专题3抛物线与几何变换

抛物线的几何变换抛物线是一种常见的曲线形状，它在几何学中有着重要的应用。

通过对抛物线进行几何变换，我们可以得到一系列有趣的结果和应用。

本文将就抛物线的几何变换进行详细探讨。

我们来讨论抛物线的平移变换。

平移是指将图形沿着平行于某个方向的直线移动一定的距离。

对于抛物线来说，平移变换可以使得抛物线在平面上的位置发生改变，但其形状和大小保持不变。

通过平移变换，我们可以将抛物线的顶点从原点移动到任意位置，从而得到不同位置的抛物线。

接下来，我们来探讨抛物线的缩放变换。

缩放是指改变图形的大小，使得图形的各个部分相对于原图形的位置保持不变。

对于抛物线来说，缩放变换可以使得抛物线的形状变得更加扁平或者更加瘦长。

通过缩放变换，我们可以调整抛物线的曲率和尺寸，从而满足不同的需求。

除了平移和缩放变换，我们还可以对抛物线进行旋转变换。

旋转是指将图形绕着某个点或者某个轴进行旋转，使得图形的各个部分相对于原图形的位置保持不变。

对于抛物线来说，旋转变换可以使得抛物线沿着顶点或者其他点进行旋转，从而改变抛物线的朝向和方向。

通过旋转变换，我们可以得到不同方向的抛物线，具有更多的应用场景。

我们还可以对抛物线进行镜像变换。

镜像是指通过某个直线将图形的各个部分对称翻转，使得图形的对称轴上的点保持不变。

对于抛物线来说，镜像变换可以使得抛物线关于某个直线对称，从而得到与原抛物线关于对称轴对称的抛物线。

通过镜像变换，我们可以得到一对关于对称轴对称的抛物线，具有更多的几何特性。

我们来谈论一下抛物线的平移、缩放、旋转和镜像的组合变换。

通过将这些变换结合起来，我们可以得到更加复杂的抛物线图形。

例如，我们可以先进行平移变换，将抛物线移动到指定位置，然后再进行缩放变换，调整抛物线的大小，最后进行旋转变换，改变抛物线的方向。

这样，我们可以得到一个全新的抛物线图形，具有丰富的几何特征。

抛物线的几何变换是一种有趣且实用的数学工具。

通过对抛物线进行平移、缩放、旋转和镜像变换，我们可以得到各种不同形状和特性的抛物线图形。

12－3抛物线的几何变换1.理解抛物线在旋转与平移两种几何变换中，图像的位置变化与解析式的变化之间的联系及规律.2.理解抛物线在几何变换过程中，由顶点或某个定点的位置情况确定参数的取值范围.3. 灵活应用“数形结合”的思想理解函数图像上点的坐标特征与意义.类型一抛物线的旋转变换例1如图12－48，设点P为抛物线2(2)y x=+上的任意一点，将整条抛物线绕其顶点G顺时针方向旋转90°后得到一个新图象，点P在新图象中的对应点记为Q.（1）当点P的横坐标为－4时，求点Q的坐标；（2）设Q（m,n），试用n表示m.【分析】（1）过点P作PE⊥x轴于点E，过点Q作QF⊥x轴于点F，由旋转的性质知：△GQF≌△PGE，则QF＝GE，PE＝GF，从而可求出Q点的坐标.（2）已知点Q的坐标，即可得到QF、FG的长，仿照（1）的方法可求出点P的坐标，然后代入原抛物线的解析式中，可求得m、n的关系式.【解】（1）2(2)y x=+，则G（－2,0），易求得P（－4,4）.如图12－48，连接QG、PG，过点Q作QF⊥x轴于点F，过点P作PE⊥x轴于点E.依题意，可得△GQF≌△PGE，则可得Q（2，2）.（2）已知Q （m ,n ），则GE ＝QF ＝n ，FG ＝m ＋2.由（1）知：PE ＝FG ＝m ＋2，GE ＝QF ＝n ，即P （－2－n ，m ＋2）. 代入原抛物线的解析式中，得m ＋2＝（－2－n ＋2）2， 整理得22m n =-.【点评】此题主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定和性质、函数图象上点的坐标意义等知识.拓展与变式1 如图12－49，已知抛物线222y x nx n =-+（n 为常数，n>0），它的顶点为G ，点P 为抛物线对称轴右侧上任意一点（不与点G 重合）.（1）求证：顶点G 一定在x 轴的正半轴上；（2）将抛物线绕其顶点G 逆时针旋转90°后得到一个新图象，点Q 为点P 旋转后的对应点.