高考名校押题卷_2015届河北省唐山市高三第二次模拟考试 数学(理)(扫描版)

河北省唐山市2015届高三摸底考试数学〔理〕试题说明：1．本试卷分为第1卷和第2卷，第1卷为选择题，第2卷为非选择题，分为必考和选考两个局部.2．答题前请仔细阅读答题卡上的“须知事项〞，按照“须知事项〞的规定答题.3．做选择题时，每一小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的项目符号涂黑，如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案.4．考试完毕后，将本试卷与原答题卡一并交回.第1卷一、选择题(本大题共12小题，每一小题5分，共60分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1、集合M ＝{x |x ≥－1}，N ＝{x |2－x 2≥0}，如此M ∪N ＝( )A .[－1，＋∞)B .[－1]C .[，＋∞)D .(]∪[－1，＋∞)2、复数z ＝1312i i-+，如此( )A .|z |＝2B .z 的实部为1C .z 的虚部为－iD .z 的共轭复数为－1＋i3、函数f (x )＝222x x--是( )A .偶函数，在(0，＋∞)是增函数B .奇函数，在(0，＋∞)是增函数C .偶函数，在(0，＋∞)是减函数D .奇函数，在(0，＋∞)是减函数4、抛物线y ＝2ax 2(a ≠0)的焦点是( )A .(2a ，0)B .(2a ，0)或(－2a ，0)C .(0，18a)D .(0，18a)或(0，－18a)5、1sin()44x π-=，如此sin 2x 的值为( )A .78B .916C .1516D .1516±6、高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，甲乙相邻，如此甲丙相邻的概率为( )A .13B .23C .12D .167、设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，如此|a －tb |(t ∈R )的最小值为( )A .32B .12C .1D .28、a ＞0，x ，y 王满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，且z ＝2x ＋y 的最小值为1，如此a ＝( )A .1B .2C .14D .129、执行如下列图的程序框图，如此输出的a ＝( )A .5B .54C .14-D .4510、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移2π个单位长度，所得图象关于6x π=对称，如此ω的最小值是( )A .6B .23C .94D .3411、a ＞0，且a ≠1，如此函数f (x )＝a x ＋(x －1)2－2a 的零点个数为( )A .1B .2C .3D .与a 有关12、某几何体的三视图如下列图，如此该几何体的外接球的球面面积为( )A .5πB .12πC .20πD .8π第2卷二、填空题：本大题共4小题，每一小题5分，共20分 13、8(2)x y -的展开式中62x y 的系数是___________.14、实数x ，y 满足x ＋2y ＝2，如此3x＋9y的最小值是________________.15、双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线l ：30x y +=垂直，C 的一个焦点到l 的距离为1，如此C 的方程为__________________. 16、在△ABC 中，2AB =，点D 在边BC 上，2BD DC =，310cos 10DAC ∠=，25cos 5C ∠=，如此AC ＋BC ＝_________________.三、解答题：本大题共70分，其中(17)－(21)题为必考题，(22)，(23)，(24)题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

唐山市2014-2015学年度高三年级第一次模拟考试理 科 数 学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知全集{}2U 1x x =>，集合{}2430x x x A =-+<，则U A =ð（ ） A ．()1,3 B ．()[),13,-∞+∞ C ．()[),13,-∞-+∞ D ．()(),13,-∞-+∞ 2、221i i ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ）A ．2i -B ．4i -C ．2iD ．4i 3、已知抛物线的焦点()F ,0a （0a <），则抛物线的标准方程是（ ）A ．22y ax =B ．24y ax =C ．22y ax =-D ．24y ax =-4、命题:p x ∃∈N ，32x x <；命题:q ()()0,11,a ∀∈+∞，函数()()log 1a f x x =-的图象过点()2,0，则（ ） A ．p 假q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 假 D ．p 真q 真5、执行右边的程序框图，则输出的A 是（ ） A ．2912 B ．7029 C ．2970 D ．169706、在直角梯形CD AB 中，//CD AB ，C 90∠AB =，2C 2CD AB =B =，则co s D C ∠A =（ ）A B C D 7、已知2sin 21cos 2αα=+，则tan 2α=（ ）A ．43-B ．43C ．43-或0D ．43或08、32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ）A ．8-B ．12-C ．20-D ．20 9、函数()sin 2cos f x x x =+的值域为（ ）A ．⎡⎣B ．[]1,2C ．⎡⎣D ．⎤⎦10、F 是双曲线C :22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若2F F A =B ，则C 的离心率是（ ）A B ．2 C ．3 D ．311、直线y a =分别与曲线()21y x =+，ln y x x =+交于A ，B ，则AB 的最小值为（ ）A ．3B ．2CD ．3212、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．4B ．21C ．12D 12+ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、已知()1,3a =-，()1,b t =，若()2a b a -⊥，则b = ．14、为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为ˆ0.850.25yx =-．由以上信息，得到下表中c 的值为 ．天数t （天）3 4 5 6 7 繁殖个数y （千个）2.5 3 4 4.5 6 15、在半径为2的球面上有不同的四点A ，B ，C ，D ，若C D 2AB =A =A =，则平面CD B 被球所截得图形的面积为 ．16、已知x ，R y ∈，满足22246x xy y ++=，则224z x y =+的取值范围为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()11n n q S qa -+=，且()10q q -≠．()I 求{}n a 的通项公式；()II 若3S ，9S ，6S 成等差数列，求证：2a ，8a ，5a 成等差数列．18、（本小题满分12分）小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．()I 若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；()II 若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望．19、（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111C C AB -A B 中，侧面11CC A A 与侧面11C C BB 都是菱形，111CC CC 60∠A =∠B =，C 2A =．()I 求证：11CC AB ⊥；()II 若1AB =11C -AB -A ．20、（本小题满分12分）已知圆:O 224x y +=，点)A ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ．()I 求曲线Γ的方程；()II 直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 的中点时，求直线AB 的方程．21、（本小题满分12分）已知函数()()212x x f x e +=-，()()2ln 1x g x x e -=++．()I ()1,x ∈-+∞时，证明：()0f x >；()II 0a >，若()1g x ax ≤+，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，圆周角C ∠BA 的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦C A 的延长线交于点E ，D A 交C B 于点F ． ()I 求证：C//D B E ；()II 若D ，E ，C ，F 四点共圆，且C C A =B ，求C ∠BA ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C :22143x y +=，直线:l 3x y t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）． ()I 写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；()II 设()1,0A ，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x a x =-++．()I 当1a =时，解不等式()3f x <； ()II 若()f x 的最小值为1，求a 的值．参考答案一、选择题：1、C2、A3、B4、A5、B6、B7、D8、C9、A 10、C 11、D 12、C 二、填空题： 13、 514、615、16π16、[4，12]三、解答题：17、解：（Ⅰ）当n ＝1时，由(1－q )S 1＋qa 1＝1，a 1＝1．当n ≥2时，由(1－q )S n ＋qa n ＝1，得(1－q )S n －1＋qa n －1＝1，两式相减得a n ＝qa n －1， 又q (q －1)≠0，所以{a n }是以1为首项，q 为公比的等比数列，故a n ＝q n －1． …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S n ＝1－a n q 1－q ，又S 3＋S 6＝2S 9，得1－a 3q 1－q ＋1－a 6q 1－q ＝2(1－a 9q )1－q，化简得a 3＋a 6＝2a 9，两边同除以q 得a 2＋a 5＝2a 8． 故a 2，a 8，a 5成等差数列． …12分18、解：（Ⅰ）设“甲恰得一个红包”为事件A ，P (A )＝C 12× 1 3× 2 3＝ 4 9．…4分（Ⅱ）X 的所有可能值为0，5，10，15，20．P (X ＝0)＝(2 3)2× 2 3＝827，P (X ＝5)＝C 12× 13×(2 3)2＝827，P (X ＝10)＝(13)2× 2 3＋( 23)2× 13＝627， P (X ＝15)＝C 12×( 13)2×23＝427，P (X ＝20)＝( 13)3＝127． …10分X 的分布列：E (X )＝0×827＋5×827＋10×627＋15×427＋20×127＝203．…12分 19、解：（Ⅰ）证明：连AC 1，CB 1，则 △ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形． 取CC 1中点O ，连OA ，OB 1，则 CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1，则CC 1⊥平面OAB 1，则CC 1⊥AB 1． …4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1＝3，又AB 1＝6，所以OA ⊥OB 1．如图所示，分别以OB 1，OC 1，OA 为正方向建立空间直角坐标系， 则C (0，－1，0)，B 1(3，0，0)，A (0，0，3)， …6分设平面CAB 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 因为AB 1→＝(3，0，－3)，AC →＝(0，－1，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3×x 1＋0×y 1－3×z 1＝0，0×x 1－1×y 1－3×z 1＝0，取m ＝(1，－3，1)． (8)分设平面A 1AB 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 因为AB 1→＝(3，0，－3)，AA 1→＝ (0，2，0)，所以⎩⎨⎧3×x 2＋0×y 2－3×z 2＝0，0×x 1＋2×y 1＋0×z 1＝0，取n ＝(1，0，1)．…10分则cosm ，n＝m ·n |m ||n |＝25×2＝105，因为二面角C -AB 1-A 1为钝角， 所以二面角C -AB 1-A 1的余弦值为－105．…12分 20、解：（Ⅰ）设AB 的中点为M ，切点为N ，连OM ，MN ，则|OM |＋|MN |＝|ON |＝2，取A 关于y 轴的对称点A ， 连A B ，故|A B |＋|AB |＝2(|OM |＋|MN |)＝4．所以点B 的轨迹是以A ，A 为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1，则曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1． …5分（Ⅱ）因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ， 则OB →⊥AB →．设B (x 0，y 0)，则x 0(x 0－3)＋y 02＝0． …7分 又x 024＋y 02＝1 解得x 0＝23，y 0＝±23．则k OB ＝±22，k AB ＝2， …10分 则直线AB 的方程为y ＝±2(x －3)， 即x －y －6＝0或2x ＋y －6＝0． …12分21、解：（Ⅰ）令p (x )＝f (x )＝e x －x －1，p (x )＝e x －1，在(－1，0)内，p (x )＜0，p (x )单减；在(0，＋∞)内，p (x ) ＞0，p (x )单增． 所以p (x )的最小值为p (0)＝0，即f (x )≥0，所以f (x )在(－1，＋∞)内单调递增，即f (x )＞f (－1)＞0． …4分（Ⅱ）令h (x )＝g (x )－(ax ＋1)，则h (x )＝ 2x ＋1－e －x －a ，令q (x )＝ 2x ＋1－e －x －a ，q (x )＝ 1e x － 2(x ＋1)2．由（Ⅰ）得q (x )＜0，则q (x )在(－1，＋∞)上单调递减． …6分 （1）当a ＝1时，q (0)＝h (0)＝0且h (0)＝0．在(－1，0)上h (x )＞0，h (x )单调递增，在(0，＋∞)上h '(x )＜0，h (x )单调递减， 所以h (x )的最大值为h (0)，即h (x )≤0恒成立． …7分 （2）当a ＞1时，h (0)＜0，x ∈(－1，0)时，h (x )＝ 2x ＋1－e －x －a ＜ 2x ＋1－1－a ＝0，解得x ＝1－a a ＋1∈(－1，0)．即x ∈(1－aa ＋1，0)时h (x )＜0，h (x )单调递减，又h (0)＝0，所以此时h (x )＞0，与h (x )≤0恒成立矛盾． …9分 （3）当0＜a ＜1时，h (0)＞0，x ∈(0，＋∞)时，h (x )＝ 2x ＋1－e －x －a ＞ 2x ＋1－1－a ＝0，解得x ＝1－a a ＋1∈(0，＋∞)．A即x ∈(0，1－aa ＋1)时h (x )＞0，h (x )单调递增，又h (0)＝0，所以此时h (x )＞0，与h (x )≤0恒成立矛盾．…11分 综上，a 的取值为1．…12分22、解：（Ⅰ）证明：因为∠EDC ＝∠DAC ，∠DAC ＝∠DAB ，∠DAB ＝∠DCB ， 所以∠EDC ＝∠DCB ， 所以BC ∥DE ． …4分 （Ⅱ）解：因为D ，E ，C ，F 四点共圆，所以∠CFA ＝∠CED 由（Ⅰ）知∠ACF ＝∠CED ，所以∠CFA ＝∠ACF ． 设∠DAC ＝∠DAB ＝x ， 因为AC ⌒＝BC ⌒，所以∠CBA ＝∠BAC ＝2x ， 所以∠CFA ＝∠FBA ＋∠FAB ＝3x ，在等腰△ACF 中，π＝∠CFA ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则x ＝π7，所以∠BAC ＝2x ＝2π7． …10分23、解：（Ⅰ）C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ（θ为为参数），l ：x －3y ＋9＝0．…4分（Ⅱ）设P (2cos θ，3sin θ),则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92． 由|AP |＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝ 35， cos θ＝－ 45．故P (－ 8 5， 335)．…10分24、解：（Ⅰ）因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ， x ≤－1；－x ＋2，－1≤x ≤12；3x ， x ≥12且f (1)＝f (－1)＝3，所以，f (x )＜3的解集为{x |－1＜x ＜1}； …4分（Ⅱ）|2x －a |＋|x ＋1|＝|x － a 2|＋|x ＋1|＋|x － a 2|≥|1＋ a 2|＋0＝|1＋ a2|当且仅当(x ＋1)(x － a 2)≤0且x － a2＝0时，取等号． 所以|1＋ a2|＝1，解得a ＝－4或0．…10分AD BFCE。

