集合~基础知识点汇总与练习~复习版

高一集合知识点和练习一、集合的概念集合是高中数学中的一个重要概念，它是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总体。

简单来说，集合就是把一些确定的、不同的对象放在一起。

比如说，我们可以把所有的自然数组成一个集合，也可以把一个班级里所有的男生组成一个集合。

集合中的对象称为元素。

如果一个元素 a 属于集合 A，我们记作a∈A；如果一个元素 b 不属于集合 A，我们记作 b∉A。

集合通常用大写字母表示，如A、B、C 等；元素用小写字母表示，如 a、b、c 等。

二、集合的表示方法1、列举法就是把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

例如，由 1，2，3 这三个数字组成的集合，可以表示为{1，2，3}。

2、描述法用集合所含元素的共同特征来表示集合。

具体格式为{代表元素|元素所满足的条件}。

比如，所有小于 5 的正整数组成的集合，可以表示为{x|x 是小于 5 的正整数}。

3、图示法（韦恩图）用一个封闭的曲线来表示集合，曲线内部的点表示集合中的元素。

这种方法直观形象，有助于我们理解集合之间的关系。

三、集合的性质1、确定性集合中的元素必须是确定的，不能模棱两可。

例如，“个子高的同学”不能构成一个集合，因为“个子高”没有明确的标准。

2、互异性集合中的元素不能重复。

例如，｛1，1，2}不能算作一个集合，应该写成{1，2}。

3、无序性集合中的元素没有顺序之分。

例如，｛1，2，3}和{3，2，1}表示的是同一个集合。

四、集合间的关系1、子集如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么集合 A 称为集合 B 的子集，记作 A⊆B。

例如，集合 A ＝｛1，2}，集合 B ＝｛1，2，3}，则 A 是 B 的子集。

特别地，当 A⊆B 且 B⊆A 时，称集合 A 与集合 B 相等，记作 A ＝B。

2、真子集如果集合 A 是集合 B 的子集，且存在元素 x∈B 但 x∉A，那么集合A 称为集合 B 的真子集，记作 A⊂B。

集合知识点+练习题第一章集合§1．1集合基础知识点：⒈集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；5.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。

“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。

.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1, 2},而不是{1, 1, 2}⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解；⑸徐州艺校校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点6.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

例如，（1）A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4∉A，等等。

（2）A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32∉A.典型例题例1．用“∈”或“∉”符号填空：⑴8 N；⑵0 N；⑶-3Z；2Q；⑸设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国A，美国A，印度A，英国A。

A． 4 C． 6
【答案】C
B． 5 D． 7
1．已知集合 M＝{1，m＋2，m2＋4}，且 5∈M，则 m 的值为
A．1 或－1
B．1 或 3
C．－1 或 3
D．1，－1 或 3
考向二 集合间的基本关系
典例 2 已知集合 A． C． 【答案】D
，集合 满足
，则集合 的个数为 B． D．
【名师点睛】求集合的子集(真子集)个数问题，当集合的元素个数较少时，也可以利用枚举法解决，枚举 法不失为求集合的子集(真子集)个数的好方法，使用时应做到不重不漏．
高中数学总复习—集合知识点归纳及考点练习
1．了解集合、元素的含义及其关系． 2．理解集合的表示方法． 3．了解集合之间的包含、相等关系． 4．理解全集、空集、子集的含义． 5．会求简单集合间的并集、交集． 6．理解补集的含义并会求补集.
一、集合的基本概念

属于，记为a A
1．元素与集合的关系：
不属于，记为a
4．设集合
A


x|
x x

3 6

0

，
B

{y
|
y

log 1
2

x
1 ,
x

3}
，则
ðR A
B
A． (3, 6)
B． (6, )
C． (3, 2]
D． , 3 6,
考向四 与集合有关的创新题目
与集合有关的创新题目是近几年高考的一个新趋势，试题出现较多的 是在现有运算法则和运算律的基础上 定义一种新的运算，并运用它解决相关的一些问题.解决 以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1） 紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过 程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的 性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用 集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．

