巩固练习_《空间向量与立体几何》全章复习与巩固_基础

空间向量与立体几何【知识要点】1．空间向量及其运算：(1)空间向量的线性运算：①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．②空间向量的线性运算的运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；加法结合律：(a ＋b ＋c )＝a ＋(b ＋c )；分配律：(λ ＋μ )a ＝λ a ＋μ a ；λ (a ＋b )＝λ a ＋λ b ．(2)空间向量的基本定理：①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ ，使得a ∥λ b ．②共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一一对实数λ ，μ ，使得c ＝λ a ＋μ b ．③空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组λ 1，λ 2，λ 3，使得p ＝λ 1a ＋λ 2b ＋λ 3c ．(3)空间向量的数量积运算：①空间向量的数量积的定义：a ·b ＝|a ｜|b ｜c os 〈a ，b 〉；②空间向量的数量积的性质：a ·e ＝|a ｜c os ＜a ，e ＞；a ⊥b ⇔a ·b ＝0；|a |2＝a ·a ；|a ·b |≤|a ｜|b ｜．③空间向量的数量积的运算律：(λ a )·b ＝λ (a ·b )；交换律：a ·b ＝b ·a ；分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．(4)空间向量运算的坐标表示：①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k ｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a ，存在惟一数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，那么有序数组(a 1，a 2，a 3)就叫做空间向量a 的坐标，即a ＝(a 1，a 2，a 3)．②空间向量线性运算及数量积的坐标表示：设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)；λ a ＝(λ a 1，λ a 2，λ a 3)；a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3．③空间向量平行和垂直的条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λ b ⇔a 1＝λ b 1，a 2＝λ b 2，a 3＝λ b 3(λ ∈R )；a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0．④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则;||,||232221232221b b b a a a ++==++==⋅⋅b b b a a a;||||,cos 232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++=>=<⋅b a b a b a 在空间直角坐标系中，点A (a 1，a 2，a 3)，B (b 1，b 2，b 3)，则A ，B 两点间的距离是 .)()()(||233222211b a b a b a AB -+-+-=2．空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平面的法向量：①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量．由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定．(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ；②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0；③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0；④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ；⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ；⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v ②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ，显然 ]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l－β 在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB 叫做二面角α －l－β 的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若AB，CD分别是二面角α －l－β 的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角AB与的夹角的大小．α －l－β 的大小就是向量CD方法二：如图，m1，m2分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈m1，m2〉与该二面角的大小相等或互补．(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．【复习要求】1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．4．理解直线的方向向量与平面的法向量．5．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．6．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．【例题分析】例1如图，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2P A1，点S在棱BB1上，且B1S＝2SB，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQ∥RS．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ =解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．∵AP ＝2P A 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(S ,)32,2,3(RS PQ =-= ∴RS PQ //，又R ∉PQ ，∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤：(1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明．例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行．解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (4，0，0)，M (2，0，4)，N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．取MN 的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，4)，G (1，3，4)．MN ＝(2，2，0)，EF ＝(2，2，0)，AK ＝(－1，1，4)，OG ＝(－1，1，4)，∴MN ∥EF ，OG AK =，∴MN//EF ，AK//OG ，∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ，∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面EFBD 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AN AM a a得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝(2，－2，1)． 由,0,0==⋅⋅BF DE b b得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝(2，－2，1)．∵a ∥b ，∴平面AMN ∥平面EFBD ．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，M (2，1，2)，C (0，2，0)，N (2，2，1)． ∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM 设AM 和CN 所成的角为θ ，则,52||||cos ==⋅CN AM CNAM θ ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52 解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ．易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角．设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，),2,0,0(1a A ⋅-)2,2,23(1a a a C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a a D ，连接AD ，C 1D ． 则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB a DC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a a AD a a a AC =-= 23||||cos 111==∴⋅AD AC ADAC AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(0，0，a 2)，)2,2,23(1a a a C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a a a AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝(p ，q ，r )， 由,0,01==⋅⋅AA AB a a 得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0，0)．设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ .30,21|||||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a a AC AC AC 【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，2=BC ，求二面角A －PB －C 的平面角的余弦值．解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ．∵P A ＝AC ＝1，P A ⊥AC ，∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ．∵EA ⊥PB ， ∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，2，0)，P (1，0，1)，由D 是PB 的中点，得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E ∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA ∴⋅=>=<⋅33||||,cos DC EA DCEA DC EA 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，)0,1,2(B ，C (0，1，0)，P (0，0，1)，).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP设平面P AB 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面PBC 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AB AP a a 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅CP CB b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝(0，1，1)． ∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a ∵二面角A －PB －C 为锐二面角，∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．例6 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC ．(Ⅰ)求证：BC ⊥平面P AC ；(Ⅱ)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面P AC 所成角的余弦值；(Ⅲ)试问在棱PC 上是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角?若存在，求出PE ∶EC 的值；若不存在，说明理由．解：如图建立空间直角坐标系．设P A ＝a ，由已知可得A (0，0，0)，).,0,0(),0,23,0(),0,23,21(a P a C a a B - (Ⅰ)∵),0,0,21(),,0,0(a BC a AP == ∴,0=⋅BC AP ∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ．∴BC ⊥平面P AC ．(Ⅱ)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点． ∴⋅-)21,43,0(),21,43,41(a a E a a a D 由(Ⅰ)知，BC ⊥平面P AC ，∴DE ⊥平面P AC ，∴∠DAE 是直线AD 与平面P AC 所成的角． ∴),21,43,0(),21,43,41(a a AE a a a AD =-= ∴,414||||cos ==∠⋅AE AD AEAD DAE即直线AD 与平面P AC 所成角的余弦值是⋅414 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，DE ⊥平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，∴∠AEP 是二面角A －DE －P 的平面角．∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ，∠P AC ＝90°．∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时，∠AEP ＝90°，且⋅==3422AC PA EC PE 故存在点E 使得二面角A －DE －P 是直二面角，此时PE ∶EC ＝4∶3．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．练习1-3一、选择题：1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是( ) (A)2 (B)2 (C)5 (D)222．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是( )(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) (A)31 (B)32 (C)33 (D)32 4．如图，α ⊥β ，α ∩β ＝l ，A ∈α ，B ∈β ，A ，B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α ，β所成的角分别是θ 和ϕ，AB 在α ，β 内的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是( )(A)θ ＞ϕ，m ＞n(B)θ ＞ϕ，m ＜n (C)θ ＜ϕ，m ＜n (D)θ ＜ϕ，m ＞n二、填空题：5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______．6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于______．7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 21，P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为θ ，则cos θ ＝______． 三、解答题：9．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)证明：A 1C ⊥平面BED ；(Ⅱ)求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值．10．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4π=∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．(Ⅰ)证明：直线MN ∥平面OCD ；(Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小．11．如图，已知直二面角α －PQ －β ，A ∈PQ ，B ∈α ，C ∈β ，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α 所成的角为30°．(Ⅰ)证明：BC ⊥PQ ；(Ⅱ)求二面角B －AC －P 平面角的余弦值．习题1一、选择题：1．关于空间两条直线a 、b 和平面α ，下列命题正确的是( ) (A)若a ∥b ，b ⊂α ，则a ∥α (B)若a ∥α ，b ⊂α ，则a ∥b (C)若a ∥α ，b ∥α ，则a ∥b (D)若a ⊥α ，b ⊥α ，则a ∥b 2．正四棱锥的侧棱长为23，底面边长为2，则该棱锥的体积为( ) (A)8(B)38(C)6 (D)23．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( ) (A)46 (B)410 (C)22 (D)23 4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何 体的体积是( )(A)3cm 34000(B)3cm 38000(C)2000cm 3 (D)4000cm 35．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60° 的菱形，则该棱柱的体积等于( ) (A)2(B)22(C)23 (D)24二、填空题：6．已知正方体的内切球的体积是π34，则这个正方体的体积是______．7．若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则直线AB 1和BC 1所成角的余弦值是______． 8．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是______． 9．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于3472、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为______．10．已知AABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ＝a ，AD 是斜边BC 上的高，以AD 为折痕使∠BDC 成直角．在折起后形成的三棱锥A －BCD 中，有如下三个结论： ①直线AD ⊥平面BCD ； ②侧面ABC 是等边三角形；③三棱锥A －BCD 的体积是.2423a 其中正确结论的序号是____________．(写出全部正确结论的序号) 三、解答题：11．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB ＝AA 1．(Ⅰ)求证：AD ⊥B 1D ；(Ⅱ)求证：A 1C ∥平面A 1BD ；(Ⅲ)求二面角B －AB 1－D 平面角的余弦值．12．如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝2，AB ＝1，M 为PC 的中点．(Ⅰ)求证：平面PCB ⊥平面MAB ；(Ⅱ)求三棱锥P －ABC 的表面积．13．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，M 、N 分别是A 1C 1、BC 1的中点．(Ⅰ)求证：BC 1⊥平面A 1B 1C ； (Ⅱ)求证：MN ∥平面A 1ABB 1； (Ⅲ)求三棱锥M －BC 1B 1的体积．14．在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2=AD ，DC ＝SD＝2．点M 在侧棱SC 上，∠ABM ＝60°．(Ⅰ)证明：M 是侧棱SC 的中点；(Ⅱ)求二面角S －AM －B 的平面角的余弦值．练习1-3一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：5．60° 6．2 7．548．42三、解答题：9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D －xyz ．依题设，B (2，2，0)，C (0，2，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，4)．),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A(Ⅰ)∵,0,011==⋅⋅DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ． 又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．(Ⅱ)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝(4，1，－2)．⋅==⋅4214||||),cos(111C A C A C A n n n ∴二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值为⋅4214 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系．则A (0，0，0)，B (1，0，0)，)0,22,22(),0,22,0(-D P ，O (0，0，2)，M (0，0，1)，⋅-)0,42,421(N (Ⅰ)⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则,0,0==⋅⋅OD OP n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ，得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n MN ∴MN ∥平面OCD ． (Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为θ ，,3π,21||||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11．(Ⅰ)证明：在平面β 内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ．∵α ⊥β ，α ∩β ＝PQ ，∴CO ⊥α ． 又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ，又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ⊥OB ，故以O 为原点，分别以直线OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．∵CO ⊥α ，∴∠CAO 是CA 和平面α 所成的角，则∠CAO ＝30°． 不妨设AC ＝2，则3=AO ，CO ＝1．在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1＝(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AC AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ． 易知n 2＝(1，0，0)是平面β 的一个法向量．设二面角B －AC －P 的平面角为θ ，∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是⋅55 习题1一、选择题：1．D 2．B 3．A 4．B 5．B 二、填空题： 6．324 7．438．9π 9．5 10．①、②、③ 三、解答题：11．(Ⅰ)证明：∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴BB 1⊥平面ABC ，∴平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ．∵正△ABC 中，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AD ⊥B 1D ．(Ⅱ)解：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ． ∵AB ＝AA 1， ∴ 四边形A 1ABB 1是正方形，∴E 是A 1B 的中点，又D 是BC 的中点，∴DE ∥A 1C ．∵DE ⊂平面A 1BD ，A 1C ⊄平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面A 1BD ．(Ⅲ)解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1， 则⋅-)1,0,21(),0,23,0(),0,0,0(1B A D 设n 1＝(p ，q ，r )是平面A 1BD 的一个法向量， 则,01=⋅AD n 且,011=⋅D B n 故.021,023=-=-r P q 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1)．同理，可求得平面AB 1B 的法向量是).0,1,3(2-=n 设二面角B －AB 1－D 大小为θ ，∵,515||||cos 2121==⋅n n n n θ∴二面角B －AB 1－D 的平面角余弦值为⋅51512．(Ⅰ)∵P A ⊥AB ，AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面P AC ，故AB ⊥PC ．∵P A ＝AC ＝2，M 为PC 的中点，∴MA ⊥PC ．∴PC ⊥平面MAB ， 又PC ⊂平面PCB ，∴平面PCB ⊥平面MAB ．(Ⅱ)Rt △P AB 的面积1211==⋅AB PA S ．Rt △P AC 的面积.2212==⋅AC PA S Rt △ABC 的面积S 3＝S 1＝1．∵△P AB ≌△CAB ，∵PB ＝CB ，∴△PCB 的面积.632221214=⨯⨯==⋅MB PC S ∴三棱锥P －ABC 的表面积为S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝.64+13．(Ⅰ)∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1B ⊥A 1B 1．又B 1C 1⊥A 1B 1，∴A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1B 1． ∵BB 1＝CB ＝2，∴BC 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C ．(Ⅱ)连接A 1B ，由M 、N 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN ∥A 1B ， 又A 1B ⊂平面A 1ABB 1，MN ⊄平面A 1ABB 1，∴MN ∥平面A 1ABB 1．(Ⅲ)取C 1B 1中点H ，连结MH ．∵M 是A 1C 1的中点，∴MH ∥A 1B 1，又A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴MH 是三棱锥M －BC 1B 1的高， ∴三棱锥M －BC 1B 1的体积⋅=⨯⨯⨯==⋅⋅∆321421313111MH S V B BC 14．如图建立空间直角坐标系，设A (2，0，0)，则B (2，2，0)，C (0，2，0)，S (0，0，2).(Ⅰ)设)0(>=λλMC SM ， 则),12,12,2(),12,12,0(λλλλλ++--=++BM M 又.60,),0,2,0( >=<-=BM BA BA 故,60cos ||||. BA BM BA BM = 即,)12()12()2(14222λλλ+++-+-=+解得λ ＝1． ∴M 是侧棱SC 的中点．(Ⅱ)由M (0，1，1)，A (2，0，0)得AM 的中点⋅)21,21,22(G 又),1,1,2(),1,1,0(),21,23,22(-=-=-=AM MS GB ∴,,,0,0AM MS AM GB AM MS AM GB ⊥⊥∴==⋅⋅ ∴cos 〉MS ,GB 〈等于二面角S －AM －B 的平面角． ,36||||),cos(-==⋅MS GB MS GB MS GB 即二面角S －AM －B 的平面角的余弦值是－36．。

