九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十一讲 解直角三角形(含答案)

第十七讲 解直角三角形利用直角三角形中的已知元素 (起码有一条是边 )求得其他元素的过程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下双方面的应用：1．为线段、角的计算供给新的门路．解直角三角形的基础是三角函数的观点，三角函数使直角三角形的边与角得以转变，打破纯粹几何关系的限制．2．解实质问题．丈量、航行、工程技术等生活生产的实质问题，很多问题可转变为解直角三角形获解，解决问题的重点是在理解相关名词的意义的基础上，正确把实质问题抽象为几何图形，从而转变为解直角三角形．【例题求解】【例 1】 如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰巧照在土坡的坡面CD和地面BC上，假如CD与地面成45°，∠A ＝ 60°， CD ＝ 4m ， BC ＝ ( 4 62 2 )m ，则电线杆AB的长为．思路点拨延伸AD交 BC 于 E ，作 DF ⊥BC于 F ，为解直角三角形创建条件．【例 2】 如图，在四边形 ABCD 中， AB= 4 2 ，BC-1 ，CD= 3 ，∠ B=135 °，∠ C ＝90°，则∠ D 等于 ()A ． 60°B ． 67．5°C ． 75°D ．没法确立思路点拨 经过对内切割或向外补形，结构直角三角形．注：因直角三角形元素之间有好多关系，故用已知元素与未知元素的门路常不唯一，选择如何的门路最有效、最合理呢？请记着：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除．在没有直角的条件下，常经过作垂线结构直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时，常常先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最后可解．【例 3】 如图，在△ ABC 中，∠ =90°，∠ BAC=30 °， BC=l ，D 为 BC 边上一点， tan ∠ ADC 是方程 3(x 21) 5(x 1 ) 2 的一个较大的根 ?求 CD 的长． x 2 x思路点拨 解方程求出 tan ∠ ADC 的值，解 Rt △ABC 求出 AC 值，为解 Rt △ ADC 创建条件．【例 4】 如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形 ABCD ，AB=3 米，BC=0 ．5 米 ，车厢底部距离地面 1．2米，卸货时，车厢倾斜的角度 θ =60°．问此时车厢的最高点 A 距离地面多少米 ?(精准到 1 米 ) 思路点拨 作协助线将问题转变为解直角三角形，如何作协助线结构基本图形，睁开空间想象，就能获得不一样的解题寻路【例 5】 如图，甲楼楼高 16 米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至正午12 时太阳光芒与水平面的夹角为 30°，此时，求：(1) 假如两楼相距 20 米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?(2) 假如甲楼的影子恰巧不落在乙楼上，那么两楼的距离应该是多少米?思路点拨 (1) 设甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处，则图中 CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高； (2)设点 A 的影子落在地面上某一点 C ，求 BC 即可．注：在解决一个数学识题后， 不可以只知足求出问题的答案， 同时还应付解题过程进行多方面剖析和观察，思虑一下有没有多种解题门路，每种门路各有什么长处与缺点，哪一条门路更合理、更简捷，从中又能给我们带来如何的启示等． 若能养成这类优秀的思虑问题的习惯，则可逐渐培育和提升我们剖析探究能力．学历训练1．如图，在△ ABC 中，∠ A=30 °， tanB= 1， BC= 10 ，则 AB 的长为．32．如图，在矩形 ABCD 中． E 、 F 、 G 、 H 分别为 AB 、BC 、 CD 、 DA 的中点，若 tan ∠AEH= 4，四边形 EFGH 的周长为 40cm ，则矩形 ABCD 的面积为 ．33．如图，旗杆 AB ，在 C 处测得旗杆顶 A 的仰角为 30°，向旗杆前北进 10m ，达到 D ，在 D 处测得 A的仰角为 45°，则旗杆的高为 ．4．上午 9 时，一条船从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度向正东方向航行， 9时30分抵达 B 处，从A 、B 两处罚别测得小岛 M 在北偏东 45°和北偏东 15°方向，那么 B 处船与小岛 M 的距离为 ( )A ．20 海里B ． 20 海里C ． 15 3 海里D ．20 35．已知 a 、 b 、 c 分别为△ ABC 中∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边，若对于 x 的方程 (b c)x 2 2ax c b 0有两个相等的实根，且sinB ·cosA —cosB · sinA ＝ 0，则△ ABC 的形状为 ()A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6．如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝ 135°，∠ B= ∠ D=90 °， BC= 2 3 ，AD=2 ，则四边形 ABCD 的面积是()A ．4 2B ．4 3C ． 4D ．67．如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90 °， CD ⊥ AB 于 D ， CD=1 ，已知 AD 、 BD 的长是对于 x 的方程x 2 px q 0 的两根，且 tanA — tanB=2，求 p 、 q 的值．8．如图，某电信部门计划修筑一条连接 B 、 C 两地的电缆，丈量人员在山脚角分别为 30°、 45°，在 B 地测得 C 地的仰角为60°．已知 C 地比 A 地高 多少米 ?(精准到 0.1 米 )A 点测得B 、C 两地的仰200 米，则电缆 BC 起码长9．如图，在等腰Rt △ ABC中，∠C=90 °，∠CBD ＝ 30，则AD=．DC10．如图，正方形ABCD中， N是DC的中点．M 是AD上异于D 的点，且∠NMB=∠ MBC ，则tan∠ABM ＝．11．在△ ABC 中，AB= 6 2 ，BC=2 ，△ ABC 的面积为 l ，若∠ B 是锐角，则∠ C 的度数是．12 ．已知等腰三角形的三边长为 a 、 b 、c ，且 a c ，若对于 x 的一元二次方程 x 2 2bx c0 的两根之差为 2 ，则等腰三角形的一个底角是()A ． 15°B ． 30°C ．45°D ． 60°13 ．如图，△ ABC 为等腰直角三角形，若AD= 1 AC ，CE= 1BC ，则∠ 1 和∠ 2 的大小关系是 ()33A ．∠ 1>∠2B ．∠ 1<∠2C ．∠ 1＝∠ 2D ．没法确立14 ．如图，在正方形 ABCD 中，F 是 CD 上一点， AE ⊥ AF ，点 E 在 CB 的延伸线上， EF 交 AB 于点 G ． (1)求证： DF ×FC ＝BG × EC ；(2)当 tan ∠ DAF=1时，△ AEF 的面积为 10，问当 tan ∠DAF= 2时，△ AEF 的面积是多少 ?3315．在一个三角形中，有一边边长为 16，这条边上的中线和高线长度分别为10 和 9，求三角形中此边所对的角的正切值．16．台风是一种自然灾祸，它以台风中心为圆心在四周数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的损坏力．据气象观察，距沿海某城市A 的正南方向 220 千米B 处有一台风中心，此中心最狂风力为12 级， 每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正在以 15 千米／时的速度沿北偏东30°方神往 C 处挪动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超出四级，则称为受台风影响．(1) 该城市能否会遇到此次台风的影响 ?请说明原因．(2) 若会遇到台风影响，那么台风影响该城市的连续时间有多长?(3) 该城市遇到台风影响的最狂风力为几级?17．如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物 ABCD ，且建筑物四周没有宽阔平坦地带．该建筑物顶端宽度 AD 和高度 DC 都可直接测得，从 A 、 D 、 C 三点可看到塔顶端 H ．可供使用的丈量工拥有皮尺、测角器．(1) 请你依据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个丈量塔顶端到地面高度HG 的方案．详细要求如下：①丈量数据尽可能少；m ②在所给图形上，画出你设计的丈量平面图，并将应测数据标志在图形上(假如测 A 、 D 间距离，用表示；假如测 D 、 C 间距离，用n 表示；假如测角，用α、β 、γ等表示．测角器高度不计)．(2)依据你丈量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG( 用字母表示 )．参照答案。

第十一讲 解直角三角形的运用【基础知识精讲】1、坡度和坡角：在筑坝、修路时，常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫作坡度（或坡比），用字母i 表示（如图（1）），则有,lhi = 坡面和水平面的夹角叫作坡角.显然有：αtan ==lhi ， 这说明坡度是坡角的正切值，坡度越大，坡角也越大. 2、方位角：在航海的某些问题中，描述船的航向，或目标对观测点的位置，常用方位角.画方位角时，常以铅直的直线向上的方向指北，而以水平直线向右的方向为东，而以交点为观测点.3、仰角和俯角在利用测角仪观察目标时，视线在水平线上方和水平线的夹角称为仰角，视线在水平线下方和水平线的夹角称为俯角（如图）. 在测量距离、高度时，仰角和俯角常是不可缺少的数据.【例题巧解点拨】例1. “曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到∠A=30°，AC=40米，BC=25米，请你求出这块花圃的面积。

解：分两种情况计算（1）如图1，过C 作CD ⊥AB 于D ，则 CD AD AC ===2030203，·°cos DB CB CD =-=2215，故S AB CD ABC △·×==+=+121220315202003150()()（米2）（2）如图2，过C 作CD ⊥AB 且交AB 的延长线于D ， 由（1）可得CD=20，AD DB ==20315，，所以 S AB CD ABC △·==+122003150()（米2） 点拨：通过作高，把解某些斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题。

例2．如图23—17，海岛A 的四周20海里范围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B 处见岛A 在北偏西60°，航行24海里到C 处，见岛且在北偏西30°，货轮继续向西航行，有无触礁危险?例3. 如图4所示，某电视塔AB 和楼CD 的水平距离为100米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为45°和60°，试求塔高和楼高。

