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第1篇一、教学背景抛物线是高中数学中重要的几何图形之一，它不仅具有丰富的几何性质，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
为了提高学生对抛物线的认识和应用能力，我在教学过程中，结合教材内容，设计了一系列的实践应用活动。
以下是对这节课的教学反思。
二、教学目标1. 让学生了解抛物线的定义、性质和图形特点。
2. 培养学生运用抛物线知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的创新思维和团队合作精神。
三、教学过程1. 导入新课通过展示生活中常见的抛物线图形，如滑梯、抛物线桥等，激发学生的学习兴趣，引出抛物线的概念。
2. 探究抛物线的性质通过引导学生观察、分析，总结出抛物线的性质，如对称性、开口方向、顶点坐标等。
3. 实践应用（1）设计抛物线桥让学生分组讨论，设计一座抛物线桥，要求桥面平滑，连接两端的直线段。
在设计中，要考虑抛物线的开口方向、顶点坐标等因素。
（2）分析抛物线运动轨迹让学生观察篮球在空中的运动轨迹，分析其是否为抛物线，并解释原因。
4. 总结与反思引导学生总结本节课所学内容，回顾抛物线的性质和应用，并对自己的学习进行反思。
四、教学反思1. 教学方法本节课采用了启发式教学和合作学习的方式，让学生在探究、讨论中主动学习。
通过实践应用，使学生将理论知识与实际生活相结合，提高了学生的学习兴趣和积极性。
2. 教学内容教学内容贴近生活，具有实际意义。
通过设计抛物线桥、分析抛物线运动轨迹等活动，使学生更好地理解抛物线的性质和应用。
3. 学生参与度学生在课堂上的参与度较高，能够积极参与讨论和实践活动。
但在设计抛物线桥时，部分学生存在思维定势，未能充分发挥创新思维。
4. 教学效果通过本节课的学习，学生对抛物线的性质和应用有了更深入的认识，能够运用所学知识解决实际问题。
但在课堂实践活动中，部分学生的合作能力有待提高。
五、改进措施1. 加强学生创新思维的培养在实践活动设计中，鼓励学生从不同角度思考问题，提出更多有创意的设计方案。
一．课题：抛物线及其标准方程（1）二．教学目标：1.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．2.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．3.通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．三．教学重、难点：1. 重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)．2. 难点：抛物线的标准方程的推导．(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系．)四、教学过程(一)导出课题：我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．请大家思考两个问题：问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．(二)抛物线的定义1．回顾：平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？2．简单实验如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A 到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．3．定义：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．(三)抛物线的标准方程设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．化简后得：y2=2px p2(p＞0)．方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．化简得：y2=2px+p2(p＞0)．方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．)取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．化简后得：y2=2px(p＞0)．比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：由学生讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(四)四种标准方程的应用例题：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．方程是x2=-8y．练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是F(3，0)；答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)焦点到准线的距离是2．(3)y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y．由三名学生演板，教师予以订正．这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．(五)小结：本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．五、作业：到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x2=2y；(2)4x2+3y=0；(3)2y2+5x=0；(4)y2-6x=0．3．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(-6，-3)．4．求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程．作业答案：3．(1)y2=24x，y2=-2x，(2)x2=-12y(图略)4．分别令x=0，y=0得两个焦点F1(0，-3)，F2(4，0)，从而可得抛物线方程为x2=-12y或y2=16x.一．课题：抛物线及其标准方程（2）二．教学目标：1.会用定义法、直译法、参数法，求与抛物线有关的动点的轨迹方程；2.会判断直线与抛物线的位置关系；3.会求解与抛物线的焦点弦有关的问题.三．教学重、难点：目标1，2，3。
