程进均衡定理引理门计算点计算的交并及同态同构

近世代数科普群论⼆1. 同态与同构群的同态：设f:G→G′，如果其满⾜∀a,b∈G,f(a)f(b)=f(ab)，则称f是⼀个同态当f是⼀个满射时，称为满同态当f是⼀个单射时，称为单同态当f是⼀个双射时，称为同构，称为G≅G′常记f(G)={f(x):x∈G}，f−1(x)={a:f(a)=x}，f−1(S)={a:f(a)∈S}常⽤结论设f:G→G′为⼀个同态，则f(e)=e′，f(a)−1=f(a−1)设f:G→G′为⼀个同态，则f(G)⩽G′Prof：对a′,b′∈f(G)，∃a,b∈G,f(a)=a′,f(b)=b′，则a′b′−1=f(a)f(b)−1=f(ab−1)∈f(G)2. 正规⼦群Def：设H⩽G，若∀a∈G,aH=Ha，则称H为⼀个正规⼦群，记做H⊲G正规⼦群的等价结论：设H⩽G，∀a∈G,aHa−1=H设H⩽G，∀a∈G,aHa−1⊆HProf：取a和a−1，aHa−1⊆H，a−1Ha⊆H设H⊲G，K⩽G，则H∩K⊲KProf：∀x∈H∩K,∀g∈K,g−1xg∈H∩K（H是由正规⼦群，K由群的封闭性）3. 核Def：设f:G→G′是⼀个同态，则f−1(e)称为f的核，记做ker(f)核⼀定是正规⼦群：⼦群：∀a,b∈ker(f),f(ab−1)=f(a)f(b−1)=e∈ker(f)正规⼦群：∀g∈G,h∈ker(f)，f(ghg−1)=f(g)ef(g−1)=e∈ker(f)，从⽽g ker(f)g−1⊆ker(f)，从⽽ker(f)是正规⼦群f−1(a)=a ker(f)4. 商群定义⼀种集合运算，AB={ab|a∈A,b∈B}Def：设H⩽G，G/H为H的陪集的集合，若H⊲G，G/H在上述集合运算下构成群，称为商群，商群的单位元为H，元素aH的逆元为a−1HProf：∀aH,bH∈G/H,aHb−1H=ab−1H∈G/H5. ⾃然同态设H⊲G，则存在G→G/H的同态φ(a)=aH，称为H的⾃然同态⾃然同态⼀定是满同态φ(H)=φ−1(H)=H6. 群同态基本定理设f:G→G′是⼀个满同态，则G/ker(f)≅G′Prof：记N=ker(f)，构建映射ϕ(aN)=f(a)先证为双射，如果f(a)=f(b)，则a∈bN，则aN=bN，故为单射∀a′∈G′,∃a∈f−1(a′),s.t.ϕ(aN)=a′，故为满射再证同构，ϕ(aN)ϕ(bN)=f(a)f(b)=f(ab)=ϕ(abN)=ϕ(aNbN)推论：设f:G→G′是⼀个同态，则G/ker(f)≅f(G)7. 群同态定理设f:G→G′是⼀个满同态，记N=ker(f)f建⽴G包含N的⼦群与G′的⼦群之间的⼀⼀对应Prof：设S1={K:N⩽K⩽G}，S2={K:K⩽G′}(a) ⾸先证明映射合法，∀H∈S1,f:H→G′是⼀个同态，因此f(H)⩽G′(b) 证明单射，先证∀H∈S1,f−1(f(H))=H，知H⊂f−1(f(H))，并且∀x∈f−1(f(H)),f(x)∈f(H)，因⽽∃h∈H,f(x)=f(h)，故x∈hN⊂H，故f−1(f(H))⊂H，因此f−1(f(H))=H，那么如果f(H1)=f(H2)就有H1=H2(c) 证明满射，∀H′∈S2,f(f−1(H′))=H′f建⽴G包含N的正规⼦群与G′的正规⼦群之间的⼀⼀对应Prof：设S a={K:N⩽K⊲G},S b={K:K⊲G′}(a) f:S a→S b合法，因为∀K∈S a,∀g∈G,gKg−1=K，故f(K)=f(gKg−1)=f(g)f(K)f(g)−1，由f是满同构知f(K)∈S