湘教版数学七年级下册_《完全平方公式》拓展训练

3.3 公式法第2课时利用完全平方公式进行因式分解学习目标：1、领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力；2、经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤；3、培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用．难点：灵活地应用公式法进行因式分解．预习导学——不看不讲学一学：阅读教材P65-66说一说：学一学：计算下列各式：（1）（m－4n）2；（2）（m+4n）2；（3）（a+b）2；（4）（a－b）2．议一议：怎样把下列多项式分解因式：（1）m2－8mn+16n2（2）m2+8mn+16n2；（3）a2+2ab+b2；（4）a2－2ab+b2．【归纳总结】完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2．多项式因式分解的公式，主要的有以下三个：a2－b2=（a+b）（a－b）； a2±ab+b2=（a±b）2．在运用公式因式分解时，要注意：（1）每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、•次数等的总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是，当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时，应考虑用完全平方公式分解；（2）•在有些情况下，多项式不一定能直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分解；（3）当多项式各项有公因式时，应该首先考虑提公因式，•然后再运用公式分解．填一填：因式分解=+-3632a a 。

【课堂展示】P65-66例题8把1224+-x x 因式分解22222222224)1()1()]1)(1[()1(112)(12-+=-+=-=+⋅⋅-=+--x x x x x x x x x合作探究——不议不讲互动探究一：如果x 2+axy+16y 2是完全平方，求a 的值．【思路点拨】根据完全平方式的定义，解此题时应分两种情况，即两数和的平方或者两数差的平方，由此相应求出a 的值。

