人教新课标版数学高一学年高中数学必修二测试 第四章检测题

高二数学周测一、选择与填空题（每题6分，共60分）（请将选择和填空题答案写在以下答题卡内）A．相交B．外切C．内切D．相离2. 两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公共切线有()．A．1条B．2条C．3条D．4条3. 若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝14. 与直线l : y＝2x＋3平行，且与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相切的直线方程是（）A．x－y±5＝0 B．2x－y＋5＝0C．2x－y－5＝0 D．2x－y±5＝05. 直线x－y＋4＝0被圆x2＋y2＋4x－4y＋6＝0截得的弦长等于()A．2B．2 C．22D．426. 圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是（）A．30 B．18 C．62D．527. 若直线3x－y＋c＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x2＋y2＝10相切，则c的值为()A．14或－6 B．12或－8 C．8或－12 D．6或－148. 若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为____________________9. 圆心在直线2x＋y＝0上，且圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)的圆的标准方程为__________10. 已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A，PB是圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形P ACB面积的最小值为二、解答题（共40分）11．（15分）求与x轴相切，圆心C在直线3x－y＝0上，且截直线x－y＝0得的弦长为27的圆的方程．12．（25分）已知圆C :(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B．(1)求直线P A，PB的方程（8分）；(2)求过P点的圆的切线长（8分）；(3)求直线AB的方程（9分）．高二数学周测答案 一、选择题 1.A 2.C 3.A 4.D 5.C 6.C 7.A二、填空题8．x 2＋y 2＋4x －3y ＝0； 9． (x －1)2＋(y ＋2)2＝2； 10．22．三、解答题11．解：因为圆心C 在直线3x －y ＝0上，设圆心坐标为(a ，3a )，圆心(a ，3a )到直线x －y ＝0的距离为d ＝22 － a ． 又圆与x 轴相切，所以半径r ＝3|a |，设圆的方程为(x －a )2＋(y －3a )2＝9a 2，设弦AB 的中点为M ，则|AM |＝7．在Rt △AMC 中，由勾股定理，得22 2 － ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＋(7)2＝(3|a |)2． 解得a ＝±1，r 2＝9．故所求的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝9，或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9．12．解：(1)设过P 点圆的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx ―y ―2k ―1＝0． 因为圆心(1，2)到直线的距离为2，1 ＋3 － － 2k k ＝2， 解得k ＝7，或k ＝－1．故所求的切线方程为7x ―y ―15＝0，或x ＋y －1＝0．(2)在Rt △PCA 中，因为|PC |＝222 － 1 －＋ 1 － 2)()(＝10，|CA |＝2， 所以|P A |2＝|PC |2－|CA |2＝8．所以过点P 的圆的切线长为22．(3)容易求出k PC ＝－3，所以k AB ＝31． 如图，由CA 2＝CD ·PC ，可求出CD ＝PC CA 2＝102． 设直线AB 的方程为y ＝31x ＋b ，即x －3y ＋3b ＝0． 由102＝23 ＋ 1 3 ＋ 6 － 1 b 解得b ＝1或b ＝37(舍)． 所以直线AB 的方程为x －3y ＋3＝0．(第12题) (第11题)(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．。

2019-2020学年必修二第四章训练卷圆与方程（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线340x y b +-=与圆()()22111x y -+-=相切，则b 的值是（ ） A ．2-或12B ．2或12-C ．2或12D ．2-或12-2．点A (3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是（ ） A ．(－3,4，－10) B ．(－3,2，－4) C ．⎝⎛⎭⎫32，－12，12D ．(6，－5,11)3．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为（ ） A ．4B ．2C ．85D ．1254．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ） A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝05．直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是（ ）6．若圆C 1：(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则实数a ，b 应满足的关系式是（ ） A ．a 2－2a －2b －3＝0 B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0 C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0 D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝07．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝2 C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x8．设直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝25的直径分为两段，则这两段之比为（ ） A ．73或37B ．74或47C ．75或57D ．76或679．若x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是（ ） A ．5－5B ．5－ 5C ．30－10 5D ．无法确定10．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点(m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m 、n 满足的关系式是（ ） A ．(m －2)2＋n 2＝4B ．(m ＋2)2＋n 2＝4C ．(m －2)2＋n 2＝8D ．(m ＋2)2＋n 2＝811．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ） A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝0此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号＝OO′＝2．若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．A．|b|＝ 2 B．－1<b<1或b＝－ 2C．－1<b≤1D．－1<b≤1或b＝－ 2二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．点M(1,2，－3)关于原点的对称点是________．14．两圆x2＋y2＋4y＝0，x2＋y2＋2(a－1)x＋2y＋a2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a的值为________．15．已知P(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋12＝0内一点，则过点P的最短弦所在直线方程是________，过点P的最长弦所在直线方程是________．16．已知圆心在x轴上，半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)已知三条直线l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：2x＋y－1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．19．(12分)已知A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)为△ABC的三个顶点，O、M、N分别为边AB、BC、CA的中点，求△OMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．20．(12分)已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．（1）求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．（2）m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．21．(12分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x －3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程．22．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．（2）从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．2019-2020学年必修二第四章训练卷圆与方程（一）答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】∵圆的标准方程为22111x y -+-=（）（），∴圆心坐标为1,1（），半径为1， ∵直线340x y b +-=与圆()()22111x y -+-=相切， ∴圆心1,1（）到直线340x y b +-=的距离等于圆的半径，715b -==，解得：2b =或12b =．故选C ．2．【答案】A【解析】设点A 关于点(0,1，－3)的对称点为A ′(x ，y ，z )，则(0,1，－3)为线段AA ′的中点，即x ＋32＝0，y －22＝1，4＋z2＝－3，∴x ＝－3，y ＝4，z ＝－10．∴A ′(－3,4，－10)．故选A ． 3．【答案】A【解析】根据题意，知点P 在圆上，∴切线l 的斜率k ＝－1k OP ＝－11－42＋2＝43．∴直线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)．即4x －3y ＋20＝0．又直线m 与l 平行，∴直线m 的方程为4x －3y ＝0． 故直线l 与m 间的距离为d ＝|0－20|42＋32＝4．故选A ．4．【答案】A【解析】设两切线切点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则两切线方程为x 1x ＋y 1y ＝4， x 2x ＋y 2y ＝4．又M (4，－1)在两切线上，∴4x 1－y 1＝4,4x 2－y 2＝4． ∴两切点的坐标满足方程4x －y ＝4．故选A ． 5．【答案】B【解析】由直线的斜率a 与在y 轴上的截距b 的符号，可判定圆心位置，又圆过原点，故选B ． 6．【答案】B【解析】圆C 1与C 2方程相减得两圆公共弦方程，当圆C 2的圆心在公共弦上时，圆C 1始终平分圆C 2的周长，故选B ． 7．【答案】B【解析】由题意知，圆心(1,0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2，故选B ． 8．【答案】A【解析】由题意知P (0，－3)．P 到圆心(－1,0)的距离为2， ∴P 分直径所得两段为5－2和5＋2，即3和7．故选A ． 9．【答案】C【解析】配方得(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以x 2＋y 2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x 2＋y 2的最小值为 30－105．故选C ． 10．【答案】C【解析】由勾股定理，得(m －2)2＋n 2＝8．故选C ． 11．【答案】D【解析】l 为两圆圆心连线的垂直平分线，(0,0)与(－2,2)的中点为(－1,1)，k l ＝1， ∴y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0．故选D ． 12．【答案】D【解析】如图，由数形结合知，故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】(－1，－2，3) 14．【答案】－2【解析】两圆心与交点构成一直角三角形，由勾股定理和半径范围可知a ＝－2． 15．【答案】x ＋y －3＝0，x －y －3＝0【解析】点P 为弦的中点，即圆心和点P 的连线与弦垂直时，弦最短；过圆心即弦为直径时最长． 