第一章直角三角形的边角关系8卷1 （考点整合与提升）考点一：锐角三角函数的定义如图，在月必中，ZC为直角，则锐角力的各三角函数的左义如下：A（1）角力的正弦：锐角>1的对边与斜边的比叫做Z力的正弦,记作sinA即Siib4=-・c（2）角/!的余弦：锐角力的邻边与斜边的比叫做Z/1的余弦，记作cos/l,即cos/l=£.（3）角力的正切：锐角>1的对边与邻边的比叫做Z力的正切，记作tan A. KPtan>l=-・b例1：在△/18C中，ZC90° , AB=n, BC=5.求Z力的正弦值、余弦值和正切值.答案：siiL4=— > cos/!=—* tan/1=—13 13 12★ ★变式1：在锐角ZV1〃C中，月8=15, 〃0=14,血丛=84.求：（1）tanC的值：（2）siib4 的值.答案：解：（1）过/!作/W 丄于D •: Szc=丄8G4D=84,・・・2+14+/1D=84,・"D=12, AB2 12= 15,:•••仞=14一9=5・在Rt^ADC中，AC=\^AtanO= —=—: DC 5168（2）过点〃作BELAC于点E TSkk 丄力©防=8, :.BE= — . •'•sinZ旳Q=竺二旦=竺・2 13 AB 15 654★ ★变式2：如图，点P是Z R的边04上的一点，已知点P的横坐标为6, sino=-・5（1）求点P的纵坐标：（2）求Zajt他的三角函数值.4PM 4解：（1）过P作Mix轴于M 则皿70=90°, •••点P横坐标为6. sino= —, •••——=一，OM=b・设5OP 5PM=4x, PO=5x.由勾股泄理得62+ （4Q 2=（5Q 2.解得x=2（负值舍去），刊/=8, OP = 10, .'.P点纵坐标是8.<2）•••在Rl^OMP中，"1/0=90° , R?=10. PM=S. OM=& :.C osa=- = — = -,tana= OP 10 5 PM _ 8 _ 4————■ OP 6 3考点二：坡度坡度：坡而的铅直高度力与水平宽度/的比叫做坡度（或坡比），常用字母i表示，HPi=y.坡角：坡而与水平而的夹角叫做坡角，用字母a表示，则tan«=i=y .例2：如图，某校教学楼月〃后方有一斜坡，已知斜坡仞的长为12米，坡角a为60° .根据有关部门的规左，Z 底39。

初三数学解直角三角形试题答案及解析1.一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值：，）【答案】53米.【解析】首先利用三角形的外角的性质求得∠BAD的度数，得到AD的长度，然后在直角△ADC 中，利用三角函数即可求解．试题解析：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠BAD=∠ADC-∠B=60°-30°=30°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD=62（米）．在直角△ACD中，AC=AD•sin∠ADC=62×=31≈31×1.7=52.7≈53（米）．答：小岛的高度约为53米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．【答案】(1)证明见解析；（2）；（3）．【解析】（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD；（2）∵∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD，∵BD=BC，∴AD=BD=CD=1，设CD=x，则有AB=AC=x+1，∵△ABC∽△BCD，∴，即，整理得：x2+x-1=0，解得：x1=，x2=（负值，舍去），则x=；（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E，∵BD=CD，∴E为CD中点，即DE=CE=，在Rt△ABE中，cosA=cos36°=，在Rt△BCE中，cosC=cos72°=，则cos36°-cos72°=-=．【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AD=3，cosB=3/5，则AC等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】B.【解析】∵∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠BAD+∠B=90°，∴∠CAD=∠B，∴cos∠CAD=cosB=，在直角△ACD中，∵∠ADC=90°，AD=3，∴cos∠CAD=，∴AC=5．故选B．【考点】解直角三角形．4.在△ACB中，∠C=90°，AB=10，，，.则BC的长为（）A．6B．7.5C．8D．12.5【答案】A．【解析】∵∠C=90°，∴.又∵AB=10，∴.故选A．【考点】1.解直角三角形；2.锐角三角函数定义．5.已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）【答案】(1)10米；（2）19米.【解析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，利用斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AH，PH，AH的关系求出即可；（2）利用矩形性质求出设BC=x，则x+10=24+DH，再利用tan76°=，求出即可．试题解析：：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴，设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k．∴13k=26．解得k=2．∴AH=10．答：坡顶A到地面PQ的距离为10米．（2）延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．∵∠BPD=45°，∴PD=BD．设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x-14．在Rt△ABC中，tan76°=，即，解得x=，即x≈19，答：古塔BC的高度约为19米．【考点】1.解直角三角形的应用-坡度坡角问题；2.解直角三角形的应用-仰角俯角问题．6.超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离(AC)为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC＝75°.(1)求B、C两点的距离；(2)请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？(计算时距离精确到1米，参考数据：sin 75°≈0.965 9，cos 75°≈0.258 8，tan 75°≈3.732，≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒)【答案】（1）112(米) （2）此车没有超过限制速度【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝75°，AC＝30，∴BC＝AC·tan ∠BAC＝30×tan 75°≈30×3.732≈112(米)．(2)∵此车速度＝112÷8＝14(米/秒)＜16.7(米/秒)＝60(千米/小时)∴此车没有超过限制速度．7.在△ABC中，若∠A、∠B满足|cos A－|＋＝0，则∠C＝________．【答案】75°【解析】∵|cos A－|＋＝0，∴cos A－＝0，sin B－＝0，∴cos A＝，sin B＝，∴∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－45°＝75°.8.在△ABC中，∠C＝90°，，则（）．A．B．C．D．【答案】D．【解析】由sin A=，设∠A的对边是3k，则斜边是5k，∠A的邻边是4k．再根据正切值的定义，得tanA=．故选D．【考点】锐角三角函数．9.如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm.（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】2.7【解析】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E.在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°，∴BD＝OD＝2cm，∴CE＝BD＝2cm.在△COE中，∠CEO＝90°，∠COE＝37°，∵tan37°＝≈0.75，∴OE≈2.7cm.∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7 cm.10.如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD.（i＝CE∶ED，单位：m）【答案】（7.5＋4）m【解析】解：作BF⊥AD于点F.则BF＝CE＝4m，在直角△ABF中，AF＝＝＝3m，在直角△CED中，根据i＝，则ED＝＝＝4m.则AD＝AF＋EF＋ED＝3＋4.5＋4＝（7.5＋4）m.11.如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）【答案】（5+5-5）千米【解析】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∵AC=10，∠A=30°，∴DC=ACsin30°=5，AD=ACcos30°=5，在Rt△BCD中，∵∠B=45°，∴BD=CD=5，BC=5，则用AC+BC-（AD+BD）=10+5-（5+5）=5+5-5（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5-5）千米．12.在Rt△ABC中，若∠C=90°，cosA=，则sinA的值为（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A的值，再求出sinA的值即可．∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A是锐角，∵cosA==，∴设AB=25x，BC=7x，由勾股定理得：AC=24x，∴sinA=.故选A．考点:同角三角函数的关系.13.如图，在△中，，，则△的面积是（）A．B．12C．14D．21【答案】A【解析】如图，作因为，所以.由勾股定理得.又，所以所以所以所以14.计算下列各题：（1）；（2）.【答案】（1）2 （2）【解析】解：（1）（2）15.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，设BC=3x，则AB=5x，∴AC=4x．∴cosB=．故选C．考点: 互余两角三角函数的关系.16.计算：【答案】-2.【解析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简、负整数指数幂以及绝对值等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．试题解析：考点: 实数的混合运算.17.若（为锐角），则=【答案】1.【解析】因为所以得,代入可得值为1【考点】正切和正、余弦函数的关系.18.如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是________【答案】.【解析】折叠后形成的图形相互全等，利用三角函数的定义可求出．根据题意，BE=AE．设CE=x，则BE=AE=8-x．在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BE2=BC2+CE2，即（8-x）2=62+x2解得x=，∴tan∠CBE==考点:（1）锐角三角函数的定义；（2）勾股定理；（3）翻折变换（折叠问题）．19.（1）一个人由山底爬到山顶，需先爬450的山坡200ｍ，再爬300的山坡300ｍ，求山的高度（结果可保留根号）。

