2020版数学大一轮浙江专用精练：3_§ 2_1 函数及其表示 夯基提能作业

2.9 函数模型及其应用A组基础题组1.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后来为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是()答案 C 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C.2.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年的年产量保持不变,将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系用图象表示,正确的是()答案 A 依题意,前3年年产量的增长速度越来越快,说明总产量C的增长速度越来越快,只有选项A中的图象符合要求,故选A.3.(2018临沂模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x的范围为()A.[2,4]B.[3,4]C.[2,5]D.[3,5]答案 B 根据题意知,9=(AD+BC)h,其中AD=BC+2·=BC+x,h=x,所以9=(2BC+x)·x,得BC=-,由得2≤x<6,所以y=BC+2x=+(2≤x<6),由+≤10.5,解得3≤x≤4.因为[3,4]⊆[2,6),所以腰长x的范围是[3,4].4.加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟答案 B 由已知得解得∴p=-0.2t2+1.5t-2=-+,∴当t==3.75时p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.5.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等,则该年5月份()A.甲食堂的营业额较高B.乙食堂的营业额较高C.甲、乙两食堂的营业额相同D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案 A 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x(x>0),由题意可得,m+8a=m×(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a,乙食堂的营业额y2=m×(1+x)4=,因为-=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故5月份甲食堂的营业额较高.6.调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的重要原因,交通法规规定,驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量将上升到3mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小时50%的速度减少,则至少经过小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时)答案4解析设n小时后他可以驾驶机动车,由题意得3(1-0.5)n≤0.2,即2n≥15,故至少经过4小时他才可以驾驶机动车.7.A、B两艘船分别从东西方向上相距145km的甲、乙两地开出.A船从甲地自东向西行驶,B船从乙地自北向南行驶,A船的速度是40km/h,B船的速度是16km/h,经过h,A、B两艘船之间的距离最短.答案解析设经过xh,A、B两艘船之间的距离为ykm,由题意可得y==,易知当x=-=时,y取得最小值,即A、B两艘船之间的距离最短.8.(2018杭州八校联考)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比,且比例系数为k,除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/时时,每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里,则当这艘轮船的速度为海里/时时,总费用最小.答案40解析设每小时的总费用为y元,行驶10海里的总费用为W元,则y=kv2+96,又当v=10时,k×102=6,解得k=0.06,所以y=0.06v2+96,又匀速行驶10海里所用的时间为小时,故W=y=(0.06v2+96)=0.6v+≥2=48,当且仅当0.6v=,即v=40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/时.9.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是小时.答案24解析依题意有192=e b,48=e22k+b=e22k·e b,所以e22k===,所以e11k=或-(舍去),于是该食品在33℃的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3·e b=×192=24(小时). 10.某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元~0.75元之间(包含0.55元和0.75元),经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x-0.4)(元)成反比.又当x=0.65时,y=0.8.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若每千瓦时电的成本为0.3元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年增加20%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)]解析(1)因为y与(x-0.4)成反比,所以可设y=(k≠0),把x=0.65,y=0.8代入上式得0.8=,解得k=0.2,所以y==,则y与x之间的函数关系式为y=(0.55≤x≤0.75).(2)根据题意,得(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%),整理得x2-1.1x+0.3=0.解得x1=0.5,x2=0.6,因为x的取值范围是[0.55,0.75],所以x=0.5不符合题意,舍去,则x=0.6,所以当电价调至0.6元时,本年度电力部门的收益将比上年增加20%.11.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=,得解得(2)①由(1)知,y=(5≤x≤20),则点P的坐标为,y'=-,设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,l的方程为y-=-(x-t),由此得A,B.故f(t)==,t∈[5,20].②设g(t)=t2+,则g'(t)=2t-.令g'(t)=0,解得t=10.当t∈(5,10)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;当t∈(10,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数.从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15.答:当t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.B组提升题组1.