人教版高一数学必修二 第四章：圆与方程(单元测试,含答案)

高中数学人教版必修2 第四章圆与方程 4.1.2圆的一般方程一、单选题1. 圆的圆心和半径分别为()A. B. C. D.2. 若方程表示圆，则实数的取值范围是()A. B. C. D.3. 方程x2+y2+4x−2y+5＝0表示的曲线是()A.两直线B.圆C.一点D.不表示任何曲线4. 如果方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0(D2+E2−4F>0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有()A.D＝EB.D＝FC.F＝ED.D＝E＝F5. 两圆x2+y2−4x+6y＝0和x2+y2−6x＝0的圆心连线方程为( )A.x+y+3＝0B.2x−y−5＝0C.3x−y−9＝0D.4x−3y+7＝06. 若圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴切于原点，则( )A.D＝0，E＝0，F≠0B.F＝0，D≠0，E≠0C.D＝0，F＝0，E≠0D.E＝0，F＝0，D≠07. 若圆x2+y2−2ax+3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b＝0一定不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案与试题解析高中数学人教版必修2 第四章圆与方程 4.1.2圆的一般方程一、单选题1.【答案】C【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】√42+(−6)2+12=4.故选C．由圆的一般方程可知圆心坐标为(−2,3)半径r=12【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域圆的标准方程二次函数的应用【解析】二元二次方程表示圆的充要条件是D2++2−4F>>，由此得出k的取值范围．详解：二元二次方程表示圆的充要条件是D2+E2−4F>0⇒16+4−20k>0，所以(k∈(−∞,1)．故选A．【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】曲线与方程直线与圆的位置关系圆的一般方程【解析】原方程变形为(x+2)2+(y−1)2=0，所以方程表示的曲线是一个点(−2,1)，故选C．【解答】此题暂无解答4.【答案】A【考点】圆的一般方程直线与圆的位置关系关于点、直线对称的圆的方程【解析】由题知圆心(−D2,−E2)在直线y=x二，即−E2=−D2.D=E．故选A．【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】圆的一般方程直线与圆的位置关系圆的切线方程【解析】两圆的圆心分别为(2,−3),(3.0)，直线方程为y=3(x−3)，即3x−y−9=0，故选C．【解答】此题暂无解答6.【答案】C【考点】圆的一般方程圆的标准方程直线与圆的位置关系【解析】点(0,0)在圆上，代入圆的方程可得F=0．因为圆x2+y2+D加+5y+F=0与x轴切于原点，所以圆心的横坐标为0，即−D2=0，D=0．由1D2+[2−4F>0，可得E2> 0，∴E≠0，故选C．【解答】此题暂无解答7.【答案】D【考点】圆的一般方程直线与圆的位置关系直线和圆的方程的应用【解析】圆x2+y2−2ax+3by=0的圆心为(a,−32b)，则a<0,b>0．直线y=−1ax−ba，其斜率k=−1a >0，在y轴上的截距为−ba>0，所以直线不经过第四象限，故选D．【解答】此题暂无解答。

高中数学必修二第四章《圆与方程》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线340x y b +-=与圆()()22111x y -+-=相切，则b 的值是（ ） A ．2-或12B ．2或12-C ．2或12D ．2-或12-2．点A (3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是（ ） A ．(－3,4，－10) B ．(－3,2，－4) C ．⎝⎛⎭⎫32，－12，12D ．(6，－5,11)3．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为（ ） A ．4B ．2C ．85D ．1254．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ） A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝05．直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是（ ）6．若圆C 1：(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则实数a ，b 应满足的关系式是（ ） A ．a 2－2a －2b －3＝0 B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0 C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0 D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝07．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x8．设直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝25的直径分为两段，则这两段之比为（ ） A ．73或37B ．74或47C ．75或57D ．76或679．若x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是（ ） A ．5－5B ．5－ 5C ．30－10 5D ．无法确定10．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点(m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m 、n 满足的关系式是（ ） A ．(m －2)2＋n 2＝4 B ．(m ＋2)2＋n 2＝4 C ．(m －2)2＋n 2＝8D ．(m ＋2)2＋n 2＝811．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ） A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝012．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且只有一个公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．|b |＝ 2 B ．－1<b <1或b ＝－ 2 C ．－1<b ≤1D ．－1<b ≤1或b ＝－ 2二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．点M (1,2，－3)关于原点的对称点是________．14．两圆x 2＋y 2＋4y ＝0，x 2＋y 2＋2(a －1)x ＋2y ＋a 2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a 的值为________．15．已知P (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0内一点，则过点P 的最短弦所在直线方程是________，过点P 的最长弦所在直线方程是________．16．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．18．(12分)在三棱柱ABO－A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2．若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．19．(12分)已知A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)为△ABC的三个顶点，O、M、N分别为边AB、BC、CA的中点，求△OMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．20．(12分)已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．（1）求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．（2）m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．21．(12分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程．22．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．（2）从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】∵圆的标准方程为22111x y -+-=（）（），∴圆心坐标为1,1（），半径为1， ∵直线340x y b +-=与圆()()22111x y -+-=相切， ∴圆心1,1（）到直线340x y b +-=的距离等于圆的半径，715b -==，解得：2b =或12b =．故选C ．2．【答案】A【解析】设点A 关于点(0,1，－3)的对称点为A ′(x ，y ，z )，则(0,1，－3)为线段AA ′的中点，即x ＋32＝0，y －22＝1，4＋z2＝－3，∴x ＝－3，y ＝4，z ＝－10． ∴A ′(－3,4，－10)．故选A ． 3．【答案】A【解析】根据题意，知点P 在圆上，∴切线l 的斜率k ＝－1k OP＝－11－42＋2＝43．∴直线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)．即4x －3y ＋20＝0． 又直线m 与l 平行，∴直线m 的方程为4x －3y ＝0． 故直线l 与m 间的距离为d ＝|0－20|42＋32＝4．故选A ．4．【答案】A【解析】设两切线切点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则两切线方程为x 1x ＋y 1y ＝4， x 2x ＋y 2y ＝4．又M (4，－1)在两切线上，∴4x 1－y 1＝4,4x 2－y 2＝4． ∴两切点的坐标满足方程4x －y ＝4．故选A ． 5．【答案】B【解析】由直线的斜率a 与在y 轴上的截距b 的符号，可判定圆心位置，又圆过原点，故选B ． 6．【答案】B【解析】圆C 1与C 2方程相减得两圆公共弦方程，当圆C 2的圆心在公共弦上时，圆C 1始终平分圆C 2的周长，故选B ．7．【答案】B【解析】由题意知，圆心(1,0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2，故选B ． 8．【答案】A【解析】由题意知P (0，－3)．P 到圆心(－1,0)的距离为2， ∴P 分直径所得两段为5－2和5＋2，即3和7．故选A ． 9．【答案】C【解析】配方得(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以x 2＋y 2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x 2＋y 2的最小值为 30－105．故选C ． 10．【答案】C【解析】由勾股定理，得(m －2)2＋n 2＝8．故选C ． 11．