第17课时：抛物线与几何图形(3)班级_________ 姓名__________学号学习目标：经历探索抛物线与圆有关问题的过程，体会知识之间的相互联系，综合运用所学的知识，提高分析和解决问题的能力，感受数形结合等思想方法． 探索活动： 问题一．抛物线y ＝41x 2＋mx ＋n 经过点(0，23)与(4，23)． (1)求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；(2)现有一半径为1，圆心P 在抛物线上运动的动圆，当⊙P 与坐标轴相切时，求圆心P 的坐标．问题二．如图，在直角坐标系中，⊙A 的半径为4，A 的坐标为(2，0)，⊙A 与x 轴交于E 、F 两点，与y 轴交于C 、D 两点，过点C 作⊙A 的切线BC 交x 轴于B ．(1)求直线BC 的解析式；(2)若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在直线BC 上，与x 轴的交点恰为⊙A 与x 轴的交点，求抛物线的解析式； (3)试判断点C 是否在抛物线上，并说明理由．问题三．已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点(0，0)和A (1，－3)，B (－1，5)两点． (1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线与x 轴的另一个交点为C ，以OC 为直径作⊙M ，如果过抛物线上一点P 作⊙M 的切线PD ，切点为D ，且与y 轴的正半轴交点为E ，连结MD ，已知点E 的坐标为(0，m )，求四边形EOMD 的面积(用含m 的代数式表示)；(3)延长DM 交⊙M 于点N ，连结ON ，OD ，当点P 在(2)的条件下运动到什么位置时，能使得S 四边形PCMD ＝S △DON ，请求出此时点P 的坐标．问题四．如图，已知直线y ＝x ＋6交x 、y 轴于A 、C 两点，经过A 、O 两点的抛物线 y ＝ax 2＋bx (a ＜0)的顶点B 在直线AC 上. (1)求A 、C 两点的坐标；(2)求出抛物线的函数关系式；(3)以B 点为圆心，以AB 为半径作⊙B ，将⊙B 沿x 轴翻折得到⊙D ，试判断直线AC 与⊙D 的位置关系，并求出BD 的长；(4)若E 为⊙B 优弧ACO 上一动点，连结AE 、OE ，问在抛物线上是否存在一点M ，使 ∠MOA ︰∠AEO ＝2︰3，若存在，试求出点M第六章 二次函数B P ED M C O Axy课后作业：1、如图，P 是射线y ＝53x (x ＞0)上的一动点，以P 为圆心的圆与y 轴相切于C 点，与x 轴的正半轴交于A 、B 两点.(1)若⊙P 的半径为5，则P 点坐标是( ， )；A 点坐标是( ， )；以P 为顶点，且经过A 点的抛物线的解析式是 ；(2)在(1)的条件下，上述抛物线是否经过点C 关于原点的对称点D ，请说明理由；(3)试问：是否存在这样的直线l ，当P 在运动过程中，经过A 、B 、C 三点的抛物线的顶点都在直线l 上？若存在，请求出直线l 的解析式；若不存在，请说明理由.2、如图，直角坐标系中，O 为坐标原点，A 点坐标为(－3，0)，B 点坐标为(12，0)，以AB 的中点P 为圆心，AB 为直径作OP 与y 轴的负半轴交于点C ，抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 、C 三点，其顶点为M 点． (1)求此抛物线的解析式；(2)设点D 是抛物线与⊙P 的第四个交点(除A 、B 、C 三点外)，求直线MD 的解析式； (3)判定(2)中的直线MD 是⊙P 的位置关系，并说明理由．3、如图，在平面直角坐标系中，已知点(B -，(0)A m，(0)m <，以AB 为边在x 轴下方作正方形ABCD ，点E 是线段OD 与正方形ABCD 的外接圆除点D 以外的另一个交点，连结BE 与AD 相交于点F ． (1)求证：BF ＝DO ；(2)设直线l 是BDO △的边BO 的垂直平分线，且与BE 相交于点G ．若G 是BDO △的外心，试求经过B F O ，，三点的抛物线的解析表达式；(3)在(2)的条件下，在抛物线上是否存在点P ，使该点关于直线BE 的对称点在x 轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．例3、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 点坐标为(－8，0)，B 点坐标为(2，0)以AB 的中点P 为圆心，AB 为直径作⊙P 与y 轴的负半轴交于点C .① 求图象经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； ② 设M 点为①中抛物线的顶点，求出顶点M 的坐标和直线MC 的解析式； ③ 判定②中的直线MC 和⊙P 的位置关系，并说明理由；④ 过坐标原点O 作直线BC 的平行线OG ，与②中的直线MC 相交于点G ，连结AG ，求出点G 的坐标，并证明AG ⊥MC .三、学生练习1、如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，D 是抛物线上一点，其坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-47,21，B 点坐标为(1，0).① 求抛物线的解析式；② 经过A 、B 、D 三点的圆交AC 于点F ，交直线y ＝x ＋3于点E .