平方差公式 完全平方公式 拓展

平方差和完全平方公式及经典例题专题一：平方差公式例1：计算下列各整式乘法。

①位置变化$(7x+3y)(3y-7x)$②符号变化$(-2m-7n)(2m-7n)$③数字变化$98\times102$④系数变化$(4m+n)(2m-n)-24$⑤项数变化$(x+3y+2z)(x-3y+2z)$⑥公式变化$(m+2)(m-2)(m^2+4)$变式拓展训练：变式1】$(-y-x)(-x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$变式2】$(2a-\frac{b}{3})^2-\frac{(b-4a)^2}{33}$变式3】$1002-992+982-972+\cdots+22-12$专题二：平方差公式的应用例2：计算$2004-2004^2\times2005\times2003$的值为多少？变式拓展训练：变式1】$(x-y+z)^2-(x+y-z)^2$变式2】$301\times(302+1)\times(302^2+1)$变式3】$(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)$变式4】已知$a$、$b$为自然数，且$a+b=40$。

1）求$a^2+b^2$的最大值；（2）求$ab$的最大值。

专题三：完全平方公式例3：计算下列各整式乘法。

①位置变化：$(-x-\frac{y}{2})(\frac{y}{2}+x)$②符号变化：$(-3a-2b)^2$③数字变化：$197^2$④方向变化：$(-3+2a)^2$⑤项数变化：$(x+y-1)^2$⑥公式变化$(2x-3y)^2+(4x-6y)(2x+3y)+(2x+3y)^2$变式拓展训练：变式1】$a+b=4$，则$a^2+2ab+b^2$的值为（）A.8B.16C.2D.4变式2】已知$(a-b)^2=4$，$ab=12$，则$(a+b)^2$=_____变式3】已知$x+y=-5$，$xy=6$，则$x^2+y^2$的值为（）A.1B.13C.17D.25变式4】已知$x(x-1)-(x^2-y)=-3$，求$x^2+y^2-2xy$的值专题四：完全平方公式的运用例4：已知：$x+y=4$，$xy=2$。

完全平方公式与平方差公式教案章节一：完全平方公式的探究与理解1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式的概念，例如求(x + 2)²的值。

2. 探究：引导学生通过具体例子，如(x + 2)²= x²+ 4x + 4，发现完全平方公式的规律。

4. 练习：布置一些简单的练习题，让学生运用完全平方公式进行计算。

章节二：平方差公式的探究与理解1. 导入：通过实际问题引入平方差公式的概念，例如求(x 2)²的值。

2. 探究：引导学生通过具体例子，如(x 2)²= x²4x + 4，发现平方差公式的规律。

4. 练习：布置一些简单的练习题，让学生运用平方差公式进行计算。

章节三：完全平方公式与平方差公式的应用1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式与平方差公式的应用，例如求(x +1)(x 1) 的值。

2. 探究：引导学生运用完全平方公式与平方差公式，将(x + 1)(x 1) 进行展开和简化。

4. 练习：布置一些实际问题，让学生运用完全平方公式与平方差公式进行解决。

章节四：完全平方公式与平方差公式的巩固与拓展1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式与平方差公式的巩固与拓展，例如求(x + 2)(x 2) 的值。

2. 探究：引导学生运用完全平方公式与平方差公式，将(x + 2)(x 2) 进行展开和简化。

4. 练习：布置一些更复杂的实际问题，让学生运用完全平方公式与平方差公式进行解决。

1. 回顾：引导学生回顾本节课学习的完全平方公式与平方差公式。

3. 评价：对学生的学习情况进行评价，鼓励学生积极参与课堂讨论和练习。

4. 布置作业：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。

章节六：完全平方公式与平方差公式的综合应用1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式与平方差公式的综合应用，例如求(x + y)²(x y)²的值。

2. 探究：引导学生运用完全平方公式与平方差公式，将(x + y)²(x y)²进行展开和简化。

平方差公式与完全平方公式平方差公式：22))((b a b a b a -=-+说明：相乘的两个二项式中，a 表示的是完全相同的项，+b 和-b 表示的是互为相反数的两项。