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.B.C.D.-1答案 D 设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以x>0,所以x=-1,故选D.2.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x年后若人均一年占有y千克粮食,则y关于x的解析式为()A.y=360B.y=360×1.04xC.y=D.y=360答案 D 设该乡镇现在人口总量为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克,1年后,该乡镇粮食总产量为360M(1+4%)千克,人口总量为 M(1+1.2%),则人均占有粮食千克,2年后,人均占有粮食千克,……,x 年后,人均占有粮食千克,即所求解析式为y=360.3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80km/h的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80km/h.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案 D 对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5km,则A错;对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错;对于C选项:甲车以80km/h的速度行驶时,燃油效率为10km/L,则行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(L),则C错;对于D选项:当行驶速度小于80km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.4.某公司为了实现1000万元销售利润的目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按照销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金不超过5万元,同时奖金不超过销售利润的25%,则下列函数最符合要求的是()A.y=xB.y=lgx+1C.y=D.y=答案 B 由题意知,x∈[10,1000],符合公司要求的模型需同时满足:①函数为增函数;②函数的最大值不超过5;③y≤x·25%.对于y=x,易知满足①,但当x>20时,y>5,不满足要求;对于y=,易知满足①,因为>5,故当x>4时,不满足要求;对于y=,易知满足①,但当x>25时,y>5,不满足要求;对于y=lgx+1,易知满足①,当x∈[10,1000]时,2≤y≤4,满足②,再证明lgx+1≤x·25%,即4lgx+4-x≤0,设F(x)=4lgx+4-x,则F'(x)=-1<0,x∈[10,1000],所以F(x)为减函数,f(x)max=F(10)=4lg10+4-10=-2<0,满足③,故选B.5.(2019汤溪中学月考)某远程教育网推出两种上网学习卡收取佣金的方案:A方案是先收取20元学习佣金,再按上网学习的累计时间收取佣金,B方案是直接按上网学习的累计时间收取佣金.已知一个月的学习累计时间t(小时)与上网费用s(元)的函数关系如图所示,则当累计学习150小时时,这两种方案收取的佣金相差元.答案10解析设A方案对应的函数解析式为s1=k1t+20,B方案对应的函数解析式为s2=k2t,当t=100时,100k1+20=100k2,∴k2-k1=,当t=150时,150k2-150k1-20=150×-20=10.6.(2018辽宁抚顺模拟)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P(单位:万元)、种黄瓜的年收入Q(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值;(2)如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?解析(1)∵甲大棚投入了50万元,∴乙大棚投入了150万元,∴f(50)=80+4+×150+120=277.5.(2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,依题意得⇒20≤x≤180,故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180).令t=,则t∈[2,6],f(t)=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,当t=8,即x=128时,f(x)max=282.所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大收益为282万元.。

专题二函数概念与基本初等函数【真题典例】2.1函数及其表示挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点函数的概念及其表示1.了解函数、映射的概念,会求一些简单的函数定义域和值域.2.理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法.2015浙江,7 函数的概念★★★分段函数及其应用了解简单的分段函数,并能简单应用.2018浙江,15分段函数及其应用函数的零点、不等式的解法★★★2015浙江文,12分段函数及其应用函数的最值2014浙江,15分段函数及其应用复合函数分析解读 1.考查重点仍为函数的表示法,分段函数等基本知识点,考查形式有两种,一种是给出分段函数表达式,求相应的函数值或相应的参数值(例: 2014浙江15题);另一种是定义一种运算,给出函数关系式考查相关的数学知识(例: 2015浙江7题).2.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,能运用求值域的方法解决最值问题.3.函数值域和最值是高考考查的重点,常以本节内容为背景结合其他知识进行考查,如解析式与函数最值相结合(例:2015浙江7题).4.函数的零点也是常考的知识点,常常与不等式结合在一起考查(例:2018浙江15题).5.预计2020年高考试题中,考查分段函数及其应用、函数值域与最值的可能性很大,特别是对与不等式、函数单调性相结合的考查,复习时应重视.破考点【考点集训】考点一函数的概念及其表示1.(2017浙江温州模拟(2月),10)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x+1)= +,则f(0)+f(2 017)的最大值为()A.1-B.1+C.D.答案 B2.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,17)已知a>0,函数f(x)=|x2+|x-a|-3|在区间[-1,1]上的最大值是2,则a=.答案3或考点二分段函数及其应用1.(2017浙江宁波二模(5月),6)设f(x)=则函数y=f(f(x))的零点之和为()A.0B.1C.2D.4答案 C2.(2018浙江台州高三期末质检,8)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k(x+1)在(-∞,1]上恰有两个不同的零点,则实数k的取值范围是()A.[1,3)B.(1,3]C.[2,3)D.(3,+∞)答案 A炼技法【方法集训】方法1 求函数定义域的方法1.