专题2.20 完全平方公式-参数问题（专项练习）一、单选题1．（2020·山东滨州市·八年级月考）若22x axy y ++是完全平方式，则a 的值是（ ） A ．4 B ．2 C ．2或2- D ．4或4- 2．（2020·浙江金华市·七年级期中）若22(1)9x m x --+是完全平方式，则m 的值为（ ） A ．4 B ．2或4- C ．6± D ．2-或4 3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）若22(3)1x m x +-+是完全平方式，x n +与2x +的乘积中不含x 的一次项，则m n 的值为（ ）A ．-4B ．16C ．-4或-16D ．4或16 4．（2021·河南信阳市·八年级期末）若x 2+mx +16＝（x +n ）2，其中m 、n 为常数，则n 的值是（ ）．A ．n ＝8B ．n ＝±8C ．n ＝4D ．n ＝±4 5．（2019·海南省昌江思源实验学校八年级期中）若x 2+6x +m 是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．6C ．9D ．186．（2021·福建泉州市·八年级期末）已知x 的二次三项式29x kx ++可以写成一个完全平方式，则k 的值是（ ）A ．3B ．3±C ．6D ．6±7．（2021·甘肃平凉市·八年级期末）若（x +m ）2=x 2+kx +16，则m 的值为（ ） A ．4 B ．±4 C ．8 D ．±88．（2021·内蒙古呼和浩特市·八年级期末）已知28x x a -+可以写成一个完全平方式，则a 可为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．649．（2021·辽宁大连市·八年级期末）若x 2+mx+9＝（x ﹣3）2，则m 的值为（ ） A ．6 B ．﹣6 C ．±6 D ．310．（2021·四川省遂宁市第二中学校八年级月考）如果22(3)16x m x --+是一个整式的平方，那么m 的值是( )A ．-1B ．7C ．-1或4D ．-1或711．（2020·武汉七一华源中学八年级月考）若 x 2- 2kx + 9 是完全平方式，则 k 的值为（ ） A ．6 B ．3 C ．±3 D ．±612．（2021·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）若22(1)16x m x -++是完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．5-C ．3或5-D ．4±13．（2021·河南三门峡市·八年级期末）已知，22412x xy ky ++是一个完全平方式，则k 的值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．914．（2021·河南商丘市·八年级期末）若a 2＋（m －2）a ＋9是一个完全平方式，则m 的值应是（ ）A ．8或－4B ．8C ．4或－8D ．－415．（2021·河南驻马店市·八年级期末）已知k 为常数，若多项式25x 2+kx +1恰好是另一个多项式的平方，则k ＝（ ）A ．5B ．±5C ．10D ．±1016．（2021·四川绵阳市·八年级期末）若代数式x 2+3x +2可以表示为(x ﹣1)2+a (x ﹣1)+b 的形式，则a +b 的值是（ ）A ．11B ．12C ．13D ．1417．（2021·广西河池市·八年级期末）若216x mx ++是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．4±B ．8±C ．4D ．8 18．（2021·山西临汾市·八年级期末）如果两数和的平方的结果是()2136x a x +-+，那么a的值是（ ）A ．11-B ．13或11-C ．13-或11D ．1319．（2021·山西晋城市·八年级期末）如果249x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．12± B ．9 C ．9± D ．1220．（2021·湖北襄阳市·八年级期末）多项式2425a ma ++是完全平方式，那么m 的值是（ ）A ．10±B ．20±C ．10D ．2021．（2021·广西玉林市·八年级期末）将多项式241x +加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，下列添加单项式错误的是（ ）A ．2xB ．4xC ．4x -D ．44x二、填空题22．（2021·上海宝山区·七年级期末）如果关于x 的多项式28x x m -+是一个完全平方式，那么m =________________．23．（2020·成都市金牛实验中学校七年级月考）若2(21)9x k x +-+是一个完全平方式，则k 的值为________．24．（2021·福建泉州市·八年级期末）如果24x kx ++恰好是另一个整式的平方，则k 的值为___．25．（2020·浙江杭州市·七年级期中）若22(3)4x k x --+是完全平方式，则k 的值为_________．26．（2020·浙江杭州市·七年级期末）若等式222(1)3x x a x -+=--成立，则a =______．27．（2021·重庆万州区·八年级期末）若236a ma ++是一个关于a 的完全平方式，则m =____．28．（2020·武汉市二桥中学八年级月考）若()22316x m x --+是完全平方式，则m 的值是_________．29．（2020·东北师大附中明珠学校八年级期中）已知x 2+14x +m （m 为常数）是完全平方公式，则m ＝_____．30．（2021·广东阳江市·八年级期末）将多项式24x +加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是___________（写出一个即可）31．（2021·河南安阳市·八年级期末）如果()211x m x --+是一个完全平方式，那么m 的值为______．32．（2021·河南郑州市·八年级期末）若2449x mx -+是一个完全平方式，则m =___________33．（2021·辽宁抚顺市·八年级期末）若9x 2+mxy +4y 2是一个完全平方式，则m ＝_____． 34．（2021·山东滨州市·八年级期末）若多项式()22325x m x +-+是完全平方式，则m 的值为______．35．（2020·浙江杭州市·七年级期中）（1）设24121x mx ++是一个完全平方式，则m =______． （2）已知15x x +=，那么221x x+=________． 36．（2021·湖北黄冈市·八年级期末）如果2(2)9x m x +-+是一个完全平方式，那么m 的值是__________．37．（2020·河南南阳市·八年级期中）若2249x mxy y -+是一个完全平方式，则m =______38．（2021·北京丰台区·八年级期末）如果关于x 的多项式24x bx ++是一个完全平方式，那么b =________．39．（2021·安徽芜湖市·八年级期末）若294x kx ++是一个完全平方式，则k 的值为_____． 40．（2021·湖北武汉市·八年级期末）若26x x m ++为完全平方式，则m =____． 41．（2021·云南玉溪市·八年级期末）如果210x x m -+是一个完全平方式，那么m 的值是__________．42．（2019·江苏苏州市·七年级期末）若2236x ax ++是完全平方式，则a =_________. 43．（2017·淄博市临淄区凤凰镇召口中学九年级期中）关于x 的二次三项式4x²+mx+1是完全平方式，则m=________44．（2019·无棣县鲁北高新技术开发区实验学校八年级月考）如果9x 2-axy+4y 2是完全平方式，则a 的值是____.45．（2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学七年级期中）已知关于x 的代数式()2x -1x 9a ++是完全平方式，则a =____________46．（2020·山东济南市·七年级期末）若241x mx +-是完全平方式，则m 的值是________________．47．（2020·沈阳市尚品学校七年级月考）若多项式241x Q ++是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q 是_______．参考答案1．C【分析】据完全平方公式的特点作答．【详解】由22x axy y ++是完全平方式得，axy=±2xy∴a=±2．故选：C ．【点拨】此题考查完全平方公式，此题的关键是熟悉完全平方公式——两数的平方和加上或减去两数．．．．．．．之积的．．．2．倍．等于这两数和的平方． 2．D【分析】先根据两平方项确定出这两个数，然后再根据完全平方公式的乘积的二倍项即可确定m 的值．【详解】解：∴2222(1)92(1)3--+=--+x m x x m x ，∴2(1)23m x x --=±，解得m=-2或m=4，故选：D ．【点拨】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的特点得到2(1)23m x x --=±是解决问题的关键．3．