所以说，两个二项式相乘能不能用平方差公式，关键看是否存在两项完全相同的项，两项互为相反数的项。

熟悉公式：例：(3a+2b)(3a-2b)中 3a 是公式中的a ， 2b 是公式中的b(a 2+b 2)(a 2-b 2)中 a 2 是公式中的a ， b 2是公式中的b(2a+b-c)(2a+b+c)中 2a+b 是公式中的a ， c 是公式中的b 把下列空补充完整：(5+6x)(5-6x)中 是公式中的a ， 是公式中的b (5+6x)(-5+6x)中 是公式中的a ， 是公式中的b (x-2y)(x+2y)中 是公式中的a ， 是公式中的b (-m+n)(-m-n)中 是公式中的a ， 是公式中的b（a+b+c ）（a+b-c)中 是公式中的a ， 是公式中的b （a-b+c ）(a-b-c)中 是公式中的a ， 是公式中的b 例1：计算下列各题（a+3）(a-3)=a 2-32=a 2-9 (2x+21)(2x-21)=(2x)2-(21)2=4x 2-161仿练：( 2a+3b)(2a-3b)= (1+2c)(1-2c)= (-x+2)(-x-2)= (a+2b)(a-2b)= 例2：计算下列各题：1998×2002 =(2000-2)(2000+2)=20002-22=4000000-4=3999996 仿练： 1.01×0.99 = （20-91）×（19-98）= 例3：计算下列各题（a+b)(a-b)(a 2+b 2)=(a 2-b 2)(a 2+b 2)=(a 2)2-(b 2)2=a 4-b 4仿练：(a+2)(a-2)(a 2+4)= (x-12)(x 2+ 14)(x+ 12)= 例4：计算下列各题（-2x-y ）(2x-y)=（-y-2x)(-y+2x)=(-y)2-(2x)2=y 2-4x 2 (4a-1)(-4a-1)=(-1+4a)(-1-4a)=(-1)2-(4a)2=1-16a 2仿练：(y-x)(-x-y)= (-2x+y)(2x+y)= (b+2a)(2a-b)= (a+b)(-b+a)= 例5；计算下列各题（a+2b+c ）(a+2b-c)=[(a+2b ）+c][(a+2b)-c]=(a+2b)2-c 2=a 2+4ab+b 2-c 2仿练：(a+b-3)(a-b+3)= (m-n+p)(m-n-p)=练习：1、(1)(1)x x +-2、(21)(21)x x +-3、(5)(5)x y x y +-4、(32)(32)x x +-5、(2)(2)b a a b +-6、(2)(2)x y x y -+--7、()()a b b a +-+8、()()a b a b ---9、(32)(32)a b a b +-10、5252()()a b a b-+11、(25)(25)a a +-12、(1)(1)m m ---13、11()()22a b a b ---14、(2)(2)ab ab ---15、10298⨯16、97103⨯17、4753⨯18、22()()()a b a b a b +-+19、(32)(32)a b a b +-20、(711)(117)m n n m ---21、(2)(2)y x x y ---22、(4)(4)a a +-+23、(25)(25)a a -+24、(3)(3)a b a b +-25、(2)(2)x y x y +-完全平方公式完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 注意不要漏掉2ab 项（a 为首，b 为尾）口诀：首平方，尾平方，首尾之积二倍加减放中央（4m+n ）2中 4m 是公式中的a ， n 是公式中的b(-a-b)2中 -a 是公式中的a ， b 是公式中的b(a+b-c)2中 a 是公式中的a ， b-c 是公式中的b 或者(a+b-c)2中 a+b 是公式中的a ， c 是公式中的b 仿练： (y-21)2中 是公式中的a ， 是公式中的b （b-a ）2中 是公式中的a ， 是公式中的b(2a-b+c)2中 是公式中的a ， 是公式中的b 熟悉公式变形1、a 2+b 2=(a+b)2 -2ab =(a-b)2+2ab2、（a-b ）2=(a+b)2 -4ab ; (a+b)2=(a-b)2+4ab3、(a+b)2 +（a-b ）2= 2a 2+2b 24、(a+b)2 --（a-b ）2= 4ab 例1：计算下列各题2)(y x +=x 2+2xy+y 2 2)23(y x - =(3x)2-2(3x)(2y)+(2y)2=9x 2-12xy+4y 2仿练：2)21(b a += 2)12(--t = 2)313(c ab +-=2)2332(y x += 2)121(-x = (0.02x+0.1y)2=例2：利用完全平方公式计算： 1022=（100+2)2=1002+2×100+221972=(200-3)2=2002-2×200×3+32仿练：982= 2032=练习：计算 1、2(1)p + 2、2(1)p - 3、2()a b - 4、2()a b + 5、2(2)m + 6、2(2)m -7、2(4)m n +8、21()2y -9、2(3)x y -10、2(2)a b --11、21()a a+12、2(52)x y --13、2(2)a b -14、21()2x y -15、2(23)a b +16、2(32)x y -17、2(2)m n --18、2(22)a c +19、2(23)a -+20、21(3)3x y +21、2(32)a b +22、222()a b -+23、22(23)x y --24、2(1)xy -25、222(1)x y -添括号法则如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；•如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 也是：遇“加”不变，遇“减”都变．例：)(c b a c b a ++=++ )(c b a c b a +-=--练习运用法则：（1）a+b-c=a+（ ） （2）a-b+c=a-（ ） （3）a-b-c=a-（ ） （4）a+b+c=a-（ ） 2．判断下列运算是否正确． （1）2a-b-2c =2a-（b-2c） （2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b ） （3）2x-3y+2=-（2x+3y-2） （4）a-2b-4c+5=（a-2b ）-（4c+5）在公式里运用法则例：计算：（1）（x+2y-3）（x-2y+3）=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]=x 2-(2y-3)2=x 2-(4y 2-12y+9)=x 2-4y 2+12y-9 （2）（a +b +c ）2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c 2=a 2+2ab+b 2+2ac+2bc+c 2（3）（x +5）2-（x-2）（x-3）=x 2+10x+25-(x 2-5x+6)=x 2+10x+25-x 2+5x-6=15x+19练习：计算：（x +3）2-x 2 2)2(c b a +- 22)()(c b a c b a ---++。