(2015湖北,6,5分)函数f(x)=+lg的定义域为()A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6]答案 C2.已知函数f(x)的定义域为[-8,1],则函数g(x)=的定义域是()A.(-∞,-2)∪(-2,3]B.[-8,-2)∪(-2,1]C.∪(-2,0]D.答案 C方法2 求函数解析式的方法(2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,16)已知定义域和值域都为R的函数f(x)满足f(f(x)+f(y))=2f(x)+4y-3,则当x>0时,函数f(x)的取值范围是.答案(-1,+∞)方法3 求函数值域的方法1.(2018浙江杭州重点中学第一学期期中,16)若函数f(x)=(-x2-2x+3)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的值域为.答案(-∞,16]2.(2017浙江宁波二模(5月),14)定义:max{a,b}=已知函数f(x)=max{|2x-1|,ax2+b},其中a<0,b∈R.若f(0)=b,则实数b的取值范围为;若f(x)的最小值为1,则a+b=.答案[1,+∞);1方法4 分段函数的相关处理方法1.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,11)设函数f(x)=若f(-4)=f(0), f(-2)=-2,则b+c=;方程f(x)=x的所有实根的和为.答案6;-12.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),12)已知函数f(x)=则f()+f=,若f(x)=-1,则x=.答案;-1或±过专题【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点一函数的概念及其表示(2015浙江,7,5分)存在函数f(x)满足:对于任意x∈R都有()A.f(sin 2x)=sin xB.f(sin 2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|答案 D考点二分段函数及其应用1.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.答案(1,4);(1,3]∪(4,+∞)2.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)=则f(f(-2))=, f(x)的最小值是.答案-;2-63.(2014浙江文,15,4分)设函数f(x)=若f(f(a))=2,则a=.答案4.(2014浙江,15,4分)设函数f(x)=若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是.答案(-∞,]5.(2016浙江,18,15分)已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).解析(1)由于a≥3,故当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即m(a)=(ii)当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0), f(2)}=2=F(2),当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.所以,M(a)=思路分析(1)先分类讨论去掉绝对值符号,再利用作差法求解;(2)分段函数求最值的方法是分别求出各段上的最值,较大(小)的值就是这个函数的最大(小)值.6.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.解析(1)证明:由f(x)=+b-,得对称轴为直线x=-.由|a|≥2,得≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.当a≥2时,由f(1)-f(-1)=2a≥4,得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2.当a≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,由|a|+|b|=得|a|+|b|≤3.当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值为3.评析本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力,分析问题和解决问题的能力.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的概念及其表示1.(2014山东,3,5分)函数f(x)=的定义域为()A. B.(2,+∞)C.∪(2,+∞)D.∪[2,+∞)答案 C2.(2014江西,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=()A.1B.2C.3D.-1答案 A3.(2018江苏,5,5分)函数f(x)=的定义域为.答案[2,+∞)4.(2016江苏,5,5分)函数y=的定义域是.答案[-3,1]5.(2014四川,15,5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x 时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)答案①③④考点二分段函数及其应用1.(2018课标全国Ⅰ文,12,5分)设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是()A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)答案 D2.(2017山东文,9,5分)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=()A.2B.4C.6D.8答案 C3.(2015湖北,6,5分)已知符号函数sgn x=f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),则()A.sgn[g(x)]=sgn xB.sgn[g(x)]=-sgn xC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]答案 B4.(2018江苏,9,5分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)=则f(f(15))的值为.答案5.(2017课标全国Ⅲ文,16,5分)设函数f(x)=则满足f(x)+f >1的x的取值范围是.答案C组教师专用题组考点一函数的概念及其表示(2014江西,2,5分)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(0,1)B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)答案 C考点二分段函数及其应用1.(2015课标Ⅱ,5,5分)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=()A.3B.6C.9D.12答案 C2.(2015山东,10,5分)设函数f(x)=则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是()A. B.[0,1] C. D.[1,+∞)答案 C3.