16．【答案】(x ＋2)2＋y 2＝2【解析】设圆心坐标为(a,0)(a <0)，则由圆心到直线的距离为2知|a |2＝2， 故a ＝－2，因此圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【答案】如图，⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94． 【解析】l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直．三交点A ，B ，C 构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.所以点A 的坐标是(－2，－1)． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.所以点B 的坐标是(1，－1)．线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫－12，－1，又|AB |＝3=＝3．所求圆的标准方程是⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94． 18．【答案】E (0,2,1)为线段BB ′的中点． 【解析】如图所示，以三棱原点，以OA 、OB 、OO ′所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ．由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2,0,0)、B (0,2,0)、O (0,0,0)，A ′(2,0,2)、B ′(0,2,2)、O ′(0,0,2)．由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1,0,1)，设E 点坐标为(0,2,z )， ∴|EC |故当z ＝1时，|EC |取得最小值为5．此时E (0,2,1)为线段BB ′的中点． 19．【答案】x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，⎝⎛⎭⎫－72，152，12130． 【解析】∵点O 、M 、N 分别为AB 、BC 、CA 的中点且A (3,5)，B (－1,3)， C (－3,1)，∴O (1,4)，M (－2,2)，N (0,3)．∵所求圆经过点O 、M 、N ，∴设△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 把点O 、M 、N 的坐标分别代入圆的方程得()2222221440222200330D E F D E F E F ⎧++++=⎪⎪-+-++=⎨⎪+++=⎪⎩，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝7E ＝－15F ＝35．∴△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，圆心为⎝⎛⎭⎫－72，152，半径r ＝12130． 20．【答案】（1）见解析；（2）m 为－52时，最小值为27．【解析】（1）证明：直线l 变形为m (x －y ＋1)＋(3x －2y )＝0．令⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. 如图所示，故动直线l 恒过定点A (2,3)．而|AC |＝2<3(半径)．∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交．（2）解：由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC 垂直直线l 时，弦长最小，此时k l ·k AC ＝－1，即m ＋3m ＋2·4－33－2＝－1，∴m ＝－52．最小值为＝27．故m 为－52时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小，最小值为27．21．【答案】（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8．【解析】（1）∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3．又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为 y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0．（2）由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2，∴点A 的坐标为(0，－2)， ∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)， ∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM|22，∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．22．【答案】（1）y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0；（2）⎝⎛⎭⎫－310，35． 【解析】（1）将圆C 整理得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2．①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ，∴圆心到切线的距离为|－k －2|k 2＋1＝2，即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2±6．∴y ＝(2±6)x ；②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x ＋y －a ＝0， ∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a |2＝2，即|a －1|＝2，解得a ＝3或－1．∴x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．综上所述，所求切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0． （2）∵|PO |＝|PM |，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，即2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当|PM |取最小值时，即|OP |取得最小值，此时直线OP ⊥l ，∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0，解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0得⎩⎨⎧x ＝－310，y ＝35，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35．。

圆及方程姓名：班级： .一、选择题〔共8小题；共40分〕1. 圆x2+y2−4x+6y=0的圆心坐标是( )A. (2,3)B. (−2,3)C. (−2,−3)D. (2,−3)2. ⊙O的直径是3，直线l及⊙O相交，圆心O到直线l的距离是d，那么d应满足( )A. d>3B. 1.5<d<3C. 0≤d<1.5D. d<03. 圆(x−2)2+(y−1)2=4及圆(x+1)2+(y−2)2=9的公切线有( )条A. 1B. 2C. 3D. 44. 从原点向圆x2+y2−12y+27=0作两条切线，那么该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )A. πB. 2πC. 4πD. 6π5. 过点(1,1)的直线及圆(x−2)2+(y−3)2=9相交于A，B两点，那么∣AB∣的最小值为( )A. 2√3B. 4C. 2√5D. 56. 圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0及圆C相切，那么圆C的方程为( )A. x2+y2−2x−3=0B. x2+y2+4x=0C. x2+y2+2x−3=0D. x2+y2−4x=07. 要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，那么需安装这种喷水龙头的个数最少是( )A. 6B. 5C. 4D. 38. 圆：C1:(x−2)2+(y−3)3=1，圆：C2:(x−3)2+(y−4)2=9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，那么∣PM∣+∣PN∣的最小值为( )A. 5√2−4B. √17−1C. 6−2√2D. √17二、填空题〔共7小题；共35分〕9. 过点A(3,−4)及圆x2+y2=25相切的直线方程是．10. 如果单位圆x2+y2=1及圆C:(x−a)2+(y−a)2=4相交，那么实数a的取值范围为．11. 在空间直角坐标系中，点A(1,0,2)，B(1,−3,1)，点M在y轴上，且M到A及到B的距离相等，那么点M的坐标是．12. 圆C:(x−2)2+y2=1．假设直线y=k(x+1)上存在点P，使得过P向圆C所作的两条切线，那么实数k的取值范围所成的角为π3为．13. 如图，以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，假设点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动，那么PQ的最小值为．14. 在圆C:(x−2)2+(y−2)2=8内，过点P(1,0)的最长的弦为AB，最短的弦为DE，那么四边形ADBE的面积为．15. 据气象台预报：在A城正东方300km的海面B处有一台风中心，正以每小时40km的速度向西北方向移动，在距台风中心250km以内的地区将受其影响．从现在起经过约h，台风将影响A城，持续时间约为h．〔结果准确到0.1h〕三、解答题〔共5小题；共65分〕16. 假设关于x，y的方程x2+y2−4x+4y+m=0表示圆C．〔1〕求实数m的取值范围；〔2〕假设圆C及圆M:x2+y2=2相离，求m的取值范围．17. 圆C:x2+y2+4x+4y+m=0，直线l:x+y+2=0．〔1〕假设圆C及直线l相离，求m的取值范围；〔2〕假设圆D过点P(1,1)，且及圆C关于直线l对称，求圆D的方程．18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y=2x−4．设圆C的半径为1，圆心在l上．〔1〕假设圆心C也在直线y=x−1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；〔2〕假设圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．19. 直线l的方程为2x+(1+m)y+2m=0，m∈R，点P的坐标为(−1,0)．〔1〕求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；〔2〕求点P到直线l的距离的最大值；〔3〕设点P在直线l上的射影为点M，N的坐标为(2,1)，求线段MN长的取值范围．20. 在平面直角坐标系xOy中，圆C1:(x+3)2+(y−1)2=4和圆C2:(x−4)2+(y−5)2=4．〔1〕假设直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2√3，求直线l的方程；〔2〕设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别及圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长及直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．答案第一局部1. D2. C3. B4. B5. B6. D7.C 8. A第二局部9. 3x−4y=25 10. −3√22<a<−√22或√22<a<3√2211. (0,−1,0) 12. [−2√55,2√55] 13. √22a 14. 4√615. 2.0；6.6第三局部16. 〔1〕圆C化简为(x−2)2+(y+2)2=8−m，所以8−m>0，即m<8．〔2〕圆C的圆心为(2,−2)，半径为√8−m〔m<8〕，圆M的圆心为(0,0)，半径为√2，由题意，得圆心距大于两圆的半径和，那么√22+22>√8−m+√2，解得6<m<8．17. 〔1〕圆C:x2+y2+4x+4y+m=0即(x+2)2+(y+2)2= 8−m．圆心C(−2,−2)到直线l的距离d=√2=√2，假设圆C及直线l相离，那么d>r，所以r2=8−m<2即m>6又r2=8−m>0即m<8．故m的取值范围是(6,8)．〔2〕设圆D的圆心D的坐标为(x0,y0)，由于圆C的圆心C(−2,−2)，依题意知点D和点C关于直线l对称，那么有 {x 0−22+y 0−22+2=0y 0+2x 0+2×(−1)=−1，解得 {x 0=0y 0=0．所以 圆 D 的方程为 x 2+y 2=r 2，而 r =∣DP ∣=√2，因此，圆 D 的方程为 x 2+y 2=2．18. 〔1〕 由题设，圆心 C 是直线 y =2x −4 和 y =x −1 的交点， 解得点 C (3,2)，于是切线的斜率必存在． 设过 A (0,3) 的圆 C 的切线方程为y =kx +3.由题意，得∣3k +1∣√k 2+1=1,解得：k =0或−34.故所求切线方程为y =3或3x +4y −12=0.〔2〕 因为圆心在直线 y =2x −4 上，所以圆 C 的方程为(x −a )2+[y −2(a −2)]2=1.