第一章空间向量与立体几何 复习参考题复习巩固1. 如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（ ）A.121232a b c -+ B. 211322a b c -++C.111222a b c +- D.221332a b c +- 【答案】B【分析】由空间向量的线性运算求解． 【详解】由题意1121132322MN MA AB BN OA OB OA BC OA OB OC OB =++=+-+=-++-211322OA OB OC =-++，又OA a =，OB b =，OC c =，∴211322MN a b c =-++,2. 如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，AB a =，AD b =，1AA c =，P 、M 、N 分别是CA '、CD '、C D ''的中点，点Q 在CA '上，且:4:1CQ QA '=．用空间的一个基底{},,a b c 表示下列向量：（1）AP ； （2）AM ； （3）AN ； （4）AQ ．【答案】（1）111222AP a b c =++ （2）1122AM a b c =++（3）12AN a b c =++（4）114555AQ a b c =++【分析】（1）利用空间向量的加法法则可得出AP 在基底{},,a b c 下的表达式；（2）利用空间向量的加法法则可得出AM 在基底{},,a b c 下的表达式； （3）利用空间向量的加法法则可得出AN 在基底{},,a b c 下的表达式； （4）利用空间向量的加法法则可得出AQ 在基底{},,a b c 下的表达式.【小问1详解】解：A C A A AB BC a b c ''=++=+-， 则()1111122222AP AA A P AA A C c a b c a b c ''''=+=+=++-=++； 【小问2详解】解：CD CC CD c a ''=+=-，AD AD AA b c ''=+=+，所以，()11112222AM AD D M AD CD b c c a a b c ''''=+=-=+--=++；【小问3详解】解：1122AN AD D N AD D C a b c '''''=+=+=++. 【小问4详解】解：()1111455555AQ AA A Q AA A C c a b c a b c ''''=+=+=++-=++.3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1CB =，2CA =，1AA =M 是1CC 的中点.求证：1AM BA ⊥.【分析】以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，证明10BA AM ⋅=即可. 【详解】由题可以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则1(0,0,0),1,0,,2B A M A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则1(0,3,6),(1,2BA AM ==-， 10330BA AM ⋅=-+=∴，∴1AM BA ⊥.4. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为a .（1）试建立适当的空间直角坐标系，并写出点A ，B ，1A ，1C 的坐标； （2）求1AC 与侧面11ABB A 所成的角. 【答案】（1）答案见解析；（2）6π【分析】取BC 的中点为O ,11B C 的中点为1O ,连结1OO ,连结OA ，以O 为原点，1,,OA OB OO 为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】（1）因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，取BC 的中点为O , 取11B C 的中点为1O ,连结1OO ,则1OO ⊥面ABC .连结OA ，则OA ⊥BC . 以O 为原点，1,,OA OB OO 为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，由底面边长为a ，侧，则()1110,0,0,,0,0,0,,0,0,,0,,0,,0,,222222a a a a O A a B C A a B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以点A ，B ，1A ，1C 的坐标为：11,0,0,0,,0,,0,22a a A B A C ⎫⎫⎛⎫⎛⎫-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）由（1）知：()1133=,,2=,,0=0,0,222a a AC a a AB a AA ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，.设(),,n x y z =为面11ABB A 的一个法向量，则1·=0·=0n AA n AB ⎧⎨⎩，即1·=00·=002n AA z an AB x y ⎧++⋅⎪⎛⎫⎨-⋅+⋅+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩， 不妨设x =1,则()1,3,0n =.设1AC 与侧面11ABB A 所成的角为02πθθ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，则1111sin =cos ,2AC n AC n AC nθ ⎝===⨯⎛， 所以=6πθ，即1AC 与侧面11ABB A 所成的角为6π.5. 已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -． （1）求以AB ，AC为邻边的平行四边形的面积；（2）若向量a 分别与AB ，AC 垂直，且3a =，求向量a 的坐标． 【答案】（1）（2）(3,3,a =或(3,a =-【分析】（1）先求出,AB AC ，然后利用向量的夹角公式求出cos BAC ∠，从而可求出sin BAC ∠，再利用三角形的面积公式可求得答案，（2）设(,,)a x y z =，然后利用向量a 分别与AB ，AC 垂直，且3a =，列方程组可求得答案【小问1详解】因为()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -，所以(2,1,3),(1,3,2)AB AC =--=-， 所以71cos 1424AB AC BAC AB AC⋅∠====，因为0180BAC ︒≤∠≤︒，所以60BAC ∠=︒， 所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为sin 60142AB AC BAC ∠=︒=⨯= 【小问2详解】 设(,,)a x y z =，因为向量a 分别与AB ，AC 垂直，所以230320a AB x y z a AC x y z ⎧⋅=--+=⎨⋅=-+=⎩，因为3a =，所以2229x y z ++=，解得x y z ===x y z ===，所以(3,3,a =或(3,a =-6. 设空间两个单位向量(),,0OA m n =，()0,,OB n p =与向量()1,1,1OC =的夹角都等于4π，求cos AOB ∠的值.【答案】cos AOB ∠=cos AOB ∠=.【分析】根据已知可得||||cos4OC OA OC OA π⋅=⋅⋅1m n ===+，2221OA m n =+=，由此可以求出2n ，再根据2cos ||||OA OBAOB n OA OB ⋅∠==⋅，即可求得答案.【详解】因为两个单位向量(,,0)OA m n =，(0,,)OB n p =与向量(1,1,1)OC =的夹角都等于4π， 4AOC BOC π∴∠=∠=，||3OC =，||||1OA OB ==，||||cos4OC OA OC OA π∴⋅=⋅⋅1==OC OA m n ⋅=+， 2221OA m n =+=，2221m n m n ⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩解得22m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 2OA OB n ⋅=，2cos ||||OA OBAOB nOA OB ⋅∴∠==⋅，cos AOB ∴∠=cos AOB ∠=7. 正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点.在直线1CC 上求一点N ，使1⊥MN AB . 【答案】满足18CN =. 【分析】以A 为原点建立空间直角坐标系，设(0,1,),02N t t 剟，通过10MN AB ⋅=求解.【详解】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则131,0,(0,0,0),,242M A B ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，设(0,1,),02N t t 剟， 则13131,,,,,242MN t AB⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1MN AB ⊥，1112042MN AB t ⋅=-+⨯+∴=，解得18t =，。

