定积分的元素法讲解学习
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定积分的元素法平面图形的面积PPT课件
右脑思维的核心是形象思维， 在大脑中多出现形象的东西，在 各项思维活动中，多借助形象， 就训练了右脑。
1
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法 第二节 平面图形的面积 第三节 体积 第四节 平面曲线的弧长 第五节 功 水压力和引力 第六节 平均值
2
第一节 定积分的元素法
求由 x a, x b, y 0 和 y f ( x) 所围成的曲边梯形的
x 1( y)
y dy
x 2( y)
y
A
d c
2
(
y
)
1
(
y
)dy
c
x穿出 x穿入
Y型
x
8
例１计算由 y2 x , y x2
解 解方程组
y2 x
y
x2
所围成的图形的面积。
y
(1,1) 1
得抛物线的两个交点 (0,0)和 (1,1)
取x为积分变量，积分区间为 0,1,
P(r, ) y
x
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
x2 y2 a2
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos r 2a cos r 2 2a r cos x 2 y 2 2ax
20
二. 极坐标情形
之间，一般没有一一对应的关系。
但若规定r 0,0 2 ，除极点O外，平面上的点与极坐标
之间就一一对应了。
在通常情况下,我们规定: r 0 ，而极角可以取任意实数。
17
2．极坐标方程
曲线上点的极坐标 r 与 之间的关系可以用式 r r 表示， 称 r r 为曲线的极坐标方程。
1
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法 第二节 平面图形的面积 第三节 体积 第四节 平面曲线的弧长 第五节 功 水压力和引力 第六节 平均值
2
第一节 定积分的元素法
求由 x a, x b, y 0 和 y f ( x) 所围成的曲边梯形的
x 1( y)
y dy
x 2( y)
y
A
d c
2
(
y
)
1
(
y
)dy
c
x穿出 x穿入
Y型
x
8
例１计算由 y2 x , y x2
解 解方程组
y2 x
y
x2
所围成的图形的面积。
y
(1,1) 1
得抛物线的两个交点 (0,0)和 (1,1)
取x为积分变量，积分区间为 0,1,
P(r, ) y
x
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
x2 y2 a2
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos r 2a cos r 2 2a r cos x 2 y 2 2ax
20
二. 极坐标情形
之间，一般没有一一对应的关系。
但若规定r 0,0 2 ，除极点O外，平面上的点与极坐标
之间就一一对应了。
在通常情况下,我们规定: r 0 ，而极角可以取任意实数。
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2．极坐标方程
曲线上点的极坐标 r 与 之间的关系可以用式 r r 表示， 称 r r 为曲线的极坐标方程。
阐述定积分的元素法的思想和原理
阐述定积分的元素法的思想和原理
定积分的元素法是用定积分的等价形式，将一个积分分解为多个重
叠的小积分的和的形式，但是不要如中等分的形式一样分开，元素法
的本身是一种重叠分解，它实质上是求取某一复合积分的变形，针对
某些特殊函数，能够均匀分割并求取数值近似解，从而求出某一复杂
函数的积分值。
元素法遵循思想：
设某积分为I，用元素法求某积分I时，把它分成m个子区间，m越大，精度越高。
在每一个子区间上取一个求积分值的小积分，将子区间间
的连续重叠，而且分段重叠仅有一段，把积分I的连续重叠段的平均值记为I, 给出I的连续重叠长度。
如果函数f(x)在每个子区间上用抽样点
估算，则可将I写成抽样点的积分，从而将该积分整体化统一求取，有利于计算机程序的实施。
可以将I=f(x)dx变换为形如：
I=f1(x1)h1+f2(x2)h2+……+fn(xn)hn，
其中fi为子区间第i段上的抽样函数，x1、x2、…、xn为抽样点，h1、h2、…、hn为对应的抽样点的子区间宽度。
因此，用元素法求取积分I的过程就是：根据某个给定的误差限度取每一个子区间的宽度；根据适当的抽样函数，选取各个子区间的抽样点；求出子区间上的小积分；并将其求和即可得到积分I的近似值。
高等数学上册第六章课件.ppt
(2 , 2)
4
AdA ( y 4 12 y 2 ) d y
2
18
(8 , 4)
x
第二节 定积分在几何中的应用
例
求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA
ydx 0 a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
a
2
4a
X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：
y 2 ( x)
b
b
Vx π ( x)dx π ( x)dx
a
b
2
2
a
2
1
2
2
y 1 ( x)
π [2 ( x) 1 ( x)]dx
a
a
bx
Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：
d
Vy π [ g g ]dy
2
5 3 1 π
32π a sin u du 32π a 5π 2 a3
0
6 4 2 2
3
2
6
3
第二节 定积分在几何中的应用
y
x x2 ( y )
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
π
π a 2 (t sin t ) 2 a sin t d t
2π
o
πa
πa
4 2 2
2
所围图形的
(利用对称性)
d
o