设点 M (x,y )，因为 MA =2MO ，所以√x 2+(y −3)2=2√x 2+y 2,化简得x 2+y 2+2y −3=0,即x 2+(y +1)2=4,所以点 M 在以 D (0,−1) 为圆心，2 为半径的圆上．由题意，点 M (x,y ) 在圆 C 上，所以圆 C 及圆 D 有公共点，那么∣2−1∣≤CD ≤2+1,即1≤√a 2+(2a −3)2≤3.整理，得−8≤5a 2−12a ≤0.由 5a 2−12a +8≥0，得a ∈R;由 5a 2−12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 [0,125]．19. 〔1〕 由 2x +(1+m )y +2m =0 得 2x +y +m (y +2)=0， 所以直线 l 恒过直线 2x +y =0 及直线 y +2=0 交点 Q ． 解方程组 {2x +y =0,y +2=0. 得 Q (1,−2)，所以直线 l 恒过定点，且定点为 Q (1,−2)．〔2〕 设点 P 在直线 l 上的射影为点 M ，那么 ∣PM∣≤∣PQ∣∣，当且仅当直线 l 及 PQ 垂直时，等号成立，所以点 P 到直线 l 的距离的最大值即为线段 PQ 的长度为 2√2． 〔3〕 因为直线 l 绕着点 Q (1,−2) 旋转，所以点 M 在以线段 PQ 为直径的圆上，其圆心为点 C (0,−1)，半径为 √2，因为 N 的坐标为 (2,1)，所以∣CN∣=2√2，从而√2≤∣MN∣≤3√2．20. 〔1〕由于直线x=4及圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=k(x−4),圆C1的圆心到直线l的距离为d，又因为直线l被圆C1截得的弦长为2√3，所以d=√22−(√3)2=1.由点到直线的距离公式得d=∣1−k(−3−4)∣√1+k2,从而k(24k+7)=0,即k=0或k=−7 24 ,所以直线l的方程为y=0或7x+24y−28=0.〔2〕设点P(a,b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y−b=k(x−a),k≠0,那么直线l2的方程为y−b=−1k(x−a).因为圆C1和C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长及直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即∣1−k (−3−a )−b∣√1+k 2=∣∣5+1k (4−a )−b ∣∣√1+1k 2,整理得 ∣1+3k +ak −b∣=∣5k +4−a −bk∣,从而1+3k +ak −b =5k +4−a −bk, 或1+3k +ak −b =−5k −4+a +bk.即(a +b −2)k =b −a +3,或(a −b +8)k =a +b −5.因为 k 的取值有无穷多个，所以{a +b −2=0,b −a +3=0,或{a −b +8=0,a +b −5=0.解得{a =52,b =−12,或{a =−32,b =132.这样点 P 只可能是点 P 1(52,−12) 或点 P 2(−32,132)． 经检验点 P 1 和 P 2 满足题目条件．。

第四章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切解析将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0，化为标准方程得(x－3)2＋(y－4)2＝16.∴两圆的圆心距(0－3)2＋(0－4)2＝5，又r1＋r2＝5，∴两圆外切．答案 C2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0解析依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y＋2 1＋2＝x－12－1，即3x－y－5＝0.答案 A3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为() A．1，－1 B．2，－2C ．1D ．－1解析 圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心C (1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1.答案 D4．经过圆x 2＋y 2＝10上一点M (2，6)的切线方程是( ) A ．x ＋6y －10＝0 B.6x －2y ＋10＝0 C ．x －6y ＋10＝0D ．2x ＋6y －10＝0解析 ∵点M (2，6)在圆x 2＋y 2＝10上，k OM ＝62， ∴过点M 的切线的斜率为k ＝－63. 故切线方程为y －6＝－63(x －2)． 即2x ＋6y －10＝0. 答案 D5．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析 由题意可设所求的直线方程为y ＝－x ＋k ，则由|k |2＝1，得k ＝±2.由切点在第一象限知，k ＝ 2.故所求的直线方程y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.答案 A6．关于空间直角坐标系O －xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法： ①点P 到坐标原点的距离为13； ②OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，1，32；③与点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2，－3)．其中正确的个数是()A．2 B．3C．4 D．5解析点P到坐标原点的距离为12＋22＋32＝14，故①错；②正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确．答案 A7．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1处，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2>1，又圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2<1＝r，∴直线与圆相交．答案 B8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是()A．4 B．3C．2 D．1解析两圆的方程配方得，O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，圆心O1(－2,2)，O2(2,5)，半径r1＝1，r2＝4，∴|O1O2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，r1＋r2＝5.∴|O1O2|＝r1＋r2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案 B9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是()A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0解析依题意知直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2，∴l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案 A10．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为()A．9π B．πC．2π D．由m的值而定解析∵x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0，∴[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2.∴圆心(2m＋1，m)，半径r＝|m|.依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.∴圆的面积S＝π×12＝π.答案 B11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1解析 设P (x 1，y 1)，Q (3,0)，设线段PQ 中点M 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋32，y ＝y 12，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y . 又点P (x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1.故线段PQ 中点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案 C12．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，512) B ．(512，＋∞) C ．(13，34]D ．(512，34] 解析 如图所示，曲线y ＝1＋4－x 2变形为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)， 直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)， 当直线l 与半圆相切时，有 |－2k ＋4－1|k 2＋1＝2，解得k ＝512. 当直线l 过点(－2,1)时，k ＝34. 因此，k 的取值范围是512<k ≤34. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________．解析 圆心(0,0)到直线3x ＋4y －25＝0的距离为5， ∴所求的最小值为4. 答案 414．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________． 解析 r ＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案 (x －1)2＋(y －1)2＝215．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，①关于直线y ＝x 对称；②关于直线x ＋y ＝0对称；③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．解析 已知方程配方，得(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)，圆心坐标为(－a ，a )，它在直线x ＋y ＝0上，∴已知圆关于直线x ＋y ＝0对称．故②正确．答案 ②16．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9相交于A ，B 两点，则△AOB (O 为坐标原点)的面积为________．解析 圆心坐标(2，－3)，半径r ＝3，圆心到直线x －2y －3＝0的距离d ＝5，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝4.又原点(0,0)到AB 所在直线的距离h ＝35，所以△AOB 的面积为S ＝12×4×35＝655.答案 655三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程． 解 解法1：连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·yx －4＝－1.即x2＋y2－4x＝0.①当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝12|OA|＝2，由圆的定义，知P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内)．18．(12分)已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．解由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)．两圆的方程相减得直线AB的方程为2(m＋1)x－2y－m2－1＝0.∵A，B两点平分圆N的圆周，∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(－1，－1)．∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m2－1＝0.解得m＝－1.故圆M的圆心M(－1，－2)．19．(12分)点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．解把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.如图所示，C 1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.所以，|C 1C 2|＝(－3＋1)2＋(1＋2)2＝13.因此，|MN |的最大值是13＋5.20．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．解 如图：PM 为圆C 的切线，则CM ⊥PM ，∴△PMC 为直角三角形，∴|PM |2＝|PC |2－|MC |2.设P (x ，y )，C (－1,2)，|MC |＝ 2. ∵|PM |＝|PO |，∴x 2＋y 2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－2.化简得点P 的轨迹方程为2x －4y ＋3＝0.求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM |最小值为3510.21．