集合经典知识点复习总结与练习综合
知识点一：集合的含义与表示
一、 集合的概念
实例引入：
⑴ 1~20 以内的所有质数; ⑵ 我国从 1991~2003 的 13 年内所发射的所有人造卫星;
⑶ 金星汽车厂 2003 年生产的所有汽车;
⑷ 2004 年 1 月 1 日之前与我国建立外交关系的所有国家; ⑸ 所有的正方形;
（2）如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于 A，记作 a∈A
五、常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），
除 0 的非负整数集，也称正整数集，
整数集，；
有理数集，
实数集，
练习：（1）已知集合 M={a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形
的三条边，那么此三角形一定不是（ ）
A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形
（2）方程 x2=x 的所有实数根组成的集合； （3）由 1~20 以内的所有质数组成。 例 2、 试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由大于 10 小于 20 的的所有整数组成的集合； （2）方程 x2-2=2 的所有实数根组成的集合. 注意：(1)描述法表示集合应注意集合的代表元素
(2)只要不引起误解集合的代表元素也可省略
且且 ∈且且且且 且且且且且且
A = { y | y = x2 + 1, x ∈ R} B = {x | x = t 2 + 1, t ∈ R} C = {(x, y) | y = x2 + 1, x ∈ R}
七、小结 集合的概念、表示；集合元素与集合间的关系；常用数集的记法.
1．集合的概念、集合三要素 2．集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法 3．关于“属于”的概念

集合的基本概念知识点总结及练习 (3) 差集﹕属于A ，但不属于B 的所有元素所成的集合，记作A B -，即{}|A B x x A x B -=∈∉但。

(4) 宇集﹕当我们所探讨的集合皆为某一个集合U 的一、集合：是由一些满足某些条件之事物所组成的整体，记作S 表示之。

二、元素：组成集合的每一事物即是。

三、(一)空集合：不含任何元素的集合，记作{}或φ。

(注) 空集合φ为任何集合的子集。

(二)子集合：若集合A 中的每一个元素都是集合B 的元素，则称A 为B 的子集，记作A B ⊂（读作A 包含于B ）或B A ⊃（读作B 包含A ）。

(三)相等集合﹕已知A B 、为两集合，若A B ⊂且B A ⊂，则称A B 、两集合相等，记作A B =。

四、集合与元素的关系：若a 为集合A 的一个元素，则称a 属于A ，通常记作a A ∈﹔若a 不为集合A 的元素，则称a 不属于A ﹐记作a A ∉。

五、集合表示法：(一)列举法﹕当集合的元素不多时﹐我们可以把集合的所有元素全部列出﹐再冠以大括号﹐表示此一集合。

如：掷骰子、12的所有正因子、小于10的正奇数、…等。

(二)描述法﹕在大括号内将元素的共同特性描述出来，再加一直杠﹐而直杠的后面界定出此集合中元素的属性。

如：{}2104C k k k =+≤≤，為整數六、集合的运算﹕设A B 、为两集合，则(1) 交集﹕同时属于A 且属于B 的所有元素所成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ，即{}|A B x x A x B =∈∈且。

(2) 联集﹕属于A 或属于B 的所有元素所成的集合称为A 与B 的联集，记作A B ﹐即{}|A B x x A x B =∈∈或。

子集，则U就称为宇集。

(5) 补集（余集）﹕属于U但不属于A的所有元素所成的集合，称为A的补集，记作A'U A=-﹒七、笛摩根定律（De Morgan Laws）﹕(1) ()=A B'A'B'A B'A'B'=(2) ()八、集合元素的计数﹕当集合A中所包含元素的个数为有限个时，我们以()n A 来表示集合A中的元素个数。

高一集合知识点和练习一、集合的概念在数学中，集合是由一些特定对象构成的整体，这些对象被称为集合的元素。

集合可以用大括号{}来表示，元素之间用逗号分隔。

二、集合的表示法1. 列举法：直接列举集合的所有元素。

例如：A = {1, 2, 3, 4, 5}2. 描述法：通过特定的性质描述集合的元素。

例如：B = {x | x 是偶数, 0 < x < 10}三、集合的运算1. 并集：将两个或多个集合的所有元素合并在一起。

表示为 A ∪ B，读作“A并B”。

例如：A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}2. 交集：找出两个或多个集合中共有的元素。

表示为A ∩ B，读作“A交B”。

例如：A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∩ B = {3}3. 差集：从一个集合中减去另一个集合中的元素。