2015年河北省保定市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题1．设集合{}2,x B y y x ==∈R ,{}2A x x =≤，则A B = _____. A ．(]0,2 B ．[)2,2- C ．[)0,2D ．[)2,∞+答案:A考点：交集及其运算． 专题：集合．分析：根据题意，解2x ≤可得集合，B 为函数2x y =的值域，由指数函数的性质可得集合B ，进而由交集的意义，计算可得答案．解答：解：根据题意，集合{}()00,B y y =>=∞+，集合[]{22,2A x x ==-≤， 则(]0,2A B = ；故选：A ．点评：本题考查集合的交集的运算，关键是由集合的意义正确求出集合A 、B ．2．已知复数21z =-+i，则下列判断正确的是_______.A ．z 的实部为1 B.z C ．z 的虚部为i - D ．z 的共轭复数为1i + 答案：B考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数．分析：通过化简复数z 即得结论．解答：解：()()()221i 222i 1i 1i 1i 1i 1i z ----====-------++，z ∴=故选：B ．点评：本题考查复数的相关知识，注意解题方法的积累，属于基础题．3．已知向量()1,a k = ,()4,2b =-,a b +与a 垂直，那么k 的值为_____.A ．2-B ．1C ．3-或1D ．2或3 答案：C考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用．分析：先求向量a b +的坐标，由a b +与a 垂直即可得到()0a b a ⋅=+，进行数量积的坐标运算即可求出k ．解答：解：()3,2a b k =-++； a b +与a垂直； ()()320a b a k k ∴⋅=-=+++；解得k=11k =或3-． 故选C ．点评：考查向量坐标的加法运算，数量积运算，以及非零向量垂直的充要条件，解一元二次方程．x 与y 线性相关，数据如表：则y 与x 的线性回归方程 y bxa = +必过点______.B.()2,6 C ． ()3,7 D ．()1.5,4答案：D考点：线性回归方程． 专题：概率与统计．分析：本题是一个线性回归方程，这条直线的方程过这组数据的样本中心点，因此计算这组数据的样本中心点，做出x 和y 的平均数，得到结果．解答：解：由题意知，y 与x 的线性回归方程 y bxa = +必过样本中心点， ()13012342x == +++,()1126744y ==+++， y ∴与x 的线性回归方程 y bxa = +必过点()1.5,4． 故选：D点评：本题考查的知识点是线性回归方程，熟练掌握回归直线过这组数据的样本中心点，是解答的关键．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为_______A ．7B ．8C ．9D ．10 答案;D考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2222=1234S --++的值， 2222123410S =--= ++ 故选：D ．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知749S =，则2a ，6a 的等差中项_______.A.492 B ．7 C ．7± D ． 72 答案：B考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由749S =结合等差数列的性质求得47a =，再由等差中项的概念列式求解2a ，6a 的等差中项． 解答：解：在等差数列{}n a 中，由749S =，得：47a =，2a ∴，6a 的等差中项是47a =． 故选：B ．本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，关键是由749S =求得4a ，是基础题． 7．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是2，则正视图中的x =_______.俯视图A．2C．415D．45答案：A考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积()11232S2=⨯=+，高h x=，故棱锥的体积1=23V Sh x==，故选：A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8．若变量x，y满足约束条件42,0x yx yx0y⎧⎪-⎨⎪⎩+≤≤≥≥，则点()3,4到点(),x y的最小距离为_______.A．3BCD答案:C考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，再由点到直线的距离公式求得点()3,4到点(),x y的最小距离．解答：解：由约束条件420,0x yx yx y⎧⎪-⎨⎪⎩+≤≤≥≥作出可行域如图，4点()3,4到点(),x y的最小距离为()3,4P到直线40x y-=+的距离．=．故选：C．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线都与圆()22x c y ac -=+（c 双曲线的离心率为________.A B C ．2 D答案：D考点：双曲线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与()22x c y ac -=+相切，可得圆心(),0c 到渐近线的距离d r =，利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：取双曲线的渐近线by x a=y ，即0bx ay -=．双曲线()222210.0x y a b a b-=>>的渐近线与()22x c y ac -=+相切，∴圆心(),0c 到渐近线的距离d r =，=2b ac =，两边平方得22ac c a =-，化为2e e 1=0--．e>1 ,∴故选D ．点评：本题考查了双曲线的渐近线及其离心率、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质扥个基础知识与基本技能方法，属于中档题．10．已知ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且8b c =+，tan 21tan A cB b=+，则ABC△面积的最大值为________.A ．4B ．CD ．12 答案：B考点：余弦定理．菁优网版权所有 专题：解三角形．分析：tan 21tan A c B b =+，利用同角三角函数基本关系式、两角和差公式、正弦定理可得1cos =2A ，可得sinA =8b c =+≥1sin 2S bc A =△ABC 即可得出．解答：解：tan 21tan A c B b = +，sin cos cos sin sin 2sin sin cos sin cos sin B A B A C C B A B A B ∴==+，化为1cos 2A =，sin A ∴==．8b c = +≥，化为16bc ≤，当且仅当时取等号．1sin 2ABC S bc A ∴==△≤故选：B ．点评：本题考查了正弦定理、两角和差公式、同角三角函数基本关系式、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知函数()21sin cos 2f x x x x x =-+，则其导函数()'f x 的图象大致是_______.A．B． C．D． 答案：C考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：先求导，再根据函数的奇偶性排除A ，C ，再根据函数值得变化趋势得到答案．解答：解： ()21sin cos 2f x x x x =- +x ，()21'cos cos 2f x x x x ∴=+，()()()()()2211'cos cos cos cos '22f x x x x x x x f x ∴-=---==++，∴其导函数()'f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A ，C ， 当x →∞+时，()'f x →∞+，故排除D ，故选：C ．点评：本题考查了导数的运算法则和函数图象的识别，属于中档题．12．已知函数()()320f x ax bx cx d a =≠+++，设()'f x 是函数()f x 的导函数，()''f x 是函数()'f x 的导函数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．任何一个三次函数都有“拐点”，且其“拐点”恰好就是该函数的对称中心，设函数()2211533212f x x x x =--+，则12201420152016201620162016f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++++___________. A ．2016 B ．2015 C ．2014 D ．1007.5 答案：B考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据函数()f x 的解析式求出()'f x 和()''f x ，令()'0f x =，求得x 的值，由此求得函数()f x 的对称中心，得到()()12f x f x -=+，即可得出． 解答：解：依题意，得：()()12f x f x -=+， ()''21f x x ∴=-．由()''0f x =，即210x -=．12x ∴=，112f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， ()2211533212f x x x x ∴=--+，的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭,()()12f x f x ∴-=+，122014201520152016201620162016f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++++．故选：B ．点评：本题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，函数的对称性的应用，属于中档题．二、填空题13．已知命题P 为：“x ∃∈R ，0x ≤”，则P ⌝为：_______．答案：x ∀∈R ,0x > 考点：命题的否定． 专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题P 为：“x ∀∈R ,0x >”，则P ⌝为：x ∀∈R ，x >．故答案为：x ∀∈R ，0x >．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．14．二项式212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，则展开式的第3项的系数为_____.答案：80考点：二项式系数的性质． 专题：二项式定理．分析：由展开式中第3项与第4项的二项式系数相等可得23n nC C =，从而求得n 值，再代入通项得答案． 解答：解：由题意可得23n nC C =，5n ∴=． 则展开式的第3项的系数为()2235802180C =⋅⋅-=．故答案为：80．点评：本题考查二项式系数的性质，关键是区分项的系数和二项式系数，是基础题．15．已知圆()()22:355C x y --=+，过圆心C 直线1交圆于A 、B 两点，交y 轴于点P ，且2P A P B = ，则直线1的方程为______或________． 答案：210x y --=或2110x y -=+ 考点：直线和圆的方程的应用． 专题：直线与圆．分析：由已知中过圆心C 作直线l 交圆于A 、B 两点，交y 轴O 于点P ，且2P A P B = ，可得PA AB =，即3PC BC ==P 点坐标，代入两点式，可得答案．解答：解： 过圆心C 作直线l 交圆于A 、B 两点，交y 轴于点P ，且2PA PB =，PA AB ∴= ，即3PC BC ==设P 点坐标为()0,b ，，解得：11b =，或1b =-，故直线l 的方程为：1351x y =++或113511x y -=-，即210x y --=或2110x y -=+，故答案为：210x y --=或2110x y -=+点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，两点间距离公式，直线的方程，难度不大，属于基础题．16．三棱锥的四个面中，设Rt △的个数为n ，若当n 取最大值时，该三棱锥的最大棱长为()212n n -+，则该三棱锥外接球的表面积为_______． 答案：81π考点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出图形，可知三棱锥P ABC -的四个面中，Rt △的个数n 的最大值为4，结合直径所对圆周角为直角可知最大棱PC 为三棱锥外接球的直径，则该三棱锥外接球的表面积可求．解答：解：如图，OCA P三棱锥P ABC -的四个面中，Rt △的个数n 的最大值为4， 此时PA ⊥面ABC ，90ABC ∠=，则90PBC ∠=， 三棱锥的最大边为PC ，由题意可得24529PC =-=，其外接球的半径为1922PC =，∴外接球的表面积为294π81π2S ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭．故答案为：81π．点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题． 三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q 的等比数列{}n b 的首项12，且123a q =+，2246a b =+，540S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ；（2）求数列1111n n n n a a b b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+++的前n 项和n T ．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（1）运用等差数列的通项和求和公式及等比数列的通项，列方程，解得即可得到所求通项； （2）化简所求数列，结合裂项相消求和和等比数列的求和公式，化简整理即可得到． 解答： 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 则1112326545402a q a d q a d ⎧⎪=⎪=⎨⎪⨯⎪=⎩++++，解得12312a d q ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩， 所以()23131n a n n =-=-+，1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）2111111111111112333132n n n n n n n n n a a b b a a b b n n ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+++++++++， 即有()()2381411111111111=283255831321432323nn n T n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ++++++++23115=23322n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭++． 点评：本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 18．钓鱼岛及其附近海域自古以来就是中国人民进行捕鱼、避风、休息的场所，被誉为深海中的翡翠．某学校就钓鱼岛有关常识随机抽取了16名学生进行测试，用“10分制”以茎叶图方式记录了他们对钓鱼岛的了解程度，分数以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶． （1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若所得分数不低于9.5分，则称该学生对钓鱼岛“非常了解”．求从这16人中随机选取3人，求至多有1人“非常了解”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计该所学校学生的总体数据，若从该所学校（人数可视为很多）任选3人，记ξ表示抽到“非常了解”的人数，求ξ的分布列及数学期望．9955887776666603987得分考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 专题：概率与统计．分析：（1）利用茎叶图的数据得出众数：8.6； 中位数：8.78.8=8.752+，（2）判断出概率类型为古典类型，运用排列知识求解即可()()()3121241201331616C C CP A P A P A C C ==++（3）方法1：判断运用对立重复试验，求解概率，得出分布列，求解数学期望即可．方法2：直接运用则1~3,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得出数学期望()134E ξ=⨯．解答：解：（1）众数：8.6； 中位数：8.78.88.752=+，（2）设i A 表示所取3人中有i 个人对钓鱼岛“非常了解”，至多有1人对钓鱼岛“非常了解”记为事件A ，则()()()3121241201331616121140C C C P A P A P A C C ===++；（3）ξ的可能取值为0，1，2，3．()33270464P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()213132714464P C ξ⎛⎫===⨯⨯= ⎪⎝⎭；()22313924464P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；()3113464P ξ⎛⎫==== ⎪⎝⎭所以ξ的分布列为：()279101230.2764646464E ξ=⨯⨯⨯⨯=+++，另解：ξ的可能取值为0，1，2，3．则1~3,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()331344k kkP k C ξ-⎛⎫⎛⎫==⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以()130.754E ξ=⨯=．点评：本题考查了离散型的概率分布问题，数学期望的求解，考查了学生的阅读分析能力，计算能力，属于中档题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，22AD CD AB ===，PA AD ⊥，AB CD ∥，CD AD ⊥，E 为PC 的中点，且DE EC =．（1）求证：PA ⊥面ABCD ；（2）设PA a =，若平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角ππ,43θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求a 的取值范围．DEPCA考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角． 分析：（1）证明CD ⊥平面PAD ，可得CD PA ⊥，利用PA AD ⊥,AD CD D = ，可以证明PA ⊥面ABCD ； （2）以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角ππ,43θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可求a 的取值范围． 解答：（1）证明：E 为PC 的中点，DE EC PE -=,PD DC ∴⊥,CD AD ⊥ ,PD AD D = , CD ∴⊥平面PAD ， PA ⊂ 平面PAD ， CD PA ∴⊥，PA AD ⊥ ,AD CD D = PA ∴⊥面ABCD ；…（2）解：以AB 所在直线为x x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间坐标系， ()1,0,0B ,()0,2,0D ,()0,0,P a ，()2,2,0C ，1,1,2a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭…平面BCD 法向量()10,0,1n = ，平面EBD 法向量()22,,2n a a =-…1cos ,2θ⎛=⎝⎭，可得,a ∈⎝⎭… 点评：本题考查了线面垂直的判定，考查了利用空间向量求二面角的大小，解答的关键是建立正确的空间坐标系，该题训练了学生的计算能力，是中档题．20．如图，已知()22:41M x y -= +和抛物线2:=2C y px （0p >，其焦点为F ），且15,04FM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，过抛物线C 上一点()()000,1H x y y ≥作两条直线分别与M 相切于A 、B 两点． （1）求抛物线C 的方程；（2）求直线AB 在y 轴上的截距的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质． 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求得抛物线的焦点和圆的圆心，由条件可得圆心M 到抛物线C 的焦点的距离为154，即可得到抛物线方程；（2）设出H 的坐标，由中点坐标公式和直径式圆的方程可得M H 为直径的圆，运用和已知圆相减，可得AB 的方程，再令0x =，可得截距的表达式，由函数的单调性，即可得到最小值． 解答：解：（1）由题意知M 的圆心M 的坐标为()4,0， 抛物线C 的焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由15,04FM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，圆心M 到抛物线C 的焦点的距离为154，即15424p -=，解得12p =， 从而抛物线C 的方程为2y x =；（2）由（1）知，设点()200,H y y ， 则HM 的中点2004,22y y ⎛⎫⎪⎝⎭+，以HM 为直径的圆为()222222000044224y y y y x y y -⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++① ()22:41M x y -= + ②①-②线AB 的方程为()2200044150y x y y y ---=+，令0x =，得直线AB 在y 轴上的截距为()2000004151541y d y y y y -==-≥ 函数()000154f y y y =-在[)1,∞+为单调递增函数， ∴直线AB 在y 轴上的截距的最小值为1541111⨯-=-． 点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线方程的运用，同时考查圆的方程的运用，由四点共圆和两元方程相减得到相交弦方程是解题的关键，属于中档题．21．设函数()22πe min xf x x x x=-+（1）若0m ≤，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x f 在()0,2内存在两个极值点，求m 的取值范围． 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 专题：综合题；导数的综合应用． 分析：（1）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（2）函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，等价于它的导函数()'f x 在()0,2内有两个不同的零点． 解答：解：（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()3e 2'xmx x f x x --=．… 当0m ≤时，e 0x mx -<，所以当02x <<时， ()'0f x >，()f x 单调递增；…2x >时，()'0f x <，()f x 单调递减． 综上：()f x 的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,∞+．…（2）若0m ≤时，由（1）知，函数()f x 在()0,2内单调递增，故()f x 在()0,2（内不存在极值点；… 当0m >时，设函数()()()e 0,2x g x mx x =-∈．因为()'e x g x m =-，①当001m <≤时，()0,2x ∈，()'0g x <，()()01g x g ∴<=-，()'0f x >，()f x 单调递增， 故()f x 在()0,2内不存在两个极值点．②当1m >时，()0,ln x m ∈时，()'0g x >，函数()y g x =单调递增，()ln ,x m ∈∞+时，()'0g x <，函数()y g x =单调递减，∴函数()y g x =的最大值为()()ln ln 1g m m m =-．…函数()f x 在()0,2内存在两个极值点．当且仅当()()()00ln 0200ln 2g g m g m ⎧<⎪>⎪⎨<⎪⎪<<⎩解得2e e<m<2． 综上所述，函数()f x 在()0,2内存在两个极值点时，m 的取值范围为2e e ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．… 点评：本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想．是一道导数的综合应用题．属于中档题．请从22、23、24三题中任选一题作答。