【答案】D【解析】l 为两圆圆心连线的垂直平分线，(0,0)与(－2,2)的中点为(－1,1)，k l ＝1， ∴y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0．故选D ． 12．【答案】D【解析】如图，由数形结合知，故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】(－1，－2，3) 14．【答案】－2【解析】两圆心与交点构成一直角三角形，由勾股定理和半径范围可知a ＝－2． 15．【答案】x ＋y －3＝0，x －y －3＝0【解析】点P 为弦的中点，即圆心和点P 的连线与弦垂直时，弦最短；过圆心即弦为直径时最长．16．【答案】(x ＋2)2＋y 2＝2【解析】设圆心坐标为(a,0)(a <0)，则由圆心到直线的距离为2知|a |2＝2，故a ＝－2，因此圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】如图，⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94．【解析】l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直．三交点A ，B ，C 构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.所以点A 的坐标是(－2，－1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.所以点B 的坐标是(1，－1)． 线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫－12，－1，又|AB |＝()()2221113--+-+=＝3．所求圆的标准方程是⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94． 18．【答案】E (0,2,1)为线段BB ′的中点． 【解析】如图所示，以三棱原点，以OA 、OB 、OO ′所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ．由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2,0,0)、B (0,2,0)、O (0,0,0)，A ′(2,0,2)、B ′(0,2,2)、O ′(0,0,2)．由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1,0,1)，设E 点坐标为(0,2,z )， ∴|EC |()()()22201201z -+-+-()215z -+故当z ＝1时，|EC |取得最小值为5．此时E (0,2,1)为线段BB ′的中点．19．【答案】x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，⎝⎛⎭⎫－72，152，12130．【解析】∵点O 、M 、N 分别为AB 、BC 、CA 的中点且A (3,5)，B (－1,3)， C (－3,1)，∴O (1,4)，M (－2,2)，N (0,3)．∵所求圆经过点O 、M 、N ，∴设△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，把点O 、M 、N 的坐标分别代入圆的方程得()2222221440222200330D E F D E F E F ⎧++++=⎪⎪-+-++=⎨⎪+++=⎪⎩，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝7E ＝－15F ＝35．∴△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，圆心为⎝⎛⎭⎫－72，152，半径r ＝12130． 20．【答案】（1）见解析；（2）m 为－52时，最小值为27． 【解析】（1）证明：直线l 变形为m (x －y ＋1)＋(3x －2y )＝0．令⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. 如图所示，故动直线l 恒过定点A (2,3)．而|AC |()()222334-+-＝2<3(半径)．∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交．（2）解：由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC 垂直直线l 时，弦长最小，此时k l ·k AC ＝－1，即m ＋3m ＋2·4－33－2＝－1，∴m ＝－52．最小值为()2232-27．故m 为－52时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小，最小值为27． 21．【答案】（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8．【解析】（1）∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3．又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为 y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0．（2）由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2，∴点A 的坐标为(0，－2)， ∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)， ∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |()()222002-++22，∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．22．【答案】（1）y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0；（2）⎝⎛⎭⎫－310，35． 【解析】（1）将圆C 整理得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2．①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ，∴圆心到切线的距离为|－k －2|k 2＋1＝2，即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2±6． ∴y ＝(2±6)x ；②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x ＋y －a ＝0， ∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a |2＝2，即|a －1|＝2，解得a ＝3或－1．∴x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．综上所述，所求切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0． （2）∵|PO |＝|PM |，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，即2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当|PM |取最小值时，即|OP |取得最小值，此时直线OP ⊥l ， ∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0，解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0得⎩⎨⎧x ＝－310，y ＝35，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35． 单元测试题二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．圆22240x y x y ++-=的圆心坐标为（ ） A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()1,2--2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是（ ） A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切3．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．设直线过点(a,0)，其斜率为－1，且与圆x 2＋y 2＝2相切，则a 的值为（ ）A ．± 2B ．±2C ．±2 2D ．±45．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是（ ） A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－26．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为（ ） A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝07．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧， 则a 2＋b 2＝（ ） A ． 2B ．2C ．1D ．38．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为（ ） A ．－3或 3B ． 3C ．－2或 2D ． 29．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．210．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ） A ．53B ．213C ．253D ．4311．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ） A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝012．若圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，则c 的取值范围是（ ） A ．[－22，22] B ．(－22，22) C ．[－2,2]D ．(－2,2)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．已知点A (1,2,3)，B (2，－1,4)，点P 在y 轴上，且|PA |＝|PB |，则点P 的坐标是__________________.14．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A 、B 两点，则线段AB 的中垂线方程为__________________.15．过点A (1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝__________________.16．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________.三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心C在y轴上的圆的方程．18．(12分)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．19．