D【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m 与n 的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：∴x 2+2（m -3）x+1是完全平方式，（x+n ）（x+2）=x 2+（n+2）x+2n 不含x 的一次项， ∴m -3=±1，n+2=0，解得：m=4或m=2，n=-2，当m=4，n=-2时，n m =16；当m=2，n=-2时，n m =4，则n m =4或16，故选：D ．【点拨】此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 4．D【分析】由完全平方式的展开式，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∴x 2+mx +16＝（x +n ）2，∴8m =±，4n =±，故选：D ．【点拨】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式进行解题．5．C【分析】利用完全平方公式即可得出m 值．【详解】解：∴x 2+6x+m 是一个完全平方式，x 2+6x+m=x 2+2×3×x+32，∴m=9，故选C ．【点拨】此题主要考查了完全平方公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（a±b ）2=a 2±2ab+b 2．6．D【分析】由22293x kx x kx ++=++，而()222363,x x x ±=±+ 从而可得答案．【详解】 解： 22293x kx x kx ++=++，而()222363,x x x ±=±+6.k ∴=±故选：.D【点拨】本题考查的是完全平方式的特点，掌握完全平方式的特点求解字母系数的值是解题的关键．7．B【分析】根据完全平方公式展开之后即可判断出结果．【详解】∴()2222x m x mx m +=++，∴根据题意得：216m =，解得：4m =±，故选：B ．【点拨】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式展开后的形式是解题关键．8．C【分析】根据完全平方式的结构是：a 2+2ab+b 2和a 2-2ab+b 2两种，据此即可求解．【详解】解：∴x 2-8x+a 可以写成一个完全平方式，∴则a 可为：16．故选：C ．【点拨】本题考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．9．B【分析】根据完全平方公式()22369x x x -=-+，可求得m 的值．【详解】解：()2229=369x x mx x x +=-++﹣，可得m=-6．故答案选B ．【点拨】本题主要考查完全平方公式，关键在于记住口诀“首平方，尾平方，积的二倍放中央，符号看前方” ．10．D【分析】完全平方公式：（a±b ）2=a 2±2ab+b 2，这里首末两项是x 和4这两个数的平方，那么中间一项的系数为加上或减去x 和4乘积的2倍，故2(3)=8--±m ，从而求解．【详解】解：∴22(3)16x m x --+是一个整式的平方，∴222(3)16=(4)x m x x --+±∴2(3)=8--±m ，解得m=7或-1．故选：D ．【点拨】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．11．C【分析】根据两数的平方和加上或减去两数积的2倍，等于两数和或差的平方，即可求出k 的值．【详解】解：∴x 2- 2kx + 9 是完全平方式，∴- 2k =±2×1×3=±6，∴k=±3，故选：C ．【点拨】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．12．C【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m 的值．【详解】∴()22116x m x -++是完全平方式， ∴14m +=±，解得：3m =或5-，则m 的值是3或5-．故选：C ．【点拨】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的内容是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：222a ab b ++和222a ab b -+．13．D【分析】式子22412x xy ky ++可变形为22(2)223x x y ky ++，再根据完全平方式的定义即可求解．【详解】∴2222412(2)223x xy ky x x y ky ++=++，∴239k ==．故选：D ．【点拨】本题考查完全平方式的定义，掌握完全平方式的定义是解题的关键．14．A【分析】根据完全平方式得出（m －2）a ＝±2•a•3，求出即可．【详解】∴a 2＋（m －2）a ＋9是一个完全平方式，∴（m －2）a ＝±2•a•3，∴m=8或－4，故选A ．【点拨】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a 2−2ab ＋b 2和a 2＋2ab ＋b 2．15．D【分析】根据完全平方公式的平方项确定出首末两项是5x 和1的平方，那么中间项为加上或减去5x 和1的乘积的2倍．【详解】∴2251x kx ++恰好是另一个多项式的平方，∴215kx x =±⨯⋅，∴10k =±．故选：D ．【点拨】本题主要考查了完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，需要注意k 值有两个．16．A【分析】将(x ﹣1)2+a(x ﹣1)+b 展开后再与x 2+3x+2比较系数即可求解．【详解】解：由题意可知：x 2+3x +2=(x ﹣1)2+a(x ﹣1)+b ，且(x ﹣1)2+a(x ﹣1)+b=x²+(a -2)x+1-a+b ，比较系数可得：a -2=3，且1-a+b=2，解得a=5，b=6，∴a+b=11，故选：A ．【点拨】本题考查了多项式的乘法运算及多项式相等的条件，熟练掌握多项式的运算法则是解决本题的关键．17．B【分析】根据216x mx ++是完全平方式，将其变形为2816x x ±+，即可求解．【详解】解：∴216x mx ++是完全平方式，∴216x mx ++=224x mx ++=22244x x ±⨯+=2284x x ±+=2816x x ±+∴m=±8．故选：B ．【点拨】本题主要考查了完全平方的展开式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．18．B【分析】根据完全平方公式判断即可；【详解】∴两数和的平方的结果是()2136x a x +-+， ∴112a -=±，∴112a -=或112a -=-，∴13a =或11a =-；故答案选B ．【点拨】本题主要考查了完全平方公式的应用，准确计算是解题的关键．19．A【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m 的值．【详解】解：∴()22249=23x mx x mx -+-+，∴223mx x -=±⨯⨯， 解得m=±12．故选：A ．【点拨】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．20．B【分析】由4a 2+ma+25是完全平方式，可知此完全平方式可能为（2a±5）2，再求得完全平方式的结果，根据多项式相等，即可求得m 的值．【详解】解：∴4a 2+ma+25是完全平方式，∴4a 2+ma+25=（2a±5）2=4a 2±20a+25，∴m=±20．故选：B ．【点拨】本题考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．21．A【分析】根据完全平方公式即可求出答案．【详解】解：A.4x 2+2x+1，不是完全平方式，故此选项符合题意；B.4x 2+4x+1=（2x+1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意；C.4x 2-4x+1=（2x -1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意；D.4x 4+4x 2+1=（2x 2+1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意；故选：A ．【点拨】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 22．16【分析】根据完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+即可得出结论．【详解】解：∴关于x 的多项式28x x m -+=224x x m -⨯+是一个完全平方式，∴m=42=16故答案为：16．【点拨】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键．23．72或52- 【分析】利用完全平方式的结构特征判断即可确定出k 的值．【详解】()2219 x k x +-+是一个完全平方公式，∴()216k -=±，∴216k -=±， 解得：72k =或52k =-，故答案为：72或52-．【点拨】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．24．4±【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．