第十一讲 解直角三角形趣题引路】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220kmB 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15km/h 的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响，若你是该市气象局的首席气象专家，请你对此次台风对该市的影响情况作出预测。

（1）该市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；（2）若会受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ABCD E F图11-1解析 （1）作AD BC ⊥于点D ，（如图11-1）， °220,30111.2AD B AD AB km =∠=∴==，由题意知，当A 点距台风中心不超过160km 时，就会受台风影响.由于AD=110＜160，所以A 市会受这次台风影响；（2）在BD 及BD 的延长线上分别取E 、F 两点，使AE=AF=160km ，则当台风中心从到达E 点时起，直到离开F 点，该市都会受到这次台风的影响，),2).DE AE km EF DE km ===∴==∴)h =； （3）当台风中心位于D 时，A 市所受这次这次台风的风力最大，其最大风力为()11012 6.520-=级知识延伸】解三角形，除运用锐角三角函数知识，往往还要用到我们已经学过的勾股定理，以及另两个非常重要的定理：正弦定理和余弦定理.C图11-2如图11-2，在△ABC 中，AC=b ,AB=c ,BC=a .过A 作BC 上的高，长为ha ，则有sin ,ha B c =sin ,ha C b =于是有sin sin ,c B b C ⋅=⋅于是，得sin sin b cB C=，同理可得,sin sin a b A B =因此 ,sin sin sin a b cA B C==这就是正弦定理，推而广之可得一个重要的三角形面积计算公式 111sin sin sin .222ABC S ab C ac B bc A ∆===在上图中，222cos cos ,cos ,BD AB B c B CD BC BD a c B AB BD AD =⋅=⋅=-=-⋅-= ()()222222,cos cos ,AC DC c c B b a c B =-∴-⋅=--⋅得2222cos b a c ac B =+-，同理可得2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-.这就是余弦定理.运用正弦定理和余弦定理可以将三角形的范围由直角三角形扩充到斜三角形.例1 已知，如图11-3，在四边形ABCD 中AD=CD,AB=7,tan 2,A B D =∠=∠=90°，求BC 的长.ABD CE图11-3解析 延长AB 与DC 交于点E ，∠D=90°，tan 2,DEA AD∴==得DE=2AD,CD AD = .EC DC AD ∴==∠BCE=180°-∠BCD=∠A ,tan 2.BEBCE BC∴∠== 设BC=x ，则BE=2x ，因而,又222,AE AD DE =+()))()222127772,1.33x x x BC ∴+=+==-=解得或舍去，故点评：一般图形化为直角三角形，结合方程或二次函数，往往能够简捷地解决问题.例2 在四边形ABCD 中，AB=4,BC=3,CD=12,∠B=90°，36S =四边形ABCD ,求AD 的长.DC图11-4解析 如图11-4，连接AC ，则△ABC 为Rt △，于是AC=5,1136363430.sin 22ACD ABC S S AC CD ACD ∆∆∴=-=-⨯⨯=∴⋅⋅∠=30°， 即1512sin ACD 2⨯⨯⋅∠=30°，sin 1,ACD ACD ∴∠=∴∠=90°. ∴由勾股定理知13.AD ==点评：运用公式1sin 2ABC S ab C ∆=不但可以求三角形的面积，而且可以由面积求边角的大小好题引路】佳题新题品味.例1 如图11-5，河对岸有A 、B 两目标，但不能到达，在河这边沿着与AB 平行的方向取相距40m 的C 、D 两点（点A 、B 、C 、D 在同一平面内），并测得∠ACB=70°，∠BCD=65°，∠ADC=30°，求A 、B 两目标之间的距离.（结果不取近似值，用含有锐角三角函数的式子表示.）DBAC EF图11-5解析 作AE ⊥CD,BF ⊥CD,垂足分别为点E 、F ，∵AB ∥CD,∴四边形ABFE 为矩形，∴AB=EF. ∵∠ACE=180°-∠ACB -∠BCD=180°-70°-65°=45° ∴∠EAC=45°，AE=EC.设EC=x m ， ∵∠ADE=30°，且DE=AE·cot ∠ADE.又∵DE=x +40，∴x +40=x ·cot30°，解得x =20， ∴AE=EC=BF=20,在Rt △BFC 中，cot ∠BCF=CFBF,即CF=BF·cot ∠65°=（20）cot65°，∴AB=EF=EC+CF=(20)+(20)cot ∠65°（m ）点评：本题体现了两种数学方法的应用，①构建数学几何模型，把一般三角形转化为解直角三角形；②通过设未知数，结合几何图形构建方程，将未知量与已知量联系起来.例2 如图11-6，E 是四边形ABCD 的DC 边上一点，CE=,AB=2,BC=1,∠D=90°, ∠B=60°,ABCE S =四边形（1）求AC 的长；（2）求∠ACD 的度数. ABCDEF图11-6解析 （1）过点A 作AF ⊥BC,垂足为F,则AF=AB·sin ∠B=2·sin60°BF=AB·cos ∠B=2·cos60°=1.∴CF=B C －BF=)11-在R t △ACF 中，由勾股定理，得(2)∵ABCE S 四边形=ABC ACE S S ∆∆+而11=,,22ABC ACE S AF BC S CE AD ∆∆⋅=⋅∴)11122+∴又sin ∠ACD=1,2AD AC == 故∠ACD=30°.点评：本题求AC 也可直接利用余弦定理：2222cos ,AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅直接求得.中考真题欣赏例1（辽宁省中考）如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得.从A 、D 、C 三点可看到塔顶端H,可供使用的测量工具有皮尺、测倾器.(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案，具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形（如果测A 、D 间距离，用m 表示；测D 、C 间距离，用n 表示；如果测角，用αβγ、、等表示，测倾器高度不计）.(2)根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG （用字母表示）. 解析 (1)如图11-7，测三个数据：DC 间距离n ，∠HDM ()α,∠HCG ()β； (2)设HG=x .在Rt △CHG 中，CG=cot x β⋅,在Rt △DHM 中，DM=()cot x n α-⋅，∴cotxβ⋅=()cotx nα-⋅. ∴cot.cot cotnxααβ⋅=-点评：本题是一道较为开放的题目，方案很多，但要求抓住题目的要求：“尽可能少”四个字，否则影响得分.例2（南京市）如图11-8，∠POQ=90°，边长为2cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC=30°，分别求点A、D到OP的距离.ABCDFGO图11-8解析过点A、D分别作AE⊥OP,DF⊥OP,DG⊥OQ,垂足分别为E、F、G.在正方形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°.∵∠OBC=30°，∴∠ABE=60°.在Rt△AEB中，AE=AB·sin60°=2·33cm）∵四边形DFOG是矩形，∴DF=GO，∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°，∴∠DCG=30°.在Rt△DCG中，CG=CD·cos30°=2·33cm）在Rt△BOC中，OC=12BC=1（cm）. ∴3∴点A到OP3cm），点D到OP的距离为3点评：本题是一道正方形、矩形与解直角三角形相结合的试题，难度不大，关键是通过作辅助线合理构造直角三角形来解答.竞赛样题展示例1.（1999年全国联赛）如图11-9在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC,求tan ∠ABM.ABCDEFMN图11-9解析 延长BC 、MN 交于点E ，作EF ⊥BM 于F.设AB=a ,AM=()x x a <,则MD=a x -，.由正方形ABCD 及N 为DC 的中点，知∠MDN=∠NCE, ∠DNM=∠CNE,ND=CN,故MDN ECN ∆≅∆，可知CE=MD=a x -，BE=2a x -， 由∠NMB=∠MBC,知EB=EM.由EF ⊥BM 知∠FEB=90°-∠FBE=∠ABM,BF=12BM,且∠A=∠BFE.故△AB M ～△FEB .∴BM AMBE BF=,即22BM AM BE =⋅.∴()2222a x x a x +=-.即22340x ax a -+=∴11,.33x a AM AB ==即∴1tan .3AM ABM AB ∠== 点评：本题的解决充分利用了“∠NMB=∠MBC”这个条件来构建等腰三角形，利用等腰三角形的性质及相似三角形列方程求解，本题的解法很多，还可以过点N 作平行线来解决.例2（2000年全国竞赛）如图11-10，四边形EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和FH 所夹得锐角为θ，且∠BEG 与∠CFH 都是锐角.已知EG=k ，FH=l ，四边形EFGH 的面积为S ，求证：sin θ=2S kl. ABCDEFGHMNO图11-10证明 过F 、H 分别作EG 的垂线，垂足分别为M 、N ，EG 和FH 的交点为O .∴sin θ=FM HNFO HO=,即FM=FO·sin θ;HN=HO·sin θ. ∴S=EFG EHG S S ∆∆+=()1111sin sin .2222EG FM EG HN EG FO HO GE FH θθ⋅+⋅=+=⋅∴22sin .S S EG FH klθ==⋅点评：准确使用锐角三角函数的定义是解答本题的关键.过关检测】A 级1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上一点，且AD=BD=5,CD=3,则sinA=______.2.等腰三角形的面积为2，底角为α，则tan α=_______.3.在△ABC ，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ，CD=1,已知AD 、BD 的长是关于x 的方程20x px q ++=的两个根，且tanA-tanB=2.则_____,_______.p q ==4.已知△ABC 中，∠C=90°，CA=CB ，D 是AC 上一点，且AD:DC=1:2,则tan ∠DBC=________,cos ∠DBC=________.5.如图11-11，在△ABC 中，AB=AC,腰上的高BD=2，底边上的高AE=4，求tanC 的值.ABCDE图11-11B 级1.如图11-12，在△ABC 中，AB=AC ,∠ABN=∠MBC,BM=NM,BN=a ，则点N 到BC 的距离是_______.MNCBAABCD图11-12 图11-132.如图11-13，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB=30°,AD 平分∠CAB ，则_______.AB ACCD CD-=3. △ABC 中，15,17,(a b A θθ==∠=为定值）若满足上述条件的三角形的∠C 唯一存在，则tanC=_______.4.已知菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是_______.5.设P 、Q 为线段BC 上两定点，且BP=CQ ，A 为BC 外一动点，当点A 运动到使∠BAP =∠CAQ 时，△ABC 是什么三角形？试证明你的结论.。

