平方差公式完全平方公式拓展

平方差和完全平方公式及经典例题专题一：平方差公式例1：计算下列各整式乘法。

①位置变化$(7x+3y)(3y-7x)$②符号变化$(-2m-7n)(2m-7n)$③数字变化$98\times102$④系数变化$(4m+n)(2m-n)-24$⑤项数变化$(x+3y+2z)(x-3y+2z)$⑥公式变化$(m+2)(m-2)(m^2+4)$变式拓展训练：变式1】$(-y-x)(-x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$变式2】$(2a-\frac{b}{3})^2-\frac{(b-4a)^2}{33}$变式3】$1002-992+982-972+\cdots+22-12$专题二：平方差公式的应用例2：计算$2004-2004^2\times2005\times2003$的值为多少？变式拓展训练：变式1】$(x-y+z)^2-(x+y-z)^2$变式2】$301\times(302+1)\times(302^2+1)$变式3】$(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)$变式4】已知$a$、$b$为自然数，且$a+b=40$。

1）求$a^2+b^2$的最大值；（2）求$ab$的最大值。

专题三：完全平方公式例3：计算下列各整式乘法。

①位置变化：$(-x-\frac{y}{2})(\frac{y}{2}+x)$②符号变化：$(-3a-2b)^2$③数字变化：$197^2$④方向变化：$(-3+2a)^2$⑤项数变化：$(x+y-1)^2$⑥公式变化$(2x-3y)^2+(4x-6y)(2x+3y)+(2x+3y)^2$变式拓展训练：变式1】$a+b=4$，则$a^2+2ab+b^2$的值为（）A.8B.16C.2D.4变式2】已知$(a-b)^2=4$，$ab=12$，则$(a+b)^2$=_____变式3】已知$x+y=-5$，$xy=6$，则$x^2+y^2$的值为（）A.1B.13C.17D.25变式4】已知$x(x-1)-(x^2-y)=-3$，求$x^2+y^2-2xy$的值专题四：完全平方公式的运用例4：已知：$x+y=4$，$xy=2$。

平方差公式和完全平方差公式
1、公式不同
完全平方差公式：（a-b）²=a²-2ab+b²。

平方差公式：a²-b²=（a+b）（a-b）。

2、计算具体数据结果不同（若a=2，b=1）
完全平方差公式：（a-b）²=a²-2ab+b²=1。

平方差公式：a²-b²=（a+b）（a-b）=3。

3、表达意思不同
完全平方差公式：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。

平方差公式：指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差。

完全平方公式口诀：
首平方，尾平方，首尾相乘放中间。

或首平方，尾平方，两数二倍在中央。

也可以是：首平方，尾平方，积的二倍放中央。

（a±b）²=a²±2ab+b²
同号加、异号减，负号添在异号前。

1
即（a+b）²=a²+2ab+b²（a-b）²=a²-2ab+b²
注意：后面一定是加号。

2。

平方差公式与完全平方公式平方差公式：22))((b a b a b a -=-+说明：相乘的两个二项式中，a 表示的是完全相同的项，+b 和-b 表示的是互为相反数的两项。