(12分)已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；（2）当|PQ|＝23时，求直线l的方程．20．(12分)某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300km处，以40km/h的速度向北偏西60°方向移动．据测定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受玻台风影响，请你推算该市受台风影响的持续时间．21．已知点(0,1)，(3＋22，0)，(3－22，0)在圆C 上． （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．22．(12分)如下图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】将圆方程化为标准方程得()221(2)5x y ++-=，∴圆心坐标为()1,2-． 故选B ． 2．【答案】B【解析】圆O 1(1,0)，r 1＝1，圆O 2(0,2)，r 2＝2，|O 1O 2|()()221002-+-5＜1＋2，且5＞2－1，故两圆相交．故选B ． 3．【答案】B【解析】将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝(22)2，圆心(－1，－2)到直线x ＋y＋1＝0的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，则到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的两条平行线与圆的公共点的个数即为所求．由于圆的半径为22，所以到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的平行线一条过圆心，另一条与圆相切，故这两条直线与圆有3个交点．故选B ． 4．【答案】B【解析】∵切线的方程是y ＝－(x －a )，即x ＋y －a ＝0，∴|a |2＝2，a ＝±2．故选B ． 5．【答案】D【解析】由空间两点间的距离公式得()()()22221324x -+-+-＝26，解得x ＝6或x ＝－2，故选D ． 6．【答案】C【解析】由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0， 所以直线恒过定点(－1,2)，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，故选C ． 7．【答案】B【解析】依题意，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即|a |2＝|b |2，|a |2＝1×cos45°＝22，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2，故选B ． 8．【答案】A【解析】方法1：∵|PQ |＝2×1×sin60°＝3，圆心到直线的距离d ＝2312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝12，∴1k 2＋1＝12，解得k ＝±3． 方法2：利用数形结合．如图所示，∵直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x 2＋y 2＝1上，故不妨设P (0,1)，在等腰三角形POQ 中，∠POQ ＝120°，∴∠QPO ＝30°，故∠PAO ＝60°，∴k ＝3，即直线PA 的斜率为 3.同理可求得直线PB 的斜率为－3，故选A ．9．【答案】B【解析】|PQ |的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ |的最小值d ＝3－(－3)－2＝4，故选B ． 10．【答案】B【解析】△ABC 外接圆圆心在直线BC 垂直平分线上即直线x ＝1上，设圆心 D (1，b )，由DA ＝DB 得|b |＝()213b +-⇒b ＝223，所以圆心到原点的距离d ＝222213⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭＝213，故选B ．11．【答案】A【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2， 故选A ． 12．【答案】C【解析】圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0整理为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，∴圆心坐标为C (2,2)，半径长为32，要使圆上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为32，如右图可知圆心到直线l 的距离应小于等于2，∴d ＝|2－2＋c |1＋1＝|c |2≤2，解得|c |≤2，即－2≤c ≤2，故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】(0，－76，0) 【解析】设点P (0，b,0)， ()()()22210230b -+-+-()()()22220140b -+--+-，解得b ＝－76．14．【答案】x ＋y －3＝0【解析】AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 1.又C 1(3,0)，C 2(0,3)， 所以C 1C 2所在直线的方程为x ＋y －3＝0． 15．【答案】22【解析】点A (1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4内，当劣弧所对的圆心角最小时，l 垂直于过点A (1，2)和圆心M (2,0)的直线．∴k ＝－1k AM ＝－2－10－2＝22．16．【答案】(x －1)2＋y 2＝2. 【解析】由题意得：半径等于|m ＋1|m 2＋1＝()2211m m ++＝2211mm ++≤2， 所以所求圆为(x －1)2－y 2＝2．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】x 2＋(y －1)2＝10．【解析】∵AB 的中点是(1,3)，k AB ＝4－2－1－3＝－12，∴AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 令x ＝0，得y ＝1，即圆心C (0,1)．∴所求圆的半径为|AC |＝()22141+-＝10. ∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10． 18．【答案】64a ． 【解析】以D 为原点建立如图所示坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M (a 2，a 2，a 2)，取A 1C 1中点O 1，则O 1(a 2，a2，a )， 因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N (a 4，34a ，a )．由两点间的距离公式可得：|MN |222324242a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝64a .19．【答案】（1）见解析；（2）x ＝－1或4x －3y ＋4＝0． 【解析】（1）证明：因为l 与m 垂直，且k m ＝－13，所以k l ＝3， 故直线l 的方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 因为圆心坐标为(0,3)满足直线l 方程， 所以当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ．（2）解：当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0， 因为|PQ |＝23，所以|CM |＝4－3＝1，则由|CM |＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，得k ＝43， 所以直线l ：4x －3y ＋4＝0，故直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0． 20．【答案】见解析．【解析】以该市所在位置A 为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向建立直角坐标系．开始时台风中心在B (300,0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向直线移动，其轨迹方程为y ＝－33(x －300)(x ≤300)．该市受台风影响时，台风中心在圆x 2＋y 2＝2502内，设直线与圆交于C ，D 两点，则|CA |＝|AD |＝250，所以台风中心到达C 时，开始受影响该市，中心移至点D 时，影响结束，作AH ⊥CD 于点H ，则|AH |＝100313＋1＝150，|CD |＋2|AC |2－|AH |2＝400，∴t ＝4004＝10(h)．即台风对该市的影响持续时间为10小时． 21．【答案】（1）(x －3)2＋(y －1)2＝9；（2）－1．【解析】（1）由题意可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1，则圆C 的圆心为(3,1) 3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.（2）由()()220319x y a x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y ，得2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0， 此时判别式Δ＝56－16a －4a 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4－a x 1x 2＝a 2－2a ＋12①，由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0 ②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.22．【答案】（1）y ＝3或3x ＋4y －12＝0；（2）[0，125]．【解析】（1）由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)， 于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.（2）因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ＝2x 2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125，所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]．。