①当n ＝2，点P 的横坐标为4时，求点Q 的坐标；②设点Q 的坐标为（a ，b ），请用含n 、b 的代数式表示a .【答案】解：（1）222y x nx n =-+=()2x n -，则该抛物线的顶点坐标是（n ，0）．∵n 为常数，n ＞0，∴顶点G 一定在x 轴的正半轴上；（2）①由（1）知，抛物线222y x nx n =-+的顶点坐标是（n ，0）． ∴当n ＝2时，顶点为G （2，0），∵P 点横坐标为4，纵坐标为4， ∴P 点横、纵坐标与顶点G 差值为2、4，∴根据旋转的性质得到Q 点坐标为：（−2，2）； ②设P （x ，y ）．如图，过点Q 作QM ⊥x 轴于点M ，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，则∠QMG ＝∠GNP ＝90°，∵根据旋转性质得∠QGP ＝90°，∴∠QGM ＝∠GPN （同角的余角相等），在△QMG 与△GNP 中，∠QMG ＝∠GNP ，∠QGM ＝∠GPN ，QG ＝GP ， ∴△QMG ≌△GNP （AAS ），∴QM ＝GN ，MG ＝PN ，∴b ＝x−n ，n−a ＝y ，又∵点P 在抛物线y ＝()2x n -上， ∴n−a ＝()2x n -＝2b ，则a ＝−2b ＋n ．拓展与变式2 如图12－50，点P 为抛物线222y x nx n =-+（n 为常数，n>0）上任意一点，将抛物线绕顶点G 逆时针旋转90°后得到的新图象与y 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），点Q 为点P 旋转后的对应点.若原抛物线恰好也经过点A ，点Q 在第一象限内，是否存在这样的点P ，使得AQ ＝GQ ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】点Q 在第一象限内，AQ ＝GQ ，如图所示，由旋转知，AG ＝CG ，且∠AGC＝90°，∴∠AGO＝∠CGx＝45°，∴OA＝OG ，，∴n ＝1，∴点A （0，1），点A 的对应点C （2，1），G （1，0）， ∴直线CG 解析式为y ＝x −1，线段CG 的中垂线MN 解析式为y ＝−x ＋2，由y ＝−x ＋2，y ＝2x −2x ＋1，解得x=12，y=32-或x=12，y=32+，∵点P 在第一象限，∴点P ，32）．拓展与变式3 如图12－51，将抛物线222y x nx n =-+（n 为常数，n>0），绕顶点G 逆时针旋转90°后得到的新图象与y 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），D 为x 轴的正半轴上一点，以OD 为一对角线作平行四边形OQDE ，其中Q 是新图象在第一象限内的一点，QE 交OD 于点C ，若QO 平分∠AQC ，AQ ＝2QC ，求证：△AQO ≌△EQO.【答案】∵四边形OQDE 为平行四边形，∴QC＝CE ＝12QE ， 又∵AQ＝2QC ，∴AQ＝EQ ，∵QO 平分∠AQC，∴∠AQO＝∠EQO，∵在△AQO 和△EQO 中， AQ ＝EQ ，∠AQO＝∠EQO，QO ＝QO ，∴△AQO≌△EQO（SAS ）拓展与变式4 如图12－52，将抛物线222y x nx n =-+（n 为常数，n>0）绕顶点G 逆时针旋转90°后得到的新图象与y 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），其中Q 为新图象在第一象限内的一点，点D 在x 轴的正半轴上，C 为OD 的中点，QO 平分∠AQC ，AQ ＝2QC ，当QD ＝n 时，求n 的值.【答案】如图，延长QC 到点E ，使CE ＝CQ ，连接OE ；∵C 为OD 中点， ∴OC ＝CD ，∵∠ECO ＝∠QCD ，∴△ECO ≌△QCD ，∴OE ＝DQ ＝n ； ∵AQ ＝2QC ，∴AQ ＝QE ，∵QO 平分∠AQC ，∴∠1＝∠2， ∴△AQO ≌△EQO ，∴AO ＝EO ＝n ，∴A （0，n ），∵A （0，n ）在新图象上，∴0＝n −2n ，∴1n ＝1，2n ＝0（舍）， ∴n ＝1．