b，⼜由f:S1→S2是双射知，f是⼀个单射(b) 反之，∀K′∈S b,∀g∈G,f(g−1f−1(K′)g)=f(g)−1K′f(g)=K′，从⽽g−1f−1(K′)g⊂f−1(K′)，从⽽f−1(K′)∈S a，由f:S1→S2是双射知，f是⼀个满射上述两条主要是为了接下来的定理的描述第⼀群同构定理：设f:G→G′是⼀个满同态，设N=ker(f)，设N⊂H⊲G，则G/H≅G′/f(H)Prof：设G′/f(H)的⾃然同态为π，那么我们考虑同态φ=πf(G→G′/f(H))，由π,f为满同态，则φ为满同态我们考虑证明H=ker(φ)，即{x|πf(x)∈f(H)}，显然H⊆ker(φ)，⽽∀x∈ker(φ)，有πf(x)∈f(H)，即f(x)∈f(H)，即x∈f−1(f(x))⊆H，从⽽H=ker(φ)，由群同态基本定理，我们得到G/H≅G′/f(H)第⼆群同构定理：设H⩽G,N⊲G，则HN/N≅H/H∩N为了使定理有意义，先证HN是⼦群，⾸先HN=NH，∀h1,h2∈H,n1,n2∈N，n1h1(n2h2)−1=n1(h1h−12)n2∈NHN=HN，故HN为⼦群Prof：设H/H∩N的⾃然同态为π，π(a)=a(H∩N)，构造f:HN→H，∀x∈aN,f(x)=a，则ϕ=πf是⼀个满同态我们考虑证明N=ker(ϕ)，即{x|πf(x)∈H∩N}，⾸先f(N)=e,π(e)=H∩N，故N⊆ker(ϕ)⽽且∀x∈ker(ϕ),f(x)∈{e}，故x∈N，故ker(ϕ)⊆N第三群同构定理：设N⊲G,N⩽H⊲G，则G/H≅(G/N)/(H/N)Prof：第⼀群同构定理，取G′=G/N的特例群论三1. 单群Def：如果G没有⾮平凡的正规⼦群（{e}和G），那么G称为单群G≠{e}是交换单群，当且仅当G为素数阶的循环群Prof：对任意g≠e，考虑⟨g⟩2. ⽣成⼦群记最⼩包含S的⼦群为⟨S⟩，即⟨S⟩=⋂S⊂H⩽G H∀x∈S,x=x1x2...x m(x1,x2,...,x m∈S∪S−1)当S有限时，⟨S⟩称为有限⽣成群3. 换位⼦群（导群）a−1b−1ab称为元素a,b的换位⼦（交换⼦），记做[a,b]所有的换位⼦⽣成的⼦群称为换位⼦群（导群），常记做G′, [G,G], G(1)（以后变量要取别的名字了...）当ab=ba时，[a,b]=a−1b−1ab=eG′⊲GProf：g[a,b]g−1=(ga−1g−1)(gb−1g−1)(gag−1)(gbg−1)=[gag−1,gbg−1]∀x∈G′,x=[a1,b1][a2,b2]...[a m,b m], 故gxg−1=[ga1g−1,gb1g−1][ga m g−1,gb m g−1]∈G′故∀g∈G,g−1G′g⊆G′，故G′⊲GG/G′是阿贝尔群Prof：aG′bG′=bG′aG′⇔aG′b=bG′a⇔G′=a−1bG′ab−1⇔G′=G′a−1bab−1⇔G′=G′[a,b−1]4. 可解群定义G(n)=(G(n−1))(1)，注意到G⊳G(1)⊳G(2)⊳...Def：如果G(k)={e}，则称G为可解群利⽤换位⼦群的商群的性质，有这样的充要条件：群G是可解群当且仅当存在G⊳G1⊳G2....⊳G k={e}，且G i−1/G i(1≤i≤k)为阿贝尔群Prof：“⇒"：显然，G,G(1),G(2),....，满⾜题意“⇐”：如果G/N是阿贝尔群，考虑φ:G→G/N为⾃然同态，那么有φ([a,b])=e，即[a,b]∈N从⽽我们有G(1)⩽N，在本题中，由于G/G1是阿贝尔群，故G(1)⩽G1，归纳得到G(k)⩽G k，即G(k)={e}5. 