《空间向量与立体几何》单元复习与巩固知识网络知识要点梳理知识点一：平面的法向量定义：已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量。

注意：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。

已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。

知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。

（1）线线平行设直线，的方向向量分别是，，则要证明，只需证明，即。

（2）线面平行①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即。

②根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量。

③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。

（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。

②若能求出平面，的法向量，，则要证明，只需证明。

知识点三：用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直。

（1）线线垂直设直线，的方向向量分别为，，则要证明，只需证明，即。

（2）线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明。

②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。

（3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。

②证明两个平面的法向量互相垂直。

知识点四：利用向量求空间角（1）求异面直线所成的角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则。

注意：两异面直线所成的角的范围为（00,900]。

《空间向量与立体几何》全章复习与巩固编稿：李霞审稿：张林娟【学习目标】1.了解空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示；2.运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，理解直线的方向向量与平面的法向量；3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理及问题；4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及一些简单的距离问题.【知识网络】【要点梳理】要点一：空间向量的有关概念空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；空间向量的表示：一种是用有向线段AB 表示，A 叫作起点，B 叫作终点；一种是用小写字母a （印刷体）表示，也可以用a （而手写体）表示．向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB 或||a ．向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a b ,的相等向量OA 和OB ，则∠AOB 叫作向量a b ,的夹角，记作〈〉，a b ，规定0π≤〈〉≤，a b ．如图：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行． 单位向量：长度为1的空间向量，即||1a =． 相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：方向相反但模相等的向量．共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．a 平行于b 记作b a//，此时．a b 〈〉，=0或a b 〈〉，=π． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释：（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；（2）当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．（3）对于任意一个非零向量a，我们把a a叫作向量a 的单位向量，记作0a ．0a 与a同向．（4）当a b 〈〉，=0或π时，向量a 平行于b ，记作b a //；当 a b 〈〉，=2π时，向量a b ，垂直，记作a b ⊥． 要点二：空间向量的基本运算 空间向量的基本运算： 运算类型几何方法运算性质向 量 的 加 法1平行四边形法则：OC OA ABa b=+=+加法交换率：.a b b a +=+加法结合率： ()()a b c a b c ++=++()a b a b -=+-AB BC=AC + 0AB BA=+2三角形法则：OB OA AB a b=+=+向 量 的 减 法 三角形法则： BA OA OB a b=-=-AB OA OB =-向 量 的 乘 法 a λ是一个向量，满足：λ>0时，a λ与a 同向； λ<0时，a λ与a 异向；λ=0时， a λ=0()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+a ∥b a b λ⇔=向 量 的 数 量 积1．a b 是一个数：||||cos()a b a b a b =，；2．0a =，0b=或a b ⊥ ⇔b a •=0．a b b a =()()()a b a b a b λλλ==()a b c a c b c +=+22||a a =||||||a b a b ≤要点三：空间向量基本定理共线定理：两个空间向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使b aλ=．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，则向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在唯一的一对实数,x y ，使p xa yb =+．要点诠释：（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线． （2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面． 空间向量分解定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++.要点诠释：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0．（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 要点四：空间向量的直角坐标运算 空间两点的距离公式若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则①222111212121(,,)(,,)(,,)AB OB OA x y z x y z x x y y z z =-=-=---； ②2||(AB AB ==；③ AB 的中点坐标为121212222x +x y +y z +z ⎛⎫⎪⎝⎭，，．空间向量运算的的坐标运算设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则 ① 121212(,,)a b x x y y z z +=+++； ② 121212(,,)a b x x y y z z -=---； ③ 111(,,)()a x y z R λλλλλ=∈； ④ 121212a b x x y y z z ⋅=++；⑤ 222111a a a x y z ==++，222222b b b x y z ==++； ⑥ ()121212222222111222cos 00x x y y z z a b a b a b a bx y zx y z++==≠≠++++，，．空间向量平行和垂直的条件若111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则①12//a b a b x x λλ⇔=⇔=，12y y λ=，12()z z R λλ=∈⇔111222x y z x y z ==222(0)x y z ≠； ②12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． 要点诠释：（1）空间任一点P 的坐标的确定：过P 作面xOy 的垂线，垂足为'P ，在面xOy 中，过'P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A C 、，则|'|||||x P C y AP z PP ===，，＇＇．如图： （２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：a ba b |a ||b|cos a b cos a b |a ||b|⋅⋅=<⋅>⇒<⋅>=⋅，其中θ的范围是[0,]π．（３）0与任意空间向量平行或垂直． 要点五：用向量方法讨论垂直与平行图示向量证明方法线线平行 （a //b ）a //b（a b ，分别为直线a b ，的方向向量）线线垂直 （a b ⊥）⊥a b（a b ，分别为直线a b ，的方向向量）线面平行 （l //α）⊥a n ，即0=⋅a n（a 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量）．线面垂直 （l α⊥）a //n（a 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量） 面面平行 （α//β）//u v（u v ，分别是平面α，β的法向量）面面垂直 （αβ⊥）⊥u v ，即0=u v（u ，v 分别是平面α，β的法向量）要点诠释：（１）直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．（２）平面的法向量：已知平面α，直线l α⊥，取l 的方向向量a ，有α⊥a ，则称为a 为平面α的法向量． 一个平面的法向量不是唯一的．要点六：用向量方法求角图示向量证明方法异面直线所成的角||cos ||||AC BD AC BD θ⋅=⋅（A ，C 是直线a 上不同的两点，B ，D 是直线b 上不同的两点）直线和平面的夹角||sin |cos |||||θϕ⋅==⋅a u a u（其中直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的角为ϕ）二面角cos θ（平面α与β的法向量分别为1n 和2n ，平面α与β的夹角为θ）要点诠释：①当法向量1n 与2n 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n 的夹角12,〈〉n n 的大小。