表示为 A - B，读作“A差B”或“A减去B”。

例如：A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则 A - B = {1, 2}四、常见集合1. 空集：不包含任何元素的集合，用符号∅或 {} 表示。

2. 全集：包含所有可能元素的集合，根据具体情况而定。

3. 自然数集：由0及其后续的正整数组成的集合，用符号 N 或 N*表示。

4. 整数集：包含整数和其相反数的集合，用符号 Z 表示。

五、集合的性质1. 交换律：对于任意集合 A 和 B，A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A。

2. 结合律：对于任意集合 A、B 和 C，(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)，(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)。

3. 分配律：对于任意集合 A、B 和 C，A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)，A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)。

4. De Morgan法则：对于任意集合 A 和 B，(A ∪ B)' = A' ∩ B'，(A∩ B)' = A' ∪ B'。

一、集合:1.定义: 把研究的对象统称为元素, 把一些元素组成的总体叫做集合。

2、集合与元素的关系：（1）如果a是集合A的元素,就说a属于集合A, 记作a A；（2）如果a不是集合A的元素, 就说a不属于集合A , 记作a A。

3.常见集合：(1)非负整数集(或自然数集) ：N ；(2)正整数集合：或；(3)整数集合：Z, (4)有理数集合：Q；(5)实数集合：R.注意: （1）自然数集N含有0；（2）整数集Z、有理数Q、实数集R内排除0的集合分别表示为: Z*或Z+、Q*或Q+、R*或R+。

4、集合三要素: 确定性、互异性、无序性。

5、集合的分类: （1）有限集——含有有限个元素的集合。

（2）无限集——含有无限个元素的集合。

特别地, 不含任何元素的集合叫做空集, 记作。

6.集合的表示方法:（1）列举法——把集合中的元素一一列举出来的方法。

如{x1, x2, …, xn}。

（2）描述法: { x | p(x) }有时也可写成{ x: p(x) }。

（3）文氏图（又叫韦恩图）: （4）区间表示法知识点二: 集合之间的关系1.子集：一般地, 对于两个集合A.B, 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素, 则称集合A是集合B的子集。

记作：A B或(B A).性质: ①A（特别地）；②A A ；③若A B,B C,则A C。

2.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的, 就称这两个集合相等性质: A=B A B,B A3.真子集: 如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集..记作:A B A B，A B性质：①若A ,则有A。

②如果A B,B C, 那么A C。

③规定: 空集合是任何集合的子集.4.子集的性质①A A, 即任何一个集合都是它本身的子集②如果A B, B A, 那么A B③如果A B, B C, 那么A C④如果A B, B C, 那么A C二空集1.不含任何元素的集合叫做空集, 记作.2.空集是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集。

集合
知识点一：元素与集合
1．集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
2．集合与元素的关系：若a属于A，记作a∈A；若b不属于A，记作b∉A．3．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
4．常用数集及其符号表示
知识点二：集合间的基本关系
集合间的基本关系必须熟记的3个结论：
1．空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集，即∅⊆A，⊂≠
∅B(B≠∅)．
2．任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A．空集只有一个子集，即它本身．
3．含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
知识点三：集合的三种基本运算
{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A} 中既爱好体育又爱好音乐的有________人．。