河北省唐山市高考数学第二次模拟试卷文（扫描版）唐山市2014—2015学年度高三年级第二次模拟考试文科数学参考答案一、选择题：A 卷：CDDABC BDAB AC B 卷：CDADC C BDAB AB 二、填空题：（13）x －y ＋1＝0；（14）150°；（15）2027；（16）20π．三、解答题： （17）解：（Ⅰ）因为2ac cos B ＝a 2＋c 2－b 2，所以2(a 2－b 2)＝a 2＋c 2－b 2＋bc ．整理得a 2＝b 2＋c 2＋bc ，所以cos A ＝－ 1 2，即A ＝2π3． …4分（Ⅱ）因为∠DAB ＝ π 2，所以AD ＝BD ·sin B ，∠DAC ＝ π6． …6分在△ACD 中，有AD sin C ＝CDsin ∠DAC，又因为BD ＝3CD ， 所以3sin B ＝2sin C ，…9分 由C ＝ π 3－B 得3sin B ＝3cos B －sin B ，…11分整理得tan B ＝34．…12分（18）解：（Ⅰ）证明：取PD 中点E ，连AE ，EM ， 则EM ∥AN ，且EM ＝AN ，四边形ANME 是平行四边形，MN ∥AE ．由PA ＝AD 得AE ⊥PD ，故MN ⊥PD ．又因为MN ⊥CD ，所以MN ⊥平面PCD ，则MN ⊥PC ，PN ＝CN ． …6分 （Ⅱ） 设M ，N ，C ，A 到平面PBD 的距离分别 为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 3＝2d 1，d 4＝2d 2， 由V A －PBD ＝V C －PBD ，得d 3＝d 4，则d 1＝d 2， 故MF ∶FN ＝d 1∶d 2＝1∶1． …12分 （其它解答参照给分） （19）解：（Ⅰ）K 2＝560(80×200－40×240)2120×440×320×240≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关． …4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中、小企业数之比为1∶ 3， 按分层抽样得到的8家中，中、小企业分别为2家和6家，分别记为A 1，A 2，BA B N结果总数是56，符合条件的有24种结果．(若用树状图列式是： 1228)从8家中选2家，中、小企业恰各有一家的概率为2456 ＝ 37． …12分（20）解：（Ⅰ）m ：y ＋1＝k (x －a )，n ：y ＋1＝－k (x －a )，分别代入x 2＝4y ，得 x 2－4kx ＋4ka ＋4＝0 ①，x 2＋4kx －4ka ＋4＝0 ②， …2分由Δ1＝0得k 2－ka －1＝0，由Δ2＞0得k 2＋ka －1＞0， …4分故有2k 2－2＞0，得k 2＞1，即k ＜－1或k ＞1． …6分（Ⅱ）F (0，1)，k AF ＝－2a＝－k ，所以ak ＝2． …8分由Δ1＝0得k 2＝ka ＋1＝3，B (2k ，k 2)，所以B 到n 的距离d ＝|3k 2－ak ＋1|1＋k 2＝|3k 2－1|1＋k2＝4 …12分 (其它解法参照得分) （21）解：（Ⅰ）f '(x )＝1－1x 2＋ a x ＝x 2＋ax －1x 2．t ＝a 2＋4－a2＞0， …2分当x ∈(0，t )时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(t ，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增． …4分 由f '(t )＝0得 a ＝ 1t－t ．…6分（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知f (x )的极小值为g (t )＝t ＋ 1 t ＋( 1t－t )ln t ，则g ( 1 t )＝ 1 t ＋t ＋(t － 1 t ) ln 1 t ＝t ＋ 1 t ＋( 1 t－t )ln t ＝g (t ) ． …8分（ⅱ）g '(t )＝－(1＋1t2)ln t ，…9分当t ∈(0，1)时，g '(t )＞0，f (t )单调递增；当t ∈(1，＋∞)时，g '(t )＜0，g (t )单调递减． …10分 又g (1e 2)＝g (e 2)＝3e 2－e 2＜0，g (1)＝2＞0，分别存在唯一的c ∈(1e2，1)和d ∈(1，e 2)，使得g (c )＝g (d )＝0，且cd ＝1， 所以y ＝g (t )有两个零点且互为倒数． …12分 （22）解：（Ⅰ）证明：因PB ，PC 分别与圆O 相切于B ，C 两点， 所以PB ＝PC ，且PO 平分∠BPC ，所以PO ⊥BC ，又AC ⊥BC ，即AC ∥OP ． …4分 （Ⅱ）由PB ＝PC 得PD ＝PB ＋CD ＝5， 在Rt △PBD 中，可得BD ＝4．则由切割线定理得DC 2＝DA • DB ，得DA ＝1，因此AB ＝3． …10分（23）解：（Ⅰ）曲线C 是以(a ，0)为圆心，以a 为半径的圆；l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由直线l 与圆C 相切可得|a －3|2＝a ，解得a ＝1.…4分（Ⅱ）不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋ π 3，则|OA |＋|OB |＝2cos θ＋2cos (θ＋ π3)＝3cos θ－3sin θ＝23cos (θ＋ π6)，当θ＝－ π6时，|OA |＋|OB |取得最大值2 3.…10分（24）解：（Ⅰ）当x ≤－1时，f (x )＝3＋x ≤2；当－1＜x ＜1时，f (x )＝－1－3x ＜2； 当x ≥1时，f (x )＝－x －3≤－4．故当x ＝－1时，f (x )取得最大值m ＝2． …4分 （Ⅱ）a 2＋2b 2＋c 2＝(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＝2(ab ＋bc )，当且仅当a ＝b ＝c ＝22时，等号成立．此时，ab ＋bc 取得最大值1． …10分。

