定积分的元素法讲解学习

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定积分的元素法

b
平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长，功，
水压力等．
5
A
y=ƒ(x)
D H
B
o a
E
F x x+Δx
b x
求曲边梯形 AabB 的面积 A 的方法为:
(1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],并求出总量 A 的
微分dA = ƒ(x)dx ; (面积元素(微元))
(2) 以微分表达式 ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 (面积元素(微元)进行求和累加)
在区间 [a, b]的任一个子区间[x, x+Δx] 上，部分量ΔU≈f (x)Δx．
4
二
定积分的元素法
设 U 是可用定积分表达的量，则计算量 U 的步骤为： • 选择函数 f(x)，并确定自变量 x 的变化区间[a, b]; • 在[a, b]内考虑小区间[x, x+dx]，求出相应于这个小区间的部分量ΔU的近似值 f(x)dx。称f(x)dx为量U的元素，记为dU= f(x)dx． • 计算 U=a f ( x )dx 应用方向：
A dA f ( x )dx
a a
3
bU具有以下特点：量U与函数 f(x)及x的变化区间 [a, b]有关．
若 f(x)≡常数，则 U= f(x)(b－a)．
量U对区间具有可加性。即：把[a,b]分成若干部
分区间，则 U相应地被分成了许多部分量之和．
第六章定积分的应用
基本要求
1 掌握用定积分来求一些几何量和物理量的方法(元素法) 2 会建立一些简单的几何量与物理量的积分表达式 (如面积，体积，弧长、功、水压力等)
1
§6.1 定积分的元素法

定积分的元素法平面图形的面积PPT课件

右脑思维的核心是形象思维，在大脑中多出现形象的东西，在各项思维活动中，多借助形象，就训练了右脑。
1
第六章定积分的应用
第一节定积分的元素法第二节平面图形的面积第三节体积第四节平面曲线的弧长第五节功水压力和引力第六节平均值
2
第一节定积分的元素法
求由 x a, x b, y 0 和 y f ( x) 所围成的曲边梯形的
x 1( y)
y dy
x 2( y)
y
A
d c

2
(
y
)

1
(
y
)dy
c
x穿出 x穿入
Y型
x
8
例１计算由 y2 x , y x2
解解方程组
y2 x

y

x2
所围成的图形的面积。
y
(1,1) 1
得抛物线的两个交点 (0,0)和 (1,1)
取x为积分变量，积分区间为 0,1,
P(r, ) y
x
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
x2 y2 a2
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos r 2a cos r 2 2a r cos x 2 y 2 2ax
20
二. 极坐标情形
之间，一般没有一一对应的关系。
但若规定r 0,0 2 ，除极点O外，平面上的点与极坐标
之间就一一对应了。
在通常情况下,我们规定: r 0 ，而极角可以取任意实数。
17
2．极坐标方程
曲线上点的极坐标 r 与之间的关系可以用式 r r 表示，称 r r 为曲线的极坐标方程。

大学高等数学6-1定积分的元素法精品PPT课件

弧长 s 2(t ) 2(t )dt.
2
2
2
例 3 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)的全长.
x a cos3 t
解
星形线的参数方程为
y
a
sin3
t
(0 t 2)
根据对称性 s 4s1
y
4 2 x2 y2dt 0
4 2 3a sin t cos tdt 0
a
3
四、旋转体的体积和表面积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、
直线 x a 、 x b及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x ，
y
y f (x)
A
b
a
f
(
x)dx
y f1( x)
o a xx b x 曲边梯形的面积
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 x 和 y x2 所围成的
图形的面积.
解两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1]
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想.
例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电
荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷
放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场

高等数学上6.1定积分的元素法

或微元分析法) 这种分析方法成为元素法 (或微元分析法或微元分析法元素的几何形状常取为: 元素的几何形状常取为条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳等
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b
积分的四个步骤如下：积分的四个步骤如下：（1）分割上任取一小区间[x 在[a, b]上任取一小区间 , x+dx] 上任取一小区间积元
∆
用 ∆A表示任一小区间[ x , x + ∆x ]上的窄曲面边梯形的面积
（2）近似代替
∆A ≈ f ( x )dx = dA
（）
dA
y
素
y = f (x)
A = ∫a f ( x)dx
b
o a x x + dx x b
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元素法应用方向：元素法应用方向：应用方向
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；水压力；引力等．功；水压力；引力等．
第六章
定积分的应用
利用元素法解决: 利用元素法解决定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用
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第一节
第六章六
定积分的元素法
一、什么问题可以用定积分解决 ? 二、如何应用定积分解决问题 ?
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一、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间 , b]上的某分布 f (x) 有关的是与区间[a 上的某分布一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小常代变近似和取极限” 大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 大化小表示为

