难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)

2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线与几何综合题线段、面积问题考情分析年份题号题型分值抛物线变化情况设问形式解题关键点201824解答题10平移(1)求抛物线与坐标轴交点坐标及交点为顶点的三角形面积(2)求满足面积等量关系的函数表达式(1)抛物线与坐标轴的交点问题，三角形面积计算(2)抛物线图象的平移性质20232410关于中心对称(1)求与坐标轴交点坐标(2)求抛物线表达式(3)求不是菱形的平行四边形的面积(1)抛物线与坐标轴的交点问题(2)抛物线图象关于中心对称性质(3)平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分例(2022陕西逆袭卷)已知抛物线C1：y＝ax2＋34x＋c的顶点为D(1，278)，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，且抛物线C2与x轴分别交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求AC的长；(2)点P是位于AC下方的抛物线C2上一点，过点P的直线l∥AC，是否存在点P，使得直线l 被抛物线C2截得的线段长为AC长的3倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)抛物线C3是抛物线C1关于原点O对称的抛物线，求抛物线C3的表达式(4)在(3)中已知抛物线C3，且抛物线上有一点Q，使得S△ABC=S△ABO，求点Q的坐标.抛物线的翻折、中心对称表达式变式形式变化后的a值变化后的顶点坐标变化变化后的表达式y=a(x－h)2＋k(a≠0)关于x轴对称－a(h，－k)y=－a(x－h)2－k 关于y轴对称a(－h，k)y=a(x＋h)2＋k 关于原点O中心对称－a(－h，－k)y=－a(x＋h)2－k 绕顶点旋转180°－a(h，k)y=－a(x－h)2＋k线段问题1.与x轴垂直的线段的长：纵坐标相减(上减下)2.与y轴垂直的线段的长：横坐标相减(右减左)3.斜线段时，可过线段端点分别作x轴，y轴垂线构造直角三角形，利用勾股定理、特殊三角函数值或相似进行求解.面积问题方法直接公式法分割法补全法图示S△ABC＝12AB‧h S△ABC＝12AB‧h S△ABC＝12ahS△ABC＝S四边形BDEC－S△ADB－S△AECS△ABC＝12|x B－x A|‧y C S△ABC＝12|y A－y B|‧|xc－x B|S△ABC＝12|xc－x B|‧|y A－y D|S△ABC＝12(|y E－y C|+|y D－y B|)‧|x E－x D|－|x A－x D|‧|y D－y B|－|x E－x A|‧|y E－y C|练习(2022陕西原创卷)在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，－3)，顶点B在x轴上，且对称轴为直线x＝2.练习题图(1)求抛物线L的表达式；(2)将该抛物线平移，平移后的抛物线L′的顶点为B′，且与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)，若以A、B、B′、C为顶点的四边形是面积为6的平行四边形，求抛物线L′的表达式．练习1(2022陕西题组小卷)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，OA＝OC＝2OB.练习题图(1)求该抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M，使A、C两点到直线MB的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习2(2022陕西原创卷)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)、B两点，且经过点(2，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点G.练习题图(1)求抛物线的对称轴；(2)点D、E在对称轴上(D在E的上方)，点F在第一象限，是否存在使得四边形AEBD(AB为对角线)与四边形ABFD(AB为边)都是菱形的情形？若存在，请分别求出此时四边形AEBD与四边形ABFD的面积，若不存在，请说明理由．答案典例精讲例解：(1)∵抛物线C1：y＝ax2＋34x＋c的顶点为D(1，278)，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，－342a＝1＋34＋c＝278＝－38＝3，∴抛物线C1的表达式为y＝－38x2＋34x＋3，∵抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，∴抛物线C2的表达式为y＝－38x2－34x＋3.∵抛物线C2与x轴分别交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，令y＝0，则－38x2－34x＋3＝0，解得x＝－4或x＝2，∵点A在点B的左侧，∴A(－4，0)，B(2，0)．令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)，∴AC＝OA2＋OC2＝5；(2)存在，如解图，设直线AC的表达式为y＝kx＋b，将A(－4，0)，C(0，3)分别代入y＝kx＋b4k＋b＝0＝3＝34＝3，∴直线AC的表达式为y＝34x＋3.