线面垂直的性质资料

那么另一条也垂直于这个平 a 的无数条直线”是“ I 丄a B.必要不充分条件线面垂直与面面垂直专题复习【知识点】一.线面垂直(1) 直线与平面垂直的定义：如果直线l 和平面a 的 __________________ 一条直线都垂直，我们就说直线 I 与平面a 垂直,记作 _____________ .重要性质： ____________________________________________________________________________(2) 直线与平面垂直的判定方法：①判定定理：一条直线与一个平面的两条 ___________________ 都垂直，那么这条直线就垂直于这 个平面.用符号表示为：②常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 面.用符号可表示为：(3)直线与平面垂直的性质：① 由直线和平面垂直的定义知：直线与平面垂直，则直线垂直于平面的 ________ 直线.② 性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.用符号可表示为： 二、面面垂直(1) 平面与平面垂直的定义：两平面相交，如果它们所成的二面角是 _____________________ ，就说这两个平面互相垂直.(2) 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条 _____________________ ，那么这两个平面互相垂直.简述为 "线面垂直，则面面垂直”，用符号可表示为：(3)平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 用符号可表示为：【题型总结】 题型一小题：判断正误1. “直线I 垂直于平面 A.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2. 已知如图，六棱锥 P — ABCDE 的底面是正六边形， 下列结论不正确的是( ).A.CD// 平面 PAFB. DF 丄平面 PAFC. CF//平面 PAB 2.设m n, I 是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，判断命题正误:理科数学复习专题立体几何①m,m ,则//⑥m n, m// ,则n②m,// ,则m⑦m n,n 1,则m//l③m,m//n,则n⑧, ,则〃④m,n ,则m//n⑨m n,n//I,则m 1⑤m,m n,则n//⑩,//，则题型「二证明线面垂直P归纳：①证明异面直线垂直的常用方法：_________________________________________②找垂线（线线垂直）的方法一：______________________________________________ 2.四棱锥P ABCD中，底面ABCD的边长PD PB 4, BAD 600, E 为PA 中点•1如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形,/ DAB = 60° AB= 2AD, PD 丄底面ABCD .（1）证明：BD丄面PAD （2）证明：PA丄BD;求证：BD 平面PAC ；4的菱形,归纳：找垂线（线线垂直）的方法找垂线（线线垂直）的方法三：3、如图，AB是圆0的直径，C是圆0上不同于A, B的一点，PA 平面ABC , E是PC 的中点，AB 3 , PA AC 1.求证：AE PB•Z归纳：找垂线（线线垂直）的方法四：____________________________________4.如图，在三棱锥P ABC中，PA 底面ABC, BCA 900,AP=AC,点D , E分别为棱PB、PC的中点，且BC〃平面ADE求证：DE丄平面PAC ;归纳：_____________________________________________________________________________________ 题型三面面垂直的证明（关键：找线面垂直）1、如图所示，四边形ABCD是菱形，O是AC与BD 的交点，SA 平面ABCD.求证：平面SAC 平面SBD ;2. （2016理数）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中面ABEF 为正方形,AF=2FD, AFD 90：,证明：平面ABEF 平面EFDC ;题型四面面垂直的性质（注意：交线）1、如图所示，平面EAD 平面ABCD , ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点, 求证：EG 平面ABCD ；2、如图，平行四边形ABCD中，CD 1, BCD 600, BD CD，正方形ADEF，且面ADEF 面ABCD •求证：BD 平面ECD ;综合运用如图所示，PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1) 求证：MN //平面PAD.(2) 求证：MN丄CD.⑶若/ PDA = 45 °求证：面BMN丄平面PCD.【练习】1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题:金a〃b a M a M a//M① b M ②a//b ③b/ M ④b± Ma Mb M a b a b其中正确的命题是( )A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.给出以下四个命题：CD如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。

