高数 定积分的元素法

阐述定积分的元素法的思想和原理
定积分的元素法是用定积分的等价形式，将一个积分分解为多个重
叠的小积分的和的形式，但是不要如中等分的形式一样分开，元素法
的本身是一种重叠分解，它实质上是求取某一复合积分的变形，针对
某些特殊函数，能够均匀分割并求取数值近似解，从而求出某一复杂
函数的积分值。

元素法遵循思想：
设某积分为I，用元素法求某积分I时，把它分成m个子区间，m越大，精度越高。

在每一个子区间上取一个求积分值的小积分，将子区间间
的连续重叠，而且分段重叠仅有一段，把积分I的连续重叠段的平均值记为I, 给出I的连续重叠长度。

如果函数f(x)在每个子区间上用抽样点
估算，则可将I写成抽样点的积分，从而将该积分整体化统一求取，有利于计算机程序的实施。

可以将I=f(x)dx变换为形如：
I=f1(x1)h1+f2(x2)h2+……+fn(xn)hn，
其中fi为子区间第i段上的抽样函数，x1、x2、…、xn为抽样点，h1、h2、…、hn为对应的抽样点的子区间宽度。

因此，用元素法求取积分I的过程就是：根据某个给定的误差限度取每一个子区间的宽度；根据适当的抽样函数，选取各个子区间的抽样点；求出子区间上的小积分；并将其求和即可得到积分I的近似值。

定积分元素法量积分，即定积分，是高等数学中非常重要的一部分，定积分的定义是对一个函数在某个区间上的面积或体积的精确计算。

然而，当我们面对复杂的函数求解时，使用定积分的定义进行计算是非常困难的。

因此，我们需要寻找一些方法来简化计算。

其中一个常用的方法就是定积分元素法。

本文将会介绍该方法的原理和实际应用。

一、原理定积分元素法是使用微小区间来逼近整个区间的方法。

我们将该区间划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，然后选择每个小区间上的一个点，记为xi。

那么，将定积分转化为求和公式可以表示为：∫a^b f(x)dx = lim(Δx -> 0) Σf(xi) Δx其中，Δx = (b - a)/n。

这个公式就是定积分元素法的基本公式。

二、分点方法分点方法是定积分元素法中的一种特殊方法。

在该方法中，我们将整个区间内的点分为两类：第一类为端点，第二类为非端点。

然后，将除了端点以外的点均匀地划分为n-1个点，并且从小到大排列。

最后，根据定积分元素法的基本公式进行求和即可。

下面以求解f(x) = x^2在[0,1]上的定积分为例，解释如何使用分点方法计算。

（1）将整个区间内的点分为端点和非端点，因为本题是[0,1]，所以0和1为端点，非端点为所有不等于0和1的点。

（2）将非端点均匀地划分为n-1个点，这里我们假设n=3，那么非端点为0.25和0.75，它们被均匀地划分为2个点，即0.5和0.5。

（3）将所有点按照从小到大排序，那么排序后的点为0，0.5，0.5，1。

（4）根据定积分元素法的基本公式进行求和：∫0^1 x^2 dx = lim(Δx -> 0) Σ f(xi) Δx = lim(Δx -> 0) [f(0)Δx + f(0.5)Δx + f(0.5)Δx +f(1)Δx] = lim(Δx -> 0) [(0^2)Δx + (0.5^2)Δx + (0.5^2)Δx + (1^2)Δx] = lim(Δx -> 0) [(0.25Δx + 0.25Δx) + (0.25Δx + 0.25Δx) + (0.25Δx +0.25Δx) + (0.25Δx + 0.25Δx)] = lim(Δx -> 0)[1/4 Δx + 1/4 Δx + 1/4 Δx + 1/4 Δx] = lim(Δx -> 0) Δx/4 = 1/3因此，f(x) = x^2在[0,1]上的定积分为1/3。