∵l∥AC，∴设直线l的表达式为y＝34x＋t.设点P (p ，－38p 2－34p ＋3)，则－38p 2－34p ＋3＝34p ＋t ，∴t ＝－38p 2－32p ＋3，∴直线l 的表达式为y ＝34x －38p 2－32p ＋3，＝－38x 2－34x ＋3＝34x －38p 2－32p ＋31＝p 1＝－38p 2－34p ＋32＝－p －42＝－38p 2－94p ，∴直线l 与抛物线的两个交点为(p ，－38p 2－34p ＋3)和(－p －4，－38p 2－94p )．∵直线l 被抛物线C 2截得的线段长为AC 长的3倍，∴（p ＋p ＋4）2＋（32p ＋3）2＝15，解得p ＝4或p ＝－8，当p ＝4时，y ＝－38p 2－34p ＋3＝－6，当p ＝－8时，y ＝－38p 2－34p ＋3＝－15，综上所述，满足条件的点P 的坐标为(4，－6)或(－8，－15)．例题解题(3)抛物线C 1的表达式为y ＝－38x 2＋34x ＋3=2327(1)88x --+∵抛物线C 3是抛物线C 1关于原点对称的抛物线∴抛物线C 3表达式为2327(1)88y x =+-.(4)∵抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，抛物线C 3与抛物线C 1关于原点O 对称∴抛物线C 2与抛物线C 3关于x 轴对称∵点C 坐标为(0，3)∴点Q 坐标为(0，－3)将y ＝－3代入抛物线2327(1)88y x =+-中，解得x 1=0，x 2=－2∴使得S △ABC =S △ABQ ，点Q 坐标为(0，－3)，(－2，－3).课堂练兵练习解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，且顶点B 在x 轴上，∴B (2，0)，∴可以设抛物线的表达式为y ＝a (x －2)2，把A (0，－3)代入y ＝a (x －2)2，解得a ＝－34.∴抛物线的表达式为y ＝－34(x －2)2＝－34x 2＋3x －3；(2)当点C 在点B 的左侧时，∵四边形ABB ′C 是平行四边形，∴AB ＝B ′C ，AB ∥CB ′，∴点B ′的纵坐标与点A 的纵坐标绝对值相等，∵A (0，－3)，∴点B ′的纵坐标为3，∵平行四边形ABB ′C 的面积为6，∴S △BCB ′＝12×BC ×3＝3，∴BC ＝2，∵B (2，0)，∴C (0，0)，B ′(2，3)，∴抛物线L 向上平移3个单位得到抛物线L ′，此时抛物线L ′的表达式为y ＝－34x 2＋3x ，同理可得，当点C 在点B 的右侧时，C (4，0)，B ′(6，3)，抛物线L 向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到抛物线L ′，此时抛物线L ′的表达式为y ＝－34x 2＋9x －24.∴抛物线L ′的表达式为y ＝－34x 2＋3x 或y ＝－34x 2＋9x －24.课后小练练习1解：(1)令x ＝0，则y ＝4，∴点C 的坐标为(0，4)，∵OA ＝OC ＝2OB ，∴OA ＝4，OB ＝2，∵点A 在点B 的左侧，∴点A 的坐标为(－4，0)，点B 的坐标为(2，0)，将点A ，B 的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋4，可得0＝16－4＋40＝4＋2＋4，解得＝－12＝－1，∴抛物线的表达式为y＝－12x2－x＋4；(2)存在；理由如下：∵OA＝OC，∴线段AC的垂直平分线交x轴于点O，∴要使点A，C到直线MB的距离相等，分两种情况讨论：①当直线BM与直线AC平行时，设直线AC的表达式为y＝kx＋m，将点A，C的坐标代入可得0＝－4＋4＝，解得＝1＝4，∴直线AC的表达式为y＝x＋4，如解图，设直线M1B的表达式为y＝x＋n，∵直线M1B经过点B，即0＝2＋n，∴n＝－2，∴直线M1B的表达式为y＝x－2，联立抛物线与直线M1B的表达式，可得＝－122－＋4＝－2，解得1＝－61＝－8或2＝22＝0(舍去)，∴点M1的坐标为(－6，－8)；(6分)②如解图，设AC的中点为点D，连接BD交抛物线于点M2，过点A作AE⊥BM2于点E，CF⊥BM2于点F.易得△ADE≌△CDF，∴AE＝CF，∵A(－4，0)，C(0，4)，∴D(－2，2)，设直线BD的表达式为y＝px＋q，将B、D的坐标代入可得2＋＝0－2＋＝2，解得＝－12＝1，∴直线BD的表达式为y＝－12x＋1，联立＝－122－＋4＝－12＋1，解得1＝－31＝52或2＝22＝0(舍去)，∴点M2的坐标为(－3，5)，综上所述，点M的坐标为(－6，－8)或(－3，52).练习题解图练习2解：(1)把(－1，0)，(2，3)代入抛物线中得，－1－＋＝0，解得＝2＝3，－4＋2＋＝3∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3，2＝－22×（－1）＝1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1；(2)存在，令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴B(3，0)，∴AB＝4，如解图，当四边形ABFD为菱形时，AD＝AB＝4，设D(1，m)，在Rt△ADG中，AD2＝AG2＋DG2＝22＋m2＝4＋m2＝16，解得m1＝23，m2＝－23(舍去)，∴D(1，23)，＝AB·DG＝4×23＝83.∴S菱形ABFD当四边形AEBD为菱形时，D、E两点关于x轴对称，＝12AB·DE＝12×4×43＝83.∴E(1，－23)，即DE＝43，∴S菱形AEBD练习题解图。