【详解】解：∴x2+kx+4恰好是另一个整式的平方，∴k=±4，故答案为：±4．【点拨】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．25．5或1【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【详解】解：∴多项式x2-2（k-3）x+4是完全平方式，∴2（k-3）=±4，解得：k=5或1，故答案为：5或1．【点拨】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．26．-2【分析】应用完全平方公式，将已知等式右边展开，然后合并同类项，与等式左边进行比较即可求解．【详解】解：∴（x-1）2-3=x2-2x-2，∴x2-2x+a=x2-2x-2，∴a=-2．故答案为：-2．【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．27．±12．【分析】根据完全平方式得出ma =±12a ，求出即可．【详解】解：∴236a ma ++是一个完全平方式，∴236a ma ++=2a ±2•6a +36，ma =±12a ，m =±12．故答案为±12．【点拨】本题考查了对完全平方式的应用，注意：完全平方式有a 2+2ab +b 2和a 2-2ab +b 2两个． 28．1-或7【分析】根据完全平方式得()238m --=±，解出m 的值即可．【详解】解：∴()228164x x x ±+=±，∴()238m --=±，解得1m =-或7．故答案是：1-或7．【点拨】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．29．49【分析】根据乘积二倍项和已知平方项确定出这两个数为x 和7，再利用完全平方式求解即可．【详解】解：∴x 2+14x +m （m 为常数）是完全平方公式，∴x 2+14x +m ＝（x +7）2，∴m ＝49，故答案为：49．【点拨】本题考查了求完全平方公式中的字母系数，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 30．4x【分析】根据完全平方式的性质分析，即可得到答案．【详解】多项式24x +加上4x ，得()22442x x x ++=+故答案为：4x ．【点拨】本题考查了完全平方式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方式的性质，从而完成求解．31．3或-1【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m 的值．【详解】解：∴()211x m x --+是一个完全平方式， ∴(1)=2m --±．解得：m=3或-1故答案为：3或-1．【点拨】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．32．28±【分析】由()22244927,x mx x mx -+=-+结合2449x mx -+是一个完全平方式，可得22728,m -=±⨯⨯=±从而可得答案．【详解】解： ()22244927,x mx x mx -+=-+ 又2449x mx -+是一个完全平方式，22728,m ∴-=±⨯⨯=±28.m ∴=±故答案为：28.±【点拨】本题考查的是完全平方式的积的2倍项的特点，掌握完全平方式是解题的关键． 33．12±【分析】由9x 2+mxy +4y 2是一个完全平方式可以化为（3x ±2y ）2，可知m ＝±2×3×2，由此选择答案解答即可．【详解】解：∴9x 2+mxy +4y 2是一个完全平方式，∴9x 2+mxy +4y 2＝（3x ±2y ）2，∴m ＝±2×3×2＝±12．故答案为：±12．【点拨】本题考查完全平方公式，掌握公式结构正确计算是解题关键．34．2-或8【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m 的值．【详解】解：∴多项式()22325x m x +-+=()22235x m x +-+是完全平方式， ∴2(3-m)x=±2x×5，∴m=-2或8．故答案为：-2或8．【点拨】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．35．±44 23【分析】（1）根据完全平方公式：（a±b ）2=a 2±2ab+b 2先求出另一个数，然后平方即可； （2）将已知等式两边平方，从而得到结果．【详解】解：（1）∴4x 2+mx+121是一个完全平方式，∴mx=±2×11×2x ，∴m=±44．（2）∴15x x +=，两边平方， ∴221225x x ++=， ∴22123x x+=． 【点拨】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．36．8或4-【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m 的值．【详解】解：∴2(2)9x m x +-+是一个完全平方式，∴26m -=±，∴8m =或4m =-．故答案为：8或4-．【点拨】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．37．12±【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值．【详解】∴2249x mxy y -+是一个完全平方式，∴22312m =±⨯⨯=±．故答案为：12±．【点拨】本题考查了完全平方公式的简单应用，明确完全平方公式的基本形式是解题的关键． 38．4±【分析】多项式的首项和末项分别是x 和2的平方，那么中间一项是加上或减去x 与2积的2倍，由此得到答案．【详解】∴222(2)444x x x x bx ±±=+=++，∴b=4±，故答案为：4±．【点拨】此题考查完全平方式，掌握完全平方式的构成特点是解题的关键．39．3±.【分析】根据完全平方公式，分和的完全平方公式和差的完全平方公式两种情形求解即可.【详解】 ∴294x kx ++=223()2x kx ++， ∴kx=322x ±⨯⨯， ∴k=3±，故应该填3±.【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式并能进行灵活公式变形是解题的关键. 40．9【分析】完全平方式可以写为首末两个数的平方(2x ，则中间项为x 2倍，即可解得m 的值．【详解】解：根据题意，26x x m ++是完全平方式，且6>0，可写成(2x +，则中间项为x 2倍，故62x =∴m =9，故答案填：9．【点拨】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意中间项的符号，避免漏解．41．25【分析】利用完全平方公式的结构特征，即可求出m 的值．【详解】解：∴x 2-10x +m 是一个完全平方式， ∴m=210()2-=25． 故答案为：25．【点拨】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．42．6±【解析】试题分析：根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，由题意可知a=±6.43．±4【解析】试题分析：根据完全平方式的特点，两个数的平方和加减两数积的2倍，因此可知这两个数为2x 和1，因此积的2倍为4x ，因此m=±4.点拨：此题主要考查了完全平方式，解题时主要是根据完全平方式的特点，两个数的平方和加减两数积的2倍，先判断出两个数，然后确定积的2倍即可,44．±12【分析】根据完全平方式得出-axy=±2×3x2y ，求出即可.【详解】解：9x 2-axy+4y 2=（3x±2y ）2即-axy=±2×3x2y所以a=±12【点拨】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个a 2-2ab+b 2和a 2+2ab+62是本题的易错点.45．5或-7【分析】根据完全平方公式的特点，可以发现9的平方根是±3，进而确定a 的值.【详解】解：()2x -1x 9a ++=()()22x -1x 3a ++±∴-（a+1）x=2×（±3）x解得a=5或a=-7【点拨】本题考查了完全平方公式的特点，即首平方、尾平方，二倍积在中央；另外9的算术平方根是±3是易错点46．4±【分析】依据完全平方公式，－m=±2ab=±241，从而求得m 的值 【详解】情况一：加法完全平方公式则：－m=2ab=241，解得：m=－4情况二：减法完全平方公式则：－m=－2ab=241，解得：m=4故答案为：4【点拨】本题是乘法公式的考查，关键点在于题干中的式子，可以满足加法完全平方公式和减法完全平方公式，会有2解，勿遗漏47．±4x , 4x4【分析】根据题意可知本题是考查完全平方式，设这个单项式为Q，∴如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故Q = ±4x; ∴如果如果这里首末两项是Q和1，则乘积项是4x2=2×2x2，所以Q = 4x4.【详解】解：∴4x2 +1±4x = (2x±1)24x2+1+4x4 = (2x2+1)2;∴加上的单项式可以是±4x , 4x4,中任意一个,故答案为：±4x , 4x4.【点拨】本题主要考查完全公式的有关知识，根据已知两个项分类讨论求出第三项是解题的关键.。