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
2
2
2
x y ax a x y
2
即 r a(1 cos )
4
AdA ( y 4 12 y 2 ) d y
2
18
(8 , 4)
x
第二节 定积分在几何中的应用
例
求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA
ydx 0 a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
a
2
4a
X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：
y 2 ( x)
b
b
Vx π ( x)dx π ( x)dx
a
b
2
2
a
2
1
2
2
y 1 ( x)
π [2 ( x) 1 ( x)]dx
a
a
bx
Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：
d
Vy π [ g g ]dy
2
5 3 1 π
32π a sin u du 32π a 5π 2 a3
0
6 4 2 2
3
2
6
3
第二节 定积分在几何中的应用
y
x x2 ( y )
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
π
π a 2 (t sin t ) 2 a sin t d t
2π
o
πa
πa
4 2 2
2
所围图形的
(利用对称性)
d
o
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
2
2
2
x y ax a x y
2
即 r a(1 cos )
定积分的元素法教学文案
题目定积分的元素法本讲计1 对应教材章（课）节§5.3划学时教学目的熟练掌握定积分的元素法教学重点定积分的元素法教学难点定积分的元素法序号本讲主要环节（内容）时间（分）教学方法教学手段一、定积分的元素法45 讲授为主板书教学内容（教学时数：2 ）一、再论曲边梯形面积计算设f x ()在区间[,]a b 上连续，且f x ()0，求以曲线y f x ()为曲边，底为[,]a b 的曲边梯形的面积A 。
1、化整为零用任意一组分点011n n a x x x x b 将区间分成n 个小区间[,]x x i i 1，其长度为1i i ix x x , ),,2,1(n i记},,,max{21n x x x 相应地，曲边梯形被划分成n 个窄曲边梯形，第i 个窄曲边梯形的面积记为),,2,1(n i A i 。
于是A A ii n12、以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值A f x x x i n ii i i i i ()[,](,,,)1123、积零为整，给出“整”的近似值A f x i ii n ()1小结：元素法的提出、思想、步骤（注意微元法的本质）4、取极限，使近似值向精确值转化A f x f x dx i ii na b lim ()()01上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：(一)、若将[,]a b 分成部分区间[,](,,,)x x i n i i 112，则A 相应地分成部分量A in i (,,,)12，而A A i i n 1这表明：所求量A 对于区间[,]a b 具有可加性。
(二)、用f x i i ()近似A i ，误差应是x i 的高阶无穷小。
只有这样，和式f x i i i n()1的极限方才是精确值A 。
备注：教学内容（教学时数：）确定))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A 是关键。
上述做法可进一步简化为略去下标i ，用A 表示任一小区间[,]x x dx 上窄曲边梯形的面积，这样A A 一般地称()f x dx 为面积元素记作()dAf x dx 窄曲边梯形A 叫典型面积元素。
定积分元素法课件
02
确定被积函数
03
建立积分方程
根据物理或工程问题的数学模型 ，确定被积函数，即需要求解的 未知函数。
根据定积分的定义和性质，将问 题转化为数学模型中的积分方程 。
离散化方程的推导
离散化方法
将连续的积分元素离散化为有限个离散点，常用的离散化方法有矩形法、三角形法等。
离散化方程推导
根据离散化方法和定积分的性质，推导离散化方程，即将积分方程转化为有限元方程。
二维问题的求解
总结词
定积分元素法在解决二维问题时，通过 将二维平面离散化为网格，将复杂的二 维积分运算转化为一系列的一维积分运 算，降低了求解难度。
VS
详细描述
二维问题涉及平面上的形状、面积、体积 等的求解。定积分元素法将二维平面离散 化为网格，每个网格点上的积分值相等。 通过求解每个网格点的积分值，再求和得 到整体解。这种方法简化了二维积分运算 ，提高了计算精度和效率。
三维问题的求解
总结词
定积分元素法在解决三维问题时，通过将三 维空间离散化为体素，将复杂的三维积分运 算转化为一系列的二维积分运算，降低了求 解难度。
详细描述
三维问题涉及空间中的形状、体积等的求解 。定积分元素法将三维空间离散化为体素， 每个体素上的积分值相等。通过求解每个体 素的积分值，再求和得到整体解。这种方法 简化了三维积分运算，提高了计算精度和效 率。
步骤 1. 将问题分解为若干个元素或单元；
定积分元素法的应用场景
物理问题
定积分元素法广泛应用于物理问题的求解 ，如静力学、动力学、热力学等领域。
工程问题
在土木工程、机械工程、航空航天等领域 ，定积分元素法也被广泛应用。
数值分析
在数值分析中，定积分元素法是数值求解 微分方程的重要方法之一。
高等数学上6.1定积分的元素法
或微元分析法) 这种分析方法成为元素法 (或微元分析法 或微元分析法 元素的几何形状常取为: 元素的几何形状常取为 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