所以说，两个二项式相乘能不能用平方差公式，关键看是否存在两项完全相同的项，两项互为相反数的项。

熟悉公式：例：(3a+2b)(3a-2b)中 3a 是公式中的a ， 2b 是公式中的b(a 2+b 2)(a 2-b 2)中 a 2 是公式中的a ， b 2是公式中的b(2a+b-c)(2a+b+c)中 2a+b 是公式中的a ， c 是公式中的b 把下列空补充完整：(5+6x)(5-6x)中 是公式中的a ， 是公式中的b (5+6x)(-5+6x)中 是公式中的a ， 是公式中的b (x-2y)(x+2y)中 是公式中的a ， 是公式中的b (-m+n)(-m-n)中 是公式中的a ， 是公式中的b（a+b+c ）（a+b-c)中 是公式中的a ， 是公式中的b （a-b+c ）(a-b-c)中 是公式中的a ， 是公式中的b 例1：计算下列各题（a+3）(a-3)=a 2-32=a 2-9 (2x+21)(2x-21)=(2x)2-(21)2=4x 2-161仿练：( 2a+3b)(2a-3b)= (1+2c)(1-2c)= (-x+2)(-x-2)= (a+2b)(a-2b)= 例2：计算下列各题：1998×2002 =(2000-2)(2000+2)=20002-22=4000000-4=3999996 仿练： 1.01×0.99 = （20-91）×（19-98）= 例3：计算下列各题（a+b)(a-b)(a 2+b 2)=(a 2-b 2)(a 2+b 2)=(a 2)2-(b 2)2=a 4-b 4仿练：(a+2)(a-2)(a 2+4)= (x-12)(x 2+ 14)(x+ 12)= 例4：计算下列各题（-2x-y ）(2x-y)=（-y-2x)(-y+2x)=(-y)2-(2x)2=y 2-4x 2 (4a-1)(-4a-1)=(-1+4a)(-1-4a)=(-1)2-(4a)2=1-16a 2仿练：(y-x)(-x-y)= (-2x+y)(2x+y)= (b+2a)(2a-b)= (a+b)(-b+a)= 例5；计算下列各题（a+2b+c ）(a+2b-c)=[(a+2b ）+c][(a+2b)-c]=(a+2b)2-c 2=a 2+4ab+b 2-c 2仿练：(a+b-3)(a-b+3)= (m-n+p)(m-n-p)=练习：1、(1)(1)x x +-2、(21)(21)x x +-3、(5)(5)x y x y +-4、(32)(32)x x +-5、(2)(2)b a a b +-6、(2)(2)x y x y -+--7、()()a b b a +-+8、()()a b a b ---9、(32)(32)a b a b +-10、5252()()a b a b-+11、(25)(25)a a +-12、(1)(1)m m ---13、11()()22a b a b ---14、(2)(2)ab ab ---15、10298⨯16、97103⨯17、4753⨯18、22()()()a b a b a b +-+19、(32)(32)a b a b +-20、(711)(117)m n n m ---21、(2)(2)y x x y ---22、(4)(4)a a +-+23、(25)(25)a a -+24、(3)(3)a b a b +-25、(2)(2)x y x y +-完全平方公式完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 注意不要漏掉2ab 项（a 为首，b 为尾）口诀：首平方，尾平方，首尾之积二倍加减放中央（4m+n ）2中 4m 是公式中的a ， n 是公式中的b(-a-b)2中 -a 是公式中的a ， b 是公式中的b(a+b-c)2中 a 是公式中的a ， b-c 是公式中的b 或者(a+b-c)2中 a+b 是公式中的a ， c 是公式中的b 仿练： (y-21)2中 是公式中的a ， 是公式中的b （b-a ）2中 是公式中的a ， 是公式中的b(2a-b+c)2中 是公式中的a ， 是公式中的b 熟悉公式变形1、a 2+b 2=(a+b)2 -2ab =(a-b)2+2ab2、（a-b ）2=(a+b)2 -4ab ; (a+b)2=(a-b)2+4ab3、(a+b)2 +（a-b ）2= 2a 2+2b 24、(a+b)2 --（a-b ）2= 4ab 例1：计算下列各题2)(y x +=x 2+2xy+y 2 2)23(y x - =(3x)2-2(3x)(2y)+(2y)2=9x 2-12xy+4y 2仿练：2)21(b a += 2)12(--t = 2)313(c ab +-=2)2332(y x += 2)121(-x = (0.02x+0.1y)2=例2：利用完全平方公式计算： 1022=（100+2)2=1002+2×100+221972=(200-3)2=2002-2×200×3+32仿练：982= 2032=练习：计算 1、2(1)p + 2、2(1)p - 3、2()a b - 4、2()a b + 5、2(2)m + 6、2(2)m -7、2(4)m n +8、21()2y -9、2(3)x y -10、2(2)a b --11、21()a a+12、2(52)x y --13、2(2)a b -14、21()2x y -15、2(23)a b +16、2(32)x y -17、2(2)m n --18、2(22)a c +19、2(23)a -+20、21(3)3x y +21、2(32)a b +22、222()a b -+23、22(23)x y --24、2(1)xy -25、222(1)x y -添括号法则如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；•如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 也是：遇“加”不变，遇“减”都变．例：)(c b a c b a ++=++ )(c b a c b a +-=--练习运用法则：（1）a+b-c=a+（ ） （2）a-b+c=a-（ ） （3）a-b-c=a-（ ） （4）a+b+c=a-（ ） 2．判断下列运算是否正确． （1）2a-b-2c =2a-（b-2c） （2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b ） （3）2x-3y+2=-（2x+3y-2） （4）a-2b-4c+5=（a-2b ）-（4c+5）在公式里运用法则例：计算：（1）（x+2y-3）（x-2y+3）=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]=x 2-(2y-3)2=x 2-(4y 2-12y+9)=x 2-4y 2+12y-9 （2）（a +b +c ）2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c 2=a 2+2ab+b 2+2ac+2bc+c 2（3）（x +5）2-（x-2）（x-3）=x 2+10x+25-(x 2-5x+6)=x 2+10x+25-x 2+5x-6=15x+19练习：计算：（x +3）2-x 2 2)2(c b a +- 22)()(c b a c b a ---++。

