第1节 定积分的元素法
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定积分的元素法,平面图形的面积
•P(r, )
令
a
v
r .
r0
v
,
••
OM
x
特别地，当 r0 0 时，等速螺线的极坐标方程为 r a .
注：附录Ⅱ中常用的曲线的极坐标方程。
18
3．极坐标与直角坐标的关系
x r cos y r sin
r2 x2 y2
tan y
x
y
r
•
O
x
x, y
x
r ( )
d
O
21
例4 计算阿基米德螺线
r a (a 0)
上相应于 从0 变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积。
解：积分变量为 , 积分区间为
0,2 , 在此区间上任取小区间
2a
, d , 面积元素为
O
x
dA 1 (a )2 d
2
2
所以曲边扇形的面积为：
d
O
r ( )
x
圆扇形面积公式为 A 1 R2 2
A
1 (
2
)2
d
20
极 点 在 图 形 外 （ 曲 边 环扇 形 ）
面 积 元 素: 面积:
dA
1 2
出 (
)2 d
1 2
入
(
)2 d
A
1 2
0
0
3
9
例２ 计算抛物线 y2 2x与直线 y x 4 所围成的
图形的面积。
y
解（1） 解方程组
1.定积分的应用(面积)
y = x2
A = ∫0 ( x − x 2 )dx
2 3 x 1 = x2 − = . 3 0 3 3
3 1
1
x
x+dx
求面积的一般步骤： 求面积的一般步骤： 1.作图（如果需要求出交点）. 作图（如果需要求出交点） 作图 微元法 2.用定积分表示面积 用定积分表示面积. 用定积分表示面积 公式法
2）求出一个元素（如 f ( x )dx 称为量U 的元素 ）求出一个元素（ 且记作 dU ，即 dU = f ( x )dx ）；
3)化 为 定 积 分 U =
∫
b
a
du
定积分在几何 几何上的应用 第二节 定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积 1.直角坐标系情形 直角坐标系情形
y
y = f ( x)
π
π
3
o π
6
x
3 0
6 0
= − ∫ π sin xdx + ∫ 6 sin xdx
− 3 0
π
= cos x − π + ( − cos x ) 06
3
0
π
3− 3 = 2
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题： 问题：积分变量只能选 x 吗？
例 3
相当于定积分的换元） 连续. y = ψ (t )连续 （相当于定积分的换元）
x2 y2 的面积. 例 5 求椭圆 2 + 2 = 1的面积 a b x = a cos t 解 椭圆的参数方程 y = b sin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． 由对称性知总面积等于 倍第一象限部分面积． 倍第一象限部分面积
定积分的元素法
二、元素法 1. 能用定积分计算的量，应满足下列三个条件 (1) U 与变量人的变化区间［a ,b ］有关； (2) U 对于区间［a ,b ］具有可加性； (3) U 部分量A U .可近似地表示成f (& i) •电i 。
2. 写出计算U 的定积分表达式步骤 (1) 根据问题，选取一个变量x 为积分变量，并确定它的变化区间［a , b ］； (2) 设想将区间［a ，b ］分成若干小区间，取其中的任一小区间任，x + d ］, 求出它所对应的部分量A U 的近似值 A U 机f (x )dx ( f (x )为［a ,b ］上一连续函数) 则称f (x ')dx 为量U 的元素，且记作dU = f (x )dx 。
(3) 以U 的元素dU 作被积表达式，以［a , b ］为积分区间，得 U = f f (x )dx a 这个方法叫做元素法，其实质是找出U 的元素dU 的微分表达式 dU = f (x )dx (a < x < b ) 因此，也称此法为元素法。
课后作业教学后记 教学过程二、 体积1. 旋转体的体积求由曲线y = f (x ),直线x = a , x = b 及x 轴所围的曲边梯形绕x 轴旋转 一周而成的旋转体体积。
V =兀卜平2(y )dy 例5求y = x 3, x = 1及x 轴所围图形分别绕x 、y 轴旋转一周而成的旋转体体 积。
例6求y = sin x 和它在x = y 处的切线及x =兀所围图形绕x 轴旋转而成的 旋转体体积。
2. 截面积为已知的立体的体积 某立体的垂直于x (或y )轴的截面面积为已知，体积V = j b A(x)dx a 例7求以半径为R 的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h 的正劈 锥体的体积。
三、 平面曲线的弧长 1. 直角坐标情形 s — j b %：1 + (y 心dx a 例8求y — ln x 对应于13 < x 〈胰一段弧长。
高等数学上册第六章课件.ppt
(2 , 2)
4
AdA ( y 4 12 y 2 ) d y
2
18
(8 , 4)
x
第二节 定积分在几何中的应用
例
求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA
ydx 0 a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
a
2
4a
X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：
y 2 ( x)
b
b
Vx π ( x)dx π ( x)dx
a
b
2
2
a
2
1
2
2
y 1 ( x)
π [2 ( x) 1 ( x)]dx
a
a
bx
Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：
d
Vy π [ g g ]dy
2
5 3 1 π