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2，3)， (1)若点P (m ，m ＋1)在圆C 上，求PQ 的斜率；(2)若点M 是圆C 上任意一点，求|MQ |的最大值、最小值；(3)若N (a ，b )满足关系：a 2＋b 2－4a －14b ＋45＝0，求出t ＝b －3a ＋2的最大值．解 圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0可化为(x －2)2＋(y －7)2＝8. (1)点P (m ，m ＋1)在圆C 上，所以m 2＋(m ＋1)2－4m －14(m ＋1)＋45＝0，解得m ＝4，故点P (4,5)．所以PQ 的斜率是k PQ ＝5－34＋2＝13；(2)如图，点M 是圆C 上任意一点，Q (－2,3)在圆外， 所以|MQ |的最大值、最小值分别是 |QC |＋r ，|QC |－r . 易求|QC |＝42，r ＝22， 所以|MQ |max ＝62，|MQ |min ＝2 2.(3)点N 在圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上，t ＝b －3a ＋2表示的是定点Q (－2,3)与圆上的动点N 连线l 的斜率． 设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0. 当直线和圆相切时，d ＝r ，即|2k －7＋2k ＋3|k 2＋1＝22，解得k ＝2±3.所以t ＝b －3a ＋2的最大值为2＋ 3.22．(12分)已知曲线C ：x 2＋y 2＋2kx ＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0，其中k ≠－1. (1)求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明曲线C 过定点；(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．解 (1)证明：原方程可化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∵k ≠－1，∴5(k ＋1)2>0.故方程表示圆心为(－k ，－2k －5)，半径为5|k ＋1|的圆．设圆心的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝－k ，y ＝－2k －5.消去k ，得2x －y －5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x －y －5＝0上． (2)证明：将原方程变形为(2x ＋4y ＋10)k ＋(x 2＋y 2＋10y ＋20)＝0， ∵上式对于任意k ≠－1恒成立，∴⎩⎨⎧2x ＋4y ＋10＝0，x 2＋y 2＋10y ＋20＝0.解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3.∴曲线C 过定点(1，－3)． (3)∵圆C 与x 轴相切，∴圆心(－k ，－2k －5)到x 轴的距离等于半径． 即|－2k －5|＝5|k ＋1|.两边平方，得(2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∴k ＝5±3 5.。

第四章综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．点B 是点A (1,2,3)在坐标平面yOz 内的射影，则|OB |等于( ) A.14 B.13 C ．2 3D.11[解析] B 点坐标为(0,2,3)， ∴|OB |＝02＋22＋32＝13.∴应选B.2．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ＜12 B ．m ＜0 C ．m ＞12 D ．m ≤12[答案] A[解析] (－1)2＋12－4m ＞0，∴m ＜12，故选A.3．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(1，－2)，5 B ．(1，－2)， 5 C ．(－1,2)，5 D ．(－1,2)， 5[答案] D[解析] 圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心是(－1,2)，半径为 5.4．直线l ：y ＝k (x ＋12)与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相交或相切 B ．相交或相离 C ．相切 D ．相交[答案] D[解析] 方法一：圆C 的圆心(0,0)到直线y ＝k (x ＋12)的距离d ＝|12k |k 2＋1，∵d 2＝14k 2k 2＋1＜14＜1，∴所判断的位置关系为相交．方法二：直线l ：y ＝k (x ＋12)过定点(－12，0)，而点(－12，0)在圆C ：x 2＋y 2＝1内部，故直线l 与圆C 相交．5．圆x 2＋y 2＋ax ＝0的圆心到y 轴的距离为1，则a ＝( ) A ．－1 B ．±1 C ．－2 D ．±2[答案] D[解析] ∵圆心坐标为(－a2，0)， ∴|－a2|＝1，∴a ＝±2.6．圆C 1：x 2＋y 2＝r 2与圆C 2：(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r ＞0)外切，则r 的值为( )A.102B.52 C ．5 D ．10[答案] A[解析] 圆C 1与圆C 2的圆心坐标分别为(0,0)，(3，－1)，则圆心距d ＝10，故2r ＝10，r ＝102.7．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0[答案] D[解析] ∵点(1，3)在圆x 2＋y 2－4x ＝0上， ∴点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直． 设切线的斜率为k ，又∵圆心为(2,0)，∴0－32－1·k ＝－1，解得k ＝33，∴切线方程为x －3y ＋2＝0.8．(2012－2013·江苏苏州模拟)若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．－1或 3B ．1或3C ．－2或6D ．0或4[答案] D[解析] 由半径、半弦长、圆心到直线的距离d 所形成的直角三角形，可得d ＝2，故|a －2|2＝2，解得a ＝4，或a ＝0.9．(2012～2013·北京东城区高三期末检测)直线l 过点(－4,0)，且与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝25交于A ，B 两点，如果|AB |＝8，那么直线l 的方程为( )A ．5x ＋12y ＋20＝0B ．5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．5x －12y ＋20＝0D ．5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0 [答案] D[解析] 由题意，得圆心C (－1,2)，半径r ＝5，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，x ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝6，即此时与圆C 的交点坐标是(－4，－2)和(－4,6)，则|AB |＝8，即x ＋4＝0符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0，圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k －2＋4k |k 2＋1＝|3k －2|k 2＋1，又|AB |＝2r 2－d 2， 所以225－(|3k －2|k 2＋1)2＝8，解得k ＝－512，则直线l 的方程为－512x －y ＋4×(－512)＝0， 即5x ＋12y ＋20＝0.10．(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．3 3B ．2 3 C. 3 D ．1[答案] B[解析] 圆x 2＋y 2＝4的圆心O (0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|5＝1，弦AB 的长|AB |＝2r 2－d 2＝2 3.11．(2012－2013·山东威海模拟)若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为( )A ．－3或 3 B. 3 C ．－2或 2 D. 2[答案] A[解析] 方法一：∵|PQ |＝2×1×sin60°＝3，圆心到直线的距离d ＝1－(32)2＝12，∴1k 2＋1＝12，解得k ＝±3.方法二：利用数形结合．如图所示，∵直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x 2＋y 2＝1上，故不妨设P (0,1)，在等腰三角形POQ 中，∠POQ ＝120°，∴∠QPO ＝30°，故∠P AO ＝60°，∴k ＝3，即直线P A 的斜率为 3.同理可求得直线PB 的斜率为－ 3.12．若直线y ＝kx －1与曲线y ＝－1－(x －2)2有公共点，则k 的取值范围是( )A ．(0，43] B ．[13，43] C ．[0，12] D ．[0,1][答案] D[解析] 曲线y ＝－1－(x －2)2表示的图形是一个半圆，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可知，k 的取值范围是[0,1]，故选D.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知点A (1,2,3)，B (2，－1,4)，点P 在y 轴上，且|P A |＝|PB |，则点P 的坐标是________．[答案] －76[解析] 设点P (0，b,0)，则 (1－0)2＋(2－b )2＋(3－0)2＝(2－0)2＋(－1－b )2＋(4－0)2，解得b ＝－76.14．(2012－2013·江苏扬州安宜高中期中)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________.[答案] 1[解析] 由(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2－4)＝0得两圆公共弦方程为ay －1＝0，又因公共弦长为23，所以圆心(0,0)到该公共弦的距离为1，即|0－1|a 2＝1.又a ＞0，所以a ＝1.15．已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，点P (0,5)，则过P 作圆C 的切线有且只有________条．[答案] 2[解析] 由C (1，－2)，r ＝2， 则|PC |＝12＋(－2－5)2＝52>r ＝2，∴点P 在圆C 外，∴过P 作圆C 的切线有两条．16．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝2[解析] ∵⊙A ：(x －6)2＋(y －6)2＝18的圆心A (6,6)，半径r 1＝32，∵A 到l 的距离52，∴所求圆B 的直径2r 2＝22，即r 2＝ 2.设B(m，n)，则由BA⊥l得n－6m－6＝1，又∵B到l距离为2，∴|m＋n－2|2＝2，解出m＝2，n＝2.故其方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心C在y轴上的圆的方程．[解析]∵AB的中点是(1,3)，k AB＝4－2－1－3＝－12，∴AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.令x＝0，得y＝1，即圆心C(0,1)．∴所求圆的半径为|AC|＝12＋(4－1)2＝10.∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.18．(本小题满分12分)(2012～2013·宁波高一检测)如图，正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．[解析]以D为原点建立如图所示坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M (a 2，a 2，a 2)，取A 1C 1中点O 1，则O 1(a 2，a2，a )，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点， 故N (a 4，34a ，a )．由两点间的距离公式可得： |MN |＝(a 2－a 4)2＋(a 2－34a )2＋(a2－a )2＝64a .规律总结：空间中的距离可以通过建立空间直角坐标系通过距离公式求解．19．(本小题满分12分)已知直线x －my ＋3＝0和圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0. (1)当直线与圆相切时，求实数m 的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为2510时，求实数m 的值． [解析] (1)∵圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为(3,0)．∵直线x －my ＋3＝0与圆相切，∴|3＋3|1＋m2＝2，解得m ＝±2 2. (2)圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离d ＝61＋m 2.由2510＝24－(61＋m 2)2得，2＋2m 2＝20m 2－160， 解得m 2＝9，故m ＝±3.20．