湘教版数学七年级下册2.2.2《完全平方公式》教学设计一. 教材分析《完全平方公式》是湘教版数学七年级下册第2章第2节的内容。

本节课的主要内容是完全平方公式的探究和应用。

完全平方公式是初中学段数学的重要知识点，也是后续学习二次函数、解一元二次方程等知识的基础。

本节课通过引导学生探究完全平方公式，培养学生运用观察、归纳、推理等数学思维方法，提高学生的数学素养。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数的乘法、完全平方的概念等基础知识，具备了一定的观察、归纳、推理能力。

但部分学生对完全平方公式的理解可能仍停留在死记硬背上，对公式的推导过程和应用范围不够清晰。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导他们通过自主学习、合作交流等方式，深入理解完全平方公式，提高他们的数学应用能力。

三. 教学目标1.理解完全平方公式的含义，掌握公式的推导过程。

2.能够运用完全平方公式进行计算和求解问题。

3.培养学生的观察、归纳、推理能力，提高他们的数学素养。

4.培养学生的合作交流意识，提高他们的团队协作能力。

四. 教学重难点1.完全平方公式的推导过程及应用。

2.完全平方公式的灵活运用，解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入完全平方公式，激发学生的学习兴趣。

2.自主学习法：引导学生独立探究完全平方公式，培养学生的自主学习能力。

3.合作交流法：学生进行小组讨论，分享学习心得，提高学生的团队协作能力。

4.实践操作法：让学生通过实际计算，巩固完全平方公式的应用。

六. 教学准备1.教学课件：制作涵盖完全平方公式的推导过程、应用实例等内容的课件。

2.练习题：准备一些有关完全平方公式的练习题，用于巩固所学知识。

3.教学道具：准备一些实物模型，如正方体、立方体等，帮助学生直观理解完全平方公式。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过生活实例引入完全平方公式，如计算一个正方形的面积，引出完全平方公式的概念。

2.呈现（10分钟）利用课件展示完全平方公式的推导过程，引导学生观察、归纳，得出完全平方公式的表达式。

2.2.2完全平方公式（一）【教学目标】1、理解完全平方公式的意义。

2、准确掌握两个公式的结构特征，熟练运用公式进行计算。

3、通过对完全平方公式的理解，培养思维的条理性和表达能力。

【教学重点】完全平方公式的推导过程、结构特征、正确运用公式进行计算。

【教学难点】灵活应用公式进行计算。

【导学过程】 预习导学（课本155153p p -）1、复习回顾：计算下列各式，你能发现什么规律？（1）、()()()=++=+1112p p p 。

（2） ()=+22m 。

（3）、()()()=--=-1112p p p 。

（4）、()=-22m 。

2、尝试归纳：=+2)(b a =-2)(b a 公式中的字母a 、b 可以表示 ，也可以表示单项式或 。

3、完全平方公式用语言叙述是： 。

4、（小组之间深入探究）你能根据图（1）、图（2）中的面积说明完全平方公式吗？()=+2b a + +()=-2b a - +5.自学教材154p 例3。

试一试、用完全平方公式计算，并指出里面的a 和b 。

（1）、()22y x + （2）、()22y x -【课堂展示】例1、运用完全平方公式计算：（1）、()24a b - （2）、212y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （3）、2232.1⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a（4）、()2a b - （5）、()2b a --思考：通过例题1中（4）、（5）题的运算，请问()2a b -与()2a b -相等吗？()2b a +与()2b a --相等吗？变式练习：课本练习题第1题。