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b
积分的四个步骤如下： 积分的四个步骤如下： （1）分割 上任取一小区间[x 在[a, b]上任取一小区间 , x+dx] 上任取一小区间 积 元
∆
用 ∆A表示任一小区间[ x , x + ∆x ]上的窄曲 面 边梯形的面积
（2）近似代替
∆A ≈ f ( x )dx = dA
（ ）
dA
y
素
y = f (x)
A = ∫a f ( x)dx
b
o a x x + dx x b
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元素法应用方向： 元素法应用方向： 应用方向
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 水压力；引力等． 功；水压力；引力等．
第六章
定积分的应用
利用元素法解决: 利用元素法解决 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用
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第一节
第六章 六
定积分的元素法
一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ?
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一、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间 , b]上的某分布 f (x) 有关的 是与区间[a 上的某分布 一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小 常代变 近似和 取极限” 大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 大化小 表示为
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b
积分的四个步骤如下： 积分的四个步骤如下： （1）分割 上任取一小区间[x 在[a, b]上任取一小区间 , x+dx] 上任取一小区间 积 元
∆
用 ∆A表示任一小区间[ x , x + ∆x ]上的窄曲 面 边梯形的面积
（2）近似代替
∆A ≈ f ( x )dx = dA
（ ）
dA
y
素
y = f (x)
A = ∫a f ( x)dx
b
o a x x + dx x b
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元素法应用方向： 元素法应用方向： 应用方向
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 水压力；引力等． 功；水压力；引力等．
第六章
定积分的应用
利用元素法解决: 利用元素法解决 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用
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第一节
第六章 六
定积分的元素法
一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ?
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一、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间 , b]上的某分布 f (x) 有关的 是与区间[a 上的某分布 一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小 常代变 近似和 取极限” 大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 大化小 表示为
定积分元素法课件
元素法的应用范围
01 02 03
适用于被积函数为连续函数的定积 分计算。
适用于被积函数为分段函数的定积 分计算。
适用于被积函数为周期函数的定积 分计算。
03
元素法的具体应用
求解定积分的具体方法
01
矩形法
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，用
矩形近似代替该小区间上的曲线，求出矩形面积之和，即得定积分的近
计算方法则是通过数值计算方法（如梯形法、辛普森法等）来求解近似值。 • 两者都可以得到较为精确的结果，但数值计算方法需要更多的计算量。
元素法与物理方法的比较研究
元素法是通过数学模型和数值计 算方法来得到近似解，而物理方 法则是通过实验测量数据来得到 近似解。
在求解积分问题时，物理方法通 常是通过实验测量数据来得到近 似解。
元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积 函数，从而将积分转化为求和。
微积分提供了一般的理论框架，而元素法是一种具体的计算方法，两者相辅相成。
元素法与数值计算方法的比较研究
• 数值计算方法是一种通过数值计算求解数学问题的方法，包括数值积分、数值微分、数值求解方程等。 • 元素法与数值计算方法在求解积分问题时，都采用了近似代替的方法。 • 元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积函数，从而将积分转化为求和。而数值
近似方法的选取
根据具体问题的特点，选择合适的近 似方法（矩形法、梯形法或辛普森法 ），以保证近似值的精度和计算效率 。
求解定积分的实例分析
计算定积分$\int_{0}^{1}e^{x}dx$
通过矩形法、梯形法和辛普森法分别计算该定积分的近似值，并比较其精度和计算效率 。
定积分元素法的步骤
定积分元素法的步骤
定积分元素法的基本步骤如下：
1.确定元素：首先需要确定积分区间[a,b]，并将其划分为n个小区间，小区间的长度记为
Δx。