(2014福建,7,5分)已知函数f(x)=则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)答案 D【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,7)设函数f(x)的定义域为D,如果对任意的x∈D,存在y∈D,使得f(x)=-f(y)成立,则称函数f(x)为“H函数”.下列为“H函数”的是()A.y=sin xcos x+cos2xB.y=ln x+e xC.y=2xD.y=x2-2x答案 B2.(2019届浙江“七彩阳光”联盟期中,7)已知函数f(x)=且f=0,则不等式f(x)>m的解集为()A. B.C. D.(-1,+∞)答案 C3.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),8)已知函数f(x)=+bcosx+x,且满足f(1-)=3,则f(1+)=()A.2B.-3C.-4D.-1答案 D4.(2018浙江宁波模拟,9)已知a为正常数, f(x)=若存在θ∈,满足f(sin θ)=f(cosθ),则实数a的取值范围是()A. B.C.(1,)D.答案 D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共14分)5.(2019届浙江温州高三适应性检测,15)已知函数f(x)=当λ=5时,不等式f(x)<-1的解集是;若函数f(x)的值域是R,则实数λ的取值范围是.答案(-4,-1)∪(8,+∞);(-∞,-2]∪[2,+∞)6.(2018浙江金华十校第一学期期末调研,16)已知函数f(x)=的最小值为a+1,则实数a的取值范围为.答案{-2-2}∪[-1,1]7.(2018浙江诸暨高三上学期期末,17)已知a,b∈R,f(x)=|2+ax+b|,若对于任意的x∈[0,4], f(x)≤恒成立,则a+2b=.答案-2三、解答题(共30分)8.(2017浙江金华十校调研,20)已知函数f(x)=(1)求f及x∈[2,3]时函数f(x)的解析式;(2)若f(x)≤对任意的x∈(0,3]恒成立,求实数k的最小值.解析(1)f=-f=f=×=.当x∈[2,3]时,x-2∈[0,1],所以f(x)= [(x-2)-(x-2)2]= (x-2)(3-x).(2)要使f(x)≤,x∈(0,3]恒成立,只需k≥[xf(x)]max,x∈(0,3]即可.当x∈(0,1]时,f(x)=x-x2,则对任意的x∈(0,1],xf(x)=x2-x3.令h(x)=x2-x3,则h(x)max=h=;当x∈(1,2]时,xf(x)=-x[(x-1)-(x-1)2]=x(x-1)·(x-2)≤0;当x∈(2,3]时,xf(x)= x[(x-2)-(x-2)2],令x-2=t,则t∈(0,1],记g(t)= (t+2)(t-t2),t∈(0,1].则g'(t)=- (3t2+2t-2),令g'(t)=0,得t0=(负值舍去),故存在t0=使得函数g(t)在t=t0处取得最大值,为.又>,所以当k≥时, f(x)≤对任意的x∈(0,3]恒成立,故实数k的最小值为.9.(2018浙江镇海中学阶段性测试,20)已知函数f(x)=2x+b,g(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R恒有f(x)≤g(x)成立.(1)求证:g(x)>0恒成立;(2)设b=0时,记h(x)=(x∈[2,+∞)),求函数h(x)的值域;(3)若对满足条件的任意实数b,c,不等式g(c)-g(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值. 解析(1)证明:f(x)≤g(x)恒成立,即x2+(b-2) x+c-b≥0,∴Δ=(b-2)2-4(c-b)≤0,∴b2-4c+4≤0,∴b2-4c≤-4<0,∴g(x)>0恒成立.(2)∵b=0,∴h(x)=,由(1)知c≥1.当1≤c≤4时,h(x)在[2,+∞)上为增函数,∴h(x)的值域为;当c>4时,h(x)在[2,]上为减函数,在[,+∞)上为增函数,∴h(x)的值域为[,+∞).综上,1≤c≤4时,h(x)的值域为,c>4时,h(x)的值域为[,+∞).(3)由(1)推得b2-4c+4≤0,∴4c-4b≥b2-4b+4=(b-2)2≥0,∴c-b≥0,同理,c+b≥0,又g(c)-g(b)≤M(c2-b2),即(c+2b)(c-b)≤M(c2-b2),当c2=b2时,(c+2b)(c-b)=0或-2b2,∴M∈R;当c-b>0且c+b>0时,M≥=1+恒成立,∴只需求当c>b>0时,的最大值即可,而=,∵>1,∴<,∴M≥,即M的最小值为.。

3.2 导数与函数单调性A组基础题组1.函数y=4x2+的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.,∞C.(-∞,-1)D.-∞,-答案 B 由y=4x2+得y'=8x-,令y'>0,即8x->0,解得x>,∴函数y=4x2+在,∞上单调递增.故选B.2.已知m是实数,函数f(x)=x2(x-m),若f '(-1)=-1,则函数f(x)的单调增区间是( )A.-,0B.0,C.-∞,-,(0,+∞)D.-∞,-∪(0,+∞)答案 C 由题意得f '(x)=3x2-2mx,∴f '(-1)=3+2m=-1,解得m=-2,∴f '(x)= x2+4x,令f '(x)>0,解得x<-或x>0,故f(x)的单调增区间为-∞,-,(0,+∞).3.已知函数f(x)=x2+2cos x,若f '(x)是f(x)的导函数,则函数f '(x)的图象大致是( )答案 A 令g(x)=f '(x)=2x-2sin x,则g'(x)=2-2cos x,易知g'(x)≥0,所以函数f '(x)在R上单调递增.4.若幂函数f(x)的图象过点,,则函数g(x)=e x f(x)的单调递减区间为( )A.(-∞,0)B.(-∞,-2)C.(-2,-1)D.(-2,0)答案 D 设幂函数f(x)=xα,因为图象过点,,所以=,α=2,所以f(x)=x2,故g(x)=e x x2,则g'(x)=e x x2+2e x x=e x(x2+2x),令g'(x)<0,得-2<x<0,故函数g(x)的单调递减区间为(-2,0).5.若函数f(x)=x+aln x不是单调函数,则实数a的取值范围是( )A.[0,+∞)B.(-∞,0]C.(-∞,0)D.(0,+∞)答案 C f '(x)=1+=,若f(x)=x+aln x不是单调函数,则f '(x)=0在(0,+∞)内有解,所以a<0,故选C.6.已知函数f(x)=ax+ln x,则当a<0时, f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是.答案0,-;-,∞解析由已知得f(x)的定义域为(0,+∞).当a<0时,因为f '(x)=a+=,所以当x>-时,f '(x)<0,当0<x<-时, f '(x)>0,所以f(x)的单调递增区间为0,-,单调递减区间为-,∞.7.若f(x)=xsin x+cos x,则f(-3), f, f(2)的大小关系是.答案f(-3)<f(2)<f解析函数f(x)为偶函数,因此f(-3)=f(3).又f '(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,当x∈, 时, f '(x)<0.所以f(x)在区间, 上是减函数,所以f>f(2)>f(3)=f(-3).8.已知函数f(x)=x2+2ax-ln x,若f(x)在区间, 上是增函数,则实数a的取值范围是.答案,∞解析由题意得f '(x)=x+2a-≥0在, 上恒成立,即 a≥-x+在, 上恒成=,∴ a≥,即a≥.立,∵-ax9.已知函数f(x)=ln x+x2-(a+1)x.