抛物线与几何图形的综合题型专题复习讲义(含答案)本文是一份关于抛物线与几何图形综合题型的复讲义，旨在帮助读者突破面积及点的存在性问题。

以下将对三种类型的题目进行讲解。

类型一：二次函数与三角形的综合题目1：已知抛物线$y=x^2+bx+c$经过点$(1,-4)$和$(-2,5)$，求解析式并判断是否存在点$D$，使得$\triangleABC$与$\triangle ABD$全等。

解析：根据已知条件，可列出方程组：begin{cases}b+c=-3\\4+b+c=1+4b+c\\4+4b+c=5\end{cases}$$解得$b=-2,c=-1$，因此抛物线的解析式为$y=x^2-2x-1$。

又因为抛物线的对称轴为$x=-\frac{b}{2}=1$，所以$x$轴交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，$y$轴交点为$(0,-1)$。

由于$\triangleABC$与$\triangle ABD$全等，所以$BD=AC$，即$x$轴上的交点到对称轴的距离相等，因此存在点$D$，坐标为$(4,-7)$。

类型二：二次函数与平行四边形的综合题目3：已知抛物线$y=ax^2+2ax+c(a>0)$与$y$轴交于点$C$，与$x$轴交于$A,B$两点，$A$点在$B$点左侧。

若点$E$在$x$轴上，点$P$在抛物线上，且以$A,C,E,P$为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点$P$有（）。

解析：根据已知条件，可列出方程组：begin{cases}c=a\\a+2a+c=0\\ae=2a+2ae+c\\ap=ae+2a+2c\end {cases}$$解得$a=-1,c=-1$，因此抛物线的解析式为$y=-x^2-2x-1$。

又因为$A,B$的坐标分别为$(-1,0)$和$(0,-1)$，所以$E$的坐标为$(1,0)$，$C$的坐标为$(0,-1)$。

将$P$的坐标设为$(x,-x^2-2x-1)$，代入四边形是平行四边形的条件可得：x^2+2x+1=0$$解得$x=-1$，因此符合条件的点$P$只有一个，坐标为$(-1,1)$。

难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一二次函数与三角形的综合一、全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题2．(2016·凉山州中考)如图，已知抛物线y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P 到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．◆类型二二次函数与平行四边形的综合3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0)与y 轴交于点C，与x轴交于A，B两点，A点在B 点左侧．若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，抛物线y＝12x2＋x－32与x轴相交于A，B两点，顶点为P.(1)求点A，B的坐标；(2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．◆类型三 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合5．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为________.第5题图 第6题图6．如图，抛物线y ＝ax 2－x －32与x 轴正半轴交于点A(3，0)．以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF.则a ＝，点E 的坐标是_________________．7. (2016·新疆中考)如图，对称轴为直线x ＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)设点E(x ，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．8．(2016·百色中考)正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内的抛物线l 上的动点． (1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O ，P ，A 三点的坐标； ②求抛物线l 的解析式；(2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值．答案：。

难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做) ——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一二次函数与三角形的综合一、全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题2．(凉山州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．◆类型二二次函数与平行四边形的综合3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B 两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A，C，E，P 为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，抛物线y＝12x2＋x－32与x轴相交于A，B两点，顶点为P.(1)求点A，B的坐标；(2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．◆类型三 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合5．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为________.第5题图 第6题图6．如图，抛物线y ＝ax 2－x －32与x 轴正半轴交于点A(3，0)．以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF.则a ＝，点E 的坐标是_________________．7. (新疆中考)如图，对称轴为直线x ＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)设点E(x ，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．8．(百色中考)正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线l经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线l上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O，P，A三点的坐标；②求抛物线l的解析式；(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值．答案：。