2015年河北省唐山市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合{}1,0,1,2,3,A =-，{}220B x x x =->，则A B = _______. A ． {}3 B ．{}2,3C ．{}1,3-D ．{}0,1,2答案：C考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B 中不等式的解集确定出B ，找出A 与B 的交集即可．解答：解：由B 中不等式变形得：()20x x ->，解得：0x <或2x >，即{}02B x x x <>或，{}1,0,1,2,3A =- ，{}1,3A B ∴=- ， 故选：C ．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数z 与5i 2-的对应点关于虚轴对称，则z =______ A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i --答案:B考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解答：解：()()()()52i 52i 52i i 22i 2i 5----===------ +， 又复数z 与5i 2-的对应点关于虚轴对称， 则z=2﹣i i 2z =-．故选：B ．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n {}n a 中，78a =，前7项和742S =，则其公差是_______. A ． 13- B ．13 C ．23- D ．23 考点：等差数列的通项公式．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：由通项公式和求和公式可得1a 和d 的方程组，解方程组可得．解答：解：设等差数列{}n a 的公差为d ，78a = ，前7项和742S =，168a d ∴=+，1767422a d ⨯=+， 解得14a =，23d = 故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．执行如图的程序框图，若输入的209a =，76b =，则输出的a 是_______.A ．19B ．3C ．57D ．76答案：A考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a ，b ，c 的值，当0b =时满足条件0b =，退出循环，输出a 的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得209a =，76b =57c =76a =，57b =，不满足条件0b =，19c =，57a =，19b =不满足条件0b =，0c =，19a =，0b =满足条件0b =，退出循环，输出a 的值为19．故选：A ．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．5．设3log πa =，πlog 3b =，cos3c =，则______.A ．b a c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．a b c >>答案：C考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：3log π1a => ，π0log 31b <=<，cos30c =<，a b c ∴>>．故选：D ．点评：本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．函数()()()4sin 0,πy x x ωφωφωφ=><++部分图象如图，其中点2π,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8π,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则____.A ．1=2ω，2π=3φ- B.=1ω，2π=3φ- C ．1=2ω，π=3φ- D ．=1ω，π=3φ- 答案:C考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式． 解答：解：由函数的图象可得π8π2π233T ω==-，12ω∴=． 再根据五点法作图可得12π023φ⋅=+，求得π3φ=-， 故选：C ．点评：本题主要考查由函数()sin y A x ωφ=+的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．设实数x ，y 满足约束条件21033020x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪-⎩+≥+≥+≤，则1y z x =+的取值范围是_______. A ．1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．15,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．15,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可． 解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：1y z x =+的几何意义为区域内的点到定点()1,0D -的斜率， 由图象知AD 的斜率最大，BD 的斜率最小，由21020x y x y -=⎧⎨-=⎩++，解得1353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即15,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时5531413z ==+， 由33020x y x y -=⎧⎨-=⎩++，解得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时1123512z ==+， 故1y z x =+的取值范围是15,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：B ．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.1111正视图1侧视图俯视图A．43B．52C．73D．53答案：A考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积11212S=⨯⨯=，高为1；故其体积1111V=⨯=；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积11212S=⨯⨯=，高为1；故其体积2111133V=⨯⨯=；故该几何体的体积124 3V V V==+；故选：A．C 1B 1A 1CA 点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有_____.A ．7种B ．13种C ．18种D ．19种答案：D考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意4=1120=2200=1111+++++++++，即可得出结论．解答：解：由题意4=1120=2200=1111+++++++++，所以球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有122434119C C C =++种，故选：D ．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10．在ABC △中，2AB BC =，以A ，B 为焦点，经过C 的椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则___.A ．12111e e -=B ．12112e e -=C ．2212111e e -=D ．2212112e e -= 答案：A考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB 所在直线为x 轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB 所在直线为x 轴，其中点为原点，建立坐标系，则()1,0A -，()1,0B ，()1cos ,sin C θθ+，所以AC =对于椭圆而言，22c=，2a AC BC ==+所以11e a c ==； 对于双曲线而言，22c=，21a AC BC =-，所以21e a c =故12111e e -==， 故选：A ．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数()π2f x x =-，()cos sin g x x x x =-，当[]3π,3πx ∈-时，方程()()f x g x =根的个数是___. A ．8 B ．6C ．4D ．2 答案：B考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先对两个函数分析可知，函数()f x 与()g x 都是奇函数，且()f x 是反比例函数，()g x 在[]0,π上是减函数，在[]π,2π上是增函数，在[]2π,3π上是减函数，且()00g =，()ππg =-；()2π2πg =；()3π3πg =-；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可． 解答：解：由题意知，函数()π2f x x=-在[]3π,3π-是奇函数且是反比例函数， ()cos sin g x x x x =-在[]3π,3π-是奇函数；()'cos sin cos sin g x x x x x x x =--=-；故()g x 在[]0,π上是减函数，在[]π,2π上是增函数，在[]2π,3π上是减函数，且()00g =，()ππg =-；()2π2πg =；()3π3πg =-；故作函数()f x 与()g x 在[]3π,3π-上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B ．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题． 12．已知圆:22C x +y =1，点(),2M t ，若C 上存在两点A ，B 满足MA AB = ，则t t 的取值范围是____.A ．[]2,2-B ．[]3,3-C ．⎡⎣D ．[]5,5- 答案：C考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A 是MB 的中点，利用圆221x y =+的直径是2，可得2MA ≤，即点M 到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM 交圆于点D ． MA AB = ，A ∴是MB 的中点，圆221x y =+的直径是2，2M A AB ∴=≤，又M D M A ≤，1OD =，3OM ∴≤，即点M 到原点距离小于等于3，24t 9∴+≤，t ≤，故选：C ．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题 13．已知a = 2b = ，若()a b a ⊥ +，则a 与b 的夹角是______. 答案：150︒考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用． 分析：根据已知条件即可得到()0a b a ⋅= +，所以根据a = 2b =进行数量积的运算即可得到3a < +，0b >=，所以求出，cos ,a b = a 与b 的夹角． 解答：解：()0a b a ⊥ +；()23,0a b a a a b a b ∴⋅=⋅== +++；cos ,a b ∴= a ∴ 与b 的夹角为150︒．故答案为：150︒．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．14．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，43n n a S =-，则4S =______． 答案：2027考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：43n n a S =-，当1n =时，1143a a =-，解得1a ．当2n ≥=时，143n n n S S S --=-，化为1313434n n S S -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，利用等比数列的通项公式即可得出． 解答：解：43n n a S =- ，∴当1n =时，1143a a =-，解得11a =．当2n ≥时，143n n n S S S --=-， 化为1313434n n S S -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， ∴数列34n S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为14，公比为13-， 33112044327n S ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭． 令4n =，则343112044327S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭+． 故答案为：2027． 点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在三棱锥P ABC -中，ABC △与PBC △都是等边三角形，侧面PBC ⊥底面ABC ，AB =该三棱锥的外接球的表面积为_______.答案：20π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x ，则()22222213r x x ==-++，求出x ，可得r ，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x ，则()222222133r x x ==-++，所以1x =，所以该三棱锥的外接球的表面积为24π20πr =．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．161=与两坐标轴所围成图形的面积是_____． 答案：16考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先由题意，画出图象，然后利用定积分表示面积1，即(21y =-即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分其面积为(()321121200014111236dx x dx x x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰+； 故答案为：16点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．三、解答题17．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()2222cosB a b a bc -=+． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）D 为边BC 上一点，3BD DC =，π2DAB ∠=，求tan C ． 考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形． 分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2222cos a B a c b =-+，代入已知等式整理得1cos 2A =-，即可求得A ． （Ⅱ）由已知可求π6DAC ∠=，由正弦定理有sin sin AD CD C DAC=∠，又3BD CD =，可得3sin 2sin B C =，由π3B C =-化简即可得解． 解答：解：（Ⅰ）因为2222cos a B a c b =-+，所以()222222a b a c b bc -=-++．… 整理得222a b c bc =++，所以1cos 2A =，即2π3A =．… （Ⅱ）因为π2DAB =△，所以sin AD BD B =⋅，π6DAC ∠=．… 在ACD △中，有sin sin AD CD C DAC=∠，又因为3BD CD =， 所以3sin 2sin B C =，…由π3B C =-3sin 2sin 2C C C -=，…整理得tan C =… 点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，侧面PAD 是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是棱PC ，AB 的中点，且MN CD ⊥．（Ⅰ）求证：AD CD ⊥；（Ⅱ）若AB CD =，求直线MN 与平面PBD 所成角的正弦值．MD CBA 考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用． 分析：（Ⅰ）取PD 边中点E ，连接AE ，EM ，根据MN CD ⊥容易得到CD AE ⊥，而根据已知条件可以说明PO ⊥平面ABCD ，从而得到CD PO ⊥，这样CD 就垂直于平面PAD 内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD CD ⊥；（Ⅱ）取BC 中点F ，连接OF ，由（Ⅰ）便可知道OA ，OF ，OP 三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x ，y ，z 轴，可设2AB =，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量DB ,DP 的坐标，这时候设平面PBD 的法向量为(),,n x y z = ，根据00n DB n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即可求出n 的坐标，若设MN 和平面PBD 所成角为θ，从而根据sin cos ,n MN n MN n MNθ⋅== 即可求得答案． 解答：解：（Ⅰ）证明：如图，取PD 中点E ，连AE ，EM ，则EM AN ∥，且EM AN =；∴四边形ANME 是平行四边形，MN AE ∥；MN CD ⊥ ，AE CD ∴⊥，即CD AE ⊥；取AD 中点O ，连PO ，PAD △是等边三角形，则PO AD ⊥； 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =； PO ∴⊥平面ABCD ，PO CD ⊥，即CD PO ⊥；故CD ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ；CD AD ∴⊥，即AD CD ⊥；（Ⅱ）由AB AD =，AD CD ⊥，得四边形ABCD 是正方形； 取BC 边的中点F ，连接OF ，则分别以OA ，OF ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系；设2AB =，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,0,0D -，(0,0,P，1,0,2E ⎛- ⎝⎭； ()2,2,0DB =，(1,0,DP = ；设平面PBD 的法向量(),,n x y z =，则： 00n DB n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ；2x+2y =0=0⎧⎪∴⎨⎪⎩；x y ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，取1z =，()1n ∴= ；3,0,2MN EA ⎛==- ⎝⎭ ； 设直线MN 与平面PBD 所成的角为θ，则：sin cos ,MN n θ=== ．点评：考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X 万元，求X 的分布列和期望． 附：()()()()22n ad bc K a b a c b d -=+++考点：独立性检验的应用． 专题：应用题；概率与统计． 分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求2K 的值，从临界值表中可以知道2 5.024K >，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X 的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X 的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）()225608020040240 5.657120*********K ⨯-⨯==⨯⨯⨯，因为5.657 5.024>，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1:3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m 家和n 家，则(),m n 可能为()0,9，()1,8，()2,7，()3,6．与之对应，X 的可能取值为90，130，170，210．…()190220P X -=，()27130220P X ==， ()108170220P X ==，()84210220P X ==，…期望271088490130170210180220220220220EX =⨯⨯⨯⨯=+++．…点评：本题考查独立性检验的应用，考查X 的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题． 20．已知抛物线2:4E x y =，m 、n 是过点(),1A a -且倾斜角互补的两条直线，其中m 与E 有唯一公共点B ，n 与E 相交于不同的两点C ，D ． （Ⅰ）求m 的斜率k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得2AC AD AB λ⋅=？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． 考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（Ⅰ）设直线():1m y k x a =-+，():1n y k x a =-+，代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k 的范围；（Ⅱ）假设存在常数λ，使得2AC AD AB λ⋅=，设()00,B x y ，()11,C x y ，()22,D x y ，代入直线方程，由条件结合二次方程的韦达定理，再由判别式为0，即可判断． 解答：解：（Ⅰ）设直线():1m y k x a =-+，():1n y k x a =-+， 分别代入24x y =，得2440x kx ka -=+（1），24440x kx ka -=++(2)， 由1=0△得210k ka --=，由2>0△得210k ka ->+，故有2210k ->，得21k >，即1k <-，或1k >．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得2AC AD AB λ⋅=， 设()00,B x y ，()11,C x y ，()22,D x y ， 则()()()2120111y y y λ=+++．将()111y k x a =--+，()211y k x a =--+，()001y k x a =-+代入上式，得()()()2120x a x a x a λ--==，即()()2212121x x a x x a x a λ-=-++．由（2）得124x x k =-+，1244x x ka =-+， 由（1）得02x k =，代入上式，得()222444a k ka a λ=-++．又1=0△得210k ka --=，即2444k ka -=， 因此()2244a a λ=++，=1λ．故存在常数=1λ，使得2AC AD AB λ⋅=．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数()1ln f x x a x x =++，()11ln g x x x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭++，其中a ∈R ．（Ⅰ）证明：()1g x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，并求()g x 的最大值；（Ⅱ）记()f x 的最小值为()h a ，证明：函数()y h a =有两个互为相反数的零点．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性． 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用已知函数()g x 的解析式，分别计算1g x ⎛⎫⎪⎝⎭，()g x ，可得两者相等；再利用()'g x 求得最大值；（Ⅱ）利用()'f x 可得()f x 的最小值()()11=t ln h a t t g t t t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭++，由（Ⅰ）可知210e g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()10g >，利用函数零点的判定定理即得结论．解答：解：（Ⅰ）111111ln ln g x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ++++，()1g x g x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，则()21'1ln g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭+，当()0,1x ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增； 当()1,x ∈∞+时，()'0g x <，()g x 单调递减．所以()g x 的最大值为()111021g ==++．（Ⅱ）()1ln f x x a x x= ++，()22211'1a x ax f x x x x -∴=-=++． 令()'0f x =，即210x ax -=+，则2=0a >△+，不妨取0t >，由此得：210t at -=+或写为：1a t t=-． 当()0,x t ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减；当(),x t ∈∞+时，()'0f x >，()f x 单调递增．从而()f x 的最小值为()111ln ln f t t a t t t t t t t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭++++，即()()11ln h a t t t g t t t ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭++（或()h a a =）．由（Ⅰ）可知()222213e e 0e e g g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，()120g =>，分别存在唯一的()0,1c ∈和()1,d ∈∞+，使得()()0g c g d ==，且1cd =，因为()10a t t t =->是t 的减函数，所以()y h a =有两个零点11a d d =-和21a c c =-，又()110c d d c c d d c cd--=-=+++，所以()y h a =有两个零点且互为相反数． 点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB 为圆O 的直径，PB ，PC 分别与圆O 相切于B ，C 两点，延长BA ，PC 相交于点D ． （Ⅰ）证明：AC OP ∥；（Ⅱ）若2CD =，3PB =，求AB ．PODCBA考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题：选作题；立体几何． 分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB PC =，且PO 平分BPC ∠，可得PO BC ⊥，又AC BC ⊥，可得AC OP ∥；（Ⅱ）由切割线定理得2DC DA DB -⋅，即可求出AB ． 解答：（Ⅰ）证明：因PB ，PC 分别与圆O 相切于B ，C 两点， 所以PB PC =，且PO 平分BPC ∠，所以PO BC ⊥，又AC BC ⊥，即AC OP ∥．… （Ⅱ）解：由PB PC =得5PD PB CD ==+， 在Rt PBD △中，可得4BD =．则由切割线定理得2DC DA DB =⋅， 得1DA =，因此3AB =．…点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键． 【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线():2cos 0C a ρθ=>，π31:cos 32ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，C 与1有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且π3AOB ∠=，求OA OB +的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（I ）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a ；（II ）不妨设A 的极角为θ，B 的极角为π3θ+，则ππ2cos 2cos 36OA OB θθθ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++，利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线():2cos 0C a a ρθ=>，变形2=2cos a ρρθ，化为222x y ax =+，即()222x a y a -=+．∴曲线C 是以(),0a 为圆心，以a 为半径的圆；由π31:cos 32ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，展开为13cos sin 22ρθθ=， 1∴的直角坐标方程为30x -=．由直线l 与圆C 相切可得32a a -=，解得1a =．（Ⅱ）不妨设A 的极角为θ，B 的极角为π3θ+，则ππ2cos 2cos =3cos 36OA OB θθθθθ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++，当π=6θ-时，OA OB +取得最大值．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【选修4-5：不等式选讲】24．设()121f x x x =--+的最大值为m ．（Ⅰ）求m ；（Ⅱ）若a ，b ，()0,c ∈∞+，2222a b c m =++，求ab bc +的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用． 分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x 的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值； （Ⅱ）由()()22222222a b c a b b c =+++++，运用重要不等式，可得最大值． 解答：解：（Ⅰ）当1x -≥时，()32f x x =+≤； 当11x -<<时，()132f x x =--<； 当1x ≥时，()34f x x =---≤． 故当1x =-时，()f x 取得最大值m=2．（Ⅱ）()()()222222222a 2b a b b c ab 2bc ab bc ==++c +++≥++，当且仅当a b c ===时，等号成立． 此时，ab bc +取得最大值π=12．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试模拟试卷(FNEZYT)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