2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。

推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。

一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。

【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

一、选择题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．【答案】 C2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( ) A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABDC．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.【答案】 D3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α【解析】当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.【答案】 B4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【解析】在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误．【答案】 B5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立．．．的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】α⊥β，b⊂α，b不一定垂直于β.故C错误．【答案】 C6．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假【解析】命题p，命题q皆为假，所以命题C正确．【答案】 C7．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在的平面，那么( )A ．PA ＝PB >PCB ．PA ＝PB <PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC【解析】 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .【答案】 C二、填空题8．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α.其中真命题的序号是________．【解析】 由平面平行的传递性知①正确，由面面垂直的判定定理知③正确．【答案】 ①③9．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连接PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．【解析】如图所示，由题意知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ，取AC 中点D ，连接PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P －AC －B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ， 在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2，∴∠PDB ＝90°.【答案】 垂直10．(精选考题·四川高考)如图所示，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________．【解析】 如图，过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由线面垂直关系可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，∴∠ADC ＝60°.连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 【答案】34 三、解答题11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .【证明】 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC, ∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．【解析】 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)如图，连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°.从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，∴PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13×22h ＝13，得h ＝ 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2.。

线面垂直性质定理内容《线面垂直性质定理》指的是一种几何学定理，它认为在任意空间中，两个平行的直线的投影到任意一个平面上仍然是垂直的。

这一定理有着悠久的历史，可以追溯到古希腊的学者、欧拉等，它被认为是几何学中最重要的定理之一，是西方数学发展史上的里程碑式的贡献。

线面垂直性质定理可以用来证明许多几何形态之间的关系。

比如，如果有一条直线l1和一个平面s1，那么根据定理，它们的投影是垂直的，即l1的投影到s1上的一条线是垂直的。

又如，如果有两个平行的直线l1和l2，和两个平面s1，s2，那么根据定理，它们的投影也是垂直的。

也就是说，l1的投影到s1上的直线与l2的投影到s2上的直线是垂直的。

定理的证明可以从多角形的几何形态入手，如三角形和四边形等。

如果我们有一个三角形ABC，它有三条边AB，BC，CA，和斜边AC。

由于ABC三角形的三边都是垂直的，所以ABC三角形的斜边AC也是垂直的。

同样，如果有一个四边形ABCD，它有四条边AB，BC，CD，AD，和斜边BD，由于ABCD四边形的四边都是垂直的，所以它的斜边BD也是垂直的，从而可以解释线面垂直性质定理的真实性。

线面垂直性质定理同样可以作为许多几何问题的理论基础。

比如，由于空间中的任意两个垂直平面，它们的投影到同一个平面上也是垂直的，这就可以用来解释一组平行截面的平行性。

同样，如果有一组垂直截面，其投影到同一个平面上也是垂直的，这就可以用来解释一组垂直截面的垂直性。

此外，在空间几何中，有时需要求取两条平行线的距离，这时可以利用线面垂直性质定理的推论，即任意一条平行线的投影到任意一个平面上仍然是垂直的，可以求出两条平行线之间的距离。

线面垂直性质定理是一条用来证明垂直线和垂直面之间关系的重要定理，也是数学发展史上不可缺少的一个里程碑，它也可以用来解决许多几何问题，如求取两条平行线之间的距离等。

希望本文能够对大家对几何学中线面垂直性质定理的理解有所帮助，并能够为你们提供一些问题的解决方案。

数学线面垂直的知识点总结归纳数学是一座高山，哪怕是高考数学这样的小山丘，也让无数学子望其背而心戚戚，更有人混淆知识点。

下面是小编为大家整理的关于数学线面垂直的知识点，希望对您有所帮助!数学直线与平面平行、垂直知识点直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.(“线线垂直，线面垂直”)直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.注：①垂直于同一平面的两个平面平行.(×)(可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行)②垂直于同一直线的两个平面平行.(√)(一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面)③垂直于同一平面的两条直线平行.(√)5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长;②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长;③垂线段比任何一条斜线段短.注：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.(×)]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上高中数学线面垂直知识点1)直线垂直于平面内两条非平行的线,则直线垂直于该平面2)直线的两条不平行的垂线与平面平行,则直线垂直于该平面3)有A、B两个面都与C平面垂直,则A、B两个面的交线也垂直于C平面4)直线垂直于与A平面平行的B平面,则直线垂直于A平面5)直线任意点在平面上的投影都重合,则直线垂直于该平面6)直线上任意点到平面的距离,都等于这一点到线面交点的距离,则直线垂直于该平面线面垂直性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。