圆与方程一、选择题 1 圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点， 则AB 地垂直平分线地方程是（ ）A. 30x y ++= B 250x y --= C 390x y --= D 4370x y -+=2 方程211(1)x y -=--表示地曲线是（ ）A 一个圆B 两个半圆C 两个圆D 半圆3 已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线03:=+-y x l ， 当直线l 被C 截得地弦长为32时，则a =（ ） A 2 B 22-C 12-D 12+4 圆1)1(22=+-y x 地圆心到直线x y 33=地距离是（ ）A 21 B 23 C 1 D 35 直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得地劣弧所对地圆心角为（ ）A 030B 045 C 060 D 090 6 圆122=+y x 上地点到直线02543=-+y x 地距离地最小值是（ ）A 6B 4C 5D 17 两圆229x y +=和228690x y x y +-++=地位置关系是（ ）A 相离B 相交C 内切D 外切二、填空题 1 若(1,2,1),(2,2,2),A B -点P 在z 轴上，且PA PB =，则点P 地坐标为 2 若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有交点，则b 地取值范围是___________；若有一个交点，则b 地取值范围是________；若有两个交点，则b 地取值范围是_______； ３ 把圆地参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 23cos 21y x 化成普通方程是______________________ ４ 已知圆C 地方程为03222=--+y y x ，过点(1,2)P -地直线l 与圆C交于,A B 两点，若使AB 最小，则直线l 地方程是________________ ５ 如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么x y 地最大值是________6 过圆22(2)4x y +-=外一点(2,2)A -，引圆地两条切线，切点为12,T T ， 则直线12T T 地方程为________ 三、解答题1 求由曲线22x y x y +=+围成地图形地面积2 设10,x y -+=求229304341062222+--+++-++=y x y x y x y x d 地最小值3 求过点(5,2),(3,2)M N 且圆心在直线32-=x y 上地圆地方程4 平面上有两点(1,0),(1,0)A B -，点P 在圆周()()44322=-+-y x 上，求使22BP AP +取最小值时点P 地坐标数学2（必修） 第四章 圆和方程参考答案一、选择题 1 C 由平面几何知识知AB 地垂直平分线就是连心线2 B 对x 分类讨论得两种情况3 C 231,212a d a -+===4 A 3111332d =+=5 C 直线地倾斜角为0120，得等边三角形6 B 514d r -=-=7 B 43543-<<+二、填空题1 (0,0,3) 设(0,0,),,P z PA PB =则2214(1)44(2),3z z z ++-=++-=2 [1,2]-；[){}1,12-U ；)1,2⎡⎣ 曲线21x y -=代表半圆 3 22(1)(3)4x y -++= 4 30x y -+= 当AB CP ⊥时，AB 最小，1,1,21CP l k k y x =-=-=+5 3 设22222,,(2)3,(1)410y k y kx x k x k x x x ==-+=+-+=，2164(1)0,33k k ∆=-+≥-≤≤另可考虑斜率地几何意义来做 6 220x y -+= 设切点为1122(,),(,)x y x y ，则1AT 地方程为11(2)(2)4x x y y +--=2AT 地方程为22(2)(2)4x x y y +--=，则1124(2)4,x y --=2224(2)4x y --=24(2)4,220x y x y ∴--=-+=三、解答题1. 解：当0,0x y ≥≥时，22111()()222x y -+-=，表示地图形占整个图形地14而22111()()222x y -+-=，表示地图形为一个等腰直角三角形和一个半圆 1114(11)2222S ππ∴=⨯⨯+⨯⨯=+ 2. 解：229304341062222+--+++-++=y x y x y x y x d=可看作点(3,5)A -和(2,15)B到直线10,x y -+=上地点地距离之和，作(3,5)A -关于直线10,x y -+=对称地点'(4,2)A -，则'min d A B == 3 解：设圆心为(,)x y ，而圆心在线段MN 地垂直平分线4x =上，即4,23x y x =⎧⎨=-⎩得圆心为(4,5)，r ==22(4)(5)10x y ∴-+-= 4 解：在ΔABP 中有22221(4)2AP BP OP AB +=+，即当OP 最小时，22BP AP +取最小值，而min 523OP =-=，394129123,3,(,)555555x y P P P =⨯==⨯=。

人教高中数学必修二第四章-圆与方程单元测试题 9月16日用一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知A (－4，－5)、B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝1162．过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋8x －2y －20＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0C ．x 2＋y 2-8x ＋6y ＝0D ．x 2＋y 2－8x －6y ＝03.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ）(A) 10<<a (B)11<<-a (C) 11>-<a a 或 (D) 1±=a4.若直线y=kx+1与圆x 2＋y 2＝1相交于P,Q 两点，且∠POQ=120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( )A ．2B ．－1C ．1或-1D ．15.在空间直角坐标系中，点P(-2,1,4)关于xOy 平面的对称点的坐标是（ ）A.(-2,1,-4)B.(-2,-1,-4)C.(2,-1,4)D.(2,1,-4)6．与圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0同圆心，且与直线x-2y-3=0相切的圆的方程( )A ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0C ．x 2＋y 2＋4x －6y －8＝0D ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋8＝07.在空间直角坐标系中，点P(2,3,4)到y 轴的距离是( ) A.5 B.13 C.52 D.298．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝09．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －3)2＝25，圆C 2与圆C 1关于直线3x-2y-4=0对称，则圆C 2的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －5)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋1)2＝25C ．(x －1)2＋(y －4)2＝25D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝2510.设点M(x 0 ,1),若在圆O:x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN=45°，则x 0 的取值范围是（）A.[-1,1]B.),1[]1,(+∞⋃--∞C.]2,1[-D.]2,2[-11．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．(－3，3)B ．[－3，3] C. )33,33(- D. ]33,33[- 12.圆A:x 2＋y 2＋2x-15=0,直线l 过点B(1,0),且与x 轴不重合，直线l 交圆A 于点C ，D 两点，过点B 作AC 的平行线交AD 于点E ，则|EA|+|EB|=( )A ．1B ．6C ．2D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．x 2＋y 2＋4x+2by+b 2＝0与x 轴相切，则b =________.14．在空间直角坐标系中，点A(1,2,-1),B(1,0,2),而点A '与点A 关于x 轴对称,则|A 'B|=________.15．已知直线l:x-3y+6=0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作直线l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD|是________．.16．圆1C :221x y +=和圆2C :22(4)()25x y a ++-=相切，实数a 的可能取值为三、解答题（本大题共4小题，每小题12分，共48分）17.已知圆O 以原点为圆心，且与圆22:68210C x y x y ++-+=外切,（1）求圆O 的方程； （2）求直线230x y +-=与圆O 相交所截得的弦长.18.过点P (3,1)作圆C:x 2＋y 2－2x ＝0的两条切线，设切点分别为A ，B ，(1)求切线的方程；(2)求出直线AB 的方程.19.已知点M(-1,0),N(1,0),曲线E 上任意一点到点M 的距离是到点N 距离的3倍。

与方程姓名：班级:一、选择题(共8小题；共40分)1Mx2 +尸一4x + 6y = 0的圆心坐标是()A (2,3)B (-2,3) C(-2,-3) D(2,-3)2OO的百径是3,百线1与OO相交，圆心0到百线1的距离是d,贝M应满足()Ad > 3 B 15 < d < 3 C 0 < d < 15 Dd < 0 3圆(x — 2)2 + (y- l)2 = 4与圆(x + l)2 + (y- 2)2 = 9的公切线有()条A1 B 2 C3 D4 4从原点向圆x2 + y2 一12y + 27 = 0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为()A nB 2nC 4TTD 6TT5过点(1,1)的直线与圆(x - 2)2 + (y - 3)2 = 9相交于A, B两点，贝lj| AB |的最小值为() A2V3 B4 C2V5 D5 6已知圆C的半径为2, |员|心在x轴的正半轴上，直线3x + 4y + 4 = 0与圆C相切，贝I」圆C的方程为()Ax2 4-y2 - 2x - 3 = 0 B x2 4- y2 + 4x = 0Cx2 +y2 + 2x - 3 = 0 D x2 + y2 - 4x = 07耍在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范閘都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是()A6 B 5 C4 D38 已知圆:C1:(x-2)2 + (y-3)3 = 1,圆：C2:(x-3)2 + (y-4)2 = 9, M、N分别是圆C〔、C?上的动点，P为x轴上的动点,贝OIPMI + IPNI的最小值为()A5V2-4 B V17- 1 C6-2V2 D V17二、填空题(共7小题；共35分)9过点A(3,—4)与闘x2 +y2 = 25相切的直线方程是_______ .10如果单位圆X? +y2 = 1与圆C: (x — a)2 + (y - a)2 = 4相交，则实数a的取值范围为 ________ 11在空间直角坐标系,已知点A(l,0,2), B(l,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则点M的坐标是 _____ ・12已知圆C: (x-2)2+y2 = l.