其中第Ⅱ卷第33～40题为选考题，其它题为必考题，共300分，考试时间150分钟。

考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。

第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷(共126分)可能用到的元素相对原子质量（原子量）：H 1 C 12 O 16 S 32 Cu 64一、选择题：本题包括13小题。

每小题6分，共78分，每小题只有一个选项符合题意。

1．甲、乙分别为物质进出细胞的坐标图和模式图，下列相关说法正确的是( )A.甲、乙所代表的物质运输方式没有共同点B.图乙的物质运输方式体现了细胞膜的结构特点C.图乙所示的细胞可能是红细胞D.婴幼儿肠道吸收乳汁中的免疫球蛋白的过程可用图乙中的跨膜运输方式表示2．美国研究人员发现人体内存在一种被称为“脂肪控制开关”的基因，这个基因一旦开启，就能提高对脂肪的消耗并产生“抗疲劳”肌肉，帮助心脏和神经系统保持持久耐力。

美国科学家公布研究报告说，他们通过向实验老鼠转入“脂肪控制开关”基因，成功培育出“马拉松”老鼠，比正常老鼠多跑出一倍距离，速度也快一倍。

下列叙述错误的是( )A.转入“脂肪控制开关”基因的有效方法是向实验老鼠肌肉中注入含“脂肪控制开关”基因的重组DNAB.“脂肪控制开关”基因中存在起始密码C.“马拉松”老鼠在改善机体耐力的同时，也提高了机体消耗脂肪的能力D.可以向“马拉松”老鼠转入其他的基因兴奋剂，如EPO(促红细胞生成素)基因，培育“超级运动员”3．实验与探究能力是高中生物重要考查的内容。