类型二抛物线的平移变换例2（2017绍兴）如图12－53，矩形ABCD的两条对称轴在坐标轴上.点A的坐标为（2,1），一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这上点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为2y x=，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，由该抛物线的函数表达式变为（）A.2814y x x=++ B.2814y x x=-+C.243y x x=++ D.243y x x=-+【分析】抛物线的顶点的变化确定图象的平移规律.先由图象顶点A平移得到点C，得到平移规律，从而确定抛物线的顶点坐标的变化，可得答案.【解】由A(2,1)，则可得C(－2，－1)，由点A（2,1）到点C（－2，－1），需要先将点A向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度.则抛物线2y x=，经过平移后变为22(4)2814y x x x=+-=++.故选A.例3（2017绵阳）将二次函数2y x=的图象先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的图象与一次函数2y x b=+的图象有公共点，则实数b的取值范围是（）A.b＞8B. b＞－8C. b≥8D. b≥－8【分析】抛物线因平移与另一图象之间位置变化情况确定参数的取值范围.先根据平移原则，写出解析式，再列出方程组，两图象有公共点，则△≥0，从而可以求出b的取值.【解】依题意得平移后得到的二次函数图象的解析式为2(3)1y x =--，则，2(3)12y x y x b⎧=--⎨=+⎩ ∴2(3)1x --＝2x b +，即2880x x b -+-=.由△＝（－8）2－4×1×（8－b ）≥0，解得b ≥－8，故选D.【点评】平移后的抛物线的关系式的确定方法：首先将原抛物线配方，确定顶点坐标，然后根据平移的性质求出平移后的顶点坐标，从而求得平移后的抛物线.在不同的背景下，如何确定顶点或定点，并由点的变化情况确定图象的位置变换，是解题的关键.拓展与变式5 如图12－54，抛物线2y x =沿直线y x =个单位长度，顶点在直线y x =上的M 处，则平移后的抛物线的解析式为 .【答案】y=()21x -+1拓展与变式6 抛物线21y x =+的图象沿着直线112y x =-个单位长度，其函数解析式变为 .【答案】y=2x +4x+4或y=2x -4x+6拓展与变式7 如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位长度或向上平移1个单位长度，我们把这种变换称为抛物线的简单变换.若抛物线经过两次简单变换后的新抛物线是21y x =+，则原抛物线的解析式不可能是（ ）A. 21y x =-B. 265y x x =++C. 244y x x =++D. 2817y x x =++【答案】B【同步练习】1.将抛物线22(1)3y x =-+绕着原点O 旋转180°，所得抛物线的解析式为 . 【答案】y=()221x -+-32.将抛物线221210y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为 .【答案】y=22x -+12x-263.已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），若将此抛物线绕点A 按顺时针方向旋转180°，则旋转所得的抛物线对应的函数关系式为 .【答案】y=2x --6x-54.已知抛物线243y x x =+-，请你设计一种平称的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y x =上，请你写出平移后的抛物线的解析式.