．故选B．5．D【解析】【分析】根据30°的正弦值是12，求出∠A，根据直角三角形的性质求出∠B，根据60°的正切值计算．【详解】解：sinA=12，则∠A=30°，∵∠C=90°，∴∠B=60°，∴tanB=tan60°故选：D．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 6．C 【解析】试题分析：由题意可知，三角形ABD ，三角形ACD 和三角形ABC 都是直角三角形，在直角三角形ABD 中，∠B 的正弦等于∠B 的对边AD 比斜边AB ，故A 正确；在直角三角形ABC 中，∠B 的正弦等于∠B 的对边AC 比斜边BC ，故B 正确；又因为∠B=∠DAC ，而sin ∠DAC=,所以sin ∠B=，故D 正确；而AD:AC 是∠DAC 的余弦，也是∠B 的余弦，故结论不正确的是C.选C. 考点：锐角三角函数. 7．C 【解析】 【分析】由A （1，﹣1），B （2，﹣2），可得O 、A 、B 在同一条直线上，且为一、三象限的平分线，△ABC 绕着原点O 旋转75°，可分顺时针和逆时针两种情况讨论，结合三角函数可得B 1 【详解】解：如图由A （1，﹣1），B （2，﹣2），可得直线OA 的解析式为：y=-x ， OB 的解析式为：y=-x ，可得O 、A 、B 三点位于同一直线上，即y=-x ， 且OAB 为第二、四象限的平分线，与x 轴、y 轴的夹角为o 45， 222(2)+-22当△ABC 绕着原点O 旋转75°，当为逆时针旋转时，1OB 与x 轴的夹角为o 30，1B X =o 22cos306，o 122sin302B Y =，此时1B 点坐标为62（，），同理可得当为顺时针旋转时，1OB 与y 轴的夹角为o 30, 可得1B 点坐标为-2-6（，）， 故选C. 【点睛】本题主要考查一次函数与旋转及三角函数的综合，需灵活运用所学知识求解. 8．C 【解析】 【分析】利用30°的正切值即可求得AE 长，进而根据45°角的正切值可求得CE 长．根据△BEC 是等腰直角三角形可知CE=BE ，CE 减去DE 长即为信号塔CD 的高度． 【详解】∵AB=8米，DE=20米，∠A=30°，∠EBC=45°， ∴在Rt △ADE 中，tan30=DE AE =3，解得AE=203米， 在Rt △BCE 中，CE=BE•tan45°=（203-8）×1=203-8（米）， ∴CD=CE-DE=203-8-20=203-28（米）； 故选C. 【点睛】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题关键； 9．B 【解析】特殊角的三角函数值。

2020-2021学年浙教版九年级数学下册第一章《解直角三角形》综合提高B 卷班级________ 姓名________ 得分_________一、选择题（每题3分，共30分）1.如图所示，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 8，则tanB 的值是（ ） A .2B .1 2C .55 D .5522.已知sinA = 12 ，则下列选项中，正确的是（ ）A .cosA =22 B . tanA = 1 C .cosA =23 D . tanA = 33.如图所示，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80 m ，则点B 离水平面的高度BC 的长为（ ） A .3380 mB .403 mC .40 mD .10 m4.如图所示，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，则下列线段的比值中，不等于sinA 的是（ ）A . CD ACB .DBCBC .CBABD .CDCB5.在等腰三角形ABC 中，若腰与底边的比是5:8，则底角的正弦值是（ ）A .85B .83 C .54 D .53 6.过点（5，12）的直线y = kx 与x 轴正方向的夹角为a ，则sin a 等于（ ） A .125B .135 C .1312 D .512 7.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，A 是栏杆转动的支点，E 是栏杆两段的连结点.当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升高到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∠AEF = 143°，AB = AE = 1.2 m ，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（参考数据:sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75）（ ）8.如图所示，小明为了测量水面宽度AB ，从点C 测得A ，B 两点的俯角分别为60°，30°，点C 到水面的距离CD = 8 m ，则AB 等于 A .3 mB .338 mC .3316 mD .83 m9.如图所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠C = 45°，sinB = 13 ，AD = 1，则△ABC 的面积为（A .1 + 22 B.2101+ C.2221+ D .22 - 110.