河北省唐山市2015届高三年级摸底考试理科数学试卷（带解析）1．已知集合M ＝{x|x ≥－1}，N ＝{x|2－x 2≥0}，则M ∪N ＝( )A.[－1，＋∞)B.[－1]C.[，＋∞)D.(]∪[－1，＋∞) 【答案】C【解析】试题分析：由已知，M ＝{x|x ≥－1}，N ＝{x|≤x故M ∪N ＝{x|x }，选C 考点:集合运算，简单一元二次不等式 2．复数z ＝1312i i -+，则( )A.|z|＝ －－1＋i 【答案】D【解析】试题分析：z ＝(13)(12)1(12)(12)i i i i i --=--+-故|z|，A 错；z 的实部为－1，B 错；z 的虚部为－1，C 错，z 的共轭复数为－1－i ，D 正确考点:复数的基本概念及代数运算3．函数f(x)＝222x x--是( )A.偶函数，在(0，＋∞)是增函数B.奇函数，在(0，＋∞)是增函数C.偶函数，在(0，＋∞)是减函数D.奇函数，在(0，＋∞)是减函数 【答案】B【解析】试题分析：因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数又因为y ＝2x是增函数，y ＝2－x为减函数，故22()2x xf x --=为增函数，选B考点:函数的奇偶性和单调性.4．抛物线y ＝2ax 2(a ≠0)的焦点是( ) A.(2a ，0) B.(2a ，0)或(－2a ，0)C.(0，18a )D.(0，18a )或(0，－18a ) 【答案】C【解析】试题分析：将方程改写为22y x a =，可知2p ＝1||2a ，当a ＞0时，焦点为(0，1||8a)，即(0，18a)； 当a ＜0时，焦点为(0，－1||8a )，即(0，18a )；综合得，焦点为(0，18a)，选C 考点:抛物线的基本概念5．已知1sin()44x π-=，则sin2x 的值为( )A.78B.916C.1516D.1516±【答案】A【解析】试题分析：2217sin 2cos(2)12sin ()12()2448x x x ππ=-=--=-⨯=.选A 考点:三角函数恒等变换，二倍角公式6．高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为( )A.13B.23C.12D.16 【答案】A【解析】试题分析：4人排成一排，其中甲乙相邻的情况有：(甲乙丙丁)、(甲乙丁丙)、(丙甲乙丁)、(丁甲乙丙)、(丙丁甲乙)、(丁丙甲乙)、(乙甲丙丁)、(乙甲丁丙)、(丙乙甲丁)、(丁乙甲丙)、(丙丁乙甲)、(丁丙乙甲)，共计12种，其中同时甲丙相邻的只有4种，故概率为P ＝41123= 考点:条件概率7．设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|＝1，则|a －tb|(t ∈R)的最小值为( )B.12【答案】A【解析】试题分析：由于|a|＝|b|＝|a ＋b|＝1，于是|a ＋b|2＝1，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝1，即a ·b ＝－12|a －tb|2＝a 2－2ta ·b ＋t 2b 2＝(1＋t 2)－2ta ·b ＝t 2＋t ＋1≥34，故|a －tb|的最小值为2.选A考点:平面向量基本运算8．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，且z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )14 D.12【答案】D【解析】试题分析：画出可行域，由于z ＝2x ＋y 与x 均正相关， 因此直线2x ＋y ＝z 在x 轴上截距最小时，z 取得最小值为1，此时，直线2x ＋y ＝1应经过x ＝1与y ＝a(x －3)的公共点A 该点坐标为A(1，－1)，故a ＝12.选D考点:线性规划9．执行如图所示的程序框图，则输出的a ＝( )54 C.14- D.45【答案】C【解析】试题分析：该程序每循环一次，n 增加1，当n ＝10时跳出循环，故需要循环9次，每一次循环将1－1a 的值赋予新的a ，因此，9次运算的a 值依次为：5，45，－14，5，45，－14，5，45，－14，因此最后输出的a 值为－14.选C 考点:程序框图10．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω＞0)的图象向右平移2π个单位长度，所得图象关于6x π=对称，则ω的最小值是( ) 23 C.94 D.34【答案】D【解析】试题分析：将f(x)＝sin ωx 的图象向左平移2π个单位，所得图象关于x ＝6π，说明原图象关于x ＝－23π对称，于是f(－23π)＝sin(－23ωπ)＝±1，故232k ωπππ=+(k ∈Z)，ω＝3k ＋34(k ∈Z)，由于ω＞0，故当k ＝0时取得最小值34.选D考点:三角函数的图象与性质11．已知a ＞0，且a ≠1，则函数f(x)＝a x ＋(x －1)2－2a 的零点个数为( ) 【答案】B【解析】试题分析：设g(x)＝2a －a x ，h(x)＝(x －1)2， 注意到g(x)的图象恒过定点(1，a)，画出他们的图象无论a ＞1还是0＜a ＜1，g(x)与h(x)的图象都必定有两个公共点2x考点:函数图象及其性质，零点的个数12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为( ) ππππ 【答案】A【解析】试题分析：原几何体是一个侧放的四棱锥，四棱锥的底面为侧视图，即边长为1，其外接圆的直径平方为高与底面对角线的平方和，即222(2)R =+，即R245S R ππ==.选A考点:三视图，球面的面积13．8()x 的展开式中62x y 的系数是___________. 【答案】56【解析】试题分析：原二项式展开式的通项公式为818()r rr r T C x -+= 令r ＝2，得2626238256T C x y x y =⋅=，系数为56.考点:二项式定理14．实数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则3x ＋9y的最小值是________________. 【答案】6【解析】试题分析：3x＋9y＝3x＋32y≥6===考点:基本不等式15．已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线l：0x +=垂直，C的一个焦点到l 的距离为1，则C 的方程为__________________.【答案】x 2－23y ＝10y -=，即b =1=，故c ＝2，即a 2＋b 2＝4，解得a ＝1，b ＝3双曲线方程为x2－23y＝1考点:双曲线的渐近线，直线与直线的垂直关系，点到直线距离公式16．在△ABC中，AB=，点D在边BC上，2BD DC=，cos DAC∠=，cos C∠=，则AC＋BC＝_________________.【答案】3【解析】试题分析：△ADC中，由cos∠DAC，得sin∠DAC，同理，由cos∠Csin∠C于是，sin∠ADC＝sin(∠DAC＋∠C)＝1051052+=由正弦定理：sin sinAC DCADC DAC=∠∠，由此得：AC=，又BC＝3DC于是，在△ABC中，由余弦定理，得由AB=，得DC＝1从而BC＝3，AC即AC＋BC＝3考点:三角形中的三角函数，正弦定理，余弦定理17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S n＝kn(n＋1)－n(k∈R)，公差d为2.(1)求a n与k；(2)若数列{b n}满足12b=，12n an nb b n--=⋅(n≥2)，求b n.【答案】(1)a n＝2n－1，k＝1；(2)b n＝()231419nn⎡⎤-⋅+⎣⎦【解析】试题分析：(1)先直接写出a1，a2，由d＝2求出k，再利用数列中a n与S n之间的关系求出a n；(2)先利用叠加法求出b n满足的关系式，再利用错位相减法求出b n.试题解析：(Ⅰ)由题设得a1＝S1＝2k－1，a 2＝S 2－S 1＝4k －1， 由a 2－a 1＝2得k ＝1，则a 1＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. 4分 (Ⅱ)b n ＝b n －1＋n·2n a＝b n －2＋(n －1)·12n a -＋n·2n a＝b 1＋2×22a ＋3×32a＋ ＋(n －1)·12n a -＋n·2n a由(Ⅰ)知2n a＝22n －1，又因为b 1＝2，所以b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋ ＋(b 2－b 1)＋b 1＝1×21＋2×23＋3×25＋ ＋(n －1)×22n －3＋n×22n －1，4b n ＝1×23＋2×25＋3×27＋ ＋(n －1)×22n －1＋n×22n ＋1， 7分 所以－3b n ＝21＋23＋25＋ ＋22n －1－n·22n ＋1＝()21414n --－2n·⋅4n，所以b n ＝()21414n --＋23n ⋅4n ＝()231419n n ⎡⎤-⋅+⎣⎦. 11分 明显，n ＝1时，也成立． 综上所述，b n ＝()231419nn ⎡⎤-⋅+⎣⎦． 12分考点:等差数列与等比数列的通项公式与前n 项和18．某大学外语系有5名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目(每名大学生只参加一个项目的服务)。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集2{|1}U x x =>，集合2{|430}A x x x =-+<，则U C A =（ ） A ．(1,3) B ．(,1)[3,)-∞+∞ C ．(,1)[3,)-∞-+∞ D ．(,1)(3,)-∞-+∞【答案】C考点：一元二次不等式的解法、集合的补集运算. 2.22()1i i=-（ ） A ．2i - B ．4i - C ．2i D ．4i 【答案】A 【解析】试题分析：∵222442()2122i i i i i i i-====----，∴选A. 考点：复数的乘法、除法运算.3.已知抛物线的焦点(,0)(0)F a a <，则抛物线的标准方程是（ ） A ．22y ax = B ．24y ax = C ．22y ax =- D ．24y ax =- 【答案】B 【解析】试题分析：以(,0)F a 为焦点的抛物线的标准方程为24y ax =. 考点：抛物线的焦点和抛物线的标准方程. 4.命题P ：32,x N x x ∃∈<；命题q ：(0,1)(1,)a ∀∈+∞，函数()log (1)a f x x =-的图象过点(2,0)，则（ ）A ．P 假q 假B ．P 真q 假C ．P 假q 真D ．P 真q 真 【答案】C考点：命题的真假、全称命题和特称命题、对数函数图象、不等式的解法. 5.执行下边的程序框图，则输出的A 是（ ） A ．2912 B ．2970 C ．7029 D ．16970【答案】C考点：程序框图.6.在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，090ABC ∠=，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）A C 【答案】B考点：余弦定理.7.已知2sin 21cos 2αα=+，则tan 2α=（ ） A ．43-B ．43C ．43-或0D ．43或0 【答案】D考点：三角函数求值、平方关系. 8.2321(2)x x+-展开式中的常数项为（ ） A ．-8 B ．-12 C ．-20 D ．20 【答案】C 【解析】 试题分析：∵236211(2)()x x x x +-=-，∴6621661()(1)r r r r r rr T C x C x x--+=-=-， 令620r -=，即3r =，∴常数项为336(1)20C -=-.考点：二项式定理.9.函数()|sin |2|cos |f x x x =+的值域为（ ）A ．[1B ．[1,2]C ．D ．【答案】A当[,]2x ππ∈时，()sin 2cos )f x x x x β=-=+，cos β=，sin β=，∴max ()()2f x f πβ=-=min ()()12f x f π==，∴()f x 的值域为[1.考点：三角函数、绝对值函数的值域.10.F 是双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂直，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =，则C 的离心率是（ ）A ．2 D 【答案】B考点：双曲线的标准方程及其性质、向量的运算.11.直线y a =分别与曲线2(1)y x =+，ln y x x =+交于A ，B ，则||AB 的最小值为（ ）A．3 B．2 C．4 D．32【答案】D考点：导数的运算、利用导数求函数的最值.12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12 B．12．4 D．122+【答案】A【解析】试题分析：根据几何的三视图，画出该几何体的直观图，如下图考点：三视图、几何体的表面积.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知(1,3)a =-，(1,)b t =，若(2)a b a -⊥，则||b = .【解析】考点：向量的坐标、向量的垂直的充要条件、向量的模14.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为0.850.25y x ∧=-. 由以上信息，得到下表中C 的值为 .【答案】6 【解析】试题分析：∵3456755x ++++==， 2.534 4.51455c cy +++++==，∴代入到回归直线方程中得：140.8550.255c+=⨯-，∴6c =. 考点：线性回归方程.15.在半径为5的球面上有不同的四点A 、B 、C 、D ，若AB AC AD ===BCD 被球所截面图形的面积为 . 【答案】16π考点：球的截面问题.16.已知,x y R ∈，满足22246x xy y ++=，则224z x y =+的取值范围为 . 【答案】[4,12]考点：均值不等式、配方法.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足(1)1n n q S qa -+=，且(1)0q q -≠. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若396,,S S S 成等差数列，求证：285,,a a a 成等差数列. 【答案】（1）a n ＝qn －1；（2）证明详见解析.考点：等比数列的通项公式及前n 项和公式、等差中项. 18.（本小题满分12分）小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个. （Ⅰ）若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；（Ⅱ）若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个.记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望. 【答案】（1）49；（2）分布列详见解析，203EX =.数学期望.试题解析：（Ⅰ）设“甲恰得一个红包”为事件A ，12124()339P A C =⨯⨯=． (4)分（Ⅱ）X 的所有可能值为0，5，10，15，20．2228(0)()3327P X ==⨯=，考点：二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBBC 都是菱形，011160ACC CC B ∠=∠=，2AC =.（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；（Ⅱ）若1AB =11C AB A --的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2）5-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1AB 1，所以OA ⊥OB 1．如图所示，分别以OB 1，OC 1，OA 为正方向建立空间直角坐标系，则cos ,5||||5m n m n m n ∙<>===⨯，因为二面角C -AB 1-A 1为钝角，所以二面角C -AB 1-A 1的余弦值为．…12分考点：线线垂直、线面垂直、二面角.20.（本小题满分12分）已知圆22:4O x y +=，点A ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ.（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 中点时，求直线AB 的方程.【答案】（1）2214x y +=；（20y -=0y +.其中，a＝2，c=b＝1，则曲线Γ的方程为2214xy+=．…5分y-=0y+=．…12分考点：椭圆的标准方程和几何性质、直线的标准方程和几何性质.21.（本小题满分12分）已知函数2(1)()2xx f x e +=-，()2ln(1)x g x x e -=++.（Ⅰ）(1,)x ∈-+∞时，证明：()0f x >； （Ⅱ）0a >，若()1g x ax ≤+，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明详见解析；（2）1a =.01a <<进行讨论，证明()h x 的最大值小于等于0即可.试题解析：（Ⅰ）令p (x )＝f(x )＝e x－x －1，p(x )＝e x－1，（2）当a ＞1时，h(0)＜0， x ∈(－1，0)时，h(x )＝21x +－e －x－a ＜21x +－1－a ＝0，解得x ＝11a a -+∈(－1，0)． 即x ∈(11aa -+，0)时h (x )＜0，h (x )单调递减，又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾．…9分（3）当0＜a＜1时，h(0)＞0，x ∈(0，＋∞)时，h(x)＝21x+－e－x－a＞21x+－1－a＝0，解得x＝11aa-+∈(0，＋∞)．即x∈(0，11aa-+)时h(x)＞0，h(x)单调递增，又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾．…11分综上，a的取值为1．…12分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分10分）如图，圆周角BAC∠的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.（Ⅰ）求证：//BC DE；（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且弧长AC等于弧长BC，求BAC∠.【答案】（1）证明详见解析；（2）27π.所以∠CFA ＝∠FBA ＋∠FAB ＝3x ，在等腰△ACF 中，π＝∠CFA ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则7x π=， 所以∠BAC ＝2x ＝27π．…10分考点：几何证明、四点共圆、角的转化.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C ：22143x y +=，直线3:x l y t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；（Ⅱ）设(1,0)A ，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标.【答案】（1）2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，x＋9＝0；（2）8(5P -.试题解析：（Ⅰ）C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），l ：x＋9＝0．…4分考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2||1|f x x a x =-++. （Ⅰ）当1a =时，解不等式()3f x <； （Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求a 的值. 【答案】（1）{x |－1＜x ＜1}；（2）a ＝－4或0.试题解析：（Ⅰ）因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝3,112,1213,2x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪≥⎪⎩，考点：不等式的证明、绝对值不等式的解法、不等式的性质.。