(本小题满分12分)已知点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上运动，N (4,0)，点P (x ，y )为线段MN 的中点．(1)求点P (x ，y )的轨迹方程；(2)求点P (x ，y )到直线3x ＋4y －86＝0的距离的最大值和最小值． [解析] (1)∵点P (x ，y )是MN 的中点，∴⎩⎨⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 02，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y .将用x ，y 表示的x 0，y 0代入到x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋y 2＝1.此式即为所求轨迹方程．(2)由(1)知点P 的轨迹是以Q (2,0)为圆心，以1为半径的圆． 点Q 到直线3x ＋4y －86＝0的距离d ＝|6－86|32＋42＝16.故点P 到直线3x ＋4y －86＝0的距离的最大值为16＋1＝17，最小值为16－1＝15.21．(本小题满分12分)如图所示，l 1，l 2是通过某城市开发区中心O 的两条南北和东西走向的街道，连接M ，N 两地之间的铁路线是圆心在l 2上的一段圆弧，点M 在点O 正北方向，且|MO |＝3 km ，点N 到l 1，l 2的距离分别为4 km 和5 km.(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；(2)若该城市的某中学拟在点O 正东方向选址建分校，考虑到环境问题，要求校址到点O 的距离大于4 km ，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能小于26 km.求校址距离点O 的最近距离．(注：校址视为一个点．)[解析] (1)以城市开发中心O 为原点，分别以l 2、l 1为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系．根据题意，得M (0,3)，N (4,5)， 故k MN ＝5－34－0＝12，MN 的中点为(2,4)，∴线段MN 的垂直平分线方程为y －4＝－2(x －2)．令y ＝0，得x ＝4，故圆心A 的坐标为(4,0)，半径r ＝(4－0)2＋(0－3)2＝5.∴圆A 的方程为(x －4)2＋y 2＝25，∴MN ︵的方程为(x －4)2＋y 2＝25(0≤x ≤4,3≤y ≤5)． (2)设校址选在点B (a,0)(a ＞4)，则(x －a )2＋y 2≥26时0≤x ≤4恒成立， 又y 2＝25－(x －4)2，所以(8－2a )x ＋a 2－17≥0①对0≤x ≤4恒成立． 令f (x )＝(8－2a )x ＋a 2－17， ∵a ＞4，∴8－2a ＜0.11 ∴f (x )在[0,4]上为减函数，要使①恒成立，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞4，f (4)≥0时，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞4，(8－2a )4＋a 2－17≥0， ∴a ≥5，即校址距离点O 的最近距离为5 km.22．(本小题满分12分)已知圆P ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ≠0)，满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1.求在满足条件①②的所有圆中，使代数式a 2－b 2－2b ＋4取得最小值时，圆的方程．[分析] 根据条件可以判断出圆P 被x 轴截得的劣弧的圆心角为90°，建立起r ，a ，b 之间的方程组，然后解出相应的a ，b ，r 间的关系，最后借助于一元二次函数解决．[解析] 如下图所示，圆心坐标为P (a ，b )，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a|.∵圆P 被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，∴∠APB ＝90°.取AB 的中点D ，连接PD ，则有|PB |＝2|PD |，∴r ＝2|b |.取圆P 截y 轴的弦的中点C ，连接PC ，PE .∵圆截y 轴所得弦长为2，∴|EC|＝1，∴1＋a2＝r2，即2b2－a2＝1.则a2－b2－2b＋4＝b2－2b＋3＝(b－1)2＋2.∴当b＝1时，a2－b2－2b＋4取得最小值2，此时a＝1，或a＝－1，r2＝2.对应的圆为：(x－1)2＋(y－1)2＝2，或(x＋1)2＋(y－1)2＝2.∴使代数式a2－b2－2b＋4取得最小值时，对应的圆为(x－1)2＋(y－1)2＝2，或(x＋1)2＋(y－1)2＝2.规律总结：(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d ＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离．(2)当直线与圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有(l2)2＋d2＝r2.12。

章末检测一、选择题1.已知圆 C： x2＋ y2－ 4x－ 5＝ 0，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l 的方程是 ()A.3 x＋ 2y－ 7＝ 0B.2 x＋y－ 4＝ 0C.x－ 2y－3＝ 0D. x－2y＋ 3＝ 0答案D分析将圆 C 的一般方程化成标准方程为(x－ 2)2＋ y2＝ 9，∴ C(2,0).由题意知，过点P(1,2)的最短弦所在的直线l 应与 PC 垂直，故有 k l·k PC＝－ 1.由 k PC＝2－0＝－ 2，得 k l＝1.∴直线1－ 221l 的方程为y－ 2＝2(x－ 1)，即 x－ 2y＋ 3＝ 0.2.若直线 y＝ kx＋ 1 与圆 x2＋y2＋kx－ y－ 9＝0 的两个交点恰巧对于y 轴对称，则 k 等于 ()A.0B.1C.2D.3答案Ay＝ kx＋ 1，分析联立得(1＋k2)x2＋2kx－9＝0.设直线与圆的两交点的横坐标x2＋ y2＋ kx－ y－ 9＝ 0，为 x1，x2 .∵ x1，x2对于 y 轴对称，∴x1＋ x2＝－2k2＝0，∴k＝0.1＋ k3.空间直角坐标系中，点A(－ 3,4,0)与 B(x，－ 1,6)的距离为 86，则 x 的值为 ()A.2B.－ 8C.2 或－ 8D.8 或－ 2答案C分析由空间中两点的距离公式，得 (x＋ 3)2＋ (－ 1－ 4)2＋ (6－ 0)2＝ (86)2.解得 x＝ 2 或 x＝－8.4.圆 O1： x2＋ y2－ 2x＝ 0 和圆 O2： x2＋ y2－ 4y＝0 的地点关系是 ()A. 外离B. 订交C.外切D.内切答案B分析由圆的方程，知O1(1,0)， O2(0,2)， r 1＝ 1， r2＝ 2.所以 |O1O2|＝－2＋－2＝ 5.又由于 |r1－ r2 |＜5＜r 1＋ r2，所以两圆订交.5.已知直线x－ 2y－ 3＝0 与圆 (x－ 2)2＋ (y＋ 3)2＝ 9 交于 E，F 两点，则△EOF (O 是原点 )的面积为()3365A. 2B.4C.2 5D.5答案D分析该圆的圆心为 A(2，－ 3)，半径长 r＝ 3，圆心到直线的距离d＝ |2＋ 6－3|＝5，弦长1＋ 4为 2r 2－ d2＝ 29－ 5＝ 4.由于原点到直线的距离为|0－0－ 3|＝ 3，1＋45所以 S＝1×4×3＝6 5. 2556.若 P(2，－ 1) 为圆 (x－ 1)2＋ y2＝ 25 的弦 AB 的中点，则弦 AB 所在直线的方程是 ()A.2 x＋ y－3＝ 0B. x＋y－ 1＝ 0C.x－ y－ 3＝ 0D.2 x－ y－ 5＝ 0答案C－1－0设圆心为C，则C点坐标为(1,0)且AB⊥ CP，k CP＝＝－1，∴ k AB＝1，直线AB2－ 1的方程为y＋1＝ x－ 2 即 x－ y－ 3＝ 0.7.过点 P(－2,4)作圆 O： (x－ 2)2＋ (y－1)2＝25 的切线 l，直线 m： ax－ 3y＝ 0 与直线 l 平行，则直线 l 与 m 的距离为 ()812A.4B.2C.5D. 5答案A4－ 134分析P 为圆上一点，则有k OP·k l＝－ 1，而k OP＝－2－2＝－4，∴kl＝3.∴ a＝ 4，∴ m： 4x－3y＝ 0， l ： 4x－3y＋ 20＝ 0.∴ l 与 m 的距离为2|20|2＝ 4.4 ＋－8.直线 l：ax－ y＋b＝ 0，圆 M：x2＋ y2－ 2ax＋ 2by＝0，则 l 与 M 在同一坐标系中的图形可能是()答案B分析由题意，得圆M： (x－ a)2＋ (y＋ b)2＝a2＋ b2.∵圆 M 过原点 (0,0)，∴清除 A ， C 选项 .选项 B ，D 中，圆心 M (a，－ b)在第一象限，∴ a＞ 0，b＜ 0，∴ 直线 ax－ y＋b＝ 0 经过第一、三、四象限，故 B 选项切合 .2 2 － 2x ＋ 4y － 2 2 )9.若 x ， y 知足 x ＋ y 20＝ 0，则 x ＋ y 的最小值是 ( A. 5－5 B.5－ 5C.30－ 10 5D. 没法确立答案 C分析设 P(x ， y)是圆 C 上一点 .配方，得 (x － 1)2＋ (y ＋ 2)2＝ 25，圆心坐标为 C(1，－ 2)，半径 r ＝ 5.∵ x 2＋ y 2＝x －2＋ y －2，∴ 要使 x 2＋ y 2最小，则线段 PO 最短 .如图，当点 P ， O ， C 在同向来线上时， |PO |min ＝ |PC |－ |OC|＝ 5－ 12＋－2＝ 5－ 5，即 (x 2＋y 2)min ＝ 30－ 10 5.10.当曲线 y ＝ 1＋4－ x 2与直线 y ＝ k(x － 2)＋4 有两个相异交点时， 实数 k 的取值范围是 ()51， 3 A. 0，12B. 3 45 35 C. 12，4 D.12，＋ ∞答案 C分析曲线 y ＝ 1＋4－ x 2是以 (0,1)为圆心， 2 为半径的半圆 (如图 )，直线 y ＝ k(x －2) ＋4 是过定点 (2,4)的直线 .设切线 PC 的斜率为 k 0，则切线 PC 的方程为 y ＝ k 0(x － 2)＋ 4，圆心 (0,1) 到直线 PC 的距离等|－ 1－ 2k 0＋ 4| 5于半径 2，即 2 ＝ 2， k 0＝ 12.1＋ k 0直线 PA 的斜率为k 1＝ 34.所以，实数 k 的取值范围是5 312<k ≤ .4二、填空题11.已知 M(3,0) 是圆 x 2＋ y 2－ 8x － 2y ＋ 10＝0 内一点，则过点 M 的最长的弦所在直线方程为________.答案 x － y －3＝ 0分析由于直径是圆的最长的弦，所以圆心(4,1)在所求的直线上.y－ 0x－ 3所以所求的直线方程为＝，即 x－ y－ 3＝0.12.对于随意实数k，直线 (3k＋ 2)x－ ky－ 2 ＝ 0 与圆 x2＋ y2－ 2x－ 2y－ 2＝ 0 的地点关系是________.答案相切或订交分析∵ (3x－ y)k＋ 2x－ 2＝ 0，∴直线恒过点 (1,3).又∵点 (1,3)在圆上，∴直线与圆相切或相交.13.以原点 O 为圆心且截直线3x＋ 4y＋15＝ 0 所得弦长为8 的圆的方程是________.答案x2＋ y2＝ 25原点O到直线的距离d＝15＝3，设圆的半径为r，∴r2＝32＋42＝25，∴圆的方32＋42程是 x2＋ y2＝ 25.14.过点 M(3,2)作圆 O： x2＋ y2＋ 4x－ 2y＋ 4＝0 的切线方程是________________.答案y＝ 2 或 5x－ 12y＋9＝ 0分析由圆的方程可知，圆心为(－ 2,1)，半径为 1，明显所求直线斜率存在，设直线的方程为 y－ 2＝ k(x－ 3)，|－ 2k－ 1－ 3k＋ 2|即 kx－ y－ 3k＋2＝ 0，由＝1，k2＋－2解得 k＝ 0 或 k＝5，所以所求直线的方程为y＝ 2 和 5x－ 12y＋ 9＝ 0. 12三、解答题15.已知圆 C： (x－ 1)2＋ y2＝ 9 内有一点P(2,2) ，过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A， B 两点 .(1)当直线 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程；(2) 当弦 AB 被点 P 均分时，写出直线l 的方程 .解 (1) 已知圆 C： (x－ 1)2＋ y2＝9 的圆心为 C(1,0)，由于直线 l 过点 P，C，所以直线 l 的斜率为 2，直线 l 的方程为 y＝ 2(x－ 1)，即 2x－y－ 2＝0.1(2)当弦 AB 被点 P 均分时，直线 l 垂直于 PC，直线 l 的方程为 y－2＝－2(x－ 2)，即 x＋ 2y－6＝ 0.16.已知圆 C： x2＋ (y－ 1)2＝ 5，直线 l ： mx－y＋ 1－ m＝ 0(m∈R).(1)判断直线 l 与圆 C 的地点关系；(2)设直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，若直线 l 的倾斜角为 120 °，求弦 AB 的长 .解 (1) 直线 l 可变形为 y－ 1＝m(x－ 1)，所以直线 l 过定点 D(1,1) ，又12＋－2＝1< 5，所以点 D 在圆 C 内，则直线l 与圆 C 必订交 .(2)由题意知 m≠0，所以直线 l 的斜率 k＝ m，又 k＝ tan 120 °＝－ 3，即 m＝－ 3.C(0,1)到直线 l：3x＋ y－3－ 1＝ 0 的距离 d＝|－ 3|3此时，圆心32＋12＝2，又圆 C 的半径 r＝ 5，所以 |AB|＝ 2r 2－ d2＝ 25－32＝ 17. 217.已知圆 C： x2＋ y2＋ 2x－4y＋ 3＝ 0.(1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2) 从圆 C 外一点 P(x1， y1)向该圆引一条切线，切点为M， O 为坐标原点，且有|PM |＝ |PO|，求使得 |PM |获得最小值时点 P 的坐标 .