新教材：《空间向量与立体几何》基础巩固训练一、单选题1．点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为（ ）A ．(－1，2，3)B ．(1，－2，－3)C ．(－1，－2，－3)D ．(1，2，－3)2．若两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-，则1l 和2l 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．垂直D ．不确定3．若向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2a b -=（ ）A ．(4,1,0)-B ．(4,1,4)--C ．(4,1,0)-D ．(4,1,4)--4．已知空间向量(3m =，1，3)，(1n =-，λ，1)-，且//m n ，则实数λ=（ ）A ．13-B ．3-C ．13D ．65．一个向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，则p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（ ）A ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，， C ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，， D ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，6．已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11AC 的中心，若1AE AA xAB yAD =++，则x y +等于（ ） A ．13B ．12C ．1D ．27．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ）A ．2aB ．212a C ．214a D ．24a 8．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（ ）A ．3B ．2C D ．59．已知M ，N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且2MP PN =，设向量OA a =，OB b =，OC c =则OP =（ ）A ．111666a b c ++ B ．111333a b c ++ C ．111633a b c ++ D ．111366a b c ++10．已知点()1,1,A t t t --，()2,,B t t ，则A ，B 两点的距离的最小值为（ ）A ．31010B ．55C ．355D ．3511．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（ ） A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 是正方形11AA D D 内部（不含边界）的一个动点，若直线AP 与平面11AA B B 所成角的正弦值和异面直线AP 与1DC 所成角的余弦值相等，则线段DP 长度的最小值是（ ） A 6 B ．23C 6D ．43二、填空题13．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______．14．已知()2,3,a m =-，()2,1,1b =-，若a b ⊥，则实数m 的值为________．15．如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1||||1===AB AD AA ，∠BAD ＝∠BAA 1＝120°，∠DAA 1＝60°，则线段AC 1的长度是_______．16．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则点1D 到平面1A BD 的距离是_______． 17．在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1,DA BB 的中点，,M N 分别为线段1111,D A A B 上的动点（不包括端点）满足EN FM ⊥，则线段MN 的长度的取值范围为__________．18．如图，在四棱锥S －ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，且AB ＝4，SA ＝3，E 、F 分别为线段BC 、SB 上的一点(端点除外)，满足SF CEBF BE=＝λ，则当实数λ的值为________时，∠AFE 为直角．三、解答题19．已知向量(2,1,2),(1,1,4)a b =--=-．（1）计算23a b -和23a b -． （2）求,a b ．20．已知,,OA OB OC 两两垂直，3,2OA OC OB ===，M 为OB 的中点，点N 在AC 上，2AN NC =．（1）求MN 的长；（2）若点P 在线段BC 上，设BPPCλ=，当AP MN ⊥时，求实数λ的值．21．已知空间中三点()2,0,2A -，()1,1,2B --，()3,0,4C -，设a AB =，b AC =．（1）若3c =，且//c BC ，求向量c ； （2）已知向量ka b +与b 互相垂直，求k 的值； （3）求ABC ∆的面积．22．如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2，点E为AB的中点．（1）求证：D1E⊥A1D；（2）在线段AB上是否存在点M，使二面角D1－MC－D的大小为π6？若存在，求出AM的长，若不存在，说明理由．新教材：《空间向量与立体几何》基础巩固训练参考答案一、单选题1．D 【解析】点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为(1,2,)3-．故选D ．2．A 【解析】因为两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-，所以212v ν=-，即2ν与1v 共线，所以两条不重合直线1l 和2l 的位置关系是平行，故选A 3．C 【解析】因为向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2(4,0,2)a=-，则2a b -=(4,1,0)-，故选C ．4．A 【解析】因为//m n ，故,m n R μμ=∈，故()()3,1,31,,1μλ=--，即33113μμλμλ=-⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨==-⎩⎪⎩．故选A5．B 【解析】因为向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，所以23p a b c =++，设p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为(),,x y z ，所以()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++-+⇒++-+，有13223x y x y x z +=⎧⎪-=⇒=⎨⎪=⎩，12y，3z =，p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选B ．6．C 【解析】如图，()111111112AE AA A E AA A B A D =+=++ ()11111222AA AB AD AA AB AD =++=++，所以12x y ==，所以1x y +=．故选C7．C 【解析】11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅1()4AB AD AC AD =⋅+⋅ ()22211cos60cos6044a a a ︒︒=+=，故选C 8．D 【解析】以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1)，1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量．1410cos ,558BC AC ∴<>==⋅．∴直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为105．故选D ．9．C 【解析】如图所示，连接ON ，∵OP ON NP =+，1()2ON OB OC =+，所以13NP NM =，NM OM ON =-，12OM OA =，∴13OP ON NP ON NM =+=+121()333ON OM ON ON OM =+-=+21()32OB OC =⨯+1132OA +⨯111633OA OB OC =++111633a b c =++．故选C ．10．C 【解析】因为点()1,1,A t t t --，()2,,B t t ，所以22222(1)(21)()522AB t t t t t t =++-+-=-+，有二次函数易知，当15t =时，取得最小值为95 ，AB ∴35，故选C ．11．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（ ）A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π11．A 【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=．依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点， 所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心．