试判断△BEF 的形状，并加以证明.2、已知：半径为1的⊙O 1与X 轴交于A 、B 两点，圆心O 1的坐标为(2， 0)，二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象经过A 、B 两点，其顶点为F . (1)求 b 、c 的值及二次函数顶点F 的坐标；(2)写出将二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象向下平移1个单位再向左平移2个单位的图象的函数表达式；(3)经过原点O 的直线l 与⊙O 相切，求直线l 的函数表达式.3、已知一个二次函数的图象经过A (4，－3)，B (2，1)和C (－1，－8)三点. ① 求这个二次函数的解析式以及它的图象与x 轴的交点M ，N (M 在N 的左边)的坐标； ② 若以线段MN 为直径作⊙G ，过坐标原点O 作⊙G 的切线OD ，切点为D ，求OD 的长；③ 在直线OD 上是否存在点P ，使得△MNP 是直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.问题三．如图，等边△ABC的边长为BC 边所在直线为x 轴，BC 的边上的高线AO所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系． (1)求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；(2)设⊙P 是△ABC 的内切圆，点D 为y 轴上一动点，以D 点为圆心，3为半径的⊙D 与直线．．AB 、AC 都相切时，试判断⊙O 与⊙P 的位置关系，并简要说明理由；(3)若(2)中⊙P 的大小不变，圆心P 沿y 轴运动，设P 点坐标为(0，a )，则⊙P 与直线AB 、AC 有几种位置关系？并写出相应位置关系时，a 的取值范围．图4、如图，在直角坐标系中，以点A 为圆心，以x 轴相交于点BC ，，与y 轴相交于点DE ，.(1)若抛物线213y x bx c =++经过C D ，两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上.(2)在(1)中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得PBD △ 的周长最小.(3)设Q 为(1)中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上 是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形.若 存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.已知：如图，抛物线m x x y +-=332312与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，∠ACB ＝90°，⑴求m 的值及抛物线顶点坐标；⑵过A 、B 、C 的三点的⊙M 交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交⊙M 于点E ，过E 点的⊙M 的切线分别交x 轴、y 轴于点F 、G ，求直线FG 的解析式；⑶在条件⑵下，设P 为 CBD上的动点(P 不与C 、D 重合)，连结P A 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH ·AP ＝k ，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.例1、如图，在平面直角坐标系中，以点M (0，1)为圆心，以2为半径作⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，连结AM 并延长交⊙M 于P 点，连结PC 交x 轴于E .(1)求出CP 所在直线的解析式； (2)连结AC ，求△ACP 的面积.(3)求出过A 、B 、C 三点的抛物线解析式(4)在过A 、C 、B 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△ABQ 与△ABC 相似？(5)在过A 、C 、B 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△ABQ 为等腰三角形？例3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的⊙O 分别交x 轴、y 轴于A 、B 、C 、D 四点，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点C 且与直线AC 只有一个公共点.(1)求直线AC 的解析式(2)求抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的解析式(3)点P 为(2)中y 轴左边抛物线上的点，由点P 作x 轴的垂线，垂足为点Q ，问：此抛物线上是否存在这样的点P ，使△PQB ~ADB ？若存在，求出PD三、学生练习1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点A (0，5)和点B (3 ，2)① 求抛物线的解析式：② 现有一半径为1，圆心P 在抛物线上运动的动圆，问⊙P 在运动过程中，是否存在⊙P 与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P 的坐标：若不存在，请说明理由； ③ 若⊙ Q 的半径为r ，点Q 在抛物线上、⊙Q 与两坐轴都相切时求半径r 的值2、OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA ＝10，OC ＝6．(1)如图，在AB 上取一点M ，使得△CBM 沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作B ′点，求B ′点的坐标；(2)求折痕CM 所在直线的解析式；(3)作B 'G //AB 交CM 于G ，若抛物线m x y +=261过点G ，求抛物线解析式，并判断以原点O 为圆心，OG 为半径的圆与抛物线除交点G 外，是否还有交点？若有，请直接写出交点坐标．3、已知抛物线21y ax bx =+-经过点A (－1，0)、B (m ，0)(m ＞0)，且与y 轴交于点C ． (1)求a 、b 的值(用含m 的式子表示)；(2)如图所示，⊙M 过A 、B 、C 三点，求阴影部分扇形的面积S (用含m 的式子表示)；(3)在x 轴上方，若抛物线上存在点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求m 值．。