【答案】y=()21x -+1（答案不唯一，只需顶点的横、纵坐标相同即可）5.如图12－55，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（－2,4），AB ⊥y 轴于点B ，抛物线22y x x c =--+经过点A ，将抛物线向下平移m 个单位长度，使平移后得到的抛物线顶点落在△AOB 的内部（不包括△AOB 的边界），则m 的取值范围是 .【答案】1＜m ＜36.如图12-56，抛物线2(0)y ax bx a =+<的图象与x 轴交于A 、O 两点，顶点为B ，将该抛物线的图象绕原点O 旋转180°后，与x 轴交于点C ，若此时四边形ABCD 恰好为矩形，则b 的值为 .【答案】-【压轴挑战】7.（2017济宁）已知函数2(25)2y mx m x m =--+-的图象与x 轴有两个公共点.（1）求m 的取值范围，并写出当m 取值范围内最大整数时函数的解析式； （2）题（1）求得的函数记为C 1.①当n ≤ x ≤－1时，y 的取值范围是1≤y ≤－3n ，求n 的值；②函数C 2：2()y m x h k =-+的图象由函数C 1的图象平移得到，其顶点P 落在以原点为圆心、的圆内或圆上，设函数C 1的图象顶点为M ，求点P 与点M 距离最大时函数C 2的解析式.【答案】(1)函数图象与x 轴有两个交点, ∴m ≠0且[一(2m-5)]2一4m(m-2)＞0, 解得m ＜2512且m ≠O.∵m 为符合条件的最大整数, ∴m=2. ∴函数的解析式为y=22x +x.(2)①抛物线的対称轴为直线x=2b a -=14-，∵n ≤x ≤－1＜14-, a=2＞0, ∴当n ≤x ≤-时, y 随x 的増大而喊小,且1≤y ≤-3n.∴当x=n 时, y=－3n.∴22n +n=-3n,解得n=－2或n=O(舍去).∴n 的值为一2.②∵y=22x +x=221(x )4+-18，∴M （14-，-18）如图D12-15，当点P 在OM 与⊙0的交点处时，PM 有最大值.设直线OM 的解析式为y=kx ，将点M 的坐标代入，得14-k=一18，解得k=12.∴直线OM 的解析式为y=12x.设点P 的坐标为（x ，12x),由勾股定理得=5,∴x=2（x=-2舍），∴点P 坐标为（2,1），∴当点P 与点M 距离最大时， 函数2C 的解析式为y=2()22x -+18、如图12—57，已知抛物线21122C y x x =-：与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴相交于点C ，P 是抛物线上的点，其横坐标为6，D 为抛物线的顶点.（1）求ABC S ∆（2）将抛物线1C 绕点D 旋转180°后得到抛物线2C ,并将2C 沿直线CD 平移，平移后的抛物线交y 轴于点Q ，顶点为R ，平移后是否存在这样的抛物线，使△CRQ为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.解（1）对于抛物线2112(0,1(32C x x CA B -：y=（1[(3(132ABC S ∆=-=（2）易得抛物线2112)22C x --：y=（旋转180°后抛物线221(2)22C y x =---：直线CD 的解析式为y x =--2C 平移后的关系式为21()2y x a a =---易得C （0，,R(,a a -) Q 21(0,2a a --22222222411,(1),24CR a a CQa a RQ a a =+=+=+由2222221,(1)222CR CQ a a a a a a =+=+⇒=-+=--得到舍）由22222412,2(4CR RQ a a a a a a =+=+⇒==-得到舍去）由22222411(1)024RQ CQ a a a a a =+=+⇒=得到综上所述，当a=2时，抛物线解析式为21(2)22y x =---当2a =-+21222y x =-+-+-（。