2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。

•知识点1•直线和平面垂直定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直 •2. 线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面 判定定理： ______ . 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 .3. 三垂线定理和它的逆定理.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜 线垂直. 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平 面上的射影垂直. •题型示例【例1】 如图所示，已知点 S 是平面ABC 外一点，/ ABC=90 ° , SA 丄平面 ABC ，点A 在直线SB 和SC 上的 射影分别为点 E 、F ，求证：EF 丄SC.【解前点津】 用分析法寻找解决问题的途径，假设 EF 丄SC 成立，结合 AF 丄SC 可推证SC 丄平面AEF ，这样 SC ± AE ,结合AE 丄SB ,可推证 AE 丄平面SBC ,因此证明 AE 丄平面SBC 是解决本题的关键环节.由题设SA 丄平面ABC , / ABC=90。

，可以推证 BC 丄AE ,结合 AE 丄SB 完成AE 丄平 面SBC 的证明.【规范解答】【解后归纳】 题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解线面垂直例1题图决问题的关键•【例2】已知：M A N=AB,PQ丄M于Q , P0丄N于O, 0R丄M于R,求证：QR丄AB.【解前点津】由求证想判定，欲证线线垂直，方法有(1) a // b,a丄c= b丄c;(2)a丄a ,b~ a = a丄b;(3)三垂线定理及其逆定理.由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”“四条线” •所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.【例3】已知如图⑴所示，矩形纸片AA' A' !A I,B、C、B i、C i分别为AA' ,A i A'的三等分点，将矩形纸片沿BB i,CC i折成如图⑵形状(正三棱柱)，若面对角线AB i丄BC i，求证:A i C丄AB i.例3题图解(i)【解前点津】题设主要条件是AB i丄BC,而结论是AB i丄A i C，题设，题断有对答性，可在2 / i0ABB i A i上作文章，只要取A I B I中点D i，就把异面直线AB i与BC i垂直关系转换到ABB J A I同一平面内AB i与BD i 垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理•自然想到题断AB i与A i C垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB 中点D即可，只要证得A i D垂直于AB i，事实上DBD i A i,为平行四边形，解题路子清楚了•【解后归纳】证线线垂直主要途径是：（i）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化• 利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法【例4】空间三条线段AB,BC,CD,AB丄BC,BC丄CD,已知AB=3,BC=4,CD=6,则AD的取值范围是____________ •【解前点津】如图，在直角梯形ABCD i中,CD i=6,AD i的长是AD的最小值，其中AH丄CD i,AH=BC=4,HD i=3,••• AD i=5;在直角△ AHD 2中,CD2=6,AD2是AD的最大值为.HD；AH 2= ；（6 3）242 = 97例4题图a//b =b_Ma _M b_ M =allha_M③ a：b Mal/M④a_b "丄M.D.①②④B.DM丄平面PEFC.PM丄平面A. DP丄平面PEF4. 设a、b是异面直线，下列命题正确的是（A. 过不在a、b上的一点P 一定可以作一条直线和B. 过不在a、b上的一点P 一定可以作一个平面和C. 过a 一定可以作一个平面与b垂直D. 过a 一定可以作一个平面与b平行5. 如果直线l,m与平面a ,3，丫满足：1= 3门Y ,l II DEF D. PF 丄平面DEF）a、b都相交a、b都垂直A. a丄丫且I丄m6.AB是圆的直径，的距离为（）,m：- a和m l 丫，那么必有（）C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，贝U P到ABA.1B.2 2.5C.-53.5D.-5【解后归纳】本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手，其实冷静分析, 找出隐藏的条件很容易得出结论••对应训练分阶提升一、基础夯实1•设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题:其中正确的命题是（）A. ①②B.①②③C.②③④2. 下列命题中正确的是（）A. 若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B. 