定积分元素法课件

元素法的应用范围
01 02 03
适用于被积函数为连续函数的定积分计算。
适用于被积函数为分段函数的定积分计算。
适用于被积函数为周期函数的定积分计算。
03
元素法的具体应用
求解定积分的具体方法
01
矩形法
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，用
矩形近似代替该小区间上的曲线，求出矩形面积之和，即得定积分的近
计算方法则是通过数值计算方法（如梯形法、辛普森法等）来求解近似值。 • 两者都可以得到较为精确的结果，但数值计算方法需要更多的计算量。
元素法与物理方法的比较研究
元素法是通过数学模型和数值计算方法来得到近似解，而物理方法则是通过实验测量数据来得到近似解。
在求解积分问题时，物理方法通常是通过实验测量数据来得到近似解。
元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积函数，从而将积分转化为求和。
微积分提供了一般的理论框架，而元素法是一种具体的计算方法，两者相辅相成。
元素法与数值计算方法的比较研究
• 数值计算方法是一种通过数值计算求解数学问题的方法，包括数值积分、数值微分、数值求解方程等。 • 元素法与数值计算方法在求解积分问题时，都采用了近似代替的方法。 • 元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积函数，从而将积分转化为求和。而数值
近似方法的选取
根据具体问题的特点，选择合适的近似方法（矩形法、梯形法或辛普森法），以保证近似值的精度和计算效率。
求解定积分的实例分析
计算定积分$\int_{0}^{1}e^{x}dx$
通过矩形法、梯形法和辛普森法分别计算该定积分的近似值，并比较其精度和计算效率。

定积分元素法的步骤

定积分元素法的步骤
定积分元素法的基本步骤如下：
1.确定元素：首先需要确定积分区间[a,b]，并将其划分为n个小区间，小区间的长度记为
Δx。

2.近似代替：在每个小区间上任取一点ξi（i=1,2,...,n），以f(ξi)Δx近似代替该小区间上
曲边梯形的面积。

3.求和计算：将n个近似小矩形面积加起来，即求得原曲边梯形的面积S的近似值。

即
S=∑f(ξi)Δx。

4.取极限：当Δx趋向于0时，求极限，即可得定积分的值。

即lim(Δx→0)∑f(ξi)Δx=
∫baf(x)dx。

以上就是定积分元素法的基本步骤，需要注意的是，在选取元素时，应尽可能使近似值与精确值之间的差距变小，这需要选取适当的ξi和合适的Δx。

同时，在求和计算时，应注意计算的准确性，避免计算错误导致的结果偏差。

定积分的元素法解析

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面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间 [a , b] 分成n个长度分别为 x i 的小区间，
那么相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i 个小窄曲边梯形的面积为
Ai , 则A Ai .
i 1
n
（2）计算Ai 的近似值
Ai f ( i )xi
（3）求和，得A的近似值
对于区间
如果把区间
a , b 具有可加性，就是说， a , b 分成许多部分区间，则U相
应地分成许多部分量，而 U等于所有部分量之
和.
（3）部分量U i 的近似值可表示为 f ( i )x i ；
U 就可以考虑用定积分来表达这个量
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元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间 [a, b]；
dU ，即 dU f ( x)dx；
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3）以所求量 U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在
区间 [a , b] 上作定积分，得
即为所求量 U 的积分表达式.
U f ( x)dx.
a
b
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等．
2）设想把区间 [a , b] 分成n个小区间，取其中任
一小区间并记为 [ x , x dx ]，求出相应于这小区间的部分量 U 的近似值.如果 U 能近似地表示为 [a , b]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积, 就把 f ( x )dx 称为量 U 的元素且记作
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S6-1定积分的元素法

n
S f ( i )xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值
o
a x1 x2
xi i xi1
x xn1 b
.
曲边梯形的面积的回顾
f (i) y
oa
x x i i i 1 .
元素法
y=f (x)
1 大化小（分割） 2 常代变（近似）
Si f ( i )xi
3 近似和（求和）
分法越细，越接近精确值
4 取极限
x b
令分法无限变细
n
S =
记
lim
i 1
f
(
i
.). x
i
.
b
f ( x) dx
a
一、什么问题可以用微元分析法（定积分）解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某函数 f (x) 有关的一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
n
S f ( i )xi i 1
分法越细，越接近精确值
4 取极限
x b
令分法无限变细
.. .
曲边梯形的面积的回顾
f (i) y
S
oa
x x i பைடு நூலகம் i 1 .
元素法
y=f (x)
1 大化小（分割） 2 常代变（近似）
Si f ( i )xi
3 近似和（求和）
n
S f ( i )xi i 1
表示为
定积分定义
二、如何应用微元分析法（定积分）解决问题 ?
第一步利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量