解 (1) 将圆 C 整理，得 (x＋ 1)2＋ ( y－2)2＝2.①当切线在两坐标轴上的截距为0时，设切线方程为 y＝ kx，∴圆心到切线的距离为|－k－2|＝ 2，即 k2－ 4k－ 2＝ 0，解得 k＝ 2± 6.∴切线k2＋ 1方程为 y＝ (2 ± 6)x.②当切线在两坐标轴上的截距不为0 时，设切线方程为x＋ y－ a＝ 0，∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a|＝2，即 |a－ 1|＝ 2，解得 a＝ 3 或－ 1.2∴切线方程为x＋ y＋ 1＝ 0 或x＋ y－3＝ 0.综上所述，所求切线方程为y＝ (2 ± 6)x 或x＋y＋ 1＝0 或x＋ y－3＝ 0.(2) ∵ |PO|＝ |PM |，∴ x21＋ y21＝ (x1＋ 1)2＋ (y1－ 2)2－2，即 2x1－ 4y1＋ 3＝0，即点 P 在直线 l： 2x －4y＋ 3＝ 0 上 .当 |PM |取最小值时， |OP|获得最小值，此时直线OP ⊥l ，∴直线 OP 的方程为2x＋ y＝ 0，3 ，3 3 x＝－10∴点 P 的坐标为－2x＋ y＝ 0.联立方程组2x－ 4y＋ 3＝ 0，解得3，10，5.y＝518.如图，已知圆心坐标为( 3， 1)的圆 M 与 x 轴及直线 y＝3x 分别相切于 A， B 两点，另一圆 N 与圆 M 外切，且与x 轴及直线 y＝ 3x 分别相切于 C， D 两点 .(1)求圆 M 与圆 N 的方程；(2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l，求直线 l 被圆 N 截得的弦的长度 .解 (1) 由于点 M 的坐标为 ( 3， 1)，所以点 M 到 x 轴的距离为1，即圆 M 的半径长为1，则圆 M 的方程为 (x－3) 2＋ (y－ 1)2＝ 1.设圆 N 的半径长为r，连结 MA ， NC，OM ，如下图，则 MA⊥ x 轴， NC⊥ x 轴 .由题意，知点M， N 都在∠ COD 的均分线上，所以 O，M， N 三点共线 .由 Rt△ OAM ∽ Rt△OCN 可知，OM∶ON＝MA∶NC，即2＝1? r ＝3. 3＋ r r则|OC|＝ 3 3， N(3 3， 3)，则圆 N 的方程为 (x－ 3 3)2＋ (y－ 3)2＝9.(2) 由对称性可知，所求的弦长等于过点 A 与 MN 平行的直线被圆N 截得的弦的长度，此弦的方程是y＝3－ 1( x－ 3)＝3(x－3)，即 x－ 3y－3＝ 0，333－3圆心 N 到该直线的距离d＝|33－3×3－ 3|＝3，1＋322则弦长为 2 r2－ d2＝ 33.。

第四章数列章末测试卷(A)【原卷版】[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n}：－2，0，2，…的第15项为()A．112B．122C．132D．1422．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1B．2C．4D．83．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S4＝10，则S6＝()A．12B．18C．24D．424．若等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝8，则a2a7的最大值为()A．4B．6C．8D．105．《九章算术》是我国古代的一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为()A.176升 B.72升C.11366升 D.109 33升6．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，a1·a2·a3＝27，则a6＝()A．27B．81C．243D．7297．数列{a n}中，a1＝1，对所有n≥2，都有a1a2a3…a n＝n2，则a3＋a5＝()A.61 16B.25 9C.25 16D.31 158．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为p ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还()A.M10万元 B.Mp （1＋p ）10（1＋p ）10－1万元C.p （1＋p ）1010万元D.Mp （1＋p ）9（1＋p ）9－1万元二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是()A ．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则数列{a n }是等差数列B ．若等差数列{a n }的公差d >0，则{a n }是递增数列C ．常数列{a n }既是等差数列，又是等比数列D ．若等比数列{a n }是递增数列，则{a n }的公比q <110．将等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则()A ．d <0B ．a 16<0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <011．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝2a n －1，则下列结论正确的是()A ．S 2＝2B ．数列{a n }为等比数列C ．a n ＝2nD ．若b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2，则数列{b n }的前10项和为101112．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则()A ．a n ＝－12n －1B ．a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *C D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5050三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知数列{a n }为等比数列，若a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，则公比q ＝________．14．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．15．已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在直线y －3＝k (x －6)上，则数列{a n }的前11项和S 11＝________．16．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则an n的最小值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .18．(12分)在新城大道一侧A 处，运来20棵新树苗．一名工人从A 处起沿大道一侧路边每隔10m 栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A 处，植树工人共走了多少路程？19．(12分)已知{a n }是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ，满足a 3＝12，________．是否存在正整数k ，使得S k >2020？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．从①q ＝2；②q ＝12；③q ＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．20．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{nS n }的前n 项和T n .21．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝53，且3a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n －1}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n <100，求最大的正整数n .22．(12分)由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前4n ＋3项和T 4n ＋3.第四章数列章末测试卷(A)【解析版】[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n}：－2，0，2，…的第15项为()A．112B．122C．132D．142答案C解析∵a1＝－2，d＝2，∴a n＝－2＋(n－1)×2＝2n－22.∴a15＝152－22＝132.2．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1B．2C．4D．8答案A解析因为a3a11＝a72＝16，又数列{a n}的各项都是正数，所以解得a7＝4，由a7＝a5·22＝4a5，得a5＝1.故选A.3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S4＝10，则S6＝()A．12B．18C．24D．42答案C解析方法一：设数列{a n}的公差为d a1＋d＝2，a1＋6d＝10，解得a1＝14，d＝32.则S6＝6a1＋15d＝24.方法二：S2，S4－S2，S6－S4也成等差数列，则2(S4－S2)＝S6－S4＋S2，所以S6＝3S4－3S2＝24.故选C.4．若等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝8，则a2a7的最大值为()A．4B．6C．8D．10答案A解析已知等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝2(a2＋a7)＝8，所以a2＋a7＝4.又因为a2＋a7≥2a2a7，所以a2a7≤4，当且仅当a2＝a7＝2时，等号成立．故选A.5．《九章算术》是我国古代的一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为()A.176升 B.72升C.11366升 D.10933升答案A解析设自上而下各节竹子的容积依次为a 1，a 2，…，a 91＋a 2＋a 3＋a 4＝3，7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，所以a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.故选A.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝4(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)，a 1·a 2·a 3＝27，则a 6＝()A ．27B ．81C ．243D ．729答案C解析∵数列{a n }为等比数列，∴a 1a 2a 3＝a 23＝27，∴a 2＝3.又∵S 2＝4a 1，∴a 1＋a 2＝4a 1，∴3a 1＝a 2，∴a 1＝1，即公比q ＝3，首项a 1＝1，∴a 6＝a 1·q 6－1＝1×35＝35＝243.故选C.7．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ≥2，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝()A.6116B.259C.2516D.3115答案A解析a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 1a 2a 3…a n －1＝(n －1)2，n ≥3，∴a n ＝n 2（n －1）2，n ≥3，∴a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.故选A.8．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为p ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还()A.M10万元 B.Mp （1＋p ）10（1＋p ）10－1万元C.p （1＋p ）1010万元D.Mp （1＋p ）9（1＋p ）9－1万元答案B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是()A ．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则数列{a n }是等差数列B ．若等差数列{a n }的公差d >0，则{a n }是递增数列C ．常数列{a n }既是等差数列，又是等比数列D ．若等比数列{a n }是递增数列，则{a n }的公比q <1答案ACD解析对于A ，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，故错误；对于B ，若d >0，则a n ＋1>a n ，故正确；对于C ，当a n ＝0时，该常数列不是等比数列，故错误；对于D ，若等比数列{a n }是递增数列，则当a 1>0时，q >1，故错误．故选ACD.10．将等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则()A ．d <0B ．a 16<0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <0答案ABC解析由题意得，S 10＝S 20，则a 11＋a 12＋…＋a 20＝0，即a 15＋a 16＝0，也即2a 1＋29d ＝0(d为公差)，因为a 1>0，所以d <0，所以a 16<0，S n ≤S 15.