若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C. 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D. 若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3. 如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把厶ADE、△ CDF和厶BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P —DEF中，必第3题图7. 有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行;£ B E个平面与a垂直; ②过平面a的一条斜线I有且仅有-二、思维激活11.如图AB 是斜边，三个顶点在平面 a 的同侧，它们在a 内的射 B ' C '是正三角形，且 AA '= 3cm, BB '= 5cm, CC '= 4cm ,ZV71:\1 \ i*广\ // *BC第12题图12. 如图所示，在直四棱柱A i B i C i D i — B i D i （注:填上你认为正确的一种条件即可 13. 如图所示，在三棱锥 V — ABC 中，当三条侧棱 VA 、VB 、VC 之间满足条件 VC 丄AB.（注：填上你认为正确的一种条件即可）ABCD 满足条件 ，不必考虑所有可能的情形） 时，有A i C时，有③ 异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与 b 都不垂直其中正确命题的个数为 （）A.0B.1C.2D.38. d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面 a 、 3满足a 丄a, b 丄B ，则下面正确的结论是 （ ）A. a 与3必相交且交线m // d 或m 与d 重合B. a 与3必相交且交线 m // d 但m 与d 不重合C. a 与3必相交且交线 m 与d 一定不平行D. a 与3不一定相交9. 设I 、m 为直线，a 为平面，且I 丄a ，给出下列命题①若m l a ,贝U m// I ;②若m 丄I ,贝U m // a ;③若m // a ，贝U m ± I ;④若m // I ，贝U m ± a , 其中真命题的序号是 （）A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④10. 已知直线I 丄平面a ，直线m 平面3，给出下列四个命题：①若a // 3，贝y I 丄m ；②若a 丄3，则I // m ；③若I // m ,则a 丄3 ；④若I 丄m ,则a // 3 . 其中正确的命题是 （ ）A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②三、能力提高14. 如图所示，三棱锥V-ABC 中,AH 丄侧面VBC,且 H 是厶VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高. （1） 求证:VC 丄AB;（2） 若二面角E — AB — C 的大小为30° ,求VC 与平面ABC 所成角的大小.15. 如图所示，PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1) 求证：MN //平面FAD.(2) 求证：MN丄CD.⑶若/ PDA = 45 °，求证：MN丄平面FCD.16. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，/ BAD = 60 ° , AB = 4, AD=2，侧棱PB = J5 , PD = ,3 .(1)求证：BD丄平面PAD.(2)若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P —BC—A的大小.17. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1 中，/ ACB=90 °，/BAC=30° ,BC=1 , AA j= .. 6 , M 是CC1 的中点, 求证：AB」A1M .A M B第15题图第16题图18. 如图所示，正方体 ABCD — A ' B ' C ' D '的棱长为a , M 是AD 的中点，N 是BD '上一点, 且 D ' N : NB = 1 : 2, MC 与 BD 交于 P.(1) 求证：NP 丄平面 ABCD.(2) 求平面PNC 与平面CC ' D ' D 所成的角 (3) 求点C 到平面D ' MB 的距离.第18题图第4课线面垂直习题解答1. A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行 .2. C 由线面垂直的性质定理可知.3. A 折后 DP 丄 PE,DP 丄 PF , PE 丄 PF.4. D 过a 上任一点作直线 b '// b,则a , b '确定的平面与直线 b 平行.5. A映世总,m 丄 丫且m U a ，则必有a 丄丫，又因为1= 3 n Y 则有I U 丫，而m 丄丫贝U I 丄m,故选A. 22—AC BC 26. DP 作 PD 丄 AB 于 D ，连 CD ，贝U CD 丄 AB , AB=、AC BC - 5 , CDAB f7. D 由定理及性质知三个命题均正确 .8. A 显然a 与3不平行•9. D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直 10. B Ta// 3 , I 丄 a ,• I 丄 m 11.3cm 2设正三角A ' B ' C '的边长为a.22 2 2 2 2 2 ,…AC =a +1,BC =a +1,AB =a +4,A B••• PD= , PC 2 CD 2i5.