抛物线与几何图形的综合题型专题复习讲义（含答案）——代数、几何结合，突破面积及点的存在性问题类型一二次函数与三角形的综合一、全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．类型二二次函数与平行四边形的综合3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，抛物线y ＝12x 2＋x －32与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为P . (1)求点A ，B 的坐标；(2)在抛物线上是否存在点E ，使△ABP 的面积等于△ABE 的面积？若存在，求出符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)坐标平面内是否存在点F ，使得以A ，B ，P ，F 为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F 的坐标．类型三 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合5．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为________.6．如图，抛物线y ＝ax 2－x －32与x 轴正半轴交于点A(3，0)．以OA 为边在x轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF.则a ＝，点E 的坐标是_________________．7. 如图，对称轴为直线x ＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)设点E(x ，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．8．正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线l经过O，P，A 三点，点E是正方形内的抛物线l上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O，P，A三点的坐标；②求抛物线l的解析式；(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值．参考答案：。

难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一抛物线与三角形的综合一、求最值1．(龙东中考)如图，抛物线y＝x2－bx＋c交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B，对称轴是直线x＝2.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△P AB 的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、求直角(或等腰或相似)三角形的存在性问题2．(凉山州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．【易错6】3．★(南宁中考)如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，与直线y＝x－2交于B，C两点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求证：△ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．三、与面积相关的问题4．(2016·台湾中考)如图，坐标平面上，二次函数y＝－x2＋4x－k的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0.若△ABC与△ABD的面积比为1∶4，则k的值为()A．1 B.12C.43 D.455．(日照中考)如图，抛物线y＝－35[(x－2)2＋n]与x轴交于点A(m －2，0)和B(2m＋3，0)(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC.(1)求m，n的值；(2)点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN，BN.求△NBC面积的最大值．◆类型二抛物线与特殊四边形的综合6．(盐田区二模)抛物线y＝－x2＋6x－9的顶点为A，与y轴的交点为B，如果在抛物线上取点C，在x轴上取点D，使得四边形ABCD 为平行四边形，那么点D的坐标是()A．(－6，0) B．(6，0)C．(－9，0) D．(9，0)7．如图，在平面直角坐标系中，沿着两条坐标轴摆着三个相同的矩形，其长、宽分别为4，2，则过A，B，C三点的拋物线的函数关系式是________________．第7题图第8题图8．(余干县三模)如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC 与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2(a＜0)的图象上，则a的值为________．9．(2016·百色中考)正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线l经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线l上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O，P，A三点坐标；②求抛物线l的解析式；(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值．参考答案：1．解：(1)由题意得⎩⎨⎧1－b ＋c ＝0，b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3；(2)存在．∵点A 与点C 关于直线x ＝2对称，∴连接BC 与直线x ＝2交于点P ，则点P 即为所求．根据抛物线的对称性可知点C 的坐标为(3，0)．∵y ＝x 2－4x ＋3，∴点B 的坐标为(0，3)．设直线BC的解析式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝0，n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝3.∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，∴直线BC 与直线x ＝2的交点坐标为(2，1)，即点P 的坐标为(2，1)．2．解：(1)将A (－1，0)，B (3，0)，C (0，－3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx＋c中，得⎩⎪⎨⎪⎧a－b＋c＝0，9a＋3b＋c＝0，c＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1，b＝－2，c＝－3.∴抛物线的函数关系式为y＝x2－2x－3；(2)当点P在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，此时x＝－b2a＝1，故点P的坐标为(1，0)；(3)点M的坐标为(1，－1)，(1，6)，(1，－6)，(1，0)．解析：抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝1.设点M的坐标为(1，m)．已知A(－1，0)，C(0，－3)，则MA2＝m2＋4，MC2＝(m＋3)2＋1＝m2＋6m＋10，AC2＝12＋32＝10.①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得m2＋4＝m2＋6m＋10，解得m ＝－1；②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得m2＋4＝10，解得m＝±6；③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得m2＋6m＋10＝10，解得m1＝0，m2＝－6，当m＝－6时，M，A，C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上所述，符合条件的点M的坐标为(1，－1), (1，6)，(1，－6)，(1，0)．3．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x －1)2＋1.又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋1，即y＝－x2＋2x.联立抛物线和直线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ，y ＝x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－3，∴点B 的坐标为(2，0)，点C 的坐标为(－1，－3)；(2)证明：分别过A ，C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于点D ，E 两点，则AD ＝OD ＝BD ＝1，BE ＝OB ＋OE ＝2＋1＝3，CE ＝3，∴BE ＝CE ，∴∠ABO ＝∠CBO ＝45°，∴∠ABC ＝∠ABO ＋∠CBO ＝90°，∴△ABC 是直角三角形；(3)解：假设存在满足条件的点N ，设点N 的坐标为(x ，0)，则点M 的坐标为(x ，－x 2＋2x )，∴ON ＝|x |，MN ＝|－x 2＋2x |.由(2)在Rt △ABD 和Rt △CEB 中，可分别求得AB ＝2，BC ＝3 2.∵MN ⊥x 轴，∴∠MNO ＝∠ABC ＝90°，∴当△ABC 和△MNO 相似时，有MN AB ＝ON BC 或MNBC ＝ON AB .①当MN AB ＝ON BC 时，则有|－x 2＋2x |2＝|x |32，即|x ||－x ＋2|＝13|x |.∵当x ＝0时，M ，O ，N 不能构成三角形，∴x ≠0，∴|－x ＋2|＝13，即－x＋2＝±13，解得x ＝53或x ＝73，此时点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0或(73，0)；②当MN BC ＝ONAB 时，则有|－x 2＋2x |32＝|x |2，即|x ||－x ＋2|＝3|x |，∴|－x ＋2|＝3，即－x ＋2＝±3，解得x ＝5或x ＝－1，此时点N 的坐标为(－1，0)或(5，0)．综上所述，存在满足条件的N 点，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0或(－1，0)或(5，0)．4．D 解析：∵y ＝－x 2＋4x －k ＝－(x －2)2＋4－k ，∴顶点D 的坐标为(2，4－k )，点C 的坐标为(0，－k )，∴OC ＝k .∵△ABC 的面积为12AB ·OC ＝12AB ·k ，△ABD 的面积为12AB ·(4－k )，△ABC 与△ABD 的面积比为1∶4，∴k ＝14(4－k )，解得k ＝45.故选D.5．解：(1)∵抛物线的解析式为y ＝－35[(x －2)2＋n ]＝－35(x －2)2－35n ，∴抛物线的对称轴为直线x ＝2.∵点A 和点B 关于直线x ＝2对称，∴（m －2）＋（2m ＋3）2＝2，解得m ＝1，∴点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(5，0)．把A (－1，0)代入y ＝－35[(x －2)2＋n ]得9＋n ＝0，解得n ＝－9；(2)过点N 作ND ∥y 轴交BC 于D .由(1)可得抛物线的解析式为y ＝－35[(x －2)2－9]＝－35x 2＋125x ＋3，当x ＝0时，y ＝3，则点C 的坐标为(0，3)．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把B (5，0)，C (0，3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝－35，b ＝3，∴直线BC 的解析式为y ＝－35x ＋3.设点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－35x 2＋125x ＋3，则点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－35x ＋3，∴ND ＝－35x 2＋125x ＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35x ＋3＝－35x 2＋3x ，∴S △NBC ＝S △NDC ＋S △NDB ＝12·5·ND ＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫－35x 2＋3x ＝－32x 2＋152x ＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋758，当x ＝52时，△NBC 面积最大，最大值为758.6．D 解析：令x ＝0，得y ＝－9，∴点B 的坐标为(0，－9)．∵y ＝－x 2＋6x －9＝－(x －3)2，∴点A 的坐标为(3，0)，对称轴为直线x ＝3.∵点C 在抛物线上，且四边形ABCD 是平行四边形，∴点C 的坐标为(6，－9)，∴BC ＝6，∴AD ＝6，∴点D 的坐标为(9，0)．故选D.7．y ＝－512x 2－12x ＋203 解析：依题意得A 点的坐标为(－4，2)，B 点的坐标为(－2，6)，C 点的坐标为(2，4)．设抛物线的函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝6，4a ＋2b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－512，b ＝－12，c ＝203.∴抛物线的函数关系式为y ＝－512x 2－12x ＋203.8．－23 解析：连接OB .∵四边形OABC 是边长为1的正方形，∴∠BOC ＝45°，OB ＝1×2＝ 2.过点B 作BD ⊥x 轴于点D .∵OC 与x 轴正半轴的夹角为15°，∴∠BOD ＝45°－15°＝30°，∴BD ＝12OB ＝22，∴OD ＝OB 2－BD 2＝（2）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝62，∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22.∵点B 在抛物线y ＝ax 2(a ＜0)的图象上，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝－22，解得a＝－23.9．解：(1)以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC 所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示．①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，∴点O的坐标为(0，0)，点A的坐标为(4，0)，点P的坐标为(2，2)；②设抛物线l的解析式为y＝ax2＋bx＋c.由抛物线l经过O，P，A三点，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝c，0＝16a＋4b＋c，2＝4a＋2b＋c，解得⎩⎨⎧a＝－12，b＝2，c＝0.∴抛物线l的解析式为y＝－12x2＋2x；(2)∵点E是正方形内的抛物线l上的动点，∴设点E的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫m，－12m2＋2m(0＜m＜4)，∴S△OAE＋S△OCE＝12OA·y E＋12OC·x E＝12×4×⎝⎛⎭⎪⎫－12m2＋2m＋12×4m＝－m2＋4m＋2m＝－(m－3)2＋9，∴当m ＝3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9.。