所以A 、B 、C 正确．由于S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 2n －1＝(2n －1)a n ，故S 30＝15(a 15＋a 16)＝0，S 31＝31a 16<0，所以D 不正确．11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝2a n －1，则下列结论正确的是()A ．S 2＝2B ．数列{a n }为等比数列C ．a n ＝2nD ．若b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2，则数列{b n }的前10项和为1011答案BD解析因为S n ＝2a n －1，①所以当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，得a 1＝1；当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，②①②两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，所以a na n －1＝2(n ≥2)，所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，q ＝2为公比的等比数列．所以a n ＝a 1q n －1＝1×2n －1＝2n －1，a 2＝2，所以S 2＝3，所以A 、C 错误，B 正确；因为b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，设T n 为{b n }的前n 项和，则T 10…＝1011，故D 正确．故选BD.12．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则()A ．a n ＝－12n－1B ．a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *C D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5050答案BCD解析由S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，又a 1＝－1，∴S 1＝a 1＝－1，从而S 2－S 1＝S 1S 2，即S 2＋1＝－S 2，得S 2＝－12，∴S 1S 2≠0，从而S n S n ＋1≠0，∴S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1，整理得1S n ＋1－1S n ＝－1(常数)，所以数是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C 正确；所以1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－(1＋2＋3＋…＋100)＝－5050，故D正确；由1S n ＝－n 得S n ＝－1n .所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1n －1－1n(首项不符合此式)，故a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *，故B 正确，A 错误．故选BCD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知数列{a n }为等比数列，若a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，则公比q ＝________．答案2解析因为数列{a n }为等比数列，且a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，所以由等比数列的通项公式可得a 2＋a 4＝(a 1＋a 3)q ，即10＝5q ，∴q ＝2.14．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．答案16解析方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 12＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，将以上两式联立，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.方法二：设等差数列{a n }的公差为d .由S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝27，得a 5＝3，又a 2a 5＋a 8＝0，则3(3－3d )＋3＋3d ＝0，得d ＝2，a 4＝1，则S 8＝8（a 1＋a 8）2＝4(a 4＋a 5)＝4×(1＋3)＝16.15．已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在直线y －3＝k (x －6)上，则数列{a n }的前11项和S 11＝________．答案33解析∵点(n ，a n )在直线y －3＝k (x －6)上，∴a n ＝3＋k (n －6)．∴a n ＋a 12－n ＝[3＋k (n －6)]＋[3＋k (6－n )]＝6，n ＝1，2，3，…，6，∴S 11＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝5(a 1＋a 11)＋a 6＝5×6＋3＝33.16．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．答案212解析在a n ＋1－a n ＝2n 中，令n ＝1，得a 2－a 1＝2；令n ＝2，得a 3－a 2＝4，…，a n －a n －1＝2(n －1)．把上面n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝（2＋2n －2）（n －1）2＝n 2－n ，∴a n ＝n 2－n ＋33.∴a n n ＝n 2－n ＋33n ＝n ＋33n －1≥233－1，当且仅当n ＝33n ，即n ＝33时取等号，而n ∈N *，∴“＝”取不到．∵5＜33＜6，∴当n ＝5时，a n n ＝5－1＋335＝535，当n＝6时，a n n ＝6－1＋336＝636＝212，∵535＞212，∴a n n 的最小值是212.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解析(1)设数列{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，所以a n ＝2×2n －1＝2n ，n ∈N *.(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设数列{b n }的公差为d ，1＋2d ＝8，1＋4d ＝32，1＝－16，＝12，所以b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，n ∈N *.所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （－16＋12n －28）2＝6n 2－22n ，n ∈N *.18．(12分)在新城大道一侧A 处，运来20棵新树苗．一名工人从A 处起沿大道一侧路边每隔10m 栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A 处，植树工人共走了多少路程？解析植树工人每种一棵树并返回A 处所要走的路程(单位：m)组成了一个数列0，20，40，60， (380)这是首项a 1＝0，公差d ＝20，项数n ＝20的等差数列，其和S 20＝20a 1＋20×（20－1）2d ＝0＋20×（20－1）2×20＝3800(m)．因此，植树工人共走了3800m 的路程．19．(12分)已知{a n }是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ，满足a 3＝12，________．是否存在正整数k ，使得S k >2020？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．从①q ＝2；②q ＝12；③q ＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答评分．解析若选①，因为a 3＝12，q ＝2，所以a 1＝3.所以S n ＝3（1－2n ）1－2＝3(2n －1)．S k >2020，即3(2k －1)>2020，即2k >20233.当k ＝9时，29＝512＜20233，当k ＝10时，210＝1024＞20233，所以存在正整数k ，使得S k >2020，k 的最小值为10.若选②，因为a 3＝12，q ＝12，所以a 1＝48.所以S n1－12因为S n <96<2020，所以不存在满足条件的正整数k .若选③，因为a 3＝12，q ＝－2，所以a 1＝3.所以S n ＝3×[1－（－2）n ]1－（－2）＝1－(－2)n .S k >2020，即1－(－2)k >2020，整理得(－2)k <－2019.当k 为偶数时，原不等式无解；当k 为奇数时，原不等式等价于2k >2019，当k ＝9时，29＝512＜2019，当k ＝11时，211＝2048＞2019，所以存在正整数k ，使得S k >2020，k 的最小值为11.20．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{nS n }的前n 项和T n .解析(1)设数列{a n }的公比为q .由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10.∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，∴S 30－S 20S 20－S 10＝q 10.∵a n ＞0，∴q ＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12n (n ∈N *)．(2)∵{a n }是首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，∴S n ＝12×1－12＝1－12n ，nS n ＝n －n 2n .则数列{nS n }的前n 项和为T n ＝(1＋2＋…＋n )＋222＋…①则T n 2＝12(1＋2＋…＋n )＋223＋…＋n －12n ＋①－②，得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )＋122＋…＋n 2n ＋1＝n （n ＋1）4－21－12＋n 2n ＋1，即T n ＝n （n ＋1）2＋12n －1＋n 2n －2.21．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝53，且3a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n －1}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n <100，求最大的正整数n .解析(1)证明：∵3a n ＋1＝a n ＋2，∴a n ＋1－1＝13(a n －1)，又a 1－1＝23，∴数列{a n －1}是以23为首项，13为公比的等比数列．(2)由(1)可得a n －1＝23×－1，∴a n ＝2＋1.则a 1＋a 2＋…＋a n ＝n ＋＋132＋…n ＋2×13－13n ＋11－13＝n ＋1－13n ，若n ＋1－13n <100，n ∈N *，则n max ＝99.22．(12分)由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前4n ＋3项和T 4n ＋3.解析(1)由题意，设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝5，a 1a 2＝2a 4，1＋2d ＝5，1·（a 1＋d ）＝2（a 1＋3d ），整理得(5－2d )(5－d )＝2(5＋d )，即2d 2－17d ＋15＝0，解得d ＝152或d ＝1，因为{a n }为整数数列，所以d ＝1，又a 1＋2d ＝5，所以a 1＝3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2.(2)由(1)知，数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2，又数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，根据题意，新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，则T 4n ＋3＝b 1＋a 1＋a 2＋b 2＋b 3＋a 3＋a 4＋b 4＋…＋b 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋b 2n ＋b 2n ＋1＋a 2n ＋1＋a 2n ＋2＝(b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n ＋1)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n ＋2)＝2×（1－22n ＋1）1－2＋（a 1＋a 2n ＋2）（2n ＋2）2＝4n ＋1＋2n 2＋9n ＋5.。