32π a sin u du 32π a 5π 2 a3
0
6 4 2 2
3
2
6
3
第二节 定积分在几何中的应用
y
x x2 ( y )
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
π
π a 2 (t sin t ) 2 a sin t d t
2π
o
πa
πa
4 2 2
2
所围图形的
(利用对称性)
d
o
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
2
2
2
x y ax a x y
2
即 r a(1 cos )
4
AdA ( y 4 12 y 2 ) d y
2
18
(8 , 4)
x
第二节 定积分在几何中的应用
例
求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA
ydx 0 a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
a
2
4a
X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：
y 2 ( x)
b
b
Vx π ( x)dx π ( x)dx
a
b
2
2
a
2
1
2
2
y 1 ( x)
π [2 ( x) 1 ( x)]dx
a
a
bx
Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：
d
Vy π [ g g ]dy
2
5 3 1 π
32π a sin u du 32π a 5π 2 a3
0
6 4 2 2
3
2
6
3
第二节 定积分在几何中的应用
y
x x2 ( y )
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
π
π a 2 (t sin t ) 2 a sin t d t
2π
o
πa
πa
4 2 2
2
所围图形的
(利用对称性)
d
o
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
2
2
2
x y ax a x y
2
即 r a(1 cos )
高数第六章第一次定积分的计算面积
o
x
A 1 R2
2 21
四、极坐标系下求平面图形的面积
A
1 2
[
2 2
(
)ห้องสมุดไป่ตู้
12
(
)]d
y x A1
r 1( )
o
2 a2 cos 2
r 2( )
x
例 4 求双纽线 2 a 2 cos 2 所围平面图形的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积
A 4A1
A 4 4 0
o
0 ,0 2
例
点M的极坐标为
(5, ) 3
求其直角坐标.
解：点M的直角坐标： ( x, y) (cos,sin)
(5cos ,5sin )
3
3
2020/6/12
(5,5 3) 22
M (, )
M(x，y）
x
16
三、极坐标系
3、极坐标与直角坐标的互化
(2) 由直角坐标化极坐标
U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部
分量之和；
（3）部分量Ui的近似值可表示为 f (i )xi；
就可以考虑用定积分来表达这个量U 。
2020/6/12
5
一、问题的提出
元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为 积分变量，并确定它的变化区间[a, b] ；
2）设想把区间[a, b]分成n个小区间，取其中任 一小区间并记为[ x, x dx]，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值.如果U 能近似地表示 为[a, b]上的一个连续函数在 x处的值 f ( x)与dx 的乘积，就把 f ( x)dx称为量U 的元素且记作 dU ，即dU f ( x)dx；
定积分元素法课件
02
确定被积函数
03
建立积分方程
根据物理或工程问题的数学模型 ，确定被积函数，即需要求解的 未知函数。
根据定积分的定义和性质，将问 题转化为数学模型中的积分方程 。
离散化方程的推导
离散化方法
将连续的积分元素离散化为有限个离散点，常用的离散化方法有矩形法、三角形法等。
离散化方程推导
根据离散化方法和定积分的性质，推导离散化方程，即将积分方程转化为有限元方程。
二维问题的求解
总结词
定积分元素法在解决二维问题时，通过 将二维平面离散化为网格，将复杂的二 维积分运算转化为一系列的一维积分运 算，降低了求解难度。
VS
详细描述
二维问题涉及平面上的形状、面积、体积 等的求解。定积分元素法将二维平面离散 化为网格，每个网格点上的积分值相等。 通过求解每个网格点的积分值，再求和得 到整体解。这种方法简化了二维积分运算 ，提高了计算精度和效率。
三维问题的求解
总结词
定积分元素法在解决三维问题时，通过将三 维空间离散化为体素，将复杂的三维积分运 算转化为一系列的二维积分运算，降低了求 解难度。
详细描述
三维问题涉及空间中的形状、体积等的求解 。定积分元素法将三维空间离散化为体素， 每个体素上的积分值相等。通过求解每个体 素的积分值，再求和得到整体解。这种方法 简化了三维积分运算，提高了计算精度和效 率。
步骤 1. 将问题分解为若干个元素或单元；
定积分元素法的应用场景
物理问题
定积分元素法广泛应用于物理问题的求解 ，如静力学、动力学、热力学等领域。
工程问题
在土木工程、机械工程、航空航天等领域 ，定积分元素法也被广泛应用。
数值分析
在数值分析中，定积分元素法是数值求解 微分方程的重要方法之一。
数学分析定积分应用讲课文档
y
星形线
(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆内缘无滑动地
滚动，动圆圆周上任一点
P
所画出的曲线。
2
2
2
x3 y3 a3
或
. . –a
o
ax
x a cos 3
y
a
sin
3
0 2 .