典例剖析专题一：平方差公式例1：计算下列各整式乘法。

①位置变化(73)(37)x y y x +- ②符号变化(27)(27)m n m n ---③数字变化98102⨯ ④系数变化(4)(2)24n n m m +-⑤项数变化(32)(32)x y z x y z ++-+⑥公式变化2(2)(2)(4)m m m +-+◆变式拓展训练◆【变式1】2244()()()()y x x y x y x y ---+++【变式2】22(2)(4)33bba a ---【变式3】22222210099989721-+-++-…专题二：平方差公式的应用例2:计算22004200420052003-⨯的值为多少？◆变式拓展训练◆【变式1】22()()x y z x y z -+-+-【变式2】2301(3021)(3021)⨯+⨯+【变式3】(25)(25)x y z x y z +-+-++【变式4】已知a 、b 为自然数，且40a b +=， （1)求22a b +的最大值;(2)求ab 的最大值。

专题三:完全平方公式例3:计算下列各整式乘法.①位置变化：22()()x y y x --+②符号变化：2(32)a b --③数字变化：2197④方向变化：2(32)a -+⑤项数变化：2(1)x y +-⑥公式变化22(23)(46)(23)(23)x y x y x y x y -+-+++◆变式拓展训练◆【变式1】224,2a b a ab b +=++则的值为（ ）A 。

8 B.16 C 。

2 D.4【变式2】已知221() 4.,()_____2a b ab a b -==+=则 【变式3】已知225.6,x y xy x y +=-=+则的值为（ ）A 。

1 B.13 C 。

17 D 。

25【变式4】已知222(1)()32x x x y x y xy ---=-+-，求的值专题四：完全平方公式的运用例4:已知：4,2x y xy +==,求：①22x y +； ②44x y +； ③2()x y -◆变式拓展训练◆【变式1】2242411310,;x x x x x x-+=++已知求①②【变式2】225,2,4xy x y x y x y x y ++=++已知满足求的值。

平方差和完全平方公式经典例题专题一：平方差公式我们来计算下列各整式乘法：①位置变化：$(7x+3y)(3y-7x)$改写为：$(3y-7x)(7x+3y)$③数字变化：$98\times102$改写为：$(100-2)\times(100+2)$②符号变化：$(-2m-7n)(2m-7n)$改写为：$-(2m-7n)(2m-7n)$④系数变化：$(4m+)(2m-)$这一段明显有问题，删除。

⑤项数变化：$(x+3y+2z)(x-3y+2z)$ 改写为：$(x+2z+3y)(x+2z-3y)$⑥公式变化：$(m+2)(m-2)(m+4)$改写为：$(m^2-4)(m+4)$变式拓展训练：变式1】$(-y-x)(-x+y)(x+y)(x+y)$变式2】$(2a-)-(-4a)$专题二：平方差公式的应用我们来计算 $2\frac{2}{4b^3}$ 的值：改写为：$\frac{2}{4}\times\frac{1}{b}\times\frac{1}{b}\times\frac{1}{b} \times\frac{1}{b}\times b^2$化简得：$\frac{1}{2b^2}$变式拓展训练：变式1】$(x-y+z)-(x+y-z)$变式2】$301\times(302+1)\times(302+1)222$变式3】$(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)$专题三：完全平方公式我们来计算下列各整式乘法：①位置变化：$(-x-y)(y+x)$改写为：$(x+y)(x+y)$③数字变化：$1972^2$改写为：$(2000-28)^2$②符号变化：$(-3a-2b)^2$改写为：$(3a+2b)^2$④方向变化：$(-3+2a)^2$改写为：$(2a-3)^2$⑤项数变化：$(x+y-1)$这一段明显有问题，删除。

⑥公式变化：$(2x-3y)+(4x-6y)(2x+3y)+(2x+3y)^2$改写为：$9x^2-10xy+9y^2$变式拓展训练：变式1】已知 $a+b=4$，则$a+2ab+b$ 的值为？解：$a+2ab+b=a+b(2a+1)=4(2a+1)=8$答案为 A。

完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b22 23（1（24由（由5（a+b（a－a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

二．例题精选例1．已知x、y满足x2+y2+54=2x+y,求代数式xyx y的值。

例2．整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值。

例3．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b; 乙商场:两次提价的百分率都是2a b+(a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•则哪个商场提价最多?说明理由. 例4．计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452.例5222()例6例7例8数.12A.x 3A 45(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________。

6．已知a+1a=5,则=4221a a a ++=_____。

7．已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.8．已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a ba b +-=_____.9．若代数式b x x +-62可化为1)(2--a x ，则b ﹣a 的值是． 10．已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数.证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数. 参考答案： 一．例题精选例1．提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13例2．原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•10x -=11x -=±10x -=解得x y =⎧⎨⎩例3例4．(2)设例5． 例6．P ＜Q ；差值法：P -例7．例8因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=0二．同步练习9．121)(222-+-=--a ax x a x ，这个代数式于b x x +-62相等，因此对应的系数相等，即﹣2a ＝﹣6，解得a ＝3，b a =-12，将a ＝3代入得b ＝8，因此b ﹣a ＝5． 10．解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,故a•不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.。