若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-2,求f(x)的单调区间.解析由已知得f '(x)=+ax-(a+1),则f '(1)=0.而f(1)=ln 1+-(a+1)=--1,∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=--1.∴--1=-2,解得a=2.∴f(x)=ln x+x2-3x, f '(x)=+2x-3.由f '(x)=+2x-3=- x>0,得0<x<或x>1,由f '(x)=+2x-3<0,得<x<1,∴f(x)的单调递增区间为0,和( ,+∞), f(x)的单调递减区间为, .10.已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)e x,讨论g(x)的单调性.解析(1)对f(x)求导得f '(x)=3ax2+2x.因为f(x)在x=-处取得极值,所以f '-= a×+ ×-=-=0,解得a=,经检验,满足题意.(2)由(1)知,g(x)=e x,所以g'(x)= x e x+e x= x e x=x(x+1)(x+4)e x.令g'(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4.当x<-4时,g'(x)<0,故g(x)在(-∞,-4)上为减函数;当-4<x<-1时,g'(x)>0,故g(x)在(-4,-1)上为增函数;当-1<x<0时,g'(x)<0,故g(x)在(-1,0)上为减函数;当x>0时,g'(x)>0,故g(x)在(0,+∞)上为增函数.综上,g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)上为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)上为增函数.11.已知函数f(x)=x2+aln x.(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间;(2)若函数g(x)=f(x)+在[ ,+∞)上单调,求实数a的取值范围.解析(1)由题意知,函数的定义域为(0,+∞),当a=-2时, f '(x)=2x-= ( )(- ),由f '(x)<0得0<x<1,故f(x)的单调递减区间是(0,1).(2)由题意得g'(x)=2x+-,因函数g(x)在[ ,+∞)上单调,故:①若g(x)为[ ,+∞)上的单调增函数,则g'(x)≥0在[ ,+∞)上恒成立,即a≥-2x2在[ ,+∞)上恒成立,设φ(x)=-2x2.∵φ(x)在[ ,+∞)上单调递减,∴在[ ,+∞)上,φ(x)=φ(1)=0,max∴a≥0.②若g(x)为[ ,+∞)上的单调减函数,则g'(x)≤0在[ ,+∞)上恒成立,易知其不可能成立.∴实数a的取值范围是[0,+∞).B组提升题组1.已知f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)<-xf '(x),则不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是( )A.(0,1)B.( ,+∞)C.(1,2)D.( ,+∞)答案 D 因为f(x)+xf '(x)<0,所以(xf(x))'<0,所以xf(x)在(0,+∞)上为减函数,又因为f(x+1)>(x-1)f(x2-1),所以(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1),所以0<x+1<x2-1,所以x>2.2.若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f '(x)>1, f(0)=4,则不等式f(x)>+1(e为自然对数的底数)的解集为( )A.(0,+∞)B.(-∞,0)∪( ,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞)D.( ,+∞)答案 A 由f(x)>+1,得e x f(x)>3+e x,构造函数F(x)=e x f(x)-e x-3,得F '(x)=e x f(x)+e x f '(x)-e x=e x[f(x)+f '(x)-1],由f(x)+f '(x)>1,e x>0,可知F '(x)>0,所以F(x)在R上单调递增,又因为F(0)=e0f(0)-e0-3=f(0)-4=0,所以F(x)>0的解集为(0,+∞),即f(x)>+1的解集为(0,+∞).3.已知函数f(x)=a(x-ln x)+-(a∈R),讨论f(x)的单调性.解析易知f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=a--+=(- )(x- ).当a≤0时,若x∈(0, ),则f '(x)>0, f(x)单调递增,若x∈( ,+∞),则f '(x)<0, f(x)单调递减.当a>0时, f '(x)=(- )-,①当0<a<2时,>1,当x∈(0, )或x∈,∞时, f '(x)>0, f(x)单调递增,当x∈ ,时, f '(x)<0, f(x)单调递减.②当a=2时,=1,在区间(0,+∞)内, f '(x)≥0,f(x)单调递增.③当a>2时,0<<1,当x∈0,或x∈( ,+∞)时,f '(x)>0, f(x)单调递增,当x∈, 时, f '(x)<0,f(x)单调递减.综上所述,当a≤0时, f(x)在(0,1)上单调递增,在( ,+∞)上单调递减;当0<a<2时, f(x)在(0,1)和,∞上单调递增,在 ,上单调递减;当a=2时, f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>2时, f(x)在0,上单调递增,在, 上单调递减,在( ,+∞)上单调递增.。

§ 2.1 函数及其表示A组基础题组1.下列可作为函数y=f(x)的图象的是( )答案 D 由函数的定义可知每一个x,有唯一一个y与之对应,故A、B、C错误,D正确.2.(2019台州中学月考)已知函数f(x)=|x-1|,则下列函数中与f(x)相同的函数是( )A.g(x)=-B.g(x)=x-1C.g(x)=--D.g(x)=---答案 D 选项A中函数的定义域为{x|x≠-1},而函数f(x)的定义域为R,故A选项不正确;选项B中函数的值域为R,而函数f(x)的值域为[0,+∞ ,故B选项不正确; f(x)=|x-1|可转化为f(x)=- ,- ,这与选项C的函数对应关系不同,故C选项不正确;选项D中的函数与f(x)的定义域、对应关系和值域相同,所以选D.3.(2018浙江金华月考)若函数f(x)=,,-,,则f(f(1))的值是( )A.-10B.10C.-2D.2答案 C 因为f(1)=21-4=-2,所以f(f(1))=f(-2 =2× -2)+2=-2,故选C.4.(2018浙江绍兴高三教学质量调研)设函数f(x)=,, ,,若f=2,则实数n为( )A.-B.-C.D.答案 D f =2×+n=+n,当+n<1,即n<-时, f=2+n=2,解得n=-,不符合题意;当+n≥1,即n≥-时,f=log2=2,即+n=4,解得n=,故选D.5.若函数f(x)是一次函数,且f(f(x))=4x+3,则函数f(x)的解析式是.答案f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3解析设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+3,∴,,解得,或-,-,∴f x =2x+1或f(x)=-2x-3.6.已知函数f(x)=-,,-,,若f(a)+f(0)=3,则a= .答案5或-3解析若a≥1,则f(a)+f(0)=-+1=3,得a=5.若a<1,则f(a)+f(0)=-+1=3,得a=-3.7.若函数f(x)在闭区间[-1,2]上的图象如图所示,则此函数的解析式为.答案f(x)=,--,解析由题图可知,当-1≤x<0时, f(x)=x+1;当0≤x≤2时,f(x)=-x,所以f(x)=,-, -,8.若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(1)= .答案2解析令x=1,得2f(1)-f(-1 =4,①令x=-1,得2f(-1)-f(1)=-2,②联立①②得f(1)=2.9.已知实数a≠0,函数f(x)=,,--,,若f(1-a)=f(1+a),则a的值为. 答案-。