03- 抛物线【知识点】一、抛物线的标准方程、种类及其几何性质() ：标准方程图形焦点准线范围对称轴极点离心率二、抛物线的焦半径、焦点弦轴（0，0）轴1.焦点弦：过抛物线焦点的弦，若，则(1) x0+，(2) ，－ p2(3)弦长 , ，即当 x1=x2时 , 通径最短为 2p(4)若 AB的倾斜角为θ，则 =（5） +=2.通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦。

过焦点的全部弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.3.的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.4、弦长公式：三、抛物线问题的基本方法1.直线与抛物线的地点关系2.直线，抛物线，3.，消 y 得：4.（ 1）当 k=0 时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；5.（ 2）当 k≠ 0 时，＞0，直线与抛物线订交，两个不一样交点；=0，直线与抛物线相切，一个切点；＜0，直线与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗（不必定）6.对于直线与抛物线的地点关系问题常用办理方法直线：抛物线，①联立方程法：设交点坐标为, ，则有 , 以及，还可进一步求出，在波及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方a.订交弦 AB的弦长或b.中点, ，②点差法：设交点坐标为，，代入抛物线方程，得将两式相减，可得a.在波及斜率问题时，b.在波及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线订交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件： 1）直线与抛物线有两个不一样的交点， 2）直线的斜率存在，且不等于零）【典型例题】考点 1 抛物线的定义题型利用定义, 实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的变换[ 例1 ]已知点P 在抛物线 y2= 4x 上，那么点P 到点Q（ 2，－ 1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为[分析]过点P 作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P 点为抛物线与垂线的交点时，获得最小值，最小值为点Q到准线的距离, 因准线方程为x=-1,故最小值为31. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列，则有（）A．B．C． D.［分析］C由抛物线定义，即：．2.已知点 F 是抛物线的焦点 ,M 是抛物线上的动点 , 当最小时 ,M点坐标是()A. B. C. D.[分析]设 M到准线的距离为, 则，当最小时，M点坐标是，选C考点2抛物线的标准方程题型 : 求抛物线的标准方程[ 例 2 ]求知足以下条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1) 过点 (-3,2)(2)焦点在直线上[ 分析 ] (1)设所求的抛物线的方程为或,∵过点 (-3,2)∴∴∴抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为(2)令得，令得，∴抛物线的焦点为(4,0) 或 (0,-2),当焦点为(4,0)时,∴，此时抛物线方程; 焦点为 (0,-2)时∴，此时抛物线方程.∴所求抛物线方程为或, 对应的准线方程分别是.3. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合, 则的值[分析]4.对于极点在原点的抛物线，给出以下条件：①焦点在 y 轴上；②焦点在 x 轴上；③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；④抛物线的通径的长为 5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2， 1）.能使这抛物线方程为y 2=10的条件是 ____________. （要求填写适合条件的序号）x[分析]用清除法，由抛物线方程y2=10x 可清除①③④，进而②⑤知足条件.5.若抛物线的极点在原点，张口向上， F 为焦点， M为准线与 Y 轴的交点， A 为抛物线上一点 , 且，求此抛物线的方程[ 分析 ]设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点 A 的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或考点 3抛物线的几何性质题型：相关焦半径和焦点弦的计算与论证[ 例 3 ] 设 A、 B 为抛物线上的点, 且 (O 为原点 ), 则直线 AB必过的定点坐标为__________.［分析］设直线OA方程为 , 由解出 A点坐标为解出 B 点坐标为，直线AB方程为 , 令得，直线AB 必过的定点增补：抛物线的几个常有结论及其应用结论一：若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。

高三抛物线定理知识点抛物线是高中数学中重要且常见的曲线。

在高三阶段，学生需要掌握抛物线定理，并且能够灵活运用于解决相关问题。

本文将介绍高三抛物线定理的基本概念以及其应用。

一、抛物线的定义与特点抛物线是由平面上距离一个定点距离相等的点构成的图形。

该定点称为焦点，到直线称为准线。

1. 对称性：抛物线以准线为对称轴对称。

2. 焦距：焦点到准线的距离称为焦距，用f表示。

3. 定义域与值域：抛物线的定义域为实数集，值域为y≥d，其中d为抛物线与其准线的最低点的纵坐标。

二、顶点与对称轴在抛物线中，顶点是其中最高（或最低）的点。

对称轴是过焦点和顶点的直线。

1. 顶点：抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h和k分别为抛物线的顶点的横坐标和纵坐标。