若直线y二k(x+l)上存在点P,使得过P向圆C所作的州条切线所成的角为夕则实数k的取值范闌为 _______ .13如图，以棱长为a的止方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间百角坐标系，若点P为对角线AB的点，点Q在棱CD上运动，则PQ的最小值为 .14在圆C:(x-2)2 + (y-2)2 = 8内,过点P(l,0)的最长的弦为AB,最短的弦为DE,贝9以边形ADBE的面积为____ •15据气象台预报：在A城正东方300km的海而B处有一台风心，正以每小时40km的速度向術北方向移动，在距台风心250km以内的地区将受其影响.从现在起经过约__________ h,台风将影响A城, 持续时间约为_______ h.(结果精确到Olh)三、解答题(共5小题；共65分)16若关于x, y的方程X? + y? - 4x + 4y + m = 0表示圆C.(1)求实数m的取值范围；(2)若圆C与圆M:x2 4-y2 = 2相离，求m的取值范囤.17已知圆C:x? + y? + 4x + 4y + m = 0,直线l:x + y 4- 2 = 0.(1)若I员IC与直线1相离，求m的取值范围；(2)若I员1D过点P(l,l), H.与恻C关丁•直线1对称，求I処D的方程.18如图，在平面直角坐标系xOy,点A(0,3),直线l:y = 2x-4.设圆C的半径为1,圆心在1上.(1)若圆心C也在直线y = x-l上，过点A作圆C的切线，求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA = 2M0,求圆心C的横坐标a的取值范|节|・19已知直线啲方程为2x+(l + m)y+2m = 0, m€R，点P的坐标为(-1,0).(1)求证：直线1恒过定点，并求出定点坐标；(2)求点P到直线1的距离的最大值；(3)设点P在直线1上的射影为点M, N的坐标为(2,1),求线段MN长的取值范闱.20 在平面直角坐标系xOy,已知圆Ci： (x + 3)2 + (y - I)2 = 4和圆C?： (x 一4)2 + (y — 5)2 = 4.(1)若直线1过点A(4,0), £L被圆C］截得的弦长为2孙，求直线啲方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂肖的肖线h和12,它们分别与圆C1 和圆C2相交，且直线h被圆C］截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点p的坐标.答案第一部分I D 2 C 3 B 4 B 5 B 6 D 7 C 8 A第二部分9 3x-4y = 2510 -—< a < H J C —< a < —」 2 22 2 II (0,-1,0) 12 ［一普，晋］13 yal4 4V615 20； 66第三部分 16 (1) |w|C 化简为(x- 2)2 4-(y + 2)2 = 8-m,所以8 — m > 0,即m V 8.(2)圆C 的圆心为(2,-2),半径为V8^ (m<8),圆M 的圆心为(0,0),半径为返,由题意，得圆心距大于两圆的半径和，则“22 + 22 + 解得6<m<8.17 (1)圆Ux?+y2+4x + 4y + m = 0即(x 4- 2)2 + (y + 2)2 = 8 - m.圆心C(-2,—2)到直线啲距离d =三|旦=V2,若圆C 与直线1相离，则d > r,所以 * = 8 — m < 2即 m > 6乂严=8 - m > 0即m V 8.故m 的取值范围是(6,8).(2)设圆D 的圆心D 的坐标为(xo ，y ())，由于圆C 的圆心C(_2,_2), 依题意知点D 和点C 关于直线1对称，解牡:0 所以圆D 的方程为x 2+y 2 = r 2,而r=|DP |=V2,因此，圆D 的方程为x 2+y 2 = 2.18 (1)由题设，I 员I 心C 是直线y = 2x- 4和y = x- 1的交点, 解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C 的切线方稈为y = kx + 3由题意，得解得：k=0或—孑 4故所求切线方程为{Xo-2 Yo+2Xo+2 + 竽+2 = 0x (-1) = -1I 3k + 1 |Vk 2 + 1y = 3 或3x + 4y — 12 = 0(2)因为圆心在直线y = 2x —4上，所以圆C的方程为(x — a)2 3 + ［y — 2 (a — 2)］2 = 1 设点M(x,y),因为MA = 2M0,所以Jx2 + (y — 3)2 = 2jx2 +y2, 化简得x? + y2 + 2y — 3 = 0,即x2 + (y + l)2 = 4, 所以点M在以D(0,-l)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点M(x,y)在圆C上，所以圆(：与圆D有公共点，贝I」12-11 < CD <2 + 1, 即l<Va2 + (2a-3)2<3 整理，得—8 S 5a2— 12a S 0由5a2-12a + 8>0,得a G R;S5a2 - 12a < 0,得12所以点C的横坐标a的取值范闌为［0,y .19(1)由2x + (l + m)y+2m = 0得2x + y + m(y + 2) = 0,所以直线1恒过直线2x + y= 0与直线y + 2 = 0交点Q.解方程组炸暮律得Q(l，-2)，所以直线1恒过定点，且定点为Q(l,-2).2 设点P在直线1上的射影为点M,贝IJIPMI < |PQ|,当且仅当直线1与PQ垂直时,等号成立, 所以点P到直线1的距离的最大值即为线段PQ的长度为2逅.3因为直线1绕着点Q(l,-2)旋转，所以点M在以线段PQ为直径的I员1上，其I员I心为点C(O.-l)，半径为说，因为N的坐标为(2,1),所以|CN| = 2V2,从而V2 < |MN| < 3V2.20(1)由于直线x = 4与圆C］不相交，所以直线1的斜率存在.设直线1的方程为y = k(x - 4),圆C］的I员I心到直线1的距离为d, 乂因为直线1被I员©截得的弦长为2箱，所以|l-k(-3-4)| d = ------- , ----Vl + k 2 y = 0 或 7x + 24y - 28 = 0 (2)设点P(a,b)满足条件，不妨设直线h 的方程为y — b = k(x — a), k H 0, 则直线】2的方程为山点到直线的距离公式得 d = J22 - (V3)2 = 1从而即所以直线1的方程k(24k + 7) = 0, 7 241因为圆Ci和C2的半径相等，及宜线I】被圆C］截得的弦长与直线-被【员丄2截得的弦长相等，所以I 员IC］的|员］心到直线1］的距离和圆C2的國心到直线】2的距离相等,即|1 一k(-3 - a) - b| |5 + £ (4 — a) — b|整理得|1 + 3k + ak — bl = |5k + 4 — a — bk|,从而1 + 3k + ak — b = 5k + 4 — a - bk,(a + b — 2)k — b — a + 3, 因为k的取值有无穷多个，所以(a + b — 2 = 0,戒(a — b + 8 = 0, (b - a + 3 = 0 严ia + b-5 = 0 解得这样点P只可能是点P］ (I，-扌)或点卩2 (-!，¥)• 经检验点P］和P2满足题口条件.。

单元质量评估(四)(第四章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.(2016·平顶山高一检测)圆(x+2)2+y2=5关于y轴对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5【解析】选 A.由题意知所求圆的圆心为(2，0)，半径为，故所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.2.直线l：y=k与圆C：x2+y2=1的位置关系是( )A.相交或相切B.相交或相离C.相切D.相交【解析】选 D.圆C的圆心(0，0)到直线y=k的距离d=，因为d2=<<1，所以位置关系为相交.【一题多解】选D.直线l：y=k过定点，而点在圆C：x2+y2=1内部，故直线l与圆C相交.3.(2015·广东高考)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )A.2x-y+=0或2x-y-=0B.2x+y+=0或2x+y-=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x+y+5=0或2x+y-5=0【解析】选D.设所求切线方程为2x+y+c=0，依题有=，解得c=±5，所以所求的直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.4.若直线ax+by=4与圆x2+y2=4有两个不同的交点，则点P(a，b)与圆的位置关系是( )A.点P在圆外B.点P在圆上C.点P在圆内D.不能确定【解析】选 A.根据直线与圆相交得圆心到直线的距离小于半径，<2，即a2+b2>4，所以点P(a，b)在圆x2+y2=4的外部.【延伸探究】若本题条件换为“直线ax+by=4与圆x2+y2=4相切”则结论又如何呢？【解析】选B.由题意知=2，即a2+b2=4.则点P在圆上]5.(2016·成都高一检测)圆O1：x2+y2-2x=0与圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系是( )A.外离B.相交C.外切D.内切【解析】选B.圆O1(1，0)，r1=1，圆O2(0，2)，r2=2，|O1O2|==<1+2，且>2-1，故两圆相交.6.(2016·全国卷Ⅱ)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( )A.-B.-C.D.2【解析】选A.圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为:(x-1)2+(y-4)2=4,故圆心为(1,4),d==1,解得a=-.7.以点(3，-1)为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是( )A.(x+3)2+(y-1)2=1B.(x+3)2+(y-1)2=2C.(x-3)2+(y+1)2=1D.(x-3)2+(y+1)2=2【解析】选C.由已知，r=d==1，故选C.8.空间直角坐标系中，点A(-3，4，0)和B(x，-1，6)的距离为，则x的值为( )A.2B.-8C.2或-8D.8或-2【解析】选C.由空间两点间距离公式得=，解得x=2或-8.9.(2016·南昌高一检测)直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2= ( )A. B.2C.1D.3【解析】选B.依题意，圆心(0，0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，即=，=1×cos45°=，所以a2=b2=1，故a2+b2=2.10.(2014·江西高考)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为( )A.πB.πC.(6-2)πD.π【解题指南】数形结合，找到圆的半径最小时的情况即可.【解析】选A.由题意得，当原点到已知直线的距离恰为圆的直径时，圆的面积最小，此时圆的半径为×=，圆的面积为S=π=.11.已知直线l过点(-2，0)，当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )A.(-2，2)B.(-，)C. -，D. -，【解析】选C.易知圆心坐标是(1，0)，圆的半径是1，直线l的方程是y=k(x+2)，即kx-y+2k=0，根据点到直线的距离公式得<1，即k2<，解得-<k<. 12.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2，则实数a的值为( ) A.-1或 B.1或3C.-2或6D.0或4【解析】选 D.圆的半径r=2，圆心(a，0)到直线x-y-2=0的距离d=，由+()2=22，得a=0或a=4.