集合知识点及题型归纳总结知识点精讲一、集合的有关概念 1．集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2．集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． （2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． （3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如{}{},,,,a b c a c b =． 3．集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法． 4．常用数集的表示R 一实数集 Q 一有理数集 Z 一整数集 N 一自然数集*N 或N +一正整数集 C 一复数集二、集合间的关系1．元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种． 空集：不含有任何元素的集合，记作∅． 2．集合与集合之间的关系 （1）包含关系．子集：如果对任意a A A B ∈⇒∈，则集合A 是集合B 的子集，记为A B ⊆或B A ⊇，显然A A ⊆．规定：A ∅⊆．（2）相等关系．对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A B =． （3）真子集关系．对于两个集合A 与B ，若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB 或B A ．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．三、集合的基本运算集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表11-所示．IA{|IA x x =1．交集由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂，即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．2．并集由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．3．补集已知全集I ，集合A I ⊆，由I 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集I 的补集，记作IA ，即{}|I A x x I x A =∈∉且．四、集合运算中常用的结论 1．集合中的逻辑关系 （1）交集的运算性质．A B B A ⋂=⋂，A B A ⋂⊆，A B B ⋂⊆ A I A ⋂=，A A A ⋂=，A ⋂∅=∅． （2）并集的运算性质．A B B A ⋃=⋃，A A B ⊆⋃，B A B ⊆⋃ A I I ⋃=，A A A ⋃=，A A ⋃∅=． （3）补集的运算性质．()II A A =，I I ∅=，I I =∅ ()I A A ⋂=∅，()I A A I ⋃．补充性质：II I A B A A B B A B B A A B ⋂=⇔⋃=⇔⊆⇔⊆⇔⋂=∅．（4）结合律与分配律．结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂． 分配律：()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃． （5）反演律（德摩根定律）．()()()II I A B A B ⋂=⋃()()()II I A B A B ⋃=⋂．即“交的补=补的并”，“并的补=补的交”． 2．由*(N )n n ∈个元素组成的集合A 的子集个数A 的子集有2n 个，非空子集有21n -个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个．3．容斥原理()()()()Card A B Card A Card B Card A B ⋃=+-⋂．题型归纳及思路提示I AA题型1 集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性． 例1.1 设,a b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-解析：由题意知{}01,,a b a ∈+，又0a ≠，故0a b +=，得1ba=-，则集合{}{}1,0,0,1,a b =-，可得1,1,2a b b a =-=-=，故选C 。