最新中考数学专题复习解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA、cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，这些比值只与有关，与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】二、特殊角的三角函数值：在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=sin A⑵若∠A+∠B=900，则sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素，求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：Rt△ABC中，∠C=900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示，则i=h l=⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示（也可称西南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案【提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点二：特殊角的三角函数值例2 （2012•孝感）计算：cos245°+tan30°•sin60°=．对应训练（2012•南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°．思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考点三：化斜三角形为直角三角形对应训练3．（2012•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．考点四：解直角三角形的应用例 4 （2012•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=米，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；）（2）求∠ACD的余弦值．考点：解直角三角形的应用．对应训练6．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，，60千米/小时≈16.7米/秒）【聚焦山东中考】A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定5．（2012•潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D 的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．6．（2012•青岛）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（B、F、C在一条直线上）（1）求教学楼AB的高度；（2）学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）6．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=AM ME，求出即可；（2）利用Rt△AME中，cos22°=MEAE，求出AE即可．【备考真题过关】一、选择题A．1 B C D．24．A考点：特殊角的三角函数值．5．（2012•乐山）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2BC ，则sinB 的值为（ ）A ．12 B C D ．15．C考点：特殊角的三角函数值． 6．（2012•杭州）如图，在Rt △ABO 中，斜边AB=1．若OC ∥BA ，∠AOC=36°，则（ ） A ．点B 到AO 的距离为sin54° B ．点B 到AO 的距离为tan36° C ．点A 到OC 的距离为sin36°sin54° D ．点A 到OC 的距离为cos36°sin54°6．考点：解直角三角形；点到直线的距离；平行线的性质．点评：本题考查了对解直角三角形和点到直线的距离的应用，解此题的关键是①找出点A 到OC 的距离和B 到AO 的距离，②熟练地运用锐角三角形函数的定义求出关系式，题目较好，但是一道比较容易出错的题目．7．（2012•宜昌）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（ ） A ．24米 B ．20米 C ．16米 D ．12米考点：解直角三角形的应用．8．（2012•广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1BC=50m ，则应水坡面AB的长度是（）A．100m B．C．150m D．8．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．1．（2012•泰安）如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）0米米2．（2012•深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）23．（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）0020（二、填空题9．（2012•宁夏）在△ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，则tanA= ．10．（2012•武汉）tan60°= ．11．（2012•常州）若∠a=60°，则∠a的余角为，cosa的值为．12．（2012•南京）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm．若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）4．（2012•广西）如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A 的仰角为56°，那么旗杆的高度约是12米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）三、解答题ctanα= =415．（2012•遵义）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，，精确到个位）16．（2012•六盘水）如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．17．（2012•新疆）如图，跷跷板AB的一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为15°，且OA=OB=3m．（1）求此时另一端A离地面的距离（精确到0.1m）；（2）若跷动AB，使端点A碰到地面，请画出点A运动的路线（不写画法，保留画图痕迹），并求出点A运动路线的长．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）5．（2012•资阳）小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD=10米．求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）．6．（2012•绍兴）如图1，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，坡角∠BAC为32°．（1）求一楼于二楼之间的高度BC（精确到0.01米）；（2）电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图2．小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米（精确到0.01米）？备用数据：sin32°=0.5299，con32°=0.8480，tan32°=6249．7．（2012•郴州）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE=45°，坝高BE=20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F=30°，求AF的长度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）8．（2012•恩施州）新闻链接，据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退．2012年5月18日，某国3艘炮艇追袭5条中国渔船．刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害．某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去．（见图1）解决问题如图2，已知“中国渔政310”船（A）接到陆地指挥中心（B）命令时，渔船（C）位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政310”船西南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB=海里，“中国渔政310”船最大航速20海里/时．根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间．×=70，AD=70，∠AD=140船赶往出事地点所需时间为=718．（2012•苏州）如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请讲下面2小题的结果都精确到0.1）．（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为米；（2）一座建筑物GH距离坡角A点27米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？18．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：（1）根据题意得出，∠BEF最大为45°，当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，进而得出EF的长，即可得出答案；（2）利用在Rt△DPA中，DP=12AD，以及PA=AD•cos30°进而得出DM的长，利用HM=DM•tan30°得出即可．解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，∴∠BEF最大为45°，当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，∴BF=EF=12BD=15，故：DE=DF-EF=15-1）≈11.0；（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．在Rt△DPA中，DP=12AD=12×30=15，PA=AD•cos30°=2×30=15 ．在矩形DPGM中，MG=DP=15，，在Rt△DMH中，（）≈45.6．答：建筑物GH高为45.6米．点评：此题主要考查了解直角三角形中坡角问题，根据图象构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出是解题关键．。