高等数学讲义Higher Mathematics Materials(第六章定积分的元素法及其应用 )第六章定积分的元素法及其应用一、平面图形的面积1. 直角坐标系下的面积公式1 由连续曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成的面积为：⎰⎰⎰-+-=ca d c bd dx x f dx x f dx x f A )()()( （1） 例1 求椭圆 22221,(0,0)x y a b a b +=>>的面积 解 由对称性，知 14A A =上半椭圆方程为22b y a x a=- dx x a a b dx x a a b A a a ⎰⎰-=-=⇒0222201 ＝.44,4)2arcsin 2(10222ab A A ab x a x a x a a b a ππ==⇒=-+ 例2 求由0,4,1,232===-+=y x x x x y 所围成的面积.解 4)1(2+--=x y 为开口向下，顶点为)4,1(的抛物线，故⎰⎰⎰+==433141dx y A ＝⎰⎰-+--+432312)23()23(dx x x dx x x ＝323 2 设)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，且 []b a x x f x g ,),()(∈≤，则由b x a x x g y x f y ====,),(),(，所围成的面积为：=A []()()ba f x g x dx -⎰ （2） 注：公式（2）对于)()(x g x f <有正有负的情形也成立.例3 求由1,,===-x e y e y x x 所围成的面积.解 由公式（2），得.21)(10-+=-=⎰-e e dx e e A x x 3 求由曲线)(),(y x y x ψϕ==及直线d y c y ==,所围成的面积为[]dy y y A dc ⎰-=)()(ψϕ （3） 例4 求由2,,1===y x y xy 所围的面积.解 由公式（3），得.2ln 23)1(21-=-=⎰dy y y A 二 定积分的微元法2.极坐标下的面积公式1 先介绍定积分的元素法（微元法）讲定积分概念时，为了求某个不均匀分部的整体量A ，是分四步解决的，即分割（将整体化为局部，即化整为零）——近似代替(局部范围“以直代曲”，“以匀代不匀”，近似求出各部)——求和（积零为整）——取极限（由近似到精确），最后得到整体量.实际问题中，往往将其简化为两步，即第一步：无限细分区间[]b a ,，考虑任意份[]x x x ∆+,，或[]dx x x +,，“以不变代变”，“以匀代不匀”，写出量A 的局部量的近似值：dA dx x f x x f A ==∆≈∆)()(——称为A 的元素或微元.第二步：无限求和，即将dA 沿[]b a ,相加，得到定积分⎰⎰=ba ba dx x f dA )(，这就是整体量. 由以上两步完成的求和方法，称为微元法.例如 求由连续曲线[]b a x x f y ,,0)(∈≥=及直线x b x a x ,,==轴所围成曲边梯形的面积.解 由微元法，在[]b a ,上任取一点x 使这点具有小区间的意义，其长为dx ，做一高为)(x f ，“底边长”为dx 的小矩形，其面积为dA ，则dA dx x f dA ,)(=叫该图形在点x 的面积微元.将[]b a ,上的每一点的面积微元无限累加，及连续作和，便得到曲边梯形的面积⎰⎰==ba ba dx x f dA A .)( 用微元法同样可求变速直线运动所走路程为：ds dt t v ds S ba ba (,)(⎰⎰==叫路程微、元） 2极坐标系下的面积公式设有一条连续曲线，其坐标方程为：)(θr r =，求曲线)(θr r =及两个向径βθαθ==,所围成的面积A （曲边扇形）.解 用微元法.分割区间[]βα,，任取一份[]θθθd +,，在这一份上，以小圆弧代替小曲线弧，得到面积微元 θθθd r rd r dA )(21212=⋅= （扇形面积＝21半径⨯弧长），再将dA 在[]βα,上无限求和，得到θθθθβαβαd r d r A )(21)(2122⎰⎰== （4） 例5 求)0(,cos 2>=a a r θ围成圆的面积.解 0,cos 0,()22r ππθθ≥∴≥-≤≤，代公式（4），得 θθθθππππd a d r A 2222222cos 421)(21⎰⎰--== ＝.221422a a ππ=⋅⋅ 0<a 时，曲线所围面积相同.例6 求阿基米德螺线θa r =上相应于θ从0到π2一段弧于极轴所围成的图形的面积.解 πθ20≤≤，代公式（4），得3220322202202343221)(21πθθθθθπππa a d a d r A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡===⎰⎰ 三、体积1.旋转体的体积旋转体——连续曲线)(),(b x a x f y ≤≤=绕x 轴旋转一周所生成的体积.