集合知识点总结带例题一、基本概念1. 集合集合是由一些确定的对象构成的整体。

集合是一个无序的整体，它只关心集合中包含的元素，与元素的排列顺序无关。

2. 元素集合中的个体称为元素，元素可以是任何事物或对象，例如数字、字母、集合等。

3. 空集一个不包含任何元素的集合称为空集，通常用符号∅ 或 {} 表示。

4. 包含关系若集合 A 中的所有元素都是集合 B 中的元素，则称集合 A 包含在集合 B 中，通常用符号A⊆B 表示。

5. 相等关系若集合 A 包含在集合 B 中，并且集合 B 包含在集合 A 中，则称集合 A 和集合 B 相等，通常用符号 A=B 表示。

6. 子集若集合 A 包含在集合 B 中，且集合 A 不等于集合 B，则称集合 A 是集合 B 的子集，通常用符号A⊂B 表示。

7. 并集若集合 A 和集合 B 的元素都包含在一个新的集合中，则称该集合为 A 和 B 的并集，通常用符号A∪B 表示。

8. 交集若集合 A 和集合 B 的公共元素构成一个新的集合，则称该集合为 A 和 B 的交集，通常用符号A∩B 表示。

9. 完全集一个包含所有可能元素的集合称为完全集。

10. 互斥集若集合 A 和集合 B 没有共同的元素，则称集合 A 和集合 B 互斥。

二、运算1. 并集对于两个集合 A 和 B，它们的并集是一个包含 A 和 B 所有元素的集合。

例如：A={1,2,3}, B={3,4,5} 则A∪B={1,2,3,4,5}。

2. 交集对于两个集合 A 和 B，它们的交集是一个包含 A 和 B 共同元素的集合。

例如：A={1,2,3}, B={3,4,5} 则A∩B={3}。

3. 补集对于一个集合 A，它在另一个集合 U 中的补集是指 U 中不属于 A 的元素所组成的集合，通常用符号 A' 或 A^c 表示。

4. 差集对于两个集合 A 和 B，它们的差集是包含在 A 中但不包含在 B 中的元素所组成的集合，通常用符号 A-B 表示。

A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）等腰三角形
下列各组集合中，表示同一集合的是 （ ）
A）M={(3,2)},N={(2,3)} （B）M={2,3},N={3,2}
C）M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} （D）M={(3,2)},N={(2,4)}
无限集：集合中元素的个数是不可数的；
空集：不含有任何元素的集合，记做?.
集合的表示方法
常用数集
（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；
（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；
（3）整数集：全体整数的集合，记做Z
（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q
（5）实数集：全体实数的集合，记做R
用列举法表示集合{x|x2-3x+2=0}为 （ ）
A）{(1,2)} （B）{(2,1)} （C）{1,2} （D）{x2-3x+2=0}
由大于-3且小于11的偶数组成的集合是 （ ）
A）{x|-3<??<11，x∈??} （B）{x|-3<??<11}
补集定义的三种语言：
①文字语言：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集
的补集，简称为集合A的补集。
②符号语言:?
A={x|x∈U，且x?A}
Venn图
补集是相对于全集存在的，研究一个集合的补集之前
若x∈U，则x∈A和x∈?
A二者必居其一。 B A A B A U ?u A
若集合A={1,3,x},B={1,x2},A∪B={1,3,x}，则满足条件的实数x有（ ）

集合练习题知识点一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)．1.集合中元素具的有几个特征⑴确定性－因集合是由一些元素组成的总体，当然，我们所说的“一些元素”是确定的．⑵互异性－即集合中的元素是互不相同的，如果出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个，即集合中的元素是不重复出现的．⑶无序性－即集合中的元素没有次序之分．2.常用的数集及其记法我们通常用大写拉丁字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R3．元素与集合之间的关系4.反馈演练1.填空题2．选择题⑴以下说法正确的( )(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}(B){a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合(C)“我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定⑵已知2是集合M={ }中的元素，则实数为( )(A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可二、集合的几种表示方法1、列举法－将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开．*有限集与无限集*⑴有限集-------含有有限个元素的集合叫有限集例如: A={1~20以内所有质数}⑵无限集--------含有无限个元素的集合叫无限集例如: B={不大于3的所有实数}2、描述法－用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及以取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.3、图示法 -- 画一条封闭曲线,用它的内部来表示一个集合.常用于表示不需给具体元素的抽象集合.对已给出了具体元素的集合也当然可以用图示法来表示如: 集合{1,2,3,4,5}用图示法表示为:三、集合间的基本关系观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？(1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}.(2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}.(3) A={正方形}，B={四边形}.(4) A=∅，B={0}.1.子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A⊆B（或B⊇A）,即若任意x∈A,有x∈B，则A⊆B(或A⊂B)。

集合详解集合的含义与表示1、集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. 2、常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.3、集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. 4、集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 5、集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). 二、集合间的基本关系 1、子集、真子集、集合相等2、已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.三、集合的基本运算1、交集、并集、补集【经典例题】1.知集合{(,)|,A x y x y=为实数，且}221,x y +={(,)|,B x y x y =为实数，且},A By x =I 则的元素个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 2.已知集合{{},1,,A B m A B A==⋃=，则m = （ ）A 、0或3B 、0或3C 、1或3D 、1或33.A={1，2，3，4}，B==⋂∈=B A A n n x x 则},,|{2( ) A,{1,4} B,{2,3} C,{9,16} D,{1,2}4.已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则)(B A C U ⋃=（ ）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}5.已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<=I 则（ ）A ．{1}B ．{}0,1C ．{}0,2D ．{}0,1,26.若集合A ={x ∈R|ax 2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a=（ ）A ．4B ．2C ．0D ．0或47.设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈,2{|20,}T x x x x R =-=∈,则S T =IA ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}-8.下列八个关系式①{0}=φ；①φ=0；①φ={φ}；①φ∈{φ}；①{0}⊇φ；①0∉φ；①φ≠{0}；①φ≠{φ}其中正确的个数（ ）A.4B.5C.6D.7 9.下列各式中，正确的是（ ） A.2}2{≤⊆x x B.{}≠<>12x x x 且φC.{Z k k x x ∈±=,14}},12{Z k k x x ∈+=≠D.{Z k k x x ∈+=,13}={Z k k x x ∈-=,23}练习：一、选择题1．若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ）A ．0X ⊆B ．{}0X ∈C ．X φ∈D ．{}0X ⊆2．已知集合{}2|10,A x x A R φ=+==I 若，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4<m B ．4>m C ．40<≤m D ．40≤≤m 3．下列说法中，正确的是（ ）A ． 任何一个集合必有两个子集；B ． 若,A B φ=I则,A B 中至少有一个为φC ． 任何集合必有一个真子集；D ． 若S 为全集，且,A B S =I 则,A B S ==4．设集合22{|0},{|0}A x x x B x x x =-==+=，则集合A B =I （ ） A ．0 B ．{}0 C ．φ D ．{}1,0,1- 二、填空题 7．已知{}Rx x x y y M ∈+-==,34|2，{}Rx x x y y N ∈++-==,82|2则__________=N M I 。