如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，F 是CD 上一点，且满足FD CF = 31，连结AF 并延长交⊙O 于点E ，连结AD ，DE ，若CF = 2，AF = 3，给出下列结论:①△ADF ∽△AED ；②FG = 3；③tan ∠E = 45；④S △DAF ）= 65.其中正确的结论是 A .①③B .②③C .①④D .①③④二、填空题（每题4分，共24分）11.计算:tan 45° - cos 60° = _________ . （第12题）12.如图所示，已知一商场自动扶梯的长l 为10 m ，该自动扶梯到达的高度h 为6 m ，自动扶梯与地面所成的角为θ，则cos θ等于 _________ .13.如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是AB 边上的高，AC = 3，AB = 5，则sin ∠ACD= _________ ，∠BCD 的正切值为 _________ .14.如图所示为某飞机测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在C 处测得A ，B 两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH 为1200 m ，且点H ，A ，B 在同一条水平直线上，则这条江的宽度AB 为 ________m .（结果保留根号）15.如图所示为某器材的基本结构，立柱AB 的长为125 cm ，支架CD ，CE 的长分别为60 cm ，40 cm ，支点C 到立柱顶点B 的距离为25 cm .支架CD ，CE 与立柱AB 的夹角∠BCD = ∠BCE = 45°，转盘的直径FG = MN = 60 cm ，D ，E 分别是FG ，MN 的中点，且CD ⊥FG ，CE ⊥MN ，则两个转盘的最低点F ，N 距离地面的高度差为 ________ cm .（结果保留根号）16.如图所示，已知在锐角△ABC 中，E 为AB 的中点，BD ⊥AC 于点D ，若AC = 20，CD = 15，tanC = 54，则sin ∠ADE 的值为 __________ .三、解答题（共66分）17.（6分）计算:0230sin 60sin 45cos 30tan oo o .18.（8分）某校数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD ，在课外活动时间测得下列数据:如图所示，从地面点E 测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE 的长为16 m ，地面点B （与点E 在同一个水平线）距停车场顶部点C （A ，C ，B 在同一条直线上且与水平线垂直）1.2 m .试求该校地下停车场的高度AC 及限高CD .（结果精确到0.1 m ）19.（8分）已知在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD ⊥AB 于点D ，BE :AB = 3:5，若CE = 2，cos ∠ACD = 54.求:（1）cos ∠ABC 的值. （2）AC 的值.20.（10分）如图所示，某文化广场灯柱AB 被钢缆CD 固定，已知CB = 5 m ，且sin ∠DCB = 54.（1）求钢缆CD 的长度.（2）若AD = 2 m ，灯的顶端E 距离A 处1.6 m ，且∠EAB = 120°，则灯的顶端E 距离地面多少米?21.（10分）[阅读学习]刘老师提出这样一个问题:已知a 为锐角，且tan a = 31，求sin 2a 的值.小娟是这样解决的:如图1所示，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，∠BAC = a ，所以∠ACB = 90°，tana = BCAC = 1 3 .易得∠BOC = 2a .设BC = x ，则AC = 3x ，则AB = 10x .作CD ⊥AB 于点D ，求出CD =_________ （用含x 的式子表示），可求得 sin 2a = CDOC = _________ .[问题解决]如图2所示，M ，N ，P 为⊙O 上的三点，且∠P = β，tan β = 12 ，求sin 2β的值.22.（12分）如图1所示，某种三角形台历放置在水平桌面上，其左视图如图2所示，其中O是台历支架OA，OB的交点，同时又是台历顶端连结日历的螺旋线圈所在圆的圆心，现测得OA= OB= 14 cm，CA = CB = 4 cm，∠ACB = 120°，台历顶端螺旋线圈所在圆的半径为0.6 cm.（1）求点O到直线AB的距离.（2）求张角∠AOB的大小.（3）求此时某月的日历从台历支架正面翻到背面其外延上一点所经历的路径长.（结果精确到0.01，参考数据:sin14.33°≈ 0.25，cos14.33°≈ 0.97，tan14.33°≈ 0.26，46≈ 6.78，π取3.14）23.（12分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC = 2，P为边BC上的一动点（不与点B，C重合）,点P关于直线AC，AB的对称点分别为点M，N，连结MN交边AB于点F，交边AC于点E.（1）当P为边BC的中点时，求∠M的正切值.（2）连结FP，设CP = x，S△MPF = y，求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围.（3）连结AM，当点P在边BC上运动时，△AEF与△ABM是否一定相似?若是，请证明；若不是，请求出当△AEF与△ABM相似时CP的长.。