2015年河北省唐山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a是（）A．19 B．3 C．57 D．765．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种C．18种D．19种10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=211．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=20．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E 有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．2015年河北省唐山市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．[来源:学.科.网Z.X.X.K]点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，又复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：B．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a是（）A．19 B．3 C．57 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：A．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．5．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log3π＞1，0＜b=logπ3＜1，c=cos3＜0，∴a＞b＞c．[来源:学科网]故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）[来源:学科网ZXXK]A．ω=，φ=﹣B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，由，解得，即A（，），此时z==，由，解得，即B（），此时z==，故z=的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种C．18种D．19种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，即可得出结论．解答：解：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，所以球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有++1=19种，故选：D．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解答：解：由题意知，函数f（x）=﹣在[﹣3π，3π]是奇函数且是反比例函数，g（x）=xcosx﹣sinx在[﹣3π，3π]是奇函数；g′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx；故g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM交圆于点D．∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA=AB≤2，又∵MD≤MA，OD=1，∴OM≤3，即点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴≤t≤，故选：C．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；[来源:]∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析： a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先由题意，画出图象，然后利用定积分表示面积解答：解：曲线+=1，即y=（1﹣）2即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分其面积为（1﹣）2dx=（1﹣2+x）dx=（+x）|=；故答案为：点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．[来源:学_科_网Z_X_X_K]分析：（Ⅰ）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MN⊥CD容易得到CD⊥AE，而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD，从而得到CD⊥PO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD；（Ⅱ）取BC中点F，连接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为θ，从而根据sinθ=即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；∴CD⊥AD，即AD⊥CD；（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），E（﹣，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；∴；∴，取z=1，∴；==（，0，﹣）；设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：sinθ=|cos＜，＞|==．点评：考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业 80 40 120小型企业 240 200 440合计 320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0） 0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，X的可能取值为90，130，170，210．…（6分）P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，…（10分）分布列表如下：X 90 130 170 210P期望EX=90×+130×+170×+210×=180．…（12分）点评：[来源:Z。

（19）解： A E D A E B C B M N C D （Ⅰ）分别取 BE，CE 中点 M，N，连接 AM，MN，DN，由已知可得△ABE，△DCE 均为腰长为 4 的等腰直角三角形，所以 AM⊥BE，且 AM＝2 2．又∵平面 ABE⊥平面 BCE，且交线为 BE，∴AM⊥平面 BEC，同理可得：DN⊥平面 BEC，且 DN＝2 2．∴AM∥DN，且AM＝DN，∴四边形 AMND 为平行四边形．∴AD∥MN，又∵MN平面 BEC，AD / 平面 BEC，∴AD∥平面 BEC．（Ⅱ）点 E 到平面 ABC 的距离，也就是三棱锥 E －ABC 的高 h．连接 AC，MC，在 Rt△EMC 中有 MC＝ EM2＋EC2＝2 10，在 Rt△AMC 中有 AC＝ AM2＋MC2＝4 3．可得 AC2＋AB2＝BC2，所以△ABC 是直角三角形．B A E M C D …6 分 1 1 1 1 由 VE—ABC＝VA—BEC 得 ·AB·AC·h＝ · BE·EC·AM， 3 2 3 2 4 6 可知 h＝． 3 4 6 ∴点 E 到平面 ABC 的距离为． 3 （20）解：（Ⅰ）设 l：x＝my＋4，A(x1，y1，B(x2，y2．将 x＝my＋4 代入 y2＝4x 得 y2－4my－16＝0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－16．…3 分 y1 4y1 4y1 4 4 kAM＝＝＝ 2 ＝，同理 kBM＝， x1＋4 y2 ＋ 16 y － y y y － y y － y1 1 2 1 2 2 1 1 所以 kAM＋kBM＝0．高三文科数学答案第 6 页共4页…12 分…6 分(y1－y22 16m2＋64 k 4 （Ⅱ）＝＝＝－m＋≥4， kAM·kBM －16m －16m －m 当且仅当 m＝－2 时等号成立， k 故的最小值为 4． kAM·kBM （21）解： 2 k x ＋(1－kx－k (x＋1(x－k （Ⅰ）f (x＝x＋1－k－＝＝, x x x …12 分（ⅰ）k≤0 时，f (x＞0，f (x在(0，＋∞上单调递增；（ⅱ）k＞0 时，x∈(0，k，f (x＜0；x∈(k，＋∞，f (x＞0，所以 f (x在(0，k上单调递减，f (x在(k，＋∞上单调递增．2 …5 分 3 3 k 3 （Ⅱ）因 k＞0，由（Ⅰ）知 f (x＋k2－的最小值为 f (k＋k2－＝＋k－kln k－， 2 2 2 2 k2 3 k 3 由题意得＋k－kln k－＜0，即＋1－ln k－＜0． 2 2 2 2k 2 k 3 1 1 3 k －2k＋3 令 g (k＝＋1－ln k－，则 g (k＝－＋ 2＝＞0，2 2k 2 k 2k 2k2 …8 分所以 g (k在(0，＋∞上单调递增，又 g (1＝0， k2 3 所以k∈(0，1时，g (k＜0，于是＋k－kln k－＜0； 2 2 k2 3 k∈(1，＋∞时，g (k＞0，于是＋k－kln k－＞0． 2 2 故 k 的取值范围为 0＜k＜1．（22）解：（Ⅰ）因为AE 与圆 O 相切于点 A，所以∠CAE＝∠CBA；因为四边形 ABCD 内接于圆 O，所以∠CBA＝∠ADE；又已知∠ADE＝∠BDC，所以∠BDC＝∠CAE，故 A，E，D，F 四点共圆．（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠ADE＝∠AFE＝∠BDC，又∠BDC＝∠BAC（同弧所对的圆周角相等），所以∠AFE＝∠BAC，故 AB∥EF．（23）解：x＝1＋cos φ，（Ⅰ）由（φ 为参数，0＜φ＜π）得(x－12＋y2＝1（0＜y≤1），y＝sin φ．π 所以曲线 C1 的极坐标方程为ρ＝2cos θ（0＜θ＜）．…5 分 2 高三文科数学答案第 7 页共4页…12 分…5 分…10 分（Ⅱ）由题意可设A(ρ1，θ，C(2，θ（0＜θ ＜π ）， 2 则|AC|＝2－ρ1＝2－2cos θ，|BC|＝2＋ρ1＝2＋2cos θ，所以|AC|·|BC|＝4sin2θ∈(0，4．…10 分（24）解：1－3x， x＜－1，（Ⅰ）当 m＝2 时，f (x＝3－x，－1≤x≤1，3x－1， x＞1． 5 ＝f (－1＝4， 3 5 得 f (x＜4 的解集为 x|－1＜x＜． 3 由 f (x的单调性及f ( y { } …5 分（Ⅱ）由f (x≥2m 得|x＋1|≥m (2－|x－1|，因为 m＜0， 1 所以－ |x＋1|≥|x－1|－2， m 在同一直角坐标系中画出 1 y＝|x－1|－2 及 y＝－ |x＋1|的图像， m 1 根据图像性质可得－≥1，即－1≤m＜0， m 故 m 的最小值为－1．－1 －2 O 1 3 x …10 分高三文科数学答案第 8 页共4页。

河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）理科数学【试卷综述】试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点来挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能.【题文】第I 卷（选择题，共60分）【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．【题文】1．设集合2{|2150}M x x x =+-<，2{|670}N x x x =+-≥，则M N =I （ ）A ．(5,1]-B ．[1,3)C ．[7,3)-D ．(5,3)- 【知识点】交集的基本运算.A1【答案】【解析】B 解析：由题意得：{}2{|2150}=|53M x x x x x =+-<-<<，同理： {}2{|670}|17N x x x x x x 或=+-≥=≥≤-，所以M N =I [1,3)，故选B 。