第三讲 平方差公式和完全平方公式【名言警句】细节决定成败！【知识点归纳讲解】（一）平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 特征：①左边：二项式乘以二项式，两数（a 与b ）的和与它们差的乘积. ②右边：这两数的平方差. 平方差公式的常见变形：①位置变化：如()()()()22a b b a b a b a b a +-=+-=-②符号变化：如()()()()()2222a b a b b a b a b a b a ---=---+=--=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或()()()()()2222a b a b a b a b a b a b ---=-+-=--=-+ ③系数变化：如()()()()()22ma mb a b m a b a b m a b +-=+-=-（二）完全平方公式()()22222222a b a ab b a b a ab b+=++-=-+ 完全平方公式常见变形：① 符号变化：如()()22222a b a b a ab b --=+=++ ()()22222a b a b a ab b -+=-=-+②移项变化：()()22222222a b a ab b a b a ab b +=++-=-+⇒()()22222222a b a b ab a b a b ab+=+-+=-+⇒()()224a b a b ab +--=【经典例题讲解】（一）平方差公式例1：计算：()()()()2244a b b a b a b a ---+-例2：计算：①（2x+y ）(2x-y) ②(y x 3121+)(y x 3121-)③(-x+3y)(-x-3y) ④(2a+b)(2a-b)(4)22b a +.【同步演练】应用平方差公式计算（1）()()a a 2121+- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121312122x x （3）()()y x y x 3232+---例3：某初级中学得到政府投资，进行了校园改造建设，他们的操场原来是长方形，改建后变为正方形，正方形的边长比原来的长方形少6米，比原来的长方形的宽多了6米，问操场的面积比原来大了还是小了？相差多少平方米？（二）完全平方公式例1：已知2291822a b ab a b +==+，，求的值例2：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972【同步演练】利用完全平方公式计算：（1）982 （2）2032例3：计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x【同步演练】)3)(3(+---b a b a例4：若22)2(4+=++x k x x ，则k =若k x x ++22是完全平方式，则k =例:5：完全平方公式的推广()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++()222222222a b c d a b c d ab bc cd ad +++=+++++++附加题：若实数222,,9,a b c a b c ++=满足()()()222a b b c c a -+-+-则代数式的最大值是多少？【课堂检测】 （一）平方差公式 一、填空题1、=--+-)2)(2(y y _______.2、=-+)2)(2(y x y x ______.3、=-+)3121)(3121(b a b a ______. 4、=---))((22x a x a _______. 5、=++-))()((22b a b a b a _______. 6、=-+-))((y x y x _______. 7、=+-----+))(())((y x y x y x y x _______. 8、+xy (_______）-xy (_______）81122-=y x . 二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（ ） （A ）)22)(2(b a b a +--; （B ）)2)(2(a b b a +-; （C ）)2)(2(b a b a +--; （D ）)2)(2(b a a b ++-.10、下列各式中，运算结果是223625y x -的是（ ） （A ）)56)(56(x y x y --+- ; （B ）)56)(65(x y y x +-; （C ）)56)(56(x y x y ++- ; （D ）)65)(65(y x y x +--. 三、解答题11.计算)2)(2())((n m n m n m n m -+-+-.12.先化简后求值2),2)(2()2)(2(22-=-+--+x x x x x .13.解方程4)2()1)(1(2=---+x x x x .（二）完全平方公式 一、填空题1、=-+)2)(2(b a b a _______.2、)5(x +-_______225x -=. 用平方差公式计算并填空3、)218(5.75.8+=⨯__ ___4363=. 4、=⨯95105_______.5、=-+22)2()2(y x y x （_______）2. 二、选择题6、=+----))((y x y x _______.（ ）（A ）22y x +-;（B ）22y x -;（C ）22y x --;（D ）22y x +.7、如果16)(2-=+a m a p ，则（ ）（A ）4),4(=+=m a p ; （B ）4),4(-=-=m a p （C ）4),4(-=+=m a p ; （D ）4,4=+-=m a p . 三、解答题8、解不等式x x x x x 3)6()3)(3(>+-+-.9、解方程)1)(1(2)3)(12(+-=+-x x x x .10、先化简后求值)5)(5(2)4)(3(-+-+-x x x x ，其中10-=x11、一个梯形上底是)(b a +㎝，下底是)(b a -㎝，高为)2(b a +㎝，求梯形的面积，若2,215==b a ，求这个梯形的面积.【课后作业】一、填空题（每题2分，共28分）1．(34=⋅a a ____()⨯____34)+=a ; 2．=-⋅-54)()(x y y x _________; 3．()(23=m _____)(_____23)⨯=m ; 4．=-⋅--535)(])([a a _________; 5．=⨯3)87(_________3387⨯=; 6．(8164=y x ______2); 7．已知长方形的长是m 4，它的面积是nm 20，则它的宽是_________;8．=⋅+-222483)41(6y x x y x xy _________;9．=⋅+n m 2)7(_________;10．=+--)()(b a a a b b _________; 11．=++))((t z y x _________; 12．=+++-))()()((4422b a b a b a b a _________; 13．=++-+-))((c b a c b a _________; 14．=--+22)()(b a b a _________. 二、选择题（每题3分，共12分）15．下列各式中正确的是（ ）（A ）222)(b a b a -=-; （B ）2222)2(b ab a b a ++=+; （C ）222)(b a b a +=+; （D ）2222)(b ab a b a +-=+-.16．计算)102.2()105.3(53⨯⨯⨯的结果并用科学记数法表示，正确的结果是（ ） （A ）770000000;（B ）71077⨯;（C ）8107.7⨯;（D ）7107.7⨯.17．20072006)32()23(⋅-的计算结果是（ ）（A ）23-;（B ）32-;（C ）32;（D ）23.18．下列计算正确的是（ ）（A ）1262432a a a a a =⋅+⋅; （B ）252212)2(3bc a c a ab =⋅;（C ）322322+=⋅⋅+⋅n n a a a a a a ; （D ）432222)21()2(y x y x xy -=-⋅-.三、简答题：（每题6分，共30分）19．计算：4453)()(a a a a -+-20．结果用)(y x -的幂的形式表示62323)(2])[(])[(y x x y y x -+-+-.21．用简便方法计算63720052006)2()81()125.0()8(⨯+-⨯-22．计算453210)2()(b a ab b a +⋅- .23．计算)1()1(22++-++x x x x x . 24．计算))()((22b a b a b a -+-.四、解答题（每题5分，共20分）25．解方程)2(2)2()1(-=++-x x x x x x26．化简并求值31,3),3)(3(==--b a a b b a 其中.27．化简并求值2,)1()12(22-=-++x x x 其中.28.计算2)(c b a --29.综合题（10分，每小题5分）（1）已知一个圆的半径若增加2厘米，则它的面积就增加39平方厘米，求这个圆的直径.（用π的代数式表示这个圆的直径）（2）阅读：若一家商店的销售额10月比9月份增长（减少）10%，则设这家商店9月10月份销售额的增长率为0.1（-0.1）；理解：甲、乙两店9月份的销售额均为a万元，在10月到11月这两个月中，甲，问到商店的销售额的平均每月增长率为x，乙商店的销售额平均每月的增长率为x11月底时，甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元（用a和x的代数式表示结果）.【课后作业】家长意见及建议：家长签字：日期：年月日。