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2016·武汉高一检测)已知圆M的圆心在直线x-y-4=0上并且经过圆x2+y2+6x-4=0与圆x2+y2+6y-28=0的交点，则圆M的标准方程为______________. 【解析】联立两圆的方程得交点坐标(-1，3)和(-6，-2)；设圆心坐标(a，a-4)，所以=解得a=，圆心坐标，-，r2=，方程为x-+y+=.答案： x-+y+=14.(2016·全国卷Ⅰ)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为]【解析】由圆C:x2+y2-2ay-2=0可得x2+(y-a) 2=a2+2,所以圆心C(0,a),由题意可知=,解得a2=2,所以圆C的面积为π(a2+2)=4π.答案:4π15.(2016·石家庄高一检测)集合A={(x，y)|x2+y2=4}，B={(x，y)|(x-3)2+(y-4)2 =r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是________.【解题指南】根据A∩B中有且仅有一个元素，说明两圆相切，注意分外切和内切，分别求r的值.【解析】因为A∩B中有且仅有一个元素，所以两圆相切.当两圆外切时，2+r=5，即r=3；当两圆内切时，r-2=5，即r=7.所以r的值是3或7.答案：3或716.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆，①关于直线y=x对称；②关于直线x+y=0对称；③其圆心在x轴上，且过原点；④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的是______________.【解析】将已知方程配方，得(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0)，圆心坐标为(-a，a)，它在直线x+y=0上，所以已知圆关于直线x+y=0对称.故②正确.答案：②三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2016·北京高一检测)求经过两点A(-1，4)，B(3，2)且圆心C在y轴上的圆的方程.==-，【解析】因为AB的中点是(1，3)，kAB所以AB的垂直平分线方程为y-3=2(x-1)，即2x-y+1=0.令x=0，得y=1，即圆心C(0，1).所以所求圆的半径为|AC|==.所以所求圆的方程为x2+(y-1)2=10.18.(12分)在三棱柱ABO-A′B′O′中，∠AOB=90°，侧棱OO′⊥平面OAB，OA=OB=OO′=2.若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小. 【解析】如图所示，以三棱柱的O点为坐标原点，以OA，OB，OO′所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.由OA=OB=OO′=2，得A(2，0，0)，B(0，2，0)，O(0，0，0)，A′(2，0，2)，B′(0，2，2)，O′(0，0，2).由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1，0，1)，设E点坐标为(0，2，z)，根据空间两点间距离公式得|EC|==，故当z=1时，|EC|取得最小值为，此时E(0，2，1)为线段BB′的中点.19.(12分)(2016·大连高一检测)已知圆C：(x-1) 2+y2=9内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点.(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程.(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程.【解析】(1)已知圆C：(x-1)2+y2=9的圆心为C(1，0)，因直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2(x-1)，即2x-y-2=0.(2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y-2=-(x-2)，即x+2y-6=0.20.(12分)已知圆O：x2+y2=1与直线l：y=kx+2.(1)当k=2时，求直线l被圆O截得的弦长.(2)当直线l与圆O相切时，求k的值.【解析】(1)当k=2时，直线l的方程为2x-y+2=0.设直线l与圆O的两个交点分别为A，B，过圆心O(0，0)作OD⊥AB于点D，则|OD|==，所以|AB|=2|AD|=2=.(2)当直线l与圆O相切时，即圆心到直线的距离等于圆的半径.所以=1，即=2，解得k=±.【一题多解】(1)当k=2时，联立方程组消去y，得5x2+8x+3=0，解得x=-1或x=-，代入y=2x+2，得y=0或y=，设直线l与圆O的两个交点分别为A，B，则A(-1，0)和B，所以|AB|==.(2)联立方程组消去y，得(1+k2)x2+4kx+3=0，当直线l与圆O相切时，即上面关于x的方程只有一个实数根.则Δ=(4k)2-4×3(1+k2)=0，即4k2-12=0，k2=3，所以k=±.21.(12分)(2016·长春高一检测)已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0.(1)写出圆C的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小.(2)是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且OA⊥OB(O为坐标原点).若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由.【解题指南】(1)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)得其圆心-，-，半径为，从而可得圆C的标准方程，此题也可以通过配方法直接得到圆C的标准方程，然后再写出其圆心坐标和半径.(2)首先根据题意设出m的方程，然后与圆的方程联立消y得关于x的一元二次方程，运用根与系数的关系得到两根的和及积的关系，然后再根据OA⊥OB不难得出关于两根和及积的方程，从而可求直线m的方程.【解析】(1)根据圆的一般方程结合已知得：D=-2，E=4，F=-4，则-=-=1，-=-=-2，==3，即圆心C的坐标为(1，-2)，半径为3，所以圆C的标准方程为：(x-1)2+(y+2)2=9.(2)根据题意可设直线m：y=x+b，代入圆的方程得：2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0，因为直线与圆相交，所以b2+6b-9<0，x 1+x2=-b-1，x1x2=，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1=x1+b，y2=x2+b，由OA⊥OB得：·=-1⇒=-1⇒(x1+b)(x2+b)+x1x2=0，2x1x2+b(x1+x2)+b2=0⇒b2+3b-4=0，得b=-4或b=1，均满足b2+6b-9<0，故所求直线m存在，且方程为y=x-4或y=x+1.22.(12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切.(1)求圆的方程.(2)设直线ax-y+5=0(a>0)与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围.(3)在(2)的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P(-2，4)？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设圆心为M(m，0)(m∈Z).由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，所以=5，即|4m-29|=25.因为m为整数，故m=1.故所求圆的方程为(x-1)2+y2=25.(2)把直线ax-y+5=0即y=ax+5代入圆的方程，消去y整理，得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.由于直线ax-y+5=0交圆于A，B两点，故Δ=4(5a-1)2-4(a2+1)>0.即12a2-5a>0，由于a>0，解得a>，所以实数a的取值范围是. (3)假设符合条件的实数a存在，由于a≠0，则直线l的斜率为-，l的方程为y=-(x+2)+4，即x+ay+2-4a=0.由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1，0)必在l上. 所以1+0+2-4a=0，解得a=.由于∈，故存在实数a=，使得过点P(-2，4)的直线l垂直平分弦AB.。

A . 3x — y — 5=B . 3x + y — 7= 0D . x — 3y + 1= 03.若直线(1 + a)x + y + 1= 0与圆x 2 + y 2— 2x = 0相切，则a 的值为()B . 2,— 2C . 15.点M （3,— 3,1）关于xOz 平面的对称点是（ ）5 B . (^，+m)5 3D .(石，4】二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分）9.圆x 2 + y 2= 1上的点到直线3x + 4y — 25= 0的距离最小值为 10 .已知圆C1： x 2 + y 2— 3x — 3y + 3 = 0,圆C2： x 2+ y 2— 2x — 2y = 0,两圆的公共弦所在的直 线方程 _________________ .必修二第四章单元测试题（时间：90分钟总分：100分） 、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1 .已知两圆的方程是 x 2 + y 2= 1和x 2 + y 2— 6x — 8y + 9= 0,那么这两个圆的位置关系是 A •相离 B •相交 C .外切 D .内切 2 .过点（2,1）的直线中，被圆 x 2+ y 2— 2x + 4y = 0截得的最长弦所在的直线方程为 （C . x + 3y — 5 = 0 A . 1,— 1 4.经过圆x 2 + y 2= 10上一点 M （2 , 6）的切线方程是（）A . x + , 6y — 10= 0 C . x —+ 10= 0 B. . 6x — 2y + 10= 0D . 2x + , 6y — 10= 0A . (— 3,3, — 1) （一 3，一 3，一 1）C . (3，一3,— 1)(3,3,1)6.若点A 是点B （1,2,3）关于x 轴对称的点, 点C 是点D （2, — 2,5）关于y 轴对称的点, 贝 U |AC|7. C . 当占 ■=1B. . 13D.10P 在圆x 2 + y 2= 1上变动时，它与定点Q （3,0）的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是10C . 曲线 (x + 3)2 + y 2= 4 (2x — 3)2 + 4y 2= 1y = 1 + . 4 — x 2与直线B . (x — 3)2+ y 2= 1 D . (2x + 3)2 + 4y 2= 1y = k （x — 2） + 4有两个交点，则实数 k 的取值范围是（）C .