过[]b a ,上任一点x ，在小区间[]dx x x +,，的小曲边梯形绕x 轴旋转而成薄扁体积近 似于，以)(x f 为底半径，dx 为高的扁圆柱体的体积，即体积微元[]dx x f dv 2)(π=，将dv 在[]b a ,上累加，即得旋转体体积. []dx x f dv V b a b a 2)(⎰⎰==π （5）注：由连续曲线)(),(d y c y x ≤≤=ϕ绕y 轴旋转一周所产生得旋转体体积为=V []dy y d c 2)(⎰ϕπ （6） 例7 求由椭圆12222=+b y a x 绕x 轴旋转所成旋转体的体积（椭球）. 解 上半椭圆的方程为：a x a x a ab y ≤≤--=,22，代入公式（5），得.343)(232222222ab x x a a b dx x a a b V a a a a πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=--⎰ 绕y 轴旋转椭球体积为：b a V 234π= 特例：当b a =时，球体体积为：334a V π=2.已知平行截面面积，求立体体积设空间某立体是由一曲面和垂直于x 轴的平面b x a x ==.所围成.假设过点x 垂直于x 轴的截面面积)(x A 在[]dx x x +,上薄片体积微元dx x A dv )(=，（如油炸土豆片），将dv 沿[]b a ,求和（薄片相加），得⎰=ba dx x A V )( （7）例8 求“圆柱楔形段”的体积.解 截面为三角形，其面积为：ααtan 21tan 21)(2y y y x A =⋅⋅= 底圆的方程是222R y x =+)(tan 21)(22x R x A -=∴α，代入公式（7），得所求体积.tan 32)(tan 21)(322ααR dx x R dx x A V R R R R =-==⎰⎰--三、平面曲线的弧长设弧的两端B A ,，取分点B M M M M M M M A n n i i ==--,,,,,,,11210依次连折线，如分点无限增加，且每小段弧1i i M M -，缩为一点时，折线长∑=-11i i i M M n 的极限为曲线弧AB 的弧长. 定理 光滑曲线是可求长的.1 直角坐标情形设曲线弧的直角坐标方程为)(),(b x a x f y ≤≤=其中)(x f 在[]b a ,上具有一阶连续导数，取曲线弧上任一小区间[]dx x x +,对应的弧，可用曲线在点 [,()]x f x 处切线上相应一段长近似代替，即222()()1ds dx dy y dx '≈+=+，在闭区间[]b a ,上作定积分，得所求弧长dx y S ba ⎰'+=21例9 计算曲线2332x y =上x 从a 到b 的一段弧长. 解 21x y ='，)1(112x d x dx y S b a ba ++='+=⎰⎰＝.)1()1(32)1(32232323⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=+a b x ba 例10 求悬链线cx chc y ⋅=在[]b b ,-上的弧长. 解 由对称性，先计算[]b ,0的一段长，c x sh y =' dx c x sh S b⎰+=0212dx cx ch b ⎰=02 ＝02()2.b x x b cch d c sh c c c =⋅⎰ 2参数方程情形设曲线弧的参数方程是 βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x ,)()( 其中)(),(t t ψϕ在[]βα,上具有连续导数，在相应[]βα,上任一区间[]dt t t +,的小弧段长度的近似值（弧微分）为dt t t dt t dt t dy dx ds )()())(())(()()(22222222ψϕψϕ'+'='+'=+=于是所求弧长 dt t t S ⎰'+'=βαψϕ)()(22例11 计算摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (θθθa y a x 的一拱πθ20(≤≤)的长度.解 弧长元素θθθθθθθd a d a d a a ds 2sin2)cos 1(2sin )cos 1(2222=-=+-=所求弧长为 a a d a S 8)2cos 2(22sin22020=-==⎰ππθθθ 3极坐标情形设曲线弧由极坐标方程 βθαθ≤≤=),(r r 给出.由直角坐标与极坐标的关系，可 得βθαθθ≤≤⎩⎨⎧==,sin cos r y r x 22222222()()(cos sin )()(sin cos )()()().ds dx dy r r d r r d r r d θθθθθθθθθ'''=+=-++=+⋅这是以极角θ为参数的曲线弧的参数方程，从而所求弧长为:.)()(22θθθβαd r r S ⎰'+=复 习 题 A1 . （1）(3) 3.（2）（4）5.。