平方差公式完全平方公式拓展一、平方差公式的拓展(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²这两个公式常用于将两个含有平方项的多项式进行展开。

例如，要计算(3+4)²，可以利用平方差公式展开为3²+2*3*4+4²=9+24+16=49然而，这两个公式还可以进一步拓展。

1.平方差公式的三项展开(a+b+c)² 的展开式可以通过不断应用平方差公式进行简化。

我们首先展开(a+b)²，得到a² + 2ab + b²。

然后将 c 加入到这个式子中，得到a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c²。

观察这个式子，我们可以发现其中有三个交叉项 2ab、2ac 和 2bc。

因此，我们可以将(a+b+c)² 的展开式写为三项的形式：(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc这个拓展的平方差公式对于展开三个或多个含有平方项的多项式非常有用。

2.平方差公式的负数展开前面提到的平方差公式是针对两个正数进行的展开。

但是，当其中一个数是负数时，我们可以将其用平方差公式进行展开。

例如，要计算(4-3)²，我们可以将其展开为4²-2*4*3+3²=16-24+9=1、这个拓展的平方差公式的形式如下：(a-b)² = a² - 2ab + b² （当 a 和 b 可能是任意实数时）这个公式对于将两个数的差的平方进行展开非常有用。

二、完全平方公式的拓展完全平方公式是指一个多项式是一些二次多项式的平方。

常见的完全平方公式如下：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²这两个公式常用于将含有平方项的多项式进行因式分解。

【知识点】一、平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b 2两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

1、即：（a+b ）(a-b) = 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方2、平方差公式可以逆用，即：a 2-b 2=（a+b ）(a-b)。

3、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积 即：（a+b ）(a-b)或（a+b ）(b-a) ②有两数和的相反数与两数差的积 即：（-a-b ）(a-b)或（a+b ）(b-a) ③有两数的平方差 即：a 2-b 2 或-b 2+a 2二、完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2=(a+b)2a 2-2ab+b 2=(a-b)22、能否运用完全平方式的判定 ①有两数和（或差）的平方即：(a+b)2或 (a-b)2或 (-a-b)2或 (-a+b)2②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。

即：a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2或-a 2-2ab-b 2或 -a 2+2ab-b 2探索练习：1、计算下列各式： （1）()()22-+x x （2）()()a a 3131-+ （3）()()y x y x 55-+2、观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？3、猜一猜：()()=-+b a b a －平方差公式1、平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即22))((b a b a b a -=-+。