浙教版九年级下册数学第一章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆的高度与拉绳的长度相等，小明先将拉到的位置，测得为水平线），测角仪的高度为米，则旗杆的高度为（）A. 米B. 米C. 米D. 米2、构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图.在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣.类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A. +1B. ﹣1C.D.3、如图，在直径为4的⊙O中，弦AC=，则劣弧AC所对的圆周角∠ABC的余弦值是:（）A. B. C. D.4、如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P 在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q.若AB＝2，则线段BQ的长为（）A. B. C. D.15、如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）A.msin35°B.mcos35°C.D.6、如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（）A. B. C. D.7、已知∠A是锐角，且sinA=，那么∠A等于（）A.30°B.45°C.60°D.75°8、小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了( )A.200 mB.500mC.500 mD.1000m9、如图，下列说法中错误的是（）A.OA的方向是东北方向B.OB的方向是北偏西30°C.OC的方向是南偏西60°D.OD的方向是南偏东30°10、李红同学遇到了这样一道题：tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是（）A.40°B.30°C.20°D.10°11、在Rt△ABC中，，AC=3，BC=4，则sinA的值为（）A. B. C. D.12、如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（）A. B. C. D.213、2sin60°的值等于（）A. B.2 C.1 D.14、如图，点P（x，y）（x＞0，y＞0）在半径为1的圆上，则cosα=（）A.xB.yC.D.15、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin∠B＝，则BC＝（）A.15B.6C.9D.8二、填空题(共10题，共计30分)16、计算：=________．17、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sinB的值是________.18、如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x(x≥0)，则x的取值范围是________．19、计算“2sin30°-（π- ）0+| -1|+（）-1”的结果是 ________.20、若cosA=0.6753，则锐角A=________ （用度、分、秒表示）．21、如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上点D处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部点B的仰角为45°。

2020-2021学年浙教版九年级数学第一章《解直角三角形》综合提高A 卷班级_______ 姓名________ 得分________一、选择题（每题3分，共30分）1.在△ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 4，那么∠A 的正弦值是（ ）A . 3 4B . 4 3C . 3 5D . 4 52. tan 60°的值等于（ ）A .2B .3C .22D .23 3.已知在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠A = a ，BC = 2，则AB 的长等于（ ）A .a sin 2B .2sinaC .a cos 2D .2cosa4.某人沿坡度i = 1:2的斜坡向上前进了6 m ，则他上升的高度为（ ）A .3 mB .556 mC .23 mD .5512 m 5.在△ABC 中，∠C = 90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列关系中错误的是（ ）A . b = c ·cosB B . b = a ·tanBC . b = c ·sinBD . a = b ·tanA6.在正方形网格中，∠AOB 按如图所示的方式放置，则tan ∠AOB 的值为（ ）A .2B .552C . 1 2D .55127.如图所示为拦水坝的横断面，堤高BC 为6 m ，斜面坡度为1:2，则斜坡AB 的长为（ ）A .43 mB .65 mC .125 mD .24 m8.如图所示，将宽为 1 cm 的纸条沿BC 折叠，使∠CAB = 45°，则折叠后重叠部分的面积为（ ）A .23 cm 2B .3 cm 2C .2 cm 2D .22 cm 29.