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第二节 整式除法及应用1.同底数幂相除同底数的幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：n m aa a nnm,(,m -=÷都是正整数且).n m >(1)单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．如：.3322232c ab ab c b a =÷(2)多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加，即：+÷=÷++m a m c b a )(,m c m b ÷+÷其中m 为单项式，c b a ++为多项式．(3)多项式除以多项式：一般列竖式进行计算，特殊情况下用综合除法（大除法）计算． 3. 整式的混合运算运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的，去括号时一般由小括号 到大括号．4.注意事项(1)灵活运用同底数幂除法法则，此法则可以逆用，即n m nm a a a÷=-(2)进行幂运算时，要先观察，将能化成同底数幂的转化成底数相同的形式再进行计算． (3)两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可，但是单独的单项式不能漏掉， (4)一多项式除以多项式时，若除式、商以及余式都已知的情况下可以利用 “被除式=除式×商式+余式”来列等式求解；若商和余式未知则可以列竖 式计算，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，可以用综合除法 （大除法）来计算．2.大除法的一般步骤(1)把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐． (2)用除式的第一项去除被除式的第一项，得商式的第一项．(3)用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐）， 从被除式中减去这个积．(4)把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次：数时为止．例1．已知,64,128==nm 求1262+-n m 的值．检测1.已知,95,322m m y x +==-请你用含x 的代数式表示,y 则例2．已知,1)5(=-xx 则整数x 的值可能为检测2．计算：=-⨯0)1(32π=-0)1(;a ).1(=/a例3．计算：);10(14()52)(1()242ab ab b a -÷-÷- );43()2(32)2(354ac ab c b a -⋅-÷-);32()32732)(3(2523n n mn n ÷+- ).4()16812)(4(32532464y x y x y x y x ÷--检测3．=-÷]))(25[()]5.0.()2[(423232xy xy z y x xy倒4．已知多项式1223-+-ax x x 的除式为,1-bx 商式为,22+-x x 余式为1，求b a ,的值为检测4.已知被除式是,1223-+x x 商是x ，余式是一1，则除式是 例5．计算).3()432(3-÷-+x x x检测5．(1)计算);4()209(2+÷++x x x(2)求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．第二节 整式除法及应用(建议用时25分钟)实战演练=÷-+1221)().(1n n x x ( )4.x A n x B 4. 2.+n x C 4.-x D=÷÷-+12215)()(.2n n n x x x ( )x A . 45.-n x B n x C . 14.-n x D3．若一个五次三项式能被另一个三次单项式整除，则商式为( )A ．五次三项式B ．四次三项式C ．三次三项式D ．二次三项式 4．若,3,2==n ma a 则=-n m a ,=-n m a 23 5．若,3632233-++=⋅x x x 则=x6．已知,52,32==nm则nm 232-的值为7．一种被污染的液体每升含有13104.2⨯个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死10104⨯个此种细菌，要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂 毫升（注：15滴=1毫升）．8．如图4-2-1所示，图①的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图②的杯子中，那么你知道一共需 要 个这样的杯子吗（单位：cm )?124--9．(1)已知m m m213279÷⋅-的值为27．求m 的值；(2)若,0352=--y x 求yx324÷的值， 10.计算：;)())(1(26a a -÷- ;)())(2(35ab b a -÷-& ;)())(3(25x y y x -÷-];)([))(4(25x y y x --÷- );3(2)5(32xy y x -÷ ;210)6(232y x y x ÷);32(3)7(254xy y x -÷ ).105()105.1)(8(6⨯-÷⨯Q11．计算：;)53()2()2)(1(23o --+- ;4)2()21)(2(232÷÷-xy y x)53()1095643)(3(33344556y x y x y x y x ÷-+ )32()32)(4(532435xy y x y x y x -÷+-;x y 2)246)(5(333243÷+-xy z y x z y x ⋅-÷----)]21()]2(3[2[5)6(22222xy y x xy xy y x xy12.化简求值：),41()]2)(2()1(4[2xy xy xy xy ÷-+--其中⋅=-=51,2y x 13．已知：c b a ,,是有理数，满足,0)15(|5||1|2=-+++-c b a 求)()(3211127c b a abc ÷值．14.已知有理数x ，y ，z 满足,0|433|)763(|2|2=-++--+--z y y x z x 求x z y x nn n--4133的值．拓展创新15.确定m 的值使多项式m x x x x x f +++-=1183)(345能够被1-x 整除，拓展1．求一个关于z 的二次多项式，它的二次项系数为1，它被3-x 除余1，且它被1-x 除和被2-x 除所得的余数相同． 拓展2．多项式132,43)(22+---x x x x x f 以除之余式各为,72,14+-x x 试求22)(x x f 以49+-x 除之余式为多少．极限挑战16.阅读材料：设,5)(,32)(72+-=+=x x x g x x f 310)()()(x x g x f x h =⋅=,2111132+++x x=310x ,522x x ⋅,7321⨯=因此观察一次式),(|)32(x h x +而21|3,10|2(即32+x 能整除2),(x h 能整除10，3能整除21）．这个结果对于一般整系数的多项式也是成立的，这就是一次因式检验定理：设11)(--+=n n n n x a x a x f 01a x a +++Λ为一个整系数n 次多项式．若整系数一次式b ax -是 )(x f 的因式，且a ，b 互质，则n a a |且⋅0|a b 求整系数=)(x f 245323-++x x x 的整系数一次因式．答案。
第二讲 整式
整式的运算是对数的运算的推广和一般化，包括幂的运算如整式的乘方与除法运算，列代数式、合并同类项，会进行整式的计算和因式分解.