2.8 函数与方程A组基础题组则方程f(f(x))=2的实数根的个数是( )1.已知f(x)=-A.5B.6C.7D.8答案 C 作出函数f(x)的图象,如图所示.由图可知,函数f(x)的图象与直线y=2有三个交点,即方程f(x)=2有三个不等实根,设f(x)=2的三个实数根从小到大依次为x1,x2,x3,则x1=1,1<x2<2,x3=5.又由图可知,函数f(x)的图象与直线y=1有2个交点,即方程f(x)=1有2个不等实根,同理,f(x)=5有2个不等实根,f(x)=x2有3个不等实根,故方程f[f(x)]=2的实数根一共有7个,故选C.2.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)·(x-a)的两个零点分别位于区间( )A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞ a 和(a,b)内C.(b,c)和 c +∞ 内D.(-∞ a 和 c +∞ 内答案 A 易知f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c-a)(c-b).又a<b<c,则f(a)>0,f(b)<0,f(c)>0,又该函数是二次函数,且图象开口向上,故两个零点分别在(a,b)和(b,c)内,选A.3.关于x的方程ax2-|x|+a=0有四个不同的解,则实数a的值可能是( )A. B. C.1 D.2答案 A 若a=2,则2x2-|x|+2=0,Δ=1-16<0,无解;若a=1,则x2-|x|+1=0,Δ=1-4<0,无解;若a=,则x2-2|x|+1=0,Δ=0 =± ;若a=,则x2-4|x|+1=0,Δ>0,方程有4个根,成立.故选A.4.(2017长沙统一模拟)对于满足0<b≤3a的任意实数a,b,函数f(x)=ax2+bx+c总有两个不同的零点,则-的取值范围是( )A. B.(1,2]C.[ +∞D. +∞ 答案 D解析 依题意,对于方程ax 2+bx+c=0,有Δ=b 2-4ac>0,于是c<,从而 - > -=1+ -,对满足0<b ≤3a 的任意实数a,b 恒成立.令t=.因为0<b ≤3a,所以0<t ≤3.因此-t 2+t+1∈(1,2].故->2.故选D.5.已知函数f(x)满足f(x+1)=,当x ∈[0,1]时,f(x)=x.若函数h(x)=f(x)-ax-a 在区间(-1,1]内有两个零点,则实数a 的取值范围是( ) A. -B.∞ C. -∞D. 0答案 D 当x ∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],所以f(x)=-1=-1,所以f(x)=- - 0 0 作出函数y=f(x)和过定点(-1,0)的直线y=a(x+1)的图象(如图所示). 易得0<a ≤-0 - - =,故选D.6.已知定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当0≤x ≤2时,f(x)=min{-x 2+2x,2-x},若方程f(x)-mx=0恰有两个根,则m 的取值范围是( ) A. -∞ -∪∞ B. -∞ - ∪∞C. - -∪D. - -∪答案 C 由题意得,f(x)=f(x+4)=f(- ∴f 是周期函数,周期T=4,且图象关于直线x=2对称 ∴f 的图象如图所示.由-⇒x 2+(m-2)x=0,若直线y=mx 与抛物线y=-x 2+2x 相切,则由Δ=0⇒m=2,故可知实数m 的取值范围是 - - ∪.故选C.7.已知f(x)=-0则f(f(-2))= ,函数f(x)的零点个数为.答案14;1解析f(-2)=(-2)2=4,则f(f(-2))=f(4)=24-2=16-2=14;当x<0时,f(x)>0,故由f(x)=0,得2x-2=0(x≥0),解得x=1,则函数f(x)的零点个数为1.8.函数f(x)=-0-0的零点个数是.答案2解析当x≤0时,由x2-2=0得x=-;当x>0时,f(x)=2x-6+lnx在 0 +∞ 上为增函数,且f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,所以f(x)在 0 +∞ 上有且只有一个零点.综上,f(x)的零点个数为2.9.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是.答案(0,2)解析函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点等价于函数y=|2x-2|与y=b的图象有两个不同的交点.在同一坐标系中作出函数y=|2x-2|及y=b的图象,如图.由图可知b∈(0,2).10.(2019衢州质检)已知b,c∈R,二次函数f(x)=x2+2bx+c在区间(1,5)上有两个不同的零点,则f(1)·f(5)的取值范围是.答案(0,256)解析由题意知f(1)·f(5)=(2b+c+1)(10b+c+25)>0,且1<-b<5,即-5<b<-1,而f(x)的最小值是c-b2,由题意得c<b2,故f(1)·f(5)=(2b+c+1)(10b+c+25)<(2b+b2+1)(10b+b2+25)=[(b+1)(b+5)]2,由-5<b<-1,得- <b+ <0 0<b+5< ∴- < b+ b+5 <0 ∴f ·f(5)<(-16)2=256,故答案为(0,256).B组提升题组1.已知函数f(x)=ax2+bx+c,集合A={x|f(x)=0},集合B={x|f(f(x))=0}.若A∩B≠⌀,且存在x0∈B,x0∉A,则b的取值范围是( )A.b≥4或b<0B.b≥4或b≤0C.b≥4或-4≤b<0D.0≤b≤4答案 A 设x 1∈A∩B,则f(f(x1))=f(0)=0,所以c=0,显然ab≠0,所以A中另一元素为-.由题意知,ax2+bx=-有异于0和-的根x0,故a2x2+abx+b=0有解,由Δ≥0得b≥4或b≤0,又b ≠0,故选A.2.对于函数f(x),若存在x0∈N,满足|f(x0)|≤,则称x0为函数f(x)的一个“近零点”.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)有四个不同的“近零点”,则a的最大值为( )A.2B.1C.D.答案 D 不妨假设a,b同号,并设m-1,m,n,n+1(m<n)为四个不同的近零点,则|f(m)-f(m-1)|≤|f(m)|+|f(m-1)|≤,故|am2+bm+c-[a(m-1)2+b(m-1)+c]|≤,即|2ma-(a-b)|≤,同理,|2na+a+b|≤.所以|(2na+a+b)-[2ma-(a-b)]|≤1,即|2(n+1-m)a|≤1,因为n>m,且m,n∈N,所以n≥m+1,所以n+1-m≥2.故4|a|≤1,即|a|≤,故a的最大值为.3.已知函数f(x)=|2x-1|,g(x)=x2-(2+3k)x+2k+1.若方程g(f(x))=0有3个不同实根,则k的取值范围是.