2. 对称轴：对称轴的方程为 x = h。

三、抛物线的一般方程抛物线的一般方程为 y = ax² + bx + c，其中a≠0。

在高三阶段，学生需要了解如何通过抛物线的顶点和焦点坐标来确定抛物线方程。

四、抛物线的焦点与准线的关系抛物线的焦点坐标为（f，0），其中焦距f的计算公式为 f = 1/4a。

准线的方程为 x = -f。

五、抛物线的平移抛物线可以通过平移进行位置上的变换。

1. 抛物线上下平移：将抛物线原方程中的常数c进行上下平移。

2. 抛物线左右平移：将抛物线原方程中的常数b进行左右平移。

六、抛物线的应用抛物线的定理在物理学、工程学等领域有广泛的应用。

1. 抛物线光学：在光学实验中，抛物线是一种能够将平行光线聚焦于焦点的曲线形状。

2. 抛物线运动：在物理学中，抛物线也描述了平抛运动的轨迹，如投掷物体的运动。

七、高三抛物线定理解题方法1. 根据已知条件绘制抛物线，并确定抛物线的顶点、焦点和准线。

2. 列出抛物线的一般方程，并代入已知条件，解出未知变量。

3. 运用抛物线定理或几何特性，解答相关问题。

八、总结高三抛物线定理是数学中重要的知识点，掌握抛物线的基本概念、性质以及应用方法对于高中数学学习具有重要意义。

抛物线的简单几何性质抛物线是数学中一个经典的曲线，由于其独特的形状和广泛的应用，它被广泛研究和使用。

本文将介绍抛物线的一些简单的几何性质。

1. 抛物线的定义抛物线是指平面上的一类曲线，其定义为平面上离定点（焦点）距离与定直线（准线）距离相等的点的集合。

这个定义可以用数学表达式来描述，即：y = ax^2 + bx + c其中 a、b 和 c 是常数，a 不等于 0。

这个方程描述了平面上所有满足以上条件的点的集合，即抛物线。

2. 抛物线的对称性抛物线具有轴对称性，即它关于某一直线对称。

这条直线称为抛物线的对称轴。

对称轴与抛物线的顶点有关，顶点是抛物线的最高点或最低点。

对于抛物线的标准方程y = ax^2 + bx + c，对称轴的公式为x = -b/(2a)。

3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，位于抛物线的对称轴上。

对于标准方程y = ax^2 + bx + c，顶点的 x 坐标可以通过-b/(2a)计算得出。

将其代入方程中得到对应的 y坐标。

4. 抛物线的焦点和准线在抛物线的定义中提到了焦点和准线。

焦点是一个点，位于抛物线的对称轴上，与抛物线上的所有点到准线的距离相等。

准线是一个直线，与抛物线不相交，且与焦点的距离相等。

焦点的计算可以使用以下公式：F(x, y) = (x, y)，其中 x = -b/(2a)，y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)准线的方程为y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)。