例2、运用完全平方公式计算： （1）、2102 ⑵2199 （3）279.8【随堂练习】 1、21⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x = . 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x = . 2、下列计算正确的是（ ）A 、（m-1）2=m2-1B 、（x+1）（x+1）=x2+x+1C 、（12x-y ）2=14x2-xy-y2 D 、（x+y ）（x-y ）（x2-y2）=x4-y43、将正方形的边长由acm 增加6cm ，则正方形的面积增加了（ ）A ．36cm2B ．12acm2C ．（36+12a ）cm2D ．以上都不对4、课本习题14.2的第2大题。

《平方差公式》拓展训练一、选择题1．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（）A．a2﹣b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+b）2=a2+2ab+b22．下列各式：①（﹣a﹣2b）（a+2b）；②（a﹣2b）（﹣a+2b）；③（a﹣2b）（2b+a）；④（a﹣2b）（﹣a﹣2b），其中能用平方差公式计算的是（）A．①②B．①③C．②③D．③④3．若a2﹣b2=，a+b=，则a﹣b的值为（）A．﹣B．C．1D．24．下列各式计算正确的是（）A．（x+2）（x﹣5）=x2﹣2x﹣3B．（x+3）（x﹣）=x2+x﹣1C．（x﹣）（x+）=x2﹣x﹣D．（x﹣2）（﹣x﹣2）=x2﹣45．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a（a﹣b）=a2﹣ab6．计算（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（）A．B．C．D．7．化简（a﹣1）（a+1）（a2+1）﹣（a4﹣1）的结果为（）A．0B．2C．﹣2D．2a48．若a2﹣4b2=12，a﹣2b=2，则a b的值为（）A．4B．﹣4C．﹣D．9．下列计算正确是（）A．（x+2）（2﹣x）=x2﹣4B．（2x+y2）（2x﹣y2）=4x2﹣y4C．（3x2+1）（3x2﹣1）=9x2﹣1D．（x+2）（x﹣3）=x2﹣610．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8=32﹣12，16=52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255054B．255064C．250554D．255024二、填空题11．计算：2008×2010﹣20092=．12．化简（2b+3a）（3a﹣2b）﹣（2b﹣3a）（2b+3a），当a=﹣1，b=2时，原式的值是．13．已知a为实数，若有整数b，m，满足（a+b）（a﹣b）=m2，则称a是b，m 的弦数．若a＜15且a为整数，请写出一组a，b，m，使得a是b，m的弦数：．14．阅读材料后解决问题：计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1请你根据以上解决问题的方法，试着解决：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=15．先阅读后计算：为了计算4×（5+1）×（52+1）的值，小黄把4改写成5﹣1后，连续运用平方差公式得：4×（5+1）×（52+1）=（5﹣1）×（5+1）×（52+1）=（52﹣1）×（52+1）=252﹣1=624．请借鉴小黄的方法计算：（1+）××××××，结果是．三、解答题16．阅读下文件，寻找规律：已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）=1﹣x5…（1）观察上式猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n）=．（2）根据你的猜想计算：①1+2+22+23+24+...+22018②214+215+ (2100)17．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形．（1）设如图1中阴影部分面积为S1，如图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+118．（1）计算并观察下列各式：第1个：（a﹣b）（a+b）=；第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）=；第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=；……这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．（2）猜想：若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+a n﹣3b2+……+a2b n﹣3+ab n ﹣2+b n﹣1）=；（3）利用（2）的猜想计算：2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1=．（4）拓广与应用：3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=．19．乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是，宽是，面积是（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：公式2：（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．20．请先观察下列算式，再填空：32﹣12=8×1，52﹣32=8×2．①72﹣52=8×；②92﹣（）2=8×4；③（）2﹣92=8×5；④132﹣（）2=8×；…（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？《平方差公式》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（）A．a2﹣b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+b）2=a2+2ab+b2【分析】边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积=a2﹣b2，新的图形面积等于（a+b）（a﹣b），由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．【解答】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2；剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：B．【点评】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．2．下列各式：①（﹣a﹣2b）（a+2b）；②（a﹣2b）（﹣a+2b）；③（a﹣2b）（2b+a）；④（a﹣2b）（﹣a﹣2b），其中能用平方差公式计算的是（）A．①②B．①③C．②③D．③④【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【解答】解：①（﹣a﹣2b）（a+2b）=﹣（a+2b）2=﹣a2﹣4ab﹣4b2；②（a﹣2b）（﹣a+2b）=﹣（a﹣2b）2=﹣a2+4ab﹣4b2；③（a﹣2b）（2b+a）=a2﹣4b2；④（a﹣2b）（﹣a﹣2b）=4b2﹣a2，故选：D．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．3．若a2﹣b2=，a+b=，则a﹣b的值为（）A．﹣B．C．1D．2【分析】根据a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=，a+b=即可求得a﹣b的值．【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=，a+b=，∴a﹣b=÷=，故选：B．【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的结构特点．4．下列各式计算正确的是（）A．（x+2）（x﹣5）=x2﹣2x﹣3B．（x+3）（x﹣）=x2+x﹣1C．（x﹣）（x+）=x2﹣x﹣D．（x﹣2）（﹣x﹣2）=x2﹣4【分析】利用多项式乘多项式法则，以及平方差公式判断即可．【解答】解：A、原式=x2﹣3x﹣10，不符合题意；B、原式=x2+x﹣1，不符合题意；C、原式=x2﹣x﹣，符合题意；D、原式=4﹣x2，不符合题意，故选：C．【点评】此题考查了平方差公式，以及多项式乘多项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．5．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图2所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a（a﹣b）=a2﹣ab【分析】分别计算出两个图形中阴影部分的面积即可．【解答】解：图1阴影部分面积：a2﹣b2，图2阴影部分面积：（a+b）（a﹣b），由此验证了等式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，故选：A．【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．6．计算（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（）A．B．C．D．【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而计算得出答案．【解答】解：原式（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）…（1+）（1﹣）=××××××…××=．故选：C．【点评】此题主要考查了平方差公式，正确应用公式是解题关键．7．化简（a﹣1）（a+1）（a2+1）﹣（a4﹣1）的结果为（）A．0B．2C．﹣2D．2a4【分析】先把前面两项利用平方差公式计算得原式=（a2﹣1）（a2+1）﹣a4+1，然后再利用平方差公式展开，最后合并即可．【解答】解：原式=（a2﹣1）（a2+1）﹣a4+1=a4﹣1﹣a4+1=0．【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．8．若a2﹣4b2=12，a﹣2b=2，则a b的值为（）A．4B．﹣4C．﹣D．【分析】已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出所求的值．【解答】解：∵a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）=12，a﹣2b=2①，∴a+2b=6②，联立①②，解得：a=4，b=1，则原式=4，故选：A．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．9．下列计算正确是（）A．（x+2）（2﹣x）=x2﹣4B．（2x+y2）（2x﹣y2）=4x2﹣y4C．（3x2+1）（3x2﹣1）=9x2﹣1D．（x+2）（x﹣3）=x2﹣6【分析】根据平方差公式和多项式乘以多项式法则求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、结果是4﹣x2，故本选项不符合题意；B、结果是4x2﹣y4，故本选项符合题意；C、结果是9x4﹣1，故本选项不符合题意；D、结果是x2﹣x﹣6，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了平方差公式和多项式乘以多项式法则，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．10．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8=32﹣12，16=52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255054B．255064C．250554D．255024【分析】由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n≤2017，解得n≤252，可得在不超过2017的正整数中，“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解．【解答】解：由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n≤2017，解得n≤252，则在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为32﹣12+52﹣32+ (5052)5032=5052﹣12=255024．故选：D．【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．二、填空题11．计算：2008×2010﹣20092=﹣1．【分析】先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出即可．【解答】解：原式=（2009﹣1）×（2009+1）﹣20092=20092﹣1﹣20092=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了平方差公式，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键．12．化简（2b+3a）（3a﹣2b）﹣（2b﹣3a）（2b+3a），当a=﹣1，b=2时，原式的值是﹣14．【分析】先利用平方差公式化简计算，合并同类项后再代入数据计算即可．【解答】解：（2b+3a）（3a﹣2b）﹣（2b﹣3a）（2b+3a），=（3a）2﹣（2b）2﹣（2b）2+（3a）2，=2×9a2﹣2×4b2，=18a2﹣8b2．当a=﹣1，b=2时，原式=18×（﹣1）2﹣8×22=﹣14．【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键，计算时，要注意符号的处理．13．已知a为实数，若有整数b，m，满足（a+b）（a﹣b）=m2，则称a是b，m 的弦数．若a＜15且a为整数，请写出一组a，b，m，使得a是b，m的弦数：5，4，3．【分析】根据题中弦数的定义判断即可．【解答】解：∵（5+4）×（5﹣4）=9×1=32，∴5是4，3的弦数，故答案为：5，4，3【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中的新定义是解本题的关键．14．阅读材料后解决问题：计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1请你根据以上解决问题的方法，试着解决：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）=．故答案为：．【点评】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键．15．先阅读后计算：为了计算4×（5+1）×（52+1）的值，小黄把4改写成5﹣1后，连续运用平方差公式得：4×（5+1）×（52+1）=（5﹣1）×（5+1）×（52+1）=（52﹣1）×（52+1）=252﹣1=624．请借鉴小黄的方法计算：（1+）××××××，结果是2﹣．【分析】在前面乘一个2×（1﹣），然后再连续利用平方差公式进行计算即可．【解答】解：原式=2×（1﹣）×（1+）××××××=2×（1﹣）××××××=2×（1﹣）×××××…=2×（1﹣）×（1+）=2×（1﹣）=2﹣故答案为：2﹣．【点评】此题主要考查了平方差公式的运用，正确应用公式是解题关键．对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．三、解答题16．阅读下文件，寻找规律：已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）=1﹣x5…（1）观察上式猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n）=．1﹣x n+1（2）根据你的猜想计算：①1+2+22+23+24+...+22018②214+215+ (2100)【分析】（1）依据变化规律，即可得到（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n）=1﹣x n+1．（2）①依据（1）中的规律，即可得到1+2+22+23+24+…+22018的值；②将214+215+…+2100写成（1+2+22+23+24+…+2100）﹣（1+2+22+23+24+…+213），即可运用①中的方法得到结果．【解答】解：（1）由题可得，（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n）=1﹣x n+1．故答案为：1﹣x n+1；（2）①1+2+22+23+24+ (22018)=﹣（1﹣2）（1+2+22+23+24+ (22018)=﹣（1﹣22019）=22019﹣1；②214+215+…+2100=（1+2+22+23+24+...+2100）﹣（1+2+22+23+24+ (213)=﹣（1﹣2）（1+2+22+23+24+...+2100）+（1﹣2）（1+2+22+23+24+ (213)=﹣（1﹣2101）+（1﹣214）=2101﹣214．【点评】此题考查了平方差公式，认真观察、仔细思考，善用联想，弄清题中的规律是解决这类问题的方法．17．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形．（1）设如图1中阴影部分面积为S1，如图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式；（2）根据面积相等可得（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（3）从左到右依次利用平方差公式即可求解．【解答】解：（1）∵图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，∴S1=a2﹣b2，S2=（a+b）（a﹣b）；（2）依据阴影部分的面积相等，可得（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（3）原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1=（28﹣1）（28+1）+1=（216﹣1）+1=216．【点评】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键．18．（1）计算并观察下列各式：第1个：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；……这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．（2）猜想：若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+a n﹣3b2+……+a2b n﹣3+ab n﹣2+b n﹣1）=a n﹣b n；（3）利用（2）的猜想计算：2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1=2n﹣1．（4）拓广与应用：3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=．【分析】（1）根据多项式乘多项式的乘法计算可得；（2）利用（1）中已知等式得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差；（3）将原式变形为2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1═（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1），再利用所得规律计算可得；（4）将原式变形为3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=×（3﹣1）（3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1），再利用所得规律计算可得．【解答】解：（1）第1个：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；故答案为：a2﹣b2、a3﹣b3、a4﹣b4；（2）若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+a n﹣3b2+……+a2b n﹣3+ab n﹣2+b n ﹣1）=a n﹣b n，故答案为：a n﹣b n；（3）2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1==（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1）=2n﹣1n=2n﹣1，故答案为：2n﹣1．（4）3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1=×（3﹣1）（3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1）=×（3n﹣1n）=，故答案为：．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，观察等式发现规律是解题关键．19．乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是a2﹣b2（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是a+b，宽是a﹣b，面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2公式2：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．【分析】（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）中的答案可以由（1）、（2）得到（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；反过来也成立；（4）把10.3×9.7写成（10+0.3）（10﹣0.3），利用公式求解即可．【解答】解：（1）阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；故答案为：a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）、（2）得到，公式1：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；公式2：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（4）10.3×9.7=（10+0.3）（10﹣0.3）=102﹣0.32=100﹣0.09=99.91．【点评】本题考查了平方差公式的几何表示，利用不同的方法表示图形的面积是解题的关键．20．请先观察下列算式，再填空：32﹣12=8×1，52﹣32=8×2．①72﹣52=8×3；②92﹣（7）2=8×4；③（11）2﹣92=8×5；④132﹣（11）2=8×6；…（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？【分析】（1）从上式中可以发现等式左边：两数的平方差，前一个数比后一个数大2；等式右边：前一个因数是8，后一个是等式左边两数的和除4，所以可写成：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n；（2）运用平方差公式计算此式，证明它成立．【解答】解：①3；②7；③11；④11，6．（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n；（2）原式可变为（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）=8n．【点评】（1）题的关键是找出各数之间的关系．（2）题的关键是利用平方差公式计算此式，证明它成立．。