答案k=-或k>0解析方程g[f(x)]=0有3个不同实根等价于方程g(x)=0,即x2-(2+3k)x+2k+1=0有两个根x1、x2,其中0<x1<1且x2>1,或0<x1<1且x2=0,当0<x1<1且x2>1时,0 0-0∴k>0.同理,当0<x1<1且x2=0时,k=-,此时g(x)=x2-x=0的根为0和,满足题意.综上,k的取值范围为k=-或k>0.4.已知函数f(x)=x2-2x,若关于x的方程|f(x)|+|f(a-x)|-t=0有4个不同的实数根,且所有实数根之和为2,则实数t的取值范围是.答案解析令h(x)=|f(x)|+|f(a-x)|,则h(a-x)=h(x),故h(x)的图象关于直线x=对称,∵方程|f(x)|+|f(a-x)|-t=0有4个不同的实数根,且所有实数根之和为2,∴设|f(x)|+|f(a-x)|-t=0的4个实数根分别为x1,x2,x3,x4,其中=,=,则x1+x2+x3+x4=2a=2,解得a=1,故h(x)=|f(x)|+|f(a-x)|=|x2-2x|+|(1-x)2-2(1-x)|=-----0- 0---作函数h(x)的图象如图,由题意可得函数h(x)=|x2-2x|+|(1-x)2-2(1-x)|与y=t的图象有四个不同的交点,结合图象可知,实数t的取值范围是.。

§3.3　导数与函数极值和最值A组　基础题组1.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( )A.y=x3B.y=ln(-x)C.y=xe-xD.y=x+2x答案　D　A选项中,函数y=x3单调递增,无极值,B,C选项中的函数都不是奇函数,D选项中的函数既为奇函数又存在极值.2.函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x(a∈R)的导函数是f '(x),若f '(x)是偶函数,则以下结论正确的是( )A.y=f(x)的极大值为1B.y=f(x)的极大值为-2C.y=f(x)的极小值为2D.y=f(x)的极小值为-2答案　D　由题意可得, f '(x)=3x2+2ax+a-3,∵f'(x)是偶函数,∴f'(-x)=f '(x),∴a=0,∴f(x)=x3-3x, f '(x)=3x2-3,易知f(x)在x=-1处取极大值2,在x=1处取极小值-2,故选D.3.有一个10 cm×16 cm的矩形纸板,四个角各被截去了一个大小相同的小正方形,剩下的部分做成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为( )A.12 cm3B.72 cm3C.144 cm3D.160 cm3答案　C　设盒子的容积为y cm3,盒子的高为x cm,则x∈(0,5).则y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x,所以y'=12x 2-104x+160.令y'=0,得x=2或x=(舍去).203当x<2时,y'>0,当x>2时,y'<0,所以当x=2时,y max =6×12×2=144.故盒子容积的最大值为144 cm 3.4.函数y=f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )答案　D 不妨设导函数y=f '(x)的零点依次为x 1,x 2,x 3,其中x 1<0<x 2<x 3,由导函数图象可知,y=f(x)在(-∞,x 1)上为减函数,在(x 1,x 2)上为增函数,在(x 2,x 3)上为减函数,在(x 3,+∞)上为增函数,从而排除A,C.y=f(x)在x=x 1,x=x 3处取到极小值,在x=x 2处取到极大值,又x 2>0,排除B,故选D.5.若函数f(x)=x 3+x 2-在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a 的取值范围是1323( )A.[-5,0)B.(-5,0)C.[-3,0)D.(-3,0)答案　C 由题意知, f '(x)=x 2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,作出其大致图象如图所示,令x 3+x 2-=-,得x=0或x=-3,则结合图象可知,解得a∈[-132323{-3≤a <0,a +5>0,3,0).6.函数f(x)=xsin x+cos x 在上的最大值为 .[π6,π]答案　π2解析　因为f '(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,所以f '(x)=0在x∈上的解为x=.[π6,π]π2易知f(x)在上单调递增,在上单调递减,[π6,π2][π2,π]所以函数f(x)=xsin x+cos x 在上的最大值为f =.[π6,π](π2)π27.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x 3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万13件. 答案　9解析　y'=-x 2+81,令y'=0,得x=9或x=-9(舍去).当0<x<9时,y'>0,函数单调递增;当x>9时,y'<0,函数单调递减.故当x=9时,y 取最大值.8.已知函数f(x)=x 3-3ax+b 的单调递减区间为(-1,1),其极小值为2,则f(x)的极大值是 . 答案　6解析　依题意, f(x)的单调递减区间为(-1,1).由f '(x)=3x 2-3a=3(x-)(x+)和f '(1)=0,a a可得a=1,由f(x)=x 3-3ax+b 在x=1处取得极小值2.可得1-3+b=2,故b=4.所以f(x)=x 3-3x+4的极大值为f(-1),f(-1)=(-1)3-3×(-1)+4=6.9.(2018台州高三期末)已知函数f(x)=x 2-3x+ln x,则f(x)在区间上的最[12,2]小值为 ;当f(x)取到最小值时,x= . 答案　-2;1解析　由题意知f '(x)=2x-3+=(x>0),令f '(x)=0,得x=或x=1,1x 2x 2-3x +1x12当x∈时, f '(x)<0,当x∈[1,2]时, f '(x)>0,所以f(x)在区间上单[12,1][12,1]调递减,在区间[1,2]上单调递增,所以当x=1时, f(x)在区间上取得极小[12,2]值,也为最小值,最小值为-2.10.已知函数f(x)=ln x-ax 2+x,a∈R.12(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程;(2)令g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的极值.解析　(1)当a=0时, f(x)=ln x+x,则f(1)=1,∴切点为(1,1),又f '(x)=+1,∴切线斜率k=f '(1)=2,1x 故切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.(2)g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x-ax 2+(1-a)x+1(x>0),12则g'(x)=-ax+(1-a)=,1x -ax 2+(1-a )x +1x当a≤0时,∵x>0,∴g'(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上是增函数,此时函数g(x)无极值点.当a>0时,g'(x)==-,-ax 2+(1-a )x +1xa (x -1a )(x +1)x令g'(x)=0得x=.1a ∴当x∈时,g'(x)>0;当x∈时,g'(x)<0,(0,1a )(1a ,+∞)因此g(x)在上是增函数,在上是减函数.