一、主要知识点
本讲内容包括整式的加、减、乘、除及乘方运算以及因式分解，它既是实数的运算的一般形式，又是数学学习的重要基础，要求掌握运用整式的运算法则对整式进行恒等变形的基本技能，掌握对多项式进行因式分解的基本方法.
二、典型例题
例1：已知a 2+a-1=0，求a 3+2a 2+2007的值.
例2：分解因式：x 3+2x-3
例3：设x 为自然数，试判断10+5x+x(x+2)是质数还是合数，请说明理由.
例4：若5a 2+n b n+m =5a 3b 5÷a 2b ，求m 、n 的值.
例5：若整式(2x 2+ax-y+6)-(2bx 2-3x+5y-1)的值与字母x 的取值无关，求整式
)34
1(2432222b a b a --+-的值.
例6：（1）已知13-=a ，求20112012201322a a a -+的值.
（2）若a=2012x+2012，b=2012x+2013,c=2012x+2014,求多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值.
例7：观察下列等式：42-22=12=8×1+4;
62-42=20=8×2+4;
62-42=28=8×3+4;
102-82=36=8×4+4;
……
请回答下列问题：
（1） 通过观察，请再写出一个符合上述规律的等式： ；
（2） 通过观察，你能发现什么规律？请用含n(n 是正整数)的等式表示：
；
（3） 你能否利用上述给出的一系列反映规律的公式，推导出公式：
1+2+3+4+5+……+n=2
)1(+n n 若能，请写出推导过程；若不能，请说明理由.
例8：已知：a 、b 、c 为三角形的三边，比较(a 2+b 2-c 2)2和4a 2b 2的大小.
三、自我训练
A 组
一．选择题
1．无论x 、y 取什么实数，代数式74222+-++y x y x 的值（ ）
A ．总不小于2 B. 总不小于7 C.可为任何有理数 D.可能为负数
2.当x=-2013时，代数式120112013-+bx ax
的值是2011，那么当x=2013时，代数式120112013-+bx ax
的值是( )
A.2011
B.-2011
C.-2013
D.2013 3.已知abc 为任意实数，则(a-b)2-4(a-c)(c-b)得值一定（ ）
A. 大于0
B.等于0
C.小于0
D.不能确定
4．已知F （x ）表示关于x 的一个五次多项式，F （a ）表示当x=a 时F （x ）的值，若F （﹣
5. 已知多项式
是五次四项式，单项式﹣5x 2n y 6﹣m 的次数与这个多项式的次数相同，则m 2+n 2= _________ ．
6.分解因式1-x 2-y 2-2xy= .
7. 对于数a ，b ，c ，d ，规定一种运算=ad ﹣bc ，如=1×（﹣2）﹣0×2=﹣2，那么当
=2018时，则x= _________ ． 8. 观察下列单项式：0，3x 2，8x 3，15x 4，24x 5…，按此规律写出第13个单项式是 _________ ．
【评析】用个位数相乘来解决；
9. 求（2+1）（22+1）（24+1）…（232
+1）+2的个位数字为 _________ ．
10. 已知1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，…，根据前面各式
的规律可猜测：1+3+5+7+…+（2n+1）= _________ （其中n 为自然数）．
11. 边长分别为a 和2a 的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 ___．
12.已知a=15-，则2a 3+7a 2+2a-12得值等于
三．解答题
13.已知：x 2+xy=12,xy+y 2=15，求(x+y)2-(x+y)(x-y)的值.
14.试求x 128+x 110-x 32+x 8+x 2-x 被x-1除，所得的余式.
15．已知：x 2+bx+c （b 、c 为整数）是x 4+6x 2+25及3x 4+4x 2+28x+5的公因式，求b 、c 的值.
16. （1）无论x 取何实数，代数式3x 2
+9的值不小于 _________ ．
（2）小明发现，当x 取不同实数代入代数式2x 2﹣8x+9求值时，结果总是正数，请你分析
其原因．
（3）探究代数式3a 2+5a ﹣2与4a 2﹣a+8的大小关系，并说明理由．
B 组
1. 证明：比4个连续正整数的乘积大1的数一定是某整数的平方.
2. 阅读下文，寻找规律：
已知a ≠1,观察下列各式：（a ﹣1）（a+1）=a 2﹣1，（a ﹣1）（a 2+a+1）=a 3﹣1，（a ﹣1）（a 3+a 2+a+1）=a 4﹣1…根据前面各式的规律计算：
（a ﹣1）（a 4+a 3+a 2+a+1）= _________ ；22012+22011+…+22+2+1= _________ ．
3.如果22234--+-mx mx x x 能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m 的值，并把这个多项式分解因式.
4．A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司半年薪五千元，每半年加工龄工资50元，
（1）试计算A，B两家招聘的工作人员第二年的工资收入是多少元？
（2）用n的代数式表示A，B两家公司招聘的工作人员第n年的工资收入是多少元？
（3）从应聘者的角度考虑的话，选择哪家公司有利？
5.设k为正整数，证明：
（1）如果k是两个连续正整数的乘积，那么25k+6也是两个连续正整数的乘积；
（2）如果25k+6是两个连续正整数的乘积，那么k也是两个连续正整数的乘积．
6. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此，4，12，20都是“和谐数”．
（1）36和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？
（2）请你说明“和谐数”一定是4的倍数．。