(0,为11. ___________________________________________________________________________ 方程x2+ y2+ 2ax—2ay= 0表示的圆，①关于直线y= x对称；②关于直线x+ y= 0对称; ③其圆心在x轴上，且过原点；④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的是______________________ 12. ___________________________________________________________________ 直线x+2y= 0被曲线x2+ y2—6x —2y—15= 0所截得的弦长等于_______________________ .三、解答题(本大题共3小题，每题22分，共36分)13. (10分)自A(4,0)引圆x2+ y2= 4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程.14. (12 分)已知O C: (x—3)2+ (y—4)2= 1,点A( —1,0), B(1,0)，点P 是圆上动点，求d= |PA p + |PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标.15. (12 分)已知曲线C: x2+ y2+ 2kx+ (4k + 10)y+ 10k + 20= 0，其中k^—1.(1) 求证：曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上;(2) 证明曲线C过定点；⑶若曲线C与x轴相切，求k的值.12 5，必修二第四章测试卷答案、选择1.C2.A3..D4.D5.D6.B7.C8.D 二、 填空9.410.. x + y — 3 = 0, 11.②12.4 .-'5三、 解答题13. 解：解法1:连接OP 贝U OPL BC 设P(x , y)，当X M 0时，心・k AP =— 1, 即x ・即 x 2 + y 2— 4x = 0①当x = 0时，P 点坐标为（0,0）是方程①的解，••• BC 中点P 的轨迹方程为x 2+ y 2— 4x = 0（在已知圆内）.1解法 2:由解法 1 知 OPLAP,取 0A 中点 M,则 M （2,0） , | PM = 2〔 °A = 2,由圆的定义知，P 点轨迹方程是以M （2,0）为圆心，2为半径的圆.14. 解：设点P 的坐标为（X o , y °），贝Ud =（X 0+ 1） + y 。

第四章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切解析将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0，化为标准方程得(x－3)2＋(y－4)2＝16.∴两圆的圆心距(0－3)2＋(0－4)2＝5，又r1＋r2＝5，∴两圆外切．答案 C2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0解析依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y＋2 1＋2＝x－12－1，即3x－y－5＝0.答案 A3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为() A．1，－1 B．2，－2C ．1D ．－1解析 圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心C (1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1.答案 D4．经过圆x 2＋y 2＝10上一点M (2，6)的切线方程是( ) A ．x ＋6y －10＝0 B.6x －2y ＋10＝0 C ．x －6y ＋10＝0D ．2x ＋6y －10＝0解析 ∵点M (2，6)在圆x 2＋y 2＝10上，k OM ＝62， ∴过点M 的切线的斜率为k ＝－63. 故切线方程为y －6＝－63(x －2)． 即2x ＋6y －10＝0. 答案 D5．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析 由题意可设所求的直线方程为y ＝－x ＋k ，则由|k |2＝1，得k ＝±2.由切点在第一象限知，k ＝ 2.故所求的直线方程y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.答案 A6．关于空间直角坐标系O －xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法： ①点P 到坐标原点的距离为13； ②OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，1，32；③与点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2，－3)．其中正确的个数是()A．2 B．3C．4 D．5解析点P到坐标原点的距离为12＋22＋32＝14，故①错；②正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确．答案 A7．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1处，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2>1，又圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2<1＝r，∴直线与圆相交．答案 B8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是()A．4 B．3C．2 D．1解析两圆的方程配方得，O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，圆心O1(－2,2)，O2(2,5)，半径r1＝1，r2＝4，∴|O1O2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，r1＋r2＝5.∴|O1O2|＝r1＋r2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案 B9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是()A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0解析依题意知直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2，∴l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案 A10．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为()A．9π B．πC．2π D．由m的值而定解析∵x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0，∴[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2.∴圆心(2m＋1，m)，半径r＝|m|.依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.∴圆的面积S＝π×12＝π.答案 B11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1解析 设P (x 1，y 1)，Q (3,0)，设线段PQ 中点M 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋32，y ＝y 12，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y . 又点P (x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1.故线段PQ 中点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案 C12．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，512) B ．(512，＋∞) C ．(13，34]D ．(512，34] 解析 如图所示，曲线y ＝1＋4－x 2变形为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)， 直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)， 当直线l 与半圆相切时，有 |－2k ＋4－1|k 2＋1＝2，解得k ＝512. 当直线l 过点(－2,1)时，k ＝34. 因此，k 的取值范围是512<k ≤34. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________．解析 圆心(0,0)到直线3x ＋4y －25＝0的距离为5， ∴所求的最小值为4. 答案 414．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________． 解析 r ＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案 (x －1)2＋(y －1)2＝215．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，①关于直线y ＝x 对称；②关于直线x ＋y ＝0对称；③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．解析 已知方程配方，得(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)，圆心坐标为(－a ，a )，它在直线x ＋y ＝0上，∴已知圆关于直线x ＋y ＝0对称．故②正确．答案 ②16．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9相交于A ，B 两点，则△AOB (O 为坐标原点)的面积为________．解析 圆心坐标(2，－3)，半径r ＝3，圆心到直线x －2y －3＝0的距离d ＝5，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝4.又原点(0,0)到AB 所在直线的距离h ＝35，所以△AOB 的面积为S ＝12×4×35＝655.答案 655三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程． 解 解法1：连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·yx －4＝－1.即x2＋y2－4x＝0.①当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝12|OA|＝2，由圆的定义，知P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内)．18．(12分)已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．解由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)．两圆的方程相减得直线AB的方程为2(m＋1)x－2y－m2－1＝0.∵A，B两点平分圆N的圆周，∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(－1，－1)．∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m2－1＝0.解得m＝－1.故圆M的圆心M(－1，－2)．19．(12分)点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．