证明: 又 AC 2+BC 2=AB 2,「・ a 2=2.=H 3232S ^A B ，C 一a cm .4212. 在直四棱柱A i B i C i D i —ABCD 中当底面四边形ABCD 满足条件AC 丄BD （或任何能推导出这个条件 的其它条件，例如 ABCD 是正方形，菱形等）时,有A I C 丄B i D i （注:填上你认为正确的一种条件即可 不必考虑所有可能的情形）.点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线 定理但答案不惟一，要求思维应灵活13. VC 丄 VA , VC 丄AB.由 VC 丄VA , VC 丄AB 知 VC 丄平面 VAB. 14. (i)证明：•/ HVBC 的垂心,••• VC 丄BE,又AH 丄平面VBC,••• BE 为斜线 AB 在平面 VBC 上的射影，• AB 丄VC. (2)解:由(i)知 VC 丄 AB,VC 丄 BE,• VC 丄平面 ABE,在平面 ABE 上，作ED 丄AB,又AB 丄VC, • AB 丄面 DEC.• AB 丄CD, •••/ EDC 为二面角 E —AB — C 的平面角， •••/ EDC=30 ° ,••• AB 丄平面 VCD, •VC 在底面 ABC 上的射影为 CD .•••/ VCD 为VC 与底面 ABC 所成角，又VC 丄AB,VC 丄BE, • VC 丄面 ABE, • VC 丄DE, :丄 CED=90 °，故/ ECD=60 ° ,• VC 与面ABC 所成角为60° .（1）如图所示，取 PD 的中点E ,连结AE , EN ,1 1则有 EN // CD // AB // AM , EN = - CD = - AB = AM ，故 AMNE 为平行四边形 2 2 • MN // AE.•/ AE 平面 PAD , MN 平面 PAD , • MN //平面 PAD. (2) •/ PA 丄平面 ABCD , • PA 丄 AB.又AD 丄AB , • AB 丄平面 PAD. • AB 丄AE ,即卩AB 丄MN. 又 CD // AB , • MN 丄 CD.(3) •/ PA 丄平面 ABCD , • PA 丄 AD. 又/ PDA = 45° , E 为PD 的中点. • AE 丄 PD ,即 MN 丄 PD.又 MN 丄 CD , • MN 丄平面PCD.16.如图(1)证：由已知 AB = 4 , AD =2, / BAD = 60° ,2 2 21第15题图解故BD = AD +AB -2AD • ABcos60°= 4+16-2 X 2X 4 X - = 12.2tan Z PFE =PEEF22、3.317.连结AC1,ACMC1CC1■-6C1A1又AB2= AD2+BD2,•••△ABD是直角三角形，/ ADB = 90°,即AD 丄BD.在厶PDB 中，PD = 3 , PB= ..15 , BD = .. 12 ,•PB2= PD2+BD2，故得PD 丄BD.又PD n AD = D,•BD丄平面FAD.⑵由BD丄平面FAD, BD 平面ABCD.•平面PAD丄平面ABCD .作PE丄AD于E,又PE平面PAD,•PE丄平面ABCD，•/ PDE是PD与底面ABCD所成的角.•/ PDE = 60°,「. PE = PDsin60°=汉也=?2 2 '作EF丄BC于F，连PF，贝U PF丄BF ,•Z PFE是二面角P—BC—A的平面角.又EF = BD = ,12，在Rt△ PEF 中，J3 故二面角P —BC—A的大小为arctan——4•Rt △ACC [S Rt △MC1A1,•Z AC Q= Z MA1C1,•Z A1MC1 + Z AC1C= Z A1MC 计Z MA1C1=90 °.•A1M丄AC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，•CC1 丄B1C1，又BQ」A1C1,「・B1C1 丄平面AC1M.由三垂线定理知AB1丄A1M.点评：要证AB1I A1M，因B1C1丄平面AC1,由三垂线定理可转化成证AC1 JA1M，而AC1I A1M 一定会成立.18.(1)证明：在正方形ABCD中，•/△ MPD CPB, 且MD =】BC2 ，• DP : PB= MD : BC = 1 : 2.又已知D' N : NB= 1 : 2,由平行截割定理的逆定理得NP // DD '，又DD '丄平面ABCD ,••• NP 丄平面 ABCD.(2) •/ NP // DD '// CC• NP 、CC '在同一平面内，CC '为平面NPC 与平面CC ' D ' D 所成二面角的棱• 又由CC '丄平面 ABCD ，得CC '丄CD , CC '丄CM ,•••/ MCD 为该二面角的平面角•在Rt △ MCD 中可知/ MCD = arctan 1，即为所求二面角的大小 .2a 2 .c⑶由已知棱长为a 可得，等腰△ MBC 面积S i = 2 ，等腰△ MBD '面积$2=4 a 2 ,设所求距离为 h ,即为三棱锥C —D ' MB 的高.•••三棱锥D '— BCM 体积为1S 1 D^=丄&人,3 3S 1 a■. 6--h a. S 2 3。