某大楼依山而建，如图所示，如果要进人该大楼，可以从G 处沿水平方向行走150 m 到D 大门处，或者从E 处沿坡比 i = 1:2.4 的斜坡行走 130 m 到 F 处，再沿水平方向行走到 M 大门处，在 G 处仰望大楼顶端 B 处的仰角为32°，则大楼的上部分AM 的高度为（参考数据:sin 32° ≈ 0.53，cos 32° ≈ 0.85，tan 32° ≈ 0.62）（ ）A .43 mB .77.5 mC .79.5 mD .93 m10.如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上，且BD = 2CD ，AB ⊥AD ，若tanB = 4 3 ，则tan ∠CAD等于（ ）A .33B .1 4 C .3 D . 1 3二、填空题（每题4分，共24分）11.已知0° < a < 90°，当a = _________ 时，sina = 1 2 .12.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 6，AC = 3，则sinB 的值是 _________ .13.如图所示，CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，且AB = 10，若BC = 8，则cos ∠ACD = _________.14.如图所示，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为45°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为110 m ，那么该建筑物的高度BC 约为 _________ m （结果保留整数，3 ≈ 1.73）15.如图所示，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m ，坝高BE = CF = 20 m ，斜坡AB 的坡角为30°，斜坡CD 的坡度i = 1:2.5，则坝底宽AD = _________ m .16.如图所示，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，点E 为垂足，若cosB = 4 5 ，EC = 2，P 是AB 边上的一个动点，则线段PE 的长度的最小值是 _________ .三、解答题（共66分）17.（6分）计算:sin 60°·cos 30° - sin 30°.18.（8分）如图所示，某中学有一块三角形状的花圃ABC ，现可直接测量到∠B = 45°，∠C = 30°，AC = 8 m 请你求出这块花圃的面积.19.（8分）如图所示为两幢建筑物AB 和CD ，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB = 15 m ，CD = 20 m .AB 和CD 之间有一景观池，小双在点A 测得池中喷泉处点E 的俯角为42°，在点C 测得点E 的俯角为45°，点B ，E ，D 在同一条直线上.求两幢建筑物之间的距离BD .（结果精确到0.1 m ，参考数据:sin 42° ≈ 0.67，cos 42° ≈ 0.74，tan 42° ≈ 0.90）20.（10分）如图所示为一种折叠椅的侧面简化结构图.若座板DF 平行于地面MN ，前支撑架AB 与后支撑架AC 分别与座板DF 交于点E ，D ，现测得DE = 20 cm ，DC = 40 cm ，∠AED = 58°，∠ADE = 76°.求:（1）椅子的高度.（即椅子的座板DF 与地面MN 之间的距离）（2）椅子两脚B ，C 之间的距离.（结果精确到 1 cm ，参考数据:sin 58° ≈ 0.85，cos 58° ≈ 0.53，tan 58° ≈ 1.60，sin 76° ≈ 0.97，cos 76° ≈ 0.24，tan 76° ≈ 4.01）21.（10分）如图所示，在△ABC 中，CD 是边AB 上的中线，∠B 是锐角，sinB =22，tanA =12，AC = 5.求:（1）∠B的度数和AB的长.（2）tan∠CDB的值.22.（12分）如图所示，某剧组拍摄风景片，拍摄基地位于A处，在其正南方向15海里处有一小岛B，在B的正东方向20海里处有一小岛C，小岛D位于AC上，且距小岛A10海里.（1）求∠A的度数（结果精确到1°）和点D到BC的距离.（2）摄制组甲从A处乘甲船出发，沿A→B→C的方向匀速航行，摄制组乙从D处乘乙船出发，沿南偏西方向匀速直线航行，已知甲船的速度是乙船速度的2倍，若两船同时出发并且在B，C间的F处相遇，问相遇时乙船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）23.（12分）我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学“模式”（我国著名数学家徐利治）.如图所示为一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度、测河宽，可解决数学中的一些问题.（1）如图1所示，若B1B= 30，∠B1= 22°，∠ABC= 30°，求AC.（结果精确到1，参考数据:sin22°≈ 0.37，cos22°≈ 0.93，tan22°≈ 0.40，3≈ 1.73）（2）如图2所示，若∠ABC = 30°，B1B = AB，计算tan15°的值.（结果保留准确值）（3）直接写出tan7.5°的值.（若出现双重根式，则无需化简）。