湘教版七年级下册 2.2.2完全平方公式培优练习一、选择题1. 如图是一个正方形,分成四部分,其面积分别是a 2,ab,ab,b 2,则原正方形的边长是( ) A. a 2+b2B.a+bC.a-bD.a 2-b 22.下面各运算中，结果正确的是( ) A.2a 3+3a 3=5a6B.-a 2•a 3=a 5C.（a +b ）（-a -b ）=a 2-b 2D.（-a -b ）2=a 2+2ab +b 23.若(2x -5y )2=(2x +5y )2+m ，则代数式m 为( ) A.-20xy B.20xy C.40xy D.-40xy 4. 若a+=7,则a 2+的值为( ) A.47B.9C.5D.515. 不论x ，y 为何有理数，x 2+y 2-10x +8y +45的值均为( )A.正数B.零C.负数D.非负数 6.已知(a+b)2-2ab=5，则a 2+b 2的值为( ) A.10 B.5 C.1 D.不能确定 7. 如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为( ) A ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b) D ．(a ＋b)2＝(a －b)2＋4ab 8.下列运算中，正确的运算有( )①(x ＋2y)2＝x 2＋4y 2；②(a－2b)2＝a 2－4ab ＋4b 2；③(x＋y)2＝x 2－2xy ＋y 2；④(x－14)2＝x 2－12x ＋116.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9.已知：a -b =3，ab =1，则a 2-3ab +b 2=_____． 10. 填上适当的整式，使等式成立：(x -y )2+_____=(x +y )2．11.若a +b =4，则a 2+2ab +b 2的值为_____． 12.已知x 2-4＝0，则代数式x (x +1)2- x (x 2+ x )-x -7的值是 ．13.若a 2b 2+a 2+b 2+1-2ab =2ab ，则a +b 的值为_____． 14.请看杨辉三角(1)，并观察下列等式(2)：(1) (a ＋b)1＝a ＋b ； (a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2； (a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3； (a ＋b)4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 2＋b 4；…(2)根据前面各式的规律，则(a ＋b)6＝__________． 三、计算题15.计算：(a -2b +3c )(a +2b -3c )．16.已知(a +b )2=24，(a -b )2=20，求： (1)ab 的值是多少？ (2)a 2+b 2的值是多少？17. (1)已知a －b ＝3，求a(a －2b)＋b 2的值； (2)已知ab ＝2，a ＋b ＝5，求a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3的值．18.在三个整式x 2＋2xy ，y 2＋2xy ，x 2中，请你任意选出两个进行加(或减)法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．参考答案：一、选择题1.D2.D3.D4.A5. A6.B7. D8.B二、填空题9.分析：应把所给式子整理为含（a-b）2和ab的式子，然后把值代入即可．解：∵（a-b）2=32=9，∴a2-3ab+b2=（a-b）2-ab=9-1=810.分析：所填的式子是：（x+y）2-（x-y）2，化简即可求解．解：（x+y）2-（x-y）2=（x2+2xy+y2）-（x2-2xy+y2）=4xy．11.分析：原式利用完全平方公式化简，将a+b的值代入计算即可求出值．解：∵a+b=4，∴a2+2ab+b2=（a+b）2=16．12.分析：分析：因为x2-4=0，∴x2=4，根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则化简原式后，再代入求值．解：x(x+1)2-x(x2+x)–x-7＝x3+2x2+x-x3-x2-x-7=x2-7.当x2-4＝0时，x2＝4，原式＝-3．13.分析：首先把2ab移到等式的左边，然后变为a2b2+a2+b2+1-2ab-2ab=0，接着利用完全平方公式分解因式，最后利用非负数的性质即可求解．解：∵a2b2+a2+b2+1-2ab=2ab，∴a2b2+a2+b2+1-2ab-2ab=0，∴a2b2-2ab+1+a2+b2-2ab=0，∴（ab-1）2+（a-b）2=0，∴ab=1，a-b=0，∴a=b=1或-1，∴a+b=2或-2．14.解：a6＋6a5b＋15a4b2＋20a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6三、计算题(本大题共4小题)15.分析：首先将原式变为：[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]，然后利用平方差公式，即可得到a2-（2b-3c）2，求出结果．解：（a-2b+3c）（a+2b-3c）=[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]=a2-（2b-3c）2=a2-（4b2-12bc+9c2）=a2-4b2+12bc-9c2．16.分析：由（a+b）2=24，（a-b）2=20，可以得到：a2+b2+2ab=24…①，a2+b2-2ab=20…②，通过两式的加减即可求解．解：∵（a+b）2=24，（a-b）2=20，∴a2+b2+2ab=24…①，a2+b2-2ab=20…②，（1）①-②得：4ab=4，则ab=1；（2）①+②得：2（a2+b2）=44，则a2+b2=22．17.分析：（1）首先对a(a－2b)＋b2进行转化成（a －b）的形式，再利用已知条件就可以了；（2）同理可解。