2.近似代替：在每个小区间上任取一点ξi（i=1,2,...,n），以f(ξi)Δx近似代替该小区间上
曲边梯形的面积。
3.求和计算：将n个近似小矩形面积加起来，即求得原曲边梯形的面积S的近似值。
即
S=∑f(ξi)Δx。
4.取极限：当Δx趋向于0时，求极限，即可得定积分的值。
即lim(Δx→0)∑f(ξi)Δx=
∫baf(x)dx。
以上就是定积分元素法的基本步骤，需要注意的是，在选取元素时，应尽可能使近似值与精确值之间的差距变小，这需要选取适当的ξi和合适的Δx。
同时，在求和计算时，应注意计算的准确性，避免计算错误导致的结果偏差。
定积分的元素法解析
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面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间 [a , b] 分成n个长度分别为 x i 的小区间，
那么相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形， 第 i 个小窄曲边梯形的面积为
Ai , 则A Ai .
i 1
n
（2）计算Ai 的近似值
Ai f ( i )xi
（3） 求和，得A的近似值
对于区间
如果把区间
a , b 具有可加性，就是说， a , b 分成许多部分区间，则U相
应地分成许多部分量，而 U等于所有部分量之
和.
（3）部分量U i 的近似值可表示为 f ( i )x i ；
U 就可以考虑用定积分来表达这个量
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元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间 [a, b]；
dU ，即 dU f ( x)dx；
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3）以所求量 U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在
区间 [a , b] 上作定积分，得
即为所求量 U 的积分表达式.
U f ( x)dx.
a
b
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等．
2）设想把区间 [a , b] 分成n个小区间，取其中任
一小区间并记为 [ x , x dx ]，求出相应于这小区 间的部分量 U 的近似值.如果 U 能近似地表示 为 [a , b]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积, 就把 f ( x )dx 称为量 U 的元素且记作
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面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间 [a , b] 分成n个长度分别为 x i 的小区间，
那么相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形， 第 i 个小窄曲边梯形的面积为
Ai , 则A Ai .
i 1
n
（2）计算Ai 的近似值
Ai f ( i )xi
（3） 求和，得A的近似值
对于区间
如果把区间
a , b 具有可加性，就是说， a , b 分成许多部分区间，则U相
应地分成许多部分量，而 U等于所有部分量之
和.
（3）部分量U i 的近似值可表示为 f ( i )x i ；
U 就可以考虑用定积分来表达这个量
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元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间 [a, b]；
dU ，即 dU f ( x)dx；
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3）以所求量 U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在
区间 [a , b] 上作定积分，得
即为所求量 U 的积分表达式.
U f ( x)dx.
a
b
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等．
2）设想把区间 [a , b] 分成n个小区间，取其中任
一小区间并记为 [ x , x dx ]，求出相应于这小区 间的部分量 U 的近似值.如果 U 能近似地表示 为 [a , b]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积, 就把 f ( x )dx 称为量 U 的元素且记作
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S6-1定积分的元素法
n
S f ( i )xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值
o
a x1 x2
xi i xi1
x xn1 b
.
曲边梯形的面积的回顾
f (i) y
oa
x x i i i 1 .
元素法
y=f (x)
1 大化小（分割） 2 常代变（近似）
Si f ( i )xi
3 近似和（求和）
分法越细，越接近精确值
4 取极限
x b
令分法无限变细
n
S =
记
lim
i 1
f
(
i
.). x
i
.
b
f ( x) dx
a
一、什么问题可以用微元分析法（定积分）解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某函数 f (x) 有关的 一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
n
S f ( i )xi i 1
分法越细，越接近精确值
4 取极限
x b
令分法无限变细
.. .