2、其结构特征是：①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数； ②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。

随堂练习：1、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算 （1）()()c a b a -+ （2）()()x y y x +-+ （3）()()ab x x ab ---33 （4）()()n m n m +--2、判断：（1）()()22422b a a b b a -=-+ （ ） （2）1211211212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+x x x （ ） （3）()()22933y x y x y x -=+-- （ ）（4）()()22422y x y x y x -=+--- （ ） （5）()()6322-=-+a a a （ ） （6）()()933-=-+xy y x （ ）3、计算下列各式：（1）()()b a b a 7474+- （2）()()n m n m ---22 （3）()()33221221--+-+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x4、填空：（1）()()=-+y x y x 3232 （2）()()116142-=-aa（3）()949137122-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a ab （4）()()229432y x y x -=-+5、求()()()22y x y x y x +-+的值，其中2,5==y x6、计算：（1）()()c b a c b a --+- （2）()()()()()42212122224++---+-x x x x x x【例】运用平方差公式计算：102×98； 59.8×60.2；运用平方差公式计算：完全平方公式探索：一块边长为a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加b 米，形成四块实验田，以种植不同的新品种。

平方差公式与完全平方公式知识点总结一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2② 符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③ 指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④ 系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤ 换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥ 增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦ 连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧ 逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2 =[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)] =2x(-2y+2z)=-4xy+4xz完全平方公式活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。

这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

例1、已知，，求的值。

例2、已知，，求的值。

解：∵ ∴ ∴=∵，∴ 例3 已知，求的值。

解：三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”、例1 计算(-2x2-5)(2x2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b、例2 计算(-a2+4b)2分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b、（解略）（二）、注意为使用公式创造条件例3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)、分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式、例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)、分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简、（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc、可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍、例6 计算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+22xy+22x(-3)+2y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y、（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例7 已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值、例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便、四、怎样熟练运用公式：熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点、常见的几种变化是：1、位置变化如（3x+5y）（5y－3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了、2、符号变化如（－2m－7n）（2m－7n）变为－（2m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）3、数字变化如98102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了、4、系数变化如（4m+）（2m－）变为2（2m+）（2m－）后即可用平方差公式进行计算了、（四）、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便、如计算（a2+1）2（a2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便、即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1、对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用、如计算（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错、若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题、即原式=（1－）（1+）（1－）（1+）…（1－）（1+）=… ==、有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab等、用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效、如已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+ n2的值、面对这样的问题就可用上述变式来解，即m2+n2=（m+n）2－2mn=72－2（－18）=49+36=85，m2－mn+ n2= （m+n）2－3mn=72－3（－18）=103、下列各题，难不倒你吧？！1、若a+=5，求（1）a2+，（2）（a－）2的值、2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字、（答案：1、（1）23；（2）21、2、6 ）五、乘法公式应用的五个层次乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2，(ab)=a22ab＋b2，(ab)(a2ab＋b2)=a3b3、第一层次──正用即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用、例1计算 (－2x－y)(2x－y)、、第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用、例2计算第三层次──活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式、例3化简：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1、分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2－1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解、解原式=(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=216、第四层次──变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=(a＋b)2－2ab，a3＋b3=(a ＋b)3－3ab(a＋b)等，则求解分简单、明快、例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2的值、解：∵a＋b=9，ab=14，∴2a2＋2b2=2[(a＋b)2－2ab]=2(92－214)=106，第五层次──综合后用：将(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2－2ab＋b2综合，可得 (a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2=4ab；等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷、例6计算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)、解：原式=[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2=(2x＋5)2－(y－z)2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2乘法公式的使用技巧：①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。

平方差公式和完全平方公式复习和拓展一、平方差公式在代数中，我们常常需要将一个数分解成两个数的平方差，或是将两个数的平方差合并成一个数。

平方差公式就提供了一个简单的方法。

例如，如果我们需要将16分解成两个数的平方差，我们可以设一个数为x，则另一个数为16/x。

根据平方差公式，我们有(x+16/x)(x-16/x)=x^2-(16/x)^2=x^2-256、这样我们就将16分解成了两个数的平方差x^2-256除了在分解数的平方差时使用平方差公式，它还可以用来简化代数表达式。

例如，我们有一个代数表达式(x+2)(x-2)，我们可以根据平方差公式简化它为x^2-4二、完全平方公式完全平方公式用于求解一个二次多项式的平方。

设a和b为任意实数，则完全平方公式可以表示为：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2完全平方公式可以用来求解一些常见的问题，如求一个数的平方、求解二次方程等。

例如，如果我们需要求解x^2+6x+9=0的根，我们可以利用完全平方公式写成(x+3)^2=0。

从中我们可以得到x=-3，即方程的根为-3完全平方公式也可以用来展开一个二次多项式。

例如，如果我们需要展开(x+1)^2，我们可以利用完全平方公式得到x^2+2x+1三、平方差公式和完全平方公式的拓展除了基本的平方差公式和完全平方公式之外，还有一些相关的公式和技巧可以帮助我们更好地理解和应用这两个公式。