中⼼化⼦定义C(G)={x:∀a∈G,ax=xa}，称为群G的中⼼C(G)⊲G类似的，定义C S(G)={x:∀a∈S,ax=xa}，称为S的中⼼化⼦C S(G)⩽G6. 群对集合的作⽤设f:G×S→S，且满⾜[1] f(e,x)=x [2] f(g1g2,x)=f(g1,f(g2,x))，称f决定了群G在S上的作⽤，f(g1,x)常简写为g1(x)设G是⼀个群，X,X′是两个⾮空集合，G作⽤在X,X′上，如果存在双射ϕ:X→X′，使得ϕ(g(x))=g(ϕ(x))，则称这两个作⽤等价example：项链的旋转构成群，对长为n的全红项链和全蓝项链显然等价设G作⽤在X上，定义关系R={(x,y)|∃g∈G,g(x)=y}，易证R是等价关系，在这个等价关系下，我们划分出的等价类称为轨道，和x 等价的元素记做O x={g(x)|g∈G}给⼀条项链染⾊，在旋转操作下等价的元素设G作⽤在X上，∀x∈X，定义H x={g∈G|g(x)=x}为x的稳定⼦群（显然为⼦群）如果|O x|=1，或者说∀g∈G,g(x)=x，则称x为不动点7. 齐性空间Def：设H⩽G，则H的所有左陪集构成的集合称为G的齐性空间⼀般的，默认g(aH)=gaH是G在G/H上的作⽤设G作⽤在X上，则\forall x \in X，G在O_x上的作⽤和其在G/H_x上的作⽤等价Prof：定义映射f:G/H_x \to O_x, f(aH_x) = a(x)其为单射，因为b(x) = a(x) \Leftrightarrow b^{-1}a(x)=x \Leftrightarrow bH_x=aH_x其显然为满射，因此此为⼀⼀映射，并且，f(gaH_x) = ga(x) = g(f(aH_x))设G为有限群，G作⽤在X上，则|O_x| = |G/H_x|Prof：由上⼀个命题，f是⼀个⼀⼀映射，故这两个集合的基数相等ex：求正⽅体的旋转群的⼤⼩我们考虑利⽤上式公式，不难得到|H_1| = 3，|O_1| = 8，从⽽|G| = 24在G作⽤到G上，并且g(x) = gxg^{-1}时，此时H_x = C_G(X)，定义C(x)为和x共轭的元素的集合，则|C(x)| = |G :C_G(x)|根据等价类的定义，从每个共轭类中选择⼀个元素，得到|G| = \sum_x [G:C_G(x)]特别的，当x\in C(G)时，[G:C_G(x)] = 1，因此我们选择从每个⾮平凡的共轭类中选择⼀个x元，则有|G| = |C(G)| + \sum_x |G:C_G(x)|这称为共轭类⽅程设H\leqslant G，则H \cong xHx^{-1}(x\in G)8. p-群Def：如果|G| = p^k(k\geq 1)，其中p为素数，则称G为p-群设p-群G作⽤于集合X上，设|X|=n，设t为X中不动点的数⽬，则t \equiv n(mod\;p)Prof：设集合X的全部轨道为O_1, O_2, ..., O_k，则有\sum |O_i| = n，注意到|O_i| = p^m(m\geq 0)，当且仅当|O_i| = 1时，有|O_i|\;mod\;p =1，否则|O_i| \;mod\;p=0，因此t \equiv n(mod\;p)p-群⼀定有⾮\{e\}的中⼼Prof：考虑G到G上的共轭变换，任意G的中⼼中的元素⼀定是⼀个不动点，因此，我们有|C(G)|\equiv 0(mod\;p)，⾃然我们得到|C(G)|>19. Burnside 引理设群G作⽤于集合S上，令t表⽰S在G作⽤下的轨道的条数，\forall g\in