解把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.如图所示，C 1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.所以，|C 1C 2|＝(－3＋1)2＋(1＋2)2＝13.因此，|MN |的最大值是13＋5.20．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．解 如图：PM 为圆C 的切线，则CM ⊥PM ，∴△PMC 为直角三角形，∴|PM |2＝|PC |2－|MC |2.设P (x ，y )，C (－1,2)，|MC |＝ 2. ∵|PM |＝|PO |，∴x 2＋y 2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－2.化简得点P 的轨迹方程为2x －4y ＋3＝0.求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM |最小值为3510.21．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2，3)， (1)若点P (m ，m ＋1)在圆C 上，求PQ 的斜率；(2)若点M 是圆C 上任意一点，求|MQ |的最大值、最小值；(3)若N (a ，b )满足关系：a 2＋b 2－4a －14b ＋45＝0，求出t ＝b －3a ＋2的最大值．解 圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0可化为(x －2)2＋(y －7)2＝8. (1)点P (m ，m ＋1)在圆C 上，所以m 2＋(m ＋1)2－4m －14(m ＋1)＋45＝0，解得m ＝4，故点P (4,5)．所以PQ 的斜率是k PQ ＝5－34＋2＝13；(2)如图，点M 是圆C 上任意一点，Q (－2,3)在圆外， 所以|MQ |的最大值、最小值分别是 |QC |＋r ，|QC |－r . 易求|QC |＝42，r ＝22， 所以|MQ |max ＝62，|MQ |min ＝2 2.(3)点N 在圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上，t ＝b －3a ＋2表示的是定点Q (－2,3)与圆上的动点N 连线l 的斜率． 设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0. 当直线和圆相切时，d ＝r ，即|2k －7＋2k ＋3|k 2＋1＝22，解得k ＝2±3.所以t ＝b －3a ＋2的最大值为2＋ 3.22．(12分)已知曲线C ：x 2＋y 2＋2kx ＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0，其中k ≠－1. (1)求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明曲线C 过定点；(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．解 (1)证明：原方程可化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∵k ≠－1，∴5(k ＋1)2>0.故方程表示圆心为(－k ，－2k －5)，半径为5|k ＋1|的圆．设圆心的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝－k ，y ＝－2k －5.消去k ，得2x －y －5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x －y －5＝0上． (2)证明：将原方程变形为(2x ＋4y ＋10)k ＋(x 2＋y 2＋10y ＋20)＝0， ∵上式对于任意k ≠－1恒成立，∴⎩⎨⎧2x ＋4y ＋10＝0，x 2＋y 2＋10y ＋20＝0.解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3.∴曲线C 过定点(1，－3)． (3)∵圆C 与x 轴相切，∴圆心(－k ，－2k －5)到x 轴的距离等于半径． 即|－2k －5|＝5|k ＋1|.两边平方，得(2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∴k ＝5±3 5.。

A . 3x — y — 5=B . 3x + y — 7= 0D . x — 3y + 1= 03.若直线(1 + a)x + y + 1 = 0与圆x 2 + y 2— 2x = 0相切，则a 的值为()B . 2,— 2C . 15.点M （3,— 3,1）关于xOz 平面的对称点是（ ）B. . 13C . 10D. 107.若直线y = kx + 1与圆x 2+ y 2= 1相交于P 、Q 两点，且/ POQ = 120°其中0为坐标原点), 则k 的值为( )A. .3B. 2C. 3或—3D. 2和—2吉林省德惠市实验中学2014-2015学年必修二第四章单元测试题（时间：120分钟 总分：150分） 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 、选择题（本大题共 一项是符合题目要求的 1已知两圆的方程是 ） x 2 + y 2= 1和x 2+ y 2— 6x — 8y + 9= 0,那么这两个圆的位置关系是 A •相离 B •相交 C .外切 2 .过点（2,1）的直线中，被圆 D .内切 x 2+ y 2— 2x + 4y = 0截得的最长弦所在的直线方程为 （C . x + 3y — 5 = 0 A . 1,— 1 4.经过圆x 2 + y 2= 10上一点A . x + ?6y — 10= 0 C . x — ',6y + 10= 0M(2 , 6)的切线方程是()B. 6x — 2y + 10= 0D . 2x + ,6y — 10= 0A . (— 3,3, — 1) （一 3，一 3，一 1）C . (3，一3,— 1)(3,3,1)6.若点A 是点B （1,2,3）关于x 轴对称的点, 点C 是点D （2, — 2,5）关于y 轴对称的点, 贝 U |AC|9. C . 直线 D .l 将圆x 2 + y 2— 2x — 4y = 0平分，且与直线 x + 2y = 0垂直，则直线I 的方程是（2x — y = 0B . 2x — y — 2= 0O 1: x 2 + y 2+ 4x — 4y + 7= 0 和圆 10. 圆x 2 + y 2— (4m + 2)x — 2my + 4m 2 + 4m + 1 = 0的圆心在直线 x + y — 4 = 0上，那么圆的面 积为()A . 9 nB . nC . 2 nD .由m 的值而定11. 当点P 在圆x 2 + y 2 = 1上变动时，它与定点 Q(3,0)的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是 ( )2 2 2 2A . (x + 3) + y = 4B . (x — 3) + y = 1C . (2x — 3)2 + 4y 2= 1D . (2x + 3)2 + 4y 2= 112.曲线y = 1+ 4 — x 2与直线y = k(x — 2) + 4有两个交点，则实数 k 的取值范围是()A . (0,寻)B .请‘+^ )1 3 5 3 C .(3，4】 D .(正，4】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上）13. _______________________________________________________________ 圆x 2 + y 2= 1上的点到直线3x + 4y — 25= 0的距离最小值为 _________________________________ . 14. __________________________________________________ 圆心为（1,1）且与直线x + y = 4相切的圆的方程是 _________________________________________ .15 .方程x 2 + y 2 + 2ax — 2ay = 0表示的圆，①关于直线y = x 对称；②关于直线x + y = 0对称; ③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是 ______________ 16 .直线x + 2y = 0被曲线x 2+ y 2— 6x — 2y — 15= 0所截得的弦长等于 ___________ . 三、 解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤）17 . （10分）自 A （4,0）引圆x 2+ y 2= 4的割线ABC ,求弦BC 中点P 的轨迹方程.O 2： x 2 + y 2— 4x — 10y + 13= 0都相切的直线条数是 与圆C . x + 2y — 3 = 0D . x — 2y + 3= 018 . （12 分）已知圆M : x2+ y2—2mx+ 4y+ m2— 1 = 0与圆N: x2+ y2+ 2x + 2y—2 = 0 相交于A,B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标.19 . （12 分）已知圆C1: x2+ y2—3x—3y+ 3= 0，圆C2：x2+ y2—2x—2y= 0,求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长.20. (12分)已知圆C：X2+ y2+ 2x—4y+ 3= 0,从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M , O 为坐标原点，且有|PM|=|PO|,求|PM|的最小值.21. (12 分)已知O C: (x—3)2+ (y—4)2= 1,点A( —1,0), B(1,0)，点P 是圆上动点，求d= |PA f + |PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标.22. (12 分)已知曲线C: x2+ y2+ 2kx+ (4k + 10)y+ 10k + 20= 0，其中心―1.(1) 求证：曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；(2) 证明曲线C过定点；⑶若曲线C与x轴相切，求k的值.答案:1•解析：将圆x 2 +寸—6x — 8y + 9= 0，化为标准方程得(x — 3)2 + (y — 4)2= 16.二两圆的圆心距 0-3 2+ 0-4 2 = 5，又门+匕=5,「.两圆外切.答案：C 2•解析：依题意知，所求直线通过圆心(1,— 2)，由直线的两点式方程得 严!= ㈡，即3x1 +2 2— 1—y — 5= 0.答案：A3•解析：圆x 2+ y 2— 2x = 0的圆心C(1,0)，半径为1，依题意得卩+ a + 02+11= 1,即|a + 2| =寸(1 + a )+ 1a + 1 2+ 1,平方整理得a =— 1.答案：D4. 解析：•••点M(2, 6)在圆x 2 + y 2= 10上，k oM =专，二过点M 的切线的斜率为k =—£,2 3故切线方程为y — 6 =— f(x — 2)，即2x + ■,6y — 10= 0.答案：D 5.解点M(3 , — 3,1)关于xOz 平面的对称点是(3,3,1).答案：D 6.解析：依题意得点 A(1 ,— 2 , — 3) , C( — 2 , — 2 , — 5).二 |AC| = —2— 1 2+ — 2 + 2 2+ — 5 + 3 2= . 13.答案：B答案：C 8.解析：两圆的方程配方得，O 1： (x + 2)2+(y— 2)2= 1,。