曲边梯形的面积的回顾
f (i) y
S
oa
x x i பைடு நூலகம் i 1 .
元素法
y=f (x)
1 大化小（分割） 2 常代变（近似）
Si f ( i )xi
3 近似和（求和）
n
S f ( i )xi i 1
表示为
定积分定义
二 、如何应用微元分析法（定积分）解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
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定积分的元素法
一 、再论曲边梯形面积计算 设f x ()在区间[,]a b 上连续，且f x ()≥0，求以曲线
y f x =()为曲边，底为[,]a b 的曲边梯形的面积A 。
1、化整为零 用任意一组分点
011n n a x x x x b -=<<<=L
将区间分成 n 个小区间
[,]x x i i -1，其长度为
1--=∆i i i x x x , ),,2,1(n i Λ=
记 },,,m ax {21n x x x ∆∆∆=Λλ 相应地，曲边梯形被划分成n 个
窄曲边梯形，第i 个窄曲边梯形的面积记为
),,2,1(n i A i Λ=∆。
于是 A A i i n
=
∑=∆1
2、以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值
∆∆A f x x x i n i i i i i i ≈∀∈=-()[,](,,,)ξξ112
3、积零为整，给出“整”的近似值
A f x i i i n
≈∑=()ξ∆1
小结：元素法的提出、思想、步骤 （注意微元法的本质）
4、取极限，使近似值向精确值转化
A f x f x dx i i i n
a
b =∑=⎰→=lim ()()λξ01∆
上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：(一)、若将[,]a b 分成部分区间[,](,,,)x x i n i i -=112 ，则A 相应地分成部分
量∆A i n i
(,,,)=12 ，而A A i i n
=∑=∆1
这表明：所求量A 对于区间[,]a b 具有可加性。
(二)、用
f x i i ()ξ∆近似∆A i ，误差应是∆x i 的高阶无穷小。
只有这样，和式f x i i i n
()ξ∆=∑1
的极限方才是精确值A 。
备注：
确定 ))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ∆=∆-∆∆≈∆ξξ是关键。
上述做法可进一步简化为
略去下标i ，用A ∆表示任一小区间[,]x x dx +上窄曲边梯形的面积，
这样 A A =∑∆一般地称()f x dx 为面积元素 记作 ()dA f x dx =
窄曲边梯形A ∆叫典型面积元素。
于是 ()A f x dx dA ≈∑=∑
lim ()()b
a
A f x dx f x dx =∑=⎰
通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。
二、元素法
1、能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件 (1)、U 与变量x 的变化区间[,]a b 有关； (2)、U 对于区间[,]a b 具有可加性； (3)、U 部分量∆U i 可近似地表示成
f x i i ()ξ⋅∆。
2、写出计算U 的定积分表达式步骤
(1)、根据问题，选取一个变量x 为积分变量，并确定它的变化区间[,]a b ；
(2)、设想将区间[,]a b 分成若干小区间，取其中的任一小区间[,]x x dx +，
求出它所对应的部分量∆U 的近似值
∆U f x dx ≈() ( f x ()为[,]a b 上一连续函数)
则称
f x dx ()为量U 的元素，且记作dU f x dx =()。
(3)、以U 的元素dU 作被积表达式，以[,]a b 为积分区间，得
()b
a
U f x dx =⎰
这个方法叫做元素法，其实质是找出U 的元素dU 的微分表达式
dU f x dx a x b =≤≤()() 因此，也称此法为微元法。
【例1】已知闸门上水的压强p (单位面积上压力的大小)是水深h 的函数，且3
(/)p h =吨米。
若闸门高3米，宽2米，求水面与闸门顶相齐时闸门所承受的水压力P 。
备注：
教 学 内 容 （教 学 时 数： ）
解：选择h 为积分变量，则 03≤≤h 位于水深h 与 h dh +之间的闸门所承受的水压力近似地为
dP h dh hdh =⋅=()22 故 (
3
3
20
29()P hdh h
=
==⎰
吨
( 注：这里，dP hdh =2是水压力元素 )
备注：
作业、讨论题、思考题：。