高中数学《集合》知识点归纳及题型练习【知识点】1.集合的三个特性：确定性，互异性，无序性2.自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 。

3.集合的三种表示方法：列举法，描述法，文氏图。

4.集合的分类：有限集，无限集，空集5.子集：若a A ∈，则a B ∈，称为A 是B 的子集，记作：A B ⊆或B A ⊇， 读作：“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”。

6.真子集：若A B ⊆且B A ⊆，则称集合A 与集合B 相等，记作：A B =； 若A B ⊆且A B ≠,则称集合A 是集合B 的真子集，记作：【注意】空集φ是任何集合的真子集。

一个集合的子集个数为2n ，真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n -。

7.补集：已知A U ⊆，由所有属于U 但不属于A 中的元素组成的集合称为A 的补集，记作:U A , 读作：A 在U 中的补集。

即：{|,}U A x x U x A =∈∉且8.交集：由两个集合中的公共元素组成的集合，即：{|}A B x x A x B =∈∈，且9.并集：由两个集合中的所有元素组成的集合，即：{|}A B x x A x B =∈∈，或10.集合的包含关系：A B ⊆⇔A B A A B B =⇔=题型1.集合性质的应用1.判断能否构成集合：【根据集合的确定性】（1）我国的所有直辖市； （2）我校的所有大树；（3）深圳机场学校的所有优秀学生； （4）深圳市的全体中学生；（5）不等式220x x ->的所有实数解； （6）所有的正三角形。

2.用,∈∉填空：2 N ， ， -3 Z ， ， 2- R ； 已知2{|20}A x x x =--=，则1 A ，2 A ，-1 A ，-2 A 。

3.集合{(0,1),(1,2)}A =中有 个元素；{,{0},{1,2}}B φ=中有 个元素。

3.已知集合{0,1,2}M x =+，则x 不能取哪些值？4.（1）2{1,0,}x x ∈，则x = ； （2）若2{,1}{1,}x x =，则x = 。

知识要点
4、集合与集合的关系
（3）集合的相等：如果集合A,B的元素完全相同,则称集合A,B 相等,记作A B;若A B,且B A,则A B；
两个相等集合的元素个 数相同，且元素完全相 同， 但顺序可以不同 .
知识要点
5、常用的数集符号
自然数集：N; 正整数集： N或N ; 整数集：Z; 有理数集： Q; 实数集：R;
－2＝0}，
∴0∉A，∴0∈B，∴q＝0，∴B＝{x|x2-x＝0}＝{0，
1}，
∴【－方2法∈规A律，】∴(－根2)据2－集2p合－中2＝元0素，的解确得定p＝性1，，可利 ∴用A一＝元{二x|次x2＋方x程－的2＝特0殊}＝性{质－(2如，韦1}达，定∴理A)∩来B判＝断{1元}. 素与集合的关系，寻求解题途径．
A B A; A B B.
（3）A A A; A A; A B B A;
A A B;B A B.
知识要点
7、常用的性质
（4）ACU A ; ACU A A;CU (CU A) A;
若CU A B,则CU B A.
8、常见结论
知识要点
（1）若一个集合含有n个元素，则其子集的个数为2n 个， 真子集个数为2n 1个,非空子集个数为2n 1个，非空真 子集个数为2n 2个.
【解】 ∵A＝{－1，3，2m－1}，B＝{3，m2}， B⊆A， ∴【m方2法＝规2m律－】1，解在得理m解＝子1集. 概念的基础上还应考虑 素的三个特性，即确定性、互异性和无序性．
典例剖析
【例4】 已知A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|， y}，若A＝B，求x，y的值．
【解】 ∵0∈B，A＝B，∴0∈A，根据集合元素的
【解】 (1)当a＝0时，得x＝0，此时A＝{0}， 符合题意． (2)当a≠0时，由Δ＝0知4－4a2＝0，解得a＝ ±1. 若a＝1，则A＝{-1}符合题意； 若a＝－1，则A＝{1}符合题意．