解直角三角形及其应用中考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆1．如图，为了测量河岸A ，B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC =a ，∠ABC =α，那么AB 等于A ．a ·sin αB ．a ·cos αC ．a ·tan αD ．tan a a2．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比是13∶（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），坝高3m BC ，则坡面AB 的长度是A ．9 mB ．6 mC ．63mD ．33m3．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i =1 ∶3，坝外斜坡的坡度i =1∶1，则两个坡角的和为 A ．60°B ．75°C ．90°D ．105°4．如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC =30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD =BA ，则tan ∠DAC 的值为A ．2＋3B ．23C ．3＋3D ．335．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC =45°，OC =2，则点B 的坐标为A ．（2，1）B ．（1，2）C ．（2+1，1）D ．（1，2+1）6．如图，其中A ，B ，C 三地在同一直线上，D 地在A 地北偏东30°方向、在C 地北偏西45°方向．C 地在A 地北偏东75°方向．且BD =BC =30 m ，从A 地到D 地的距离是A ．303 mB ．205 mC ．302 mD ．156 m7．某市进行城区规划，工程师需测某楼AB 的高度，工程师在D 处用高2m 的测角仪（CD ），测得楼顶端A 的仰角为30°，然后向楼前进30m 到达E ，又测得楼顶端A 的仰角为60°，楼AB 的高为A ．()103+2m B ．()203+2m C ．()53+2mD ．()153+2m8．某山的山顶B 处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC 为30°，山高BC 为100米，点E 距山脚D 处150米，在点E 处测得观光塔顶端A 的仰角为60°，则观光塔AB 的高度是A ．50米B ．100米C ．125米D ．150米9．如图，在正方形ABCD 外作等腰直角△CDE ，DE =CE ，连接AE ，则sin ∠AED =A ．12B ．255C ．55D ．10510．如图是某款篮球架的示意图，已知底座BC =0.60米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB =75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F 点到篮框D 的距离FD =1.35米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE =60°，则篮框D 到地面的距离约为（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.26，sin75°≈0.97，tan75°≈3.73，3≈1.73）A ．3.04B ．3.05C ．3.06D ．4.4011．一架直升飞机执行海上搜救任务，在空中A 处发现海面上有一目标B ，仪器显示这时飞机距目标5km ，俯角为30°，这时飞机的飞行高度为________km ．学-科网12．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 约为________m ．（结果精确到0.1m ）13．如图，小明在楼AB顶部的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为37°，已知楼AB高为18m，楼与树的水平距离BD为8.5m，则树CD的高约为________ m（精确到0.1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）14．如图，已知小岛B在基地A的南偏东30°方向上，与基地A相距10海里，货轮C在基地A的南偏西60°方向、小岛B的北偏西75°方向上，那么货轮C与小岛B的距离是________ 海里．15．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的距离（即AB的长）．16．如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449）17．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4 km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的距离（即AB的长）．18．如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时测得小船C的俯角是∠FDC=30°．若小华的眼睛与地面的距离是3米，BG=1.5米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i=4∶3，坡长AB=10米，点A、B、C、D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长是多少？（结果保留根号）1．【答案】D【解析】根据三角函数可得：tan∠ABC=AC aAB AB=，则AB=tanaα，故选D．2．【答案】B【解析】由图可知，13∶∶BC AC=，1tan3BAC∠=，∴30BAC∠=︒，∴36m1sin302BCAB===︒，故选B．3．【答案】B【解析】通常把坡面的垂直高度h和水平距离l的比叫做坡度，根据定义可知：内斜坡的坡角为30°，外斜坡的坡角为45°，故选B．4．【答案】A【解析】∵AC⊥BC于点C，∴∠C=90°，设AC=x，∵∠ABC=30°，∴AB=2AC=2x，由勾股定理可得BC =3x，∵BD=BA=2x，∴DC=BD+BC=2x +3x，∴tan∠DAC =23DC x xAC x+==2+3，故选A．5．【答案】C【解析】如图，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，∵OABC 是菱形， 452，AOC OC ∠=︒=，∴2，O A A B == 45BAD ∠=︒，∴2sin451AD BD ==︒=，∴点B 的坐标为：(211)，+，故选C ．6．【答案】D【解析】如图，过点D 作DH 垂直于AC ，垂足为H ，由题意可知∠DAC =75°-30°=45°，∵△BCD 是等边三角形，∴∠DBC =60°，BD =BC =CD =30 m ，∴DH =32×30=153，∴AD =2DH =156 m ，故选D ．7．【答案】D【解析】如图，在Rt △AFG 中，tan AG AFG FG∠=， ∠AFG =60°， ∴ 3tan 603AG FG AG ︒==.在Rt △ACG 中，tan AGACG CG∠=，∠ACG =30°， ∴3tan30AGCG AG ==︒.又∵CF =CG －FG =30，即33303AG AG -=，解得15 3AG =. ∴15 3 2AB AG GB =+=+．∴这幢教学楼的高度AB 为（15 3 2+）m ．故选D. 8．【答案】A【解析】如图，作EF ⊥AC 于F ，EG ⊥DC 于G ，在Rt △DEG 中，EG =12DE =75米，∴BF =BC -CF =BC -CE = 100-75=25（米），EF =tan tan30BF BFBEF =∠︒=253，∵∠AEF =60°，∴∠A =30°，∴AF =253tan 33EF A ==75（米），∴AB =AF -BF =50（米），故观光塔AB 的高度为50米，故选A ．9．【答案】C【解析】如图，过A 点作AG ⊥ED ，设正方形ABCD 的边长为a ，∵等腰直角△CDE 中，DE =CE ， ∴DE =22a ，∠CDE =45°，∴△AGD 也是等腰直角三角形，∴AG =GD =22a ，∴AE =22AG GE +=102a ，∴sin ∠AED =AG AE =55，故选C ．10．【答案】B【解析】如图，延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG ⊥FM 于G ， 在Rt △ABC 中，tan ∠ACB =ABBC， ∴AB =BC •tan75°≈0.60×3.73=2.238，∴GM =AB =2.238， 在Rt △AGF 中，∵∠FAG =∠FHD =60°，sin ∠FAG =FGAF， ∴sin60°=2.5FG =32，∴FG ≈2.1625，∴DM =FG +GM –DF ≈3.05（米）．所以篮框D到地面的距离约是3.05米．故选B．11．【答案】2.5【解析】由题意得，∠B=∠α= 30°，在Rt△ABC中，AC=AB⋅sin B=2.5km，故答案为：2.5.13．【答案】11.6【解析】如图，作CE⊥AB，垂足为E．在Rt△AEC中，AE=CE•tan37º=BD•tan37º≈8.5×0.75=6.375（米）；BE=AB–AE≈18–6.375=11.625≈11.6（米）．故答案为11.6．14．【答案】102【解析】如图，由题意得，∠BAD=30°，∠CAD=60°，∠CBE=75°，AB=10海里．∵AD ∥BE ，∴∠ABE =∠BAD =30°，∴∠ABC =∠CBE –∠ABE =75°–30°=45°．在△ABC 中，∵∠BAC =∠BAD +∠CAD =30°+60°=90°，∠ABC =45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∵AB =10海里，∴AC =10海里， ∴BC =22AB AC =102海里．故答案为：10错误！未找到引用源。