连接1OO ， 则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-，由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23，所以212212388BD AB h BD AB h h ⋅==⋅+⋅+，即2222,16,483h h h h ===+．所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选A12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 是正方形11AA D D 内部（不含边界）的一个动点，若直线AP 与平面11AA B B 所成角的正弦值和异面直线AP 与1DC 所成角的余弦值相等，则线段DP 长度的最小值是（ ）A ．62B ．223C ．63D ．4312．C 【解析】如图，以D 为坐标原点，DC ，DA ，1DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，可设P （0，y ，z ），由A （0，1，0），1C （1，0，1），01y <<，01z <<，1(0,1,),(1,0,1),(0,1,0)AP y z DC DA =-==，设直线AP 与平面11AA B B 所成角为θ，异面直线AP与1DC 所成角为α，由平面11AA B B 的一个法向量为(0,1,0)DA =，可得122cos cos ,2(1)z AP DC z y α=<>=⋅+-，221sin cos ,,01(1)y AP DA y z y θ-==<<+-，由sin cos θα=，可得2(1)z y =-，则22222222(1)333DP y z y y y ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，当23y =时，线段DP 长度的最小值为63．故选C ．二、填空题13．18【解析】P ，A ，B ，C 四点共面，且3148OP OA OB OC t =++，31148t ++=，解得18t =． 14．7【解析】因为a b ⊥，所以0223(1)0a b m ⋅=⇒-⨯+⨯-+=，解得7m =． 15211AC AB AD AA =++，∴22221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++++111111211()211()211222=+++⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯2=，12AC ∴1623如图建立空间直角坐标系，则1(0,0,2)D ，1(2,0,2)A ，(0,0,0)D ，2,20B （，），∴11(2,0,0)=D A ，1(2,0,2)DA =，(2,2,0)DB =，设平面1A BD 的一个法向量为(,,)n x y z =，1220220n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1x =，则(1,1,1)n =--，∴点1D 到平面1A BD 的距离11||223||33D A n d n ⋅===．17．25,25⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得：()()1,0,0,2,2,1E F ， 设()(),0,2,2,,2M x N y ，其中02,02x y <<<<，则()()1,,2,2,2,1EN y FM x ==--，()(),1,,2.2,2,120EN FM EN FM y x x y ⊥∴⋅=--=-=，据此可得：2,02,01x y x y =<<∴<<，由空间中两点之间距离公式可得：()()()22222244222225,55MN x y y y y ⎛⎫=-++-=-+=-+ ⎪⎝⎭当45y =时，255MN =，当0y =时，2MN =， 结合二次函数的性质可得线段MN 的长度的取值范围为25,25⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭．18．916【解析】∵SA ⊥面ABCD ，∠BAD ＝90°，故可建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ．∵AB ＝4，SA ＝3，∴B (0，4，0)，S (0，0，3)．设BC ＝m ，则C (m ，4，0)．∵SF CE BF BE =＝λ，∴SF ＝λFB ， ∴111AF AS AB λλλ=+++，∴F 43(0,,)11λλλ++．同理，E (,4,0)1m λ+，∴43(,,)111m FE λλλ-=+++ 要使∠AFE ＝90°，则0FE FA ⋅=．又43(0,,)11FA λλλ--=++，∴24430()01111m λλλλλ--⨯+⨯+=++++， ∴16λ＝9，∴λ＝916． 三、解答题19．【解析】（1）因为向量(2,1,2),(1,1,4)a b =--=-所以232(2,1,2)3(1,1,4)(4,2,4)(3,3,12)(1,5,8)a b -=----=----=-，所以222231(5)8310a b -=+-+=（2）92cos ,332a ba b a b ⋅===⨯ 因为,[0,]a b π∈，所以,4a b π=20．【解析】（1）由题意， 以OA ，OB ，OC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系，()()()()0,0,0,3,0,0,0,2,0,0,0,3O A B C由于M 为OB 的中点，点N 在AC 上，可得()0,1,0M ，()1,0,2N ，6MN = （2）设()0,,P y z BP PC λ=，且点P 在线段BC 上，BP PC λ∴=，230,,11P λλλ⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭． AP MN ⊥，·0AP MN ∴=，263011λλλ∴--+=++ 53λ∴= 21．【解析】（1）空间中三点()2,0,2A -，()1,1,2B --，()3,0,4C -，设a AB =，b AC =，所以()()()1,1,22,0,21,1,0a AB =--=--=--，()()()3,0,42,0,21,0,2b AC ==---=-，∴(3,0,4)(1,1,2)(2,1,2)BC =----=-， 3c =，且//c BC ，设c mBC =，∴()()2,1,22,,2c mBC m m m m ==-=-， 222(2)()(2)33c m m m m ∴=-+-+==，1m ∴=±，∴()2,1,2c =-或()2,1,2c =--． （2）()()()1,0,21,,21,1,0ka b k k k -++=---=--，()1,0,2b =- 且向量ka b +与b 互相垂直，()140ka b b k ∴+=-+=，解得5k =．k ∴的值是5． （3）因为()1,1,0AB =--，()1,0,2AC =-， ()2,1,2BC =- 1AB AC ∴=-，()()22112AB =-+-=，()22125AC =+-= 11cos ,||||2510AB AC AB AC AB AC -∴<>===-，13sin ,11010AB AC ∴<>=-=， 1sin ,2ABC S AB AC AB AC ∆∴=⨯⨯⨯<>1325210=⨯⨯⨯32=． 22．【解析】（1）连结AD 1交A 1D 于F ，∵四边形AA 1D 1D 为正方形，∴AD 1⊥A 1D ，∵正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，交线为AD ，AE ⊥AD ， ∴AE ⊥平面AA 1D 1D ，又A 1D ⊂平面AA 1D 1D ，∴AE ⊥A 1D ， 又AD 1∩AE ＝A ，∴A 1D ⊥平面AD 1E ，又D 1E ⊂平面AD 1E ，∴A 1D ⊥D 1E ．（2）存在满足条件的点M ，AM ＝2－33． 解法一：假设存在满足条件的点M ，过点D 作DN ⊥CM 于点N ，连结D 1N ，则D 1N ⊥CM ，所以∠D 1ND 为二面角D 1－CM －D 的平面角，所以∠D 1ND ＝π6， 在Rt △D 1ND 中，D 1D ＝1所以DN ＝3 ，又在Rt △DNC 中，CD ＝AB ＝2，所以∠NDC ＝π6，∴∠MCB ＝π6， 在Rt △MCB 中，BM ＝BC ·tan π6＝33，∴AM ＝2－33． 故在线段AB 上存在一点M ，使得二面角D 1－CM －D 为π6，且AM ＝2－33． 解法二：依题意，以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，因为AB ＝2AD ＝2，则D (0，0，0)，C (0，2，0)，D 1(0，0，1)，A 1(1，0，1)， 所以1DD ＝(0，0，1)，1D C ＝(0，2，－1)．易知1DD 为平面MCD 的法向量，设M (1，a ，0)(0≤a ≤2)，所以MC ＝(－1，2－a ，0)，设平面D 1MC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，所以100n D C n MC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即()()()(),,0,2,10,,,1,2,00x y z x y z a ⎧⋅-=⎪⎨⋅--=⎪⎩，所以()2,2z y x a y =⎧⎨=-⎩取y ＝1， 则n ＝(2－a ，1，2)，又二面角D 1－MC －D 的大小为π6，所以11cos 6||||DD n DD n π⋅==⋅ 即3a 2－12a ＋11＝0，解得a ＝又因为02a ≤≤，所以a ＝2． 故在线段AB 上是存在点M ，使二面角D1－MC －D 的大小为π6，且AM ＝2。