G，F(g)表⽰S在g作⽤下不动点的个数，则t = \frac{\sum_{g\in G} F(g)}{|G|}Prof：⾸先转化命题，我们运⽤双计数证明|G|*t = \sum_{g\in G}F(g)考虑右式，\sum_{g\in G}F(g) = \sum_{x\in S, g\in G} [gx = x] = \sum_{x\in S} \{g:g\in G, gx=x\} = \sum_{x\in S} |H_x|由于|H_x| = |G| / |O_x|，因此所求即|G|*\sum_{x \in S}\frac{1}{|O_x|}，即证\sum_{x\in S} \frac{1}{|O_x|} = t考虑⼀个轨道O_x，这个轨道产⽣的贡献为|O_x| * \frac{1}{|O_x|} = 1，如此，t为不同的轨道的条数，命题得证群论四好像有些不太正常的要来了1. 西罗第⼀定理设G是⼀个阶为n的有限群，p为素数，如果p^k | n, k \geq 0，那么G中存在⼀个阶为p^k的⼦群Prof：引理：设n = p^r*m, (p, m) = 1，对k \leq r，有v_p(\binom{n}{p^k})=r-k（由Kummer\;TH显然）取G中所有含有p^k个元素的⼦集，构成集合X，令G作⽤在X上，定义g(A) = gA, A\in X那么有|X| = \sum |O_i|，由于p^{r-k+1} \nmid |X|，因此存在A\in X，使p^{r-k+1} \nmid |O_A|，下证|H_A|=p^k由|O_A| |H_A|= |G|知，v_p(H_A) \geq k，即|H_A| \geq p^k但\forall a\in A, H_Aa \subset A，故|H_A| \leqslant |A| = p^k，从⽽|H_A|=p^k设v_p(|G|) = k，则阶为p^k的⼦群称为西罗p-⼦群2. 西罗第⼆定理设v_p(|G|) = r，P是G的⼀个西罗p-⼦群，\forall H \leqslant G, |H|=p^k, \exists g\in G, s.t. H \leqslant gPg^{-1}Prof：考虑X为P的左陪集的集合，将H作⽤于X，h(aP)=haP由于(|X|, |H|) = 1，那么存在⼀个不动点，使得HgP = gP此时\forall h \in H ,\exists p_1, p_2\in P, hgp_1=gp_2，即h = gp_2p_1^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1}，因此H \leqslant gPg^{-1}推论1：任意两个西罗p-⼦群互相共轭推论的推论：⼀个群G有唯⼀的西罗p-⼦群P的充要条件为P \lhd G3. 正规化⼦Def：对H \leqslant G，定义\{g:g\in G, gH=Hg\}为H的正规化⼦，记做N(H) N(H) \leqslant GH \lhd N(H)C_G(H) \leqslant N(H)G中西罗p-⼦群的个数，以及对任⼀西罗p-⼦群P，N(P)的阶为|G|的因⼦Prof：设X为G中所有西罗p-⼦群的集合，在上⾯作共轭变换对任⼀西罗p-⼦群P，有O_P = X，H_P = N(P)，从⽽|X|*|N(P)|= |G|4. 西罗第三定理若G中所有西罗p-⼦群的个数为t，则t \equiv 1(mod\;p)证明从略|G| = p^r * m, (p, m) = 1，结合t | |G|，我们有t | m。