专题03 7.5解直角三角形培优训练班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+√55BD的最小值是()A. 2√5B. 4√5C. 5√3D. 10【答案】B【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M.由tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=√55BD，推出CD+√55BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠ABE=90°，∵tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，则有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=2√5或−2√5(舍弃)，∴BE=2a=4√5，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM=BE=4√5(等腰三角形两腰上的高相等))∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴sin∠DBH=DHBD =AEAB=√55，∴DH=√55BD，∴CD+√55BD=CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+√55BD≥4√5，∴CD+√55BD的最小值为4√5．故选：B．2.将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，则tan∠ACD的值为()A. √3B. √3+1C. √3−1D. 2√3【答案】B【解析】本题考查了锐角三角函数，解直角三角形，解此题的关键是能构造直角三角形，并进一步求出各个线段的长，有一定难度．作AH⊥CB交CB的延长线于H，利用含45°的等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，解直角三角形，求出各边长，并证明AH//DC，推出∠ACD=∠CAH，由锐角三角函数定义即可解决问题．【解答】解：如图，△BCD是含45°的等腰直角三角形，△ABD是含30°角的直角三角形，∠ADB= 30°，作AH⊥CB交CB的延长线于H．∵∠ABD=90°，∠DBC=45°，∴∠ABH=45°，∵∠AHB=90°，∴△ABH是等腰直角三角形，∴AH=BH，设AH=BH=a，则AB=√2a，BD=√6a，BC=CD=√3a，CH=a+√3a，∵∠AHB=∠DCB=90°，∴AH//DC，∴∠ACD=∠CAH，∴tan∠ACD=tan∠CAH=CHAH=√3+1，故选B．3.如图，在正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE连接AE，DE，连接BD交CE于点F，有下列结论：①∠AED=150∘；②△DEF∽△BAE；③DFFB =√33；④S△BEC:S△BFC=(√3+2):3.其中正确结论的个数为()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，相似三角形，全等三角形的判定及含30°的直角三角形的性质．①利用正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，周角求得判定即可②由①可得到∠ADE的度数，再利用正方形的性质即可得∠DEF=∠ABE，即可判定③可利用含30°的直角三角形的性质即可分别求出DFBF，再与tan∠ECD=tan30°作比较即可④两个三角形的底相同，由高的比进行判定即可【解答】解：∵△BEC为等边三角形∴∠EBC=∠BEC=∠ECB=60°，AB=EB=EC=BC=DC ∵四边形ABCD为正方形∴∠ABE=∠ECD=90°−60°=30°∴在△ABE和△DCE中，AB=DC∠ABE=∠ECDBE=EC∴△ABE≌△DCE(SAS)∴∠AEB=∠DEC=180°−30°2=75°∴∠AED=360°−60°−75°×2=150°故①正确由①知AE=ED∴∠EAD=∠EDA=15°∴∠EDF=45°−15°=30°∴∠EDF=∠ABE由①知∠AEB=∠DEC，∴△DEF～△BAE故②正确过点F作FM⊥DC交于M，如图设DM=x，则FM=x，DF=√2x∵∠FCD=30°∴MC=√3x则在Rt△DBC中，BD=√2⋅(√3+1)x∴BF=BD−DF=√2⋅(√3+1)x−√2x则DFBF =√2x√2(√3+1−1)x=√33故③正确如图过点E作EH⊥BC交于H，过F作FG⊥BC交于G，得由③知MC=√3x，MC=FG∴FG=√3x∵BC=DC=(√3+1)x∴BH=√3+12x∵∠EBC=60°∴EH=√3⋅√3+12x，∴S△BECS△BFC =12⋅EH⋅BC12⋅FG⋅BC=EHFG=√3⋅√3+12x√3x=√3+12故④错误，所以正确的有3个．故选：B．4.在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是()A. 2B. 12C. 23D. √55【答案】B【解析】如图，取格点K，连接AK，BK.观察图象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK//CD，推出∠AED=∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，取格点K，连接AK，BK．观察图象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK//CD，∴∠AED=∠ABK，∴tan∠AED=tan∠ABK=AKBK =12，故选：B．5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，AC=3，cosA=13，将△DAC沿着CD折叠后，点A落在点E处，则BE的长为()A. 4√2B. 4C. 7D. 3√2【答案】C【解析】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理、直角三角形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．连接AE，根据余弦的定义求出AB，根据勾股定理求出BC，根据直角三角形的性质求出CD，根据面积公式出去AE，根据翻转变换的性质求出AF，根据勾股定理、三角形中位线定理计算即可．【解答】解：连接AE交CD于点F，∵AC=3，cos∠CAB=13，∴AB=3AC=9，由勾股定理得，BC=√AB2−AC2=6√2，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=12AB=92，S△ABC=12×3×6√2=9√2，∵点D为AB的中点，∴S△ACD=12S△ABC=9√22，由翻转变换的性质可知，S四边形ACED=9√2，AE⊥CD，×CD×AE=9√2，则12解得，AE=4√2，∴AF=2√2，，由勾股定理得，DF=√AD2−AF2=72∵AF=FE，AD=DB，∴BE=2DF=7，故选C．6.在长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且A、B、C、D四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是()A. √29B. 5.5C. √181D. 3√52【答案】A【解析】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、解直角三角形以及同角三角函数的关系．设正方形边长为x，EF与OD边成的角为θ，则GH与OA、OC边成的角为θ，AB与AJ 边成的角为θ，利用θ的正弦值、余弦值表示出矩形的长和宽，进一步利用同角三角函数的关系，求得结论即可．【解答】解：如图，作EF平行于长方形的长，GH平行于长方形的宽，交于O，设正方形边长为x，EF与OD边成的角为θ，则GH与OA、OC边成的角为θ，AB与AJ边成的角为θ，在Rt△AOH、Rt△COG中，GH=OG+OH=xcosθ+2xcosθ=3xcosθ=15，同理得出EF=EO+HA+AJ=2xcosθ+2xsinθ+xcosθ=3xcosθ+2xsinθ=19②解①得xcosθ=5将xcosθ=5代入②解②得xsinθ=2，两边平方相加得x2=29，所以正方形的边长x=√29．故选A．二、填空题7.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tanB=53，则tan∠CAD的值______．【答案】15【解析】延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，由tanB =53，即AD AB =53，设AD =5x ，则AB =3x ，然后可证明△CDE∽△BDA ，然后相似三角形的对应边成比例可得：CE AB =DE AD =CD BD =12，进而可得CE =32x ，DE =52x ，从而可求tan∠CAD =EC AE =15． 本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD 放在直角三角形中．【解答】解：如图，延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，∵tanB =53，即AD AB =53， ∴设AD =5x ，则AB =3x ，∵∠CDE =∠BDA ，∠CED =∠BAD ，∴△CDE∽△BDA ，∴CE AB =DE AD =CD BD =12，∴CE =32x ，DE =52x ， ∴AE =152x ，∴tan∠CAD =EC AE =15， 故答案为15．8. 已知在菱形ABCD 中，∠A =60°，DE//BF ，sinE =45，DE =6，EF =BF =5，则菱形ABCD 的边长=______．【答案】4√5【解析】连接BD ，过B 作BG//EF 交DE 的延长线于G ，根据菱形的判定和性质以及解直角三角形求得BD ，判断△ABD 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出菱形ABCD 的长．本题考查了菱形的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．【解答】解：连接BD ，过B 作BG//EF 交DE 的延长线于G ，∵∠DEF =∠F ，∴EG//BF ，∴四边形BFEG 是平行四边形，∵EF =BF ，∴四边形BFEG 是菱形，∴EG =BG =EF =BF =5，∴DG =6+5=11，∵EF//BG ，∴∠G =∠DEF ，过D 作DH ⊥GB 交GB 的延长线于H ，∴∠DHG =90°，∵sin∠DEF =sinG =DH DG =45， ∴DH =445， ∴GH =335，∴BH =GH −BG =85，∴BD =√BH 2+DH 2=√(85)2+(445)2=4√5，∵在菱形ABCD 中，∠A =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AB =BD =4√5，故答案为：4√5．9. 如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为(2,√5)，底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得到△A′O′B ，点A 的对应点A′在x 轴上，则点O′的坐标为________【答案】(203,4√5 3)【解析】本题考查了坐标与图形变化−旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，根据点A的坐标求出OC、AC，再利用勾股定理列式计算求出OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出OB，根据旋转的性质可得BO′=OB，∠A′BO′=∠ABO，然后解直角三角形求出O′D、BD，再求出OD，然后写出点O′的坐标即可．