【思路点拨】先根据题意求出集合M 、N 后再求M N I 即可。

【题文】2． 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，则m nim ni+=-（ ）A ．1-B ．1C ．i -D ．i 【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4【答案】【解析】D 解析：因为m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，所以可得：7m mi ni +=+，解得7,7m n ==，所以7777m ni ii m ni i++==--，故选D.【思路点拨】利用复数相等的条件求出m 和n 的值，代入m nim ni+-后直接利用复数的除法运算进行化简．【题文】3．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-【知识点】定积分；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．B13 B8 【答案】【解析】A 解析：由题意可知()1lg10f ==，又((1))1f f =，所以()200031af t dt =+=⎰，故31a =，解得1a =，故选A ．【思路点拨】求出()1f 的值，然后利用((1))1f f =，通过积分求解a 的值．【题文】4．设,a b r r 为两个非零向量，则“||a b a b ⋅=⋅r r r r”是“a r 与b r 共线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案】【解析】D 解析：若||a b a b ⋅=⋅r r r r，则|||cos<,>=|||||cos<,>|a b a b a b a b 鬃r r r r r r r r ，即cos<,>=|cos<,>|a b a b r r r r ，则cos<,>0a b ³r r，则a r 与b r 共线不成立，即充分性不成立．若a r 与b r 共线，当<,>=a b p r r ，cos<,>=1a b -r r ，此时||a b a b ⋅=⋅r r r r不成立，即必要性不成立， 故““||a b a b ⋅=⋅r r r r”是“a r 与b r 共线”的既不充分也不必要条件，故选：D ．【思路点拨】根据充分条件和必要条件的定义，利用向量共线的等价条件，即可得到结论． 【题文】5．右图中，321,,x x x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当5.8,9,621===p x x 时，3x 等于（ ）A ．11B ．8.5C ．8D ．7【知识点】程序框图.L1【答案】【解析】C 解析：根据提供的该算法的程序框图，该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分．根据126,9,x x ==，不满足12||2x x -?，故进入循环体，输入3x ，判断3x 与1x ，2x 哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分．因此由398.5=2x +，解出3x =8．故选C ． 【思路点拨】利用给出的程序框图，确定该题最后得分的计算方法，关键要读懂该框图给出的循环结构以及循环结构内嵌套的条件结构，弄清三个分数中差距小的两个分数的平均分作为该题的最后得分．【题文】6．已知 ()0,θπ∈，且 sin()410πθ-=，则 tan 2θ=（ ） A ．43 B ．34 C ．247- D ．247【知识点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正切．C4 C5【答案】【解析】C 解析：∵()0,θπ∈，且 sin()410πθ-=，∴cos()4p q -=，∴tan 11tan()411tan 7p q q q --==+?，∴4tan 3q =， ∴22tan 24tan 21tan 7q q q ==--，故选：C ． 【思路点拨】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos()4p q -，可得tan()4pq -，解方程求得tan q ，最后可求得tan 2q 的值．【题文】7．已知1,OA OB ==u u u r u u u r ,0,OA OB =u u u r u u u rg 点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设,OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r (),m n R ∈，则nm等于（ ）A ．31B ．3C ．33D ．3【知识点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点．F3【答案】【解析】B 解析：∵1,OA OB ==u u u r u u u r 0,OA OB =u u u r u u u rg∴OA OB ^u u u r u u u r ,1||2OC OBOC ?u u u r u u u ru u ur ,1||OC OA OC ??u u u r u u u r u u u r ,∴OC u u u r 在x 轴方向上的分量为1||2OC u u ur ,OC u u u r 在y ||OC u u u r∵OC mOA nOB m j =+=+u u u r u u u r u u u r r r∴1||||2OC OC m ==u u u r u u ur 两式相比可得：3mn=．故选B. 【思路点拨】先根据0,OA OB =u u u r u u u rg可得OA OB ^u u u r u u u r ，再计算出OC OB ×u u u r u u u r OC OA ×u u u r u u u r ，又根据,OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r，可得答案．【题文】8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1021=+a a ，436S =，则过点),(n a n P 和),2(2++n a n Q (*∈N n )的直线的一个方向向量是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,21 B ．()1,1-- C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,21 D ．⎪⎭⎫⎝⎛21,2 【知识点】直线的斜率.H1【答案】【解析】A 解析：等差数列{}n a 中，设首项为1a ，公差为d ，由1021=+a a ，436S =，得112104636a d a d ì+=ïí+=ïî，解得1a =3，d =4．∴()1141n a a n d n =+-=-．则(),41P n n -，()2,47Q n n ++．∴过点P 和Q 的直线的一个方向向量的坐标可以是()12,84,22骣琪=---琪桫．即为⎪⎭⎫⎝⎛--2,21，故选A ．【思路点拨】由题意求出等差数列的通项公式，得到P ，Q 的坐标，写出向量PQ uuu r的坐标，找到与向量PQ uuu r共线的坐标即可．【题文】9．函数1)3(log -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A ，若点A 在直线02=++ny mx 上，其中0,0m n >>，则21m n +的最小值为( ) A．．4 C ．52 D ．92【知识点】基本不等式在最值问题中的应用．E6【答案】【解析】D 解析：∵x=﹣2时，y=log a 1﹣1=﹣1，∴函数1)3(log -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A （﹣2，﹣1）， ∵点A 在直线mx+ny+2=0上，∴﹣2m ﹣n+2=0，即2m+n=2， ∵mn＞0，∴m ＞0，n ＞0，()211211229=25222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ． 【思路点拨】根据对数函数的性质先求出A 的坐标，代入直线方程可得m 、n 的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．【题文】10．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦上分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为 （ ） A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 【知识点】几何概型;椭圆的简单性质．H5 K3【答案】【解析】B 解析：∵22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于32，∴0,2a b a b >><，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为()111132115222=1-2432S P S ??创==´阴影矩形，故选B ． 【思路点拨】表示焦点在x 3的椭圆时，（a ，b ）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a ，b ）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．【题文】11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位cm ）A ．2845+B ．3045+C ．30410+D ．28410+【知识点】三视图求表面积.G2【答案】【解析】A 解析：根据多面体的三视图可知该几何体如下图所示：由题意得：4,4,4BC CD AE ===,所以25,6,42AB AC AD BD ====所以14482BCD S V =⨯⨯=,14482ABC S V =⨯⨯=,1425452ADC S V =⨯⨯=在三角形ABD 中，10cos 1022542B ==⨯⨯，310s inB ∴=,131********ABD S V ∴=⨯=,所以该几何体的表面积为这四个面的面积和2845+A 。

2015年石家庄市高三数学第二次模拟考试 （理科答案） 选择题： 1-5 CCAAB 6-10 AABAD 11-12 DB 填空题： 13. 14. 15 16. 三、解答题： 17.解: （） …………………………1分…………………………3分 ∴…………………………5分…………………………6分(Ⅱ) 由得 a c ＝…………………………8分. 由得b2＝a2＋c2ac…………………10分…………………………12分 18．解（1）完成下面的列联表非读书迷读书迷合计男40 15 55 女20 25 45 合计 60 40 100 ……………… 3分 ≈8.249 8.249 > 6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关。

...……………..6分 （2）视频率为概率.从该中抽取1名（i=0，1，2，3）………………8分 从而分布列为 X 0 1 2 3 P .……………… 10分 E(x)=np=(或0.6)，D(x)=np(1-p）……………… 12分 19.（1）证明： 因为PA⊥平面ABCD，PA平面ADP， 所以平面ADP⊥平面ABCD. …………………………………………2分 又因为平面ADP∩平面ABCD=AD，CD⊥AD， 所以CD⊥平面ADP. ……………………………………………………4分 （2）AD，AP，AB两两垂直，建立如图所示空间坐标系， 则A（0，0，0），B（0，0，1）， C（4，0，4），P（0，4，0），则，，，.………………………………6分 设M（x, y , z), ，则. 所以，， ，. 因为BM⊥AC，所以，，解得， 所以M，. …………………………………………8分 设为平面ABM的法向量， 则，又因为， 所以. 令得为平面ABM的一个法向量. 又因为AP⊥平面ABC，所以为平面ABC的一个法向量.…………………10分 ， 所以二面角C—AB—M的余弦值为.…………………………12分 法2： 在平面ABCD内过点B作BH⊥AC于H， 在平面ACP内过点H作HM∥AP交PC于点M，连接MB ………6分， 因为AP⊥平面ABCD， 所以HM⊥平面ABCD. 又因为AC平面ABCD， 所以HM⊥AC. 又BH∩HM=H, BH平面BHM，HM平面BHM， 所以AC⊥平面BHM. 所以AC⊥BM，点M即为所求点. …………………………………………8分 在直角中，AH=， 又AC=，所以. 又HM∥AP，所以在中，. 在平面PCD内过点M作MN∥CD交DP于点N，则在中， . 因为AB∥CD，所以MN∥BA. 连接AN，由（1）知CD⊥平面ADP，所以AB⊥平面ADP. 所以AB⊥AD，AB⊥AN. 所以∠DAN为二面角C—AB—M的平面角.………………………10分 在中，过点N作NS∥PA交DA于S，则， 所以AS=，，所以NA=. 所以. 所以二面角C—AB—M的余弦值为. …………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）由题意得，解得，． 所以椭圆的方程是． 4分（Ⅱ）直线的方程设为，联立消去 则有，； …………… 6分的中点为，则， 因为直线于直线得 ………… 8分 因为所以, 所以，由点到直线距离公式和弦长公式可得， ………10分和解得 ， 直线或. ………… 12分（Ⅱ）直线的为，， 所以，， 由题意式式得 又因为直线与直线 由解得 …………… 6分所以, 所以， ………8分 设直线的方程设为，联立消去 ， ………10分，解得，满足. ，由得直线或. ……… 12分（）. 若，则恒成立，所以，在区间上单调递增. 若，当时，，在上单调递增. 时，的增区间为；当时，的增区间为 . ........................................................ 4分 （）由于，所以， 时， ————①......6分 令，则 函数在上单调递增，而 所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点. 设此零点为，则.当时，；当时，； 所以，在上的最小值为.由可得 所以，由于式等价于. 故整数的最大值为2. 22．解析：（1）连接，， 因为，所以，.................2分 又因为， 则， 所以四点共圆.………………5分 （2）因为和是的两条割线， 所以，……………7分 因为四点共圆, 所以，又因为， 则∽， 所以，即 则.………………10分 23．解析：（1）将直线（为参数）消去参数，化为普通方程，……………………2分 将代入得.…………4分 （2）方法一：的普通方程为.………………6分 由解得：或………………8分 所以与交点的极坐标分别为：，.………………10分 方法二：由，……………6分 得：，又因为………………8分 所以或 所以与交点的极坐标分别为：，.………………10分 24．解析：（1）当时， 无解， ， ………………………3分 综上，不等式的解集为.………………5分 （2），转化为 令， 因为a>0,所以， ………………8分 在a>0下易得,令得………………10分 y x z。

2015届石家庄高中毕业班第二次模拟考试试卷数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合21{|log ,1},{|,2}U y y x x P y y x x==>==>，则U C P = A ．1(0,)2 B ．(0,)+∞ C ．1[,)2+∞ D ．1(,0)[,)2-∞+∞2、下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是A ．2xy -= B ．tan y x = C ．3y x = D ．3log y x = 3、已知复数z 满足2015(1)i z i --(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为A ．12 B ．12- C ．12i D ．12i - 4、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32175,2S a a a =+=，则5a = A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 5、设变量,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为A ．6B ．7C ．8D ．23 6、投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为 A ．536 B ．16 C ．215 D ．112 7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．103 B ．53 C ．203D ．4 8、执行右下方的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S 的值为A ．1111234+++ B ．1111232432+++⨯⨯⨯ C ．111112345++++ D ．111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 9、在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(sin,cos )88P ππ，则sin(2)12πα-=A B ．．12 D ．12- 10、在四面体S-ABC 中，SA ⊥平面,120,2,1ABC BAC SA AC AB ∠====， 则该四面体的外接球的表面积为 A ．11π B ．7π C ．103π D ．403π11、已知F 是抛物线24x y =的焦点，直线1y kx =-与该抛物线交于第一象限 内的零点,A B ，若3AF FB =，则k 的值是A ．2 C ．3 D ．312、设函数()()2212,2(),,0,1,2,,9999i if x x f x x x a i ==-==，记1021|()()||()()|k k k k k S f a f a f a f a =-+- 9998|()()|,1,2k k f a f a k ++-=，则下列结论正确的是A ．121S S =<B ．121S S =>C ．121S S >>D ．121S S <<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

唐山市2014—2015学年度高三年级第一次模拟考试理科综合能力测试参考答案及评分参考生物部分（共90分）A卷1．B 2．C 3．B 4．C 5．A 6．DB卷1．A 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D29.（8分）（1）在幼嫩组织中，生长素只能进行极性运输（1分）（2）赤霉素（1分）生长素（1分）(3) 细胞伸长和细胞分裂（2分）(4)细胞分裂素（1分）（5）液泡（1分）纤维素（和果胶）（1分）30.（每空1分，共9分）(1)遗传（基因）氮抵抗力锄草（治虫）等（只要合理即给分）（2）捕食样方法（3）次生增加（4）玉米馒头31.（10分）（1）叶绿体基质（1分）专一性（1分）（2）C3（或三碳化合物）（1分）A TP和[H]（酶）（1分）（3）光呼吸需要光，暗呼吸有光无光均可以；光呼吸的场所是叶绿体和线粒体，暗呼吸的场所是细胞质基质和线粒体（2分）（4）CO2吸收速率（2分）（5）光呼吸降低有机物产量CO2（2分）32.（每空2分，共12分）（1）染色体变异有丝（2）ABD：ABd：aD：ad=1:1:1:1 （3）1/3 （4）1/4（5）D基因频率升高，d基因频率降低，原因是自然选择使种群基因频率定向向有利变异的D方向改变39.（15分）（1）液体（1分）葡萄糖（蔗糖或乳糖）（2分）（2）高压蒸汽（2分）接种（2分）（3）恒温培养箱（2分）（4）平板划线法（2分）稀释涂布平板法（2分）避免周围环境中微生物的污染（2分）40.（15分）（1）浆（1分）cDNA （2分）（2）构建基因表达载体（2分）受精卵（2分）（3）B（2分）桑椹胚期或囊胚期（2分）（4）DNA分子杂交（2分）转录出了免疫球蛋白的mRNA（2分）化学部分（100分）26、( 15分，最后一空1分，其余每空2分)(1)除去铁屑表面的油污，cd；(2)Fe+2Fe3+=3Fe2+；(3)冷却结晶、过滤；（第一空写出结晶即可得2分）(4)(滴入氯水)溶液红色加深；(5)14%，偏低。