5. 抛物线的焦距和方向焦距是指焦点到准线的距离，也可以视为焦点到对称轴的垂直距离。

焦距的计算公式为f = 1/(4a)。

由此可见，焦点到对称轴的距离与 a 的值有关。

当 a 的值越小，焦距越大，抛物线会变得扁平；当 a 的值越大，焦距越小，抛物线会变得尖锐。

根据 a 的正负，抛物线的方向也会有所不同。

当 a 大于 0 时，抛物线开口朝上；当 a 小于 0 时，抛物线开口朝下。

专题8 二次函数的图象抛物线与三大几何变换（原卷版）类型一抛物线与平移1．（2023•牡丹江）将抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．2．（2023•青岛）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC ＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．（1）求抛物线的表达式；（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2=35S1，求m的值．4．（2023•常州）如图，二次函数y=12x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C．（1）b＝；（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD=52．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．4．（2023•绥化）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，6）三点，且一次函数y＝kx+6的图象经过点B．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）将抛物线y1＝ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为m．过点P作PD⊥NC于点D，求m为何值时，CD+12PD有最大值，最大值是多少？5．（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．类型二抛物线与翻折6．（2023•淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线x=94，且△OAB的面积为18．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）求点B的坐标；（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A 的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023•德阳）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y＝kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；8．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．类型三二次函数与旋转9．（2023•平昌县校级模拟）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x（0≤x≤2）交x轴于O，A两点；将C1绕点A旋转180°得到抛物线C2，交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到抛物线C3，交x轴于A2，…，如此进行下去，则抛物线C10的解析式是（）A．y＝﹣x2+38x﹣360B．y＝﹣x2+34x﹣288C．y＝x2﹣36x+288D．y＝﹣x2+38x+36010．（2023•青秀区校级模拟）将抛物线y＝2（x﹣1）2+3绕原点旋转180°，旋转后的抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+3B．y＝2（x+1）2﹣3C．y＝﹣2（x+1）2﹣3D．y＝2（x﹣1）2﹣311．（2023•岳阳县二模）在平面直角坐标系中，将抛物线∁l：y＝2x2﹣（m+1）x+m绕原点旋转180°后得到抛物线C2，在抛物线C2上，当x＜1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m≥5B．m≤5C．m≥﹣5D．m≤﹣512．（2023•高青县二模）边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为．13．（2023•高新区模拟）如图，抛物线y=12x2−32x−2与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C'的坐标为（点C'不与点A重合）．14．（2023•静安区校级一模）定义：把二次函数y＝a（x+m）2+n与y＝﹣a（x﹣m）2﹣n（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数y＝x2+32bx﹣2与y＝﹣x2−14cx+c（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点P（b，c）的坐标．15．（2022秋•连云港期末）已知二次函数y＝ax2+c的图象经过点（8，10），(−2，52 )．（1）求二次函数的表达式；（2）点P为二次函数图象上一点，点F在y轴正半轴上，将线段PF绕点P逆时针旋转90°得到PE，点E恰好落在x轴正半轴上，求点P的坐标．16．（2023•郸城县二模）如图1，抛物线y1＝ax2+bx+c分别交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y 轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式及顶点P的坐标．（2）如图2，将该抛物线绕点（4，0）旋转180°．①求旋转后的抛物线的表达式；②旋转后的抛物线顶点坐标为Q，且与x轴的右侧交于点D，顺次连接A，P，D，Q，求四边形APDQ的面积．17．（2023•鞍山二模）如图，抛物线C1：y＝x2+bx+c与y轴交于点D（0，﹣3），与x轴交于A（﹣3，0），B两点，顶点为H．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线C1：y＝x2+bx+c平移后得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点P（m，n）始终在抛物线C1上，①当点P在第一象限时，抛物线C2与y轴交于点E，若△PED的面积为6m时，直接写出P点坐标；②将平移后的抛物线C2绕点P旋转180°得到抛物线C3，抛物线C3与直线BH交于点M（M与H不重合），与y轴交于点N，连接MN，NH，若∠MNH＝15°，求直线NH的解析式．18．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点B（﹣4，0），点C（8，0），与y轴交于点A．点D的坐标为（0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图1，点F为该抛物线在第一象限内的一动点，过E作FE∥y轴，交CD于点F，求EF+√55DF的最大值及此时点E的坐标．（3）如图2，在（2）的情况下，将原抛物线绕点D旋转180°得到新抛物线y'，点N是新抛物线y'上一点，在新抛物线上的对称轴上是否存在一点M，使得点D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程．。

抛物线的知识点抛物线知识点概述1. 定义抛物线是一个二次函数的图像，具有U形的曲线。

在数学中，它是平面上所有与一个固定点（焦点）和一条固定直线（准线）距离相等的点的集合。

2. 标准方程一个垂直开口的抛物线的方程是：\[ y = ax^2 + bx + c \]其中，\( a \)，\( b \)，和 \( c \) 是常数，且 \( a \neq 0 \)。

一个水平开口的抛物线的方程是：\[ x = ay^2 + by + c \]同样，\( a \)，\( b \)，和 \( c \) 是常数，且 \( a \neq 0 \)。

3. 焦点和准线对于垂直开口的抛物线，焦点的坐标是 \( (h, k + \frac{1}{4a}) \)，准线的方程是 \( y = k - \frac{1}{4a} \)。