【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，∵A(2,√5)，∴OC=2，AC=√5，由勾股定理得，OA=√OC2+AC2=√22+(√5)2=3，∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，∴OB=2OC=2×2=4，由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，∴O′D=4×√53=4√53，BD=4×23=83，∴OD=OB+BD=4+83=203，∴点O′的坐标为(203,4√53)，故答案为(203,4√5 3).10.三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD的长度是______．【答案】15−5√3【解析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案．本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10√3，∵AB//CF，=5√3，∴BM=BC×sin30°=10√3×12CM=BC×cos30°=15，在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5√3，∴CD=CM−MD=15−5√3．故答案是：15−5√3．11.如下图，正方形ABCD中，AB=3，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正CD连接GH，则GH的最小值为________．方形DEFG，点H是CD上一点，且DH=23【答案】√22【解析】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答.连接CG.证明△ADE≌△CDG(SAS)，推出∠DCG=∠DAE=45°，推出点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小．【解答】解：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，∴DA=DC=AB=3，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90∘，∠DAC=45∘，∴∠ADE=∠CDG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴∠DCG=∠DAE=45∘，∴点G的运动轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，∵DH=23CD=2，∴CH=CD−DH=3−2=1，∴最小值=CH⋅sin45∘=1×√22=√22．故答案为：√2．212.如图，∠EFG=90°，EF=10，OG=17，，则点F的坐标是_________．【答案】(8,12)【解析】本题考查坐标与图形性质，解直角三角形，勾股定理的运用，过点F作直线FA//OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥AH于点H，易得∠AEF=∠HFG=∠FGO，然后利用勾股定理和解直角三角形分别求出AF和HG的长即可．【解答】解：过点F作直线FA//OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥AH于点H，∴∠FGO=∠HFG，∠EAF=90°，∠AOG=90°=∠AHG，∴四边形AOGH为矩形，∴OG=AH=17，∵∠EFG=90°，∴∠AFE+∠AEF=90°，∠HFG+∠AFE=90°，∴∠AEF=∠HFG=∠FGO，=6，在Rt△AEF中，EF=10，则AE=10·cos∠FEA=10×35∴AF=√EF2−AE2=8，FH=AH−AF=17−8=9，在Rt△FGH中，FG=FHcos∠HFG=935=15，∴HG=√FG2−FH2=12，∴点F的坐标为(8,12)．故答案为(8,12)．三、解答题13.如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于点G，连接AC，AG，已知⊙O的半径为3，CE=√34，5BF−5AD=4．(I)求AE的长；(2)求cos∠CAG的值及CG的长．【解析】(1)延长CO交⊙O于T，过点E作EH⊥CT于H.首先证明四边形AEHO是矩形，利用勾股定理求出CH，OH即可．(2)利用勾股定理求出CF，利用相似三角形的性质求出FG，证明∠CAG=∠CTG，求出cos∠CTG即可解决问题．本题考查切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．【答案】解：(1)延长CO交⊙O于T，过点E作EH⊥CT于H．∵直线l是⊙O的切线，∴AE⊥OD，∵OC⊥AB，∴∠EAO=∠AOH=∠EHO=90°，∴四边形AEHO是矩形，∴EH=OA=3，AE=OH，∵CH=√EC2−EH2=√(√34)2−32=5，∴AE=OH=CH−CO=5−3=2．(2)∵AE//OC，∴AE OC =AD DO =23，∴AD =25OA =65， ∵5BF −5AD =4，∴BF =2，∴OF =OB −BF =1，AF =AO +OF =4，CF =√OC 2+OF 2=√32+12=√10， ∵∠FAC =∠FGB ，∠AFC =∠GFB ，∴△AFC∽△GFB ，∴AF FG =CF BF ，∴4FG =√102， ∴FG =4√105， ∴CG =FG +CF =9√105，∵CT 是直径，∴∠CGT =90°， ∴GT =√TC 2−CG 2=(9√105)=3√105， ∴cos∠CTG =TG TC =3√1056=√1010， ∵∠CAG =∠CTG ，∴cos∠CAG =√1010．14. 在矩形ABCD 中，AB =8，点H 是直线AB 边上的一个点，连接DH 交直线CB 的干点E ，交直线AC 于点F ，连接BF ．(1)如图①，点H 在AB 边上，若四边形ABCD 是正方形，求证：△ADF≌△ABF ；(2)在(1)的条件下，若△BHF 为等腰三角形，求HF 的长；(3)如图②，若tan∠ADH =43，是否存在点H ，使得△BHF 为等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．【解析】(1)根据SAS证明三角形全等即可．(2)想办法证明∠ADH=30°，求出AH即可解决问题．(3)如图②中，可以假设AH=4k，AD=3k，DH=5k，因为△BHF是等腰三角形，∠BHF 是钝角，推出HF=BH，设BH=HF=x，构建方程组解决问题即可．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．【答案】(1)证明：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠FAB=∠FAD=45°，∵AF=AF，∴△ADF≌△ABF(SAS)．(2)解：如图①中，∵∠BHF>∠HAD，∴∠BHF是钝角，∵△BHF是等腰三角形，∴BH=FH，∴∠HBF=∠BFH，∵△ADF≌△ABF，∴∠ADF=∠ABF，∵∠AHD =∠HBF +∠BFH ，∴∠AHD =2∠ADH ，∵∠AHD +∠ADH =90°，∴∠ADH =30°，∴AH =AD ⋅tan30°=8√33， ∴BH =HF =8−8√33．(3)解：如图②中，存在．理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =8，AB//CD ，∠DAH =90°，∵tan∠ADH =AHAD =43， ∴可以假设AH =4k ，AD =3k ，则DH =5k ，∵△BHF 是等腰三角形，∠BHF 是钝角，∴HF =BH ，设BH =HF =x ，∵AH//CD ，∴AH CD =HF DF ， ∴4k8=x 5k−x①， ∵AH +BH =8，∴4k +x =8 ②，由①②可得，x =83或403(舍弃)，∴存在，该三角形的腰长为83．15. 如图，在锐角△ABC 中，小明进行了如下的尺规作图：①分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点P 、Q ；②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．(1)小明所求作的直线DE是线段AB的______；(2)联结AD，AD=7，sin∠DAC=17，BC=9，求AC的长．【答案】(1)线段AB的垂直平分线(或中垂线)；(2)过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD=7∴CD=BC−BD=2，在Rt△ADF中，∵sin∠DAC=DFAD =17，∴DF=1，在Rt△ADF中，AF=√72−12=4√3，在Rt△CDF中，CF=√22−12=√3，∴AC=AF+CF=4√3+√3=5√3．【解析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了解直角三角形．【解答】】(1)利用基本作法进行判断；(2)过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD=7，则CD=2，在Rt△ADF中先利用正弦的定义可计算出DF，再利用勾股定理可计算出AF，接着在Rt△CDF中利用勾股定理可计算出CF，然后计算AF+CF．解：(1)小明所求作的直线DE是线段AB的垂直平分线(或中垂线)；故答案为线段AB的垂直平分线(或中垂线)；(2)见答案．16.如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=16，点E在AB边上，与点A、B不重合，过点D作DE的垂线与BC的延长线相交于点F，连结EF，交CD于点G．(Ⅰ)当G为EF的中点时，求AE的长；(Ⅱ)当△DEG是以DE为腰的等腰三角形时，求tan∠ADE．【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，解决本题的关键是综合运用以上知识．(Ⅰ)根据∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCF=90°证明△DAE∽△DCF，对应边成比例，再根据三角形中位线定理即可求解；(Ⅱ)①当DE=DG时，先证明△EDF≌△EBF得DE=BE，再根据勾股定理求得AE的长，即可求得结果；②当ED=EG时，证明△DAE∽△FBE得DAFB =AEBE，求得AE的长，即可求得结果．【答案】解：(Ⅰ)∵DF⊥DE ∴∠EDG+∠CDF=90°又∵∠EDG+∠ADE=90°∴∠ADE=∠CDF又∵∠A=∠DCF=90°∴△DAE∽△DCF∴ADCD =AECF∴CF=16×AE8=2AE又∵CD//AB，点G为EF的中点∴点C为BF的中点∴CF=BC=8∴2AE=8∴AE=4(Ⅱ)①当DE=DG时，则∠DEG=∠DGE 又∵CD//AB，∴∠DGE=∠BEG∴∠DEG=∠BEG又∵∠EDF=∠EBF=90°EF=EF∴△EDF≌△EBF(AAS)∴DE=BE设AE=x，则BE=16−x，在Rt△DAE中，AD2+AE2=DE2∴82+x2=(16−x)2解得x=6，即AE=6∴tan∠ADE=AEAD =68=34②当ED=EG时，则∠EDG=∠EGD 又∵CD//AB∴∠EGD=∠BEG，∠EDG=∠AED ∴∠AED=∠BEG又∠A=∠B=90°∴△DAE∽△FBE∴DAFB =AEBE由(I)得：CF=2AE设AE=x，则CF=2x，BE=16−x，BF=8+2x，∴88+2x =x16−x解得：x1=4√5−4，x2=−4√5−4(舍去)∴AE=4√5−4∴tan∠ADE=AEAD =4√5−48=√5−12综上所述：tan∠ADE=34或tan∠ADE=√5−12．17.在△ABC中，∠ACB=90°．(1)如图①，若点E在AC的延长线上，ED⊥AB，垂足为D，MN//AB分别交AE、BE于点M、N.