人教版九年级数学上册中考专题复习题1.类比归纳专题：配方法的应用2.类比归纳专题：一元二次方程的解法3.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题4.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合5.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题6.易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围7.难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)8.抛物线中的压轴题9.易错专题：抛物线的变换10.解题技巧专题：巧用旋转进行计算11.旋转变化中的压轴题12.类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度13.类比归纳专题：切线证明的常用方法14.解题技巧专题：圆中辅助线的作法15.解题技巧专题：圆中求阴影部分的面积16.考点综合专题：圆与其他知识的综合17.圆中的最值问题18.抛物线与圆的综合19.易错专题：概率与放回、不放回问题类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一 配方法解方程1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎫t －742＝8116 D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝⎛⎭⎫x －232＝1093．利用配方法解下列方程：(1)(2016·淄博中考)x 2＋4x －1＝0；(2)(x ＋4)(x ＋2)＝2；(3)4x 2－8x －1＝0；(4)3x 2＋4x －1＝0.◆类型二 配方法求最值或证明 4．代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．55．下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ）A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值1 6．(2016－2017·夏津县月考)求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数．7．若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N .◆类型三 完全平方式中的配方 8．如果多项式x 2－2mx ＋1是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．±1D ．±29．若方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ）A ．－9或11B ．－7或8C ．－8或9D ．－6或7◆类型四 利用配方构成非负数求值 10．已知m 2＋n 2＋2m －6n ＋10＝0，则m ＋n 的值为（ ）A ．3B ．－1C ．2D ．－211．已知x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0，求(x ＋y )2016的值．答案：类比归纳专题：一元二次方程的解法——学会选择最优的解法◆类型一 一元二次方程的一般解法方法点拨： 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.1.用合适的方法解下列方程：（1）⎝⎛⎭⎫x －522－14＝0；（2）x 2－6x ＋7＝0；（3）x 2－22x ＋18＝0；（4）3x （2x ＋1）＝4x ＋2.◆*类型二 一元二次方程的特殊解法 一、十字相乘法方法点拨：例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确）， 第2种拆法：2x －2x ＝0（错误）， 所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1. 2.解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程____________.3.用十字相乘法解下列一元二次方程： （1）x 2－5x －6＝0； （2）x 2＋9x －36＝0.二、换元法方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.4.若实数a ，b 满足（4a ＋4b ）（4a ＋4b －2）－8＝0，则a ＋b ＝_______.5.解方程：（x 2＋5x ＋1）（x 2＋5x ＋7）＝7.1.解：（1）移项，得⎝⎛⎭⎫x －522＝14， 两边开平方，得x －52＝±14， 即x －52＝12或x －52＝－12，∴x 1＝3，x 2＝2；（2）移项，得x 2－6x ＝－7，配方，得x 2－6x ＋9＝－7＋9，即（x －3）2＝2， 两边开平方，得x －3＝±2， ∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2；（3）原方程可化为8x 2－42x ＋1＝0. ∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝（－42）2－4×8×1＝0， ∴x ＝－（－42）±02×8＝24，∴x 1＝x 2＝24； |（4）原方程可变形为（2x ＋1）（3x －2） ＝0，∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.2. x －1＝0或x ＋3＝0.3.解：（1）原方程可变形为（x －6）（x ＋1） ＝0，∴x －6＝0或x ＋1＝0， ∴x 1＝6，x 2＝－1；（2）原方程可变形为（x ＋12）（x －3） ＝0，∴x ＋12＝0或x －3＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝3. 4.－12或15.解：设x 2＋5x ＋1＝t ，则原方程化为t （t ＋6）＝7，∴t 2＋6t －7＝0，解得t ＝1或－7.当t ＝1时，x 2＋5x ＋1＝1，x 2＋5x ＝0， x （x ＋5）＝0，∴x ＝0或x ＋5＝0，∴x 1＝0，x 2＝－5； 当t ＝－7时，x 2＋5x ＋1＝－7，x 2＋5x ＋8＝0，∴b 2－4ac ＝52－4×1×8＜0，此时方程 无实数根.∴原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题◆类型一 利用方程或其解的定义求待定系数时，忽略“a ≠0”1．(2016－2017·江都区期中)若关于x的方程(a ＋3)x |a |－1－3x ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值为______.【易错1】2．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或0 3．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0.(1)求m 的值； (2)求方程的解．◆类型二 利用判别式求字母取值范围时，忽略“a ≠0”及“a 中的a ≥0”4．(2016－2017·抚州期中)若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有解，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ＞34B ．m ≥34C ．m ＞34且m ≠2D ．m ≥34且m ≠25．已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.6．若m 是非负整数，且关于x 的方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，求m 的值及其对应方程的根．◆类型三 利用根与系数关系求值时，忽略“Δ≥0”7．(2016·朝阳中考)关于x 的一元二次方程x 2＋kx ＋k ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，且x 21＋x 22＝1，则k 的值为_______.【易错2】 8．已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 的值．【易错2】◆类型四 与三角形结合时忘记取舍 9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x 2－14x ＋48＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）A ．11B ．17C ．17或19D ．1910．在等腰△ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，其中a ＝5，若关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋6－b ＝0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为_________．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与一次函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x －m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x ＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是______．◆类型三一元二次方程与二次根式的综合12．(达州中考)方程(m－2)x2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m的取值范围为（）A．m＞52B．m≤52且m≠2C．m≥3 D．m≤3且m≠213．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．答案：12.B 13.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题◆类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第1题图第2题图2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是（）3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象可能正确的是（）第3题图第4题图4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是（）◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值5．(2016·新疆中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是【方法10】（）A．a＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第7题图6．(2016·黄石中考)以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是【方法10】（）A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤27．(2016·孝感中考)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．(2016·天水中考)如图，二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②b2－4ac4a＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB ＝－ca .其中正确结论的序号是____________.答案：易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一 没有限定自变量的范围求最值 1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为_______. 2．已知二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，则函数值y 的最小值是【方法11】（ ）A ．3B ．2C ．1D ．－13．已知函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．◆类型二 限定自变量的取值范围求最值4．(2016－2017·双台子区校级月考)函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是（ ）A ．4和－3B ．－3和－4C ．5和－4D ．－1和－45．二次函数y ＝－12x 2＋32x ＋2的图象如图所示，当－1≤x ≤0时，该函数的最大值是【方法11】（ ）A ．3.125B ．4C ．2D ．06．已知0≤x ≤32，则函数y ＝x 2＋x ＋1（ ） A ．有最小值34，但无最大值B ．有最小值34，有最大值1C ．有最小值1，有最大值194D ．无最小值，也无最大值◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围7．从y ＝2x 2－3的图象上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是（ ）A ．－1≤y ≤5B ．－5≤y ≤5C ．－3≤y ≤5D ．－2≤y ≤18．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是（ ）A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y ＞3D ．y ＜39．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图象如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值CA ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y ＝m◆类型四 已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值10．当二次函数y ＝x 2＋4x ＋9取最小值时，x 的值为（ ）A ．－2B ．1C ．2D ．911．已知二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1的最小值为2，则a 的值为（ ）A．3 B．－1C．4 D．4或－112．已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x 的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤513．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝(a＋b)x2＋(a＋b)x－(a－b)的最小值为－a2，则∠A＝_______度．14．★已知函数y＝－4x2＋4ax－4a－a2，若函数在0≤x≤1上的最大值是－5，求a的值．答案：难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一二次函数与三角形的综合一、全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题2．(2016·凉山州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P 的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．◆类型二二次函数与平行四边形的综合3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P 在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，抛物线y＝12x2＋x－32与x轴相交于A，B两点，顶点为P.(1)求点A，B的坐标；(2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP 的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．◆类型三 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合5．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为________.第5题图 第6题图6．如图，抛物线y ＝ax 2－x －32与x 轴正半轴交于点A(3，0)．以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF.则a ＝，点E 的坐标是_________________．7. (2016·新疆中考)如图，对称轴为直线x ＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)设点E(x ，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．8．(2016·百色中考)正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内的抛物线l 上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O ，P ，A 三点的坐标； ②求抛物线l 的解析式；(2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值．答案：拔高专题抛物线中的压轴题一、基本模型构建常见模型思考在边长为1的正方形网格中有A, B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形ABCD。