微积分——定积分的元素法

微积分——定积分的元素法
定积分的元素法是微积分学习中一种比较重要的知识点，也是计算定积分的一种常用
的方法。

其基本的思想是，把原来一个定积分表示成一连串的元素积分，然后一个一个地
进行求和。

定积分的元素法求解定积分可以分为六步：
第一步：根据所得函数及计算要求，把整个定积分，划分成符合条件的元素积分；
第二步：根据所给定的元素积分的边界条件，把元素积分的函数表达式化成被积函数；
第三步：依据各元素量的微分的求解方法，对元素积分的被积函数进行积分；
第四步：根据定积分的求和原理，确定积分常数；
第五步：把全部元素积分从小到大进行求和；
第六步：把定积分所得结果翻译成便于解释的方式，使之成为可读的形式。

定积分的元素法不仅求得的结果准确，而且耗时少，计算方便，这使得定积分的元素
法广泛应用于实际及教学中。

但是，定积分的元素法在求解复杂定积分时，容易产生局限性，因此，要想得到比较准确的结果，必须优化元素积分。

另外，还要注意限定解析定积
分的形式，避免出现不确定性。

定积分的元素法-平面图形的面积省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

之间，一般没有一一相应旳关系。
但若要求r 0,0 2 ，除极点O外，平面上旳点与极坐标
之间就一一相应了。
在一般情况下,我们要求: r 0 ，而极角能够取任意实数。
16
2．极坐标方程
曲线上点旳极坐标 r 与之间旳关系能够用式 r r 表达，称 r r 为曲线旳极坐标方程。
以极点O为圆心，以 a为半径旳旳圆旳极坐标方程: r a.
解方程组：rr
1 3
cos cos
3 , 2 3 •
3
得交点 3 , ， 3 , .
2 32 3
O
A1 2
x
A
2
3 0
1 2
(1
cos
)2 d
2
1
2
3
2
(3cos )2 d
2
3 2
2 sin
1 sin 2
4
3 0
9 2
1 sin 2
2
2
5 .
4
3
23
（1）拟定积分变量，和它旳变化区间[a,b]；（2）写出积分元素
U dU f xdx
（3）写出 U 旳积分体现式，即：
b
U a f ( x)dx
6
第二节平面图形旳面积
y
( x)
一、直角坐标情形
A
b
a
(
x)
(
x )dx
oa
(x)
x x dx b x
二、极坐标情形
A
1 2
(
)2
d
d
4ab
0sin 2
tdt
2
2
4ab 2 sin 2 tdt ab 0
当a b时，椭圆变为圆， A a2。

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定积分的元素法
教学内容
一、问题的提出
回顾：曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围
成。

⎰=b a dx x f A )( 面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间],[b a 分成n 个长度为i x ∆的小区间，相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第i 个小窄曲边梯形的面积为i A ∆，则∑=∆=n
i i A A 1.
（2）计算i A ∆的近似值i i i x f A ∆≈∆)(ξ，i i x ∆∈ξ
（3）求和，得A 的近似值.)(1i i n
i x f A ∆≈∑=ξ
（4）求极限，得A 的精确值i i n i x f A ∆=∑=→)(lim 10ξλ⎰=b a
dx x f )( 提示：若用A ∆ 表示任一小区间],[x x x ∆+上的窄曲边梯形的面积，则
∑∆=A A ，并取dx x f A )(≈∆，于是∑≈dx x f A )(
a
b x y
o )
(x f y =
∑=dx x f A )(lim .)(⎰=b a dx x f
当所求量U 符合下列条件：（1）U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的量；
（2）U 对于区间[]b a ,具有可加性，就是说，如果把区间[]b a ,分成许多部分区间，则U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之和；
（3）部分量i U ∆的近似值可表示为i i x f ∆)(ξ；
就可以考虑用定积分来表达这个量U
元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ；
2）设想把区间],[b a 分成n 个小区间，取其中任一小区间并记为],[dx x x +，求出相应于这小区间的部分量U ∆的近似值.如果U ∆能近似地表示为],[b a 上的一个连续函数在x 处的值)(x f 与dx 的乘积，就把dx x f )(称为量U 的元素且记作dU ，即dx x f dU )(=；
3）以所求量U 的元素dx x f )(为被积表达式，在区间],[b a 上作定积分，得⎰=b
a dx x f U )(，即为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法．
a b x y
o )
(x f y =x dx
x +
应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．
二、小结
元素法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）
思考题
微元法的实质是什么？
思考题解答
微元法的实质仍是“和式”的极限.。

定积分的元素法讲解学习

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