且BC=MN，cos∠ABC=35，AD=8，求AM的长；(2)如图②，若将△ABC绕点A逆时针旋转一个锐角得到△AEF，连接FC并延长交BE于点M，若CFBM =43，求tan∠ABC．【解析】本题是几何变换综合题，考查了勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．(1)设BC=3x，AB=5x，根据勾股定理可求AC=4x，根据锐角三角函数可求AE=10，由题意可证△EMN∽△EAB，可得EMEA =MNAB，可求EM=6，即可求AM的长；(2)根据旋转的性质可得AF=AC，EF=BC，AE=AB，∠FAE=∠CAB，∠ACB=∠AFE=90°，即可得∠FAC=∠EAB，∠EFM=∠G=∠BCG，可得BC=BG=EF，根据“AAS”可证△EFM≌△BGM，可得BM=EM，通过证明△FAC∽△EAB，可得ACAB=CF BE =4a6a=23，设AC=2b，AB=3b，根据勾股定理求出AC，即可求tan∠ABC的值．【答案】解：(1)∵cos∠ABC=35=BCAB，∴设BC=3x，AB=5x.在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=4x．∵tan∠CAB=BCAC =DEAD=3x4x=34，∴DE=34AD，且AD=8，∴DE=6.在Rt△ADE中，AE=√AD2+DE2=10．∵MN=BC，∴MN=3x．∵MN//AB，∴△EMN∽△EAB，∴EMEA =MNAB，∴EM10=3x5x，∴EM=6，∴AM=AE−ME=4．(2)过点B作BG//EF，交FM延长线于点G．∵CFBM =43，∴设CF=4a，BM=3a．∵将△ABC绕点A逆时针旋转一个锐角，得到△AEF，∴AF=AC，EF=BC，AE=AB，∠FAE=∠CAB．∵AF=AC，∴∠AFC=∠ACF.∵∠ACB=∠AFE=90°，∴∠AFC+∠EFM=90°，∠ACF+∠BCG=90°，∴∠BCG=∠EFM．∵EF//BG，∴∠EFM=∠G，∴∠BCG=∠G，∴BC=BG，∴BG=EF，且∠EFM=∠G，∠FME=∠BMG，∴△EFM≌△BGM，∴EM=BM=3a，∴BE=6a．∵∠FAE=∠CAB，∴∠FAC=∠EAB，且AFAE =ACAB，∴△FAC∽△EAB，∴ACAB =CFBE=4a6a=23，∴设AC=2b，AB=3b.在Rt△ACB中，BC=√AB2−BC2=√5b，∴tan∠ABC=ACBC =2√55．。

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题25.4解直角三角形的应用：仰角俯角问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•杨浦区期末）如果小丽在楼上点A 处看到楼下点B 处小明的俯角是35°，那么点B 处小明看点A 处小丽的仰角是（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°2．（2019秋•宝山区期末）直角梯形ABCD 如图放置，AB 、CD 为水平线，BC ⊥AB ，如果∠BCA ＝67°，从低处A 处看高处C 处，那么点C 在点A 的（ ）A ．俯角67°方向B ．俯角23°方向C ．仰角67°方向D ．仰角23°方向3．（2019秋•徐汇区期末）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A 的俯角为60°，那么此时小李离着落点A 的距离是（ ）A ．200米B ．400米C ．2003√3米D ．4003√3米4．（2020•谯城区模拟）如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为（ ）A ．m cotα−cotβ千米B ．m cotβ−cotα千米C．mtanα−tanβ千米D．mtanβ−tanα千米5．（2021•沐川县模拟）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：√3，则大楼AB的高度为（）（精确到0.1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）A．30.4B．36.4C．39.4D．45.46．（2021•天桥区二模）小明使用测角仪在甲楼底端A处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角45°，已知AB＝4.5米，则熊猫C处距离地面AD的高度为（）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）A．13.6B．18.1C．17.3D．16.87．（2021•沙坪坝区校级模拟）小敏利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方130米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度AB约为（）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．146.4米B．222.9米C．225.7米D．318.6米8．（2021•杭州模拟）如图，小慧的眼睛离地面的距离为1.6m，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板60°角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离BC为5m，则旗杆AD的高度（单位：m）为（）A．6.6B．11.6C．1.6+5√33D．1.6+5√39．（2021春•重庆月考）清明假期，小明和小亮一起去爬山踏青，感受春的味道．小明和小亮分别选择了两条不同的路线登顶，如图，小明从A点出发水平直行到达了B点，然后沿坡度为i＝0.75：1的斜坡BC 走500米到达C点处，再从C点出发水平直行120米到达D点，最后从D点沿着坡度为i＝5：12的斜坡走520米登顶到达E点，而小亮选择了从A点直接沿着斜坡AE登顶E点，已知小亮在山顶E点测得山脚A点的俯角为22°，则AB的长度约为（）（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．230米B．240米C．250米D．260米10．（2021•渝中区校级一模）为了纪念巴蜀中学首任校长周助成和首任教务主任孙伯才而修建的助艾亭，见证了巴蜀走过的风雨历程；助艾亭下的石榴花，阶梯边的蓝楹树，也陪伴着一届届巴蜀学子的青春成长．小宇和小轲两位同学准备利用所学数学知识对助艾亭的高度进行测量，他们在临时搭建的一个坡度为12：5的钢板斜坡上的F点测得亭顶A点的仰角为13°，F点到地面的垂直高度FG＝1.8米．从钢板斜坡底的E点向前走16.25米到D点，测得亭前阶梯CD的长度为2.5米，坡度为3：4．C点到亭中心O点的距离为1米．根据测量结果，助艾亭的高度AO大约为（）米．（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，A；B，C，D，E，F，G各点均在同一平面内）A．4.9米B．4.6米C．6.4米D．6.1米二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•嘉定区期末）如图，飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°，那么∠APB的度数为°．12．（2020秋•徐汇区期末）已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45°，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为30°，那么甲楼高是米．13．（2020秋•普陀区期末）如图，小明在教学楼AB的楼顶A测得：对面实验大楼CD的顶端C的仰角为α，底部D的俯角为β．如果教学楼AB的高度为m米，那么两栋教学楼的高度差CH为米．14．（2021•上海模拟）已知在离地面30米的高楼窗台A处测得地面花坛中心标志物C的俯角为60°，那么这一标志物C离此栋楼房的地面距离BC为米．15．（2020•金山区二模）如图，在坡度为1：2.4的斜坡上有一棵与水平面垂直的树BC，在斜坡底部A处测得树顶C的仰角为30°，AB的长为65米，那么树高BC等于米（保留根号）．16．（2020•太和县模拟）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为米（结果保留根号）．17．（2019•金山区二模）如图，飞机于空中A处观测其正前方地面控制点C的俯角为30°，若飞机航向不变，继续向前飞行1000米至B处时，观测到其正前方地面控制点C的俯角为45°，那么该飞机与地面的高度是米（保留根号）．18．（2019•徐汇区校级一模）为了测量某建筑物BE的高度（如图），小明在离建筑物15米（即DE＝15米）的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝米．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021•宝山区二模）图1是某地摩天轮的图片，图2是示意图．已知线段BC经过圆心D且垂直于地面，垂足为点C，当座舱在点A时，测得摩天轮顶端点B的仰角为15°，同时测得点C的俯角为76°，又知摩天轮的半径为10米，求摩天轮顶端B与地面的距离．（精确到1米）参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.96，tan15°≈0.27，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01．20．（2020秋•金山区期末）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1：√3，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，在坡顶A 处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）21．（2021•北仑区一模）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√3≈1.73）22．（2021•海陵区一模）某校数学兴趣小组为了测量建筑物CD的高度，先在斜坡AB的底部A测得建筑物顶点C的仰角为31°，再沿斜坡AB走了26m到达斜坡顶点B处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4．（参考数据：tan53°≈43，tan31°≈35）（1）求点B到地面的高度；（2）求建筑物CD的高度．23．（2021•滨海新区二模）如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D，点E的俯角分别为64°和53°．已知椅面宽BE＝46cm，求椅脚高ED的长（结果取整数）．参考数据：tan53°≈1.33，sin53°≈0.80，tan64°≈2.05，sin64°≈0.90．24．（2021•莱芜区三模）如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC的高度，甲同学在点A测得大树顶端B的仰角为45°，乙同学从A点出发沿斜坡走6√5米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为26.7°，且斜坡AF的坡度为1：2．（1）求乙同学从点A到点D的过程中上升的高度；（2）依据他们测量的数据求出大树BC的高度．（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）。