专题14 解析几何中与抛物线相关的综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，其次便是抛物线，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.且同学需对抛物线的两个基本问题弄扎实，1.抛物线的基本概念、标准方程、几何性质；2.直线与抛物线的位置关系所引申出来的定点、定值、最值、取值范围等问题.3.抛物线与圆锥曲线的交汇问题典型例题【例1】（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线2:3C y x =的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若||||4AF BF +=，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求||AB ．【分析】（1）根据韦达定理以及抛物线的定义可得．（2）若3AP PB =，则123y y =-，1234x x t ⇒=-+，再结合韦达定理可解得1t =，13x =，213x =，再用弦长公式可得．【解答】解：（1）设直线l 的方程为3()2y x t =-，将其代入抛物线23y x =得：22999(3)0424x t x t -++=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1293422934t x x t ++==+，①，212x x t =②， 由抛物线的定义可得：1243||||2432AF BF x x p t +=++=++=，解得712t =， 直线l 的方程为3728y x =-． （2）若3AP PB =，则123y y =-，∴1233()3()22x t x t -=-⨯-，化简得1234x x t =-+，③由①②③解得1t =，13x =，213x =，||AB ∴==． 【例2】（2018•新课标Ⅰ）设抛物线2:2C y x =，点(2,0)A ，(2,0)B -，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．【分析】（1）当2x =时，代入求得M 点坐标，即可求得直线BM 的方程；（2）设直线l 的方程，联立，利用韦达定理及直线的斜率公式即可求得0BN BM k k +=，即可证明ABM ABN ∠=∠．【解答】解：（1）当l 与x 轴垂直时，2x =，代入抛物线解得2y =±， 所以(2,2)M 或(2,2)M -， 直线BM 的方程：112y x =+，或：112y x =--． （2）证明：设直线l 的方程为:2l x ty =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 联立直线l 与抛物线方程得222y xx ty ⎧=⎨=+⎩，消x 得2240y ty --=，即122y y t +=，124y y =-，则有22211212121212121212()2()()(2)222022(2)(2)(2)(2)BN BMy y y yy y y y y y y y k k x x x x x x ⨯+⨯+++++=+===++++++， 所以直线BN 与BM 的倾斜角互补， ABM ABN ∴∠=∠．【变式训练】（2018•新课标Ⅰ）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【分析】（1）方法一：设直线AB 的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k 的值，即可求得直线l 的方程；方法二：根据抛物线的焦点弦公式22||pAB sin θ=，求得直线AB 的倾斜角，即可求得直线l 的斜率，求得直线l 的方程；（2）根据过A ，B 分别向准线l 作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线2:4C y x =的焦点为(1,0)F ， 设直线AB 的方程为：(1)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，整理得：22222(2)0k x k x k -++=，则21222(2)k x x k ++=，121x x =， 由21222(2)||28k AB x x p k+=++=+=，解得：21k =，则1k =， ∴直线l 的方程1y x =-；方法二：抛物线2:4C y x =的焦点为(1,0)F ，设直线AB 的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式2224||8p AB sin sin θθ===，解得：21sin 2θ=， 4πθ∴=，则直线的斜率1k =，∴直线l 的方程1y x =-；（2）由（1）可得AB 的中点坐标为(3,2)D ，则直线AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+， 设所求圆的圆心坐标为0(x ，0)y ，则00220005(1)(1)162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩， 解得：0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩，因此，所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．专题强化1．（2020•全国一模）点(1P ，)(0)t t >是抛物线2:4C y x =上一点，F 为C 的焦点． （Ⅰ）若直线OP 与抛物线的准线l 交于点Q ，求QFP ∆的面积；（Ⅰ）过点P 作两条倾斜角互补的直线分别与C 交于M ，N 两点．证明：直线MN 的斜率是定值． 【分析】（Ⅰ）先求出点P 的坐标，再求出直线OP 的方程，结合抛物线准线方程求出点Q 的坐标，即可求出QFP ∆的面积；（Ⅰ）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由题意可知0PM PN k k +=，所以121222011y y x x --+=--，整理得124y y +=-，所以直线MN 的斜率12121MN y y k x x -==--． 【解答】解：（Ⅰ）将(1,)P t 代入24y x =得2t =， ∴点(1,2)P ，∴直线OP 的方程为：2y x =，又准线方程为：1x =-， ∴点(1,2)Q --，11||||14222QFP P Q S OF y y ∆∴=⨯⨯-=⨯⨯=；（Ⅰ）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 直线PM 与直线PN 的倾斜角互补， 0PM PN k k ∴+=， ∴121222011y y x x --+=--， 又2114y x =，2224y x =， ∴1222122201144y y y y --+=--， 整理得：1244022y y +=++， 122(2)y y ∴+=-+， 124y y ∴+=-， ∴直线MN 的斜率1212221212124144MN y y y y k y y x x y y --====--+-， 故直线MN 的斜率为定值1-．2．（2020•一卷模拟）已知抛物线2:2(0)C x py p =>，焦点为F ，准线与y 轴交于点E ．若点P 在C 上，横坐标为2，且满足：|||PE PF =． （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线PE 交x 轴于点Q ，过点Q 做直线l ，与抛物线C 有两个交点M ，N （其中，点M 在第一象限）．若QM MN λ=，当(1,2)λ∈时，求OMPONPS S ∆∆的取值范围．【分析】（1）由(0,)2p F ，(0,)2pE -，2(2,)P p．结合|||PE PF ．求得p 即可．（2）设直线l 的方程为1x my =+，与抛物线联立，将QM MN λ=，转化为1212(,)123y y λλ=∈+ 面积比转化为111112222212111|()2||2||(2)1|2111|2||(2)1||()2|2MOMPM ONPN N y OP h S h x y m y y y S h x y m y OP h y y y ∆∆+---+=====--++-，求解范围即可．【解答】解：（1）由已知可得(0,)2p F ，(0,)2pE -，2(2,)P p ．||2|PE PF =，∴224(p =+-． 0p >，2p ∴=．∴抛物线C 的方程为24x y =．（2）由（1）得(2,1)P ，(0,1)E -，易求得(1,0)Q ． 由题意得，直线的斜率存在且不为0， 可设直线l 的方程为1x my =+， 联立方程组214x my x y=+⎧⎨=⎩整理得22(24)10m ym y +-+=，△16160m =->，1m <．设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，∴12242m y y m -+=，1221y y m =． ∴121242y y m y y +=-，121142m y y +=-．QM MN λ=，∴11212(),1y y y y y λλλ=-=+， (1,2)λ∈，∴1212(,)123y y λλ=∈+， 设OMP ∆在OP 边上的高为M h ，ONP ∆在OP 边上的高为N h ，111112222212111|()2||2||(2)1|2111|2||(2)1||()2|2MOMPM ONP N N y OP h S h x y m y y y S h x y m y OP h y y y ∆∆+---+=====--++-112212||(,)23y y y y ==∈ ∴OMP ONP S S ∆∆的取值范围是1(2，2)3． 