(湘教版)七年级数学下册：2.2.2《完全平方公式》教学设计一. 教材分析《完全平方公式》是湘教版七年级数学下册第2章第2节的内容。

本节课主要让学生掌握完全平方公式的概念、推导过程以及如何运用完全平方公式进行计算。

完全平方公式是初中学段数学的重要知识点，也是后续学习平方差公式、完全平方公式等的基础。

本节课的内容对于培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力具有重要意义。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了有理数的乘法、完全平方数等概念。

但是，对于完全平方公式的推导过程和灵活运用，部分学生可能还存在困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习差异，针对性地进行教学，提高学生的数学素养。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握完全平方公式的概念、推导过程，学会运用完全平方公式进行计算。

2.过程与方法：通过小组合作、探究学习，培养学生发现问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。

四. 教学重难点1.重点：完全平方公式的概念、推导过程以及运用。

2.难点：完全平方公式的灵活运用，解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入完全平方公式，激发学生的学习兴趣。

2.小组合作学习：让学生在小组内讨论、探究完全平方公式的推导过程，培养团队协作精神。

3.案例教学法：分析典型例题，引导学生运用完全平方公式解决问题。

4.反馈评价法：及时了解学生的学习情况，针对性地进行教学调整。

六. 教学准备1.教学PPT：制作包含完全平方公式、例题、练习等内容的PPT。

2.学习资料：为学生准备相关的学习资料，以便于课堂学习和课后巩固。

3.教学用品：黑板、粉笔、投影仪等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如正方形的面积公式，引出完全平方公式。

提出问题，引导学生思考完全平方公式的推导过程。

2.呈现（10分钟）呈现完全平方公式的定义和推导过程，让学生初步了解并记忆完全平方公式。

完全平方公式教学目标：1、知识与技能：较熟练地运用完全平方公式进行计算；2、过程与方法：了解三个数的和的平方公式的推导过程,培养学生推理的能力。

3、情感、态度与价值观：能正确地根据题目的要求选择不同的乘法公式进行运算。

教学重点：1、完全平方公式的运用。

教学难点：正确选择完全平方公式进行运算。

教学方法：探索讨论、归纳总结。

教学过程：一、预学（一）、乘法公式复习1、平方差公式：()()22b a b a b a -=-+2、完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-3、多项式与多项式相乘的运算方法。

4、说一说：(1) 2)(b a - 与 2)(a b -有什么关系？ (2) 2)(b a + 与 2)(b a --有什么关系（二）、探究 运用完全平方公式计算：(1) 2104 (2) 2198分析：关键正确选择乘法公式解：(1) 2104=2)4100(+=22441002100+⨯⨯+= 10000＋800＋16＝10816 (2) 2198＝2)2200(-＝22222002200+⨯⨯-＝40000－800＋4＝39204（三）、精导运用完全平方公式计算：（1）2)(c b a ++ （2）直接利用第（1）题的结论计算：2)32(z y x +-解：（1）2)(c b a ++＝2])[(c b a ++＝22)(2)(c c b a b a ++++＝222222c bc ac b ab a +++++＝bc ac ab c b a 222222+++++ 启发学生认真观察上述公式,并能自己归纳它的特点。

（四）、提升 小题中的2x 相当于公式中的a,3y 相当于公式中的b,z 相当于公式中的c 。

解：（2）2)32(z y x +-＝2])3(2[z y x +-+=z y z x y x z y x )3(2)2(2)3)(2(2)3()2(222-++-++-+=yz xz xy z y x 641294222-+-++五、 小结与练习1、 练习P105的练习第3题2、 小结六、 布置作业运用乘法公式计算：（1）298.9（2）21002 （3）2)(z y x -+（4）2)32(c b a +- 教学反思：。

湘教版七年级下册数学2.2.2完全平方公式同步练习一、选择题(本大题共8小题)1.如图是一个正方形,分成四部分,其面积分别是a2,ab,ab,b2,则原正方形的边长是( )A.a2+b2B.a+bC.a-bD.a2-b22.下面各运算中，结果正确的是()A.2a3+3a3=5a6B.-a2•a3=a5C.（a+b）（-a-b）=a2-b2D.（-a-b）2=a2+2ab+b23.若(2x-5y)2=(2x+5y)2+m，则代数式m为()A.-20xyB.20xyC.40xyD.-40xy4. 若a+1a =7,则a2+1a2的值为( )A.47B.9C.5D.515. 不论x，y为何有理数，x2+y2-10x+8y+45的值均为()A.正数B.零C.负数D.非负数6.已知(a+b)2-2ab=5，则a2+b2的值为( )A.10B.5C.1D.不能确定7. 如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为( )A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)D．(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab8.下列运算中，正确的运算有( )①(x＋2y)2＝x2＋4y2；②(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2；③(x＋y)2＝x2－2xy＋y2；④(x－14)2＝x2－12x＋116.A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(本大题共6小题)9.已知：a-b=3，ab=1，则a2-3ab+b2=_____．10.填上适当的整式，使等式成立：(x-y)2+_____=(x+y)2．11.若a+b=4，则a2+2ab+b2的值为_____．12.已知x2-4＝0，则代数式x (x+1)2- x(x2+ x)- x-7的值是．13.若a2b2+a2+b2+1-2ab=2ab，则a+b的值为_____．14.请看杨辉三角(1)，并观察下列等式(2)：(1)(a＋b)1＝a＋b；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab2＋b4；…(2)根据前面各式的规律，则(a＋b)6＝________________________________________________．三、计算题(本大题共4小题)15.计算：(a-2b+3c)(a+2b-3c)．16.已知(a+b)2=24，(a-b)2=20，求：(1)ab的值是多少？(2)a2+b2的值是多少？17. (1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．18.在三个整式x2＋2xy，y2＋2xy，x2中，请你任意选出两个进行加(或减)法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．参考答案：一、选择题(本大题共8小题)1.D分析：根据完全平方公式可得。