对于水平开口的抛物线，焦点的坐标是 \( (h + \frac{1}{4a}, k) \)，准线的方程是 \( x = h - \frac{1}{4a} \)。

4. 顶点抛物线的顶点是曲线的最高点（对于开口向下的抛物线）或最低点（对于开口向上的抛物线）。

顶点的坐标是 \( (h, k) \)。

5. 对称性抛物线是关于其对称轴对称的。

对称轴是垂直于抛物线开口方向的直线，并且通过顶点。

6. 导数和凹凸性抛物线的导数是 \( y' = 2ax + b \)（对于 \( y = ax^2 + bx + c \)）。

抛物线在其顶点处从凹变凸，或者从凸变凹，这取决于 \( a \) 的符号。

7. 应用抛物线在物理学、工程学、建筑学和许多其他领域都有广泛的应用。

例如，在抛体运动中，物体在只受重力作用下的运动轨迹通常是抛物线形状。

8. 旋转和变换抛物线可以通过平移、缩放、旋转等几何变换得到新的抛物线。

这些变换遵循特定的数学规则。

9. 抛物线的性质- 任何从焦点出发的光线，经过抛物线反射后，都会平行于抛物线的对称轴。

巧解抛物线变换问题江西省会昌实验学校李扬一、抛物线的平移变换例1（2011•重庆市江津区）将抛物线：y=x2﹣2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是.巧解方法：直接在一般式的自变量和因变量上分别进行“左加右减”和“上加下减” .解：用x－4代替解析式中的x，并对其中的y（即原等式右边）加上3，就得到解析式：3)4(2)4(2+---=xxy，展开并整理得y=x2﹣10x+27.故答案为： y=x2﹣10x+27.点评：本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.二、抛物线的翻折与旋转变换例2（2011•江西）将抛物沿c1：y=﹣x2+沿x轴翻折，得拋物线c2，如图所示．（1）请直接写出拋物线c2的表达式.（2）现将拋物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.巧解方法：抛物线y=ax2+bx+c若沿x轴翻折，所得图象的函数解析式只需将原函数解析式中的y换成-y，即y=-ax2-bx-c；若沿y轴翻折，所得图象的函数解析式只需将原函数解析式中的x换成-x，即y=ax2-bx+c；分析：（1）根据抛物线翻折的性质可求拋物线c2的表达式；（2）①求出拋物线c1与x轴的两个交点坐标，分当AD=AE时，当AB=AE时两种情况讨论求解；②存在．理由：连接AN ，NE ，EM ，MA ．根据矩形的判定即可得出． 解：（1）把解析式y=﹣x 2+中的y 换成-y 得-y=﹣x 2+，即2y =（2）①令20=，得：121,1x x =-=，则抛物线c 1与x 轴的两个交点坐标为（-1,0），（1,0）.∴A （-1-m ，0），B （1-m ，0）. 同理可得：D （-1+m ，0），E （1+m ，0）.当13AD AE =时，如图①，()()()()111113m m m m -+---=+---⎡⎤⎣⎦， ∴12m =.当13AB AE =时，如图②，()()()()111113m m m m ----=+---⎡⎤⎣⎦， ∴2m =.1B ，D 是线段AE 的三等分点.②存在理由：连接AN 、NE 、EM 、MA .依题意可得：((,,M m N m -. 即M ，N 关于原点O 对称， ∴OM ON =.∵()()1,0,1,0A m E m --+， ∴A ，E 关于原点O 对称， ∴OA OE =， ∴四边形ANEM 为平行四边形. 要使平行四边形ANEM 为矩形，必需满足OM OA =,即()2221m m +=--， ∴1m =.∴当1m =时，以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形.点评：本题是二次函数的综合题型，考查了抛物线翻折和平移的性质，平行四边形和矩形的判定，注意分析题意分情况讨论结果.例3 求抛物线y x x =++223经过下列变换后的抛物线的解析式：（1）绕其顶点旋转180°；（2）绕坐标原点旋转180°巧解方法：抛物线y=ax 2+bx+c 绕顶点旋转180°，先将一般式化成顶点式2()y a x h k =-+，再根据变换前后开口方向改变和顶点不变，即2()y a x h k =--+ ，最后整理成一般式；抛物线y=ax 2+bx+c 绕原点旋转180°（关于原点对称），所得图象的函数解析式只需将原函数解析式中x 换成-x ，y 换成-y 即可，即y=-ax 2+bx-c.解：（1）把一般式化为顶点式y x =++()122。