3．（2020•2月份模拟）已知过点(4,0)P 的动直线与抛物线2:2(0)C y px p =>交于点A ，B ，且0OA OB =（点O 为坐标原点）． （1）求抛物线C 的方程；（2）当直线AB 变动时，x 轴上是否存在点Q 使得点P 到直线AQ ，BQ 的距离相等，若存在，求出点Q 坐标，若不存在，说明理由．【分析】（1）设过点(4,0)P 的动直线为4x my =+，联立抛物线的方程，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，运用韦达定理，结合向量的数量积的坐标表示，化简可得p ，进而得到抛物线方程；（2）x 轴上假设存在点(,0)Q t 符合题意，由题意可得0AQ BQ k k +=，运用直线的斜率公式和韦达定理，化简可得t 的值，即可判断存在性．【解答】解：（1）设过点(4,0)P 的动直线为4x my =+， 代入抛物线22y px =，可得2280y pmy p --=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 可得128y y p =-，由0OA OB =可得2121212122()16804y y x x y y y y p p +=+=-=，解得2p =，则抛物线的方程为24y x =；（2）当直线AB 变动时，x 轴上假设存在点(,0)Q t 使得点P 到直线AQ ，BQ 的距离相等， 由角平分线的判定定理可得QP 为AQB ∠的角平分线，即有0AQ BQ k k +=， 由（1）可得128y y p =-，122y y pm +=， 则12121212044AQ BQ y y y y k k x t x t my t my t+=+=+=--+-+-， 化为12122(4)()0my y t y y +-+=， 即为162(4)0mp pm t -+-=， 化简可得4t =-，则x 轴上存在点(4,0)Q -，使得点P 到直线AQ ，BQ 的距离相等．4．（2020•2月份模拟）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，点F 为抛物线C 的焦点，点(1A ，)(0)m m >在抛物线C 上，且||2FA =，过点F 作斜率为1(2)2k k 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点． （1）求抛物线C 的方程； （2）求APQ ∆面积的取值范围．【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求出p ，然后求解抛物线的标准方程．（2）设出直线方程以及P 、Q 坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理、弦长公式，结合三角形的面积的不等式通过二次函数求解面积的范围即可． 【解答】解：（1）由抛物线的焦半径公式得||12222A p pFA x p =+=+=⇒=， 所以抛物线的方程为24y x =．（2）设直线l 的方程为(1)y k x =-，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ， 22222(1)(24)04y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩， 由韦达定理得212224k x x k ++=，121x x =，因为AF x ⊥轴，则12121||||||2APQ S AF x x x x ∆=⨯⨯-=-，12||x x -==因为122k ，令21t k =，所以144t ，APQ S ∆=所以252016t t +2485t t +，所以APQ ∆得面积的取值范围为．5．（2019秋•全国月考）已知抛物线：2:4y x Γ=，A ，B ，C ，D 四点都在抛物线Γ上． （Ⅰ）若线段AC 的斜率为2，求线段AC 中点的纵坐标；（Ⅰ）记(4,0)R ，若直线AC ，BD 均过定点(2,0)，且AC BD ⊥，P ，Q 分别为AC ，BD 的中点，证明：P ，Q ，R 三点共线．【分析】（Ⅰ）设A ，C 的坐标代入抛物线的方程作差由点差法求出斜率，再由题意可得线段AC 的纵坐标； （Ⅰ）由题意设直线AC 的方程，与抛物线联立求出两根之和，进而可得线段AC 的中点P 的坐标，同理可得线段BD 中点Q 的坐标，再由AC BD ⊥可得参数的关系，进而可得直线PQ 过R 点即证明P ，Q ，R 三点共线．【解答】解：（Ⅰ）设1(A x ，1)y ，2(C x ，2)y ，由A ，C 在抛物线上，得21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式相减可得121212()()4()y y y y x x +-=-． 由题意知，12x x ≠，所以12121242y y x x y y -==-+， 则122y y +=，则线段AC 中点的纵坐标为1．（Ⅰ）因为AC BD ⊥，故直线AC ，BD 的斜率存在且不为零．设直线1:2AC x m y =+，直线2:2BD x m y =+．易知10m ≠，20m ≠，12m m ≠．由2142y x x m y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得21480y m y --=，则1214y y m +=． 设(P P x ，)P y ．则12122P y y y m +==，2122P x m =+，即211(22,2)P m m +． 同理可得，222(22,2)Q m m +． 所以21222112221(22)(22)PQ m m k m m m m -==+-++，则直线211121:2(22)PQ y m x m m m -=--+． 因为AC BD ⊥，所以12111m m =-，即121m m =-． 所以直线121:(4)PQ y x m m =-+，故直线PQ 过点R ，即P ，Q ，R 三点共线．6．（2019•全国四模）已知抛物线24x y =，过点(0,2)M 的动直线1l 交抛物线予A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为C ，连接CB ，直线CB 与y 轴交于点N ． （1）求证：N 为定点；（2）过点N 作y 轴的垂线2l ，是否存在直线1l ，使得在直线3l 上在在点P 满足PAB ∆为等边三角形，若存在，求出直线方程1l ；若不存在，说明理由．【分析】（1）设出直线AB 的方程，和抛物线方程联立后得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系得到BC 的方程2212221111()()()2444y x x x x x x x x =--+=--，可证BC 过定点；（2）)线段AB 的中点坐标为2(2,22)N k k +．线段AB 的中垂线方程为21(22)(2)y k x k k-+=--，可得P 的坐标， 由223||||4PN AB =，22(2)(1)01k k k ⇒+-=∴=±即可． 【解答】解：（1）1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．1(C x -，1)y 显然AB 斜率存在，设AB 方程为2y kx =+． 则222,4804y kx x kx x y =+⎧--=⎨=⎩ 124x x k +=，128x x =-直线BC 的斜率2121211()4CB y y k x x x x -==-+ BC ∴的方程2212221111()()()2444y x x x x x x x x =--+=--，∴直线BC 过点(0,2)-．（2）线段AB 的中点坐标为2(2,22)N k k +．显然0k ≠，线段AB 的中垂线方程为21(22)(2)y k x k k-+=--，令2y =-，226x k k =+，2(26P k k ∴+，2)-．2222||(44)(2)PN K K =++，222||(1)(1632)AB k k =++， PAB ∆为等边三角形，223||||4PN AB ∴=， 22(2)(1)01k k k ⇒+-=∴=±存在直线12l y x =+或2y x =-+，符合题意7．（2019•新课标Ⅰ）已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点．（2）若以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．【分析】（1）设1(,)2D t -，1(A x ，1)y ，则2112x y =，利用导数求斜率及两点求斜率可得112210tx y -+=，设2(B x ，2)y ，同理可得222210tx y -+=，得到直线AB 的方程为2210tx y -+=，再由直线系方程求直线AB 过的定点；（2）由（1）得直线AB 的方程12y tx =+，与抛物线方程联立，利用中点坐标公式及根与系数的关系求得线段AB 的中点21(,)2M t t +，再由EM AB ⊥，可得关于t 的方程，求得0t =或1t =±．然后分类求得||2EM =及所求圆的方程．【解答】（1）证明：设1(,)2D t -，1(A x ，1)y ，则2112x y =，由于y x '=，∴切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-， 整理得：112210tx y -+=．设2(B x ，2)y ，同理可得222210tx y -+=． 故直线AB 的方程为2210tx y -+=． ∴直线AB 过定点1(0,)2；（2）解：由（1）得直线AB 的方程12y tx =+． 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是21212122,()121x x t y y t x x t +=+=++=+． 