Word 文档平差公式与完全平公式（a+b ）2 = a 2+2ab+b 2（a －b ）2=a 2－2ab+b2（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2应用1、平差公式的应用：例1、利用平差公式进行计算： （1）（5+6x ）（5－6x ） （2）（x ＋2y ）（x －2y ） （3）（－m ＋n ）（－m －n ） 解：例2、计算：（1）（y x 41--）（y x 41+-） （2）（－m －n ）（m －n ）（3）（m ＋n ）（n －m ）+3m 2（4）（x+y ）（x －y ）（x 2－y 2）解：例3、计算：（1）103×97 （2）118×122 （3）32203119⨯ 解：应用2、完全平公式的应用： 例4、计算：（1）（2x －3）2（2）（4x+5y ）2（3）（y x 21-）2 （4）（－x －2y ）2（5）（－x+y 21）2解：例5、利用完全平公式计算：（1）1022 （2）1972 （3）199992－19998×20002解：试一试：计算：123456789×123456787－1234567882=_______________Word 文档应用3、乘法公式的综合应用： 例6、计算：（1）（x+5）2－（x+2）（x －2）（2）（a+b+3）（a+b －3） （3）（a －b+1）（b －a+1）（4）（a+b －c ）2解： 例7、（1）若4ax x 412++是完全平式，则：a=________________（2）若4x 2+1加上一个单项式M 使它成为一个完全平式，则M=_______________ 例8、（1）已知：3a1a =+，则：__________a1a 22=+（2）已知：5a 1a =-，则：__________a 1a 22=+（3）已知：a+b=5，ab=6，则：a 2+b 2=_______（4）已知：（a+b ）2=7，（a －b ）2=3，则：a 2+b 2= ，ab=例9、计算：（1）)1011()411)(311)(211(2222----ΛΛ （2）)12()12)(12)(12)(12(32842+++++ΛΛ解：例10、证明：x 2+y 2+2x －2y+3的值总是正的。