摘要非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面。

十九世纪中叶以后，通过否定欧氏几何中这样或那样的公理、公设，产生了各种新的几何学，加上与非欧几何并行发展的射影几何、微分几何以及较晚出现的拓扑学等，这个时期的几何学出现了百花齐放的局面。

由此，用统一的观点解释它们便成为数学家们的重要任务。

克莱因以变换群的思想统一几何学，但该思想却未能包括所有的几何学领域。

希尔伯特提出了另一条对现代数学影响深远的统一几何学的途径——公理化方法，这种方法已经远远超出几何学的范围而和集合论思想成为现代数学统一化趋势的两大推手。

关键词：几何学的统一；非欧几何；公理化方法The Way of Unifying Geometry in the 19th CenturyAbstractThe non-Euclid geometry appearance has broken the situation of the only kind of geometry that is Euclidean geometry for a long time. After the middle of the nineteenth century, by denying all justice and axiom of Euclidean geometry, all sorts of new geometry, projective geometry, differential geometry which is parallel with non-Euclid geometry and topology which emerged later emerged, in this period geometry possessed infinite and wide development prospects. Thus, using unified view to explain their will become an important task of mathematicians. Klein unified geometry by the thought of the transformation group, but the thought failed to include all of the geometry. Hilbert put forward another way to unify geometry which influenced modern mathematics profoundly. The method that is axiomatic method has gone far beyond the scope of the geometry. Axiomatic method and set theory thought became two big push unified trend of modern mathematics.Key word: The unity of the geometry; Non-Euclid geometry; Axiomatic met十九世纪几何学统一两种途径张俊青18世纪数学发展的主流是微积分学的扩展，它与力学和天文学等应用问题紧密交织在一起，开创了许多数学研究新领域，成为由近代数学向现代数学过渡的重要阶段。

程进均衡定理引理网络数学作者：程进来源：《无线互联科技》2013年第09期摘要：程进均衡定理，引理的杨辉三角形，勾三股四玄五之间通过网上足彩，蓝彩购彩，中奖，中奖率，中奖赔率的门计算，点计算交并及同态同构。

发复数，发复变微积分，发布尔代数微积分，发环的理想既经济角度验证证明解决中国的天宫一号和太空站之间的发天体力学，发大量子场网络数学。

关键词：程进均衡定理；网络数学以白令海峡为中，直布罗陀海峡，苏伊士运河，巴拿马运河为左右，网络时代，门牌号，门与网，海峡上的温室气体排放计算难题，雾霾天，半岛，岛屿国际日期变更日，太阳，月亮，日食与月食，时间误差落差，钓鱼岛有关的海基线，发足球彩票学，发波浪理论，85发计算1，两门一网（根据足彩胜平负3，1，0的比赛结果规则，两队踢成平局彩果为1），程进均衡定理，引理杨辉三角形，勾三股四玄五之间通过网上足彩，蓝彩购彩，中奖，中奖率，中奖赔率的门计算，点计算交并及同态同构。

发复数，发复变微积分，发布尔代数微积分，发环的理想既经济角度验证证明解决中国的天宫一号和太空站之间的发天体力学，发大量子场网络数学。

⑴2012年至2013年欧冠以后，中国的天宫一号神九，神十两次载人交会对接成功及空中授课和男女足球世界杯法定120分踢平罚点球5：4，一次欧洲超级杯同样法定120分踢平罚点球5：4.之间的数学关系及电子设备中电路设计的数学模型。