设M 为线段AB 的中点，则21(,)2M t t +，由于EM AB ⊥，而2(,2)EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，2(2)0t t t ∴+-=，解得0t =或1t =±．当0t =时，||2EM =，所求圆的方程为225()42x y +-=；当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为225()22x y +-=．8．（2019•3月份模拟）已知(1,2)B 是抛物线2:2(0)M y px p =>上一点，F 为M 的焦点． （1）若1(,)2A a ，5(,)3C b 是M 上的两点，证明：||FA ，||FB ，||FC 依次成等比数列．（2）若直线3(0)y kx k =-≠与M 交于1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 两点，且12124y y y y ++=-，求线段PQ 的垂直平分线在x 轴上的截距．【分析】（1）根据抛物线的定义求出p 的值，再根据抛物线的性质可得：3||2FA =，||2FB =，8||3FC =，即可证明，（2）根据中点坐标公式求出PQ 的中点坐标，即可求出线段PQ 的垂直平分线方程，即可求出答案 【解答】证明：（1）(1,2)B 是抛物线2:2(0)M y px p =>上一点， 42p ∴=， 2p ∴=，24y x ∴=，根据题意可得：13||122FA =+=，||112FB =+=，58||133FC =+=， 2382423=⨯=，||FA ∴，||FB ，||FC 依次成等比数列（2）由234y kx y x =-⎧⎨=⎩，消x 可得24120ky y --=，124y y k ∴+=，1212y y k=-， 12124y y y y ++=-， ∴4124k k-=-，2k ∴=，设PQ 的中点0(x ，0)y0121()12y y y ∴=+=，001(3)22x y =+=，∴线段PQ 的垂直平分线的斜率为12-， 故其直线方程为11(2)2y x -=--，当0y =时，4x =．9．（2019•3月份模拟）已知抛物线2:2(02)E x py p =<<的焦点为F ，圆22:(1)1C x y +-=，点0(P x ，0)y 为抛物线上一动点．当5||2p PF =时，PFC ∆的面积为12． （1）求抛物线E 的方程； （2）若012y >，过点P 作圆C 的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点，求PMN ∆面积的最小值，并求出此时点P 的坐标．【分析】（1）根据题意可得2220025()24p p x y +-=，①，011|1|||222p x -=，②，202x py =，③，由①②③解得1p =（2）设0(P x ，0)y ，(0,)M b ，(0,)N c ，且b c >，则直线PM 的方程可得，由题设知，圆心(0,1)到直线PM的距离为1，把0x ，0y 代入化简整理可得22000(21)20y b y b y ---=，同理可得22000(21)20y c y c y ---=，进而可知b ，c 为22000(21)20y x y x y ---=的两根，根据求根公式，可求得b c -，进而可得PMN ∆的面积的表达式，根据均值不等式可得【解答】解：（1）抛物线2:2(02)E x py p =<<的焦点为(0,)2pF ，圆22:(1)1C x y +-=的圆心C 为(0,1)，5||2p PF =，2220025()24p p x y ∴+-=，①， PFC ∆的面积为12， ∴011|1|||222p x -=，②， 又202x py =，③， 由①②③解得1p =， ∴抛物线方程为22x y =，（2）设(0,)M b ，(0,)N c ，且b c >，故直线PM 的方程为000()0y b x x y x b --+=，即000()0y b x x y x b --+=， 由题设知，圆心(0,1)到直线PM 的距离为1， 1=，注意到02x >，化简上式，得22000(21)20y b y b y ---=， 同理可得22000(21)20y c y c y ---=， 由上可知，b ，c 为22000(21)20y x y x y ---=的两根，根据求根公式，可得0002y b c -=，故PMN ∆的面积为 1(2S =b c -2222000000000000011112221114444)2121211112121212242222y yy y yx y y y y y y y y y y -+=====++=-+++=-------，当且仅当01y =等号成立．此时点P 的坐标为(1)或(，1)，综上所述，当点P 的坐标为(1)或(，1)，时，PMN ∆的面积取最小值210．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，直线:(0)l y kx a a =+>与抛物线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）若直线l 过焦点F ，且与圆22(1)1x y +-=交于D ，E （其中A ，D 在y 轴同侧），求证：||||AD BE 是定值；（Ⅰ）设抛物线C 在A 和B 点的切线交于点P ，试问：y 轴上是否存在点Q ，使得APBQ 为菱形？若存在，请说明理由并求此时直线l 的斜率和点Q 的坐标．【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立24x y =与y kx a =+有2440x kx a --=，则△216()0k a =+>，且124x x k +=，124x x a =-．（Ⅰ）由抛物线的定义有1||1AF y =+，2||1BF y =+，则1||||1AD AF y =-=，2||||1BE BF y =-=，22212121212||||(1)(1)()14411AD BE y y kx kx k x x k x x k k ==++=+++=-++=，即可；（Ⅰ）当直线l 的斜率为0，且(0,3)Q a 时APBQ 为菱形．理由如下方法一：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(0,)Q y ，若APBQ 为菱形，可得1012201211,22y y x x y y x x -=-=， 则12y y =，0k ∴=，∴(),)A a B a -，则抛物线C在()A a -处的切线为y a =-，抛物线C在)B a处的切线为y a =- 可得(0,)P a -，又AB 的中点为(0,)R a ，所以(0,3)Q a方法二：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(0,)Q y ，由24x y =有214y x =，则12y x '=， 若APBQ 为菱形，则1012201211,22y y x x y y x x -=-=，则12y y =，0k ∴= 此时直线:AB y kx a a =+=，则012111(4)322y x x y a a a =-+=--+=，即(0,3)Q a【解答】解：抛物线2:4C x y =的焦点(0,1)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立24x y =与y kx a =+有2440x kx a --=， 则△216()0k a =+>，且124x x k +=，124x x a =-．（Ⅰ）若直线l 过焦点F ，则1a =，则124x x k +=，124x x =-． 由条件可知圆22(1)1x y +-=圆心为(0,1)F ，半径为1， 由抛物线的定义有1||1AF y =+，2||1BF y =+， 则1||||1AD AF y =-=，2||||1BE BF y =-=，22212121212||||(1)(1)()14411AD BE y y kx kx k x x k x x k k ==++=+++=-++=，（或2222111212()(4)||||1)441616x x x x AD BE y y -=====即||||AD BE 为定值，定值为1．（Ⅰ）当直线l 的斜率为0，且(0,3)Q a 时APBQ 为菱形．理由如下： 方法一：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(0,)Q y ，由24x y =有214y x =，则12y x '=， 若APBQ 为菱形，则//AQ BP ，//BQ AP ，则1020211211,22AQBQ y y y y k x k x x x --====，即1012201211,22y y x x y y x x -=-=， 则12y y =，0k ∴=，∴(),)A a B a -，则抛物线C在()A a -处的切线为y a x -=+，即y a =-⋯① 同理抛物线C在)B a处的切线为y a =-⋯② 联立①②(0,)P a -．又AB 的中点为(0,)R a ，所以(0,3)Q a ．方法二：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(0,)Q y ，由24x y =有214y x =，则12y x '=， 若APBQ 为菱形，则//AQ BP ，//BQ AP ， 则1020211211,22AQ BQ y y y y k x k x x x --====，即1012201211,22y y x x y y x x -=-=， 则12y y =，0k ∴=，此时直线:AB y kx a a =+=，则012111(4)322y x x y a a a =-+=--+=所以(0,3)Q a ．。