【高中数学】复习、巩固、模拟学案：选择必修1第一章空间向量与立体几何一、空间向量及运算：(一)空间向量的相关概念1. 空间向量的定义：在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

方向和大小是向量的两要素。

2、空间向量的表示方法：(1)几何表示：用有向线段表示（2）代数表示：○1用带箭头的小写字母表示,如、○2用有向线段的起点和终点坐标表示，如3、向量的模：向量的大小叫做向量的长度或模，记作、4、特殊向量：零向量：长度为0的向量叫作零向量单位向量：模为1的向量叫作单位向量相等向量：长度相等方向相同的向量称为相等向量；相反向量：长度相等方向相反的向量称为相反向量。

(二)空间向量的加减、数乘运算：原理：向量为自由向量，具有平移不变性。

空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。

1、向量加法的三角形法则：=+=+OB OA AB a b首尾连，起点到终点（首尾相连，自始至终）2、向量加法的平行四边形法则：向量共起点，和为对角线。

3、向量减法的三角形法则：=-=-BA OA OB a b共起点，连终点，指向前。

4、空间向量三角形加法法则的推广：多边形折线法则首尾顺次相接的若干个空间向量的和等于起始向量的起点指向末尾向量终点的向量（首尾连，起点到终点）；若首尾顺次相接的若干个空间向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。

5、空间向量加法平行四边形法则的推广：平行六面体法则共起点且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.6、向量的数乘运算：实数与空间向量的乘积仍为一个向量，称为向量的数乘运算(1)当>0,与向量方向相同（同向伸缩）(2)当<0,与向量方向相反(反向伸缩)(3)当=0,为零向量的长度是的倍。

(三)空间向量的加减与数乘运算律空间向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算： (1)加法交换律：＋=＋．(2)加法结合律：(＋)＋=＋(＋)． (3)数乘分配律：λ(＋)=λ＋λ． (4)线性运算：=(四)共线向量（1）共线向量定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。

【巩固练习】1.（2016成都模拟）已知mm为空间中两条不同的直线，。

邛为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A,若则 B.若a. m A "则〃〃aC.若mH a,mJ In则〃〃aD.若mll[i则仁八2.如图，网格纸上小正方形的边长为I,粗线画出的是某儿何体的三视图,则此儿何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 183.卜列命题正确的是（）A.若两条直线和同一个平而所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4.已知空间三条直线/、m、〃.若，与，〃异面，且，与〃异面，则（）A.，〃与〃异而.B. "2与〃相交.C.血与〃平行.D.血与〃异面、相交、平行均有可能.5.设m, n是两条不同的直线，。

，”是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（）.A. m±a , nu /3 , m±n=><7 JL[3B. a 〃&, m±a » n〃/? =>m_LnC. a _L " , m_La, n// /3 => m±nD. a _L ” , a （3 =m, n±m=>n± /?6.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A. 25勿B. 50勿C. 125/rD.都不对7.如图，在正方体ABCD-A.B J C I D.中，E, F, G, H分别为AA” AB, BB” B|G的中点，则异面直线EF与GH所成的角为（）.A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°8.如图，动点P 在正方体ABCD.A|B|GD ］的对角线B 。

立体几何与空间向量复习巩固学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知O 为空间任意一点，若311488OP OA OB OC =++，则,,,A B C P 四点（）A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断2．已知向量()()()1,1,4,2,1,2,3,1,a b c λ=-=--=- .若,,a b c共面，则实数λ=（）A ．52-B ．2-C ．1-D ．03．如图，矩形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AD 的中点，CF 交DE 于点H ，将BAE 沿直线AE 翻折到PAE △，连接PD ，G 为PD 的中点，则在翻折过程中，下列命题错误的是（）A ．翻折过程中，始终有平面//PAE 平面GFCB ．存在某个位置，使得CG AP ⊥C ．若AB BE =，则AE ED ⊥D ．翻折过程中，CG 的长是定值4．ABCD 沿对角线AC 折成直二面角D AC B --，则三棱锥D ABC -的外接球的球心到平面BCD 的距离为（）A B ．2C ．3D ．125．在Rt ABC △中，AB BC D ==为AC 的中点．将ABD △沿BD 翻折，得到三棱锥C ABD -，当二面角A BD C --为π3时，三棱锥C ABD -的外接球的表面积为（）A ．4π3B ．5π3C ．7π3D ．103π6．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，26AB BC ==，PC PD ⊥，PC PD =，点O 是CD 的中点，则线段PB 上的动点E 到直线AO 的距离的最小值为（）AB ．2CD ．37．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,P Q 分别为棱11C D ，1B C 上的动点，则四面体PQAD 的体积最大值为（）A ．16B ．14C ．13D ．12二、多选题8．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 为1CC 的中点，点P 为该正方体的上底面1111D C B A 上的动点，则（）A ．满足//CP 平面1BDA 的点P B ．存在唯一的点P 满足AP PM ⊥C ．满足MP AM ⊥的点P 的轨迹长度为4D ．存在点P 满足2PA PM +=9．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，动点M 在棱1DD 上，记平面1BC M 截正方体所得的截面图形为Ω，则（）A ．平面1A BC ⊥平面11BC DB ．不存在点M ，使得直线CM //平面11BA CC ．1B M CM +的最小值为D ．Ω的周长随着线段DM 长度的增大而增大10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，过棱,AB BC 的中点,E F 作正方体的截面，下列说法正确的是（）A ．该正方体外接球的表面积是48πB ．若截面是正六边形，则直线1B D 与截面垂直C ．若截面是正六边形，则直线1D B 与截面所成角的正弦值的3倍为2D ．若截面过1D 点，则截面周长为11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 上的一个动点，F 为棱11B C 上的一个动点，则直线1AA 与平面EFB 所成的角可能是（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π212．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，且12AB BC CC ===，M 为线段BC 上的动点，则（）A ．11AB A M⊥B ．三棱锥11C AMB -的体积不变C ．11A M C M +的最小值为3D ．当M 是BC 的中点时，过11,,A M C 三点的平面截三棱柱111ABC A B C -外接球所得的截面面积为26π913．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，H 为棱1AA （包含端点）上的动点，下列命题正确的是（）A ．二面角11D ABC --的大小为π3B ．CH BD⊥C ．若O 在正方形11DCCD 内部，且||2OB =，则点O 的轨迹长度为4D ．若CH ⊥平面β，则直线CD 与平面β所成角的正弦值的取值范围为32⎣⎦14．如图所示，有一个棱长为4的正四面体P ABC -容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．直线AE 与PB 所成的角为π2B ．ABE 的周长最小值为4C ．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入）D ．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为25三、填空题15．在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中．点E 在棱1A A 上，且113A A A E =，记过点1,,D C E 的平面与侧面11ABB A 的交线为l ．且l AB F = ，则EF 的长为．16．有三个球和一个正方体，第一个球与正方体的各个面相切，第二个球与正方体的各条棱相切，第三个球过正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为．17．在直三棱柱111ABC A B C -中，135ACB ∠=︒，AB =1BC CC ==P 是线段1B C 上的动点，则11A P PC +的最小值是．18．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E F ､分别为1AA ，AB 的中点，点P 是正方体表面上的动点，若1C P ∥平面1CD EF ，则点P 在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为．四、解答题19．如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，侧面CDEF 为等腰梯形，二面角E CD A --为直二面角，24,AB EF AF ===(1)求点F 到平面ABCD 的距离；(2)设点P 为线段BC 的中点，点Q 满足()0AQ AE λλ=> ，若直线PQ 与平面ADE 及平面ABCD 所成的角相等，求λ的值.20．如图，已知BCD △与MCD △都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB =(1)求点D 到平面M 的距离；(2)求平面M 与平面MAD 的夹角的余弦值.21．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，1AA ⊥平面ABCD ，AC 与BD交于点O ，60BAD ∠=︒，2AB =，1AA =．（1）证明：平面1A BD ⊥平面11ACC A ；（2）求二面角1A A C B --的大小.22．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12,90AC AA ACB ∠===，M 为侧棱1AA 的中点.（1）试探究在1BC 上是否存在点N ，使1//A N 面BCM ，若存在，试证明你的结论；若不存在，请说明理由.（2）若1BC 与平面BCM 所成角的正弦值为45，求该三棱柱的体积.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且AD CD ==BC =2PA =．(1)求证：AB PC ⊥；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为o 45，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．24．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，且222,AD AB PA E ===为BC 的中点．(1)求直线PE 与平面PAD 所成角的正弦值；(2)求二面角P DE A --的正切值；(3)探究在PA 上是否存在点F ，使得EF ∥平面PCD ，并说明理由．25．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，22PD AB CD ===，BC =120PDC ∠=︒.(1)证明：PB AD ⊥；(2)点E 在线段PC 上，当直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值为5时，求平面ABE 与平面PBC 的夹角的余弦值.26．如图，在正四棱锥S ABCD -中，SA AB ==点O 是AC 的中点，点P 在棱SD 上（异于端点）．(1)若点P 是棱SD 的中点，求证：平面SAD ⊥平面PAC ；(2)若二面角S AC P --的余弦值为5，求线段SP 的长．27．如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠M =60∘，四边形PACQ 为矩形，1PA =，且平面PACQ ⊥平面ABCD .(1)求BP 与平面BC 所成角的余弦值；(2)求平面PBQ 与平面PDQ 夹角的大小；28．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD CD ⊥，且2PD DC ==，平面PDC ⊥平面MB,s 分别是棱,PA PC 的中点，点M 在棱BC 上．(1)求证：平面DEM ⊥平面PAB ；(2)若PB ∥平面DFM ，求二面角E DM F --的正弦值．。