平方差公式和完全平方公式在数学中，平方差公式和完全平方公式是两个重要的公式，它们在代数中的运用频繁，能够帮助我们简化计算和解决问题。

本文将介绍这两个公式的定义、应用以及推导过程。

一、平方差公式平方差公式是指两个数的平方差等于它们的积与和的差。

具体表达如下：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)其中，a、b为任意实数。

平方差公式的应用可以帮助我们快速计算平方差，以及解决一些与平方差相关的问题。

例如，考虑以下例子：例1：计算 16^2 - 9^2 的值。

根据平方差公式，我们可以将该式转化为 (16 + 9)(16 - 9)。

进一步计算可得= 25 × 7= 175因此，16^2 - 9^2 的值为 175。

平方差公式也可以用于因式分解和方程求解等问题。

通过将平方差公式进行变形，可以将复杂的表达式进行简化。

二、完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式能够被写成两个平方项的和的形式。

具体表达如下：(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2其中，a、b为任意实数。

完全平方公式的应用范围广泛，涉及到二次函数、方程、因式分解等等。

以下是一些例子：例2：将 x^2 - 6x + 9 表示为完全平方形式。

我们可以观察到该式可以写成 (x - 3)^2 的形式，其中 a = x，b = -3。

这样，我们就可以利用完全平方公式进行简化和计算。

例3：解方程 x^2 + 6x + 9 = 0同样地，我们可以将该方程改写为 (x + 3)^2 = 0 的形式。

根据完全平方公式，这意味着 x + 3 = 0 或 x = -3。

因此，方程的解为 x = -3。

总结：平方差公式和完全平方公式在代数中起到了重要的作用，能够帮助我们简化计算和解决问题。

我们可以通过灵活运用这两个公式来化简表达式、因式分解、解方程等。

熟练掌握平方差公式和完全平方公式，对理解和应用代数知识都有很大帮助。

平方差公式完全平方公式拓展一、平方差公式的拓展(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²这两个公式常用于将两个含有平方项的多项式进行展开。

例如，要计算(3+4)²，可以利用平方差公式展开为3²+2*3*4+4²=9+24+16=49然而，这两个公式还可以进一步拓展。

1.平方差公式的三项展开(a+b+c)² 的展开式可以通过不断应用平方差公式进行简化。

我们首先展开(a+b)²，得到a² + 2ab + b²。

然后将 c 加入到这个式子中，得到a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c²。

观察这个式子，我们可以发现其中有三个交叉项 2ab、2ac 和 2bc。

因此，我们可以将(a+b+c)² 的展开式写为三项的形式：(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc这个拓展的平方差公式对于展开三个或多个含有平方项的多项式非常有用。

2.平方差公式的负数展开前面提到的平方差公式是针对两个正数进行的展开。

但是，当其中一个数是负数时，我们可以将其用平方差公式进行展开。

例如，要计算(4-3)²，我们可以将其展开为4²-2*4*3+3²=16-24+9=1、这个拓展的平方差公式的形式如下：(a-b)² = a² - 2ab + b² （当 a 和 b 可能是任意实数时）这个公式对于将两个数的差的平方进行展开非常有用。

二、完全平方公式的拓展完全平方公式是指一个多项式是一些二次多项式的平方。

常见的完全平方公式如下：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²这两个公式常用于将含有平方项的多项式进行因式分解。

平方差公式和完全平方公式复习和拓展一、平方差公式在代数中，我们常常需要将一个数分解成两个数的平方差，或是将两个数的平方差合并成一个数。

平方差公式就提供了一个简单的方法。

例如，如果我们需要将16分解成两个数的平方差，我们可以设一个数为x，则另一个数为16/x。

根据平方差公式，我们有(x+16/x)(x-16/x)=x^2-(16/x)^2=x^2-256、这样我们就将16分解成了两个数的平方差x^2-256除了在分解数的平方差时使用平方差公式，它还可以用来简化代数表达式。

例如，我们有一个代数表达式(x+2)(x-2)，我们可以根据平方差公式简化它为x^2-4二、完全平方公式完全平方公式用于求解一个二次多项式的平方。

设a和b为任意实数，则完全平方公式可以表示为：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2完全平方公式可以用来求解一些常见的问题，如求一个数的平方、求解二次方程等。

例如，如果我们需要求解x^2+6x+9=0的根，我们可以利用完全平方公式写成(x+3)^2=0。

从中我们可以得到x=-3，即方程的根为-3完全平方公式也可以用来展开一个二次多项式。

例如，如果我们需要展开(x+1)^2，我们可以利用完全平方公式得到x^2+2x+1三、平方差公式和完全平方公式的拓展除了基本的平方差公式和完全平方公式之外，还有一些相关的公式和技巧可以帮助我们更好地理解和应用这两个公式。