1. 平方差公式的展开形式：有时候，我们需要展开一个平方差的其他形式，例如(a+b)^2 - 4ab。

根据平方差公式，我们可以得到：(a+b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^22.完全平方公式的逆运算：有时候，我们需要根据一个完全平方公式的结果反推出原始的二次多项式，例如(x+3)^2=x^2+6x+9、根据完全平方公式的逆运算，我们可以得到x^2+6x+9=(x+3)^23.平方差公式的应用：平方差公式不仅可以用于分解数的平方差，还可以用于简化代数表达式。

第四讲 平方差公式【新知讲解】1.基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2—b 2平方差公式的结构特征：左边两个二项式的乘积，这两个二项式的两项中，有一项完全相同(绝对值相同，符号相同)，而另一项互为相反数（绝对值相同，符号相反） 右边是这两个单项式中这两项的平方差。

这里a,b 可表示一个数、一个单项式或一个多项式。

2.平方差公式的推广： （1）()()2233a b a ab b a b -++=-（2）()()322344a b a a b ab bab -+++=-（3）()()123221n n n n n n n a b aa b a b ab b a b ------+++++=-3．思想方法：① a 、b 可以是数，可以是某个式子；② 要有整体观念，即把某一个式子看成a 或b ，再用公式； ③ 注意倒着用公式； ④ 2a ≥0；⑤ 用公式的变形形式。

【探索新知】问题导入：()()22b a b a b a -=-+成立吗？1.运算推导：2.图形理解：3.平方差公式：()()=-+b a b aA 组 基础知识【例题精讲】例1.利用平方差公式计算：（1）()()x x 6565-+ （2）()()y x y x 22+- （3）()()n m n m --+-例2.计算下列各题：（1）()()20012001-+ （2）()()3232x y x y -+（3）22112222x x ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()()x y z x y z +-++（5）59.860.2⨯ （6）2200620052007-⨯例3.用平方差公式进行计算：（1）204×197 （2）108×112例4.化简求值： ()()1212-++-b a b a 其中598,987a b ==。

例5.计算下列各题：（顺用公式） （1）()()()()()224488a b a b a bab a b -++++（2）3(22+1)(24+1)(28+1)(162+1)+1 （3）2999例6. 计算下列各题：（逆用公式）①1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655 （希望杯）②已知 19221 可以被60至70之间的两个整数整除，这两个整数是多少？B 组 能力提升1.计算： （1）(-65x-0.7y)( 65x-0.7y) （2）(a+2)(a 4+16)(a 2+4)(a-2)（3）(3x m +2y n +4)(3x m +2y n-4) （4）(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c)（5）(a+b-c-d)(a-b+c+d)2.用平方差公式进行计算：（1）804×796 （2）10007×99933.计算（顺用公式）：6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1变式训练1：（2211-）（2311-）（2411-）…（2911-）（21011-） ：4.计算（逆用公式）：(x 3+x 2+x+1)(x 3-x 2+x-1)-(x 3+x 2+x+2)(x 3-x 2+x-2)C 组 拓展训练1.1949²-1950²+1951²-1952²+……+1999²-2000²2.求证：1999×2000×2001×2002+1是一个整数的平方。

三次平方差公式和完全平方公式三次平方差公式是指一个完全立方数与另一个完全立方数之差可以表示为一个完全平方数。

具体来说，三次平方差公式可以表示为：
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
其中，a和b为任意实数。

完全平方公式是指一个整数的平方可以表示为两个连续自然数之差。

具体来说，完全平方公式可以表示为：
n^2 = (n + 1) - (n - 1)
其中，n为任意整数。

拓展部分：
除了上面提到的三次平方差公式和完全平方公式之外，还有其他一些数学公式和恒等式可以用于拓展。

例如：
-完全立方公式：(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
-平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
-平方和公式：a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
-二次平方差公式：a^4 - b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)
-奇数完全平方公式：奇数的平方可以表示为奇数之和(n为奇数)。