⑵2008年北京奥运会中国金牌总数51金，新世纪金牌总数新高，亚运会又获总数第一，199金，中国女足在东亚运动会金牌总数第一的情况下获金牌。

通过网上足彩购彩，中奖，中奖率，中奖赔率，又足彩赔率，美赔，欧赔，亚赔的不同和二十四节气的密切关系与四大发明五有关的“发罗盘”商标权发展数学电脑软件著作权的发排气孔理论，四大名蛋（鹅蛋，鸡蛋，鸭蛋，鸟蛋）对称性发对称性，能量守衡发能量守衡，1927年维格纳将数学上解决不了问题，拿到物理试验中去解决，2012年丁肇中又一次证明了暗物质的存在，如今85发计算1两门一网，发宇宙呼吸道人类呼吸道的高度发高度程进均衡定理引理通过网上足彩购彩，中奖，中奖率，中奖赔率，物质不灭理论，因赔率的不同及让球，主客场，时间等诸多因素，又由于世界卫生组织呼吸道疾病级数的调整最高6级，拉哥朗日12点，及Euler（欧拉）调和级数有限多项和的值等诸多因素，会产生发系统中的发修正值发误差发误差系数方程：xn+yn=zn；当n-1⑶根据Euler（欧拉）在1734年，利用Newton的成果，首先获得了调和级数有限多项和的值。

程进均衡定理引理环境网络数学三次与四次方程的解法：新世纪程进均衡定理引理的环境数学，网络数学的门计算，点计算杨辉三角形，勾三股四玄五之间通过网上足彩，蓝彩购彩，中奖，中奖率，中奖赔率发系统中的发修正值发误差发误差系数海峡上的落差，时间误差，网络时代门牌号，门与网，两个和一个，新世纪七道国际数学难题有关的宇航和呼吸道温室气体排放，气体排放，8+5峰会中国和印度首次同时参加。

2011年人类发现中微子，2012-2013年中国的天宫一号载人交会对接神九，神十两次成功，空中授课。

2013-2014年“嫦娥三号”携“玉兔”登月成功。

2014年9月24日秋分前后印度的火星探测器第一次成功变轨。

程进均衡定理引理根据二十四节气，杨辉三角形，勾三股四玄五之间海峡上的落差，时间误差的门计算，点计算对亚洲的雾霾天通过网上足彩，蓝彩购彩中奖，中奖率，中奖赔率，全球股票排行榜的涨跌率在呼吸道有关的温室气体排放中的计算难题，温室效益经济角度验证证明解决程进均衡定理引理环境网络数学三次与四次方程的解法在宇航和呼吸道监控方面的应用。

一、韦达在他著于1591年并出版于1615年的《论方程的整理与修正》（Deaequationum Recognitione et Emendatione）中，已能用一个三角恒等式解出了不可约恒等式，从而避免使用卡丹的公式。

这个方法如今还在用。

他从下列恒等式开始：三次方程成功地解出之后接着几乎立即成功地解出四次方程。

解法是费拉里给出的并发表在卡丹的《重要的艺术》中，这里我们用现代的记号把它写出来，并用文字系数以示其普遍性。

设方程是X4+bx3+cx2+dx+e=0。

移项后得二、根据程进均衡定理引理足彩中奖记录以上可写成：三次方程成功地解出之后接着几乎立即成功地解出四次方程。

解法是费拉里给出的并发表在卡丹的《重要的艺术》中，这里我们用现代的记号把它写出来，并用文字系数以示其普遍性。

设方程是：三、天宫一号神九，神十载人交会对接两次成功，空中授课和拉哥朗日的5个点股票市场的波浪理论三至五浪有关，维格纳质子和中子作用力是相同的和人类的起源，达尔文的进化论，生命科学，围棋的先后有关费马定理又和两队踢成平局彩果为1有关与四大发明有关的"发罗盘"商标权，发展数学电脑软件著作权，四大名蛋（鹅蛋，鸡蛋，鸭蛋，鸟蛋），85发计算1，利用网上足彩蓝彩中奖的高度效益，规则等产生的程进均衡定理引理网络时代门牌号，门与网，两个和一个的网络效益在21世纪人类发现中微子，相对论问题，暗物质，温室气体排放，气候人文环境，呼吸道疾病，禽流感，H7N9，HXNX男女生之间的比例关系，海峡之间的瓶颈问题，岛屿问题，生态平衡，机器与人，网络，门与网，两门一网，两个最大经济体的对话，相对论温室气体排放误差，落差和均衡—温室气体排放中的计算难题，经济角度方法验证证明解决相对论，人类在新世纪遇到的类似问题.具有广阔的应用前景。