第三十一页，共83页。
例3 求曲线y段 x2,x[0,1],与直线 y0, x1所围图形分x轴 别, y绕 轴旋转所得旋 转体体积。
一拱与 y 0所围成的图形分别绕 x轴、y轴旋转
构成旋转体的体积.
y( x)
解 绕 x 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积
Vx
2a
y2
(x)dx
0
a
2a
2 a 2 (1 cto )2a s (1 cto )dst 0
a 32 ( 1 3 cto 3 c s2 o t c s3 o t) d s5t2a3. 0
[x, x+dx] (区间微元)，
用A表示[x, x+dx]上的小曲边梯形的面积， (2) 近似. 计算A的近似值 Af(x)dx
并记dA f(x)dx称为面积面微元积y元素yfx
(3) 求和. (4) 求极限.
则 Aa bf(x)d x
0 a x x+dx b x
这种方法通常称为微元法或元素法
第四页，共83页。
4ab2.
3
(3) 绕y c旋转所得旋转体体积
d c V a ba2x2c 2 a ba2x2c 2 dx
dV c 4baca2x2dx
2c a.b
V c4a b2 c0 a第三十五a 页，2 共8 3页。 x2d x22ab . c
定积分元素法课件
元素法的应用范围
01 02 03
适用于被积函数为连续函数的定积 分计算。
适用于被积函数为分段函数的定积 分计算。
适用于被积函数为周期函数的定积 分计算。
03
元素法的具体应用
求解定积分的具体方法
01
矩形法
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，用
矩形近似代替该小区间上的曲线，求出矩形面积之和，即得定积分的近
计算方法则是通过数值计算方法（如梯形法、辛普森法等）来求解近似值。 • 两者都可以得到较为精确的结果，但数值计算方法需要更多的计算量。
元素法与物理方法的比较研究
元素法是通过数学模型和数值计 算方法来得到近似解，而物理方 法则是通过实验测量数据来得到 近似解。
在求解积分问题时，物理方法通 常是通过实验测量数据来得到近 似解。
元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积 函数，从而将积分转化为求和。
微积分提供了一般的理论框架，而元素法是一种具体的计算方法，两者相辅相成。
元素法与数值计算方法的比较研究
• 数值计算方法是一种通过数值计算求解数学问题的方法，包括数值积分、数值微分、数值求解方程等。 • 元素法与数值计算方法在求解积分问题时，都采用了近似代替的方法。 • 元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积函数，从而将积分转化为求和。而数值
近似方法的选取
根据具体问题的特点，选择合适的近 似方法（矩形法、梯形法或辛普森法 ），以保证近似值的精度和计算效率 。
求解定积分的实例分析
计算定积分$\int_{0}^{1}e^{x}dx$
通过矩形法、梯形法和辛普森法分别计算该定积分的近似值，并比较其精度和计算效率 。
定积分的元素法
课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课 时 计 划 ( 教 案 ) 一、()()=n y f x 型的微分方程 解法: 积分n 次 1)1()(C dx x f y n +=⎰-, 21)2(])([C dx C dx x f y n ++=⎰⎰-, …… 例1 求微分方程y '''=e 2x cos x 的通解.。
例2 求微分方程x x y cos sin -=''满足初始条件1)0(,2)0(='=y y 的特解。
二、),(y x f y '=''型的微分方程 解法: 设y '=p 则方程化为 p '=f (x , p ). 设p '=f (x , p )的通解为p =(x ,C 1), 则 ),(1C x dx dy ϕ=. 原方程的通解为21),(C dx C x y +=⎰ϕ. 例3 求微分方程 (1x 2)y ''=2xy 满足初始条件 y |x =0=1, y '|x =0=3的特解. 例4设由一质量分布均匀，柔软的细绳，其两端固定，求它在自身重力作用下的曲线方程．三、),(y y f y '=''型的微分方程 解法: 设y '=p ,有dy dp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==''. 原方程化为 ),(p y f dydp p =. 设方程),(p y f dy dp p =的通解为y '=p =(y , C 1), 则原方程的通解为21),(C x C y dy +=⎰ϕ. 例5 求微分yy ''y '2=0的通解。
四、习题讲解329P Ex2（5）（6），4五、课堂小结、布置作业课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )。
第一节 定积分的元素法
大的曲边梯形也就分成了 n 个小的曲边梯形，
n
y
A Ai ;
i 1
Step2 近似
y f (x)
Ai f (i )xi (xi1 i xi ) ;
Step3 求和
n
Oa
bx
A f (i )xi ;
i 1
lim Step4 取极限
n
b
A
0
f (i )xi
i 1
a
f (x)dx .