(0,1a )(1a ,+∞)∴x=时,g(x)有极大值,g =ln -×+(1-a)·+1=-ln a.1a (1a )1a a 21a21a 12a 综上,当a≤0时,函数g(x)无极值;当a>0时,函数g(x)有极大值-ln a,无极小值.12a 11.已知函数f(x)=x 3+|x-a|(a∈R).(1)当a=1时,求f(x)在(0, f(0))处的切线方程;(2)当a∈(0,1)时,求f(x)在区间[-1,1]上的最小值(用a 表示).解析　(1) 当a=1,x<1时, f(x)=x 3+1-x, f '(x)=3x 2-1,所以f(0)=1, f '(0)=-1,所以f(x)在(0, f(0))处的切线方程为y=-x+1.(2) 当a∈(0,1)时,由已知得f(x)={x 3+x -a ,a ≤x ≤1,x 3-x +a ,-1≤x <a .当a≤x≤1时,由f '(x)=3x 2+1>0,知f(x)在[a,1]上单调递增.当-1≤x<a 时, f '(x)=3x 2-1,(i)当a∈时, f(x)在上递增,在上递减,在(33,1)(-1,-33)(-33,33)上递增,(33,1)易知f(x)min =min =min =a-.{f (-1), f(33)}{a ,a -239}239(ii)当a∈时, f(x)在上递增,在上递减,在(0,33](-1,-33)(-33,a )(a,1)上递增,易知f(x)min =min{f(-1), f(a)}=min{a,a 3}=a 3.综上所述, f(x)min ={a -239,a ∈(33,1),a 3,a ∈(0,33].12.已知a∈R,函数f(x)=+aln x.2x (1)若函数f(x)在(0,2)上递减,求实数a 的取值范围;(2)当a>0时,求f(x)的最小值g(a)的最大值;(3)设h(x)=f(x)+|(a-2)x|,x∈[1,+∞),求证:h(x)≥2.解析　(1) 函数f(x)在(0,2)上递减⇔∀x∈(0,2), f '(x)≤0恒成立⇔∀x∈(0,2), f '(x)=≤0恒成立⇒∀x∈(0,2),a≤恒成立,又>1,所以ax -2x22x 2x a≤1.(2)当a>0时,令f '(x)==0,得x=.ax -2x22a 当x 变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:x (0,2a )2a (2a ,+∞)f '(x)-0+f(x)↘极小值↗故g(a)=f=a+aln .(2a)2a ∴g '(a)=ln 2-ln a,令g '(a)=0,得a=2.当a 变化时,g '(a),g(a)的变化情况如下表:a (0,2)2(2,+∞)g '(a)+0-g(x)↗极大值↘故g(a)的最大值为g(2)=2.(3)证明: 当a≥2时,h(x)=f(x)+(a-2)x=+aln x+(a-2)x,2x 故h'(x)=+a-2≥0,ax -2x2所以h(x)在[1,+∞)上是增函数,故h(x)≥h(1)=a≥2;当a<2时,h(x)=f(x)-(a-2)x=+aln x-(a-2)x,2x h'(x)=-a+2==0,ax -2x2[(2-a )x +2](x -1)x2解得x=-<0或x=1,22-a因为当x≥1时,h'(x)≥0,所以h(x)在(1,+∞)上是增函数,故h(x)≥h(1)=4-a>2.综上所述,h(x)≥2.B 组　提升题组1.已知函数f(x)=-k,若x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,则实数exx 2(2x+ln x )k 的取值范围是( )A.(-∞,e]B.[0,e]C.(-∞,e)D.[0,e)答案　A f '(x)=-k =(x>0).设g(x)=,则x 2e x-2xexx4(-2x2+1x )(x -2)(e x x-k)x2exx g'(x)=,则g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.(x -1)exx2∴g(x)在(0,+∞)上有最小值g(1),g(1)=e,结合g(x)=与y=k 的图象可知,要exx 满足题意,只需k≤e,故选A.2.已知函数f(x)=x 3+2ax 2+1在x=1处的切线的斜率为1,则实数a= ,此时函数y=f(x)在[0,1]上的最小值为 .答案　-;122327解析　由题易知f '(x)=3x 2+4ax,且f '(x)=1,则a=-,故f(x)=x 3-x 2+1.12此时f '(x)=3x 2-2x=3x,所以f(x)在上单调递减,在上单调(x -23)(0,23)(23,1)递增,所以f(x)min =f=.(23)23273.(2018浙江宁波模拟)设函数f(x)=x 2-ax-ln x,a∈R.(1)若函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为1,求实数a 的值;(2)当a≥-1时,记f(x)的极小值为H,求H 的最大值.解析　(1)因为函数f(x)=x 2-ax-ln x,a∈R,所以f '(x)=(x>0),2x 2-ax -1x由题意知f '(1)=1,∴2-a-1=1,解得a=0.(2)设f '(x 0)=0,则2-ax 0-1=0,x 20则x 0=(舍负),a +a 2+84所以f(x)在(0,x 0)上单调递减,在(x 0,+∞)上单调递增,则H=f(x)极小值=f(x 0)=-ax 0-ln x 0=-+1-ln x 0,x 20x 20设g(a)=(a≥-1),a +a 2+84当a≥0时,g(a)为增函数,当-1≤a<0时,g(a)=,此时g(a)为增函数,2a 2+8-a所以x 0≥g(-1)=,12设y=-x 2+1-ln x,因为函数y=-x 2+1-ln x 在上为减函数,[12,+∞)所以H的最大值为+ln 2.344.(2018福建厦门外国语中学月考)设函数f(x)=x 2+aln(x+1).(1)若函数y=f(x)在区间[1,+∞)内是单调递增函数,求实数a 的取值范围;(2)若函数y=f(x)有两个极值点x 1,x 2,且x 1<x 2,求证:0<<-+ln 2.f (x 2)x 112解析　(1)由题意知f '(x)=2x+=,且f '(x)≥0在区间[1,+∞)a x +12x 2+2x +ax +1内恒成立,即a≥-2x 2-2x 在区间[1,+∞)内恒成立,可得a≥-4.当a=-4时, f '(x)==,当x∈[1,+∞)时, f '(x)≥0,且2x 2+2x -4x +12(x +2)(x -1)x +1仅当x=1时, f '(x)=0,所以函数f(x)单调递增,所以a 的取值范围是[-4,+∞).(2)函数f(x)的定义域为(-1,+∞), f '(x)=.2x 2+2x +a x +1设g(x)=2x 2+2x+a,要满足题意,则有解得0<a<.{Δ=4-8a >0,g (-1)=a >0,12由题意可知x 1+x 2=-1,2+2x 2+a=0,x 2=-+,-<x 2<0.x 22121-2a 212所以=,f (x 2)x 1x 22-(2x 22+2x 2)ln (x 2+1)-1-x 2令k(x)=,x∈,x 2-(2x 2+2x )ln (x +1)-1-x(-12,0)则k'(x)=+2ln(x+1),k″(x)=,x2(x +1)22x 2+6x +2(x +1)3因为k″=-4,k″(0)=2,(-12)所以存在x 0∈,使得k″(x)=0,列表如下:(-12,0)x (-12,x 0)x 0(x 0,0)k″(x)-+又k'(0)=0,k'=1-2ln 2<0,(-12)所以k'(x)<0,(x ∈(-12,0))所以函数k(x)在内为减函数,(-12,0)所以k(0)<k(x)<k ,即0<<-+ln 2.(-12)f (x 2)x 112。