第四章圆与方程单元检测(时间： 120 分钟，满分： 150 分)一、选择题 (此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分)1．直线 y ＝ x ＋ 10 与曲线 x 2＋y 2＝ 1 的地点关系是 ()．A ．订交B ．相离C ．相切D ．不可以确立2．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点 (1,2)的圆的方程为 ( )． A ． x 2＋ (y －2)2＝1 B ． x 2＋ (y ＋ 2)2＝ 1 C ．( x － 1) 2＋ (y －3) 2＝ 1D ． x 2＋ (y － 3)2＝ 13．点 P(x ， y ， z)知足x 1 2 y 1 2 z 1 22，则点 P 在()．A ．以点 (1,1，－ 1)为圆心，2 为半径的圆上B ．以点 (1,1，－ 1) 为中心，2 为棱长的正方体内 C ．以点 (1,1，－ 1) 为球心， 2 为半径的球面上 D ．没法确立4．圆 x 2 ＋y 2＝4 与圆 x 2＋ y 2＋ 4x － 4y ＋ 4＝ 0 对于直线 l 对称，则 l 的方程是 ()．A ． x ＋ y ＝ 0B ． x ＋ y －2＝ 0C ．x － y － 2＝ 0D ． x － y ＋ 2＝ 05．圆 C 1：x 2＋ y 2＋2x ＋ 2y － 2＝ 0 与 C 2：x 2＋ y 2－ 4x － 2y ＋1＝ 0 的公切线有且只有 ( )．A ．1 条B ．2 条C ．3 条D ．4 条 6．把圆 x 2 ＋ y 2＋2x － 4y － a 2－2＝ 0 的半径减小一个单位则正好与直线3x － 4y － 4＝ 0 相切，则实数 a 的值为 ( )．A ．－ 3B ． 3C ．－3或 3D ．以上都不对7．过点 P(2,3)向圆 x 2＋ y 2＝ 1 作两条切线 PA 、 PB ，则弦 AB 所在直线的方程为 ()．A ． 2x － 3y － 1＝ 0B ． 2x ＋ 3y － 1＝ 0C ．3x ＋ 2y － 1＝ 0D ． 3x － 2y － 1＝ 08．与圆 x 2＋ y 2－ ax －2y ＋ 1＝ 0 对于直线 x － y － 1＝0 对称的圆的方程为＝0，则 a 等于 ( )．A ． 0B ． 1C ． 2D ．3229．圆 x ＋(y ＋1) ＝ 3 绕直线 kx －y － 1＝ 0 旋转一周所得的几何体的表面积为 x 2 ＋y 2－ 4x ＋ 3()．A ． 36πB ． 12πC ．4 3D ． 4π10．动圆 x 2＋ y 2－ (4m ＋2)x － 2my ＋ 4m 2＋4m ＋ 1＝ 0 的圆心的轨迹方程是 ( ) ．A ． 2x － y － 1＝ 0B ． 2x － y － 1＝0(x ≠ 1)C ．x － 2y － 1＝0(x ≠ 1)D ．x － 2y － 1＝ 011．若过定点 M(－ 1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x 2＋ 4x ＋ y 2－ 5＝0 在第一象限内的部分有交点，则 k 的取值范围是 ( )．A ． 0 k 5B ．5 k 0C ． 0 k13D ． 0＜ k ＜ 512．直线 y ＝kx ＋ 3 与圆 (x － 3)2＋ (y － 2)2＝ 4 订交于 M ， N 两点，若 MN2 3 ，则 k的取值范围是 ()．A ． [3,0]B ． (－∞，3 ]∪[0 ，＋ ∞)44C ． [3 , 3 ]D ．[ 2,0]3 33二、填空题 (此题共 4 小题，，每题 4 分，共 16 分)13．过直线 l ：y ＝ 2x 上一点 P 作圆 C ：(x － 8)2＋ (y － 1)2＝ 2 的切线 l 1， l 2，若 l 1，l 2 对于直线 l 对称，则点 P 到圆心 C 的距离为 __________ ．14．点 P 为圆 x2＋ y2＝ 1 上的动点，则点P 到直线3x－ 4y－ 10＝ 0 的距离的最小值为__________．15．已知圆 C 经过 A(5,1) ，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为 ________．16．已知圆 C 过点 (1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l ：y＝ x－ 1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2 ，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 ________．三、解答题 (此题共 6 小题，共74 分)17． (12 分)一圆和直线 l ：x＋ 2y－ 3＝0 切于点 P(1,1)，且半径为 5，求这个圆的方程．18．(12 分 )求平行于直线 3x＋223y＋5＝ 0 且被圆 x ＋ y＝ 20 截得长为6 2的弦所在的直线方程．22＝ 16 内的定点，B，C 是这个圆上的两个动点，若 BA⊥ CA，19．(12 分 )点 A(0,2)是圆 x ＋ y求 BC 中点 M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．222220． (12 分)圆 x ＋ y －2x－ 5＝ 0 与圆 x ＋ y ＋ 2x－ 4y－ 4＝ 0 的交点为 A、 B.(1)求线段 AB 的垂直均分线的方程；(2)求线段 AB 的长．21． (12 分 ) 已知圆C： (x－ 1)2＋ ( y－ 2)2＝ 25，直线l： (2m＋ 1)x＋ (m＋ 1)y－ 7m－ 4＝0(m∈R)．(1)证明：无论 m 为什么值时，直线和圆恒订交于两点；(2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程．22．(14 分 )在平面直角坐标系xOy 中，曲线 y＝ x2－ 6x＋1 与坐标轴的交点都在圆 C 上．(1)求圆 C 的方程；(2)若圆 C 与直线 x－y＋ a＝ 0 交于 A， B 两点，且 OA⊥OB ，求 a 的值．答案与分析1.答案： B分析：圆心到直线的距离|10 |2 1.522.答案： A分析：方法一 (直接法 )：设圆心坐标为 (0， b)，则由题意知0 1 2 b 2 21，解得b＝2，故圆的方程为x2＋ (y－ 2)2＝ 1.方法二 (数形联合法 ) ：由作图依据点(1,2)到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋ (y－ 2)2＝ 1.方法三 (考证法 )：将点 (1,2)代入四个选择支，清除 B ， D，又因为圆心在y 轴上，清除C.3.答案： C(x， y， z)知足到定点 (1,1，－ 1)的距离恒分析：依据两点间距离公式的几何意义，动点等于 2.4.答案： D分析：∵两圆圆心分别为(0,0)和 (－ 2,2)，∴中点为 (－ 1,1)，两圆圆心连线斜率为－ 1.∴l 的斜率为 1，且过点 (－ 1,1)．∴l 的方程为 y－ 1＝ x＋1，即 x－ y＋ 2＝ 0.5.答案： B解析：⊙C1： (x ＋ 1)2＋ (y ＋ 1)2＝ 4 ，⊙ C2： (x － 2) 2＋ (y － 1) 2＝ 4 ，C1C2＝ 2 12 1 1 213 4，∴只有 2 条公切线．∴应选 B.6.答案： C分析：圆的方程可变成 (x＋ 1)2＋ (y－ 2)2＝ a2＋ 7，圆心为 (－ 1,2)，半径为a27 ，由题意得| 13 42 4 |a27 1，3 242解得 a＝±3.7.答案： B解析：圆x2＋ y2＝ 1的圆心为坐标原点O ，以OP为直径的圆的方程为( x－1)2＋( y－3) 2＝13.24明显这两个圆是订交的，x2y 21由1 2y32 13x2 4得 2x＋3y－ 1＝ 0，这就是弦 AB 所在直线的方程．8.答案： C分析：两圆的圆心分别为(a,1)，B(2,0)，A2则 AB 的中点(a1,1) 在直线x－y－1＝0上，即a11 1 0 ，解得a＝2，应选4242择 C.9.答案： B分析：由题意，圆心为(0，－ 1)，又直线kx－ y－ 1＝ 0 恒过点 (0，－ 1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以 S＝ 4π(3 )2＝12π.10.答案： C分析：圆心为 (2m＋1， m)， r ＝ |m|(m≠0)．不如设圆心坐标为(x， y)，则 x＝ 2m＋ 1， y＝ m，所以 x－2y－ 1＝ 0.又因为 m≠0，所以 x≠1因.此选择 C.11.答案： A分析：圆 x2＋ 4x＋ y2－ 5＝ 0 可变形为 (x＋ 2)2＋ y2＝ 9，如下图．当 x＝ 0 时，y＝ 5 ，联合图形可得A(0, 5) ，∵ k AM＝55 ，1∴ k (0， 5) ．12.答案： A分析：圆心 (3,2) 到直线 y＝kx＋ 3的距离 d＝| 3k1| ，k21MN ＝23k 1 2，4 2 3k 21∴30 .k413.答案： 3 5 分析： 圆心 C 的坐标为 (8,1)， 由题意，得 PC ⊥ l ，∴ PC 的长是圆心 C 到直线 l 的距离．|161|即 PC ＝ 3 5 .514.答案： 1分析： ∵圆心到直线的距离为 d ＝102 ，5∴点 P 到直线 3x － 4y － 10＝ 0 的距离的最小值为 d －r ＝ 2－ 1＝ 1.15.答案： ( x － 2)2 ＋y 2＝10分析： 由题意，线段 AB 中点 M(3,2) ， k AB ＝－1k AB ＝－ 1，2 2∴线段 AB 中垂线所在直线方程为y － 2＝2(x － 3)．y 2 2 x 3得圆心 (2,0) ．由y则圆 C 的半径 r ＝ 2 1 23 210故圆 C 的方程为 (x － 2)2＋ y 2＝ 10.16.答案： x ＋ y － 3＝ 0分析： 设圆心 (a,0)，∴ (| a 1| )2( 2) 2＝ | a －1|2 ,∴ a ＝ 3.2∴圆心 (3,0)．∴所求直线方程为 x ＋ y － 3＝0. 17.解： 设圆心坐标为 C( a ， b)，圆的方程即为 (x － a)2＋ (y － b)2＝ 25.∵点 P(1,1)在圆上，则 (1－ a)2＋ (1－ b)2＝ 25.①又 l 为圆 C 的切线，则 CP ⊥ l ，∴b1 2.②a 1 联立①②解得a15a 15或b1 2 5b 125即所求圆的方程为 (x － 1－5 )2＋ (y － 1－ 2 5 )2 ＝ 25 或 (x －1＋ 5 )2＋ (y － 1＋ 2 5 )2＝25.18.解： 设弦所在的直线方程为 x ＋ y ＋c ＝ 0.①则圆心 (0,0)到此直线的距离为d ＝ | c || c | .112因为圆的半弦长、半径、弦心距恰巧组成直角三角形，所以 ( | c |) 2(3 2) 2＝20 .2由此解得 c ＝ ±2，代入①得弦的方程为 x ＋ y ＋2＝ 0 或 x －y － 2＝ 0.19.解： 设点 M(x ， y)，因为 M 是弦 BC 的中点，故 OM ⊥ BC.又∵∠ BAC ＝ 90°，∴ |MA |＝1|BC|＝ |MB |.2∵ |MB |2＝ |OB|2－ |OM |2，222，即 4 2222＋ (y － 2) 222∴|OB| ＝|MO | ＋|MA| ＝ (x ＋ y ) ＋ [(x － 0) ] ，化简为 x ＋ y － 2y －6＝ 0，即 x 2 ＋(y － 1)2＝ 7.∴所求轨迹为以 (0,1)为圆心，以7 为半径的圆．20.解： (1) 两圆方程相减，得 4x － 4y ＋ 1＝ 0，即为AB的方程．两圆圆心连线即为AB的垂直均分线，所以 AB 的垂直均分线的方程过两圆圆心，且与 AB 垂直． 则 AB 的垂直均分线的斜率为－ 1.又圆 x 2＋ y 2－ 2x － 5＝ 0 的圆心为 (1,0)，所以 AB 的垂直均分线的方程为 y ＝－ (x － 1)，即 x ＋ y － 1＝0.(2)圆 x 2＋ y 2－ 2x － 5＝ 0 的半径、圆 x 2＋y 2－ 2x － 5＝ 0 的圆心到 AB 的距离、 AB 长的一半三者组成一个直角三角形的三条边，圆x 2＋ y 2－ 2x － 5＝0 可化为 (x － 1)2＋ y 2＝ 6，所以圆心(1,0)，半径 6，弦心距|4 1 40 1| 5 2，由勾股定理得42428(|AB |25 2 2 2)()( 6，)28解得 AB ＝346.221.解： (1) 由 (2m ＋ 1)x ＋ (m ＋ 1)y － 7m － 4＝ 0，得 (2x ＋ y － 7)m ＋ x ＋ y －4＝ 0.2x y 7 0 x 3则y4 0解得1x y∴直线 l 恒过定点 A(3,1) ．又∵ (3－ 1)2＋ (1－ 2)2＝ 5＜ 25，∴ (3,1)在圆 C 的内部，故 l 与 C 恒有两个公共点．(2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时，有l ⊥ AC ，由 k AC ＝－1 ，得 l 的方程为 y － 1＝22(x － 3)，即 2x － y －5＝ 0.22.解： (1) 曲线 y ＝ x 2－ 6x ＋ 1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为 (32 2,0) ，(3 2 2,0) ．故可设 C 的圆心为 (3， t)，则有 32＋(t －1)2＝(2 2) 2 t 2，解得 t ＝ 1.则圆 C 的半径为32＋(t －1)2 3所以圆 C 的方程为 (x － 3)2＋ (y － 1)2＝ 9.(2)设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，其坐标知足方程组：x y a0 x 3 2y1 2 9.消去 y ，获得方程 2x 2＋ (2a － 8)x ＋ a 2－ 2a ＋ 1＝ 0.由已知可得，鉴别式 ＝ 56－16a － 4a 2＞ 0.所以 x 1,2＝ (8 2a)56 16a 4a24 ，进而 x 1＋ x 2＝ 4－ a ， x 1 x 2＝ a 22a 12.①因为 OA ⊥OB ，可得 x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0.又 y 1＝ x 1＋ a ， y 2＝ x 2＋a ，所以 2x 1 x 2＋ a(x 1＋ x 2)＋ a 2＝ 0.② 由①，②得 a ＝－ 1，知足 ＞ 0，故 a ＝－ 1.。