《空间向量与立体几何》全章复习与巩固【学习目标】1.了解空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示；2.运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，理解直线的方向向量与平面的法向量；3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理及问题；4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及一些简单的距离问题.【知识网络】【要点梳理】要点一：空间向量的有关概念空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；空间向量的表示：一种是用有向线段AB 表示，A 叫作起点，B 叫作终点；一种是用小写字母a （印刷体）表示，也可以用a （而手写体）表示．向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB 或||a ．向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a b ,的相等向量OA 和OB ，则∠AOB 叫作向量a b ,的夹角，记作〈〉，a b ，规定0π≤〈〉≤，a b ．如图：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行． 单位向量：长度为1的空间向量，即||1a =． 相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：方向相反但模相等的向量．共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．a 平行于b 记作b a//，此时．a b 〈〉，=0或a b 〈〉，=π．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释：（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；（2）当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．（3）对于任意一个非零向量a，我们把a a叫作向量a 的单位向量，记作0a ．0a 与a同向．（4）当a b 〈〉，=0或π时，向量a 平行于b ，记作b a //；当 a b 〈〉，=2π时，向量a b ，垂直，记作a b ⊥． 要点二：空间向量的基本运算 空间向量的基本运算：AB BC=AC + 0AB BA=+a 与a 异向； a λ=0)a a a μλμ+=+∥b a b λ⇔=b 是一个数：||||cos(b a b =．0a =，0b=或a b ⊥⇔b a ∙=0．a b b a =()()a b a b λλ==2||a a =||||||a b a b ≤要点三：空间向量基本定理共线定理：两个空间向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使b aλ=．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，则向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在唯一的一对实数,x y ，使p xa yb =+．要点诠释：（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线． （2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面． 空间向量分解定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++.要点诠释：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0．（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 要点四：空间向量的直角坐标运算 空间两点的距离公式若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则①222111212121(,,)(,,)(,,)AB OB OA x y z x y z x x y y z z =-=-=---； ②2||(AB AB ==；③ AB 的中点坐标为121212222x +x y +y z +z ⎛⎫⎪⎝⎭，，．空间向量运算的的坐标运算设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则 ① 121212(,,)a b x x y y z z +=+++； ② 121212(,,)a b x x y y z z -=---； ③ 111(,,)()a x y z R λλλλλ=∈； ④ 121212a b x x y y z z ⋅=++；⑤ 222111a a a x y z ==++，222222b b b x y z ==++；⑥ ()2222122cos 00a b a b a b a bx x y ==≠≠+++，，． 空间向量平行和垂直的条件若111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则①12//a b a b x x λλ⇔=⇔=，12y y λ=，12()z z R λλ=∈⇔111222x y z x y z ==222(0)x y z ≠； ②12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． 要点诠释：（1）空间任一点P 的坐标的确定：过P 作面xOy 的垂线，垂足为'P ，在面xOy 中，过'P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A C 、，则|'|||||x P C y AP z PP ===，，＇＇．如图： （２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：a ba b |a||b|cos a b cos a b |a||b|⋅⋅=<⋅>⇒<⋅>=⋅，其中θ的范围是[0,]π．（３）0与任意空间向量平行或垂直． 要点五：用向量方法讨论垂直与平行0=v，β的法向量）要点诠释：（１）直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．（２）平面的法向量：已知平面α，直线l α⊥，取l 的方向向量a ，有α⊥a ，则称为a 为平面α的法向量． 一个平面的法向量不是唯一的．要点六：用向量方法求角||||AC BD ⋅上不同的两点，上不同的两点）要点诠释：①当法向量1n 与2n 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n 的夹角12,〈〉n n 的大小。