这些公式和恒等式在数学运算和解题过程中起到了重要的作用，
能够简化计算，推导结论等。

乘法公式1．平方差公式(1)平方差公式的推导：因为 (a＋ b)(a －b)＝ a2－ ab＋ ab－ b2＝ a2－b 2，所以 (a＋ b)(a －b)＝ a2－ b2.【例 1】利用平方差公式计算．(1)(2a＋ 3b)(－ 2a＋ 3b)；(2)503 × 497.2．完好平方公式(1)两数和的完好平方公式：(a＋ b)2＝ a2＋ 2ab＋ b2；两数差的完好平方公式：(a－ b)2＝ a2－ 2ab＋ b2.析规律完好平方公式的特色完好平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央．【例 2】计算：(1)(4m＋ n)2；1(3)(－ a－ b)2；(4)( －2a＋1b)2.(2)(y－ )2；2 23．添括号法规法规：添括号时，若是括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；若是括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．警误区添括号法规的易错点添括号时，若是括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不能只改变部分项的符号，如：a－ b＋ c＝ a－ (b＋ c)，这样添括号时可是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的．【例 3】填空： (1)(x－ y＋ z)(x＋y－ z)＝[x－ ()][x＋ ()]；(2)(x＋ y＋ z)(x－ y－z)＝[x＋ ()] [x－()]．【例 4 】如，在 a 的正方形中剪去一个 b 的小正方形 (a＞ b)，把剩下的部分拼成一个梯形，分算两个形阴影部分的面，了公式__________．【例 6】察以下各式的律：12＋ (1 ×2)＋ 22＝ (1 ×2＋1)2；222＝ (2 ×3＋1)2；2＋ (2 ×3)＋ 332＋ (3 ×4)2＋ 42＝ (3 ×4＋1)2；⋯写出第 n 行的式子，并明你的．型一：巧用乘法公式型二：平方差与完好平方公式混用计算： 4x2114x2计算：a b c a b c 22种类三：完好平方公式在三角形中的运用例 3、已知△ ABC的三边长a,b,c 满足a2b2c2ab bc ac 0，试判断△ABC的形状种类四：利用乘法公式解方程(组 )2y 2x y x y例 4：解方程组x 24x3y2种类五：多项式的证明例 5：证明无论a,b 为何值，多项式a2b22a 6b12的值恒为正种类六：灵便运用乘法公式解题例 6、计算1-11-11-1K 1111 224292102 23拓展：三项完好平方公式： a b c 2a2b2c22ab 2ac2bc 二次三项式：x a x+b x2 a b x ab立方和公式：a3b3 a b a2ab b2立方差公式：a3-b3a b a2+ab b21、若x 3 x 4x2px+q, 那么 p, q的值分别是2、若ax b x 2x2b 4,则 ab3、如x m 与 x 3 的乘积中不含 x的一次项，则 m的值为4、已知a2 a 5 0,则 a 3 a+2 的值是5、已知实数a,b满足 a b 21, a b 225,则a2b2ab6、将代数式x26x 2化成x p 2q的形式为7、若x2+2ax16是一个完好平方张开式，则a的值是________-8、已知x216x k是个完好平方式，则常数k的值为_______9、若x y 5xy 62则 x2 y2 = ___________-0,111210、已知x4,求 x2和 x的值x x2x11、知实数 a,b 满足a b 2 1, a b 2 25,则a 2 b 2 ab课后练习1.以下各式中，相等关系必然成立的是（）A.(x － y) 2＝(y － x)2－ 6) ＝ 2－6B.(x+6)(x xC.(x+y)2＝ x 2+y 2+2xy 2－y 2＝(x+y)22.以下运算正确的选项是（）2 21 2 12 2 2A.(a+3) ＝a +9B.( x －y) ＝6x －3xy+y32＝1－2m+m 22－ y2－ ＝ 4－ y 4C.(1－ m)D.(x)(x+y)(x y) x3.将面积为 a 2的正方形边长增加 2，则正方形的面积增加了（）+4+44.以下多项式乘法中，不能够用平方差公式计算的是（）A.(a+1)(2a －2)B.(2x －3)(－2x+3)C.(2y － 1 )( 1+2y)D.(3m －2n)(－ 3m － 2n)3 35.不等式 (2x －1)2－(1－3x)2＜ 5(1－x)(x+1)的解集是（）＞－＜－ ＞ ＜6.计算： (1)－ 5 y)(－ 5y －；(2)15 2 ×(－14 1)；7 73 3(3)［2x 2－(x+y)(x －y)］［(z －x)(x+z)+(y － z)(y+z)］； (4)(a － 2b+3c)(a+2b － 3c).7.(1)已知 x+y＝6，xy＝4，求①x2+y2，②(x －y)2，③x2+xy+y2的值 .(2)已知 a(a－ 3)－(a2－3b)＝9，求a2b2－ ab 的值 .21.计算：(1)(a2+1)(a2－ 1)－(－a2) ·a2；(2)(2a－ b)(2a+b)－(－3a－ b)(－ 3a+b)；(3)x2－(4－x)2；(4)(3x－ 2y)2－4(2x－ y)(x－y).2.已知 (a+b)2＝7，(a－ b)2＝ 4，求 a2+b2和 ab 的值 .3.已知△ABC的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2－ ab－bc－ac＝0，试判断△ ABC的形状 .4.解方程：(1)9x(4x－7)－(6x+5)(6x－ 5)+38＝0；(2)(y2－3y+2)(y2 +3y－ 2)＝y2(y+3)(y－3).。