把区间[a , b] 而 U等于所有部分量的和.
(3) 那么 U 可用元素法计算.
第一节 定积分的元素法
元素法的步骤：
Step1 选取积分变量 选择一个变量(例如 x) 作为积分
变量，并确定它的变化区间 [a , b];
Step2 求元素 设想把区间 [a , b] 分成 n 个小区间，
取其中任一小区间并记作 [x , x + x]，求出相应于这个
第一节 定积分的元素法
一、引例
二、元素法的步骤
第一节 定积分的元素法
一、引例
引例 曲边梯形的面积
回顾第五章第一节，曲边梯形的面积计算：
b
y
A a f (x)dx .
y f (x)
得到上述计算公式的步骤如下： Oa
A
bx
第一节 定积分的元素法
Step1 分割 把区间 [a , b] 任意分成 n 个小区间，
小区间的部分量 U 的近似值 dU = f (x) dx ；
U的元素
Step3 构造定积分
U
bf (x)dx .a来自第一节 定积分的元素法
在工程技术中，如旋转体的体积、平行截面面积 为已知的立体立体、曲线构件的长度、变力沿直线所 作的功、水压力、引力等，这些量的计 算都要用这种 方法转化为定积分的计算.
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x 为积
2）设想把区间[a , b]分成 n 个小区间，取其中任一 小区间并记为 ห้องสมุดไป่ตู้ x , x dx ]，求出相应于这小区间的部 分量 U 的近似值.如果 U 能近似地表示为 [a , b] 上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积， 就把 f ( x )dx 称为量 U 的元素且记作dU ，即 dU f ( x )dx ；
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的
一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为
定积分定义
高等数学
●
戴本忠
二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量 的 微分表达式 近似值
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
高等数学
●
戴本忠
3）以所求量U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在区间
[a , b]上作定积分，得 U a f ( x )dx ，
即为所求量 U 的积分表达式.
b
这个方法通常叫做元素法．
微元的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压 力；引力和平均值等．
高等数学
●
戴本忠
作业
• 无
高等数学
●
戴本忠
高等数学
●
戴本忠
第一节 定积分的元素法
第六章
一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ?
高等数学
●
戴本忠
第一节 定积分的元素法
教学目的： 要求准确理解“元素法”的基本思想和 步骤。 注意事项： 所求量在某个确定的区间上具有可加性 时才能用定积分的元素法。
高等数学
●
戴本忠
一、什么问题可以用定积分解决 ?
d U f ( x ) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 精确值 积分表达式
U a f ( x ) dx
这种分析方法成为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
高等数学
●
b
戴本忠
元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 分变量，并确定它的变化区间[a , b]；
第六章 定积分的应用
利用元素法解决:
定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用
高等数学
●
戴本忠
主要内容
微元法的思想． 直角坐标、极坐标情形下平面图形的面积 旋转体、平行截面面积为已知的立体的体 积 物理应用，功、水压力和引力
高等数学
●
戴本忠
难点
平面图形面积，弧长等几何应用上微元法 的灵活应用 功、水压力和引力等物理应用上微元法的 灵活应用