1. 平方差公式的展开形式：有时候，我们需要展开一个平方差的其他形式，例如(a+b)^2 - 4ab。

根据平方差公式，我们可以得到：(a+b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^22.完全平方公式的逆运算：有时候，我们需要根据一个完全平方公式的结果反推出原始的二次多项式，例如(x+3)^2=x^2+6x+9、根据完全平方公式的逆运算，我们可以得到x^2+6x+9=(x+3)^23.平方差公式的应用：平方差公式不仅可以用于分解数的平方差，还可以用于简化代数表达式。

平方差公式和完全平方公式的变形平方差公式和完全平方公式是数学中两个重要的式子，它们在多项式中有着重要的作用。

本文将介绍平方差公式和完全平方公式的变形，以及它们的应用。

一、平方差公式平方差公式是指在多项式中，一个多项式的平方可以由另外一个多项式的平方加上两个多项式的乘积来表示。

它的一般形式可以表示为：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2从上面的公式可以看出，平方差公式的基本形式就是一个多项式的平方等于另外一个多项式的平方加上两个多项式的乘积。

二、完全平方公式完全平方公式是指一个多项式可以由一个多项式的平方加上两个多项式的乘积表示。

它的一般形式可以表示为：a^2-2ab+b^2=(a-b)^2从上面的公式可以看出，完全平方公式的基本形式就是一个多项式可以由另外一个多项式的平方减去两个多项式的乘积来表示。

三、平方差公式和完全平方公式的变形1. 平方差公式的变形：(a-b)^2=a^2-2ab+b^2从上面的公式可以看出，平方差公式也可以表示为一个多项式的平方等于另外一个多项式的平方减去两个多项式的乘积。

2. 完全平方公式的变形：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2从上面的公式可以看出，完全平方公式也可以由一个多项式的平方加上两个多项式的乘积来表示。

四、平方差公式和完全平方公式的应用1. 平方差公式的应用：a. 平方差公式可以用来解决二次方程。

b. 平方差公式可以用来求解三角形的面积。

c. 平方差公式可以用来计算圆的面积。

2. 完全平方公式的应用：a. 完全平方公式可以用来解决二次方程。

b. 完全平方公式可以用来求解三角形的面积。

c. 完全平方公式可以用来计算圆的面积。

五、总结从上面的介绍可以看出，平方差公式和完全平方公式是数学中重要的式子，它们可以用来解决二次方程、求解三角形的面积以及计算圆的面积。

此外，平方差公式和完全平方公式也可以变形，以求得更多的应用。

专题一：平方差公式例1：计算下列各整式乘法。

①位置变化(73)(37)x y y x +-②符号变化(27)(27)m n m n ---③数字变化98102⨯④系数变化(4)(2)24n n m m +-⑤项数变化(32)(32)x y z x y z ++-+⑥公式变化2(2)(2)(4)m m m +-+◆变式拓展训练◆【变式1】2244()()()()y x x y x y x y ---+++【变式2】22(2)(4)33b b a a ---【变式3】22222210099989721-+-++-…专题二：平方差公式的应用 例2：计算22004200420052003-⨯的值为多少？◆变式拓展训练◆【变式1】22()()x y z x y z -+-+-【变式2】2301(3021)(3021)⨯+⨯+【变式3】(25)(25)x y z x y z +-+-++【变式4】已知a 、b 为自然数，且40a b +=， （1）求22a b +的最大值；（2）求ab 的最大值。

专题三：完全平方公式例3：计算下列各整式乘法。

①位置变化：22()()x y y x --+②符号变化：2(32)a b --③数字变化：2197④方向变化：2(32)a -+⑤项数变化：2(1)x y +-⑥公式变化22(23)(46)(23)(23)x y x y x y x y -+-+++◆变式拓展训练◆【变式1】224,2a b a ab b +=++则的值为（ ） A.8 B.16 C.2 D.4【变式2】已知221() 4.,()_____2a b ab a b -==+=则 【变式3】已知225.6,x y xy x y +=-=+则的值为（ ）A.1B.13C.17D.25【变式4】已知222(1)()32x x x y x y xy ---=-+-，求的值专题四：完全平方公式的运用 例4：已知：4,2x y xy +==，求：①22x y +； ②44x y +； ③2()x y -◆变式拓展训练◆【变式1】2242411310,;x x x x x x -+=++已知求①②【变式2】225,2,4xy x y x y x y x y ++=++已知满足求的值。